ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE
PROF. ÁTILA
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Aula 06
Variável Aleatória
Variável Aleatória Discreta
Esperança, Variância e Desvio Padrão. Modelos de distribuição
Variáveis Aleatórias
•
Variável cujos valores estão relacionados a um
experimento aleatório.
•
Função real definida em um espaço amostral,
𝑋: Ω ↦ ℝ, tal que para cada s ∈ Ω associamos o
valor real 𝑋(𝑠).
Variáveis Aleatórias
Exemplo: Considere o lançamento de duas moedas e seja 𝑋 o nº de caras obtidas.
Ω = {𝐾𝐾, 𝐶𝐾, 𝐾𝐶, 𝐶𝐶}
𝑋 𝐾𝐾 = 2, X(CK) = X KC = 1 e 𝑋 𝐶𝐶 = 0.
• Vantagem: melhor tratamento matemático para um experimento aleatório.
Função de Probabilidade
(f.p.)
Fornece a probabilidade associada da variável
aleatória 𝑋 assumir o valor 𝑥.
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥
Satisfaz:
a)
𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑋
Variável Aleatória Discreta
(v.a.d.)
•
Quandos os valores que 𝑋 assume formam um
conjunto enumerável (finito ou infinito)
Exemplo
1) Experimento: lançamento de dois dados.
Variável aleatória 𝑋: soma dos dois resultados. 𝑋 ∈ {2,3,4,5, … , 12}
2) Experimento: lançamento de uma moeda.
Variável aleatória 𝑋: nº de lançamentos até obtermos uma cara.
Função de Distribuição Acumulada
•
É a função
𝐹(𝑥) associada à variável aleatória 𝑋,
tal que
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 , podemos assumir
𝐷𝑜𝑚
𝐹= ℝ.
Propriedades
1.0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1, para todo 𝑥.
2.Se 𝑥
1≤ 𝑥
2, então 𝐹 𝑥
1≤ 𝐹(𝑥
2).
(não-decrescente) 3.lim
𝑥→−∞𝐹 𝑥 = 0
4.lim
𝑥→+∞𝐹 𝑥 = 1
Função acumulada para 𝑋 v.a.d.
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃(𝑥
𝑖)
𝑥𝑖≤𝑥
Propriedade: Sejam
𝑥
1, 𝑥
2∈ ℝ com 𝑥
1< 𝑥
2.
• 𝑃 𝑥1 < 𝑋 ≤ 𝑥2 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥2 − 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥1 = 𝐹 𝑥2 − 𝐹 𝑥1 • 𝑃 𝑋 > 𝑥1 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥1 = 1 − 𝐹(𝑥1)
f.d.p e f.d.a
Exemplo
Lançamento de dois dados.
Variável aleatória 𝑋: valor da maior face. 𝑋 ∈ {1,2,3,4,5,6} 𝒙 1 2 3 4 5 6 𝑃(𝑋 = 𝑥) 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 f.d.p 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 2 3 4 5 6 3 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6
f.d.p e f.d.a
Exemplo f.d.a f.d.p 𝐹 𝑥 = 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 1 1 36, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2 4 36, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3 9 36, 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 < 4 16 36, 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 < 5 25 36, 𝑠𝑒 5 ≤ 𝑥 < 6 36 36 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6 𝒙 1 2 3 4 5 6 𝑃(𝑋 = 𝑥) 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36f.d.p e f.d.a
Exemplo 1.2.1.2
Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se encontra trancada. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.
a. Defina a v.a. 𝑋 = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de 𝑋?
b. Encontre a função de probabilidade de 𝑋:
Esperança
•
O valor esperado (ou esperança) de uma variável
aleatória
𝑋 é o valor médio calculado de acordo com
o modelo de probabilidade associado a 𝑋.
•
É um parâmetro de tendência central.
•
Lembre que dada uma distribuição de frequências,
calculamos a média como:
𝑥 = 𝑓1𝑥1 + ⋯ + 𝑓𝑘𝑥𝑘
𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑘 = 𝑓𝑟1. 𝑥1 + ⋯ + 𝑓𝑟𝑘. 𝑥𝑘 = 𝑓𝑟𝑖𝑥𝑖
𝑘 𝑖=1
Esperança de v.a.d.
•𝑋 uma v.a.d
𝐸 𝑋 = 𝑥
𝑖𝑃(𝑥
𝑖)
𝑛 𝑖=1Notação alternativa:
𝐸 𝑋 = 𝜇
𝑋= 𝜇
𝒙
𝒊𝒙
𝟏𝒙
𝟐…
𝒙
𝒏Total
𝑃(𝑥
𝑖) 𝑃(𝑥
1) 𝑃(𝑥
2) … 𝑃(𝑥
𝑛) 1
Esperança
Exemplo
Um fabricante produz peças tais que 10% delas
são defeituosas e 90% não são defeituosas. Se
uma peça defeituosa for produzida, o fabricante
perde U$1,00, enquanto uma peça não defeituosa
lhe dá um lucro de U$5,00. Seja a variável
aleatória 𝑋 o lucro líquido por peça.
a. Qual é a média do lucro líquido por peça?
b. Qual o desvio padrão do lucro por peça?
Esperança
Solução
a. Qual é a média do lucro líquido por peça?
𝑋 = −1 (peça defeituosa), 𝑃 𝑋 = −1 = 0,1 𝑋 = 5 (peça não defeituosa), 𝑃 𝑋 = 5 = 0,9
𝐸 𝑋 = −1 𝑃 𝑋 = −1 + 5. 𝑃 𝑋 = 5 = 4,4
𝒙 (em R$) -1 5
Esperança
Propriedades
Considere 𝑋, 𝑌 variáveis aleatórias e 𝑘 uma constante. Valem:
•
𝐸 𝑘. 𝑋 = 𝑘. 𝐸(𝑋)
•
𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸(𝑌)
•𝐸 𝑋 + 𝑘 = 𝐸(𝑋 + 𝑘)
Variância
•
É a medida que quantifica a dispersão dos valores
em torno da média.
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋
2•
Ou ainda 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋
2− 𝐸 𝑋
2•
Desvio Padrão:
𝐷𝑃 𝑋 = 𝐸 𝑋
(ou 𝜎
𝑋)
Variância
Solução
b. Qual o desvio padrão do lucro por peça?
𝐸 𝑋 = 4,4
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋
2− 𝐸 𝑋
2𝐸 𝑋
2= −1
2× 0,1 + 5
2× 0,9 = 22,6
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋
2− 𝐸 𝑋
2= 22,6 − 4,4
2= 3,24
𝒙 (em R$) -1 5 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,1 0,9Esperança e Variância
Exercício 1.7.20
Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de R$50,00 por peça. Das peças produzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é de R$25,00 mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida por R$90,00 e cada peça defeituosa é vendida por R$20,00. Seja L o lucro por peça. Obtenha:
a. a função de distribuição de probabilidades de L; b. o lucro esperado por peça; (R$ 34,70)
Esperança e Variância
Exercício 1.7.22
A Transportadora Yuki possui uma frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número X de caminhões alugados é a seguinte:
Calcule:
(a) o número médio diário de caminhões alugados, bem como o
desvio padrão;
(b) a média e o desvio padrão do lucro diário, sabendo-se que:
• o valor do aluguel por dia é de R$300,00;
• a despesa total diária com manutenção de cada veículo é de R$140,00 quando este é alugado e de R$15,00 quando o veículo não é alugado.
𝒙 0 1 2 3 4
Modelos Distribuição
•
Observe as situações
(A) Lança-se uma moeda n vezes e observa-se o número de caras obtidas
(B) De uma grande população, extrai-se uma amostra de n eleitores e pergunta-se a cada um deles em qual dos candidatos 1 ou 2 eles votarão e conta-se o número de votos do candidato 1;
Trata-se da “mesma situação” em contextos
diferentes.
População dividida em duas categorias donde
retiramos uma amostra e verificamos o número de
Alguns Modelos Distribuição Discreta
•
Uniforme
•
Bernoulli
•
Geométrica
(não será visto nesse curso)•
Binomial
•
Poisson
Distribuição Discreta: Uniforme
•
Cada possível valor da v.a.d. 𝑋 ocorre com a
mesma probabilidade.
Se 𝑋 pode assumir os valores 𝑥
1, 𝑥
2, … , 𝑥
𝑘.
𝑃 𝑋 = 𝑥
𝑖=
1
𝑘
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑘
Exemplo: no lançamento de um dado, observar a face
superior obtida.
𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 Total
Distribuição Discreta: Uniforme
𝑋~𝑈𝑛𝑖(𝑘)
𝑃 𝑋 = 𝑥
𝑖=
1
𝑘
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑘
•Esperança
𝐸 𝑋 = 𝑥
𝑖𝑃 𝑥
𝑖=
1
𝑘
𝑥
𝑖 𝑘 𝑖=1 • Variância 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 1 𝑘 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 2 𝑘Distribuição Discreta: Bernoulli
• Possui apenas dois resultados possíveis:
• Sucesso (𝑋 = 1)
• Fracasso (𝑋 = 0)
Exemplos:
• observar a face obtida no lançamento de uma moeda.
• No lançamento de um dado observar se a face é par.
• Uma pessoa é escolhida dentre 1000 e observa-se se é do sexo masculino ou não.
𝒙 𝟎 𝟏
Distribuição Discreta: Bernoulli
𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛(𝑝) 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝 𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝 • Esperança𝐸 𝑋 = 0. 1 − 𝑝 + 1. 𝑝 = 𝑝
• Variância𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋
2= 𝑝(1 − 𝑝)
Distribuição Discreta: Binomial
•
Considere 𝑛 repetições independentes de um
experimento de Bernoulli com parâmetro 𝑝.
•
Seja
𝑋 o n° de sucessos obtidos das 𝒏
repetições
•
𝑋 = 𝑘, 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛, retrata a ocorrência de 𝑘
sucessos e
𝑛 − 𝑘 fracassos.
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
Distribuição Discreta: Binomial
𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝
𝑘1 − 𝑝
𝑛−𝑘 • Esperança𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
• Variância𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Distribuição Discreta: Binomial
Exemplo (2.5.4.2 apostila)
Dois adversários A e B disputam uma série de 8 partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate. Qual é a probabilidade de A vencer a série?
Solução
São repetições de Bernoulli onde contamos o número de sucesso
𝑋 = n° de sucessos. 𝑋~𝐵𝑖𝑛(8; 0,6)
𝑃 𝑋 ≥ 5 = 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 7 + 𝑃 𝑋 = 8 =
Distribuição Discreta: Binomial
Exemplo (2.5.4.2 apostila)
Dois adversários A e B disputam uma série de 8 partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate. Qual é a probabilidade de A vencer a série?
Solução
• 𝑋 = n° de sucessos. 𝑋~𝐵𝑖𝑛(8; 0,6)
𝑃 𝑋 ≥ 5 = 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 7 + 𝑃 𝑋 = 8 =
Distribuição Discreta: Binomial
Exemplo
Uma urna contém quatro bolas brancas e seis bolas
verdes. Três bolas são retiradas dessa urna, com
reposição, isto é, depois de tirada a primeira bola, ela
é recolocada na urna e sorteia-se a segunda, que
também é recolocada na urna para, finalmente, ser
sorteada a terceira bola.
a. Qual a probabilidade de retirar pelo menos duas
bolas brancas.
(35,2%)Distribuição Discreta: Poisson
•
Lei dos fenômenos raros.
•
Descreve probabilidades do número de ocorrências
num campo contínuo (v.a. é discreta!).
•Exemplo:
• N° de defeitos por 𝑐𝑚2
• N° de acidentes por dia
• N° anual de suicídios
• N° de chamadas erradas por hora
Distribuição Discreta: Poisson
•
É uma forma limite da distribuição binomial
𝑁 → ∞ e 𝑝 → 0 𝑁𝑝 = 𝜇 (média constante) 𝑃 𝑋 = 𝑘 = lim 𝑁𝑝=𝜇 𝑁→∞ 𝑝→0 𝑁 𝑘 𝑝𝑘 1 − 𝑝 𝑁−𝑘 = 𝜇𝑘 𝑘!
𝑒
−𝜇𝑋~𝑃𝑜𝑖(𝜇)
•Esperança e Variância
𝐸 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑁𝑝 = 𝜇•
𝜇 é o número médio de ocorrências do evento
Distribuição Discreta: Poisson
Exemplo (2.7.3.1 – apostila)
Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Suponha que as chamadas que chegam constituem uma distribuição de Poisson.
a. qual é a probabilidade de a central não receber nenhuma chamada em um minuto?
b. qual é a probabilidade de a central receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?
Distribuição Discreta: Poisson
Exemplo (2.7.3.1 – apostila)
Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Suponha que as chamadas que chegam constituem uma distribuição de Poisson.
a. qual é a probabilidade de a central não receber nenhuma chamada em um minuto?
Solução
𝑋 = n° de chamadas por minuto. 𝜇 = 5 𝑋~𝑃𝑜𝑖(5)
Distribuição Discreta: Poisson
Exemplo (2.7.3.1 – apostila)
Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Suponha que as chamadas que chegam constituem uma distribuição de Poisson.
b. qual é a probabilidade de a central receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos? Solução 𝑌 = n° de chamadas em 2 minutos. 𝜇 = 5 × 2 = 10 𝑌~𝑃𝑜𝑖(10) 𝑃 𝑌 ≤ 2 = 𝑃 𝑌 = 0 + 𝑃 𝑌 = 1 + 𝑃 𝑌 = 2 = = 𝑒−10 100!0 + 101!1 + 102!2 ≈ 0, 28 %
