Obtenção da equação de Einstein pelo método diferencial e variacional.

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´A CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA

JO ˜AO JOS´E CUNHA MELO E SOUSA BENTIVI

OBTENÇ ÃO DA EQUAÇ ÃO DE EINSTEIN PELO MÉTODO DIFERENCIAL E VARIACIONAL.

FORTALEZA 2018

(2)

Monografia de Bacharelado apresentada à Coordena¸cão da Gradua¸cão do Curso de F´ısica, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do T´ıtulo de Bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida

FORTALEZA 2018

(3)

Monografia de Bacharelado apresentada à Coordena¸cão da Gradua¸cão do Curso de F´ısica, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do T´ıtulo de Bacharel em F´ısica.

Aprovada em 26/06/2018.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida (Orientador)

Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Jos´e Ramos Gon¸calves Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Nildo Loiola Dias Universidade Federal do Cear´a (UFC)

(4)

Dados Internacionais de Cataloga¸cão na Publica¸cão Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de F´ısica

B419o Bentivi, Jo˜ao .

Obten¸cão da Equa¸cão de Einstein pelo Método Diferencial e Variacional. / João José Cunha Melo e Sousa Bentivi. – Fortaleza, 2018.

33.:il.

Monografia (bacharelado) - Universidade Federal do Cear´a, Centro de Ciˆencias, Departamento de F´ısica, Fortaleza, 2018.

Orienta¸c˜ao: Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida

1. Mecânica Newtoniana.. 2. Gravita¸cão Universal.. 3. Campo de Eins-tein.. 4. Geodésica.. 5. Cálculo Variacional.. I. T´ıtulo.

(5)

A Deus, minha fam´ılia e meus

(6)

AGRADECIMENTOS

Agrade¸co a minha fam´ılia pelo apoio di´ario que, a pesar da distˆancia, se tor-naram uma das maiores fontes de felicidade. Um agradecimento em especial aos meus pais que me ajudaram em meus momentos de crise e no qual, sem eles, nada disto seria poss´ıvel

Um agradecimento especial aos meus irm˜ao, que me ajudaram a construir a pessoa que sou hoje, e quem sem eles, minha vida teria muito menos sentido.

Agrade¸co a minha namorada Ismˆenia Marques, pelo suporte emocional e por estar ao meu lado nos meus momentos de dificuldade.

Agrade¸co também ao meu grande amigo Ken Aikawa, que esteve ao meu lado desde conversas banais até duvidas acerca da vida. Sendo que o mesmo está, e espero que sempre esteja, presente na minha vida.

Um agradecimento especial ao meu orientador Carlos Alberto Santos de Al-meida por me auxiliar na conclusão desta monografia, na qual, sem ele, não seria poss´ıvel. Também agrade¸co ao professores José Ramos Gon¸calves e Nildo Loiola Dias pela disponibilidade e pelo apoio durante o curso como professores que marcaram minha vida com grandes ensinamentos.

(7)

RESUMO

Esta monografia tem como proposta apresentar o desenvolver da teoria da gravita¸cão new-toniana e da gravita¸cão relativ´ıstica de maneira simples. Além de apresentar as ferramen-tas necessárias para a obten¸cão da equa¸cão de Einstein, sendo estas o cálculo diferencial e o calculo variacional. Também foi apresentado conceitos chave para o entendimento da relatividade restrita e geral, como as transforma¸cões de Lorentz, S´ımbolo de Christofell, derivada covariante e outros. Por outro lado, enfatiza-se que, por conta da complexidade da relatividade geral, esta monografia se direcionou apenas ao necessário para o entendi-mento acerca das implica¸cões da equa¸cão de campo de Einstein como entendimento da mesma.

Palavras-chave: Mecânica Newtoniana. Gravita¸cão Universal. Campo de Eins-tein. Geodésica.Cálculo Variacional.

(8)

ABSTRACT

This monograph aims to present the development of the theory of Newtonian gravitation and relativistic gravitation in a simple way. In addition to presenting the necessary tools to obtain the Einstein equation, these being the differential calculation and the variational calculation. We also presented key concepts for the understanding of restricted and general relativity, such as Lorentz transformations, Christofell’s symbol, covariant derivative and others. On the other hand, it is emphasized that, because of the complexity of general relativity, this monograph was directed only to the necessary one for the understanding about the implications of the Einstein field equation as an understanding thereof.

Keywords: Mecânica Newtoniana. Gravita¸cão Universal. Campo de Eins-tein. Geodésica. Cálculo Variacional.

(9)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Representa¸cão da rela¸cão entre referenciais inerciais. . . 12 Figura 2 – Esbo¸co da trajetoria de um cometa feito por Newton. . . 15 Figura 3 – Tragetórias geodésicas representam caminhos tomados sob espa¸cos curvos. 19 Figura 4 – Poss´ıveis trajetórias de um sistema. . . 21 Figura 5 – Representa¸cões de curvaturas positica, negativa e nula. . . 28 Figura 6 – Representa¸cão do efeito de um campo massivo sobre a métrica e sua

(10)

SUM ´ARIO

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10

2 MEC ˆANICA NEWTONIANA . . . 12

2.1 Primeira lei de Newton . . . 12

2.2 Segunda lei de Newton . . . 12

2.3 Gravidade newtoniana . . . 14

3 MEC ˆANICA RELATIVISTICA . . . 16

3.1 Relatividade restrita . . . 16

3.1.1 Transforma¸c˜ao de Lorentz . . . 16

3.1.2 Obten¸cão da geodésica pelo cálculo diferencial . . . 18

3.1.3 M´etrica e S´ımbolo de Christofell . . . 19

3.2 Obten¸cão da equa¸cão da geodésica pelo cálculo variacional . . 21

3.2.1 Princ´ıpio da m´ınima a¸c˜ao . . . 21

3.2.2 C´alculo variacional . . . 22

4 CAMPO DE EINSTEIN . . . 26

4.1 Aproxima¸c˜ao para campos fracos . . . 26

4.2 Derivada covariante e tensor de Ricci . . . 27

4.2.1 Derivada covariante . . . 27

4.2.2 Tensor de Ricci . . . 28

4.3 Tensor energia-momento . . . 29

5 CONCLUS ˜AO . . . 33

(11)

10

1 INTRODUC¸ ˜AO

Na historia humana houveram varias revolu¸cões cientificas que mudaram a forma de pensar de sua época. Desde a geometria na Grécia antiga à teoria de cordas, esses pensamentos serviram como uma lente, possibilitando enxergar melhor nessa jornada de descobertas chamadas F´ısica.

Para entender a gravita¸cão, devemos primeiro notar que o ser humano sempre olhou aos céus em busca de algo. Mesmo que motivado pela busca de conhecimento ou a procura de um poder divino, muitos pesadores proporcionaram os fundamentos para entender como e onde estamos nessa imensidão chamada Universo.

Come¸cando por Nicolau Copérnico, que propôs o heliocentrismo. Seus pen-samentos fizeram muitos procurarem respostas e comprova¸cões nos céus e aos poucos passamos a compreender melhor os conceitos de órbtais planetários.

Um dos ciêntistas influenciados por essas ideias foi Johannes Kepler. Este consolidou o modelo heliocêntrico e aprofundou o conhecimento de como os planetas se moviam ao redor do sol. Propondo leis que regiam o movimento orbital de planetas do sistema solar. Ele possibilitou que próximos pensadores tentassem criar equa¸cões para explicar os movimentos dos astros.

Neste mesmo per´ıodo tivemos Galileu Galilei, que desenvolveu os primeiros es-tudos a cerca de corpos em movimento uniforme e em movimento uniformemente variado, chegando à lei dos corpos. Este também enunciou o princ´ıpio da inércia e consolidou o conceito de referencial inercial.

Em uma época de mudan¸cas socio-cient´ıficas, eis que aparece Isaac Newton. Newton atuou em varias áreas do conhecimento, da matemática à teologia. Este construiu ferramentas matemáticas para entender a natureza (cálculo infinitesimal), avan¸cando a ciência em séculos.

Outra contribui¸cão imensurável de Newton foi a mecânica. Em seu livro Phi-losophiae naturalis principia mathematica ele definiu equa¸cões que regiam o movimentos dos corpos (Três leis de Newton). Neste livro também foi apresentada a Lei da Gra-vita¸cão Universal que rege a intera¸cão e comportamento entre duas particulas quaisquer no universo.

Séculos mais tarde, em uma época onde a comunidade cient´ıfica acreditava que não havia muito mais a ser descoberto, apresenta-se, em 1905, a Relatividade Restrita por Albert Einstein, introduzindo novos conceitos que para a época foram considerados absurdos [4].

(12)

11

Primeiramente, sua publica¸cão foi altamente criticada por querer desqualificar a consolidada mecânica clássica de Isaac Newton baseada na relatividade de Galileo. Contudo, sua motiva¸cão veio do fato do eletromagnetismo não seguir as leis de Newton.

A partir de dois postulados: as leis da natureza serem iguais em quaisquer referenciais e a velocidade da luz ser igual para qualquer referencial, Einstein consolidou sua teoria, que mais tarde foi comprovada em experimentos a partir da observa¸c˜ao dos astros em um eclipse solar. A partir disto, chegando assim a teoria de campo de Einsten onde mostra como a materia ou energia afeta o espa¸co em si.

Na literatura atual, a obten¸cão da teoria de campo de Einstem é feita de maneira que é nescessário uma base matemática muito profunda, chegando a sair um pouco do escopo do curso de bacharelado em f´ısica.

Este trabalho, tem como objetivo a obten¸cão as equa¸cões que explicitam a gravita¸cão (Gravita¸cão newtoniana e campo de Einsten) da forma mais simples poss´ıvel para que o seu entendimento seja claro.

(13)

12

2 MEC ˆANICA NEWTONIANA

2.1 Primeira lei de Newton

Em 1687, Issac Newton estabeleceu três leis que explicavam como um objeto f´ısico se comportava. Nessas leis, temos em sua primeira afirma¸cão: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja for¸cado a mudar aquele estado por for¸cas imprimidas sobre ele. É também conhecido como princ´ıpio da inércia.[8] . A partir disto é definida a lei da inércia (~v = cte).

Nesta lei, vemos que tanto para um referencial O como para um referêncial O0 (com uma velocidade constante em rela¸cão a O, um corpo sem for¸cas atuando sobre ele terá suas equa¸cões de movimento da forma :

Figura 1 – Representa¸c˜ao da rela¸c˜ao entre referenciais inerciais.

Fonte: Referˆencia [4], p. 5

~ v = cte ⇒ d 2_~_x dt2 = d2_x_~0 dt2 = 0 (2.1)

Com isso vemos que: d2[~x − ~x0_]

dt2 = 0 ⇒ ~x − ~x 0 _{= ~}_x

0+ ~vt (2.2)

Onde ~x0 e ~v s˜ao constantes. Conseguindo montar dois refernciais inerciais que obedecem a transforma¸c˜ao de Galileu.

2.2 Segunda lei de Newton

A mudan¸ca de movimento é proporcional à for¸ca motora imprimida, e é pro-duzida na dire¸cão da linha reta na qual aquela for¸ca é imprimida. É também conhecido

(14)

13

como princ´ıpio da dinˆamica.[8]

~ F = d ~P dt (2.3) ~ F = md 2_~_x dt2 (2.4)

Para um referencial O qualquer, poderiamos relacionar seus deslocamentos realizados no referencial O’ por meio de:

~

x(t) = g(t) + R(t)~x0_(t) _(2.5)

Onde R(t) ´e uma matriz de rota¸c˜ao.

A partir daqui usaremos a nota¸c˜ao xi , onde tanto i, como j , k e n , variam entre 1, 2 e 3.

Generalizando para qualquer sistema de coordenadas ~x = fi(~x0)ˆeie observando o comportamento da segunda lei para um referencial ~x0 _faremos:

d~x dt = ∂fi(~x0) ∂x0_j dx0_j dt êi (2.6) d2~x dt2 = ∂fi(~x0) ∂x0_j d2_x0 j dt2 eî+ ∂2fi(~x0) ∂x0_j∂x0_k dx0_j dt dx0_k dt eî = ~ F m (2.7)

Multiplicando ambos os lados por ∂x

0 j ∂fi( ~x0) teremos: d2_x0 j dt2 + ∂x0_j ∂fi(~x0) ∂2fi(~x0) ∂x0 j∂x0k dx0_j dt dx0_k dt = ∂x0_j ∂fi(~x0) Fi m (2.8) Definindo: F_j0 = ∂x 0 j ∂fi(~x0) Fi (2.9) E Γj_nk = ∂x 0 j ∂fi(~x0) ∂2fi(~x0) ∂x0_j∂x0_k (2.10)

(15)

14 Teremos: d2x0_j dt2 + Γ j nk dx0_n dt dx0_k dt = F_j0 m (2.11)

Obtendo assim a equa¸cão da geodésica a partir da segunda lei de Newton. A equa¸cão da geodésica basicamente descreve o menor caminho entre dois pontos sobre uma superf´ıcie curva qualquer.

Observa-se que nesta equa¸cão vemos o tempo absoluto (em qualquer que seja o referencial, ele possui o mesmo valor), e não o tempo próprio τ . Isto se dá pela influência do modelo ótico de Descartes onde a luz era uma pressão transmitida instantaneamente através de um meio.[6]

2.3 Gravidade newtoniana

Na gravita¸cão newtoniana, a intera¸cão entre dois corpos de massa m1 e m2 é dada por: F12= −G m1m2 |~x2− ~x1|2 ˆ r12 (2.12)

Onde,G ´e a constante gravitacional e tamb´em:

ˆ r12 = ~ x2− ~x1 |~x2− ~x1| (2.13)

Como a for¸ca ´e conservativa, podemos escrever seu potˆencial de uma massa pontual como:

φ1(~x) = − Gm1 |~x − ~x1|

(2.14)

Para uma distribui¸cão continua, seu potêncial será dado por:

φ1(~x) = −G Z m dm |~x − ~x0_| = −G Z V ρ(~x0_)d3_x |~x − ~x0_| (2.15) Onde ρ representa a densidade:

Aplicando o laplaciano em ambos os lados da equa¸c˜ao.

∇2φ1(~x) = −G Z V ρ(~x0_)∇2 " 1 |~x − ~x0_| # d3x (2.16)

(16)

15

Como temos que :

∇2 " 1 |~x − ~x0_| # = −4πδ(~x − ~x0₎ _(2.17) Obtemos: ∇2_φ 1(~x) = 4Gπρ(~x0) (2.18)

Aqui notamos que, para Newton, a trajetoria de um corpo dependia apenas de sua massa. Sua lei da gravita¸cão geral também sanava o questionamento do motivo das orbitas serem el´ıpticas com o sol em um dos focos. Um dos esbo¸cos de um corpo sobre a influência de um campo gravitacional é visto em:

Figura 2 – Esbo¸co da trajetoria de um cometa feito por Newton.

Fonte: Referˆencia [1]

Na equa¸cão (2.17), notamos que a intera¸cão é feita de forma instantânea. Ao chegar nisso, Newtom achou estanho o fato de uma for¸ca que não necessitava nenhum meio intermediário para atuar e que a mesma atuava instantaneamente em pontos muito distantes no espa¸co. Essa transmissão instantânea de informa¸cão deve-se muito ao fato de Newton acreditar que as leis da natureza eram provenientes de Deus e que o mesmo era eterno, imutável, onisciente e onipresente.[6]

(17)

16

3 MEC ˆANICA RELATIVISTICA

3.1 Relatividade restrita

A relatividade restrita baseia-se fundamentalmente em dois postulados por Einstein, que s˜ao [9]:

• ”Todos os processos da Natureza decorrem igualmente em todos os sistemas inerciais de referˆencia.”

• ”A velocidade da luz no vácuo é igual para todos os sistemas de referência inerciais. Ela não depende nem da velocidade do emissor, nem da velocidade do receptor do sinal luminoso.”

Em seu trabalho, ele também alterou as concep¸cões de espa¸co e tempo existen-tes. Para ele, ambos espa¸co e tempo não poderiam ser vistos como grandezas distintas.

A partir disto, conceitos sobre distâncias e medidas temporais para referenciais diferentes foram questionados. Antes, a menor distância entre dois pontos (sem nenhuma restri¸cão a cerca do caminho a se percorrer) era uma reta, sendo explicitada como:

ds2 = dx2+ dy2+ dz2 (3.1)

Posteriormente veremos que, por conta da massa (ou energia) em um sis-tema, a métrica do mesmo irá modificar-se, e consequentemente, as medidas de distâncias também.[2]

A partir destes postulados precisou-se rever as concep¸cões clássicas já difundi-das na época, como referenciais inerciais entre si realizavam medi¸cões, ou de como corpos interagiam um com os outros.

3.1.1 Transforma¸c˜ao de Lorentz

Em 1904, Hendrik Lorentz introduziria o conceito da transforma¸cão de Lorentz. Nela vemos descrito a diminui¸cão do comprimento e a dilata¸cão temporal para um corpo movendo-se com velocidades próximas a da luz.

Esta transforma¸cão foi motivada pelo fato de que a transforma¸cão de Galileu não se adequar à teoria eletromagnética de Maxwell.

Para um referencial O0 com velocidade v uniforme em rela¸c˜ao a um referencial O inercial, notamos que suas coordenadas espaciais e sua coordenada temporal podem ser obtidas a partir da transforma¸c˜ao de Lorentz.

(18)

17

A matriz que representa a transforma¸c˜ao de Lorentz ´e dada por:

Λ =        γ −vγ 0 0 −vγ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1        (3.2) Onde: γ = _q 1 1 −v_c22 (3.3)

A partir daqui usaremos a nota¸c˜ao xµ , onde tanto µ, como as ν , ρ e γ , variam entre 0, 1, 2 e 3.

Para um espa¸co flat (plano), teremos que as coordenadas espa¸co-temporais de um referˆencial ser˜ao dadas por:

x0µ = Λµ_νxν (3.4)

A partir deste ponto foi necess´ario definir um novo elemento invariante para ter como medida para qualquer referencial, pois ds2 _{= dx}2_{+ dy}2_{+ dz}2 _n˜_{ao ´}_{e mais invariante} entre referenciais. Assim teremos um novo elemento invariante, dado por:

ds2 = ηµνdxµdxν = ησλ0 dx 0σ dx0λ (3.5) Onde: ηµν = ησλ0 Λ σ µΛ λ ν (3.6)

Na relatividade restrita teremos que:

ηµν =        −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1        (3.7)

(19)

18

E tamb´em:

ds2 = −c2dt2+ dx2+ dy2+ dz2 (3.8)

Aqui notamos que o invariante ds2 _n˜_{ao depende somente de suas coordenadas} temporais, como v´ıamos no caso cl´assico. Teremos agora uma dependˆencia direta de sua coordenada temporal.

3.1.2 Obten¸cão da geodésica pelo cálculo diferencial

No caso relativ´ıstico, não poderia ser utilizado um objeto do tipo _dtd pois agora este possui dois valores em diferentes referenciais. Para resolver esse problema, poder´ıamos utilizar o tempo próprio (τ ) para solucionar esse problema. O tempo próprio consiste de um relógio posicionado de forma estática na origem de um referencial em questão.

No referˆencial O: Fν = md 2_yν dτ2 = m d dτ ∂yν ∂xµ dxµ dτ (3.9) Fν = m∂y ν ∂xµ d2_xµ dτ2 + m ∂2_yν ∂xµ_∂xσ dxµ dτ dxσ dτ (3.10)

Multiplicando ambos os lados por ∂x_∂yλν teremos:

∂xλ ∂yνF ν = md 2_xλ dτ2 + m ∂xλ ∂yν ∂2_yν ∂xµ_∂xσ dxµ dτ dxσ dτ (3.11) Definindo F0λ = ∂x_∂yλνFν e Γλ_µσ = ∂xλ ∂yν ∂2_yν ∂xµ_∂xσ , teremos: F0λ m = d2_xλ dτ2 + Γ λ µσ dxµ dτ dxσ dτ (3.12)

Para part´ıculas livres que se deslocam nessas traget´orias geod´esicas, teremos que F0λ = 0. Com isso teremos:

d2_xλ dτ2 + Γ λ µσ dxµ dτ dxσ dτ = 0 (3.13)

Onde Γλ_µσ compensa as transforma¸c˜oes das componentes e da base, que agora s˜ao curvil´ıneas.

(20)

19

Figura 3 – Traget´orias geod´esicas representam caminhos tomados sob espa¸cos curvos.

Fonte: http://thelifeofpsi.com/2014/08/13/a-time-travel-trilogy-einsteins-portal-to-the-future/

3.1.3 M´etrica e S´ımbolo de Christofell

Até esse ponto foi assumido que se tratava de um espa¸co flat, cuja métrica é dada por: ηµν =        −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1        (3.14)

A partir de agora, trabalharemos em um espa¸co curvo cuja m´etrica ´e dada por gµν, com: ds2 = gµνdxµdxν (3.15) Onde: gµν = ηαβ dyα dxµ dyβ dxν (3.16)

Para relacionar a métrica à conexão Γλ_µσ , faremos: ∂gµν ∂xλ = ηαβ ∂2_yα ∂xλ_∂xµ ∂yβ ∂xν + ηαβ ∂yα ∂xµ ∂2_yβ ∂xλ_∂xν (3.17)

(21)

20

Usaremos a nota¸c˜ao:

∂Aµ

∂xν = ∂νA

µ_{= A}µ

,ν (3.18)

Com isso a equa¸c˜ao (3.17) torna-se:

gµν,λ = ηαβyα,νy β ,λµ+ ηαβy,µαy β ,λν (3.19) gλµ,ν = ηαβy,µαy β ,λν + ηαβyα,λyβ,µν (3.20) gλν,µ = ηαβyα,νy β ,λµ+ ηαβy,λαy β ,µν (3.21)

Somando (3.19) a (3.20) e subtraindo (3.21), teremos:

gµν,λ+ gλµ,ν− gλν,µ = 2ηαβ ∂yα ∂xµ ∂2_yβ ∂xλ_∂xν (3.22) Sabendo que: Γλ_µσ = ∂x λ ∂yν ∂2yν ∂xµ_∂xσ (3.23) ∂yν ∂xλΓ λ µσ = ∂2_yν ∂xµ_∂xσ (3.24) Substituindo em (3.22). gµν,λ+ gλµ,ν − gλν,µ = 2ηαβ ∂yα ∂xµ ∂yβ ∂xσΓ σ λν (3.25) gµν,λ+ gλµ,ν− gλν,µ= 2gµσΓσλν (3.26) Γσ_λν = 1 2g µσ_g µν,λ+ gλµ,ν − gλν,µ (3.27)

A partir daqui, vemos que a conexão (S´ımbolo de Christofell) depende expli-citamente da métrica e está, consequentemente, ligado ao que a distorce.

(22)

21

3.2 Obten¸cão da equa¸cão da geodésica pelo cálculo variacional

Diferentemente do método diferencial, no calculo variacional vemos que a equa¸cão da geodésica é obtida de maneira mais simples e direta. Este método é ba-seado no princ´ıpio de Hamilton (Princ´ıpio da m´ınima a¸cão), onde afirma que a tragetória de uma part´ıcula será descrita pelo sistema em seu espa¸co de configura¸cão onde sua a¸cão possui um valor estacionário (ponto de máximo ou m´ınimo).

3.2.1 Princ´ıpio da m´ınima a¸c˜ao

Em um sistema de coordenadas que caracteriza um sistema, formando assim um espa¸co de configura¸cão. De todas as poss´ıveis trajetórias obtidas entre os instantes t1 t2 (Também é poss´ıvel utilizar a mesma parametriza¸cão da variável de caminho como varia¸cão).[11]

Figura 4 – Poss´ıveis trajet´orias de um sistema.

Fonte: https://www.pinterest.co.uk/pin/297800594082959494/

Usaremos como nota¸c˜ao para expressar a fam´ılia de poss´ıveis caminhos pela fun¸c˜ao:

q(t, α) = q(t, 0) + αη(t)

Onde α é um parâmetro que vai a zero no caminho correto. Definindo a a¸cão por:

S = Z

L(q, ˙q, t)dt

(23)

22 δS = S(q(t, 0)) − S(q(t, α)) = Z δLdt δS = Z _∂L ∂qi δqi+ ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi dt

Utilizando a regra da cadeia. ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi = d dt ∂L ∂ ˙qi δqi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi

A partir disto teremos.

δS = Z _∂L ∂qi δqi+ d dt ∂L ∂ ˙qi δqi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi dt δS = Z _∂L ∂qi δqi− d dt ∂L ∂ ˙qi δqi dt + t2 t1 ∂L ∂ ˙qi δqi

Quando colocamos t1 e t2 fixados nas extremidades de tal forma que δq(t1) = δq(t2), teremos que o ultimo termo ser´a zero, com isso:

δS = Z _∂L ∂qi δqi− d dt ∂L ∂ ˙qi δqi dt

Sua m´ınima a¸c˜ao ser´a dada por:

δS = 0 Assim: ∂L ∂qi δqi− d dt ∂L ∂ ˙qi = 0

Obtendo assim a equa¸c˜ao e Euler-Lagrange. 3.2.2 C´alculo variacional

Definiremos a a¸c˜ao de uma particula ao longo do espa¸co tempo por:

τ = Z w ds = Z w ds dλdλ (3.28)

(24)

23

Sabendo que um dado intervalo do espa¸co pr´oprio ´e dado por ds2 = gµνdxµdxν, teremos. τ = Z w r gµνdxµdxν dλdλ dλ = Z w pgµνd ˙xµd ˙xνdλ (3.29)

Onde d ˙xµ= dx_dλµ e gµν depende do parˆametro xα.

A partir da equa¸cão e Euler-Lagrange, onde a a¸cão é definida como:

Action ≡ S ≡ Z

w

L(xα, ˙xα)dλ (3.30)

Em seu minimo teremos: d dλ ∂L ∂ ˙x − ∂L ∂x = 0 (3.31)

Onde L =pgµνd ˙xµd ˙xν . Para o primeiro termo da equa¸c˜ao (3.31), teremos:

∂L ∂ ˙xα = ∂ ∂ ˙xαpgµνd ˙x µ_{d ˙x}ν ₌ 1 2pgµνd ˙xµd ˙xν ∂ ∂ ˙xαgµνd ˙x µ_{d ˙x}ν (3.32)

Como gµν n˜ao depende do parˆametro ˙xα.

= 1 2L(gµνδ µ αd ˙x ν _{+ g} µνδανd ˙x µ_{) =} 1 2L(gανd ˙x ν _{+ g} µαd ˙xµ) = 1 2L(2gαµd ˙x µ_{) =} 1 L(gαµd ˙x µ₎ Relembremos que: dτ dλ =pgµνd ˙x µ_{d ˙x}ν _{= L}

Aplicando na regra da cadeia, teremos: ∂L ∂ ˙xα = 1 Lgαµ dxµ dλ = 1 Lgαµ dxµ dτ dτ dλ = 1 Lgαµ dxµ dτ L (3.33) Logo: ∂L ∂ ˙xα = gαµ dxµ dτ (3.34)

(25)

24

Similarmente, teremos no segundo termo da equa¸c˜ao (3.31).

∂L ∂ ˙xα = 1 2L ∂gαµ ∂xα dxµ dλ dxν dλ = 1 2 ∂gαµ ∂xα dxµ dλ dλ dτ dxν dλ = 1 2 ∂gαµ ∂xα dxµ dτ dxν dλ (3.35)

Substituindo na equa¸c˜ao inicial de Euler-Lagrange, teremos:

0 = d dλ gµν dxµ dτ − 1 2 ∂gαµ ∂xα dxµ dτ dxν dλ (3.36)

Multiplicando ambos os lados por dλ_dτ:

0 = d dτ gαβ dxβ dτ −1 2∂αgµν dxµ dτ dxν dτ (3.37)

A partir daqui ´e obtido a forma geral da geod´esica de uma maneira bem mais simples que o utilizado a partir do s´ımbolos de Christoffel. Pela regra da cadeia, teremos:

d dτ gαβ dxβ dτ = dgαβ dxγ dxγ dτ dxβ dτ + gαβ d2_xβ dτ2 Substituindo γ → µ e β → ν. d dτ gαν dxν dτ = dgαν dxµ dxµ dτ dxν dτ + gαν d2_xν dτ2 Substituindo em (3.37) gαν d2_xν dτ2 = 1 2∂αgµν dxµ dτ dxν dτ − dgαν dxµ dxµ dτ dxν dτ (3.38)

Multipicando pelo inverso da m´etrica gαγ_. d2xν dτ2 = g αγ 1 2∂αgµν− ∂µgαν dxµ dτ dxν dτ d2xν dτ2 = g αγ 1 2∂αgµν− 1 2∂µgαν − 1 2∂µgαν dxµ dτ dxν dτ Observa-se que os indices µ e ν podem ser trocados.

d2_xν dτ2 = g αγ 1 2∂αgµν− 1 2∂µgαν − 1 2∂νgαµ dxµ dτ dxν dτ

(26)

25

Obtendo assim a equa¸c˜ao da geod´esica. d2_xγ dτ2 + Γ γ µν dxµ dτ dxν dτ = 0 (3.39)

Observa-se a dependência da métrica a partir do s´ımbolo de Christofell. Também nota-se que na equa¸cão temos o tempo proprio de um dado referêncial.

(27)

26

4 CAMPO DE EINSTEIN

4.1 Aproxima¸c˜ao para campos fracos

A teoria da gravita¸cão universal newtoniana representa uma boa aproxima¸cão quando os corpos em questão apresentam velocidades bem menores que a velocidade da luz e não são muito massivos.

Nestas condi¸cões, a métrica gµν sofrerá apenas uma pequena perturba¸cão, as-sim:

gµν = ηµν + hµν (4.1)

Onde hµν << 1 . Expandindo a equa¸c˜ao da geod´esica, teremos:

d2x0 dτ2 + d2xa dτ2 + Γ 0 00 dx0 dτ dx0 dτ + Γ a 00 dx0 dτ dx0 dτ + Γ a bc dxb dτ dxc dτ = 0 (4.2)

Onde a, b e c possuem valores entre 1, 2 e 3.

Como a perturba¸cão é pequena, a varia¸cão de suas coordenadas espaciais po-dem ser desprezadas, assim a equa¸cão da geodésica fica:

d2xa dτ2 + Γ a 00 dx0 dτ dx0 dτ = 0 (4.3) d2_xa dτ2 + c 2_Γa 00 dt dτ 2 = 0 (4.4)

Mas tamb´em teremos que:

Γa₀₀= 1 2g ab_g b0,0+ g0b,b− g00,b ≈ 1 2η ab_h 00,b= 1 2δ ab_∂ bh00 (4.5) Γa₀₀ = 1 2∂ah00 (4.6) Substituindo em 3.39: d2xa dτ2 = − c2 2∂ah00 dt dτ 2 (4.7)

(28)

27 Multiplicando por dτ_dt2 . d2_xa dt2 = − c2 2∂ah00 (4.8)

Quando comparada com a equa¸c˜ao obtida para a gravita¸c˜ao newtoniana, no-tamos que: h00= 2φ c2 (4.9) Ou: g00= 1 + 2φ c2 (4.10) Onde: ∇2_g 00 = 8Gπρ c2 (4.11)

4.2 Derivada covariante e tensor de Ricci 4.2.1 Derivada covariante

Observamos que a transforma¸c˜ao de um tensor que representa uma coordenada no referˆencial O0 pode ser descrita por:

X_µ0 = ∂x ν

∂x0µXν (4.12)

Ao aplicarmos a deriva¸c˜ao parcial, teremos que: ∂ ∂x0ρX 0 µ= ∂ ∂x0ρ ∂xν ∂x0µXν (4.13) ∂ ∂x0ρX 0 µ= ∂2xν ∂x0ρ_∂x0µXν + ∂xν ∂x0µ ∂ ∂x0ρXν (4.14) ∂ρXµ0 = ∂2xν ∂x0ρ_∂x0µXν + ∂xν ∂x0µ ∂xα ∂x0ρ∂αXν (4.15)

Aqui percebemos que o objeto ∂ρXµ0 não se transforma como um tensor. Ao trabalharmos com o cálculo tensorial é necessario utilizar um operador que sirva como

(29)

28

uma derivada e, ao mesmo tempo, quando utilizado, continue a preservar as propriedades de uma transforma¸c˜ao tensorial.

Utilizando (3.51), vemos que:

∂ρXµ0 = ∂2xν ∂x0ρ_∂x0µ ∂x0β ∂xν X 0 β + ∂xν ∂x0µ ∂xα ∂x0ρ∂αXν (4.16) ∂ρXµ0 − ∂2_xν ∂x0ρ_∂x0µ ∂x0β ∂xν X 0 β = ∂xν ∂x0µ ∂xα ∂x0ρ∂αXν (4.17) ∂ρXµ0 − Γ β µρX 0 β = ∂xν ∂x0µ ∂xα ∂x0ρ∂αXν (4.18) Definindo: ∇ρXµ0 = ∂ρXµ0 − Γ β µρX 0 β (4.19) Ficamos com: ∇ρXµ0 = ∂xν ∂x0µ ∂xα ∂x0ρ∂αXν (4.20)

Assim obtendo um operador que preserva as transforma¸c˜oes tensoriais. 4.2.2 Tensor de Ricci

Ao trabalharmos com espa¸cos curvos, passamos a desenvolver ferramentas que simplifique tanto os c´alculos como a compreens˜ao desses espa¸cos.

Para este fim, é introduzido o tensor de Ricci, que representa a quantidade pela qual o volume de uma pequena cunha de uma bola geodésica em um espa¸co Riemanniano curvo desvia-se da bola padrão no espa¸co euclidiano. Logo, ele irá representar a curvatura deste espa¸co.

Figura 5 – Representa¸c˜oes de curvaturas positica, negativa e nula.

(30)

29

A diferen¸ca entre dois caminhos distintos em um espa¸co curvo pode ser dado pela rela¸c˜ao:

∇ν∇αXβ − ∇α∇νXβ (4.21) A partir disto: ∇ν∇αXβ− ∇α∇νXβ = ∂νΓβραX ρ_{− ∂} αΓβρνX ρ + Γγ_ραΓβ_γνXρ− Γγ_ρνΓβ_γαXρ (4.22) ∇ν∇αXβ− ∇α∇νXβ = Rρναβ X ρ _(4.23)

Primeiramente, o tensor de Riemann ´e representado pela equa¸c˜ao:

Rβ_ρνα= ∂νΓβρα− ∂αΓβρν + Γ γ ραΓ β γν − Γ γ ρνΓ β γα (4.24)

A partir daqui, podemos obter algumas rela¸c˜oes como a identidade de Bianchi, representada por:

∇µRρναβ+ ∇αRρνβµ+ ∇βRρνµα = 0 (4.25)

Onde:

Rρναβ = gρµRµ_ναβ (4.26)

Multiplicando a identidade de Bianchi por gνµ_gρβ _teremos:

2∇νRνα− ∇αR = 0 (4.27)

Onde R representa o escalar de Ricci, dado por:

R = gµνRµν (4.28)

4.3 Tensor energia-momento

Na gravita¸cão newtoniana, viamos a gravidade como a for¸ca que corpos com massas interagiam. A partir disso, se não houvesse massa, não haveria atra¸cão

(31)

gravitaci-30

onal. Contudo, a partir da relatividade geral, a gravidade atua na geometria do espa¸co-tempo onde qualquer coisa nele contida sofrerá influência desta, não apenas corpos com massa.

A partir da relatividade restrita, a massa de um corpo foi associada a uma energia inercial (energia de repouso). A partir disso, encontraremos uma correla¸cão entre a influência da massa na gravita¸cão em fun¸cão dessa energia de repouso.

Neste ponto definiremos o tensor momento-energia, que será aquele que estará atuando como a fonte da curvatura do espa¸co-tempo. Seu valor será dado por:

Pµ= 1 c Z v T0µd3x (4.29)

Onde Pµ representa seu quadri-momento.

Vemos que o quadri-momento de uma part´ıcula ´e dado por:

P = γm0(~v, c) = (~p, mc) (4.30)

No caso de um grupo de n part´ıculas, onde a velocidade relativa entre elas seja zero. Teremos que a sua densidade de energia, no referencial das part´ıculas (~p = 0)

P0 = 1 c Z v T00d3x (4.31) mc = 1 cT00V (4.32) T00 = ρc2 (4.33)

Onde ρ ´e sua densidade.

Comparando com a equa¸c˜ao (3.50), vemos que:

∇2_g 00 =

8πGT00

c4 (4.34)

Por analogia, teremos que obter um tensor Gµν que satisfa¸ca a equa¸c˜ao:

Gµν =

8πGTµν

(32)

31

Onde, no limite newtoniano, teremos que:

G00 = ∇2g00 (4.36)

Observa-se que o tensor Gµν é uma combina¸cão linear e suas equa¸cões devem ter a segunda derivada do tensor métrico, pois deve coincidir com as derivadas de segunda ordem do campo gravitacional visto no limite clássico.

Temos também, que o tensor momento energia é simétrico e satisfaz a equa¸cão da continuidade, logo:

∇µ_T

µν = 0 (4.37)

Com isso:

∇µGµν = 0 (4.38)

Um tensor que satisfaz essas caracter´ısticas é o tensor de Ricci. Contudo, este tensor não possui derivada covariante nula em qualquer ponto do espa¸co. Para isso, criaremos uma combina¸cão linear entre o tensor de Ricci e a métrica para obter uma rela¸cão para Gµν . Gµν = aRµν+ bgµνR (4.39) ∇µ_G µν = a∇µRµν+ bgµν∇µR = 0 (4.40) a1 2∇νR + b∇µR = 0 (4.41) Com isso: b = −a 2 (4.42) Assim: Gµν = a(Rµν− 1 2gµνR) (4.43)

(33)

32

Substituindo em (3.74), obteremos a equa¸c˜ao de campo de Einstein.

Rµν− 1

2gµνR =

8πGTµν

c4 (4.44)

Aqui podemos notar a clara rela¸cão entre a métrica do espa¸co e sua matéria (ou energia). Também podemos dizer que a sua geometria rege por onde a matéria pode se mover e sua matéria rege como o espa¸co deve se curvar. [2]

Figura 6 – Representa¸cão do efeito de um campo massivo sobre a métrica e sua influência.

(34)

33

5 CONCLUS ˜AO

No decorrer desta monografia, tentou-se mostrar de forma clara como ocorreu a constru¸cão da teoria da gravita¸cão universal a partir de conceitos e teorias vigentes, como a transforma¸cão de Lorentz. Nota-se a importância de poderosas ferramentas matemáticas para o auxiliar na compreensão dos conceitos que a cercam.

Mostra-se também que, mesmo a gravita¸cão newtoniana não sendo tão acu-rada na observa¸cão e entendimento da dinâmica de corpos massivos, esta leva a uma boa aproxima¸cão a realidade, tanto que seus valores levaram a relacionar a uma aproxima¸cão de campos fracos da própria gravita¸cão geral. Historicamente falando, a gravita¸cão new-toniana descreve com alto grau de exatidão os movimentos orbitais dos corpos presentes no sistema solar, com exce¸cão de mercúrio, no qual o fenômeno de precessão de sua orbita só foi descrito corretamente com a gravita¸cão geral [10].

Neste escrito, tentou-se abordar de maneira simples os principais conceitos que permeiam a RG. Por meio deste, é poss´ıvel compreender a correla¸cão entre energia de um corpo (podendo esta esta contida em sua massa) com a deforma¸cão do espa¸co a qual o cerca. A partir disto, é fact´ıvel o aprofundamento em problemas mais complexos, como o descrito pela solu¸cão de Schwarzschild (uma das solu¸cões da equa¸cão de Einstein).

Espera-se que este trabalho tenha sido satisfatório no ponto de vista ma-temático para uma maior compreensão dos leitores, possibilitando que a mesma sirva de atalho na compreensão desse assunto e que seja capaz de estimular um maior numero de leitores a prosseguirem em estudos mais avan¸cados acerca do tema.

(35)

34

REFERˆENCIAS

[1] Newton, I., Thomson, W., Blackburn, H. . Glasgow: James Maclehose Publisher. Sir Isaac Newtons principia. , London, Cambridge and New York: Macmillan and CO, 2013.s

[2] Maia, N.B. Introdu¸cão A Relatividade. São Paulo, LIVRARIA DA FISICA, 2009. [3] Lemos, N.A. Mecânica Anal´ıtica. São Paulo, LIVRARIA DA FISICA, 2007.

[4] Rindler, W. Relativity: Special, General, and Cosmological. Second Edition. New York, OUP Oxford, 2006.

[5] Harrison, E. Cosmology: The Science of the Universe. New York, Cambridge Univer-sity Press, 2000.

[6] Janiak, A. Newton as Philosopher pg.33. New York, Cambridge University Press, 2010. [7] NUSSENVEIG. H .M Curso de F´ısica B´asica - vol.4. S˜ao Paulo, Editora Blucher,

1998.

[8] https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac Newton#As tr.C3.AAs leis de Newton. Aces-sado em 12/03/2018

[9] http://www.fisica.net/relatividade/postulados da teoria da relatividade.php. Acessado em 18/03/2018

[10] http://plato.if.usp.br/ fma0374d/aula13/node2.html Acessado em 22/03/2018