Determinação do factor correctivo da potência de ruído em
sistemas de transmissão por cabo coaxial com igualação
A função de transferência do igualador é dada por
( )
( )
( )
( )
f H f V f Ny f I c e ⋅ =em que Ny
( )
f é a transformada de Fourier da forma do impulso à saída do igualador (entrada do circuito de decisão) que assegura zero interferência inter-simbólica (IIS) e geralmente admitida dada pela característica co-seno elevado. Se no instante (óptimo) de amostragem a forma do impulso à saída do igualador apresentar amplitude unitária, a sua transformada de Fourier é dada porcom β, o factor de excesso de banda (0≤β≤1) e fN a frequência de Nyquist, dada por
( )
sN T
f =1 2 em que T é a duração do símbolo transmitido. Note-se que esta duração s
relaciona-se com o débito de símbolos, D , que se exprime em baud, através de s Ts =1Ds .
( )
fVe é a transformada de Fourier da forma do impulso de amplitude unitária à saída do emissor que, para uma forma rectangular, é dada por Ve
( )
f =δTs ⋅sinc(
δTs f)
em que δ é oduty-cycle do impulso (note-se que δ é a largura dos impulsos à saída do emissor) e Ts
( )
x sen( ) ( )
πx πxsinc = .
( )
fHc é a função de transferência do cabo coaxial (ou par de fios) igualada pelo igualador. Pode ser aproximada por Hc
( )
f =e−α0 f f0⋅l em que0
α é a atenuação específica, em neper
por metro, à frequência f , e l é o comprimento do troço de cabo coaxial (ou par de fios) 0
igualado pelo igualador, em metros.
A função de transferência do igualador determina, em sistemas projectados para zero IIS, fortemente o seu desempenho uma vez que este passa a ser influenciado unicamente pela potência de ruído à entrada do circuito amostrador, admitindo que outros efeitos degradadores de desempenho, como a diafonia, podem ser desprezados. Para ruído branco à entrada do receptor com uma densidade espectral bilateral de potência N0 2, a potência de ruído à entrada do circuito amostrador é dada por
(
)
(
)
(
)
+ ≤ ≤ − − − − ≤ ≤ = contrário caso 0 1 1 para 2 2 sen 1 2 1 0 para ) ( fN f fN N f f s T N f f s T f Ny β β β π β π β( )
= ∫( )
∫ = ≡ +∞ +∞ ∞ − 0 2 0 2 0 2 2 I f df I f df n σ N NTendo em conta a relação que define a função de transferência do igualador e as transformadas de Fourier nela envolvidas, a potência de ruído à entrada do circuito amostrador pode ser escrita como
( )
(
)
( )( )
(
)
∫ ⋅ = ∫ ⋅ = +β α ⋅ +β α ⋅⋅ δ δ δ δ 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 sinc sinc 0 0 0 0 dx x T e xf Ny f df T f T e f Ny n s x l f f N N f s s l f f N N N Nem que a segunda igualdade resulta de se fazer a mudança de variável f = x⋅ fN. Convém agora definir a seguinte função normalizada:
Esta função relaciona-se com a característica co-seno elevado através da relação
( )
xf T Ny( )
xNy N = s ⋅ n , pelo que substituindo esta relação no integral interveniente no cálculo da potência de ruído se pode escrever1:
( )
( )
(
)
∫ ⋅ ⋅ ⋅ = +β ⋅ − δ δ 1 0 2 1 2 2 2 2 0 2 sinc dx x e x Ny e f n x q n q N Nonde o parâmetro q representa a atenuação total, em neper, no troço de cabo de comprimento l à frequência de Nyquist, dado por q=α0 fN f0 ⋅l.
Note-se que nref = fN ⋅e2qN0 δ2 representa a potência de ruído numa situação de referência em que:
• o cabo apresenta características não distorcivas e uma atenuação total em todas as frequências de q neper, • + ≤ ≤ − − − − ≤ ≤ = contrário caso 0 1 1 para 2 2 sen 1 2 1 1 0 para 1 ) ( β β β π β π β x x x x n Ny
Por esta razão, o integral que aparece na expressão da potência de ruído pode ser visto como uma correcção relativamente à potência de ruído que a situação de referência, acabada de descrever, apresenta. Define-se, então, o factor correctivo do seguinte modo:
( )
( )
(
)
∫ ⋅ = +β ⋅ − δ 1 0 2 1 2 2 2 sinc dx x e x Ny f x q n cque apresenta a particularidade de só depender de três parâmetros, o duty-cycle dos impulsos, o factor de excesso de banda da característica de Nyquist e a atenuação total no troço de cabo de comprimento l à frequência de Nyquist. Utilizando este factor correctivo, a potência de ruído à entrada do circuito amostrador é dada por
c ref f
n n= ⋅
ou, em unidades logarítmicas,
dB , dBW , dBW Nref Fc N = + em que Fc,dB=10log10
( )
fc .As Figuras 1 e 2 mostram a evolução do factor correctivo, em dB, para diferentes factores de excesso de banda (até 0.5) e dois duty-cycles, 50 e 100% correspondentes às codificações que utilizam formatos NRZ e RZ, respectivamente.
Merecem referência os valores bastante reduzidos que o factor correctivo apresenta comparativamente à atenuação do cabo à frequência de Nyquist e o facto de, para as situações consideradas nestas figuras, o factor correctivo apresentar sempre valores negativos, em dB, o que quer dizer que a sua não contabilização no cálculo da potência de ruído leva a uma estimativa pessimista (por excesso) daquela potência. Dito doutro modo, o projecto do sistema que utiliza a potência de ruído de referência é um projecto pessimista pois considera uma potência de ruído superior à que efectivamente existe.
Só para factores de excesso de banda superiores a 0.65, valores bastante elevados da atenuação do cabo e duty-cycles elevados é que o factor correctivo toma valores positivos. Contudo, estas situações são de menor interesse por exigirem larguras de banda mais elevadas e a consequente necessidade de igualação perfeita em larguras de banda maiores.
Fig. 1 Factor correctivo, em dB, em função da atenuação do cabo à frequência de Nyquist, em dB, para vários factores de excesso de banda. O duty-cycle é 50%.
Duty-cycle = 50%
-10
-8
-6
-4
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Atenuação do cabo à frequência Nyquist (dB)
Factor correctivo (dB)
β =0
β =0.15
β =0.25
Fig. 2 Factor correctivo, em dB, em função da atenuação do cabo à frequência de Nyquist, em dB, para vários factores de excesso de banda. O duty-cycle é 100%.
