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Associação de Pós-Graduandos em Física
Modelização matemática de meios porosos: um método semianalítico para determinar a
permeabilidade absoluta de rochas a partir de imagens microtomográficas
André Rafael Cunha,∗ Denise Prado Kronbauer,† Anderson Camargo Moreira,‡ Iara Frangiotti Mantovani§e Celso Peres Fernandes¶
Laboratório de Meios Porosos e Propriedades Termofísicas (LMPT), Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) 88040-900, Florianópolis, SC, Brasil
Neste trabalho desenvolve-se um método semianalítico para calcular a permeabilidade absoluta de rochas a partir de imagens microtomográficas. Enfatiza-se as questões fenomenológicas do modelo, bem como suas hipóteses, e nesse sentido aponta-se alguns equívocos encontrados na literatura. A metodologia é aplicada a três amostras de rochas areníticas. O método foi capaz de predizer a ordem de grandeza para as duas amos-tras que possuem valores experimentais disponíveis. Para a amostra que não apresenta valor experimental de permeabilidade, o resultado concorda com a ordem de grandeza prevista por outros métodos.
I.
INTRODUÇÃO
Nas últimas décadas, devido a motivações energéticas e am-bientais, a investigação sobre meios porosos tem se tornado um tópico importante na pesquisa científica. Trata-se de um domínio amplo que se desdobra em muitos ramos da ciência aplicada e engenharia com a intenção de estudar as proprieda-des proprieda-desses materiais.
A primeira indagação sobre um meio poroso está relacio-nada com a capacidade – ou sua falta – de um fluido atra-vessar o espaço vazio (fase porosa) de sua estrutura. E essa questão se torna mais difícil quando fluidos diferentes dis-putam o mesmo espaço, i.e., dá-se um escoamento multifá-sico. Nesse caso a permeabilidade relativa é a grandeza bus-cada. Por exemplo, o escoamento de petróleo – que, na ver-dade, é uma variedade de hidrocarbonatos – no interior de ro-chas. No entanto, para compreender melhor o modelo, pri-meiramente efetua-se a simulação de escoamentos monofási-cos, e determina-se a permeabilidade absoluta. Neste traba-lho, propõe-se um modelo para calcular esta última grandeza. De um ponto de vista teórico e computacional, esses estu-dos baseiam-se na simulação de escoamentos de fluiestu-dos no interior do material. Porém, devido à complexidade de sua estrutura, não há uma metodologia genérica que seja capaz de satisfazer todas as questões, e apenas são feitos cálculos espe-cíficos.
Nesse sentido, algumas movimentos apontam na direção da simplificação da estrutura, bem como do regime de escoa-mento. Em 1956, devido às limitações de execução de cál-culos ordinários, Fatt [1] interpretou a fase porosa como uma associação plana de resistores elétricos, associando a estrutura real 3D a uma rede regular 2D. Chatzis e Dullien [2] se opu-seram a esse argumento, mostrando que a rede 2D é incapaz de abranger a interconectividade. Outras tentativas de utilizar redes 3D regulares foram feitas [3, 4], mas não obtiveram su-cesso em descrever as propriedades estatísticas do meio real.
Na tentativa de captar toda a complexidade da estrutura po-rosa, os trabalhos de Bryant et al. [5–7] usaram a técnica de microtomografia computadorizada de raios-X para extrair a intricada rede porosa do material. A partir dessas imagens, esses trabalhos assumiram que o espaço vazio poderia ser sim-plificado por um empacotamento de esferas. Essa metodolo-gia foi expandida por trabalhos subsequentes [8–12], os quais consideraram a segmentação da fase porosa em poros esféri-cos (que armazenam fluidos) e gargantas cilíndricas (que res-tringem o fluxo) [13]. No presente artigo, adota-se uma evo-lução dessas ideias, o algoritmo das bolas máximas devido a Dong [14].
Apesar de ser possível consumar uma simulação direta-mente em uma imagem microtomográfica [15] [16], o proce-dimento é computacionalmente oneroso [17]. Por isso, é ne-cessário buscar a simplificação da estrutura, mas minimizando a perda de informações topológicas e geométricas (Fig. 1).
Figura 1: Resultado da aplicação do algoritmo das bolas máximas a uma imagem microtomográfica de rocha. A resolução da imagem é de 3.40µm, e cada lado do cubo mede
300 voxels, ou seja, 3.40 × 300 = 1020 µm = 1.020 mm. Após o processamento e simplificação da imagem, a simu-lação do escoamento ainda precisa ser realizada. O ganho real da aplicação do algoritmo das bolas máximas se manifesta na
obtenção de um método semianalítico para calcular a permea-bilidade absoluta, e por isso pode-se prescindir de uma simu-lação ordinária de um escoamento, como a técnica de volumes finitos ou como o modelo de gás em rede de Boltzmann.
Cabe ressaltar que o processo de solucionar o problema por via de um sistema linear é prática comum nesse domí-nio [14, 17–19]. O mérito do presente trabalho consiste em fazê-lo para a rede poro-ligações de poros esféricos e gargan-tas cilíndricas da Fig. 1 e, principalmente, explicitar as nuan-ces do método e os desenvolvimentos analíticos originais que adiam a implementação numérica.
II.
GRANDEZAS FÍSICAS
A. A Lei de Darcy e a permeabilidade absoluta.
A permeabilidade absoluta k é uma propriedade que de-pende das geometria do meio [20, 21], e é dada pela Lei de Darcy [22]:
Q= −kA∆p
η L , (1)
onde Q é o fluxo que atravessa o material, cuja área da seção reta é A; ∆p é a diferença de pressão entre os níveis separados pelo comprimento L; e η é a viscosidade do fluido. No SI, a permeabilidade absoluta é medida em m2. Porém, costuma-se empregar a unidade “darcy”, cujo símbolo é D, tal que 1 D vale 0.987 µm2
B. Condutância hidráulica.
A condutância γ é definida como a constante de proporcio-nalidade entre o fluxo Q e o gradiente de pressão ∇p, i.e.,
Q= −γ∇p , (2)
que para o caso discreto assume a forma Q= −γ
L∆ p . (3)
A partir das equações de movimento de Navier-Stokes [23, 24], consegue-se o seguinte resultado para o escoamento de um fluido com viscosidade η em um tubo cilíndrico com raio R Q= −π R 4 8η ∆ p L = − A2 8πηL∆ p , (4)
que é conhecido como a equação de Hagen-Poiseuille. Comparando as eqs. (3) e (4), obtém-se o valor da condu-tância para um tubo cilíndrico
γ = A
2
8πη. (5)
C. Resistência hidráulica.
Define-se a resistência hidráulica Ω como uma medida de quanto um meio poroso, de comprimento L e com condutância γ , atenua o movimento do fluido. Intuitivamente, exprime-se
Ω ≡L
γ. (6)
Adicionalmente, a resistência hidráulica equivalente para uma associação em série de n componentes é dada por:
Ωeq= n
∑
i=1 Li γi , (7)Com a definição de Ωeqreescreve-se a Eq. (3),
Q= −Ω−1eq∆ p . (8)
D. Raio hidráulico.
O raio hidráulico rHé uma grandeza que quantifica quanto uma forma desvia de um padrão adotado. Geralmente utiliza-se o círculo como padrão em 2D, e um cilindro em 3D. Para o caso 3D, definimos,
rH= 2V
A , (9)
onde V é o volume do objeto e A a área que encerra esse vo-lume. Para um objeto cilíndrico de raio r, a definição assegura que rH= r.
Nas seções que seguem, esse conceito é usado para trans-formar os poros esféricos em objetos cilíndricos. Ou seja, di-ante de um escoamento, um tubo esférico de raio r pode ser entendido como um tubo cilíndrico de raio 23r, e assim utili-zar a equação de Hagen-Poiseuille (Eq. (4)) para lidar com o problema.
III.
CÁLCULO DA PERMEABILIDADE ABSOLUTA
As premissas básicas do método são:
1. fisicamente, a estrutura porosa é atravessada permanen-temente por um fluido, i.e., desenvolve-se um escoa-mento estacionário;
2. o escoamento é monofásico.
3. o escoamento é laminar (fluxo de Poiseuille), o fluido é newtoniano, homogêneo e incompressível [25]; 4. a pressão p é definida apenas nos poros, nunca nas
gar-gantas;
5. são conhecidos a priori (dados de entrada): a viscosi-dade η e as informações geométricas da rede.
Para a aplicação, toma-se um volume elementar representa-tivo do meio e aplica-se pressões diferentes nas faces opostas (Fig. 2).
pent
psai
Figura 2: Esquema do volume elementar representativo. Trata-se apenas de um esquema simplificado, pois a rede
possui poros e gargantas com o mesmo raio.
A. Conservação da massa.
Considera-se um poro i qualquer dos n poros da rede. A continuidade da massa e a incompressibilidade (ver Apêndice A) do fluido asseguram que a soma do fluxo em i devido aos outros j poros conectados deve se cancelar, i.e.,
∑
jQi j= 0 , para o i-ésimo poro. (10)
Substituindo a Eq. (8), vem que
∑
j
Ω−1i j ∆ pi j= 0 . (11)
Reproduzindo a equação acima para os n poros da rede, tem-se um sistema linear:
Ω−1n×n[∆p]n×1= [0]n×1. (12)
A matrizΩ−1 revela uma informação estritamente geo-métrica [26] e já conhecida. Abaixo seus elementos são obti-dos. Além disso, as pressões nos poros da face já são conheci-das. Isso significa que a resolução do sistema retorna apenas as componentes desconhecidas do vetor pressão [∆p].
B. Resistência hidráulica equivalente.
Após transformar a imagem microtomográfica, utilizando o algoritmo das bolas máximas, obtém-se uma rede poro-ligações, que possui como célula básica o objeto mostrado na Fig. 3, cuja resistência hidráulica pode ser simplificada apli-cando a definição anterior de raio hidráulico.
De acordo com as eqs. (5), (7) e (9), e a Fig. 3, a resistência hidráulica Ωi jda célula básica é,
Ωi j= 8η π " 81 16r3i + li j ri j4 + 81 16r3j # . (13)
Essa informação nos permite resolver o sistema linear da Eq. (12), fornecendo a pressão em todos os poros da rede.
li ri rj li jg 2 3ri 23rj lj
Figura 3: Célula básica da rede constituída por “meio-poro, garganta, meio-poro”.
C. Fluxo Q entre poros.
Conhecendo-se as pressões, o fluxo Qi jentre os poros i e j é calculado a partir da Eq. (8),
Qi j= −Ω−1i j ∆ pi j. (14)
D. Lei de Darcy, uma equação macroscópica.
Quando se define a Eq. (1), considera-se o fluxo que atra-vessa uma seção reta A. Portanto, é necessário computar os fluxos que se encontram aproximadamente em uma mesma seção reta. Pode-se, por exemplo, considerar apenas as gar-gantas que estão ligadas à face de entrada ou à de saída,
Q=
∑
entrada
Qi j=
∑
saídaQi j, (15)
que substituído na própria Eq. (1), fornece
k= − η LQ
A(psai− pent)
. (16)
IV.
EXEMPLO
Nesta seção desenvolve-se os cálculos para a simples rede da Fig. 4 para testar a consistência do modelo, bem como aler-tar os obstáculos mais destacados. Admite-se, neste exemplo, as medidas sem as respectivas unidades. Considera-se ainda a viscosidade [27] η = 1;
A. Determinando a matriz com as resistências dos poros. Primeiramente, usa-se a Eq. (13). Para os poros conectados vale
Ω12= Ω21= Ω23= Ω32= 5
π. (17)
Para os poros que não estão conectados, considera-se que estão ligados por gargantas com resistência muito grande,
3 2 3 4 4 2 2 pen t = 2 saip = 1 16 8
Figura 4: Rede simples para exemplificar o método.
Ω∗∗→ ∞. Faz-se o mesmo para os elementos Ωii, implicando em Ω−1 = π 5 × 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . (18)
B. O vetor ∆pi je as condições de contorno.
Através desse vetor, introduzimos as condições de contorno macroscópicas, a saber, p1≡ pent= 2 e p3≡ psai= 1.
C. O sistema linear da Eq. (11). O sistema linear é, portanto,
Ω−111(p1− p1) + Ω−112(p2− p1) + Ω−113(p3− p1) = 0 Ω−121(p1− p2) + Ω−122(p2− p2) + Ω−123(p3− p2) = 0 Ω−131(p1− p3) + Ω−132(p2− p3) + Ω−133(p3− p3) = 0 . (19) Um cuidado adicional é importante neste ponto. O sistema acima revela uma diagonal principal nula. Isso, porém, pode ser contornado reescrevendo o sistema da seguinte forma:
∑3j=1Ω−11 j −Ω−112 −Ω−113 −Ω−121 ∑3j=1Ω−12 j −Ω −1 23 −Ω−131 −Ω−132 ∑3j=1Ω−13 j p1 p2 p3 = p1Ω−111 p2Ω−122 p3Ω−133 . (20) Como a resistência hidráulica independe da orientação em que a rede é percorrida – i.e., se é da direita para a esquerda ou o contrário –, vem que Ω−1i j = Ω−1ji ; ou seja, a matriz acima é simétrica. Em circunstâncias reais com muitos poros, a matriz se revela como esparsa e de banda [28]
Substituindo os valores obtidos acima, vem que, (0 + 1 + 0) −1 0 −1 (1 + 0 + 1) −1 0 −1 (0 + 1 + 0) 2 p2 1 = 0 0 0 . (21)
Uma análise mais rigorosa do sistema linear em questão faz-se necessário. O que observamos é que apenas as linhas relacionadas às equações cujas pressões são desconhecidas – neste caso, apenas a linha 2 – são responsáveis por representar a conectividade física dos poros. Enquanto as linhas da ma-triz relacionadas aos poros cujas pressões são sabidas – neste caso, as linhas 1 e 3 – tendem a propagar a condição de con-torno para o interior da estrutura desconsiderando a existência
dos extremos opostos, e chegam a resultados inconsistentes com as condições físicas. Para este exemplo, as linhas 1 e 3 resultam respectivamente em p2= 2 e p2= 1.
Assim sendo, somente a segunda linha é útil, a saber,
−1 2 −1 2 p2 1 =0 . (22)
que dá p2= 1.5 , que é coerente com as condições físicas do problema.
D. O fluxo Q da Eq. (14).
Para o cálculo do fluxo, há outro ponto que requer atenção. O fluxo é na verdade um vetor, por isso, Q12= −Q21. Em outras palavras, o que sai de um poro entra em outro. Mas para calcular o fluxo nas gargantas de uma seção reta, como requer a Lei de Darcy, deve-se considerar o módulo de cada fluxo Qi j, pois o que importa é a quantidade que atravessa a seção escolhida independente da direção. De acordo com a eq. (15), pode-se considerar apenas as gargantas que estão ligadas à entrada ou à saída,
Q23= − π 5(1,0 − 1,5) = π 10. (23) Resultando em Q= Q23= π 10. (24) E. A permeabilidade k da eq. (16).
Por fim, substituindo os valores conhecidos na eq. (16), o valor da permeabilidade para o meio poroso da Fig. 4 será,
k= − 1 × 16 × π 10 π × 42× (1 − 2)= 1 10. (25)
V.
RESULTADOS
Nesta seção avalia-se a aplicação da metodologia acima a três amostras de rochas areníticas, denominadas A1, A2 e A3. Seções retas das imagens microtomográficas, comumente chamadas de fatias, estão dispostas na Fig. 5. A Tab. I exibe alguns dados dos arenitos estudados [29]. MSA designa o mé-todo semianalítico deste trabalho. O mémé-todo de gás em rede de Boltzmann (LBM [30]) [31, 32] é aplicado na imagem ori-ginal, i.e., antes da aplicação do algoritmo das bolas máximas. Nota-se que ambos os métodos concordam entre si quanto à ordem de grandeza para as três amostras. Além disso, con-cordam com precisão semelhante com os respectivos valores experimentais existentes. A maior discrepância é encontrada na amostra A3. Para A1, sem valor experimental disponí-vel, LBM exibe 1.80 × 103e MSA 2.79 × 103mD. Para A2, o valor experimental 5.00 × 103 mD é melhor aproximado respectivamente por LBM, com 4.75 × 103mD, em seguida por MSA, com 5.60 × 103mD. O valor experimental de A3,
A1. A2. A3.
Resolução: 2,40 µm. Resolução: 3,40 µm. Resolução: 3,90 µm. Figura 5: Imagens de fatias das amostras areníticas.
Tabela I: Dados das amostras areníticas. A1 A2 A3 Resolução (µm) 2,40 3,40 3,90 Tamanho (voxels3) 300 300 300 Porosidadea(%) -a - 28,3 Porosidade (%) 20,4 21,6 18,2 Permeabilidade(×103mD) Experimentala - 5,00 4,00 LBM 1,80 4,75 1,78 MSA 2,79 5,60 1,28
aValor experimental cedido por
CENPES/Petrobras.
bValor indisponível.
4.00 × 103mD, é melhor alcançado respectivamente por LBM com 1.78 × 103mD, e MSA o segue com 1.28 × 103mD.
Descrevemos, de maneira não rigorosa, unicamente para fins de ilustração, os tempos de simulação para cada amos-tra: em um computador com 4 GB de RAM e um processador
Intel® Core 2 Quad 2.40GHz, LBM com uma
implementa-ção paralelizada dos códigos levou algumas horas (∼ 4 h); en-quanto que MSA demorou alguns minutos (menos de 5 min).
A. Um pouco sobre erros
Nesta seção enumeramos alguns erros quando se estuda meios porosos por análise de imagens:
1. Aquisição da imagem.
No processo de aquisição da imagem dois erros principais são considerados: o da resolução (nada abaixo da resolução pode ser captado); e o erro típico de medida do instrumento.
O fato de que a informação abaixo da resolução não pode ser capturada, evidencia que uma imagem não é o objeto real. Além disso, algumas operações nas imagens podem colapsar parte das informações, como a binarização manual [33], por exemplo. A diferença entre a porosidade dada pelo experi-mento e aquela obtida das imagens pode servir como medida
da representatividade dessa imagem. Por exemplo, a imagem de A3 percebe menos porosidade, 18.2%, que a técnica expe-rimental pode fazer, 28.3%, a partir do objeto real.
2. Binarização da imagem.
A técnica de microtomografia de raios-X capta uma ima-gem com 256 níveis de cinza. Durante a binarização [34] escolhe-se [35] um desses níveis como um limiar [36] para fazer a segmentação: o que está abaixo do limiar torna-se 0, e o que está acima assume o valor 1. Nesse processo parte da realidade física do que é poro ou sólido é corrompida.
3. Rede poro-ligações.
Toda interpretação da fase porosa é arbitrária, e nenhum modelo pode representar perfeitamente o objeto real. Por isso durante a aplicação de algum algoritmo, depara-se com confi-gurações espaciais intratáveis, e alguma aproximação é assu-mida.
Assim sendo, uma previsão que concorde com a ordem de grandeza da propriedade desejada é admitida como satisfató-ria. Apesar dos erros descritos, a análise e o processamento de imagens é uma ferramenta útil. Apenas por ela a comple-xidade da configuração espacial do interior de uma rocha é conhecida.
Além disso, os principais métodos de cálculo da permea-bilidade absoluta a partir de dados experimentais, como as curvas de saturação, assumem modelos simplificados, como o modelo de tubos capilares, e não fornecem resultados com melhor acurácia [37, 38].
B. O fator de forma
Diante de escoamentos multifásicos [38], testemunha-se a existência de uma fase molhante e outra fase não-molhante (para o caso bifásico). Sob essas circunstâncias, a superfície irregular da fase sólida retém parte do fluido molhante. Isso significa que tal fluido terá mais “afinidade” com o sólido, e diz-se que ele molha o sólido. O outro fluido terá menos afinidade e não molhará o sólido (Fig. 6). Isso implica que o fluido não-molhante não escoará sobre a fase sólida, mas sim sobre o outro fluido. Essa interação entre fluidos aumentará a resistência hidráulica do canal com relação a passagem do fluido não-molhante.
Para quantificar esse aumento da resistência ou diminuição da condutância γm, define-se o fator de forma G:
γm= Gγ , (26)
que para o caso 3D vale [8, 13, 14, 39]
G=4πV L
não-molhante seção reta quadrada
molhante
Figura 6: A existência de fases molhantes e não-molhantes em escoamentos multifásicos motiva a definição do fator de
forma G [39].
G é um parâmetro adimensional de construção geométrica, entretanto sua motivação é fenomenológica. Apesar disso, al-guns trabalhos [13, 14] o empregam em escoamentos monofá-sicos com propósitos puramente geométricos, o que discorda de sua raiz [39, citado por [8]]. Esse equívoco conceitual pode ser facilmente subestimado devido aos erros admissíveis nesse tipo de inferência. Além disso, pode ser mascarado pe-los desvios provocados por parâmetros do algoritmo de pro-cessamento de imagens que transforma a imagem microtomo-gráfica na rede poro-ligações.
VI.
CONCLUSÕES
Neste trabalho, foi proposto um método semianalítico para determinar a permeabilidade absoluta de rochas a partir de suas imagens microtomográficas.
Utilizando o algoritmo das bolas máximas, transforma-se a fase porosa irregular em uma rede de poros esféricos e gar-gantas cilíndricas. Essa rede modificada conduz a expressões analíticas para algumas grandezas ligadas a escoamentos mo-nofásicos, tal que o cálculo da permeabilidade absoluta reduz-se a solução de um sistema linear, dispensando a realização de um escoamento ordinário na estrutura porosa.
A metodologia é aplicada a três amostras de rochas areníti-cas. O método foi capaz de predizer a ordem de grandeza para as duas amostras que possuem valores experimentais disponí-veis. Para a amostra que não apresenta valor experimental de permeabilidade, o método desenvolvido concorda com a pre-visão de outros métodos.
Para finalizar, considera-se duas perspectivas principais de trabalho: a) expandir a confrontação com dados experimen-tais [40, 41]; b) acoplar a equação de Young-Laplace [23] e estender o método para tentar descrever curvas de pressão ca-pilar.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a CAPES, CNPq, FEESC, Petrobras e PGMAT/UFSC.
Apêndice A: A conservação da massa
A consideração 3 da Sec. III estabelece que a densidade ρ é constante. Ou seja, ∂ ρ ∂ t + ∇· (ρv) = 0 + ρ∇· v = 0 . (A1) Então, ∇· v =dvx dx + dvy dy + dvz dz = 0. (A2)
Multiplicando e dividindo cada parcela da equação precedente pela respectiva área transversal,
dydz dydz dvx dx + dxdz dxdz dvy dy + dxdy dxdy dvz dz = 0 . (A3)
O denominador da equação acima é comum a todas as parce-las. Logo,
dydz dvx+ dxdz dvy+ dxdy dvz= 0 . (A4) onde cada parcela é o elemento de fluxo dQinas respectivas direções, i.e.,
dQx+ dQy+ dQz= 0 , (A5)
que em termos discretos é reescrito
∆Q = 0 . (A6)
Isso significa que em um determinado ponto (x, y, z) do es-paço, o fluxo Q se conserva.
Conhecendo as coordenadas de cada poro, a equação acima pode ser reescrita em termos dos poros da rede em vez das coordenadas espaciais. Seja o poro i conectado com j poros vizinhos. A variação do fluxo em i devido aos j vizinhos é
∑
jQi j= 0 , (A7)
[1] I. Fatt, Petroleum Transactions, American Institute of Mining Engineering 207, 144 (1956).
[2] I. Chatzis and F. Dullien, Journal of Canadian Petroleum Tech-nology 16, 97 (1977).
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[14] H. Dong and M. J. Blunt, Phys. Rev. E 80, 036307 (2009). [15] Para ser mais preciso, uma imagem microtomográfica requer
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[25] O fato de o fluido ser incompressível significa que a densidade é uma constante e não varia com a pressão. Para mais detalhes, ver Apêndice A.
[26] A matriz
Ω−1 carrega a viscosidade η, a qual será cancelada
nos passos posteriores. Basta substituir, para tanto, a Eq. (13)
na Eq. (14), e esta última na Eq. (16).
[27] O valor da viscosidade η se cancelará no decorrer dos cálculos: substituindo a Eq. (13) na Eq. (14), e esta última na Eq. (16). [28] Em uma matriz de banda (em inglês banded matrix) apenas os
elementos da diagonal principal e seus vizinhos próximos assu-mem valores diferentes de zero, por exemplo,
a11 ∗ . . . . a22 ∗ . . . ∗ a33 ∗ . . ∗ ∗ a44 . . . . ∗ a55 , (A8)
onde “∗” simboliza valores diferentes de zero e “ . ” os zeros. Van Marcke [17] comenta que os poros da rede são numerados para minimizar a largura de banda da matriz, economizando memória em seu armazenamento.
[29] Como as resoluções das imagens aqui estudadas são de três dí-gitos, as previsões também o são. Os valores experimentais pro-vêm de colaboradores e, portanto, respeitam suas particularida-des.
[30] LBM do inglês Lattice Boltzmann Method.
[31] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation: For Fluid Dynamics and Beyond, Numerical Mathematics and Scientific Computa-tion (Clarendon Press, 2001) ISBN 9780198503989.
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[34] Binarização é processo no qual os 256 níveis de cinza são redu-zidos a apenas 2, 0 e 1.
[35] Dá-se o nome de binarização manual à escolha do limiar feita por um operador humano. Quando o limiar resulta de critérios numéricos, chama-se binarização automática ou assistida. [36] Em inglês, threshold.
[37] F. Dullien, Porous Media: Fluid Transport and Pore Structure (Academic Press, 1979) ISBN 9780122236501.
[38] D. Tiab and E. Donaldson, Petrophysics: Theory and Practice of Measuring Reservoir Rock and Fluid Transport Properties (Gulf Professional Pub., 2012) ISBN 9780123838483. [39] G. Mason and N. R. Morrow, Journal of Colloid and Interface
Science 141, 262 (1991).
[40] A. R. Cunha, Caracterização de sistemas porosos de rochas reservatório de petróleo a partir da extração de redes poro-ligações, Master’s thesis, Universidade Federal de Santa Cata-rina (2012).
[41] D. P. Kronbauer, A. R. Cunha, and C. P. Fernandes, Anais do 20º CBECiMat(2012).
