ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

Matemática

12º ANO EXERCÍCIOS DE PROVAS DE EXAME NACIONAIS

1. Observe o gráfico de uma função F. 1.1 Estude o sinal de F.

1.2 Considere as funções reais de

variável real, f1,f2 e f3 definidas por:

12 4 ) ( f_{1 2} + − − = x x x ; 12 7 ) ( f2 ₂ + − − = x x x ; 12 2 7 ) ( f_{3 2} + − = x x x .

Sabendo que F é uma delas justifique que não pode ser f1 nem f3.

2. Na figura abaixo está representado o gráfico C da função f ’, derivada da função f, de domínio |R.

2.1 Indique, justificando, os intervalos de

monotonia de f e os valores de x para os quais a função tem extremos relativos.

2.2 Proponha um gráfico para a função f , compatível com o gráfico de f , dado. /

2.3 Supondo que com a, b

|R, determine a e b servindo-se dos valores assinalados na figura.

(

)

3. Segue-se a representação gráfica de uma função

f real de domínio |R.

O eixo das ordenadas e a recta de equação y = mx + b, representada a traço-ponto, são as únicas assimptotas do gráfico.

As rectas tangentes ao gráfico de f , nos pontos de abcissas –2 e 1, são horizontais.

3.1 Determine o contradomínio de f. 3.2.1 Calcule o valor de x f(x) ∞ + → xlim .

3.2.2 Escreva uma equação da assimptota oblíqua. 3.3 Indique, justificando, quais os extremos da função. 3.4 Determine os valores de x que satisfazem a condição:

f(x)⋅f '(x)>0

4. A curva C é a representação gráfica da função derivada f/ de uma função f derivável em [1, 5]. A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

4.1 Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 4.1.1 f é contínua em [1, 5]

4.1.2 f (1) < f (5)

4.2 Sabendo que f (2) = 3 escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

4.3 Como varia o sinal da segunda derivada de f no intervalo [1, 5] ? Justifique a resposta.

5. De uma função f de domínio D = |R \ {-1}, contínua em D , sabe-se que: 5 ) ( 1 − = + − →lim f x x ; ₋ =+∞ − → 1 ( ) x f lim x ; =+∞ ∞ − → f(x) lim x e x→lim+∞ f(x)=2 x − ∞ -2 -1 3 7 +∞ Sinal de f ‘(x) - 0 + + 0 + 0 - Variação de f(x) -4 -2 6

5.1 Quais as coordenadas dos pontos em que f tem extremos? Classifique esses extremos.

5.2 Proponha um gráfico para a função f.

5.3 Escreva equações das rectas tangentes ao gráfico f que o quadro de variação lhe permita conhecer.

6. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado

por ( 0) 2 4 1 ) ( ≥ + + = t t t t r .

a) Calcule r(0) e lim r(t) e diga qual é o significado fisico destes valores. t→+∞

b) Esboce o gráfico de r, tendo já em conta que, no domínio indicado, a função r tem primeira derivada positiva e segunda derivada negativa.

c) Diga qual é o significado do limite

t r t r lim x ) 0 ( ) ( 0 − + → e determine-o.

d) Calcule, com aproximação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa é igual a 30 cm2.

(Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo duas casas décimais)

7. Pretende-se esboçar o gráfico da função N que dá o “Nível de álcool no sangue “ em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja. Sabe-se que:

i) num litro de cerveja existem 40 g de álcool;

ii) N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no litro de cerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa;

iii) o volume do fluido orgânico de cada pessoa é numéricamente igual a 70% do seu peso total (em kilogramas)

Sabendo que N(p) é expresso em gramas por litro e p é expresso em kilogramas, a) determine N(30), N(60) e N(80):

b) esboce o gráfico de N quando p varia de 20 a 130;

c) em Portugal a lei estabelece penas avultadas para quem for apanhado a conduzir com um nível de álcool superior a 0,5 gramas por litro. Indique, nas condições do enunciado, quem não deve conduzir depois de beber um litro de cerveja.

8. a) Faça um estudo da função P, real de variável real, definida por P(d)=d2

(

)

b) Suponha que houve uma intoxicação alimentar, num colégio interno, em que o número

N(d) de doentes ao fim do tempo d, expresso em dias, é o maior inteiro contido em P(d).

1) Determine, justificando, o domínio da função N.

2) Indique em que momento esteve mais gente intoxicada e o número de doentes nesse momento.

3) No decorrer de que dia foi eliminada a intoxicação? Quando é que o número de doentes baixou mais rapidamente, durante o 3º dia ou o 5º dia? Justifique as respostas.

9. Injectou-se no instante t=0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t>0), a concentração da substância é dada por

c(t)=8(e−t −e−2t)

9.1 Calcula, com aproximação às centésimas, os instantes para os quais o valor da concentração é igual a 7/8.

9.2 Calcula limc(t) e interpreta o resultado obtido. t→+∞ 9.3 Mostra que _t t e e t

c`( )=8(2−₂ ) e determina o valor máximo da concentração.

10. Considera a função f, de domínio ℜ+, definida por f(x)=3x−2lnx.

10.1 Utiliza métodos exclusivamente analíticos, para resolver as duas alíneas seguintes:

10.1.1 Estuda f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico;

10.1.2 Mostra que a função f tem um único mínimo;

10.2 O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determina o valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresenta o resultado arredondado às décimas). Explica como procedeste (na explicação deves incluir o gráfico ou gráficos que consideraste para resolver a questão).

1F 1C 2001

11. Um petroleiro, que navegava no Oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude. Admite que, às t horas do dia seguinte ao do acidente, a área, em Km2, de crude espalhado sobre o oceano é dada por

A(t)=16.e0,1t,t∈

[ ]

11.1 Verifica que, para qualquer valor de t, ) ( ) 1 ( t A t A +

é constante. Determina um valor aproximado dessa constante ( arredondado às décimas) e interpreta esse valor, no contexto da situação descrita.

11.2 Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determina a que horas, do dia a seguir ao acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresenta o resultado em horas e minutos ( minutos arredondados às unidades).

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo três casas decimais.

2F 2001

12. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos

Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por

t t e t t C e t t A( )=4 3 − e ( )=2 3 −0,7

A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado

(

[

]

)

12.1 Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes.

12.1..1 Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas.

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

12.1.2 No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

12.2 Considere as seguintes questões:

1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado?

2. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve torná-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?

Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

_________________________________________________________________________________________ A(p) = —0,52 + 0,55 ln (p) (In designa logaritmo de base e)

Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes.

13.1 O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso?

Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades.

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

13.2 Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A(2p) — A(p) é constante.

Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.

14. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar.

Num determinado dia, o purificador foi ligado às 0 horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por ,

( )

( )

[

]

P (ln designa logaritmo de base e)

Nas duas alíneas seguintes, sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três casas decimais.

14.1 Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde?

Apresente o resultado na unidade considerada, arredondando às décimas.

14.2 Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva o seguinte problema:

Quanto tempo esteve o purificador ligado?

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades)

1F 1C 2003

15. O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade

(

)

log

10 ₁₀ 12 >

= I I

N

Usando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes

15.1 Verifique que N =120+10log₁₀I

15.2 Admita que o ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis.

Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado

16. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com a capacidade de dois litros. Por questões de

marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma

quadrangular regular.

16.1 Mostre que a área total da embalagem é dada por

( )

(x é o comprimento da aresta da base, em dm)

Nota: recorde que 1 litro = 1 dm3

16.2 Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor x para o qual a área da embalagem é mínima e determine-o.

2F 2002

17. Admita que ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente por

( )

(considere que t é medido em anos e que o instante t=0 corresponde ao início do ano de 1864)

17.1 De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do ano de 2003?

Apresente o resultado em milhões de habitantes arredondado às décimas

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três

casas decimais.

17.2 Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos) resolva o seguinte problema:

De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes?

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três

casas decimais.

2F 2003

18. De uma função f , de domínio ℜ , sabe-se que a sua derivada è dada por

( ) (

)

Seja A o único ponto de inflexão do gráfico de f .

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondado às décimas.

Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora

19. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como mostra a figura.

Considere a função h definida por

( )

(

)

h (ln designa logaritmo de base e)

Admita que é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da parede A.

( )

19.1 Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três

casas decimais.

19.2 Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima.

19.3 Mostre, analiticamente, que h

(

) (

)

1F 2C 2003

20. Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do gráfico onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares.

1F 2C 2003

F i m