UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
– UNEMAT
JONAS OLIVEIRA DA SILVA
ELABORAÇÃO DE UM ALGORITMO EM LINGUAGEM FORTRAN
PARA ANÁLISE AUTOMATIZADA DE PÓRTICOS ESTRUTURAIS
COM MÍSULAS
SINOP
2016/1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
– UNEMAT
JONAS OLIVEIRA DA SILVA
ELABORAÇÃO DE UM ALGORITMO EM LINGUAGEM FORTRAN
PARA ANÁLISE AUTOMATIZADA DE PÓRTICOS ESTRUTURAIS
COM MÍSULAS
Projeto de Pesquisa apresentado à Banca Examinadora do Curso de Engenharia Civil – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop – MT, como pré-requisito para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Civil.
Prof.° Orientador: Me. Maicon José Hillesheim
SINOP
2016/1
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Coordenadas nodais e condições de suporte para o pórtico da figura 9. 20 Tabela 2 – Matriz de incidência e propriedades das barras. ... 21 Tabela 3 – Continuação da tabela 2. ... 21
LISTA DE EQUAÇÕES
Equação 1 ... 15 Equação 2 ... 16 Equação 3 ... 17 Equação 4 ... 17 Equação 5 ... 18 Equação 6 ... 18 Equação 7 ... 18 Equação 8 ... 18 Equação 9 ... 19 Equação 10 ... 22 Equação 11 ... 22 Equação 12 ... 23 Equação 13 ... 24 Equação 14 ... 26 Equação 15 ... 26 Equação 16 ... 26 Equação 17 ... 26 Equação 18 ... 26 Equação 19 ... 27LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Aqueduto carioca. ...7
Figura 2 - Classificação das mísulas com relação à simetria... 12
Figura 3 - Ponte do Freixo em Portugal. ... 13
Figura 4 - Terceira Ponte... 13
Figura 5 - Níveis de abstração de uma estrutura. ... 13
Figura 6 - Reações de engastamento perfeito para barra isolada. ... 14
Figura 7 - Superposição de configurações elementares. ... 15
Figura 8 – Estrutura com sete graus de liberdade nos nós. ... 20
Figura 9 – Sistema de coordenadas locais e globais para um pórtico genérico. ... 21
Figura 10 – Orientações possíves de uma barra plana... 23
Figura 12 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global... 25
LISTA DE ABREVIATURAS
MD – Método dos Deslocamentos MF – Método das Forças
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
1. Título: Elaboração de um algoritmo em linguagem Fortran para análise
automatizada de pórticos estruturais com mísulas
2. Tema: 3.01.02.00-6 - Estruturas
3. Delimitação do Tema: 3.01.02.04-9 - Mecânica das Estruturas 4. Proponente (s): Jonas Oliveira da Silva
5. Orientador (a): Maicon José Hillesheim
6. Estabelecimento de Ensino: Universidade do Estado de Mato Grosso 7. Público Alvo: Acadêmicos de Engenharia Civil, docentes e profissionais
da Construção Civil
8. Localização: Avenida dos Ingás, 3001 Jardim Imperial, Sinop/MT, CEP:
78555-000, Brasil
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS ...I LISTA DE EQUAÇÕES ...II LISTA DE FIGURAS ...III LISTA DE ABREVIATURAS ...IV DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ...V 1 INTRODUÇÃO ...7 2 PROBLEMATIZAÇÃO ...9 3 JUSTIFICATIVA ...10 4 OBJETIVOS...11 4.1 OBJETIVO GERAL...11 4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...11 5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...12 5.1 MÍSULAS ...12 5.2 ANÁLISE ESTRUTURAL ...13
5.3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ...14
5.3.1 Soluções para uma barra isolada ...14
5.3.2 Metodologia do método dos deslocamentos ...16
5.4 FORMULAÇÃO DA VIGA DE NAVIER ...18
6 METODOLOGIA ...20
6.1 DESCRETIZAÇÃO DA ESTRUTURA...20
6.2 ROTAÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O SISTEMA DE COORDENADAS GLOBAIS ...22
6.3 MONTAGEM DA SISTEMA DE EQUAÇÕES GLOBAIS ...24
7 CRONOGRAMA ...28
1 INTRODUÇÃO
Quando o objetivo é a análise de estruturas reticuladas e hiperestáticas contendo apenas barras prismáticas, os parâmetros para a resolução através dos métodos clássicos de análise estrutural são facilmentente encontrados na bibliografia apropriada.
Os métodos mais usuais para resolução de estruturas hiperestáticas são o Método dos Deslocamentos (MD), o Método da Flexibilidade, o Método de Cross, dentre outros. O que mais se adéqua em análises computacionais é o Método dos Deslocamentos (MD).
Em estruturas com grandes vãos, como pontes e viadutos são frequentemente encontrados elementos que possuem variação da seção transversal ao longo do seu comprimento. Esses elementos são chamados de mísulas e a variação desta seção pode ocorrer de várias formas.
Frequentemente na história fez-se uso desse tipo de sistema construtivo que apresentava maior rigidez e estabilidade. O antigo aqueduto carioca que foi inaugurado em 1750 para o transporte de águas pluviais é um exemplo desse tipo de estrutura.
Figura 1 – Aqueduto carioca.
Fonte: http://dicasdemonumentos.com/arcos-da-lapa-brasil/. Acesso em setembro de 2016.
Em vista da frequência do emprego desses elementos estruturais, o presente trabalho se propõe a incorporar as sub-rotinas desenvolvidas por Rozembach e Hillesheim (2014) e Lima e Hillesheim (2015), em um programa de análise global de pórticos planos. Esses trabalhos anteriores trataram do cálculo dos parâmetros de Coeficientes de Rigidez e Reações de Engastamento Perfeito respectivamente.
O programa permitirá a análise automática dessas estruturas via MD e será desenvolvido em linguagem Fortran 90. Ressalta-se que a formulação usada pelos autores citados se adequa a qualquer lei de variação da mísula usando as funções de forma de grau 2.
2 PROBLEMATIZAÇÃO
O cálculo dos esforços e deslocamentos em estruturas com seção constante ao comprimento do corpo, ou reticuladas, são usuais problemáticas resolvidas pelos princípios de conservação de energia, ou através do Método dos Deslocamentos (MD).
Entretanto, quando se parte para o estudo de estruturas com seção variada, as mísulas, se faz necessário a tomada de métodos computacionais para elaboração dos cálculos demasiadamente longos na verificação desses esforços e deslocamentos. Tais cálculos envolvem o desenvolvimento de integrais geralmente complexas, com divisões de polinômios, visto que ocorre variação da i nércia (propriedade geométrica) ao longo de todo o corpo.
Segundo Sussekind (1987), a resolução de estruturas que possuem inércia variável ao longo do corpo, através dos Método dos Deslocamentos (MD), envolve a determinação dos Coeficientes de Rigidez nas extremidades das barras da estrutura e dos respectivos coeficientes de transmissão dos momentos. Também envolve a determinação das Reações de Engastamento Perfeito das barras para o carregamento externo atuante.
Desta forma, visto que tais indeterminações já foram encontradas por meio de pesquisas anteriores, e já é possível a resolução de mísulas para barras isoladas, se faz necessário a ampliação do método, expandindo o conceito de resolução de mísulas através do MD para Pórticos Estruturais Planos.
3 JUSTIFICATIVA
As mísulas são importantes elementos estruturais em obras em que há necessidade de se vencer grandes vãos. Frequentemente é possível observar o uso desse artifício construtivo em obras de engenharia com grandes vãos, como pontes, viadutos e aquedutos.
Elas são barras que possuem variação de sua seção transversal e inércia ao longo de seu comprimento, propiciando assim maior resistência em regiões da estrutura submetida a maiores esforços.
Geralmente as estruturas existentes são hiperestáticas. Desta forma o cálculo das reações e dos esforços internos são dispendiosos se forem efetuados manualmente, nesse sentido a automatização é importante para agilizar o processo de análise, em especial quando a estrutura contém mísulas, pois a presença dela aumenta ainda mais o trabalho de cálculo do projetista.
É notável a ausência de programas gratuitos que propiciam a resolução de pórticos estruturais com esse tipo de configuração geométrica. O Mísula Tool é um software desenvolvido por Aboim e Martha (2010), usado como base o processo de analogia de Mohr ou analogia da viga conjugada. O programa fornece os parâmetros de engastamento perfeito e coeficientes de rigidez para barras de mísulas com variação parabólica, e com um carregamento transversal uniformemente distribuído.
Apesar de gratuito, quando o problema atinge maiores proporções para o caso de pórtico plano, não há nenhuma formulação ou programa gratuito que forneça as informações necessárias para o projetista. Dessa forma, o estudo em questão se trata de uma formulação que propicia os esforços solicitantes para pórticos estruturais com mísulas, bem como os deslocamentos nodais da estrutura e reações de apoio.
Martha (2010) afirma que de nada adianta conceber os modelos discretos se, no caso prático de estruturas reais não é possível resolvê-los manualmente, na realidade dos tempos atuais o modelo computacional é essencial para o problema que se deseja resolver.
4 OBJETIVOS
4.1 OBJETIVO GERAL
A presente pesquisa tem como objetivo geral a resolução automática (determinação dos esforços internos e reações de apoio) em pórticos planos com mísulas, através da elaboração de um algoritmo em linguagem FORTRAN 90 desenvolvido a partir da formulação de análise matricial de estruturas.
4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Montar a matriz de rigidez global, alocando os termos de carga e respectivos vetores de rigidez dentro do sistema de coordenadas globais.
Comparar os resultados obtidos para o pórtico com mísula através da verificação em outros softwares comerciais, como Ansys, baseado nas formulações do método dos elementos finitos.
Analisar na mísula a formulação da Teoria da Viga de Navier incorporada no Método dos Deslocamento (MD), em relação a formulação da viga de Timoshenko.
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
5.1 MÍSULAS
Segundo Sussekind (1987), mísulas são barras cuja altura varia segundo leis esquematizadas, desta forma, ocorre variação da seção ao longo do comprimento da barra e consequentemente variação das propriedades geométricas inerentes à configuração espacial.
Com a inércia variando ao longo da peça, é possível aumentar a resistência onde ocorre maior solicitação, o que geralmente (para vigas contínuas) se dá próximo aos apoios devido à ocorrência de momentos fletores em maior magnitude.
De acordo com o mesmo autor, as mísulas são classificadas de acordo com a simetria da barra e conforme ocorre a variação da altura na seção transversal do elemento. A Figura 2 ilustra as respectivas classificações, parabólicas, retas e simétricas ou não.
Figura 2 - Classificação das mísulas com relação à simetria. Fonte: SUSSEKIND, 1987.
A figura 3 refere-se à Ponte do Freixo em Portugal, e a figura 4 a Terceira Ponte em Vitória, Espirito Santo. Ambas possuem variação parabólica e simétrica, semelhante a uma equação de segundo grau na seção.
Figura 3 - Ponte do Freixo em Portugal. Fonte:https://engvagnerlandi.files.wordpress.com/2
015/05/ponte-do-freixo.jpg. Acesso em abril de 2016.
Figura 4 - Terceira Ponte.
Fonte:https://midias.folhavitoria.com.br/ files/2016/ 02/748892366-terceira-ponte.jpg.jpg. Acesso em
abril de 2016.
5.2 ANÁLISE ESTRUTURAL
Segundo Martha (2010), a análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração, a Estrutura Real, o Modelo Estrutural, o Modelo Discreto e um Modelo Computacional, sendo o último decorrente da implementação computacional que é baseada em um modelo de cálculo discretizado, conforme indica a Figura 5.
Figura 5 - Níveis de abstração de uma estrutura. Fonte: Adaptado de Martha, 2010.
Para o caso de implementação computacional, o modelo discreto adotado, é o Método dos Deslocamentos (MD).
O ato de discretizar tem a analogia ao transformar algo contínuo em casos particionados, ou seja, transformar em partes menores, uma solução analítica por valores discretos dos parâmetros adotados. No caso do Método das Forças (MF), os parâmetros adotados para discretizar a solução de hiperestáticos são as forças e os momentos e no Método dos Deslocamentos são os deslocamentos nos nós da estrutura (MARTHA, 2010). Estrutura Real Modelo Estrutural Modelo Discreto Modelo Computacional Implementação Computacional Discretização em Parâmetros Idealização do comportamento
5.3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Segundo Azevedo (2006), o método dos deslocamentos (MD), por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante método de análise estrutural. Para resolução através do MD, basta resolver-se um sistema de equações lineares expressos matricialmente, cujas equações são uma superposição de soluções cinematicamente determinadas.
5.3.1 Soluções para uma barra isolada
Para resolução deste método deve-se determinar as soluções fundamentais para barras isoladas, ou seja, as Reações de Engastamento Perfeito e os Coeficientes de Rigidez axial e de rotação nos nós. Tais parâmetros são encontradas em tabelas obtidas a partir formulações para estruturas reticuladas, ilustradas na Figura 6, onde é representada as reações de engastamento perfeito para uma viga prismática biengastada nas extremidades.
Figura 6 - Reações de engastamento perfeito para barra isolada. Fonte: Martha, 2010.
Os coeficientes de rigidez kij, são a força e reações desenvolvidas nos apoios
quando é aplicado um deslocamento unitário em uma de suas extremidades em uma dada direção e mantendo os demais nulos. A Figura 7 apresenta os índices ij dos coeficientes para dado deslocamento aplicado na barra isolada.
Figura 7 - Superposição de configurações elementares. Fonte: Martha, 2010.
Quando se trata de barras prismáticas, esses coeficientes são apresentados na forma de Matriz de Rigidez local expressa pela Equação 1.
[𝑘′] = [ +𝐸𝐴/𝑙 0 0 −𝐸𝐴/𝑙 0 0 0 +12𝐸𝐼/𝑙³ +6𝐸𝐼/𝑙² 0 −12𝐸𝐼/𝑙³ +6𝐸𝐼/𝑙² 0 +6𝐸𝐼/𝑙² +4𝐸𝐼/𝑙 0 −6𝐸𝐼/𝑙² +2𝐸𝐼/𝑙 −𝐸𝐴/𝑙 0 0 +𝐸𝐴/𝑙 0 0 0 −12𝐸𝐼/𝑙³ −6𝐸𝐼/𝑙² 0 +12𝐸𝐼/𝑙³ −6𝐸𝐼/𝑙² 0 +6𝐸𝐼/𝑙² +2𝐸𝐼/𝑙 0 −6𝐸𝐼/𝑙² +4𝐸𝐼/𝑙 ] Equação 1
Se pode observar que 𝑘′𝑗𝑖 = 𝑘′𝑖𝑗, logo a matriz de rigidez é simétrica.
Esses parâmetros em casos de mísulas como aquelas classificadas podem ser determinados através de coeficientes ajustadores encontrados em Sussekind (1987). Alternativamente para casos de mísula com lei de variação qualquer é necessário o emprego de estratégias numéricas para sua determinação como a implementada por Lima e Hillesheim (2015).
Os deslocamentos relativos em cada nó são denominados graus de liberdade, sendo que eles determinam o número de incógnitas do sistema matricial. Desta forma na determinação dos coeficientes de rigidez tem-se a relação da equação 2.
{𝑓′} = [𝑘′]. [𝑑′] Equação 2
Em que:
{𝑓′}: vetor de forças generalizadas de barra no sistema local.
[𝑘′]: matriz de rigidez da barra no sistema local
[𝑑′]: vetor deslocabilidades
Segundo Martha (2010, p. 274):
A j-ésima coluna da matriz de rigidez [k’] de uma barra no seu sistema local corresponde ao conjunto de forças generalizadas que atuam nas extremidades da barra, paralelamente a seus eixos locais, para equilibrá-la quando se impõe uma configuração deformada tal que 𝑑′𝑗 = 1.
Na generalização para estruturas com diversas barras, estas podem estar orientadas de maneira inclinada em relação ao sistema coordenadas globais da estrutura necessitando que os parâmetros definidos para o sistema local de coordenadas sejam convertidos. Com base nessa condição é empregado o conceito de matriz de transformação de rotação.
5.3.2 Metodologia do método dos deslocamentos
Segundo Soriano e Lima (2006), o método dos deslocamentos possui a seguinte sistemática:
Escolha de um sistema principal em que os deslocamentos considerados como graus de liberdade da estrutura estejam restringidos. Esses deslocamentos são as incógnitas primárias a determinar (com sentidos positivos arbitrados);
Cálculo dos esforços de engastamento perfeito e combinação desses esforços, com sinais contrários com as forças externas diretamente aplicadas segundo os referidos deslocamentos, para obtenção das forças nodais combinadas;
Cálculo dos coeficientes de rigidez das barras e, a partir desses, obtenção dos coeficientes de rigidez da estrutura;
Montagem e resolução do sistema de equações de equilíbrio para determinação dos referidos deslocamentos;
Obtenção dos deslocamentos nodais incógnitos; Cálculo dos esforços solicitantes na estrutura;
A equação anterior, descrita para uma configuração em forma de barra, possui sua recíproca em um sistema global, descrita na Equação 3.
{𝛽0} + [𝐾]{𝐷} = {0} Equação 3
Em que:
{𝛽0} = {𝛽𝑓} − {𝛽}: Vetor dos termos de carga ou cargas nodais combinadas;
{𝛽𝑓}: é o vetor de forças na extremidade engastada do elemento em coordenadas globais, geralmente chamado de forças nodais;
{𝛽}: vetor forças na extremidade do elemento decorrente do carregamento uniformemente distribuído q(x) em coordenadas globais (matriz de engastamento);
[𝐾]: Matriz de rigidez global;
{𝐷}: Vetor das deslocabilidades;
Alternativamente a Equação 3 pode ser escrita como a Equação 4.
𝛽𝑖0+ ∑𝑗=𝑛𝑗=1𝐾𝑖𝑗. 𝐷𝑗= 0 Equação 4
É sabido, segundo Martha (2010) que o número de equações de rigidez matricial é igual ao número de deslocabilidades. Ou seja, o número de linhas é igual ao número de deslocabilidades visto que na aplicação de cada um dos deslocamentos unitários isolados nas respectivas direções das deslocabilidades, tem-se uma linha do sistema de equação. Desse modo, a condição da estrutura com o deslocamento unitário aplicado, denomina-se caso básico, e vai do caso 1 ao caso N deslocabilidades.
A equação matricial 3 é resultado de uma superposição de casos básicos. O primeiro caso básico é o sistema principal ou Sistema Hipergeométrico (SH), nele
são definidos os valores dos termos de carga {𝛽0}, que são equivalentes às Reações de Engastamento Perfeito para o caso da barra isolada. Geralmente este caso é indicado pelo símbolo (0) ou caso (0).
Uma vez resolvido o sistema de equações e de posse dos deslocamentos nodais da estrutura, os esforços solicitantes podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos. Desta forma, para um pórtico com três deslocabilidades, por exemplo, o diagrama de momentos definido pela Equação 5.
𝑀 = 𝑀0+ 𝑀1𝐷1+ 𝑀2𝐷2+ 𝑀3𝐷3 Equação 5
Desta forma, 𝑀0 corresponde ao momento no caso (0) ou SH, 𝑀1, 𝑀2 e 𝑀3 são os momentos que ocorrem nos casos (1), (2) e (3).
Pode-se generalizar a Equação 5 para todos os esforços solicitantes na estrutura. Como indica as Equações de 6 a 8.
𝑁 = 𝑁0+ ∑𝑗=𝑛𝑗=1𝑁𝑗. 𝐷𝑗 Equação 6
𝑄 = 𝑄0+ ∑𝑗=𝑛𝑗=1𝑄𝑗. 𝐷𝑗 Equação 7
𝑀 = 𝑀0+ ∑ 𝑀𝑗 𝑗=𝑛
𝑗=1 . 𝐷𝑗 Equação 8
5.4 FORMULAÇÃO DA VIGA DE NAVIER
Ao elaborar um modelo estrutural se realiza uma idealização do comportamento da estrutura e adota-se hipóteses simplificadoras. Os métodos de análise estrutural existentes, especificamente o Método das forças (MF) e o Método dos Deslocamentos (MD) estão baseados na Teoria da Viga de Navier. Tal teoria tem como hipóteses básicas e simplificadoras sobre o comportamento da estrutura real, as seguintes, (MARTHA, 2010).
Deslocamentos são pequenos em relação às dimensões da seção transversal.
Desprezam-se deformações por cisalhamento, barras longas em que o comprimento é bem maior que a altura da seção.
Seções transversais permanecem planas e normais ao eixo da barra quando essa se deforma (hipótese de Bernoulli).
Material apresenta comportamento elástico-linear (Lei de Hooke).
Tal teoria pode ser resumida através de uma equação diferencial que relaciona os deslocamentos transversais (flecha) v(x) em uma viga a um carregamento distribuído aplicado. Equação de Navier pode ser descrita pela Equação 9.
𝑑2
𝑑𝑥2[𝐸𝐼(𝑥)
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2] = 𝑞(𝑥) Equação 9
Todo processo de determinação dos parâmetros fundamentais para barras isoladas, determinados por Lima e Hillesheim (2015) e Rosembach e Hillesheim (2014) foram baseados na formulação da viga de Navier adotando suas hipóteses simplificadoras, como o fato das seções planas permanecerem planas após a deformação.
6 METODOLOGIA
A realização deste trabalho seguirá o Método da Rigidez Direta que consiste em uma formalização do Método dos Deslocamentos para implementação computacional. Desta forma para trabalhar no âmbito computacional é preciso discretizar a estrutura e representa-la através de seus parâmetros.
6.1 DISCRETIZAÇÃO DA ESTRUTURA
A Figura 8 apresenta um pórtico plano com suas barras e respectivos graus de liberdade que vão de 1 a 12. Nesse pórtico as barras 1 e 3 são prismáticas e a barra 2 é uma mísula.
Figura 8 – Estrutura com sete graus de liberdade nos nós. Fonte: Arquivo pessoal, 2016.
A identificação dos parâmetros é possível graças à numeração das barras, nós e deslocabilidades, desta forma, a leitura da estrutura pelo computador é feita através de um arquivo de texto onde os dados de entrada são organizados conforme as Tabelas 1 e 2.
Tabela 1 – Coordenadas nodais e condições de suporte para o pórtico da figura 8.
Nó X (m) Y (m) Desloc. X (tipo) Desloc. Y (tipo) Desloc. Z (tipo)
Mola X Mola Y Mola Z 1 0,0 0,0 Fixo Fixo Livre 0,0 0,0 0,0 2 2,40 6,0 Livre Livre Livre 0,0 0,0 0,0 3 8,40 6,0 Livre Livre Livre 0,0 0,0 0,0 4 8,40 0,0 Fixo Fixo Fixo 0,0 0,0 0,0
A Figura 9 indica os respectivos eixos das coordenadas globais, representados pelas letras maiúsculas (X,Y) e as coordenadas locais (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) para todas as barras que compõem o pórtico plano. É notado que para as barras verticais e horizontais as coordenadas locais e globais coincidem.
a) b) Figura 9 – Sistema de coordenadas locais e globais para um pórtico genérico.
Fonte: Arquivo pessoal, 2015.
As propriedades das barras são inseridas pela Tabela 2 (com dados fictícios apenas para demonstração). Nela são informados os nós que as barras estão conectadas, o tipo de ligação de sua extremidade final, o módulo de elasticidade e propriedades das seções transversais. Caso a barra seja uma mísula, se faz necessário entrar com os dados que a mapeiem.
Tabela 2 – Matriz de incidência e propriedades das barras.
Fonte: Arquivo pessoal, 2016. Tabela 3 – Continuação da tabela 2.
Fonte: Arquivo pessoal, 2016.
Barra Inicial Nó Final Nó Rotula Final Poissom (MPa) E Prismática Mísula A (m²) I (m4) 1 1 2 não 0.28 20e3 sim não 0.15 20e-5 2 2 3 não 0.8 20e3 não sim - - 3 3 4 não 0.28 20e3 sim não 0.15 20e-5
Barra Mísula Numero de sub-
elementos b H1 H2 H3 H4 H5
1 não - - - -
2 sim 2 0.2 0.50 0.40 0.35 0.40 0.50
Com os dados informados nas Tabelas 1 e 2, é possível calcular a matriz de rigidez de cada uma das barras isoladamente para o sistema local de coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) (Figura 9-b) através da equação 1 e no caso de mísulas, através da subrotina de Lima e Hillesheim (2015), o segundo passo é rotacionar os coeficientes calculados para o sistema global de coordenadas (X, Y).
6.2 ROTAÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O SISTEMA DE
COORDENADAS GLOBAIS
Da geometria analítica a matriz R denominada matriz de transformação de rotação, onde 𝜃 especifica o ângulo de rotação, faz a transformação entre os sistemas de coordenadas local e global, dada pela Equação 10.
𝑅 = [ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1] Equação 10
Assim sendo, a transformação da matriz de rigidez local de um elemento isolado 𝑘𝑖𝑗 (Equação 1 e pela formulação da Mísula) para o sistema global de coordenadas pode ser realizada por meio do princípio dos deslocamentos virtuais (MARTHA, 2010) através da expressão algébrica descrita pela Equação 11.
[𝑘] = [𝑅]𝑇. [𝑘′]. [𝑅] Equação 11
Em que as variáveis são:
[𝑘]: matriz de rigidez para barra em coordenadas globais;
[𝑘′]: matriz de rigidez barra em coordenadas locais;
[𝑅]: matriz de transformação;
O autor afirma que a equação acima é válida para qualquer tipo de barra com ou sem articulação, inclusive para barra com seção transversal variável. Isso é muito importante pois facilita toda implementação computacional, permite que o procedimento para se obter a matriz de rigidez global trate as matrizes de rigidez de todas as barras na mesma condição de programação
A convenção para determinação dos ângulos θ indicada na equação 10 é mostrada pela Figura 10. Os ângulos de inclinação são os argumentos dos cos 𝜃 e 𝑠𝑒𝑛 𝜃 da matriz de rigidez R. Os índices i e j são relacionados as coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) da matriz de coordenadas nodais apresentadas posteriormente
Figura 10 – Orientações possíves de uma barra plana. Fonte: Marta (2010).
Uma vez rotacionada a matriz, basta somar para cada direção os coeficientes das barras que concorrem ao mesmo nó e alocar na matriz de rigidez global como será explicado adiante.
Analogamente deve-se rotacionar para o sistema global as reações de engastamento perfeito baseadas no sistema local (Figura 5) de uma barra isolada através da Equação 12 para então superpor com as cargas diretamente aplicadas nos nós e então alocar no vetor de cargas global combinadas 𝛽0 da Equação 3.
{𝑓} = [𝑅]𝑇{𝑓′} Equação 12
Sendo que:
{𝑓}: é o vetor matriz de engastamento perfeito para o elemento em coordenadas globais
{𝑓′}: é o vetor matriz de engastamento perfeito na extremidade da barra em
[𝑅]𝑇: é a transposta da matriz de transformação
6.3 MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES GLOBAIS
No exemplo da Figura 8 a matriz de rigidez global é dada genericamente pela matriz 12x12 da Equação 13. Cada coluna da matriz representa um caso das soluções fundamentais quando se impõe um deslocamento unitário na estrutura, em coordenadas globais. Dessa forma a segunda linha representa todas as forças necessárias para causar o deslocamento horizontal unitário 𝐷2 = 1, no segundo nó da estrutura. 𝐾 = [ 𝐾1,1 𝐾12 𝐾1,3 … 𝐾1,12 𝐾2,1 𝐾22 𝐾2,3 … 𝐾2,12 𝐾3,1 𝐾32 𝐾3,3 … 𝐾3,12 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾12,1 𝐾12,2 𝐾12,3 … 𝐾12,12] Equação 13
Quando se impõe o grau de liberdade 𝐷2= 1 apenas as barras 1 e 2
adjacentes ao aó 2 são mobilizadas e a barra 3 não contribui para deformada. Desta forma Martha (2010) determina o relacionamento da matriz de rigidez local com a matriz de rigidez global. Segundo ele só faz sentido estabelecer esse relacionamento se as coordenadas generalizadas locais e globais estiverem no mesmo sistema de eixos. A Figura 12 mostra como são representadas essas coordenadas
Desta forma é introduzido o conceito de vetor de espalhamento {𝑒}. Vetor de espalhamento, com a dimensão do número de coordenadas generalizadas locais de um elemento de barra, em que cada termo 𝑒𝑖 armazena o número da coordenada generalizada global associado à coordenada generalizada local 𝑖 (MARTHA, 2010). A Figura 11 representa os vetores de espalhamento para o pórtico da Figura 8.
Figura 11 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global. Fonte: Arquivo pessoal, 2016.
Figura 12 – Coordenadas generalizagas para o pórtico. Fonte: Arquivo pessoal, 2016.
Barra 1
Barra2
Desta forma a linha e a coluna da matriz global que recebem a contribuição de um coeficiente de rigidez local de uma barra são determinadas com base no vetor de espalhamento {e} da barra. Em que ij são os coeficientes da matriz local. A linha e a coluna na matriz [K] que são associadas a esse coeficiente são mostradas nas equações 14, 15 e 16 (MARTHA, 2010).
𝑖𝑖 = 𝑒𝑖 Equação 14
𝑗𝑗 = 𝑒𝑗 Equação 15
𝐾𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝐾𝑖𝑖,𝑗𝑗+ 𝑘𝑖𝑗 Equação 16
Procedimento análogo é realizado para se determinar o vetor matriz dos termos de carga da Equação 3.
Ao final da resolução do sistema global, obtém-se os respectivos deslocamentos (não mais unitários) no sistema de coordenadas generalizados globais da estrutura. Esses deslocamentos serão decompostos novamente para sistema de coordenadas generalizadas locais no sistema global.
No primeiro passo calcula-se o vetor das forças generalizadas de barra no sistema global (MARTHA, 2010).
{𝑓} = [𝑘]{𝑑} Equação 17
No segundo passo transforma-se esse vetor para o sistema local pela equação 18.
{𝑓′} = [𝑅]{𝑓} Equação 18
Caso a barra possua algum carregamento no seu interior, deve-se sobrepor as reações de engastamento perfeito do caso (0) no sistema local da barra. Se não, os esforços solicitantes nas extremidades da barra já são diretamente encontrados pela aplicação da equação 18. Caso haja sobreposição a determinação dos esforços finais nas extremidades da barra se dá pela aplicação da equação 19, sendo que “i” indica o início da barra e “j” a parte final da barra.
{ 𝑁𝑖 = 𝑓̂′1 + 𝑓′1 𝑄𝑖 = 𝑓̂′2 + 𝑓′2 𝑀𝑖 = 𝑓̂′3 + 𝑓′3 𝑁𝑗= 𝑓̂′4 + 𝑓′4 𝑄𝑗 = 𝑓̂′5 + 𝑓′5 𝑀𝑙 = 𝑓̂′6 + 𝑓′6 Equação 19 Sendo que: 𝑁: Esforço normal 𝑄: Esforço cortante 𝑀: Momento fletor
𝑓̂′𝑖: Reaçoes de engastamento perfeito no sistema local
7 CRONOGRAMA
A pesquisa tem previsão para um ano, com início em fevereiro de 2016 e com término em dezembro do mesmo ano.
ATIVIDADES
2016
FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Escolha do tema e do orientador Encontros com o orientador Pesquisa bibliográfica preliminar Leituras e elaboração de resumos Elaboração do projeto Entrega do projeto de pesquisa Revisão bibliográfica complementar Programação do Algoritmo – Etapa 1 Programação do Algoritmo – Etapa 2 Comparação dos resultados obtidos Redação do artigo científico Revisão e entrega oficial do trabalho Apresentação do trabalho em banca
8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
LIMA, T. J M.; HILLESHEIN, M. J. Cálculo das reações de engastamento perfeito
de mísulas com variação parabólica, 2015. 9p. Trabalho de conclusão de curso,
Graduação em Engenharia Civil, Universidade do Estado de Mato Grosso, Sinop, MT.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. 2a ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Método das forças e Método
dos Deslocamentos. 2a ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda, 2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: Método das Deformações e
Processo de Cross. 7a. ed. Rio de Janeiro: Globo, v. 3, 1987.
ROSENBACH, D. V.; HILLESHEIN, M. J. Cálculo da matriz de rigidez de mísulas
com variação parabólica, 2015. 8p. Trabalho de conclusão de curso, Graduação
em Engenharia Civil, Universidade do Estado de Mato Grosso, Sinop, MT. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Método das Forças e
