Conceitos Básicos de Matemática
Aula 1
ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade
Diana Aldea Mendes
diana.mendes@iscte.pt
12 de Setembro de 2011
Conceitos Básicos de Matemática
Tópicos
Funções reais com 1 e 2 variáveis reais
Função exponencial, logaritmica e potência Derivação e diferenciação
Extremos livres e condicionados
Matrizes e Determinantes
Operações com matrizes Cálculo de um determinante Inversão de matrizes Valores e vectores próprios
Funções reais de uma e duas variáveis reais
Uma função real de uma variável real denota-se porf : D R!R e
é dada por uma expresão
y=f(x) onde x variável independente y variável dependente Uma função real de duas variáveis reais denota-se por f : D R2 !R e é dada por uma expresão
z=f(x, y) onde x, y variáveis independentes z variável dependente
Example
Função de produção de Cobb-Douglas f :R2+!R+ , f(k, l) =kαlβ,onde
k (capital), l (labour) são variáveis independentes e z=f(k, l) é a variável dependente.
Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 0 20 40 0 2 4 6 8 l alpha=0.4, beta=0.5 k 0 10 20 30 20 0 40 0 10 20 30 40 50 60 l alpha=0.2, beta=1.5 k 0 10 20 30 0 10 20 30 0 20 40 60 l alpha=1.2, beta=0.5 k 0 10 20 30 0 20 40 0 100 200 300 400 500 600 l alpha=1.2, beta=1.5 kFunções reais de uma e duas variáveis reais
Função convexa: uma funçãof :[a, b] R!R é convexa se a
região sobre (acima) o seu grá…co for um conjunto convexo. Isto é: para quaisquerx e y pertencentes a[a, b]e para todot 2 [0, 1], tem-se
f(tx+ (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y)
Função concava: uma funçãof :[a, b] R!R é concava se a
região sob (abaixo) o seu grá…co for um conjunto convexo.
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 x y Função convexa -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -6 -4 -2 0 2 4 x y Função côncava
Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função exponencial f :R!R+ f(x) =ex e f(x) =ax, a>0 Propriedades eAeB = eA+B, e A eB =e A B, ax =ex ln a axbx = (ab)x, e0 =1, e ∞ =0, e+∞= +∞Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x y y=exp(x) 0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 x y y=exp(-x) 0 10 20 30 40 -10 0 10 20 30 40 50 x y y=exp(2x) 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5x 10 4 x y y=2exp(5x)Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função logarítmica: f :R+ !R f(x) = loga x, a>0, a6=1 a = e ! log natural ln Propriedades ln A+ln B = ln(AB), ln A ln B=ln A B A ln B = ln BA, ln 1 =0, ln e=1 ln 0+ = ∞, ln(+∞) = +∞Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 40 50 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x y y=log(x) 0 10 20 30 40 50 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y y=-log(x) 0 10 20 30 40 50 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y y=log(ex) 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y y=2log(2x+1)Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função potência: f :R!R
f(x) =axk, a, k2R
Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 x y y=x2 0 10 20 30 40 50 60 -30 -20 -10 0 10 20 30 x y y=x3 0 10 20 30 40 50 60 -300 -200 -100 0 100 200 300 x y y=x5 -10 0 10 20 30 40 50 60 -10 -5 0 5 10 x y y=x-1Derivação de funções reais de uma variável real
A derivada representa a taxa de variação de uma função
Uma funçãof é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto do seu domínio, a função f(x) f(a)se comportar
aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu grá…co for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
f0(a) ou df dx(a)
0 10 20 30 40 50 60 -2 0 2 4 6 8 x y 0 10 20 30 40 50 60 70 -1 0 1 2 3 x y f(x) tangente inclinação = f'(x)
função não derivável em a
a
Derivação de funções reais de uma variável real
Em tudo que segue k representa um número real e u, v representam funções reais de uma variável real.
Regras de derivação (ku)0 =ku0 (u+v)0 =u0+v0 xk 0 =kxk 1 uk 0 =kuk 1u0 (uv)0 =u0v+uv0 u v 0 = u0v uv0 v2 (ex)0 =ex (eu)0 =u0eu (ax)0 =axln a, a>0 (au)0 =u0auln a, a >0 (ln x)0 = 1 x (ln u) 0 = u0 u
Derivando a derivada de primeira ordem obtém-se a derivada de segunda ordem e assim sucessivamente derivadas de ordem superior
Exemplos - derivação
1 f(x) =4x3=)f0(x) =12x2 =)f00(x) =24x 2 f(x) = (x 1)2=)f0(x) =2(x 1) =)f00(x) =2 3 f(x) = 2 x2 =)f(x) =2 x 2 =)f0(x) = 4 x3 4 f(x) =x3ex=)f0(x) =x2ex(3+x) 5 f(x) = (ln x)4=)f0(x) = 4 ln 3x xDerivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
A derivada parcial (de primeira ordem) def(x, y)em ordem a variável x designa-se por
∂f
∂x (x, y)
e signi…que derivar a funçãof em ordem a x considerando y como sendo constante
A derivada parcial (de primeira ordem) def(x, y)em ordem a variável y designa-se por
∂f
∂y (x, y)
e signi…que derivar a funçãof em ordem a y considerando x como sendo constante
Se a função f(x, y)for diferenciável no ponto (a, b) é porque admite derivadas parciais …nitas e contínuas numa vizinhança desse ponto. Neste caso o Diferencial de 1a ordem da função f no ponto (a, b)
de…ne-se por
df(a, b) = ∂f
∂x (a, b) dx+
∂f
∂y (a, b) dy
onde dx e dy designam-se por acréscimos (são numeros reais pequenos).
Quando a função for diferenciável, para o cálculo de valores aproximados, podemos utilizar a seguinte expressão de diferenciabilidade:
f(a+h, b+k) f(a, b) +dx ∂f
∂x (a,b)+dy
∂f
∂y (a,b)
Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
Derivando as duas derivadas parciais de primeira ordem mais uma vez em relação a cada uma das duas variáveisx, y obtemos as 4 derivadas parciais de segunda ordem def(x, y), isto é
∂f ∂x 0 x = ∂ ∂x ∂f ∂x = ∂2f ∂x2; ∂f ∂x 0 y = ∂ ∂y ∂f ∂x = ∂2f ∂x∂y ∂f ∂y 0 x = ∂ ∂x ∂f ∂y = ∂2f ∂y∂x; ∂f ∂y 0 y = ∂ ∂y ∂f ∂y = ∂2f ∂y2
O diferencial de segunda ordem da funçãof no ponto (a, b)de…ne-se por d2f(a, b) = ∂ 2f ∂x2 (a, b) dx 2+2 ∂2f ∂y∂x (a, b)dxdy + ∂ 2f ∂y2 (a, b) dy 2
Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
Example
Para f(x, y) =x3+2y2 temos as seguintes derivadas parciais de primeira
e segunda ordem: ∂f ∂x(x, y) = 3x 2 ∂f ∂y(x, y) = 4y ∂2f ∂x2 (x, y) = ∂f ∂x 0 x = 3x2 0 x =6x ∂2f ∂y∂x(x, y) = ∂f ∂x 0 y = 3x2 0 y =0 ∂2f ∂y2 (x, y) = ∂f ∂y 0 y = (4y)0y =4
Os diferenciais de primeira e segunda ordem no ponto (a, b) = (1, 2)são dados por df(a, b) = ∂f ∂x (1, 2) dx+ ∂f ∂y (1, 2) dy = 3x2 (1, 2)dx+ (4y) (1, 2)dy=3dx+8dy d2f(a, b) = ∂ 2f ∂x2 (a, b) dx 2+2 ∂2f ∂y∂x (a, b)dxdy + ∂ 2f ∂y2 (a, b) dy 2 = (6x) (1, 2)dx2+2(0) (1, 2)dxdy+4(1, 2)dy2 = 6dx2+4dy2
Example
Para f(x, y) =3xy+2 ln xy +x2y2, temos as seguintes derivadas
parciais de primeira ordem:
∂f ∂x(x, y) = 2xy 2+2 x+3 xyy ln 3 ∂f ∂y(x, y) = 2x 2y 2 y+3 xyx ln 3
Extremos Livres (Relativos)
De…nição: Sejam f : A R!R e a2 IntA.
a é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem
f(x) f(a), 8x2V (8x2A)
O número realf(a)representa o valor mínimo que a funçãof assume na vizinhançaV.
a é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem
f(x) f(a), 8x2 V (8x2A)
O número real f(a)representa o valor máximo que a funçãof assume na vizinhançaV
Os mínimos e os máximos designam-se por extremos.
Extremos Livres (Relativos)
De…nição: Seja f(x)uma função diferenciável de…nida em A R e com valores em R É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência de um extremo no ponto a2A, que f0(a) =0.
Sendo assim, resolvendo a equação f0(a) =0 obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (de
estacionariedade) do problema.
De…nição: A condição su…ciente (condições de segunda ordem) consta na caracterização do ponto de estacionariedade a como máximo ou mínimo e depende do signal da derivada de segunda ordem, isto é
sef00(a) > 0 então a é um mínimo sef00(a) < 0 então a é um máximo
Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, caso existem, os extremos livres da seguinte função: f(x) =x2.
Condição necessária: f0(x) =2x=0!x=0 é o único ponto estacionário da função dada.
Condição su…ciente: f00(x) =2>0! logo o ponto x=0 é um mínimo.
Extremos Livres (Relativos)
Sejamf : A R2 !R e(a, b)2 IntA.
(a, b)é um ponto de mínimo local (global ) para a funçãof se e só se
numa vizinhançaV do ponto dado se tem
f(x, y) f(a, b), 8 (x, y)2V, (8 (x, y)2A)
O número realf(a, b)representa o valor mínimo que a funçãof assume
na vizinhançaV.
O número realf(a, b)representa o valor mínimo da funçãof .
(a, b)é um ponto de máximo local (global ) para a funçãof se e só se
numa vizinhançaV do ponto dado se tem
f(x, y) f(a, b), 8 (x, y)2V, (8 (x, y)2A)
O número realf(a, b)representa o valor máximo que a funçãof
assume na vizinhançaV
O número realf(a, b)representa o valor máximo que a funçãof
assume na vizinhançaV
Extremos Livres (Relativos)
É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência de um extremo no ponto(a, b)2A, que ∂f
∂x(a, b) =0 e
∂f
∂y(a, b) =0.
Isto é, resolvendo o sistema de 2 equações e 2 incógnitas de…nido por 8 > > < > > : ∂f ∂x (x, y) =0 ∂f ∂y (x, y) =0
obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (de estacionariedade) do problema.
Extremos Livres (Relativos)
As condições su…cientes (condições de segunda ordem) constam na caracterização do ponto de estacionariedade (a, b)como máximo ou mínimo relativo, ou ainda como ponto de sela, e dependem dos valores da matriz HessianaH da função no ponto (caso exista). Relembramos que no caso de funções reais de duas varáveis reais a matriz Hessiana é de…nido por
H(x, y) = 2 6 6 4 ∂2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y2 3 7 7 5 (x,y)
Extremos Livres (Relativos)
O ponto de estacionariedade (a, b)é um mínimo se e só se
D1 = ∂2f ∂x2 (a,b) >0 e D2= jH(a, b)j = ∂ 2f ∂x2 (a,b) ∂2f ∂y2 (a,b) ∂2f ∂x∂y (a,b) ∂2f ∂x∂y (a,b)>0
O ponto de estacionariedade (a, b)é um máximo se e só se
D1 = ∂2f ∂x2 (a,b) <0 e D2= jH(a, b)j = ∂ 2f ∂x2 (a,b) ∂2f ∂y2 (a,b) ∂2f ∂x∂y (a,b) ∂2f ∂x∂y (a,b)>0
Extremos Livres (Relativos)
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 -10 -5 0 5 10Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, casa existem, os extremos livres da seguinte função
f(x, y) = x3+4xy y2.
Condição necessária: cálculo dos pontos estacionários (os possíveis pontos de extremo) fx0(x, y) =0 fy0(x, y) =0 3x2+4y=0 4x 2y=0 3x2+4y=0 y=2x 3x2+4(2x) =0 y=2x 3x2+8x=0 y=2x x=0 ou x=8/3 y=0 ou y=16/3 Portanto existam dois pontos de estacionariedade (x, y) = (0, 0)e
(x, y) = (8/3, 16/3).
Extremos Livres (Relativos)
Condição su…ciente:averiguar quais dos pontos de estacionariedade são pontos de extremo. Por isso é precisso determinar a matriz Hessiana da funçãof(x, y), isto é
H(x, y) = " fx002(x, y) f0 0 xy(x, y) fxy00 (x, y) fy002(x, y) # = 6x 4 4 2
Para o ponto estacionário(x, y) = (0, 0)obtem-se
H(0, 0) = 6x 4 4 2 (0,0)= 0 4 4 2 = 2 4 4 0
Extremos Livres (Relativos)
de onde
D1 = j 2j = 2<0
D2 = 2 4
4 0 = 16<0
e portanto o ponto (0, 0)não é um extremi (é um ponto de sela).
Extremos Livres (Relativos)
Para o ponto estacionário(x, y) = (8/3, 16/3)obtem-se
H(8/3, 16/3) = 6x 4 4 2 (8/3,16/3)= 48/3 4 4 2 ! de onde D1 = j 48/3j = 48/3<0 D2 = 48/34 42 =48/3>0
e portanto o ponto (8/3, 16/3)é um ponto de máximo.
Extremos Condicionados
De…nição: Um problema de extremos condicionados consiste de uma função real f : A R2 !R (função objectivo) cujas 2 variáveis estão ligadas por 1 condição ou seja a função f(x, y)é sujeita à 1 restrição
g(x, y) =0
Calcular os extremos condicionados do problema é equivalente ao calcular os extremos livres da seguinte função
L(x, y; λ) =f(x, y) +λg(x, y)
designada por função Lagrangeana. A variável auxiliare λ designa-se por multiplicador de Lagrange.
Extremos Condicionados
Apos da construcção da função Lagrangeana precede-se ao calculo dos pontos estacionários (condição necessária). O sistema de estacionariedade é um sistema de 3 equações e 3 incógnitas de…nido por
8 > > > > > > < > > > > > > : ∂L ∂x (x, y; λ) =0 ∂L ∂y (x, y; λ) =0 ∂L ∂λ (x, y; λ) =0
Extremos Condicionados
Como no caso dos extremos livre,a caracterização dos possíveis extremos, dependem de condições de segunda ordem, nomeadamente do sinal do Hessiano orlado (de tipo ((3) (3)), isto é
H2 a, b; λ0 = 0 ∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂x ∂2L ∂x2 ∂2L ∂x∂y ∂g ∂y ∂2L ∂x∂y ∂2L ∂y2 (a,b,λ0)
sendo a, b, λ0 um ponto de estacionariedade.
Se H2 a, b; λ0 >0, então o ponto(a, b)é um máximo condicionado
Se H2 a, b; λ0 <0, então o ponto(a, b)é um mínimo condicionado
Extremos Condicionados
Example
Determine, caso existem, os extremos condicionados da função f(x, y) =x2+y2 sujeita à restriçãog(x, y) =x+y 2=0
Passo 1: construção da função Lagrangeana
L(x, y, λ) =f(x, y) +λg(x, y) =x2+y2+λ(x+y 2)
Passo 2: condições de primeira ordem (determinar os pontos estacionários) 8 > > > > > > < > > > > > > : ∂L ∂x (x, y; λ) =0 ∂L ∂y (x, y; λ) =0 ∂L ∂λ (x, y; λ) =0 8 < : 2x+λ=0 2y+λ=0 x+y 2=0
Extremos Condicionados
8 < : x= λ/2 y= λ/2 x=2 y 8 < : x= λ/2 y= λ/2 λ/2=2+λ/2 8 < : x= λ/2 y= λ/2 λ= 2 8 < : x=1 y=1 λ= 2Portanto (1, 1, 2)é o único ponto estacionário da Lagrangeana.
Extremos Condicionados
Passo 3: condições de segunda ordem (veri…car se o ponto estacionário é um extremo) H2(1, 1, 2) = 0 ∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂x ∂2L ∂x2 ∂2L ∂x∂y ∂g ∂y ∂2L ∂x∂y ∂2L ∂y2 (1,1, 2) = 0 1 1 1 2 0 1 0 2 (1,1, 2) = 4<0
logo (1, 1) é um mínimo condicionado.
Matrizes e Determinantes
Uma matriz é um quadro de números ordenados por linhas (…las horizontais) e colunas (…las verticais) que se apresenta cercado por
parênteses ou parênteses rectos, sendo normalmente representada por uma letra maiúscula.
Por exemplo, qualquer dos quadros seguintes representa uma matriz:
A= 2 3
2 1 B=
3 2 1
2 1 1
Matrizes e Determinantes
De…niçãoDesigna-se por matriz de números reais de elemento genérico aij, em que
o primeiro índice (i=1, 2, ...., m) indica a linha e o segundo índice (j=1, 2, ...., n) indica a coluna, a um quadro do tipo:
2 6 6 6 4 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... ... am1 am2 ... amn 3 7 7 7 5 De…nição
Diz-se que uma matriz é do tipo m n se tem m linhas e n colunas.
Matrizes e Determinantes
Casos particulares de matrizes:
A uma matriz do tipo n n dá-se o nome de matriz quadrada de ordem n.
A uma matriz do tipo m n , em que m6=n dá-se o nome de matriz rectangular.
Dada uma matriz quadrada, dá-se o nome de diagonal principal à diagonal formada pelos elementos aij, em que i=j. Aos elementos
da diagonal principal dá-se o nome de elementos principais. A uma matriz quadrada cujos elementos não principais são nulos dá-se o nome de matriz diagonal.
Se todos os elementos principais de uma matriz quadrada diagonal são unitários, então trata-se da matriz identidade: In (onden é a
ordema da matriz)
A uma matriz quadrada cujos elementos abaixo (acima) da diagonal principal são nulos dá-se o nome de matriz triangular superior (inferior).
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A adição de duas matrizes consiste na adição dos elementos homólogos de cada uma das matrizes.
C=A+B)cij=aij+bij
A adição de matrizes só é possível se elas forem da mesma ordem, obtendo-se como resultado uma matriz da mesma ordem.
Example Considerando as matrizes A, B, C e D A = 2 3 2 1 , B= 3 2 1 2 1 1 C = 1 0 2 5 D= 0 3 1 4 5 1
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Vejamos, em dois casos em que a adição é possível, como se materializa esta operação: A+C = 2 3 2 1 + 1 0 2 5 = 2+1 3+0 2+2 1+5 = 3 3 4 6
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
B+D = 3 2 1 2 1 1 + 0 3 1 4 5 1 = 3+0 2+3 1+1 2+4 1+5 1 1 = 3 1 2 6 6 2
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita mediante a multiplicação de cada um dos elementos da matriz por esse escalar.
B=λA)bij =λaij 8λ2 <
Example
Sendo dados o número real e a matriz abaixo indicadas
λ=3 ; A= 3 2 2 1 temos que λA=3 3 2 2 1 = 3 3 3 ( 2) 3 2 3 1 = 9 6 6 3
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas do primeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duas matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
De…nição
A multiplicação de uma matriz A do tipo m n por uma matriz B do tipo p q é possível sempre que n=p, e o seu resultado é uma matriz C, do tipo m p, cujo elemento genérico é :
cij=ai1b1j+ai2b2j+. . .+ainbnj= n
∑
k=1 aikbkj onde i=1, 2, , m j=1, 2, , pMatrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Example
Determine o produto das matrizes A e B, onde
A(2 3) = 1 1 0 2 0 3 , B(3 2) = 2 4 21 11 0 5 3 5
Resolução: Como a matriz A é de tipo (2 3)e a matriz B é de tipo (3 2), a operação A B é possível (número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz) e o resultado vai ser uma matriz de tipo (2 2). A operação B A não é possível, de onde concluímos que A B6=B A.
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A B = 1 1 0 2 0 3 2 4 21 11 0 5 3 5 = 1 2+ ( 1) 1+0 0 1 1+ ( 1) ( 1) +0 5 2 2+0 1+3 0 2 1+0 ( 1) +3 5 = 2 1+0 1+1+0 4+0+0 2+0+15 = 1 2 4 17
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Transposição de matrizes. Matrizes simétricas.
Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se por AT, a
uma matriz cujas colunas são as linhas deA (pela mesma ordem) sendo, consequentemente, as suas linhas as colunas deA.
Example
Transposta de uma matriz
A= 2 4 2 1 3 5 ,A T = 2 4 2 14 3 2 5 3 5
Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta: A=AT. SeA= AT diz-se que A é anti-simétrica.
Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
São permitidas as seguintes operações entre as …las paralelas de uma matriz (designadas por operações elementares):
1 Troca entre si de duas …las paralelas da matriz;
2 Multiplicação de uma …la por um número real diferente de zero; 3 Substituição de uma …la pela que se obtém somando outra,
multiplicada por um número real qualquer (Operação de Jacobi). A característica de uma matriz A, r(A), corresponde ao número máximo de …las paralelas não-nulas e obtém-se condensando a matriz, isto é, transformando a matriz inicial ,aplicando as operações elementares, numa matriz triangular superior de elementos principais signi…cativos de maior ordem possível (condensação vertical).
Matrizes e Determinantes
Determinantes
A toda a matriz quadradaA de ordem n, se faz associar um número real, designado por determinante. Utilizamos a notação det(A)ou
jAj
A= [aij]i,j=1,...,n !det(A) = jAj
O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento (de ordem 1) é o próprio elemento
A= [12] ! jAj = j12j =12
Matrizes e Determinantes
Determinantes
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pela seguinte regra:
A= a11 a12
a21 a22 ! jAj =
a11 a12
a21 a22 =a11a22 a12a21
Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária
jAj = 1 4
2 9 = ( 1) 9 2 4= 17
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Cálculo de um Determinante de matrizes quadradas de ordem 3: Regra de Sarrus
Considere uma matriz quadrada de ordem 3
A= 2 4 aa1121 aa1222 aa1323 a31 a32 a33 3 5
Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas deA por baixo da matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a principal, somando os resultados. A seguir, multiplicamos os
elementos da diagonal secundária da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados, isto é
Matrizes e Determinantes
Determinantes A = 2 4 aa1121 aa1222 aa1323 a31 a32 a33 3 5 a11 a12 a13 a21 a22 a23 jAj = (a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23) (a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21)Matrizes e Determinantes
Determinantes Em esquema* * *
* * *
* * *
à
* * *
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* * *
* * *
* * *
= ( \ + \ + \ ) - ( / + / + / )
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Example
Calcule o seguinte determinante:
A = 2 4 1 3 42 1 5 1 0 2 3 5 1 3 4 2 1 5 jAj = (1 1 2+2 0 4+1 3 5) (4 1 1+5 0 1+2 3 2) = (2+0+15) (4+0+12) =17 16=1
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Determinantes
Menor complementar
Considere uma matriz A= aij i,j=
1,...,n, quadrada de ordemn: O menor
complementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante da
submatriz quadrada, de ordem (n 1), que se obtém deA retirando-se a linhai e a coluna j. Exemplo: A = 2 4 12 01 21 1 1 0 3 5 , D12 = 21 01 =2 0 ( 1) ( 1) = 1 D33 = 1 02 1 =1 1 (0) (2) =1
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Determinantes
Complemento algébrico
Dada a matriz quadrada de ordem n, A= aij i,j=1,...,n, o complemento algébrico de aij é o númeroAij que se obtém multiplicando-se( 1)i+j pelo
menor complementar de aij, isto é
Aij= ( 1)i+j Dij Exemplo A = 2 4 12 01 21 1 1 0 3 5 , D12 = 21 01 =2 0 ( 1) ( 1) = 1 A12 = ( 1)1+2D12 = ( 1)3 ( 1) =1 A33 = ( 1)3+3D33 = ( 1)6 (1) =1
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Determinantes: matriz inversa
Cálculo da inversa de uma matrizA: Uma matriz inversa de A (neste caso denominada porB) tem de veri…car a seguinte igualdade: AB=BA=I. Quando B existe designa-se por A 1 e a igualdade anterior assume o seguinte aspecto:
AA 1 =A 1A=I
Em suma, para se poder obter a inversa, a matrizA tem de ser quadrada e regular (isto é a característica é igual à ordem, ou seja
jAj 6=0).
A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte
A 1= Aˆ T jAj
sendo ˆAT a matriz dos complementos algébricos transposta.
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Determinantes: matriz inversa
Example
Calcule, caso possível, a inversa da seguinte matriz
A= 2 3
5 1
Como a matriz A é quadrada e regular (poisjAj =176=0), é possível determinar a sua inversaA 1 aplicando a fórmula
A 1 = Aˆ T jAj
Primeira vez obtemos a matriz dos complementos algébricos, isto é
ˆ
A= 1 5
3 2 !Aˆ
T = 1 3
5 2
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Determinantes: matriz inversa
Logo A 1 = Aˆ T jAj = 1 17 1 3 5 2 = 1/17 3/17 5/17 2/17
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Propriedades dos determinantes
1 Se uma matriz quadrada A tem uma …la nula, então jAj =0
2 jAj = AT , A 1 = jAj 1
3 Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas …las
paralelas.
jAj = 1 3 5 2
C1$C2
! 32 51
Matrizes e Determinantes
Valores próprios
SejaA uma matriz quadrada de ordem n. Então um valor próprio de A é um escalar λ tal que det(A λIn) =0, isto é, os valores próprios de A
são as raízes da equação det(A λIn) =0. A matriz A tem no mínimo
um valor próprio e no máximo n valores próprios distintos.
A equação det(A λIn) =0 designa-se por equação característica da
matriz A e é uma equação polinomial de grau n na variável λ. O polinómio de grau n na variável λ,
det(A λIn) =λn+cn 1λn 1+cn 2λn 2+ +c1λ+c0,
tem o nome de polinómio característico da matriz A.
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Valores próprios
No caso particular em quen=2, isto é,
A= a11 a12
a21 a22 ,
o determinante característico assume a expressão
det(A λI2) =
a11 λ a12
a21 a22 λ
= λ2+ ( a11 a22)λ+ (a11a22 a12a21) =0
Os valores próprios da matriz A correspondem às raízes do seu polinómio característico. Atendendo a que o polinómio característico de A é de grau 2, a matriz A tem no máximo 2 valores próprios.
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Valores próprios
Example
Determinação de valores próprios. SejaA uma matriz de ordem 2 de…nida por
A= 5 2
2 2 .
Para determinar os valores próprios de A há que determinar o polinómio característico de A, isto é
det(A λI2) = det 25 22 λ0 λ0
= det 5 λ 2
2 2 λ
= (λ+5)(λ+2) 4=λ2+7λ+6
Matrizes e Determinantes
Valores próprios
Resolver a equação característica deA
det(A λI2) = 0,λ2+7λ+6=0
, (λ+1)(λ+6) =0
que tem como soluções λ1 = 1 ou λ2 = 6 (ou seja os valores próprios
da matriz A).
