Fix 4.6: Considere I : V V e T : V W definidas por I(v) = v e T (v) = 0 para todo v V. (c) Nuc(T ) = (V, W, 0); (d) Im(T ) = (V, W, 0);

Fix 4.6: Considere I : V → V e T : V → W definidas por

I(v) = v

e T (v) = 0 para todo v ∈ V .

(a)

Nuc(I) =

(V, W, 0);

(b)

Im(I) =

(V, W, 0);

(c)

Nuc(T ) =

(V, W, 0);

(d)

Im(T ) =

(V, W, 0);

4.6: (a) 0; (b) V ; (c) V ; (d) 0.

Fix 4.7: Seja T : V → W uma TL. Para cada pergunta, escolha

uma das opções.

(i) a definição de

Nuc(T ) é:

(A) {w ∈ W | T (0) = w};

(B) {w ∈ W | T (w) = 0};

(C) {v ∈ V | T (v) = 0};

(D) {v ∈ V | T (0) = v}.

(ii) a definição de

Im(T ) é:

(A) {w ∈ W | w = T (v)

para algum v ∈ V };

(B) {w ∈ W | v = T (w)

para algum w ∈ W };

(C) {v ∈ V | w = T (v)

para algum v ∈ V };

(D) {v ∈ V | v = T (w)

para algum w ∈ W };

(iii) T é sobrejetiva se, e somente se:

(A) dim(V ) = dim(W );

(B) dim(

Nuc(T )) = dim(V ); (C)

dim(

Nuc(T )) = 0;

(D) dim(

Im(T )) = dim(W ); (E) dim(Im(T )) = 0.

(iv) T é injetiva se, e somente se:

(A) dim(V ) = dim(W );

(B) dim(

Nuc(T )) = dim(V ); (C)

dim(

Nuc(T )) = 0;

(D) dim(Im(T )) = dim(W ); (E) dim(Im(T )) = 0.

4.7: (i) (C); (ii) (A); (iii) (D); (iv) (C).

Fix 4.8: Determine (geometricamente, não faça contas) o

núcleo e a imagem de cada uma das TLs abaixo de R

em R

_:

(a) projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor (2, 1, 1);

(b) rotação de 11 graus em torno do eixo (−2, 1, 2);

(c) reflexão em torno do plano x = 0;

(d) projeção ortogonal no plano x = 0.

4.8: (a) Núcleo é o plano perpendicular a (2, 1, 1), isto é, o plano 2x + y + z = 0.

Imagem é a reta gerada por (2, 1, 1). (b) Núcleo é o 0 somente. Imagem é todo R3. (c) Núcleo é o vetor 0 somente. Imagem é todo R3. (d) Núcleo é a reta gerada por (1, 0, 0) (o eixo x). Imagem é o plano x = 0, gerado pelos eixos y e z.

Fix 4.9: Este exercício é para ser feito com argumentos

geométricos. Todas as transformações estão definidas de R

em R

_{. Seja P uma projeção ortogonal na reta r e R uma}

reflexão em torno da mesma reta r. Determine:

(a)

Im(P ) =

(0, r, R

_);

_(b)

Nuc(R) =

_{(0, r, R}

_);

_(c)

P P =

(P, R, I, 0);

(d) RR =

(P, R, I, 0);

(e) RP =

(P, R, I, 0);

(f)

P R =

(P, R, I, 0);

(g) de forma geral P

_{e R}

com 1 ≤ n ∈ N.

17

4.9: (a) r; (b) 0; (c) P P = P ; (d) RR = I; (e) RP = P ; (f) P R = P ; (g) Pn_{= P}

e R2k_{= I; R}2k+1_{= R.}

Fix 4.10: Seja T : R

→ R

_{linear. Se dim(}

_{Nuc(T )) for igual a:}

(a) 0, dim(Im(T )) =

;

(b) 3, dim(Im(T )) =

;

(c) 5,

dim(

Im(T )) =

.

4.10: (a) 7; (b) 4; (c) 2;

Fix 4.11: Determine dim(

Im(T )) sabendo que:

(a) T : R

_{→ R}

_{com dim(Nuc(T )) = 3; (b) T : R}

_{→ R}

_com

T

injetiva.

4.11: (a) 2; (b) 5;

Fix 4.12: Determine dim(

Nuc(T )) sabendo que:

(a) T : V → W com T sobrejetiva, dim(V ) = 5, dim(W ) = 3;

(b) T : R

_{→ R}

_{sabendo que existe a inversa de T .}

4.12: (a) 2; (b) 0;

Fix 4.13: Determine se é verdadeiro ou falso cada um das

seguintes afirmativas sobre TLs:

(a) T : R

_{→ R}

_{pode ser injetiva;}

(b) T : R

_{→ R}

_{com dim(}

_{Im(T )) = 3 é injetiva.}

(c) Se T : R

_{→ R}

_{satisfaz T (0) = 0, então T é linear.}

(d) Se T é injetiva, então não existe w 6= 0 tal que T (w) = 0.

(e) se T : V → V possui inversa, então dim(

Nuc(T )) = dim(V ).

4.13: (a) falsa; (b) verdadeira; (c) falso; (d) verdadeiro. (e) falso,

dim(Nuc(T )) = 0.

4.2

Problemas

Prob 4.25: Determine a TL que representa uma:

(a) reflexão em R

_{em torno da reta x + y = 0.}

(b) projeção ortogonal em R

_{sobre o plano y = z;}

(c) rotação em R

_{de 45}

_{em torno do eixo z.}

4.25: Veja o efeito nos vetores da base canônica.

(a) T (1, 0) = (0, −1), T (0, 1) = (−1, 0). Logo T (x, y) = (−y, −x). (b) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = _√1 2(0, 1, 1), T (0, 0, 1) = 1 √ 2(0, 1, 1). Assim, T (x, y, z) =√1 2(x √ 2, y + z, y + z). (c) T (1, 0, 0) =_√1 2(1, 1, 0), T (0, 1, 0) =√1 2(−1, 1, 0), T (0, 0, 1) = (0, 0, 1). Assim, T (x, y, z) = _√1 2(x − y, x + y, z √ 2).

50

Prob 4.27: Considere T : R

→ R

_{dada por}

T (x, y, z) = (4x − y + 2z, −2x + y/2 − z).

Determine se:

(a) (1, 2) ∈

Im(T ); (b) (1, 4, 0) ∈ Nuc(T ); (c)

(0, 2, 2) ∈

Nuc(T ).

4.27: (a) Não. (b) sim; (c) não.

Prob 4.28: Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas

dimensões de:

(a) T : R

_{→ R}

_{, T (x, y, z) = (x − y, −y − z , y − x, y + z);}

(b) T : R

_{→ R}

_{, T (x, y, z) = (x − y, z + 2x, 2y + z);}

(c) L : R

_{→ R}

_,

L(a, b, c, d, e) = (a + 3c − e, c − d + e, a + 4c − d).

55

4.28: (a) Resolvendo o sistema     1 −1 0 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 1       x y z   =     0 0 0 0    

achamos o núcleo. Escalonando

totalmente a matriz obtemos: 

1 0 1 0 1 1



. São 3 variáveis, 2 equações: 3 − 2 = 1variável livre. Como a coluna sem pivô é a terceira, colocamos z como variável livre. São dependentes x e y. Colocando z = r, x = −z = −r e y = −z = −r. Logo, (x, y, z) = (−r, −r, r) = r(−1, −1, 1). Logo o núcleo tem dimensão 1 e base {(−1, −1, 1)}.

Pelo TNI, dimensão da imagem é 3 − 1 = 2. Para calcular a base montamos a matriz com T (e1), . . . , T (en)nas linhas:

  1 0 −1 0 −1 −1 1 1 0 −1 0 1 

. Escalonando (parcialmente, não precisa ser totalmente escalonada),



1 0 −1 0 0 −1 0 1



. Logo a imagem tem dimensão 2 e base {(1, 0, −1, 0), (0, −1, 0, 1)}. (b) Resolvendo o sistema   1 −1 0 2 0 1 0 2 1     x y z   =   0 0 0 

achamos o núcleo. Escalonando totalmente a matriz obtemos:



1 0 1/2 0 1 1/2



. São 3 variáveis, 2 equações: 3 − 2 = 1 variável livre. Como a coluna sem pivô é a terceira, colocamos z como variável livre. São dependentes x e y. Colocando z = r, x = −z/2 = −r/2 e

y = −z/2 = −r/2. Logo, (x, y, z) = (−r/2, −r/2, r) = r(−1/2, −1/2, 1). Logo o núcleo tem dimensão 1 e base {(−1/2, −1/2, 1)}.

Pelo TNI, dimensão da imagem é 3 − 1 = 2. Para calcular a base montamos a matriz com T (e1), . . . , T (en)nas linhas:

  1 2 0 −1 0 2 0 1 1  . Escalonando

(parcialmente, não precisa ser totalmente escalonada), 

1 2 0 0 2 2

 . Logo a imagem tem dimensão 2 e base {(1, 2, 0), (0, 2, 2)}.

(c) Resolvendo o sistema

  1 0 3 0 −1 0 0 1 −1 1 1 0 4 −1 0        a b c d e      =   0 0 0 

achamos o núcleo. Escalonando

totalmente a matriz obtemos: 

1 0 0 3 −4 0 0 1 −1 1



. São 5 variáveis, 2 equações: 5 − 2 = 3 variáveis livres. Como são colunas com pivô primeira e terceira, a e c são dependentes. São livres: b, d, e. Colocando

b = r, d = s, e = t, a = −3d + 4e = −s + t, c = d − e = s − t. Logo, (a, b, c, d, e) = (−3s + 4t, r, s − t, s, t)

= r(0, 1, 0, 0, 0) + s(−3, 0, 1, 1, 0) + t(4, 0, −1, 0, 1). Logo o núcleo tem dimensão 3 e base

{(0, 1, 0, 0, 0), (−3, 0, 1, 1, 0), (4, 0, −1, 0, 1)}.

Pelo TNI, dimensão da imagem é 5 − 3 = 2. Para calcular a base montamos a

matriz com T (e1), . . . , T (en)nas linhas:

     1 0 1 0 0 0 3 1 4 0 −1 −1 −1 1 0      . Escalonando

(parcialmente, não precisa ser totalmente escalonada), 

1 0 1 0 1 1

 . Logo a imagem tem dimensão 2 e base {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Prob 4.33: Explique em cada caso porque não existe uma TL:

(a) T : R

_{→ R}

_{cujo núcleo seja a origem;}

(b) T : R

_{→ R}

_{que seja injetiva;}

(c) T : R

_{→ R}

_{com dim}

_{Nuc(T ) = dim Im(T );}

(d) T : R

_{→ R}

_com

_{Nuc(T ) = h(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i e}

Im(T ) = h(1, 1, 2), (2, 2, 4)i.

4.33: (a) Contradiz o Teo. do Núcleo e da Imagem (dimensão do núcleo só com

a origem (= 0) mais dimensão da imagem (no máximo = 2) é menor do que a dimensão do espaço de partida (= 4) . Ou, mais intuitivamente, um espaço de dimensão 4 está sendo levado pela TL num espaço de dimensão 2. A imagem portanto tem dimensão no máximo 2. Assim, é preciso que um subespaço de R4

de dimensão ao menos 2 seja levado (colapse) no 0 pela TL.

(c) Para que a TL seja injetiva, seu núcleo deve ser trivial, ou seja, deve conter apenas o 0 (de R4_{). Nesse caso a dimensão do núcleo é 0 (contém apenas um}

ponto). Mas na TL dada, o núcleo deve ter dimensão pelo menos 2 (vide resposta do item (a)).

(e) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = 7. Ora, como a soma de dois números iguais daria um número ímpar? Impossível. (g) Note que os vetores da base do núcleo são LI (e dim(N (T )) = 2), mas que os vetores (1,1,2) e (2,2,4) que geram a imagem são LD, e logo basta um deles para gerar o mesmo espaço (logo dim(Im(T )) = 1). Mas aí, novamente, não conseguiríamos satisfazer ao Teo. do Núcleo e da Imagem. Logo não é possível existir tal TL.

Prob 4.34: Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo

as condições dadas.

(a) T : R

_{→ R}

_{que leva (−1, 2) em (1, 0) e (1, −1) em (−1, −1);}

(b) T : R

_{→ R}

_{tal que o núcleo é plano}



x + y + z = 0

z − w = 0

e a

imagem h(1, −1, 1), (1, 2, 3)i;

(c) T : R

_{→ R}

_{cujo núcleo seja dado pela parametrização}







x = s

y = t

z = t + s

e a imagem seja solução do sistema







x = 0

y = 0

z − w = 0

.

68

4.34: (a)  −1 0 −2 −1  (b) T (x, y, z, w) = (2x + 2y + z + w, x + y − z + 2w, 4x + 4y + z + 3w). Solução: Uma base do núcleo é (1, 0, −1, −1) e (0, 1, −1, −1). Podemos completar esta base, por exemplo, com (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1). Podemos agora determinar completamente T por T (1, 0, −1, −1) = T (0, 1, −1, −1) = 0, T (0, 0, 1, 0) = (1, −1, 1)e T (0, 0, 0, 1) = (1, 2, 3).

(c) T (x, y, z) = (0, 0, −x − y + z, −x − y + z) Solução: O núcleo é gerado por (1, 0, 1)e (0, 1, 1). A imagem é gerada por (0, 0, 1, 1). Portanto,

T (1, 0, 1) = T (0, 1, 1) = 0. Como (0, 0, 1) completa a base do R3_{(entre outras}

possibilidades), colocamos T (0, 0, 1) = (0, 0, 1, 1). Agora sabemos T em três vetores da base de uma base do R3_{. Portanto podemos determinar que}

T (x, y, z) = (0, 0, −x − y + z, −x − y + z).