A História da Matemática subsidiando contextos de abordagem para a resolução de problemas: O caso do truque de Fibonacci

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A História da Matemática

subsidiando contextos de

abordagem para a resolução

de problemas: O caso do

“truque de Fibonacci”

Tercio Girelli Kill1

Andressa Cesana2

O

recurso à história da matemática como forma de potencializar as abordagens didáticas no ambiente escolar, assunto abordado por pesquisadores de várias partes do mundo, serviu de mote para a constituição deste texto, que envolve um matemático medieval, um curioso problema daqueles tempos e o estabelecimento de uma notá-vel sequência numérica. Os detalhes sobre a trama serão tratados num espaço específico deste texto. Precede uma pequena discussão acerca do uso da história da matemática pelo professor em sala de aula.

Especificamente no Brasil, o discurso a respeito das potencia-lidades pedagógicas da história da matemática é relativamente remoto. De acordo com Rocha (2001, p.173), já na década de 1930, o profes-sor Euclides Roxo defendia que o interesse dos alunos seria aguçado mediante “[...] ligeiras alusões a problemas clássicos e curiosos e aos fatos capitais da história da Matemática, bem como à biografia dos grandes vultos desta ciência”. Dentro desse mesmo espírito, Miguel e 1 Professor do DTEPE/CE – Universidade Federal do Espírito Santo

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Miorim (2004, p. 61) identificaram “argumentos de natureza epistemo-lógica” propostos em diversas épocas, que reforçavam as potencialida-des pedagógicas da história da matemática, referindo-se a ela como uma “fonte de seleção de tópicos, problemas ou episódios motivadores da aprendizagem da Matemática escolar”.

A diversidade de contextos oferecidos pela história da matemá-tica, dos quais o professor poderá se apropriar conforme os objetivos de uma dada situação didática, é o provedor adequado para a construção de narrativas, materializadas como um enredo para a apresentação de conceitos e problemas de matemática. A construção de “narrativas fabu-losas” como metodologia para o ensino já foi apontada por Machado (2003) como uma das ações fundamentais do docente desejoso de uma prática significativa.

O reporte histórico a personagens que contribuíram para a difu-são e desenvolvimento da matemática, sócio historicamente produzida, promove justiça para com aqueles que, por alguma razão, imprimiram seu nome na história. Existindo registros históricos consistentes sobre o contributo de um ou vários personagens para o “caminhar” de uma teoria matemática de uma dada época, constitui-se uma espécie de “plá-gio” a apropriação de determinados saberes, sua exposição ou difusão, sem que exista, pelo menos, uma alusão aos seus devidos precursores históricos.

Uma vez expostos alguns dos interesses que avalizam o uso da história da matemática no contexto escolar, intentar-se-á, portanto, promover o diálogo com autores como forma de render alinhamento teórico à vertente de trabalho proposta. Mendes (2009), em seu livro intitulado Mate mátic a e inve stig aç ão e m sala de aula, discute a resolução de problemas como estratégia cognitiva. Segundo o autor, a resolução de problemas no âmbito escolar é normalmente apresentada pelas pes-quisas com duas concepções que se complementam. Uma se relaciona com o processo de se compreender e descrever como o aluno resolve

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problemas; a outra se refere à tentativa de ensinar o aluno a conseguir bom desempenho ao resolver problemas. Acredita-se que tais concep-ções são complementares e importantes no processo de ensino e apren-dizagem da matemática.

Considerando a categorização de problemas descrita por Mendes (2009, p. 78), destacam-se, neste trabalho, proble mas para

de sc obr ir, os quais são caracterizados por apresentarem “formulação e

contextos explícitos levando ao uso de estratégias e regra geral para a descoberta de um caminho para a solução”. As tarefas decorrentes da dinâmica de trabalho proposta se aproximam da caracterização des-crita. No âmbito dos parâmetros curriculares nacionais (PCNs), pode--se enquadrar a proposta no bloco de conteúdo denominado Núme ros

e Ope raç õe s. Sobre o bloco de Conteúdos, Números e Operações, em

Brasil (1998, p. 50) observa-se que:

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grande-zas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação.

Nesse sentido, o texto sinaliza possibilidades de trabalho envol-vendo generalizações de padrões aritméticos. O recurso à resolução de problemas e à história da matemática, como vias metodológicas, enseja a apresentação de um personagem importante da matemática e ilustra uma possibilidade de apropriação das suas contribuições para ativida-des didáticas.

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Uma curiosa sequência numérica

O escritor norte-americano Dan Brown, autor do livro O Códig o

da Vinc i, conta a saga do simbologista de Harvard, Robert Langdon,

convidado pela polícia francesa para auxiliar nas investigações sobre o assassinato do curador do Museu do Louvre. Uma das pistas encon-tradas consistia numa sequência numérica, assim disposta: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. Assim como em outras passagens da obra, Brown (2003) visitou a história para captar elementos reais para a sua ficção. Os números colocados em ordem crescente formam uma famosa sequên-cia, que o autor norte-americano ajudou a popularizar ainda mais. O surgimento dessa sequência data do século XIII, num contexto bem específico:

Um homem colocou um par de coelhos em um lugar cer-cado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coe-lhos podem ser produzidos a partir desse par em um ano, se supõe-se que a cada mês cada par gera um novo par que, a partir do segundo mês, torna-se produtivo?3

O problema integrava a terceira seção do livro Líbe r Abac c i, escrito por Leonardo de Pisa (1170-1250) e publicado em 1202. De acordo com O’Connor e Robertson4 (1998), Leonardo era filho de um

funcionário público italiano que trabalhou no sul da África, período no qual teve a oportunidade de se familiarizar com outros sistemas e repre-sentações matemáticas. Inscreveu seu nome na história da matemática por meio de seus apelidos5. O mais famoso, Fibonacci, é uma alusão à

3 Disponível em: <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html>. Acesso em: 26 nov. 2013.

4 Autores de um sítio especializado em biografias de matemáticos. Disponível em: <http:// www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/>.

5 Em outras situações, Leonardo de Pisa aparece referenciado como Big ollo, que pode sig-nificar “bom para nada” ou “viajante”.

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origem familiar, os Bonac c i. O termo significa algo próximo a filho dos Bonacci6.

Uma solução para o problema dos coelhos deu origem à curiosa “sequência de Fibonacci”. Como regra geral, a sequência determina que cada um dos termos, posterior ao segundo termo, é igual à soma dos dois termos anteriores. Segundo Hogben (1952), Leonardo Fibonacci, pioneiramente na história, fez parte da cultura independente da classe mercante e, provavelmente, essa sua sequência famosa não passava para ele de uma curiosidade matemática. Além disso, vale ressaltar que a associação entre a sequência numérica que resolve o problema dos coe-lhos e o nome de Fibonacci é devida ao matemático francês Edouard Lucas (1842-1891), célebre por ter criado o jogo conhecido como “Torre de Hanói” (MENDES, 2007, p.50).

Acredita-se que as potencialidades didáticas da sequência de Fibonacci residem na problematização acerca do princípio numérico gerador dos termos; nas adaptações possíveis, ocasião específica para se estabelecer outras sequências do “tipo Fibonacci”, cujos dois primeiros termos não são necessariamente iguais a 1 e, por fim, na generalização do padrão numérico envolvido.

O truque de Fibonacci

A sequência “original” de Fibonacci revela desdobramentos belíssimos, quais sejam: o número de ouro, problemas de ótica, cresci-mento de galhos de algumas plantas, dentre outros. Mendes (2007, p.52) exibe uma associação entre a quantidade de pétalas de algumas flores e um número pertencente à sequência “original” de Fibonacci. As sequ-ências “tipo Fibonacci” são dotadas de algumas propriedades curiosas. Neste texto, nos deteremos a explorar uma relação que envolve a soma 6 A professora Maria Efigênia Gomes de Alencar (2004) apresenta outra versão para

justifi-car a alcunha Fibonacci. Segundo ela o apelido é devido à família de “boa estirpe”, à qual Leonardo pertencia. Então, Fibonacci significava literalmente “filho de boa gente”.

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dos dez primeiros termos dessas sequências. Tal relação será mencio-nada, no âmbito do artigo, como o “truque de Fibonacci”. Ressalta-se que tal termo será utilizado apenas no contexto deste trabalho, de forma fantasiosa. Não há passagens históricas que comprovem que Leonardo de Pisa tenha se valido de tal artimanha junto a companheiros ou a quaisquer outras pessoas.

A dinâmica das ações pode ser assim descrita: solicita-se a um aluno que escreva no quadro-negro uma sequência “tipo Fibonacci”, com dez termos. O professor não terá contato com a sequência numé-rica. Após o estabelecimento de todos os dez termos, o professor pede ao estudante que calcule a soma dos dez termos da sequência, sem revelar o resultado. Ainda sem olhar para o quadro, o professor poderá solicitar ao aluno que apague alguns dos termos da sequência, por exemplo: o primeiro, o segundo, o terceiro, o sexto, o nono e o décimo. A partir daí, ele solicita ao aluno a visualização dos termos restantes da sequência por três segundos e, imediatamente, indica para toda a turma o valor da soma. Mas, como isso é possível?

A escrita algébrica das sequências “tipo Fibonacci” desvendará algumas interessantes propriedades. Veja: supondo a e b como sendo, respectivamente, o primeiro e o segundo termo de uma sequência de Fibonacci, temos que os primeiros dez termos serão dados pelas expres-sões: a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b. Notemos que a soma algébrica dos dez termos é igual a 55a + 88b, que pode ser escrita como 11(5a + 8b), ou seja, 11 vezes o sétimo termo. Logo, uma possibilidade para calcular a soma dos dez primeiros termos de uma sequência “tipo Fibonacci” se tornaria viável após a identifica-ção do sétimo termo.

Obviamente, outras relações algébricas são possíveis. Caberá ao professor identificá-las e desafiar os seus aprendizes, mediante o enredo de outros desafios. Com este texto, ilustrou-se uma possibilidade de se engendrar atividades para a matemática escolar servindo-se da história

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da matemática como fomentadora do contexto. Miguel e Miorim (2004) destacam, entre justificativas epistemológicas e éticas, quinze argumen-tos reforçadores das potencialidades pedagógicas da história da mate-mática, todos pertinentes. Mas ainda que não fossem, uma aula de matemática com resgates históricos de toda ordem é, pelo menos, mais encorpada numa perspectiva sociocultural.

Referências

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BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. (3º e 4º ciclos do ensino fundamental). Brasília: MEC, 1998.

BROWN, D. O Código da Vinci. Tradução de Celina Cavalcante. Rio de Janeiro: Sextante, 2003.

HOGBEN, L. Maravilhas da Matemática. 3. ed. Tradução de Paulo Moreira da Silva. Porto Alegre: Globo, 1952.

MACHADO, N. J. Ação do Professor: quatro verbos fundamentais. In: Revista Perspectiva. Erechim-RS, v. 27, p. 7-17, 2003.

MENDES, F. M. P. A Matemática na Natureza. 2007. Dissertação (Mestrado em Matemática e Ciências da Natureza). Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, Vila Real, 2007.

MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. Ed. rev. e aum. São Paulo: Livraria da Física, 2009. MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na Educação Matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

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ROCHA, J. L. A Matemática do curso secundário na reforma Francisco Campos. 2001. Dissertação (Mestrado em Matemática). Departamento de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2001.