EEN- 408 Hidrodinâmica Aplicada II
2ª Lista de Exercícios
1) Calcule as freqüências natural e amortecida; os coeficientes da equação do movimento vertical; as respostas forçada e transiente do movimento vertical de uma balsa em
formato de paralelepípedo. Apresente as respostas transientes e forçada (RAO) em formato gráfico.
Comprimento, L= 100 m Calado, T = 12m. Boca, B= 30 m.
Massa adicional = 80% da Massa Amortecimento = 5% do crítico
Força de Excitação = assuma hipótese de Froude-Krylov.
Faixa de freqüências entre 0,0 e 4 rad/s. Incremento de w = 0,5 rad/s. Altura da Onda, H = 2m.
Águas profundas
Massa específica da água, 1000 Kg/m
.
2) Considerando o RAO da questão 1 e o estado de mar da questão 2 da lista de
exercícios 2, determine a probabilidade de ocorrência de um pico de heave maior do que 1,8 m.
3)A equação do movimento de jogo de uma embarcação em ondas regulares pode ser expressa pela equação:
)
(
48
,
0
16
,
0
24
,
0
4 4 4+
η
+
η
=
sen
wt
η
&&
&
onde η4 é o ângulo de jogo em graus.
i) Determine a amplitude da resposta forçada (fase estacionária) de jogo para as freqüências w=0,2 rad/s, w=0,4 rad/s e w=0,8 rad/s.
ii) Determine o período natural de jogo
4) Considere um cilindro de massa m em decaimento livre de afundamento puro. O cilindro tem um diâmetro de 1,97 m e flutua com um calado de 4,00 m. Descreva um procedimento para determinar a freqüência de decaimento livre utilizando os gráficos mostrados abaixo.
Lembre que para o decaimento livre, a equação do movimento é dada por:
2
2 o 0
z+ γz+ω z=
&& &
Cuja solução é dada por:
( ) sin t z=Ae−γ ω αt+ onde ( ) 2 2 2 o o c b m a m a ω= ω −γ ω = γ = + +
5) Um cilindro vertical flutua no mar sob a ação de uma onda regular. Calcule: i) a freqüência natural.
ii) a amplitude e a fase do movimento vertical (resposta forçada).
DADOS:
Raio, R= 4 m Calado, T = 5 m.
A33, massa adicional = 80% da Massa
BB33, amortecimento = 0.
F3(t) = 500 cos(wt).
w, frequência angular da onda = 0,5 rad/s. γ, peso específico da água, 10 kN/m3
.
g, aceleração da gravidade, 10 m/s2
.
6) No caso do decaimento livre de cilindro em afundamento, o deslocamento do centro de gravidade é dado por:
0
2 + 2 =
+ z z
z&& ζωo& ωo
Cuja solução é dada por:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − t t e z z a t o o ω ω ζω ω ζω sin cos
Mostre como pode ser obtida a razão de amortecimento (ζ) quando resultados de teste de decaimento em águas tranqüilas estão disponíveis na forma mostrada abaixo.
7) Questão: As relações entre os coeficientes potenciais e a freqüência podem ser determinadas através de testes de oscilação forçada, como mostra a figura abaixo. A equação do movimento do cilindro é dada por:
(m a z+ )&&+bz&+cz=Fasin(ω εt+ Fz)
Mostre que: 2 cos sin a a Fz F a a F F c z z a m b z ε ε ω ω − = − =
8) Responda as seguintes perguntas: i) Qual o significado do coeficiente A24? ii) Qual o significado do coeficiente B51? iii) Qual o significado do coeficiente C53?
9) Um barco desloca-se com velocidade V num mar de ondas regulares, conforme mostra a figura abaixo. Mostre que a freqüência de encontro em águas profundas é dada por:
2 cos e V g
ω
ω
= −ω
μ
0) Os seis movimentos de um navio são dados abaixo em relação ao sistema de 1
translação inercial O(x,y,z).
(
)
(
)
(
)
cos cos cos a e x a e y a e z x x t y y t z z t ζ ζ ζ ω ε ω ε ω ε = + = + = +(
)
(
)
(
)
cos cos cos a e a e a e t t t φζ θζ ψζ φ φ ω ε θ θ ω ε ψ ψ ω ε = + = + = +O movimento vertical num ponto P(xb,yb,zb) na estrutura flutuante é composto por
b
contribuições de jogo, afundamento e arfagem, conforme a equação abaixo. ( e, ) b
h ω t = −z xθ +yφ
Como este movimento foi obtido pela superposição de movimentos harmônicos, ele também é harmônico. Mostre que:
(
e,)
acos(
e h)
h ω t =h ω t+ε ζ
nde o
cos cos cos cos
sin sin sin sin
a h a z b a b a a h a z b a b a h z x y h z x y ζ ζ θζ φζ ζ ζ θζ φζ ε ε θ ε φ ε ε ε θ ε φ ε = − + = − +
11) Para um sistema linear, as cargas hidrodinâmicas são adicionadas para obter-se a carga total. Assumindo pequenos movimentos e a simetria do corpo, mostre que as equações do movimento podem ser escritas da seguinte forma:
12) Definindo-se um sistema linear com forças e momentos de excitação de ondas harmônicas simples dadas por:
Os movimentos harmônicos simples resultantes são:
Conhecendo-se a massa da estrutura flutuante e a sua distribuição, mostre que as equações acopladas do movimento podem ser escritas da seguinte forma:
13) Geralmente, um navio tem um plano de simetria vertical-longitudinal, de modo que seus movimentos podem ser separados em componentes simétricos e anti-simétricos. Quais são os movimentos simétricos e anti-simétricos? Apresente as equações dos movimentos simétricos e anti-simétricos.
14) Após a substituição das soluções particulares, cada equação do movimento pode ser dividida em duas equações. Obtenha as seis equações resultantes do movimento simétrico e as seis equações resultantes do movimento anti-simétrico.
Soluções particulares
(
)
(
)
(
ψζ)
φζ ζ ε ω ψ ψ ε ω φ φ ε ω + = + = + = t t t y y e a e a y e a cos cos cos(
)
(
)
(
θζ)
ζ ζ ε ω θ x15) As figuras abaixo mostram as características de freqüência dos movimentos acoplados de heave e pitch de um transportador de óleo cru, que foram obtidas usando o programa SEAWAY, baseado na teoria das faixas.
Responda as seguintes questões em relação à amplitude e ao ângulo de fase do movimento:
a) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pela proa com freqüência tendendo a zero?
b) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pelo costado com freqüência tendendo a zero? θ ε ω ε ω − = − = − = t t z t x e a z e a x e a cos cos cos z
c) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pela proa com freqüência tendendo a infinito?
d) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pelo costado com freqüência tendendo a infinito?
e) O que representam os picos nas curvas de amplitude?
16) Quando o deslocamento e a rotação ao redor do centro de gravidade são conhecidos, o movimento de qualquer ponto, P(xb,yb,zb), sobre o navio, pode ser determinado -
novamente por superposição. O deslocamento longitudinal harmônico é dado por:
Assumindo que:
(
)
(
)
(
ψζ)
φζ ζ ε ω ψ ψ ε ω φ φ ε ω + = + = + = t t t y y e a e a y e a cos cos cos(
)
(
)
(
θζ)
ζ ζ ε ω θ θ ε ω ε ω − = − = − = t t z z t x x e a z e a x e a cos cos cosDetermine a amplitude e o ângulo de fase do movimento do ponto P.
17) O valor espectral das ondas, Sζ(ωe), baseado em ωe não é igual ao valor espectral,
Sζ(ω), baseado em ω. Mostre que em águas profundas,
( )
( )
g V S S e ω μ ω ω ζ ζ 2 cos 1− =Responda as seguintes questões: a) O que representa a curva superior? b) O que representa a curva inferior?
c) Explicar o formato da curva da freqüência de encontro para ondas incidindo pela proa. d) Explicar o formato da curva da freqüência de encontro para ondas incidindo pela popa. 19) A figura abaixo mostra como um espectro de onda fica distorcido quando transformado em termos de freqüência de encontro em ondas de popa. Por que o espectro de energia de onda transformado tem esta forma?
20) Quando as ondas estão se aproximando em direção à proa, as freqüências de encontro sempre ficam maiores do que as freqüências das ondas, nenhum problema especial é encontrado. Admitindo-se conhecido o espectro de energia de onda e o RAO da estrutura, discurse como podem ter sido obtidos os espectros de energia da estrutura mostrados abaixo.
21)
22)
24)
