O deslocamento de Goos-Hänchen e os fenômenos da quebra de simetria para feixes gaussianos

MANOEL PEDRO DE ARAÚJO

O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA

DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS

CAMPINAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

MANOEL PEDRO DE ARAÚJO

O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA

DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS

Tese de doutorado apresentada ao Instituto de Física da Universidade Estadual de Campinas como parte dos re-quisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Stefano De Leo

Co-orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO MANOEL PEDRO DE ARAÚJO, E ORIENTADA PELO PROF. DR. STEFANO DE LEO.

Assinatura do Orientador

CAMPINAS

Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin

Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398

Araújo, Manoel Pedro de,

Ar15d AraO deslocamento de Goos-Hänchen e os fenômenos da quebra de simetria para feixes gaussianos / Manoel Pedro de Araújo. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

AraOrientador: Stefano De Leo.

AraCoorientador: Luis Eduardo Evangelista de Araujo.

AraTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Ara1. Goos-Hänchen, Deslocamento. 2. Simetria quebrada (Física). 3. Feixes gaussianos. I. De Leo, Stefano,1966-. II. Araujo, Luis Eduardo Evangelista de,1971-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The Goos-Hänchen shift and the phenomena of symmetry breaking for gaussian beams

Palavras-chave em inglês: Goos-Hänchen shift Symmetry breaking (Physics) Gaussian beams

Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Física Banca examinadora: Stefano De Leo [Orientador] Alex Eduardo de Bernardini Antonio Zelaquett Khoury Gustavo Silva Wiederhecker Newton Cesário Frateschi Data de defesa: 08-06-2015

Programa de Pós-Graduação: Física

Resumo

Esta tese apresenta uma análise sobre o deslocamento de Goos-Hänchen, o desvio angular da lei de Snell e o efeito de interferência entre feixes ópticos gaussianos.

Em nosso estudo o deslocamento de Goos-Hänchen foi obtido por meio do método da fase estacionária. No regime de incidência crítica, tal deslocamento apresenta uma forte dependência com a largura do feixe, em contraste com as expressões clássicas de Artmann, que predizem um deslocamento infinito. Também na incidência crítica, obser-vamos que, dependendo da magnitude da largura da cintura do feixe, ocorre uma quebra de simetria na distribuição de momento. A maximização da quebra de simetria leva ao desvio angular da lei de Snell. Mostramos como reproduzir a máxima quebra de simetria por uma estrutura dielétrica. Como resultado, obtivemos uma nova fórmula analítica para o desvio angular. Ademais, foi possível estimar o deslocamento de Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência entre feixes. Nesta análise, observamos que, na incidên-cia crítica, a estimativa usada na literatura para o deslocamento de Goos-Hänchen não é válida. Portanto, uma nova fórmula foi introduzida para estimar tal deslocamento.

Abstract

This thesis presents some of the main phenomena associated with Goos-Hanchen shift, the angular deviation of the Snell’s law and the interference effect among Gaussian optical beams.

In our study the Goos-Hänchen shift was obtained by using the stationary phase method. In the case of incidence at critical angle, such displacement shows a strong de-pendence on the beam width in contrast with the classical expressions of Artmann, which predict an infinite displacement. Also in the critical incidence we observed that, depen-ding on the magnitude of the beam waist, there is a symmetry breaking in the momentum distribution. The maximization of symmetry breaking leads to the angular deviations of the Snell’s law. In this analysis we showed how to maximize this breaking of the sym-metry by a dielectric structure. As a result, we obtained an analytical formula to the Snell’s law angular deviation. Furthermore, we could estimate the displacement of Goos-Hänchen through the interference effect among beams. The results of this analysis reveal that, for the critical incidence, the estimative used in the literature for the Goss-Hänchen shift is not valid. Therefore, a new formula was introduced to estimate such displacement.

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Contribuições originais . . . 3

1.2 Estrutura da tese . . . 3

2 Teorias fundamentais 6 2.1 As leis de reflexão e refração . . . 6

2.2 O deslocamento de Goos-Hänchen . . . 8

3 Transmissão em blocos dielétricos 13 3.1 Laser de perfil gaussiano . . . 13

3.2 Estrutura dielétrica . . . 15

4 Fase óptica 24 4.1 Fase de Snell e a Lei de Snell . . . 24

4.2 Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen . . . 26

4.2.1 Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θ_cri). . . 29

4.2.2 Incidência no ângulo crítico (θ = θ_cri) . . . 29

4.2.3 Análise numérica . . . 31

5 O fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana 35 5.1 Modelando a quebra de simetria . . . 35

5.2 Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos . . . 39

5.3 A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos . . . 42

6 Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência 48 6.1 Interferência entre feixes de diferentes polarizações. . . 48

6.2 Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen . . . 50

6.3 Efeito de interferência em experimentos ópticos . . . 53

6.4 O comportamento do máximo principal . . . 57

7 Conclusões 65 7.1 Resultados obtidos . . . 65

7.2 Perspectivas de trabalho futuro . . . 68

Construí amigos, enfrentei derrotas, venci obstácu-los, bati na porta da vida e disse-lhe: Não tenho medo de vivê-la.

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada.

À minha família, que forneceram as ferramentas necessárias para que eu estudasse e sempre me incentivaram a valorizar o conhecimento.

Ao professor doutor Stefano De Leo, orientador desta tese, por todo empenho, sabedoria, compre-ensão e paciência na orientação. Também, gostaria de ratificar suas discussões, revisões e sugestões que tornaram possível a conclusão deste trabalho.

Ao professor doutor Luís Araújo pelo aceite de coorientação desta tese.

Agradeço aos professores doutores Newton Cesario Frateschi e Marcos Cesar de Oliveira, que participaram como membros da banca de qualificação de pré-requisito deste trabalho, em face de suas sugestões e discussões.

Também gostaria de agradecer aos professores doutores Alex Eduardo de Bernardini, Antonio Zelaquett Khoury, Gustavo Silva Wiederhecker e Newton Cesário Frateschi por suas sugestões e dis-cussões.

Aos alunos que fazem parte de nosso grupo pesquisa, por tantos anos de convivência e amizade, em especial queles que estiveram envolvidos mais diretamente no desenvolvimento desta tese.

Por fim, ressalto a Capes, pelo apoio governamental que manteve o financiamento desta pesquisa. Também, um particular agradecimento à UNICAMP, onde pude obter a condição necessária e sufici-ente para o sucesso de minha vida profissional.

Lista de Figuras

1.1 Propagação da luz no regime de reflexão total (b). O deslocamento lateral D representa o deslocamento de Goos-Hänchen. . . 1

2.1 Propagação da luz no regime de reflexão parcial, através de dois meios dielétricos de índices de refração n₁ e n₂. Nesta figura ϕ_in, ϕ_ref e ϕtra representam os ângulos

de incidência, reflexão e transmissão, respectivamente. A lei de reflexão garante que ϕ_in = ϕ_ref. . . 6

2.2 Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) d_GH representa o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1]. . . 10

2.3 Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência. Tal deslocamento apresenta um comportamento infinito para a incidência no ângulo crítico, ϕ_cri = arcsin(1/n). . . 11

2.4 Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo ori-ginal Annalen der Physik 1947 [1] . . . 12

3.1 Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco die-létrico, dos sistemas de coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S. O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo de reflexão interna total. Na incidência crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (d_GH) com relação ao caminho óptico previsto pela lei de Snell (y_Snell). (c) A amplificação do deslocamento de GH é dada por meio de múltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por N blocos em série.. . . 17

4.1 A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de mo-mento para diferentes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a dis-tribuição com coeficiente de reflexão real, kz_∗ > 0. A linha contínua representa a a

distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz_∗ < 0. . . 28

4.2 O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência para o índice de refração fixo n =√2 e para três diferentes valores do parâmetro kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen, d_GH,cri[s, p] (ponto) e d[s, p]_GH (linha contínua para kw0= 500).. . . 32

4.3 O deslocamento de Hänchen. Evolução numérica do deslocamento de Goos-Hänchen em função do índice de refração para o ângulo de incidência, θ = 0 e três valores diferentes de kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen, d_GH,cri[s, p] (ponto) e d_GH[s, p] (linha contínua para kw0= 500). . . 33

5.1 O modelo da quebra de simetria. A quebra de simetria da distribuição gaussiana de momentos gera uma dependência axial para o pico do feixe óptico (b). Esta dependên-cia é mostrada em (c). Para o valor médio transversal é possível obter uma expressão analítica axial linear, como na Eq. (5.7), que é confirmada em (d). . . 37

5.2 Representação geométrica. A quebra de simetria gera um desvio angular α da lei de Snell como está representado em (a) junto com o deslocamento de Goos-Hänchen. A quebra de simetria é maximizada por uma contribuição de N blocos (b) que em um experimento óptico pode ser realizado por um prisma longo de lados N BC e AB. . . 39

5.3 A quebra de simetria para N blocos dielétricos. Os gráficos mostram que, para maximizar a quebra de simetria, temos que diminuir a cintura do feixe, aumentar o número de blocos e usar ondas polarizadas p. Para tais ondas, uma escolha apropriada para obter a quebra máxima de simetria é representada por N = 50 e kw0= 103. . . . 40

5.4 O desvio angular da lei de Snell. Evolução da dependência axial do pico e o va-lor médio transversal na incidência crítica para a cintura do feixe w0 fixa para dife-rentes números de blocos N. O desvio angular é evidente em (b) e (d). Notamos que os pontos físicos nos quais podem ser feita a análise experimental são dados por z_out = z_in+ N tan ϕcAB (pontos × nos gráficos). Os pontos • representam os pontos da

análise numérica para os blocos de borossilicato e sílica fundida (Tab. 5.1). . . 43

5.5 O fenômeno de múltiplos picos. Para kw0 = 103, o feixe óptico transmitido apre-senta o fenômeno de múltiplos picos. Tal fenômeno é diretamente relacionado ao alargamento do feixe óptico e é pelo fato de que na distribuição de momento as com-ponentes de momento negativas são superadas pelas comcom-ponentes positivas. . . 45

5.6 O efeito focal. Para kw0 = 104, o fenômeno de múltiplos picos não é muito evidente. Porém, um novo fenômeno aparece. Pelo fato da contribuição de segunda ordem da fase de óptica, no feixe transmitido podemos observar o efeito de focalização como mostra em (f). . . 46

6.1 Configuração experimental. Montagem experimental para observar a distância entre o pico principal do feixe para duas rotações opostas, ±∆ε, do segundo polarizador. O feixe incidente antes do primeiro polarizador (α = π/4) possui uma mistura igual de ondas polarizadas s e p, passa pelo bloco dielétrico (z_in < z < z_out) e passa pelo do analisador em z = z_A perdendo a fase ∆φ_GH. A interferência óptica é realizada por meio da mudança do ângulo de rotação do segundo polarizador (β = 3π/4 ± |∆ε|). Para ∆ε = 0 o feixe se propaga com dois máximos iguais centrados em ±w(z)/√2. . 51

6.2 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de borossilicato. Os dados numéricos para o deslocamento ∆d_GH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de borossilicato, são ilustrados no intervalo 10 cm ≤ z≤ 15 cm, para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200 µm (a), 300 µm (b), e 500 µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional. 53

6.3 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de sílica fundida. Os dados numéricos para o deslocamento ∆d_GH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de sílica fundida são ilustrados no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0= 200 µm (a), 300 µm (b) e 500 µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na in-cidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.

. . . 54

6.4 dependência angular de τ e ∆Φ_GH. A dependência angular de τ (taxa entre os mó-dulos das amplitudes para a luz polarizada s e p) e ∆φ_GH (diferença de fase entre as ondas polarizadas s e p) são ilustradas em (a) para blocos dielétricos de borossilicato e (c) sílica fundida. Na região crítica, τ é aproximada igual a um. Isso foi usado para simplificar a expressão para feixe transmitido, como mostra a Eq. (6.12). . . 60

6.5 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato. As curvas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico borossilicato e passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0= 200 µm (a), 300 µm (b) e 500 µm (c). Para reduzir a dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . 61

6.6 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de sílica fundida. As cur-vas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico de sílica fundida e passando através do segundo polarizador para duas rota-ções opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0= 200 µm (a), 300 µm (b) e 500 µm (c). Para reduzir a dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . 62

6.7 As curvas do deslocamento de GH para blocos borossilicato e sílica fundida. Os dados numéricos para o deslocamento ∆d_GH para os feixes gaussianos transmitidos através de blocos dielétricos de borossilicato(a) e de sílica fundida(b) são ilustrados no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm para a largura da cintura do feixe w0= 1.0 mm. A mu-dança de comportamento do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica é evidente. Por outro lado, a dependência axial foi reduzida. . . 63

6.8 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato e sílica fundida. As curvas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de blocos dielétricos de borossilicato (a) e de sílica fundida(b) e passando atra-vés do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm, para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0 mm. Observamos que a dependência axial foi reduzida para tal cintura de feixe. Note que a curva de ampli-ficação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . 64

7.1 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-mento para um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico, k w0σ(n, θ) = −5. A linha contínua representa a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz_∗ < 0. 65

7.2 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-mento para a incidência no ângulo crítico, k w0σ(n, θ) = 0. A linha pontilhada re-presenta a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua

representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz_∗ < 0. . . 66

7.3 Quebra de simetria para N blocos dielétricos. Para ondas polarizadas p, os gráficos mostram que para maximizar a quebra de simetria, temos que aumentar o número de blocos. . . 67

7.4 Curvas do efeito de interferência para blocos de borossilicato. As curvas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico e passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10 cm ≤ z ≤ 15 cm para largura da cintura do feixe 300 µm. . . 68

Lista de Tabelas

5.1 A desviação da lei de Snell para blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida. A posição numérica do pico y_max,T e valor médio transversal hyi_T do feixe transmitido na incidência crítica são listados para ondas polarizadas s e p para índices de refração diferentes em função do número de blocos N e para a taxa fixa da largura da cintura do feixe/comprimento de onda kw0 e da distância axial z. Notamos que com o aumento do número de blocos ocorre o aumento do desvio da lei de Snell. . . 44

Cap´ıtulo

1

Introdução

O efeito de Goos-Hänchen é um fenômeno óptico em que a luz linearmente polarizada sofre um deslocamento lateral (deslocamento paralelo ao plano de incidência), quando é totalmente refletida (veja Fig.1.1).

b

D

b bc

Figura 1.1: Propagação da luz no re-gime de reflexão total (b). O mento lateral D representa o desloca-mento de Goos-Hänchen.

Na reflexão total da luz, uma onda evanescente aparece no meio de menor índice refrativo. Estas ondas evanescentes e o efeito de interferência entre as ondas incidente e refletida no meio de maior ín-dice refrativo são responsáveis pelo deslocamento lateral da luz refle-tida. Este fenômeno foi observado experimentalmente pela primeira vez em 1947 pelos físicos Goos e Hänchen e explicado teoricamente por Kurt Artmann em 1948 pelo uso do método da fase estacioná-ria [2].

Além do deslocamento de Goos-Hänchen, foi descoberto em 1955 por Fedorov [3] outro efeito semelhante a este. Fedorov [3], observou que quando um feixe circularmente ou elipticamente pola-rizado é totalmente refletido, este sofre um deslocamento transverso (deslocamento perpendicular ao plano de incidência). Imbert [4]

cal-culou este deslocamento pelo uso do método do fluxo de energia desenvolvido por Renard [5] para o deslocamento de Goos-Hänchen. Este fenômeno ficou conhecido por efeito de Imbert-Fedorov.

2

acorrer tanto para onda de luz quanto para ondas de partículas da mecânica quântica. Em Mecânica quântica não relativística, o deslocamento de Goos-Hänchen está associado com “delay time” [6]. Neste contexto, destacamos o trabalho de Renard [5], no qual ele obteve expressões para o desloca-mento lateral para onda de luz da óptica clássica e para ondas associadas com partículas da mecânica quântica. Por outro lado, o efeito Imbert-Fedorov está relacionado ao efeito Hall do spin da luz [7,8] devido à separação ortogonal em relação ao plano de incidência de duas componentes do spin do feixe refletido ou transmitido.

Estudos teóricos e experimentais têm sido realizados sobre o deslocamento de Goos-Hänchen. A começar por Artmann, que foi o primeiro a obter expressões analíticas, estas expressões apresentam um comportamento infinito na incidência crítica. Muitas tentativas foram realizadas para resolver o problema do infinito [5,9], Horowitz e Tamir [10] obtiveram uma expressão para o deslocamento pelo uso da aproximação de fresnel. A expressão obtida apresenta validade para ângulos de incidência próximos do ângulo crítico. Além disso, temos também as dificuldades experimentais para medir tal deslocamento. O processo de media do deslocamento de Goos-Hänchen é em geral uma tarefa difícil por ser um deslocamento da ordem do comprimento de onda da luz. Muitas técnicas foram utilizadas para a medida desse deslocamento, detre elas destacamos a técnica de múltiplas reflexões [1] e a técnica de interferência entre feixes que, pode ser entendia como a medida fraca óptica. Esta técnica é um análogo óptico da medida faca quântica, conceito introduzido por [11]. A técnica de interferência permite amplificar o efeito de Goos-Hänchen, permitindo resultados validos somente no regime de reflexão interna total.

Ao longo dos anos, o deslocamento de Goos-Hänchen tem sido objeto de consideráveis estudos, não somente da sua importância sobre as propriedades fundamentais da luz, mas também por sua aplicação em muitas áreas da física, tais como acústica [12], física de plasmas [13] e mecânica quântica [14].

Nesta tese analisaremos o efeito de Goos-Hänchen para feixes gaussianos transmitidos através de blocos dielétricos estratificados e homogêneos. Em tal análise usaremos uma técnica de cálculo usada em problemas em mecânica quântica, com base nos artigos feitos por Rotelli e De Leo [15–17]. A descrição do feixe baseia-se no formalismo de pacotes de onda, considerando uma distribuição gaussiana de momentos.

1.1. Contribuições originais 3

1.1

Contribuições originais

Apesar de grande parte deste trabalho incidir sobre temas já abordados, apresentamos algumas novas contribuições precedentes as seguintes:

• Mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e do comprimento de onda para o deslocamento de Goos-Hänchen [18];

Nesta etapa, solucionamos o problema da infinidade na incidência crítica para o deslocamento de Goos-Hänchen. Em tal incidência, obtemos o deslocamento de Goos-Hänchen amplificado por um fatorpw0/λ, em que w0 representa a largura da cintura do feixe e λ o comprimento de onda.

• Efeito de Goos-Hänchen assimétrico [19];

Nesta análise, observamos que a quebra de simetria na distribuição de momento na incidência crítica causa um efeito dinâmico ao deslocamento de Goos-Hänchen.

• Quebra máxima de simetria no ângulo crítico e expressão fechada para desvios angulares da lei de Snell [20];

A amplificação da quebra de simetria na distribuição de momento na incidência crítica leva a um desvio angular máximo da lei de Snell. Em consequência, foi possível obter uma fórmula analítica para o desvio angular.

• Dependência axial na interferência entre feixes na região crítica [21].

Na incidência crítica, a estimativa para o deslocamento de Goos-Hänchen via interferência entre feixes ópticos não é válida. Conseguimos aperfeiçoar esta técnica para a incidência crítica e uma nova fórmulafoi introduzida para estimar tal deslocamento.

1.2

Estrutura da tese

A presente tese encontra-se estruturada em sete capítulos, correspondendo o Capítulo 1 à sua introdução. Os restantes capítulos encontram-se organizados da seguinte forma: Capítulo 2-Teorias fundamentais, Capítulo 3-Transmissão em blocos dielétricos, Capítulo 4-Fase óptica, Capítulo 5-O fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana, Capítulo 6-Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência e, por fim, o Capítulo 7- Conclusões e perspectivas

4 1.2. Estrutura da tese

de trabalho futuro. • Capítulo 2

Neste capítulo introduzimos as leis de reflexão e refração da luz e a teoria de Artmann para o deslocamento de Goos-Hänchen. O capítulo 2 encontra-se organizado em duas seções. Na seção 2.1 fazemos uma pequena introdução histórica sobre as leis de refração e reflexão. Na seção 2.2 apresentamos a teoria de Artmann com base no formalismo de pacote de onda para o deslocamento de Goos-Hänchen.

• Capítulo 3

Neste capítulo introduzimos a geometria do sistema dielétrico, e abordamos a propagação do feixe gaussiano através desse sistema. O capítulo 3 encontra-se organizado em duas seções. Na seção 3.1 introduzimos o laser de perfil gaussiano, de modo a realizar uma pequena introdução de suas propriedades matemáticas e físicas. Na seção 3.2 apresentamos o sistema dielétrico e a evolução do feixe gaussiano através deste meio. A evolução do feixe baseia-se na analogia com o potencial da mecânica quântica.

• Capítulo 4

Neste capítulo analisamos para feixe transmitido às fases de Snell e adicional. Este capítulo está organizado em duas seções. A seção 4.1 tem como objetivo a obtenção do caminho óptico para um feixe obtido por meio do método da fase estacionária que representa uma alternativa aos métodos da óptica geométrica. Na seção 4.2 abordamos a condição para a existência da fase adicional que é responsável pelo deslocamento de Goos-Hänchen, sendo esta seção dividida em três subseções. Na subseção 4.2.1 analisamos o deslocamento de Goos-Hänchen para ângulos de incidência maior que o ângulo crítico. Na subseção 4.2.2 abordamos o problema da infinidade no ângulo crítico. Por fim, na seção 4.2.3 apresentamos uma análise numérica para o deslocamento de Goos-Hänchen.

• Capítulo 5

Neste capítulo efetuamos o estudo do fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana. A amplificação deste efeito leva ao desvio angular da lei de Snell. O capítulo 5 encontra-se estruturado em três seções. Na primeira seção, 5.1, apresentamos de forma sucinta a quebra máxima de simetria para um feixe modelado assimetricamente. Na seção, 5.2 fazemos somente uma proposta para ob-servar a quebra de simetria em experimentos reais ópticos e obob-servar em quais circunstâncias isso é

1.2. Estrutura da tese 5

possível reproduzir o desvio máximo angular. Por fim, na seção, 5.3 analisamos em quais condições será possível maximizar a quebra de simetria e obter uma fórmula analítica para o desvio angular da lei de Snell.

• Capítulo 6

Neste capítulo apresentamos a estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen por meio da medida fraca óptica. O capítulo 6 está organizado em três seções. Na seção 6.1 efetuamos a análise do efeito de interferência entre feixes de diferentes polarizações, analisando a distância entre os picos do feixe transmitido. Na seção 6.2 analisaremos a dependência axial no deslocamento de Goos-Hänchen. Na seção 6.3 estudamos o comportamento dos picos dos feixes. Na seção 6.4 analisamos em que condi-ções é possível evitar deformacondi-ções axiais e reproduzir as curvas do deslocamento de Goos-Hänchen.

Para finalizar, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões obtidas ao longo da tese, tendo especial atenção os resultados de maior importância, assim como as perspectivas de trabalho futuro.

Cap´ıtulo

2

Teorias fundamentais

Esta seção contém uma breve introdução histórica sobre as leis, de reflexão, de refração e o efeito de Goos-Hänchen. O efeito de Goos-Hänchen será analisado com base na teria de Artmann pelo uso do formalismo de pacote de onda do tipo gaussiano.

2.1

As leis de reflexão e refração

ϕ_in ϕ_ref ϕtra b n₁ n₂ I R T b bc

Figura 2.1: Propagação da luz no regime de reflexão parcial, através de dois meios dielétri-cos de índices de refração n₁ e n₂. Nesta fi-gura ϕ_in, ϕ_ref e ϕtra representam os ângulos de incidência, reflexão e transmissão, respectiva-mente. A lei de reflexão garante que ϕ = ϕ .

A lei da reflexão (o ângulo de incidência é igual ao ân-gulo de reflexão, ϕ_in = ϕref, veja Fig.2.1) foi objeto de estudo por parte do matemático grego Euclides de Alexandria já em (300 a.C.). No tratado, denominado Catóptrica, ele descre-veu o comportamento de raios luminosos refletidos por espe-lhos planos e esféricos [22–24].

Em 1621, o holandês Willebrord van Royen Snell des-cobriu experimentalmente a lei de refração, um dos grandes pilares da óptica geométrica. Por meio desta lei, podemos conhecer a deflexão de um raio luminoso quando este atra-vessa uma interface entre dois meios de diferentes índices de refração [24].

2.1. As leis de reflexão e refração 7

da lei de refração em termos da razão dos senos (sin ϕ_in/ sin ϕtra = constante). Ele deduziu esta lei usando o modelo em que a luz era uma pressão transmitida por um meio elástico [25].

A razão dos senos representa a segunda lei de refração, que é conhecida também como lei de Snell, lei de Descartes ou lei de Snell-Descartes.

Atualmente, a lei refração da luz é representada da seguinte maneira: • A primeira lei da refração

O raio de luz incidente (I), o raio refratado (T) e a normal (linha pontilhada) à inter-face que separa os dois meios, estão contidos no mesmo plano, denominado plano de incidência da luz.

• A segunda lei da refração

A razão entre o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo refratado é uma cons-tante.

Matematicamente, pode ser expressa pela equação

sin ϕ_in

sin ϕ_tra = n2 1 (2.1)

ou

n₁sin ϕ_in = n₂sin ϕ_tra . (2.2)

Nestas equações, n₁ e n₂representam os índices de refração referentes ao meios 1 e 2, e n_{2 1}o índice de refração do meio 2 relativo ao meio 1. ϕ_in é denominado ângulo de incidência entre o feixe incidente (I) e a normal (representada pela linha pontilhada), e ϕtra o ângulo de refração entre o feixe refratado (T) e a normal. Inicialmente, a segunda lei foi apresentada na forma da Eq. (2.1). No entanto, ela é mais fácil de ser deduzida na forma da Eq. (2.2). Para detalhes da dedução da primeira e segunda lei de refração veja a referência [23].

8 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen

2.2

O deslocamento de Goos-Hänchen

Observando-se a Eq. (2.2) é interessante ressaltar que, quando o feixe de luz se propaga a partir de um meio dielétrico mais denso (n₁) para outro menos denso (n₂) e o ângulo de incidência for maior que o ângulo crítico de reflexão total, ϕ_in > ϕcri = arcsin( n2/n1), o feixe refletido na interface do segundo meio sofre reflexão total. A luz linearmente polarizada com campo elétrico perpendicular ao plano de propagação (polarização s) sofre um deslocamento lateral quando refletida totalmente. A existência desse efeito foi observado por Newton, com base no seu trabalho “Opticks”, publicado em 1718 [26]. Na presença de reflexão total, Hermann Fritz Gustav Goos e Hilda Lindberg-Hänchen observaram experimentalmente um deslocamento lateral do feixe refletido, como também obtiveram fenomenologicamente as expressões para tal deslocamento. Em reconhecimento a seus descobridores, este fenômeno ficou conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen.

Posteriormente, Hilda recebeu seu título de doutora em 1943 na Universidade de Hamburg sob a supervisão de Fritz Goos, com dissertação intitulada:

“Penetração da luz totalmente refletida em um meio raro”. Seu trabalho resultou em um artigo intitulado:

“Novo e fundamental experimento sobre reflexão total”,

publicado na revista alemã Annalen der Physik em 1947 [1] .

Em 1948, Von Kurt Artmann propôs a primeira derivação teórica para este fenômeno [2] com base no método. A partir das equações de Fresnel, Artmann observou no regime de reflexão total uma diferença de fase entre os feixes incidente e refletido. Por meio desta análise, apresentou duas expressões diferentes para este fenômeno: uma para onda polarizada s e outra para onda polarizada p (campo magnético perpendicular ao plano de propagação). Em 1949, Goos e Hänchen fizeram novos experimentos e confirmaram, que o deslocamento lateral depende da polarização da luz [27].

Nesta seção, vamos ilustrar a ideia de Artmann usando o formalismo que será usado nesta tese, consideramos uma distribuição gaussiana angular centrada em ϕ0,

g(ϕ − ϕ0) = kw0 2√π exp h − ( k w0) 2 (ϕ − ϕ0) 2 / 4i . (2.3)

2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 9

na qual k = 2π/λ representa o número de onda associado ao comprimento de onda λ e w0a largura da

cintura do feixe. O campo elétrico incidente para onda polarizada s é obtido fazendo-se a convolução da onda plana,

exp [ i (n k sin ϕ y + n k cos ϕ z)]

com a distribuição gaussiana, Eq. (2.3), da seguinte forma,

E[s]

in(y, z) = E0

Z

dϕ g(ϕ − ϕ0) exp [ i (n k sin ϕ y + n k cos ϕ z)] . (2.4)

O feixe incidente se propaga de um dielétrico, com índice de refração n, para o ar, como mostra na Fig.2.2-a, o campo incidente ao encontrar o ar produz um campo refletido e um transmitido, cujas equações são respectivamente dadas por

E[s]

ref(y, z) = E0

Z

dϕ g(ϕ − ϕ0) R

[s]

exp [ i (n k sin ϕ y − n k cos ϕ z)] E_tra[s](y, z) = E0

Z

dϕ g(ϕ − ϕ0) T

[s]

exp [ i ( k sineϕy + k cos eϕz)] .

(2.5) Os coeficientes R[s]= ncos ϕ − q 1 − n2sin2ϕ ncos ϕ + q 1 − n2sin2ϕ e T[s] = 2 n cos ϕ ncos ϕ + q 1 − n2sin2ϕ (2.6)

representam as amplitudes de Fresnel para ondas polarizadas de tipo s [22].

Utilizando-se o método da fase estacionária [28,29], podemos determinar o caminho óptico para o centro dos feixes incidente, refletido e transmitido. A ideia principal desse método apoia-se no cancelamento das oscilações senoidais devido à variação rápida da fase. A contribuição dominante para integral ocorre quando a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula.

10 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen

ϕ

ϕ

ϕ

I

R

T

n

Ar

n

sin ϕ

<

1

n

sin ϕ

= sin

ϕ

n

sin ϕ

>

1

d

Figura 2.2: Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) d_GH representa o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1].

para o centro dos feixes, incidente, refletido e transmitido, são

y=         

tan ϕ₀z (Feixe incidente) − tan ϕ0z (Feixe refletido)

taneϕ0z (Feixe transmitido) .

(2.7)

Diante dessa análise, observamos que o caminho para estes feixes não depende da polarização do feixe.

No caso da reflexão total, temos n sin ϕ > 1, como mostra a Fig.2.2-b, e o coeficiente de reflexão

R[s]= ncos ϕ − q 1 − n2sin2ϕ ncos ϕ + q 1 − n2sin2ϕ (2.8)

2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 11 dG H / λ ϕ₀ 0 1 2 3 4 5 30 35 40 45 50 55 60 d[s]_GH d[p] GH n=√2

Figura 2.3: Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência. Tal des-locamento apresenta um comportamento infinito para a incidência no ângulo crítico, ϕcri = arcsin(1/n).

Φ [s] = −2 arctan   q n2sin2ϕ − 1 ncos ϕ   .

Utilizando-se o método da fase estacionária para esta fase, obtemos o caminho óptico modificado por um deslocamento adicional (veja Fig.2.2-b)

y= − tan ϕ0z+ d [s]

GH , (2.9)

conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen e dado por d_GH[s] = −∂Φ [s] k ∂ϕ    ϕ=ϕ0 =λ π tan ϕ₀ q n2sin2ϕ₀− 1 . (2.10)

De maneira análoga, podemos obter o deslocamento para a onda polarizada p, como

d[p] GH = λ π tan ϕ0 q n2sin2ϕ0− 1 1 n2sin2ϕ0− cos 2 ϕ0 . (2.11)

Resumidamente, a análise de Artmann leva às seguintes conclusões sobre o deslocamento de Goos-Hänchen (veja Fig.2.3):

1) Apresenta dependência sobre a polarização;

2) É clara a evidência deste deslocamento com o comprimento de onda λ para ângulo suficiente maior que ϕcri;

3) Na incidência crítica, o deslocamento apresenta a divergência

d[s, p] GH _ϕ→ϕ−→

cri ∞ ,

12 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen

em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30,31], que mostram um compor-tamento finito.

Figura 2.4: Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo original Annalen der Physik 1947 [1]

Além do problema teórico so-bre a infinidade, temos, tam-bém, as dificuldades experimen-tais as quais devem-se ao fato de que o deslocamento é da ordem de grandeza do comprimento de onda da luz. Portanto, para detec-tar tal deslocamento, é necessário um experimento óptico de múlti-plas reflexões a fim de amplificar

o deslocamento do feixe, como ilustra a Fig.2.4. No próximos capítulos trataremos da superação da superação do problema da infinidade para o deslocamento de Goos-Hänchen, assim como outra maneira de amplificar este deslocamento meio da técnica de interferência entre feixes de diferentes polarizações.

Cap´ıtulo

3

Transmissão em blocos dielétricos

Neste capítulo introduzimos a notação e a geometria do sistema dielétrico utilizado nesta tese. Para este sistema, calculamos os coeficientes de transmissão e reflexão em cada interface do dielétrico, para um feixe gaussiano com polarizações s e p. Os cálculos para estes coeficiente são feitos com base na técnica de cálculo análogo ao usado em potencial degrau da mecânica quântica.

3.1

Laser de perfil gaussiano

Nesta seção, introduzimos o feixe laser de perfil gaussiano que representará o feixe incidente na próxima seção. Consideramos a seguinte distribuição de momentos,

g(kx, ky) = exp  −k 2 x+ k 2 y 4 w 2 0  , (3.1)

na qual w0 representa a cintura mínima do feixe e kx e ky são as componentes do número de onda

na direção ortogonal à direção de propagação do laser, eixo z. A amplitude do campo elétrico que representa este feixe laser pode ser definida pela convolução da onda plana

14 3.1. Laser de perfil gaussiano

com a distribuição de número de onda, g(kx, ky), da seguinte forma

E(r) = E0 w2₀ 4π ZZ dkxdkyg(kx, ky) exp[i(kxx+ kyy+ kzz)] , (3.3) na qual kz = q

k2− k2_x− k_y2 e que k = 2π/λ representa o número de onda e λ o comprimento de onda. Para cinturas de feixes maiores que o comprimento de onda, isto é, w0 > λ, podemos usar a

aproximação paraxial k_z ≈ k −k 2 x+ k 2 y 2 k .

Isso nos permite integrar analiticamente a Eq. (3.3). Assim, a equação para o campo elétrico pode ser reescrita na forma E(r) ≈ E0 w20 4π e i k zZZ _dk xdkyexp  −k 2 x+ k 2 y 4 w 2 0  exp  i k_xx+ kyy− k_x2+ k2_y 2 k z !  ≈ ei k zA(r) . (3.4)

Observando-se que A(r) é solução paraxial de Helmholtz [22,32],

[ ∂xx+ ∂yy+ 2 i k ∂z] A(r) = 0 . (3.5) Introduzindo a função

G

/

podemos escrever a Eq. (3.4) como o produto de duas funções só de x, z e y, z da seguinte forma

E(r ) ≈ E0e

( i k z )

3.2. Estrutura dielétrica 15

Esta equação representa a distribuição gaussiana da amplitude do campo elétrico de um feixe gaussi-ano livre (simétrico em x e y) propagando-se na direção do eixo z.

A intensidade é dada por,

I(r) = |E(r)|2 ≈ E₀2 w 2 0 w2(z)exp h − 2x 2 + y2 w2(z) i , (3.8) na qual w(z) = w0 s 1 +  λz πw20 2

descreve a evolução da largura do feixe ao longo da direção de propagação z, w0 representa o raio de

1/e2 da intensidade em z = 0 e w(z) o raio da intensidade após a propagação a uma distância z. A potência total do feixe de laser é definida pela integração da intensidade I(r) sobre a área de seção transversal, ou seja,

P ≡ ZZ dx dy I(r) = ZZ dx dy |E(r)|2 = πw 2 0 2 E 2 0 . (3.9)

Podemos observar que a potência total é independente da direção de propagação z do feixe. A partir desta equação, podemos escrever a intensidade em função da potência total do feixe

I(r) ≈ 2 P πw2(z) exp h − 2x 2 + y2 w2(z) i . (3.10)

A divergência de um feixe pode ser entendida como a medida do ritmo com que esta se afasta de sua cintura. Esta é contida em um cone, que, no limite assintótico, pode ser definida por

tan Θ ≡ lim z→∞ w(z) z = λ πw0 . (3.11)

3.2

Estrutura dielétrica

Nesta seção, vamos calcular os coeficientes de reflexão de transmissão para um feixe transmi-tido através de blocos dielétricos e obter a expressão para o campo elétrico do tipo gaussiano para

16 3.2. Estrutura dielétrica

este feixe. A estrutura dielétrica a ser considerada é um bloco dielétrico homogêneo com índice de refração n e dimensões da ordem de cm, como mostra a Fig.(3.1). Um feixe de luz polarizado tipo TE (Transverso-Elétrico) ou polarização s, ou seja, campo elétrico perpendicular ao plano y − z, emerge de uma fonte S, veja Fig.3.1-a. Este feixe, ao incidir sobre a primeira interface do dielétrico (ar/dielétrico), sofre uma transmissão, subsequentemente duas reflexões nas interfaces (dielétrico/ar) e emerge à esquerda como apresenta o diagrama abaixo.

up 1  • R_up " left • T_left " • T_right  right • R_down @H down

Em razão das dimensões do dielétrico serem maiores do que a largura da cintura do laser, cada inter-face do dielétrico funciona como um potencial degrau da mecânica quântica. Neste caso, podemos utilizar a analogia com tal potencial para calcular os coeficientes de transmissão e reflexão em cada interface. Para fazer isso, temos que antes determinar os números de ondas no ar e no dielétrico. Para esta análise vamos definir três sistemas de eixos (veja Fig.3.1-a), nos quis z é definida ao longo da direção z de propagação (ou seja, o perfil transversal x − y perpendicular à direção z não percebe a mudança ar/dielétrico), os eixos z∗ e ez são sempre perpendiculares às interfaces sob análise. Estes

3.2. Estrutura dielétrica 17 (a) (b) b b n π4 π 4 3 π 4 3 π 4 θ ψ ϕ S D g D D∗ A B C y z f z z∗ left down up right b c b b b b A B C • n =√2 • θ = 0 • AC = AB • S d_GH d_Snell= AB b c b b bc b bc b bbbbb bbbbb 1 2 3 N b b b b b b

Figura 3.1: Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco dielétrico, dos sistemas de coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S. O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo de reflexão interna total. Na incidência crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (d_GH) com relação ao caminho óptico previsto pela lei de Snell (y_Snell). (c) A amplificação do deslocamento de GH é dada por meio de múltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por N blocos em série.

 y∗ z_∗   = Rπ 4  ey ez   = Rπ 4+ θ  y z  , (3.12) na qual R(θ) =   cos θ sin θ − sin θ cos θ  

18 3.2. Estrutura dielétrica

Na descontinuidade ar/dielétrico, temos as componentes dos vetores de ondas no ar e no dielétrico na direção_{ezdadas por}

ar ar dielétrico

(kx, ky, kz)

R(θ)_//

(kx, k_ey, k_ez) left +3(kx, k_ey, q_ez) .

(3.13)

De maneira similar temos que na descontinuidade dielétrico/ar as componentes dos vetores de onda no dielétrico e no ar na direção z∗são

dielétrico dielétrico ar (kx, k_ey, q_ez) R(π/4)₊₃ (kx, qy∗, qz∗) left _// (kx, qy∗, kz∗) . (3.14)

Para obter os coeficientes, vamos iniciar com a descrição da propagação do laser no ar usando bases de ondas planas para a solução da equação

 ∇

2

+ k2ψ(r) = 0 , (3.15)

na qual ∇2 é dado em coordenadas cartesianas e k representa o número de onda. Aplicando as con-dições de continuidade para as soluções no ar e no dielétrico (interface à esquerda) podemos obter os coeficientes de transmissão e reflexão. Esta técnica será estendida ao cálculo do coeficientes nas interfaces inferior, superior e direita.

Então, o operador para a solução de ondas planas na interface à esquerda (veja Fig.3.1-a) é ex-presso por  ∇ 2 + k2n2(_ez), n(_{ez) =}      1, _{ez< e}D ar n, _{ez> e}D dielétrico , (3.16)

3.2. Estrutura dielétrica 19

incidente e refletido são, respectivamente,

kyy+ kzz= k_eyey + k_ezez e k_eyey − k_ezez, (3.17)

na qual as coordenadas_{ey, eze y, z são relacionados através da rotação horária, Eq. (}3.12), e os impulsos são dados por

  key k_ez   =   cos θ sen θ − sen θ cos θ     ky k_z  . (3.18)

Tendo em conta a descontinuidade ao longo do eixo _{ez, as componentes ey dos impulsos não mudam} quando o feixe cruza a interface ar/dielétrico, temos

 q_ey, q_ez =  k_ey, q n2k2− k_x2− k2_ey  . (3.19)

A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico) para a interface inferior (dielétrico/ar) é

k_{eyey + kezez= qeyey + qezez.} (3.20)

As soluções de onda plana no ar e dentro do dielétrico são dadas por

ψ_left(r) = expi( kxx+ k_eyey)

 ×

  

exp [ i k_{ezez] + Rleft}exp [ − i k_{ezez] ez< e}D, T_leftexp [ i q_{ezez] ez> e}D,

(3.21)

nas quais R_left e T_leftrepresentam os coeficientes de reflexão e transmissão, respectivamente. Impondo a condição de continuidade de ψ_left(r) e ∂_ezψ_left(r) na interface ar/dielétrico, ou seja, emez= eD, obtemos os coeficientes R_left= kez− qez k_ez+ q_ezexp h 2 i k_ezDe i e T_left= 2 kez k_ez+ q_ezexp h i(k_ez− q_ez) eD i . (3.22)

20 3.2. Estrutura dielétrica

operador para as soluções nessa interface é expresso por

 ∇2+ k2n2(z∗), n(z∗) =      n, z∗< D∗ dielétrico 1, z∗> D∗ ar , (3.23)

na qual z∗é perpendicular à segunda superfície. As coordenadas y∗, z∗e ˜y, ˜z são relacionados através

da rotação horária, Eq. (3.12).

A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico) para a interface inferior (dielétrico/ar) é

q_{eyey+ qezez= q}y_∗y∗+ qz∗z∗ . (3.24)

As fases do feixe refletido e transmitido na interface inferior (dielétrico/ar) são respectivamente,

qy_∗y∗− qz∗z∗ e ky∗y∗+ kz∗z∗ . (3.25)

Os impulsos nesse novo sistema de eixos são   qy∗ q_z∗   = √1 2   1 1 −1 1     ky˜ q_˜z  . (3.26)

Tendo em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo z_∗ e as componentes y_∗ dos momentos não mudam quando o feixe cruza a interface inferior (dielétrico/ar), temos

 qy_∗, kz_∗ =  ky_∗, q k2− k2_x− k2_y ∗  . (3.27)

Portanto, as soluções de onda plana, dentro e fora do dielétrico, em termos dos novos eixos, são escritas assim

ψ_down(r) = exp [ i ( kxx+ qy∗y∗) ] ×   

exp [ i qz∗z∗] + Rdownexp [ − i qz∗z∗] z∗< D∗, T_down exp [ i kz∗z∗] z∗> D∗,

3.2. Estrutura dielétrica 21

Usando a continuidade para a função em z∗= D∗, obtemos os coeficientes

R_down=qz∗ − kz∗ qz∗ + kz∗ exp2 i qz∗D∗  e Tdown= 2 qz∗ qz∗ + kz∗ expi(qz∗− kz∗) D∗  . (3.29)

O feixe de laser, ao ser refletido na interface inferior, segue na direção da interface superior, sendo refletido e transmitido. Para o cálculo dos coeficientes nessa interface, podemos usar o resultado obtido para a interface inferior. Devido à direção de propagação do feixe ser na direção oposta ao eixo-z∗, podemos utilizar

( k_z∗, q_z∗) ⇒ − ( k_z∗, q_z∗) e D_∗ ⇒ √AB 2− D∗,

na Eq.(3.29). Então, os coeficientes de reflexão e transmissão para a interface superior podem ser escritos na forma R_up= qz∗ − kz∗ qz_∗+ kz_∗ exp  2 i qz_∗  AB √ 2− D∗  e Tup= 2 qz_∗ qz_∗+ kz_∗ exp  i(qz_∗− kz_∗)  AB √ 2− D∗  . (3.30)

Ao ser refletido na superfície superior, o feixe propaga-se para a interface à direita. Os coeficientes para essa interface podem ser obtidos diretamente a partir dos coeficientes para a interface à esquerda. Substituindo

k_ez ⇔ q_ez

na Eq.(3.22) e observando a descontinuidade localizada em_{ez= e}D+ BC/√2, obtemos

R_right=qez− kez q_ez+ k_ezexp  2 i q_ez  e D+√BC 2  e Tright= 2 q_ez q_ez+ k_ezexp  i(q_ez− k_ez)  e D+BC√ 2  . (3.31)

Nestas condições, podemos definir o coeficiente de transmissão total pelo produto das transmissões nas interfaces à esquerda e direita e pelas reflexões nas interfaces inferior e superior, tal como

T[s](kx, ky) = TleftRdownRupTright =

4 k_ezq_ez (q_ez+ k_ez)2 _q z_∗ − kz_∗ q_z ∗ + kz∗ 2 exp[ i Φ_Snell] , (3.32) na qual Φ_Snell= √ 2 qz_∗AB+ ( q_ez− k_ez) BC √ 2 ,

representa a fase geométrica, a qual chamamos de fase de Snell. No próximo capítulo, a fase de Snell permite, pelo uso do método da fase estacionária, obter o caminho óptico previsto pela lei de Snell

22 3.2. Estrutura dielétrica

[22,32] (veja Fig.3.1-b). E no regime de reflexão interna total θ > θc, os coeficientes das interfaces

inferior e superior tornam-se complexos (k2_z

∗), o que implica em uma fase adicional, conhecida por fase de goos-Hänchen, a qual é responsável pelo deslocamento adicional ao caminho geométrico.

O coeficiente de transmissão para onda do tipo TM (Transverso-Magnético) ou polarização p, ou seja, campo elétrico paralelo ao plano y-z, pode ser obtido a partir do coeficiente da onda polarizada s. Utilizando a transformação

(k_ez, k_z∗) ⇒ n (k_ez, k_z∗) e (q_ez, q_z∗) ⇒ (q_ez, q_z∗)/n

na amplitude da Eq. (3.32), obtemos o coeficiente para a onda polarizada p,

T[p](kx, ky) = 4 n2k_ezq_ez (q_ez+ n2k_ez)2 qz_∗ − n 2 kz_∗ q_z∗ + n2k_z∗ !2 exp[ i Φ_Snell] . (3.33)

Para a propagação do feixe em um sistema dielétrico composto por N blocos dielétricos paralelos, como ilustra a Fig.3.1-c. Neste caso, para garantir duas reflexões em cada bloco e que a altura da posição do feixe de saída seja igual a do feixe incidente, devemos impor a seguinte relação geométrica entre os lados AB e BC de cada bloco

BC=√2 tan ϕ AB . (3.34)

Em consequência, a propagação de feixe óptico através dessa estrutura é caracterizada por 2 N refle-xões interna. Portanto, para um bloco longo de lado N BC, os coeficientes de transmissão para ondas polarizadas s e p são expressos por

T_N[s, p](kx, ky) =    4 q_ezk_ez (q_ez+ k_ez)2 _q z_∗− kz_∗ q_z∗+ kz∗ 2N , 4 n 2 q_ezk_ez (q_ez+ n2k_ez)2 q_z ∗− n 2 k_z ∗ qz_∗+ n2kz_∗ !2N  exp[i N ΦSnell] , (3.35) na qual Φ_Snell= h√ 2 qz_∗ + ( q_ez− k_ez) tan ϕ i AB.

3.2. Estrutura dielétrica 23

De acordo com as análises para os coeficientes e fases, podemos definir o campo elétrico para feixe transmitido como sendo o produto do campo incidente, Eq. (3.3), por T[s, p], assim

E_T[s, p](r) = E₀ w 2 0 4 π Z dkx dkyT [s, p] N (kx, ky) exp " −k 2 x+ k 2 y 4 w 2 0 # exp[ i k · r ] . (3.36)

De modo a simplificar a integração da amplitude do campo E_T[s, p](r), utilizamos o fato das rotações serem em torno do eixo de coordenada x e somente a segunda ordem de kx contribuir no coeficiente

de transmissão, T[s,p](kx, ky). Diante disso, observamos que T

[s,p]

(kx, ky) ≈ T

[s,p]

(0, ky). Neste caso,

desconsideramos o termo de segunda ordem em kxdevido a sua contribuição ser apenas para o

alaga-mento do feixe, que foge do escopo dessa tese. Para detalhes, veja [33]. Diante da aproximação usada e juntamente com a aproximação paraxial, a expressão para a amplitude do campo, resulta

E[s, p] T (r) = E0e i k z

_G

_G

G

Esta equação representa a distribuição de campo nas direções do eixos-y e z, modificada pelo coefici-ente de transmissão na direção do eixo-y. Para esta distribuição de campo, será analisado no próximo capítulo o deslocamento adicional com respeito ao previsto pela lei de Snell.

Cap´ıtulo

4

Fase óptica

Este capítulo apresenta a análise da fase óptica. No regime de reflexão interna total, a fase óptica contém as fases geométrica e adicional (fase de Goos-Hänchen). A fase geométrica é independente da polarização e contém o caminho geométrico previsto pela lei de Snell. Por outro lado, a fase adicional é responsável por um deslocamento adicional, conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen. Apre-sentamos uma análise detalhada sobre a mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e do comprimento de onda para o deslocamento de Goos-Hänchen. O estudo feito em diferentes regiões de incidência põe uma nova luz sobre a validade das fórmulas analíticas encontradas na literatura.

4.1

Fase de Snell e a Lei de Snell

Esta seção apresenta o caminho óptico para um feixe obtido por meio do método da fase estacioná-ria que representa uma alternativa aos métodos da óptica geométrica prevista pela Lei de Snell [34,35]. O método da fase estacionária é o princípio básico da análise assintótica aplicada a integrais oscilató-rias [28,29]. A ideia principal do método da fase estacionária apoia-se no cancelamento das oscilações senoidais devido à variação rápida da fase, então a contribuição dominante para integral ocorre quando a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula. Isto significa que muitas oscilações com a mesma fase podem ser adicionadas construtivamente, resultando em uma função aproxima-damente constante. Para ilustrar este método, vamos tomar como exemplo a equação para o campo

4.1. Fase de Snell e a Lei de Snell 25

incidente, Eq.(3.3). Neste caso, para maximizar a integral devemos impor  ∂ ∂kx ( kxx+ kyy+ kzz)  (0,0) =  ∂ ∂ky ( kxx+ kyy+ kzz)  (0,0) = 0 .

O subscrito (0, 0) aponta que as derivadas devem ser calculadas no valor máximo da função convolu-ção, na qual kx= ky= 0. Para o feixe óptico incidente da Eq.(3.3), a função convolução é a distribuição

gaussiana. Em consequência, o máximo do feixe incidente é localizado em

x= y = 0 .

É importante observar que, pelo uso do método da fase estacionária, podemos obter a posição do máximo sem fazer qualquer integração. Esta posição do máximo obtida pelo uso do método da fase estacionária é confirmada pela Eq. (3.7).

No regime de reflexão interna parcial (θ < θ_cri), o feixe óptico transmitido ganha uma fase com relação ao feixe óptico incidente, a fase de Snell

Φ_Snell= h√

2 qz_∗ + ( q_ez− k_ez) tan ϕ

i

AB. (4.1)

Para obter a posição do feixe transmitido, Eq. (3.36), pelo uso do método da fase estacionaria, devemos impor o seguinte vínculo

 ∂ ∂kx ( ΦSnell + k · r)  (0,0) =  ∂ ∂ky ( ΦSnell+ k · r )  (0,0) = 0 . Observando que ∂q_ez ∂kx,y = −key q_ez ∂k_ey ∂kx,y = −key q_ez  cos θ ∂ky ∂kx,y + sin θ ∂kz ∂kx,y  , ∂qz_∗ ∂kx,y = ∂ ∂kx,y _q ez_√− key 2  = −key+ qez q_ez√2  cos θ ∂ky ∂kx,y + sin θ ∂kz ∂kx,y  , (4.2) ∂k_ez ∂kx,y =  − sin θ ∂ky ∂kx,y + cos θ ∂kz ∂kx,y  ,

26 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen

e usando a relação sin θ = n sin ψ na interface à esquerda, veja Fig.4.1-a, podemos encontrar de ime-diato a posição de saída em

x_Snell = −  ∂Φ_Snell ∂kx  (0,0) = 0 (4.3) e d_Snell = −  ∂φ_Snell ∂ky  (0, 0)

= [cos θ − sin θ] tan ϕ AB . (4.4)

A Eq. (4.4) representa o deslocamento de Snell, como ilustra a Fig.3.1-b. Sendo, portanto, confirmado pelo cálculo do caminho óptico pela lei de Snell [36]. No regime de reflexão interna parcial, somente a fase Eq. (4.1) contribui para o cálculo via método da fase estacionária. É importante observar que no regime de reflexão interna total (θ > θ_cri) surge uma fase adicional (fase de Goos-Hänchen), a qual implica em um deslocamento adicional que não pode ser previsto pela lei de Snell. Tal deslocamento será analisado em detalhes a seguir.

4.2

Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen

O caminho óptico obtido na seção precedente utilizando o método da fase estacionária pode ser determinado pela lei de Snell. Nesta seção, será apresentado o cálculo da fase adicional que não pode ser prevista pela óptica geométrica. Nas interfaces inferior e superior, os coeficientes de reflexão para onda polarizada s e p são _

  _q z_∗− kz_∗ q_z∗+ k_z∗ 2 , qz∗− n 2 k_z ∗ qz_∗+ n2kz_∗ !2   . (4.5)

Recorrendo à expansão de kz∗ em torno do centro da distribuição gaussiana do número de onda loca-lizada em kx= ky= 0, obtemos k_z2 ∗ = k 2 z_∗ + " ∂k 2 z_∗ ∂ky # (0,0) ky+ O[k 2 x, k 2 y] = k2_z ∗ + 2 qz∗  ∂qz_∗ ∂ky  (0,0) k_y+ O[k_x2, k_y2] . (4.6)

4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 27 Utilizando k2_z ∗ = k 2 ( 1 − n2sen2φ ) , qz_∗ = n k cos φ e  ∂qz_∗ ∂ky  (0,0) = −cos θ sen φ cos ψ .

Podemos reescrever kz_∗ na forma

k2_z ∗ k2 ≈ 1 − n 2 sen2ϕ − nsin(2 ϕ) cos θ cos ψ k_y k = nsin(2 ϕ) cos θ cos ψ  σ(n, θ) −ky k  (4.7) com σ(n, θ) = cos ψ nsin(2 ϕ) cos θ  1 − n2sin2ϕ  . (4.8)

Para ky > σ(n, θ) k, temos reflexão interna total, ou seja, k

2

z∗ 6 0, em consequência, uma fase adicional (fase de Goos-Hänchen) deverá ser considerada no cálculo do caminho óptico,

n Φ [s] GH, Φ [p] GH o =   Arg "_q z∗− i |kz∗| qz_∗+ i |kz_∗| 2# , Arg   qz∗− i n 2 |k_z∗| q_z ∗+ i n 2 |kz_∗| !2     = − 4 ( arctan _|k z_∗| q_z∗  , arctan " n2|kz_∗| q_z∗ #) . (4.9)

As derivadas destas fases, ( ∂Φ [s] GH ∂ky , ∂Φ [p] GH ∂ky ) = 4 |kz∗| ∂qz_∗ ∂ky ( 1 , n 2 k2 k2 + (n2+ 1) |kz_∗|2 ) , (4.10)

serão usadas para obter o deslocamento de Goos-Hänchen.

Para determinar o valor ky, analisamos a distribuição de momentos para diferentes ângulos de

inci-dência. Para σ(n, θ) k w0≤ −5 (Fig.4.1-a), a distribuição de momento é simétrica. Portanto, a derivada

da fase adicional deverá ser calculada no centro da distribuição, ky= 0. Neste caso, as derivadas são

válidas para ângulos de incidência maior que o ângulo crítico θ > θ_cri. Para σ(n, θ) k w0 ≤ 5 (Fig.4.1

28 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen b −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 kw0σ(n, θ) =− 5 (a) e − (k y w0 ) 2/ 4 b 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 kw0σ(n, θ) =− 1 (b) e − (k y w0 ) 2/ 4 b _1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 kw0σ(n, θ) = 0 (c) e − (k y w0 ) 2/ 4 b 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 kw0σ(n, θ) = 1 (d) e − (k y w0 ) 2/ 4 b 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 kw0σ(n, θ) = 5 (e) e − (k y w0 ) 2/ 4 kyw0

Figura 4.1: A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de momento para diferen-tes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0.

(Fig.4.1-c) representa a incidência no ângulo. Neste caso, somente metade da distribuição de momento contém uma fase adicional. Em consequência, as derivadas serão calculadas em ky= kcri,

k_cri =

R

R

4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 29

4.2.1

Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θ

)

• σ(n, θ) k w0≤ −5

Neste caso, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) no centro de distribuição de momentos (kx, ky) = (0, 0). Assim, é possível encontrar

( ∂Φ [s] GH ∂ky , ∂Φ [p] GH ∂ky ) (0,0) = −nd_GH[s] , d_GH[p]o , (4.12) com n d[s] GH, d [p] GH o = 4 cos θ sen ϕ kcos ψ q n2sen2ϕ − 1  1, 1 n2sen2ϕ − cos2ϕ  . (4.13)

na qual d_GH[s p] representa o deslocamento de Goos-Hänchen para luz polarizada s e p. Ao analisar Eq. (7.1), é clara a evidência desse deslocamento com o comprimento de onda. Porém, na incidência crítica, o deslocamento apresenta um comportamento infinito

d[s, p] GH _ϕ→ϕ−→

cri ∞ ,

em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30,31], que mostram um comportamento finito. A superação desta infinidade na incidência crítica será discutida na próxima subseção.

4.2.2

Incidência no ângulo crítico (θ = θ

)

• σ(n, θ) k w0= 0

Para a incidência no ângulo crítico, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) em (kx, ky) = (0, kcri) e mediadas pelo fator 1/2 devido ao fato de que somente metade da distribuição de momentos possui a

30 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen

fase adicional. Sendo assim, temos n d_GH[s] , d_GH[p]o (0, k_cri) = −1 2 4 |k_z∗(0, k_cri)|  ∂qz_∗ ∂ky  (0, k_cri) ( 1 , n 2 k2 k2 + (n2+ 1) |kz_∗(0, kcri)| 2 ) . (4.14)

Lembrando que na incidência crítica, n sen φ_cri = 1, a Eq. (4.7), pode ser expressa na forma

|kz_∗| ≈ k

s

ncos θ_crisen 2φ_cri cos ψ_cri k_cri k , (4.15) observando que _ ∂qz_∗ ∂ky  (0,k_cri) ≈  ∂qz_∗ ∂ky  (0,0) e cos θcri cos ψ_cri ≈ 1 , (4.16)

as expressões para o deslocamento podem ser escritas em termos do ângulo crítico ou do índice de refração n como seguem

n d_{GH, cri}[s] , d_{GH, cri}[p] o = √ kw0 k r 2 √ 2 π tan ϕcri n n 1 , n2 o = √ kw0 k s 2 √ 2 π 1 npn2− 1 n 1 , n2 o . (4.17)

Observamos que o deslocamento de Goos-Hänchen apresenta uma forte dependência com a largura da cintura do feixe w₀ em contraste com as expressões clássicas existentes na literatura que predizem um deslocamento infinito.

Estas análises para o deslocamento de Goos-Hänchen serão testadas por meio de uma simulação numérica.

4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 31

4.2.3

Análise numérica

Nesta seção, apresentamos a análise numérica do deslocamento para feixes ópticos gaussianos. A intensidade do feixe transmitido através de um bloco dielétrico (N = 1) é dada por

I[s, p]_T (r) = | E_T(r, t) |2= I₀   

G

_G

_G

A estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen é calculada pela diferença entre o máximo da equação acima em y_Max com relação ao máximo previsto pelo lei de Snell y_Snell,

y_Max− y_max = d_GH. (4.19)

Nesta análise desconsideramos os efeitos axiais z = 0, que serão analisados nos capítulos seguintes. Na Fig.4.2 ilustramos os dados numéricos correspondentes ao deslocamento de Goos-Hänchen para as polarizações s e p, obtido para índice de refração fixo, n =√2, variando o ângulo de incidência e kw₀(= 30, 50, 500). Os gráficos na Fig.4.3 referem-se ao ângulo de incidência, θ = 0 e variando o índice de refração. Podemos observar que a análise numérica, Eq. (4.19), mostra um excelente acordo com as predições analíticas para o deslocamento no ângulo crítico, Eq. (4.17). Observe que

r k w0

d[s, p] GH,cri

apresenta dependência do índice de refração n, Eq. (4.17).

Para σ(n, θ) k w0 ≤ −5, a expressão analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen analítica é

expressa por Eq.(7.1). Agora, _r k w0

d[s, p] GH

32 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen b b s -pol n =√2 k w0 = 30 50 500 SPM[θ] SPM[θcri] (a) p k / w0 dG H −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 b b p -pol n =√2 k w0 = 30 50 500 SPM[θ] SPM[θcri] (b) k w0 θ 4.8 4.4 4.0 3.6 3.2 2.8 1.2 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0

Figura 4.2: O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência para o índice de refração fixo n =√2 e para três diferentes valores do parâmetro kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen, d[s, p]

GH,cri(ponto) e d [s, p]

GH (linha contínua para kw0= 500).

índice de refração fixo, n =√2, temos

σ( √ 2, θ) k w0 ≤ −5 ⇒ tan θ 2 − sin2θ 2 cos2θ ≥ 5 kw0 .