Correção do efeito topografico em dados sismicos usando formulas de tempo multiparametricas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO

CIENTÍFICA

Dissertação de Mestrado

Correção do efeito topográfico em

~;;Idos

sísmicos usando fórmulas de tel:l:i'po

multi paramétricas

Autor: Valeria Grosfeld

Orientadores: Pro

f.

Dr. Martin Tygel

Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos

Correção do efeito topográfico em dados sísmicos usando

fórmulas de tempo multiparamétricas

Este exemplar corresponde à redação final da dissertação deüdamente corri-gida e defendida por Valeria Grosfeld e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 28 de novembro de 2001.

!:J

Tygel

Dissertação apresentada ao Instituto de :Vlatemática, Estatística e Computação Científica, Cnicamp, como requisito parcial para obtenção do Título de \IESTRE em :Vlatemática Aplicada.

G912c

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Grosfeld, Valeria Silvina

Correção do efeito topográfico em dados sísmicos usando fórmulas de

tempo multiparamétricas I Valeria Silvina Grosfeld -- Campinas, [S.P. :s.n.],

2001.

Orientadores : Martin Tygel; Lúcio Tunes dos Santos

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, ;instituto de '

Matemática, Estatística e Computação Científica. f

l. Processamento de dados sísmicos. 2. Topografia.

3.(

Métodos de continuação. 4. Geofísica. L Tygel, Martin. IL Santos, Lúcio T\.mes dos. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e

Dissertação de Mestrado defendida em 28 de novembro de 2001 e aprovada

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof (a). Dr (a). LUCIO TUNES DOS SÁNTOS

Prof (a). Dr (a). MARIA APARECIDA DINIZ EHRHARDT

Resumo

Na indústria do petroleo a analise de dados sísmicos é uma etapa fundamental na exploração de hidrocarbonetos. Uma ferramenta para obter uma imagem aproximada da subsuperfície da terra é o processo chamado de "empilhamento". Recentemente foi introduzido na lite-ratura um novo método para obter esta imagem ou seção sísmica: o empilhamento CRS

(do inglês "Common Refiection Surface"). O método CRS é um processo de empilhamento que simula uma seção de afastamento nulo e, além disso, fornece seções de parâmetros. Este método pode ser aplicado a dados obtidos numa superfície real não horizontaL O efeito desta superfície topográfica tem que se torne masi fácil a interpretação. Nesta disertação apre-sentamos uma técnica nova para a remoção deste efeito topográfico: continuar a informação até um datum em profundidade escolhido utilizando os parâmetros fornecidos pelo método CRS. Alguns experimentos numéricos são apresentados para ilustrar o processo.

Abstract

A fundamental step in the exploration of oil is the analysis of seismic data. One tool to obtain an aproximated image of the earth's subsurface is the process called "stack". Recently, a new method to get a seismic section was introduced: the Common Refiection Surface stack (CRS stack). This is a stacking process that simulates a zero-offset section and provides useful parameters sections. It can be applied to the real non-horizontal measurement surface. However, after its aplication, it is necessary to remove the topographic effect to obtain a more accurate section to be interpretated. This dissertation presents a new technique to remove the topographic effect: continuation of the information to a chosen depth datum using the CRS parameter. Synthetic examples are provide to illustrate the approach.

"Ao contrário do que afirmam os ingênuos (todos o somos uma vez por outra), não basta dizer a verdade. De pouco ela servirá ao trato das pessoas se não for crível, e tal vez até devesse ser essa a sua primeira qualidade. A verdade é apenas meio caminho, a outra metade chama-se credibilidade. Por isso há mentiras que passam por verdades, e verdades que são tidas por mentiras" .

Agradecimentos

A meu orientador Martin por me receber no grupo, pela orientação neste trabalho, pela paciência e pela dedicação a essa tarefa árdua que é ensinar.

Ao Lúcio, meu co-orientador, por me mostrar outras interpretações, também por me brindar com sua confiança e amizade, além claro da música e literatura compartilhada.

Ao Ricardo, por me ensinar o caminho e me dar alento, me aguentar as perguntas chatas uma e outra vez, por insistir em que eu melhore meu português e pelos momentos compar-tilhados.

Ao Gal, pelo desabafo e pelos encontros "argentinos".

Ao Sérgio, meu "professor" de português, pela sua amizade, você entende. Ao Fabrizio, sem a sua ajuda no laboratório, o que eu teria feito?!

A todos os colegas que conheci nestes anos e me alentaram a seguir. A Lili, Sofi, Nora e Lau por me brindar a sua amizade latina.

Aos gêmeos, Maxi e Sebas, não só por nos oferecer sua casa quando chegamos, mas sobre tudo pela fidelidade.

A

CAPES, pelo apoio financeiro.

A mis queridos padres y hermano, por estar siempre ahi, presentes a pesar de los kilome-tros.

A todos los amigos que hacen achicar las distancias y me hacen sentir que el tiempo no pasa, mejor dicho que pasa y no se nota.

Conteúdo

1 Introdução

2 Tempos de trânsito

2.1 Tempo de trânsito para um modelo simples de subsuperfície 2.2 Tempo de trânsito hiperbólico .

3 O tempo de trânsito na Sísmica 3.1

3.2

3.3

O levantamento sísmico . . . . O empilhamento e a seção de afastamento nulo. A função "semblance"

4 Empilhamento CRS

4.1 Aproximação inicial para o CRS 4.2 Otimização no empilhamento CRS 5 Correção topográfica 5.1 Redatuming . . 5.2 Reamostragem 6 Experimentos numéricos 7 Conclusão 1 3 3 5 8 8 10 11 13 14 16 17 18 20 22 37

Índice das figuras

2.1 Modelo de uma camada horizontal e homogênea . . . 2.2 :VIodelo de camadas planas, horizontais e homogêneas.

2.3 Um raio central e seu vizinho.

3.1 Aquisição sísmica. . . .

3.2 Configurações de uma linha sísmica com uma fonte e seis receptores. 3.3 Traço sísmico.

3.4 Semblance. . .

4.1 Configuração CMP. 4.2 Configuração CRS.

5.1 Continuação .

. 5.2 Continuação de dois raios que chegaram ao mesmo ponto ..

5.3 Reamostragem. . . .

6.1 Modelo com uma camada plana ..

4 5 6 9 9 11 12 14 14 18 19 20 23 6.2 Uma seção fonte comum (esquerda) e uma seção receptor comum (direita). 24 6.3 Seções sísmicas de ponto médio comum (esquerda) e afastamento comum

(di-reita). . . 24 6.4 Seção de parâmetros [(a) ângulo, (b) KNIP, (c) KN] e (d) seção de coerência. 25

6.5 Empilhamento CRS (esquerda) vs verdadeira seção afastamento nulo (direita). 26 6.6 (a) Seção empilhamento continuada e as seções de parâmetros continuados :

(b) ângulo, (c) KNIP, (d) KN. . . . 28 6.7 Seção empilhamento reamostrada (a) e as seções de parâmetros reamostrados

[(b) ângulo, (c) KNJp, (d) KN]· . . . . 29 6.8 l\a esquerda o afastamento nulo simulado, na direita o verdadeiro. 30 6.9 Modelo com três camadas. . . 31 6.10 Seção de parâmetros [(a) ângulo, (b) KNJp, (c) KN] e (d) seção de coerência. 32 6.11 Afastamento nulo simulado com CRS (esquerda), afastamento nulo verdadeiro

(direita). . . 33 6.12 (a) Seção empilhamento continuada e as seções de parâmetros continuados

[(b) ângulo, (c) KNJp, (d) KN ]. . . . 34 6.13 (a) Seção empilhamento reamostrada e as seções de parâmetros reamostrados

[(b) ângulo, (c) KNIP, (d) KN]· . . . . 35 6.14 Na esquerda o afastamento nulo simulado e na direita verdadeiro. 36

A.1 Experimento NIP 41

CAPÍTULO

1

Introdu cão

,

Na indústria do petróleo procuram-se as jazidas produtoras por meio da análise de dados sísmicos. Ondas sísmicas geradas artificialmente pelo homem, atravessam a subsuperfície da Terra e parte da energia que carregam retoma á superfície quando as ondas são refletidas nas interfaces geológicas caracterizadas por um contraste de propriedades físicas (densidade, porosidade, saturação de fluido, etc). Devido a esse fato as interfaces são chamadas de refletores. São esse refletores o interesse da prospecção do subsolo, já que delimitam as grandes estruturas geológicas capazes de armazenar o óleo.

As ondas refletidas são registradas na superfície da Terra para seu posterior estudo. Os dados registrados são uma função do tempo e o objetivo final é obter uma imagem apro-ximada da subsuperfície da Terra em profundidade. Existe na indústria do petróleo um processo largamente utilizado, chamado empilhamento, que aproveitando a redundância de iluminação no subsolo, obtém uma imagem propícia para ser interpretada em tempo. Para esse processo se deve utilizar uma expressão para o tempo que essas ondas demoram em atravessar a Terra e chegar novamente á superfície. O método utilizado atualmente (Mayne (1962)), conhecido como NMO/DMO (do inglês "Normal Moveout"e "Dip Moveout"), usa uma fórmula simples que depende de um único parâmetro, sendo exata apenas para um modelo terrestre de uma camada plana horizontal e homogênea.

Recentemente, surgiram na literatura outros métodos que procuram fazer uma melhor aproximação, visando incorporar mais dados ao processamento e também descrever um

mo-delo mais real do subsolo. São eles o método CRS (do inglês "Common Refiection Surface"), apresentado por Müller et al. (1998) e Hocht (1998), e o método Multifocus, (Tygel et al. (1999); Gelchinsky et al. (1999)), ambos utilizando fórmulas de tempo de trânsito multipa-ramétricas. Também existe um método conhecido como Polystack, proposto por de Bazelaire (1988), que usa hipérboles deslocadas para obter a imagem. Porém, ambas as metodologias são aplicadas aos dados como se a topografia de aquisição dos dados fosse plana. O objetivo desta dissertação é introduzir uma correção para o efeito topográfico no método CRS.

No Capítulo 2, apresentaremos primeiramente quais são as expressões dos tempos de trânsito que descrevem a propagação das ondas sísmicas para modelo simples e outra que se aplica a modelos mais complexos. No Capítulo 3 mostramos a aplicação dessas expressões no processamento de sinais sísmicos. Apresentamos o método CRS no Capítulo 4 e no Capítulo 5 introduzimos a correção topográfica proposta, juntamente com a metodologia utilizada. No Capítulo 6 exibimos alguns exemplos da aplicação do processo. Finalmente no Capítulo 7 apresentamos a conclusão deste trabalho.

CAPÍTULO

2

Tempos de trânsito

Neste trabalho iremos considerar que podemos aplicar as aproximações da Ótica Geométrica para descrever as ondas sísmicas. Em outras palavras, estamos fazendo uma aproximação de alta freqüência para o campo de ondas. Por alta freqüência queremos dizer que a escala de interesse é muito maior que a longitude de onda predominante nos dados (ver Bleistein et al. ( 2001)). Dessa maneira, a propagação da energia das ondas pode ser aproximada pela propagação de pacotes de ondas definidos ao longo de "raios".

Por tempo de trânsito entendemos o tempo que leva um raio para atravessar a subsu-perfície da Terra entre uma fonte e um receptor. Para descrever este tempo precisamos de uma formulação matemática adequada. Gostaríamos de ter uma fórmula que atenda as dificuldades de nosso modelo de Terra, tendo em conta que as interfaces podem ser curvas, o meio não homogêneo, etc. Porém, tradicionalmente no processamento sísmico utiliza-se uma fórmula válida para um modelo simples como veremos a seguir.

2.1

Tempo de trânsito para um modelo simples de

subsu-perfície

Consideremos o modelo de um refletor plano horizontal representado na Figura 2.1. O tempo que o raio leva para ir da fonte S ao receptor G, refletindo na interface, pode ser

facilmente determinado como

(2.1) onde h= (G- S)/2 é o meio afastamento entre a posição da fonteS e a do receptor G, v0

h h

s

G

H

Figura 2.1: Modelo de uma camada horizontal e homogênea.

é a velocidade constante do meio acima do refletor e T₀ é o tempo de trânsito considerando a fonte e o receptor coincidentes em Ç = (S

+

G)/2, isto é,

To= 2H.

V o

e H é a profundidade do refletor. Se a fonte e o receptor estivessem no mesmo ponto o raio atingiria o refletor num ângulo de 90° graus. Por isso chamaremos este raio de normal.

A equação (2.1) pode ser estendida para um caso um pouco mais geral com camadas planas, paralelas e homogêneas, como é mostrado na Figura 2.2. Neste caso, a fórmula do tempo de trânsito pode ser aproximada por (Taner e Koehler (1969))

( 2 2 4h2

T h) ~ T₀

+ -

₂- ,

VRMS

(2.2) onde v RMS é a velocidade quadrática média ( "Root Mean Square" em inglês) dada por

(2.3)

onde vi é a velocidade na camada i, !:iti é o tempo de trânsito vertical em cada camada e

h h

v,

o

Figura 2.2: Modelo de camadas planas, horizontais e homogêneas.

Podemos observar que é necessário conhecer apenas o tempo do raio normal e a veloci-dade RMS para conhecer o tempo de trânsito de um raio relacionado a fontes e receptores simetricamente colocados ao redor do ponto Ç. Isto é muito importante, como veremos mais para frente.

2.2

Tempo de trânsito hiperbólico

Como falamos anteriormente gostaríamos de ter uma fórmula mais geral para o tempo de trânsito, que considere um modelo da Terra o mais geral possível. Nesta seção apresentare-mos uma abordagem.

Ao invés de considerar como variáveis as coordenadas das fontes e dos receptores, consi-deraremos o meio afastamento (h) e a posição do ponto médio ( Ç) em relação a um ponto Ço

onde consideraremos que fonte e receptor estão coincidentemente colocados. Chamaremos ao raio que sai e chega em Ç0 raio normal ou raio central.

Assim, a posição de uma configuração fonte-receptor está determinada univocamente pe-las coordenadas (Ç, h). Para achar o tempo de um raio vizinho ao raio que chega em Ço

(Figura 2.3), fazemos um desenvolvimento de Taylor de segunda ordem ao redor do ponto

Figura 2.3: Um raio central e seu vizinho.

1

T(Ç, h) ~ T(Ço, O)+ A(Ç- Ço) + Dh +

2

[B(Ç- Ç0 )2 + 2E(Ç- Ç0)h + Ch2], (2.4) onde

To= T(Ço, 0), A=

ôTI

ôÇ (Ç=Ço,h=O) '

aTI

D= oh ' (Ç=Ço,h=O) E

a2TI

ohÇ (Ç=Ço,h=O).

Devido à reciprocidade, isto é, fonte e receptor podem ser intercambiados, podemos con-siderar o tempo T(Ç, h) como uma função par em h e, portanto

D =E= O.

Logo, a equação (2.4) se torna

1

T(Ç, h)~ To+ A(Ç- Ç0 )

+

₂

[B(Ç- Ç0 )2

+

Ch

2

] . (2.5)

A aproximação (2.5) é denominada "fórmula parabólica". Devido ao fato de que no caso mais simples, descrito na Seção 2.1 (equação (2.2)), o quadrado do tempo de trânsito é uma forma quadrática, seria melhor considerar a aproximação de Taylor de ordem 2 em T2 e não em T. Isto é equivalente a elevar ao quadrado a equação (2.5) e eliminar os termos de ordem superior a 2. Temos então a "fórmula hiperbólica" dada por

As derivadas parciais na equação (2.6) (parâmetros A, B e C) podem ser determinadas mediante a teoria paraxial dos raios, (Bortfeld (1989); Schleicher et al. (1993)), além de terem uma interpretação física. A fórmula final é

[

. (3

]2

2/3

2 sm 0 cos 0 2 2

T(Ç, h) ~ To+ 2--(Ç- Ço)

+

2To [KN(Ç- Ço)

+

KNIPh

J,

Vo Vo (2.7)

onde (30 é o ângulo que o raio normal faz com a superfície (que consideramos plana e

horizon-tal) em Ç0 , KNIP é a curvatura de uma frente de onda que se origina de uma fonte pontual

localizada no ponto onde o raio normal atinge o refletor, o N I P, (do inglês "Normal

Inci-dence Point") e chega em Ç0 no tempo

T

0

/2

e K N é a curvatura de uma frente de onda que se

origina no refletor no ponto N I P com uma curvatura local igual à curvatura do refletor (os raios que a geram saem todos com 90°) e chega também em Ç0 no tempo T0/2. Estas duas

ondas foram introduzidas em Hubral (1983). A velocidade v0 é a velocidade na vizinhança

do ponto Ç_{0 .} Apresentamos a dedução dessa fórmula no Apêndice.

Vale ressaltar que a aproximação hiperbólica do tempo de trânsito é uma aproximação de segunda ordem no afastamento e que são necessários agora três parâmetros supondo conhecido o tempo do raio normal, em contraste com um único parâmetro deconhecido na oura fórmula. Com isto se espera uma melhor aproximação para o tempo real. Além disso, nesta fórmula geral é posivel utilizar quaisquer pares fonte-receptor que estejam numa vizinhança de Ç0 , enquanto na formulação simples é possível utilizar apenas configurações

onde Ç₀ é o ponto médio.

Recentemente, Chira et al. (2001) propõem uma nova interpretação das constantes da fórmula (2.6), para um meio heterogêneo, com interfaces curvas e superfície topográfica irregular. A fórmula é dada por

2 sm o

[

. (3

]2

T(Ç, h) ~ To+ 2---:;;-(Ç- Ço)

+

2To (KN cos (3

2

0 - cos f3oKo - voEo) (Ç- Ço

)2

V o

2To 2 2

+-(KNIP cos f3o- cos f3oKo- voEo)h ,

V o

(2.8)

onde K₀ é a curvatura da superfície topográfica em Ç₀ e o parâmetro E0 conhecido leva em

conta a heterogeneidade do meio na vizinhança de Ç_{0 .}

Note que a equação (2.7) é um caso particular da equação (2.8) quando a superfície de aquisição é plana e a velocidade na vizinhança de Ç₀ é constante. Esa é a aproximação que utilizamos neste trabalho.

CAPÍTULO

3

O tempo de trânsito na Sísmica

No processamento de sinais sísmicos, o uso do tempo de trânsito é de vital importância. Como veremos a seguir, ele é utilizado num processo que se chama empilhamento, cujo ob-jetivo é obter uma imagem "temporal" da Terra, aproveitando toda a informação disponível

num levantamento sísmico.

3.1

O levantamento sísmico

O levantamento sísmico bidimensional consiste na sucessão repetida de explosões de fontes situadas ao longo de uma linha e o conjunto de seus registros mediante receptores conhecidos como geofones (quando o registro é feito em terra) ou hidrofones (quando o registro é feito no mar). Os receptores são posicionados também na mesma linha onde estão as fontes (ver Figura 3.1).

Este experimento recolhe muita informação que pode ser aproveitada para obter uma imagem aproximada do subsolo.

Vamos introduzir agora alguma terminologia utilizada na sísmica que será necessária no decorrer do capítulo. A Figura 3.2 mostra esquematicamente o avanço de uma linha sísmica a cada explosão, fazendo com que diferentes arranjos de pares fontes-receptores possam ser

Figura 3.1: Aquisição sísmica.

considerados. O asterisco representa uma fonte e os triângulos receptores. A primeira nha no desenho representa a primeira explosão e seu registro nos receptores colocados na

mesma linha (configuração de fonte comum). As próximas linhas representam a translação

do conjunto fonte-receptores sobre a linha sísmica. Um dos arranjos mas utilizados no

processamento de sinal sísmico é o chamado do Ponto Médio Comum, CMP ( "Commom

MidPoint" , em inglês). Este arranjo considera pares fonte-receptor localizados simetrica-mente ao redor do ponto médio. Observando a Figura 2.1 vemos que no caso de um subsolo

fonte comum receptor comum

'

afastamento comum

Figura 3.2: Configurações de uma linha sísmica com uma fonte e seis receptores. com um refletor plano horizontal, esse ponto médio representaria o lugar onde chega o raio normal e, mais do que isso, estando as fontes e os receptores dispostos simetricamente em relação a este ponto, os respectivos raios refletidos alcançariam o mesmo ponto no refletor. Utilizando a fórmula (2.1) poderíamos somar as amplitudes de suas chegadas e colocá-las

no lugar do ponto médio para realçar a informação. Este procedimento é feito atualmente na indústria do petróleo e é conhecido como "empilhamento". No entanto, como vimos no capítulo anterior, temos uma fórmula que aproxima melhor o problema mais geral de modelo de Terra, além de poder usar todos os raios que estejam próximos a um raio normal. Logo, usaremos essa fórmula para fazer o empilhamento.

Na Figura 3.2 observamos também outras configurações: fonte comum, receptor comum (varias fontes com o mesmo receptor), e finalmente afastamento comum (mesmo afastamento entre fonte e receptor para todos os pares).

3.2

O empilhamento e a seção de afastamento nulo

O empilhamento consiste na soma das amplitudes dos eventos em uma configuração de-terminada para a construção de uma seção de afastamento nulo, que é a simulação de um levantamento ao longo da linha de aquisição onde estariam colocados fonte e receptor coin-cidentes. Obviamente, este tipo de levantamento é impossível de ser realizado na prática, mas há um forte interesse em obtê-lo, já que esta simulação, chamada seção de Afastamento Nulo ("zero offset", em inglês), é uma primeira imagem aproximada da Terra .

Mas como construir essa seção de afastamento nulo? Temos os dados que são chamados traços, isto é, uma função no tempo na posição fonte-receptor onde cada "evento" ou "re-flexão" numa interface aparece com uma amplitude a ser considerada, como ilustrado na Figura 3.3.

No levantamento sísmico, uma coleção de traços constitui o que se chama uma seção sísmica. Nessa seção, o eixo horizontal é a coordenada espacial (pode ser h no caso de configuração CMP, ou h e o ponto médio Ç na configuração CRS que definiremos depois) e o eixo vertical é o tempo.

Se pudéssemos traçar uma linha unindo as amplitudes que representam a reflexão na mesma interface, essa função representaria a verdadeira função do tempo de trânsito na Terra. No entanto, essa função é desconhecida e já vimos na seção 2.2 que podemos aproxi-má-la por uma hipérbole. Então, dispondo dos dados, temos que encontrar os parâmetros

/3

0 , KNIP e KN que melhor aproximem a superfície real que representa o tempo em relação

ao lugar Ç0 onde queremos simular o tempo de afastamento nulo. Isto não é outra coisa que um problema de otimização. Se fosse possível, poderíamos extrair ("picar") cada evento ou

s

G

X

~~~ ~~~

---

--~

t

Figura 3.3: Traço sísmico.

amplitude que resulte significativa na construção dessa curva e aplicar qualquer algoritmo de minimização do tipo quadrados mínimos. Infelizmente o grande volume de dados faz com que se procure outra alternativa.

3.3

A

função "semblance"

Para traços vizinhos ao ponto Ç0 onde queremos simular o traço de afastamento nulo,

podemos considerar que a amplitude do evento considerado é praticamente constante. Assim,

tomando como referência o vetor e= (1, 1, ... , 1), uma boa medida para saber se a função

que aproximamos está perto da verdadeira é verificando se o ângulo entre esse vetor e o

vetor formado pelas amplitudes "picadas" está próximo de zero. Denotando por Uj (j =

1, 2, ... ,

N)

as amostras de que dispomos, temos que

(3.1)

onde a somatória varia de 1 até N. Por razões de diferenciabilidade, é comum considerar o quadrado da equação (3.1)

S=

CEui)2

NEuJ'

que define a função "semblance" (Taner e Koehler (1969)).

Considerando que se podem cometer erros na hora de selecionar onde está o sinal de interesse, se considera uma janela temporal (Figura 3.4), e a fórmula (3.2) se torna

(3.3) onde a somatória externa considera a janela temporal envolvida. Maximizando a função

janela

M amostras

Figura 3.4: Semblance.

semblance podemos dizer que quanto mais perto de 1 estamos, melhor são os parâmetros procurados , sendo que isto tem sentido só onde a informação é coerente. No restante há

apenas ruído. A semblance para a escolha dos parâmetros {30 , KNIP e KN será dada por

s

=

t,

[t,

u(Ç;,

t.)

r

M N ' (3.4)

N

L L

u(Ç,j,

tk)

2 k=l j=l

CAPÍTULO

4

Empilhamento CRS

Como vimos no capítulo anterior, o empilhamento é uma técnica que nos permite obter uma seção de afastamento nulo por meio da soma coerente de informação, eliminando desta maneira parte do ruído presente nos dados além de fornecer uma primeira imagem do subsolo. Podemos dizer que o empilhamento é um método que além de fornecer uma primeira imagem da terra, procura parâmetros que melhor se ajustem aos dados. Para realizar um empilhamento, podemos escolher entre a equação (2.2), onde o parâmetro é VRMs, ou a

equação (2.7), onde os parâmetros são (30 , KNIP e KN. A primeira escolha é o método

utilizado atualmente na indústria e conhecido como empilhamento CMP, já que utiliza essa

configuração para a sua aplicação. A segunda opção é o empilhamento

CRS

apresentado por Jãger (1999) e Hocht (1998), que tem a vantagem, não só de utilizar muita mais informação que o empilhamento CMP, como também é independente de um modelo de velocidades, pois

os três parâmetros procurados dependem somente do raio normal que se quer simular. A configuração

CRS

se caracteriza por pares fonte-receptor numa vizinhança do ponto onde se quer simular o raio central. Na Figura 4.2 vemos que podemos utilizar mais pares que na configuração CMP (Figura 4.1).

Configuração

/CMP

Figura 4.1: Configuração CMP.

Figura 4.2: Configuração CRS .

. 1 Aproximação inicial para o CRS

Configuração CRS

Trataremos agora da procura dos parâmetros da fórmula hiperbólica geral. Note que na

equação (2.7) o tempo T0 também é desconhecido. Poderíamos querer otimizá-lo também.

Ao invés disso, procuraremos os outros parâmetros para todos os tempos T0 e como veremos

nos exemplos, somente onde temos informação é que os parâmetros obtidos têm sentido.

Devemos encontrar uma aproximação inicial para os três parâmetros

/3

0 , KNIP e KN para

uma posterior aplicação de um método de otimização. Há na literatura algumas estratégias para abordar este problema. Uma delas é a proposta de Müller (1999) que explicaremos a

segmr. Outra foi desenvolvida por Garabito (2001), que divide esta busca inicial em duas etapas, aplicando Simulated Annealing.

Müller (1999) reordena o volume de dados de modo a obter as aproximações iniciais dos parâmetros através de três buscas unidimensionais.

Remetendo-nos à configuração CMP, isso se traduz em colocar Ç = Ç0 na equação (2.7). O tempo de trânsito se torna

(4.1) Chamando

(4.2)

obtemos

(4.3) onde q é um parâmetro combinado e será obtido através da maximização da semblance nesta configuração.

Comparando as equações (2.2) e ( 4.3) podemos observar que

2 2vo

vRMS = Toq' ( 4.4)

mostrando que o método de empilhamento CMP está contido no método de empilhamento

CRS.

Uma vez obtido q podemos fazer uma soma ao longo da curva obtida para cada

T

0

definida por a equação ( 4.1), e obter uma seção preliminar de afastamento nulo.

Na equação (2.7) o tempo de um evento de afastamento nulo é representado tomando

h=

o,

[

. 8

]2

2/3

2 sm 0 cos 0 2

TAN(Ç,

O)

~ To+ 2-'-(Ç- Ço)

+

2To KN(Ç- Ço) ,

Vo Vo (4.5)

e, portanto, apenas o tempo TA.N de um raio vizinho a um raio central nesta configuração depende de KN e

/3

0 . Fazendo uma simplificação podemos pensar que as ondas que chegam

sin f3o

TAN(Ç, O) ~To+ 2--(Ç- Ço).

v o

(4.6)

Utilizando esta equação podemos achar um f30 inicial que colocado na equação (4.5) nos

serve para procurar um KN inicial. Obtidos q e f3₀ podemos calcular KNIP inicial através da

equação (4.2).

4.2

Otimização no empilhamento CRS

Urna vez obtidas as aproximações iniciais dos três parâmetros é necessário um algoritmo de otimização para a busca da solução ótima. Na literatura podemos encontrar alguns algoritmos de otimização que foram aplicados a este método. Müller (1999) utiliza o método de Nelder-Mead de busca em poliedros flexíveis. Outro método de otimização, introduzido em Birgin et al. (1999), utiliza o Método do Gradiente Espectral Projetado (SPG) aplicado a seções de fonte comum. Recentemente, Garabito (2001) propõe um método utilizando quasi-Newton. Escapa aos objetivos desta dissertação a explicação destes métodos de otimização e, portanto, maiores detalhes podem ser encontrados nas referencias Nelder e Mead (1965), Birgin et al. (2000) e Garabito (2001). O programa que tínhamos disponível usa a proposta de Müller (1999).

CAPÍTULO

5

Correção topográfica

Todo o procedimento anteriormente descrito leva em conta que a superfície de aquisição dos dados é horizontal, isto é, fontes e receptores estão sobre uma linha reta horizontal (linha sísmica). Obviamente este não é o caso realista da superfície da Terra. Assim, temos que levar em conta o fato de que os dados são adquiridos em uma superfície irregular.

Na indústria do petróleo, antes de se aplicar o empilhamento convencional, os dados são corrigidos assumindo que os raios chegam normal à superfície. Em uma segunda etapa, os dados são extrapolados para um plano horizontal através de uma correção, denominada estática, que leva em conta a diferença da topografia com o plano escolhido. Este é um procedimento computacionalmente caro e de vital importância para o resultado do empilha-mento.

Nossa estratégia consiste em aplicar o empilhamento CRS aos dados como se a superfície fosse horizontal, isto é, ignorando que a aquisição foi feita na topografia real. A posteriori, corrigimos o efeito da topografia mediante o uso dos mesmos parâmetros obtidos no empi-lhamento CRS para levar a simulação do afastamento nulo a um plano horizontal que pode estar acima ou abaixo da superfície topográfica.

Para simplificar, consideraremos a continuação dos raios acima da superfície topográfica, e consideramos uma camada fictícia cujo topo é plano e horizontal que será a superfície de aquisição falsa. A velocidade dessa camada será v0 , igual à velocidade superficial que

considerávamos anteriormente. Poderíamos considerar também uma outra velocidade e levar em conta a Lei de Snell na superfície topográfica, mas nossa escolha é mais simples de implementar, além de servir também para extrapolar abaixo da superfície. Assim, os raios

que chegam à superfície da Terra continuarão em linha reta até atingirem o nova superfície

horizontal que chamaremos de Datum.

5.1

Redatuming

Conhecendo o ângulo

/3

0 e a normal à superfície no ponto P (ver Figura 5.1), o novo

ângulo /3~ que o raio emergente em Q faz com a vertical é dado por

I 'O :-I~ I ' :.--:-~ I > ' 1 R , raio prolongado ~-'o ' ' ' I ' " I : I '\ :• ' ':1 '\~p

~o

"{ Figura 5.1: Continuação. Datum raio nonnal (5.1)

onde 1 é o ângulo entre a normal à superfície topográfica e a vertical. O ângulo

/3

0 é um dos

parâmetros extraídos do empilhamento CRS e a normal da superfície topográfica é facilmente

calculada quando se trata de experimentos simulados, já que esta superfície é necessária para a geração dos próprios dados. No caso de dados reais, as coordenadas dos pontos onde se fazem as medidas são conhecidas e a normal pode ser aproximada.

pares fonte-receptor fictícios, a partir do ponto P

=

(xp, :E0

(xp))

XQ = Xp

+

(zd- :E0(xp )) tan,B~.

onde zd é a profundidade do Daturn escolhido e .E0 é a superfície de aquisição.

O tempo no qual se registraria o evento em

Q

é

onde

Q p 2R

to= to+-,

v o

As curvaturas K~

1

p e KJ; podem ser facilmente calculadas mediante a operação

1 1 -Q-=-p-+R, KNIP KNIP (5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5) Já ternos então a extensão para os eventos na topografia num Datum qualquer. Porém, esta

z=:E₀ (x) ' _' ' _' ' '. ' ' _' ' ' ' '. ' "' _'

,.

..

'~~ _,,, p

raio normal ao

refletor-topografia

Figura 5.2: Continuação de dois raios que chegaram ao mesmo ponto.

informação está espalhada, corno ilustrado na Figura 5.2. Este efeito deve-se ao fato de que

a chegar ao mesmo lugar no Datum. Lembrando que a procura de parâmetros é feita para

todos os tempos

T

0 , não só teremos os raios como o ruído que também tem seus parâmetros

associados (porém sem sentido físico algum). Além do espaço o tempo também foi espalhado (equação (5.3)). Para efeitos de imagem não teríamos problema algum, mas gostaríamos de utilizar os dados para outros processos. Assim a informação deve estar convenientemente organizada em forma matricial.

5.2

Reamostragem

Como discutimos no final da seção anterior, após a continuação a informação está espa-lhada. Gostaríamos tê-la de novo em forma matricial e para tanto definimos uma malha regular no espaço-tempo.

t

X

I

__ L_

I Figura 5. 3: Reamostragem.

O esquema de reamostragem proposto pode ser observado na Figura 5.3. O eixo x

repre-senta a coordenada xq (equação (5.2)), e o eixo

t

representa o tempo t~ calculado na equação

(5.3). As bolinhas de cores representam os dados continuados. Como podemos observar a informação não esta organizada em forma de traços ou matriz. Para obter novamente dados em forma matricial estabelecemos uma malha principal (linhas cheias) e outra malha auxiliar (linhas tracejadas). Cada centro de retângulo da malha auxiliar é o lugar onde calcularemos

um retângulo da malha auxiliar é o valor a ser associado ao correspondente ponto central (ou nó):

(5.6)

onde Uj representa a amostra dentro da malha tracejada e N o número de pontos que

contribuem. Nos exemplos a seguir veremos que esta aproximação simples resulta muito efetiva. Se poderia usar médias mas apuradas, como ser uma media ponderada, como os resultados numéricos foram efetivos com esta média simples, não implementamos outras.

CAPÍTULO

6

Experimentos numéricos

Neste capítulo apresentamos exemplos da aplicação da correção topográfica ao empilha-mento CRS.

Os dados sintéticos foram modelados por traçamento de raios, usando o programa Seis88.

Esse programa é de autoria de Vlastislav Cerveny e Ivan Psencík e foi desenvolvido no Departamento de Geofísica da Charles University (República Tcheca). Após o modelamento os dados são convertidos para o formato Seismic Unix (SU), para as posteriores manipulações. O SU é um pacote sísmico que permite fazer o processamento completo dos dados sísmicos. Foi desenvolvido na Colorado School of Mines (Estados Unidos) e é de livre utilização. Para obter os parâmetros C RS e o empilhamento utilizamos um programa desenvolvido no Instituto de Geofísica da Universidade de Karlsruhe (Alemanha). A correção topográfica desenvolvida neste trabalho foi implementada em linguagem C.

Para testar a metodologia escolhemos um modelo simples, no qual podemos prever qual é o resultado final, de maneira a controlar os parâmetros. Na Figura 6.1 podemos observar o primeiro modelo, composto por duas camadas homogêneas, separadas por uma interface plana horizontal, e a linha de aquisição com topografia senoidal. Nas Figuras 6.2 e 6.3 exibi-mos algumas seções do volume de dados original ao qual foi adicionado ruído. A Figura 6.2 mostra duas seções, uma de fonte comum e outra de receptor comum. A posição da fonte (na figura à esquerda) e a do receptor (na figura à direita) é a mesma. Podemos ver a forma hiperbólico da curva do tempo de trânsito nestas duas seções.

-8 o 8

Distância (km)

16 24

Figura 6.1: Modelo com uma camada plana.

A Figura 6.3 mostra duas seções, uma (esquerda) com mesmo ponto médio ou seção

CMP. A outra é uma seção construída para cada fonte e receptor com o mesmo afastamento (direita). Este tipo de seção é a que reflete melhor o subsolo. Neste caso apresenta a influência da topografia, mas se a superfície de aquisição fosse horizontal e o refletor horizontal também, obtería-se nesta seção de afastamento comum uma linha horizontal no tempo.

Na Figura 6.4 podemos observar os parâmetros obtidos pelo método

CRS

junto com a

seção de função objetivo ou seção de coerência. Note o alto contraste onde há informação. Em seguida, na Figura 6.5 podemos ver a seção de afastamento nulo obtida mediante

o empilhamento CRS. Mostramos também a verdadeira seção de afastamento nulo para

efeito de comparação. Note que a concordância é muito boa e que se observa a influência da topografia no empilhamento.

coordenada do receptor (km) coordenada da fonte (km)

2

Figura 6.2: Uma seção fonte comum (esquerda) e uma seção receptor comum (direita).

:§: o c. E 2 coordenada da fonte (km) 5

Figura 6.3: Seções sísmicas de ponto médio comum (esquerda) e afastamento comum (di-reita).

distancia (km) 5 (a) distancia (km)

(c)

0.006 0.006 0.004 0.002 o -0.002 -0.006 -0.006 distancia (km) (b) distancia (km) 0.7 0.6 0.5 ~ o c. E 2 0.2 0.1 (d)

:§: o c. E tv .$ O) distancia ( km) 5 :§: o c. E Ql

--5

o

distancia (km) 5 10

A Figura 6.6 apresenta o resultado da continuação nos parâmetros e na seção empilhada. A Figura 6.7 mostra o resultado do reamostragem. O Datum escolhido foi z=-1 km. Como era de esperar a seção empilhada, tirando o efeito da topografia, mostra a imagem de um refletor plano horizontal. Nas seções de ângulo (b) podemos confirmar que o ângulo com que chegam

os raios de afastamento nulo é

oo

graus, como esperado, já que os raios de afastamento nulo

seguem a vertical. Tratando-se o modelo de um único refletor plano horizontal, as seções

de curvaturas nos mostram que o refletor é plano (KN = 0), como é realmente, e que a

profundidade foi bem aproximada (aproximadamente 5 km) pelo inverso do K NIP. Para este

último podemos observar que o valor não se mantém constante ao longo do refletor. Esta diferença se pode explicar considerando que a fórmula do tempo de trânsito não leva em

conta a topografia. Este fato é observado na saída do método CRS analisando os valores

que teriam que ter dado para KNJp, que é o inverso da profundidade em cada ponto da

superfície topografia senoidal. O erro chegou a mais do 20 por cento em alguns pontos do refletor.

Porém, para fins de imageamento o método funciona muito bem, como podemos observar na Figura 6.8.

~-Jl

distl!J'!Cia (111) dJstllnda{mJ dnguJo.

(a)

(b)

duJ/énck:i (kmJ

(c)

(d)

distancia (km) (a) distancia (km)

(c)

distancia (km) (b) distancia (km) 5 (d)

Figura 6.7: Seção empilhamento reamostrada (a) e as seções de parâmetros reamostrados

distancia (km) distancia (km) -5

o

5 10 15 -5

o

5 10 15 ~ ~ o o c. c. E E ~ $ $ o

A Figura 6.9 ilustra o segundo modelo considerado: três camadas homogêneas separadas por dois planos, sendo o primeiro inclinado e o segundo horizontal. A topografia de aquisição é a mesma que no modelo anterior.

A Figura 6.10 mostra as saídas do método

CRS

para este modelo. Podemos ver na seção

de coerência que os valores ao longo do segundo refletor são menores que para o primeiro. Isto acontece porque quando o refletor é mais profundo as amplitudes que podemos recuperar são mais atenuadas e a relação sinal-ruído fica menor.

Na Figura 6.11 mostramos as seções empilhada

CRS

e de afastamento nulo verdadeira.

Como anteriormente, são muito parecidas.

Na Figura 6.12 e na Figura 6.13 são apresentadas a continuação e a reamostragem para os parâmetros e para a seção de afastamento nulo. Novamente, os resultados foram satisfatórios para a seção de afastamento nulo.

Finalmente a Figura 6.14 mostra a comparação da imagem obtida pelo

CRS

e a seção

obtida por modelamento direto no Datum. Observamos que para este último exemplo, os resultados obtidos atenderam as expectativas.

-8 o 8

Dis1ância (km)

i6

Figura 6.9: Modelo com três camadas.

distancia (km) distancia (km)

(a) (b)

distancia (km) distancia (km)

(c)

(d)

3 3. :§:

8.4.

E e;, Q)

-e;, 4. 5. distancia (km) 5 :§: o c. E Q)

-distancia (km)

o

5 10

dlst<~ri<;la (m) dlstl!ncia (mJ (a) (b) C,\;) ;!::>..

t··-4 _.,. ~t 'E~ ··• 4.0o-04 ~ 5

I

jp. 6 2jO~~u4 -5 10 1B -5 d1sJância (~m) du.Jlâr~CCia.{kmJ (c) (d)

:§: 8. E Jll distancia ( km)

(a)

distancia (km) 5

(c)

distancia (km) 20 :§: o _o a. E 2 -20 -40 (b) distancia (km) (d)

Figura 6.13: (a) Seção empilhamento reamostrada e as seções de parâmetros reamostrados

-5

o

distancia (km) 5 10 15 (i) ~4 c. E 2 distancia (km)

CAPÍTULO

7

Conclusão

Foi apresentado um método que corrige o efeito topográfico na aplicação do processo de empilhamento de dados sísmicos. Esse método consiste em continuar a seção de afastamento nulo e os parâmetros, obtidos no método CRS, para um Datum previamente escolhido. Para tanto, usamos os tempos de trânsito e os ângulos de emergência. Após a continuação se faz uma reamostragem dos dados para obter a informação numa malha regular. Os resultados foram satisfatórios para um modelo simples de teste com uma camada horizontal homogênea, bem como para um modelo um pouco mais complicado com três camadas e interfaces incli-nadas. Os parâmetros KNIP e KN que o método CRS procura não foram completamente

bem corrigidos. Acreditamos que este fato, está diretamente ligado à aplicação do empilha-mento CRS e não ao método de continuação em si, que depende só do tempo e do ângulo, ambos bem estabelecidos. O método é muito rápido uma vez que os parâmetros CRS já estão disponíveis.

Como trabalho futuro, pretendemos corrigir os parâmetros obtidos pelo método CRS

de acordo com interpretações recentemente introduzidas. Também pretendemos considerar outras técnicas de reamostragem. Obviamente, uma etapa a ser realizada é a aplicação desta metodologia a dados reais.

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APÊNDICE

Tempo hiperbólico paraxial

O tempo de trânsito parabólico para um raio paraxial relativo a um raio central de afastamento nulo em um meio não-homogêneo, pode ser expresso em função das coordenas

Ç (ponto médio) e h (meio afastamento), sobre uma superfície plana como (Schleicher et al.

(1993)),

(A.1)

onde a1 e a2 são as derivadas segundas do tempo com relação a Ç e h, respectivamente, e

p₀ é a vagarosidade do raio central na superfície. Na prática, porém, a fórmula hiperbólica

é freqüentemente utilizada. Elevando a equação (A.1) ao quadrado e eliminando termos de ordem superior a 2 chegamos à fórmula hiperbólica

(A.2) Estas fórmulas são baseadas na consideração da propagação de um raio central e de um raio paraxial a ele, e as relações entre os vetores posição e vagarosidades para estes dois raios. Estes se relacionam por uma matriz em um meio 3D, mas se reduz a constantes em 2D. Esta formulação é feita com a equação de Hamilton para eventos refletidos. Para uma completa dedução ver Bortfeld (1989) e Schleicher et al. (1993).

Como visto no Capítulo 2 também se pode chegar a esta equação utilizando o desen-volvimento de Taylor de segunda ordem. Para calcular as constantes na equação (A.1) se consideram dois experimentos, um em configuração CMP e outro com raios de afastamento nulo. Para a primeira experiência, sem perda de generalidade tomamamos Ç

=

Ç0 .

h s ' _' ' _' v o h G

Figura A.1: Experimento NIP

A fórmula para o tempo de trânsito é, nesse caso,

a2 2

tcMP(h) =to+

2h .

(A.3)

Para calcular a2 consideramos a onda hipotética NIP. No experimento que se está con-siderando, a frente de onda em Ç0 corresponde exatamente a esta onda. A sua curvatura,

KNIP, está relacionada com a derivada segunda do tempo de trânsito M, através de uma

expressão obtida em Cerveny (2001):

(A.4) onde M está em coordenadas centrais do raio e v0 é a velocidade superficial constante que

se considera conhecida. É necessário considerar a metade da velocidade na equação (A.4) porque o experimento NIP considera um modelo com velocidade metade que a real. Assim,

vo d2t

KNIP

onde y representa a direção na tangente a frente de onda no ponto central. Logo

(A.6)

onde

;3

0 é o ângulo de incidência do raio central em relação à normal na superfície, e portanto,

K _ vo d 2 t NIP- -2 cos2

_;3

0 dh2

(A.7)

De (A.3) chegamos a (A.8)

No outro experimento, o eixo horizontal é o ponto médio (ver Figura A.2), isto significa que todos os raios paraxiais considerados são de afastamento nulo. Recordando, isto representa um experimento de onda N e se fazem as mesmas considerações feitas no caso da onda NIP para a velocidade. Neste caso, a equação (A.l) fica

(A.9)

De novo, considerando a equação (A.4) e fazendo a mudança de variáveis

v o (A.10) onde K N é a curvatura da onda N relativa ao raio central no ponto Ç_{0 .} Para o cálculo de p0

(ver Hubral e Krey (1980)) temos que

e, portanto,

lim !:_ t(Ç) - t(Ç- Ço)

=

Vo dt

=

sin fJo

Ç-+Ço 2 Ç - Ço 2 dÇ '

1 dt sin

/3

0

Po=2dç=~-Finalmente, a fórmula parabólica para o tempo de trânsito é

( ) 2 sin fJo ( cos

2

fJo ( 2 "' 2

t Ç, h =to- Ç- Ço)

+

(KNIP Ç- Ço)

+

KNh ).

Vo Vo

A versão hiperbólica é

)2 [ 2 sin fJo )] 2

cos2 fJo [ 2 2 ]

thyp(Ç, h = to- (Ç- Ço

+

2to KN(Ç- Ço)

+

KNJph .

Vo Vo

(A.ll)

(A.12)

(A.13)