Spline cúbica. Clarimar J. Coelho. November 8, 2013

Interpolac

¸˜

ao polinomial

Spline c´ubica

Clarimar J. Coelho

1 Splines c´ubicos

2 C´alculo dos coeficientes

3 Sistema linear subdeterminado

4 Splines c´ubicos naturais

5 Splines c´ubicos extrapolados

Splines

c´

ubicos

Sejam n + 1 pontos (xi, yi), i = 0, 1, 2, . . . n com x0< x1 < . . . < xn−1< xn

A constru¸c˜ao de n polinˆomios interpoladores c´ubicos si(x)

Denominados splines1 _c´ubicos

Que passam por dois pontos sucessivos (xi, yi) e (xi+1, yi+1) Usado no intervalo [xi, xi+1]

1_{Um spline ´e uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os}

Forma da spline c´

ubica

si(x) = ai(x − xi)3+ bi(x − xi)2+ ci(x − xi) + di, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (1)

Que satisfaz `as condi¸c˜oes

si(xi) = yi i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 e sn−1(xn) = yn (2)

si(xi+1) = si+1(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n − 2 (3)

Inclinac

¸ ˜

oes e concavidades

Garantia que as inclina¸c˜oes e concavidades sejam cont´ınuas s′

i(xi+1) = s′i+1(xi+1), i = 0, 1, 2 . . . , n − 2 (4)

s′′

i(xi+1) = s′′i+1(xi+1), i = 0, 1, 2 . . . , n − 2 (5)

Obtemos da equa¸c˜ao (1) n equa¸c˜oes com 4n inc´ognitas ai, bi, ci e di

A condi¸c˜oes das equa¸c˜oes (2) e (5) fornecem 4n − 2 equa¸c˜oes

C´

alculo dos coeficientes

Para x = xi na equa¸c˜ao (1) e comparando com a equa¸c˜ao (2)

si(xi) = di,

di = yi, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (6)

Para x = xi+1 na equa¸c˜ao (1) e comparando com equa¸c˜ao (3) em considera¸c˜ao

com a equa¸c˜ao (2)

si(xi+1) = si+1(xi+1) = yi+1

ai(xi+1− xi)3+ bi(xi+1− xi)2+ ci(xi+1− xi) + di = yi+1

Definindo

hi = xi+1− xi (7)

E substituindo na equa¸c˜ao (6), temos

Derivadas

As derivadas da equa¸c˜ao (1) s˜ao s′ i(x) = 3ai(x − xi)2+ 2bi(x − xi) + ci (9) s′′ i(x) = 6ai(x − xi) + 2bi (10) Para x = xi na equa¸c˜ao (10) s′′ (xi) = 6ai(xi− xi) + 2bi bi = s′′ i 2 , i = 0, 1, 2 . . . , n − 1 (11)

Derivadas, cont.

Para xi+1 na equa¸c˜ao (10)

s′′

i(x1+1) = 6ai(xi+1− xi) + 2bi

Devido a equa¸c˜ao (5) e substituindo na equa¸c˜ao (7) e equa¸c˜ao (11) s′′ i+1(xi+1) = 6aihi+ 2 s′′ ixi 2 , ai= s′′ i+1− s ′′ i(xi) 6hi , i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (12)

Derivadas, cont.

Substituindo as equa¸c˜oes (6,11) e (12) na equa¸c˜ao (8) s′′ i+1(xi+1− s′′i(xi) 6hi h3_i +s ′′ i(xi) 2 h 2 i + cihi+ yi = yi+1 Temos, ci= ∆yi− s′′ i+1(xi+1) + 2s′′i(xi) 6 hi, . . . i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (13) O operador de dividida ∆yi= yi+1− yi hi (14)

Sistema linear subdeterminado

2

Impondo a condi¸c˜ao da equa¸c˜ao (4) que as inclina¸c˜oes de dois splines c´ubicos adjacentes si−1(x) e si(x) sejam iguais no ponto comum (xi, yi)

s′

i−1(xi) = s ′ i(xi)

Devido a equa¸c˜ao (9), temos

3ai−1(xi− xi−1)2+ 2bi−1(xi− xi−1) + ci−1 = 3ai(xi− xi)2+ 2bi(xi− xi) + ci

Substituindo as equa¸c˜oes (7), (12) e (13), temos 3s′′i(xi)−s′′_i−1(x_i−1) 6hi−1 h 2 i−1+ 2 s′′ i−1(xi−1) 2 hi−1+ yi−y_i−1 hi−1 − s′′ i(xi)+2s′′_i−1(x_i−1) 6 hi−1 = yi+1−yi hi − s′′ i+1(xi+1)+2s′′i(xi) 6 hi 2

Sistema linear subdeterminado, cont.

Simplificando, obtemos a i−´esima equa¸c˜ao para i = 1, 2, 3, . . . , n − 1

hi−1s′′i−1(xi−1) + 2(hi−1+ hi)s′′i(xi) + his′′i+1(xi+1) = 6(∆yi− ∆yi−1) (15)

Que ´e um sistema linear subdeterminado com n − 1 equa¸c˜oes e n + 1 inc´ognitas s′′

Sistema linear subdeterminado, cont.

O sistema linear (15) ´e da forma        h02(h0+ h1) h1 h1 2(h1+ h2) h2 h2 2(h2+ h3) h3 . .. . .. . .. hn−2 2(hn−2+ hn−1)               s′′ 1(x1) s′′ 2(x2) s′′ 3(x3) .. . s′′ n−1(xn−1)        = 6        ∆y1− ∆y0 ∆y2− ∆y1 ∆y3− ∆y2 .. . ∆yn−1− ∆yn−2        (16)

Splines

c´

ubicos naturais

A forma mais simples usada para eliminar duas inc´ognitas do sistema (15) consiste em atribuir s′′ 0(x0) = 0, s′′ n(xn) = 0  (17)

C´

alculo das derivadas

Substituindo o valor de s′′

0(x0) na primeira equa¸c˜ao do sistema (15)

E s′′

n(xn) na ´ultima equa¸c˜ao

C´

alculo das derivadas naturais

A solu¸c˜ao do sistema fornece as derivadas s′′

i(xi), i = 1, 2, 3, . . . , n − 1        2(h0+ h1) h1 h1 2(h1+ h2) h2 h2 2(h2+ h3) h3 . .. . .. ... hn−2 2(hn−2+ hn−1)               s′′ 1(x1) s′′ 2(x2) s′′ 3(x3) .. . s′′ n−1(xn−1)        = 6        ∆y1− ∆y0 ∆y2− ∆y1 ∆y3− ∆y2 .. . ∆yn−1− ∆yn−2        (18)

Splines

c´

ubicos naturais

Com estas derivadas temos os chamos splines c´ubicos naturais

Devem ser usados quando y = f (x) apresentar comportamento linear nas proximidades dos pontos finais x0 e xn

Exemplo 1

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundas derivadas s′′

Soluc

¸˜

ao

Pela equa¸c˜ao (7) h0 = x1− x0= 2 − 1 h0 = 1, h1 = x2− x1= 4 − 2 h1 = 2 h2 = x3− x2= 6 − 4 h2 = 2, h3 = x4− x3= 7 − 6 h3 = 1 Usando a equa¸c˜ao (14) ∆y0= y1 −y0 h0 = 4−2 1 ∆y0 = 2 ∆y1= y2 −y1 h1 = 1−4 2 ∆y1 = −1, 5

Soluc

¸˜

ao, cont.

∆y2 = y3 −y2 h2 = 3−1 1 ∆y0= 2 ∆y3 = y4 −y3 h3 = 3−3 1 ∆y3= 0

Soluc

¸˜

ao, cont.

Substituindo os valores no sistem (18), temos   2(1 + 2) 2 0 2 2(2 + 2) 2 0 2 2(2 + 1)     s′′ 1(x1) s′′ 2(x2) s′′ 3(x3)  = 6   −1.5 − 2 1 − (−1, 5) 0 − 1  

A partir da equa¸c˜ao (17) e da solu¸c˜ao acima abtemos as segundas derivadas s′′

Soluc

¸˜

ao do sitema no octave

a =   2 ∗ (1 + 2) 2 0 2 2 ∗ (2 + 2) 2 0 2 2 ∗ (2 + 1)   b = 6   −1.5 − 2 1 − (−1, 5) 0 − 1  

Exemplo 2

A partir dos pontos do Exemplo 1, determine as equa¸c˜oes dos quatro splines c´ubicos naturais

Soluc

¸˜

ao

Determina¸c˜ao do spline s0(x) a0 = s′′ 1(x1) − s′′0(x0) 6h0 = −4, 7 − 0 6 × 1 a0 = − 47 60 b0= s′′ 0(x0) 2 = 0 2 b0= 0 c0 = ∆y0− s ′′ 1(x1) + 2s′′0(x0) 6 h0 = 2 − −4, 7 + 2 × 0 6 × 1 c0 = 167 60 d0= y0 d0 = 2 s0(x) = a0(x−x0)3+b0(x−x0)2+c0(x−x0)+d0 = − 47 60(x−1) 3_+0(x−1)2₊127 60 (x−1)+2

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s1(x) a1= s′′ 2(x2) − s′′1(x1) 6h1 = 3, 6 − (−4, 7) 6 × 2 a1 = − 83 120 b1 = s ′′ 1(x1) 2 = −4, 7 2 b1= − 47 20 c1 = ∆y1−s ′′ 2(x2) + 2s′′1(x1) 6 h1 = −1, 5 − 3, 6 + 2 × −4, 7 6 × 2 c1 = 13 30 d1= y1 d1 = 4 s1(x) = a1(x−x1)3+b1(x−x1)2+c1(x−x1)+d1 = − 83 120(x−2) 3 −47 20(x−2) 2₊13 30(x−2)+4

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s2(x) a2 = s′′ 3(x3) − s′′2(x2) 6h2 = −2, 2 − 3, 6 6 × 2 a2 = − 29 60 b2= s′′ 2(x2) 2 = 3, 6 2 b2 = − 9 5 c2= ∆y2−s ′′ 3(x3) + 2s′′2(x2) 6 h2 = 1 − −2, 2 + 2 × 3, 6 6 × 2 c2 = 2 5 d2= y2 d2 = 1 s2(x) = a2(x−x2)3+b2(x−x2)2+c2(x−x2)+d2= − 29 60(x−4) 3₊9 5(x−4) 2 −2 3(x−4)+1

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s3(x) a3= s′′ 4(x4) − s′′3(x3) 6h3 = 0 − (−2, 2) 6 × 1 a3= − 11 30 b3 = s′′ 3(x3) 2 = −2, 2 2 b3= − 11 10 c3 = ∆y3−s ′′ 4(x4) + 2s′′3(x3) 6 h3 = 0 − 0 + 2 × −2, 2 6 × 1 c3 = 11 15 d3= y3 d3 = 3 s3(x) = a3(x−x3)3+b3(x−x3)2+c3(x−x2)+d3 = − 11 30(x−6) 3 −11 10(x−6) 2 −11 15(x−6)+3

Derivadas dos splines naturais

s′ 0(x) = − 47 20(x − 1) 2₊167 60 e s ′′ 0 = − 47 10(x − 1) s′ 1(x) = 83 40(x − 2) 2 −47 20(x − 2) + 13 30 e s ′′ 1(x) = 83 20(x − 2) − 47 10 s′ 2(x) = − 29 20(x − 4) 2₊18 5 (x − 4) − 2 3 e s ′′ 2(x) = − 29 10(x − 4) + 18 5 s′ 3(x) = 11 10(x − 6) 2 −11 5 (x − 6) − 11 15 e s ′′ 3(x) = 11 5 (x − 6) − 11 5

Condic

¸˜

ao

Pela condi¸c˜ao da equa¸c˜ao (3) os splines s˜ao cont´ıntuos s′

i(x + 1) = si+1(xi+1) : s0(2) = s1(2) = 4; s1(4) = s2(4) = 1 e s2(6) = s3(6) = 3

Otave: s12 = (83/120) ∗ (2 − 2)3_{+ (47/20) ∗ (2 − 2)}2_{+ (13/30) ∗ (2 − 2) + 4}

A primeiras derivadas, pela condi¸c˜ao (4) s′ i(xi+1) = s′i(xi+1) : s′0(2) = s ′ 1(2) = 13 30; s ′ 1(4) = s2(4) = − 2 3 e s ′ 2(6) = s ′ 3(6) = 11 15 As segundas derivadas, pela condi¸c˜ao (5)

s′′ i(x) = s ′′ i+1(xi+1) : s′′0(2) = s ′′ 1(2) = − 47 10; s ′′ 1(4) = 18 5 e s ′′ 2(6) = s ′′ 3(6) = 11 5 Tamb´em s˜ao cont´ınuas

Exemplo 3

Intepole os valores z = 1, 2; 2, 9; 5, 2 e 6, 7 usando as splines c´ubicos naturais obtidos no Exemplo 2

Soluc

¸˜

ao

s0(1, 2) = −47₆₀(1, 2 − 1)3+ 0(1, 2 − 1)2+167₆₀(1, 2 − 1) + 4 = 2, 5504

s1(2, 9) = −₁₂₀83(2, 9 − 2)3+47₂₀(2, 9 − 2)2+13₃₀(2, 9 − 2) + 4 = 2, 9907

s2(5, 2) = −29₆₀(5, 2 − 4)3+ 0(5, 2 − 4)2+2₃(5, 2 − 4) + 1 = 1, 9568

Splines

c´

ubicos naturais

s0(x) e s2(x) s˜ao representados pela linha tracejada

s1(x) e s3(x) s˜ao represetados pela linha s´olida

Parˆ

ametros do algoritmo

Entrada

n n´umero de pontos

x abscissas em ordem crescente y ordenadas

Splines

c´

ubicos extrapolados

3

Outra forma de estimar duas inc´ognitas do sistema linear (15) ´e impor a condi¸c˜ao

s′′′

0(x1) = s′′′1(x1) e sn−2′′′ (xn−1) = s′′′n−1(xn−1) (19)

s′′′

i (x) ´e obtido da deriva¸c˜ao (10) de acordo com (12)

s′′′ i (x) = s′′ i+1(xi+1) − s′′i(xi) hi i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (20) 3

C´

alculo das derivadas

Considerando na equa¸c˜ao (19) que

s0(x1)′′′ = s′′′1(x1) E avaliando na equa¸c˜ao (33) s′′ 1(x1)−s′′0(x0) h0 = s′′ 2(x2)−s′′1(x1) h1 s′′ 0(x0) = (h0+h1)s ′′ 1(x1)−h0s′′2(x2) h1

C´

alculo das derivadas, cont.

Do mesmo modo, a partir da condi¸c˜ao (19) s′′′ n−2(xn−1) = s′′′n−1(xn−1) Temos s′′ n−1(xn−1)−s′′n−2(xn−2) hn−2 = s′′ n(xn)−s′′_n−1n−1(x_n−1) hn−1 s′′ n(xn) = (hn−1+hn−2)s′′_n−1(xn−1)−hn−1s′′_n−2(xn−2) hn−2

C´

alculo das derivadas, cont.

Substituindo o valor de s′′

0(x0) na primeira equa¸c˜ao do sistema 15 e s′′n(xn) na

´

C´

alculo das derivadas, cont.

        (h0+h1)(h0+2h1) h1 h2 1−h20 h1 h1 2(h1+ h2) h2 h2 2(h2+ h3) h3 . .. . .. . .. h2 n−2−h 2 n−1 hn−2 (hn−2+hn−2)((hn−1+hn−2) hn−2                s′′ 1(x1) s′′ 2(x2) .. . s′′ n−2(xn−2) s′′ n−1(xn−1)        6        ∆y1− ∆y0 ∆y2− ∆y1 ∆y3− ∆y2 .. . ∆yn−1− ∆yn−2        (21)

C´

alculo das derivadas, cont.

A partir do sistema (21) obemos as derivadas s′′

i(xi), i = 1, 2, 3, . . . , n − 1

As derivadas s′′

0(x0) e s′′n(xn) s˜ao dadas pelas express˜oes deduzidas acima

s′′ 0(x0) = (h0+h1)s ′′ 1(x1)−h0s′′2(x2) h1 , s′′ n(xn) = (hn−1+hn−2)s′′n−1(xn−1)−hn−1s′′n−2(xn−2) hn−2 ) (22)

Exemplo 4

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundas derivadas s′′

Soluc

¸˜

ao

Pela equa¸c˜ao (7)

h0= x1− x0= 2 − 1 h0= 1, h1 = x2− x1 = 4 − 2 h1 = 2

Soluc

¸˜

ao, cont.

Pela equa¸c˜ao (14) ∆y0= y1− y0 h0 = 4 − 2 1 ∆y0= 2, ∆y1= y2− y1 h1 = 1 − 4 2 = ∆y1= −1, 5 ∆y2 = y3− y2 h2 = 3 − 1 2 ∆y2= 1, ∆y3= y4− y3 h3 = 3 − 3 1 = ∆y3= 0

Soluc

¸˜

ao cont.

Substituindo os valores na equa¸c˜ao (21), temos    (1+2)(1+2×2) 2 2 2₋ 12 2 0 2 2(2 + 2) 2 0 22−₁2 2 (1+2)(1+2×2) 2      s′′ 1(x1) s′′ 2(x2) s′′ 3(x3)  6   −1, 5 − 2 1 − (−1, 5) 0 − 1   s′′ x=   −41/12 37/12 −17/12  

Soluc

¸˜

ao, cont.

Pela equa¸c˜ao (22) s′′ 0(x0) = (1 + 2) × −41/12 − 1 × 37/12 2 = −20/3 s′′ 0(x4) = (1 + 2) × −17/12 − 1 × 37/12 2 = −11/3

Logo, as segundas derivadas s˜ao s′′ (x0) = − 20 3 ; s ′′ 1(x1) = − 41 12; s3(x3) = − 17 12, s ′′ 4(x4) = − 11 3

Exemplo 5

A partir dos pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), determine as equa¸c˜oes dos quatro splines extrapolados na forma da equa¸c˜ao (1)

Soluc

¸˜

ao

Determina¸c˜ao do spline s0(x) a0 = s′′ 1(x1) − s′′0(x0) 6h0 = −41/12 − (−20/3) 6 × 1 a0= 13 24 b0 = s′′ 1(x0) 2 = −20/3 2 b0 = − 10 3 c0 = ∆y0−s ′′ 1(x1) + 2s′′0(x0) 6 h0 = 2 − −41/12 + 2 × −20/3 6 × 1 c0= 115 24 d0 = y0 d0 = 2 s0(x) = 13 24(x − 1) 3 −10 3 (x − 1) 2₊ 115 24 (x − 1) + 2

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s1(x) a1 = s′′ 2(x2) − s′′1(x1) 6h1 = 37/12 − (−41/12) 6 × 2 a1= 13 24 b1= s′′ 1(x1) 2 = −41/12 2 = b1 = − 41 24 c1 = ∆y1−s ′′ 2(x2) + 2s′′1(x1) 6 h1 = −1, 5 − 37/12 + 2 × −41/12 6 × 2 c1 = − 1 4 d1 = y1 d1 = 4 s1(x) = 13 24(x − 2) 3 − 41 24(x − 2) 2 −1 4(x − 2) + 4

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s2(x) a2 = s′′ 3(x3) − s′′2(x2) 6h2 = −17/12 − 37/12 6 × 2 a2= − 3 8 b2 = s′′ 2(x2) 2 = 37/12 2 b2 = − 37 24 c2 = ∆y2−s ′′ 3(x3) + 2s′′2(x2) 6 h2 = 1 − −17/12 + 2 × 37/12 6 × 2 c2 = − 7 12 d1 = y2 d2 = 1 s2(x) = − 3 8(x − 2) 3₊37 24(x − 4) 2 − 7 12(x − 4) + 1

Soluc

¸˜

ao, cont.

Determina¸c˜ao do spline s3(x) a3 = s′′ 4(x4) − s′′3(x3) 6h3 = −11/3 − (−17/12 6 × 1 a3 = − 3 8 b3 = s′′ 3(x3) 2 = −17/12 2 b3= − 17 24 c3 = ∆y2−s ′′ 3(x3) + 2s′′2(x2) 6 h3 = 1 − −17/12 + 2 × 37/12 6 × 2 c2 = − 7 12 d3 = y2 d2 = 1 s3(x) = − 3 8(x − 2) 3₊37 24(x − 4) 2 − 7 12(x − 4) + 1

Soluc

¸˜

ao, cont.

As derivadas dos splines extrapolados s˜ao s′ 0(x) = 13 8 (x − 1) 2 −20 3 (x − 1) + 115 24 ; s ′′ 0(x) = 13 4 (x − 1) − 20 3 e s ′′′ 0(x) = 13 4 s′ 1(x) = 13 8 (x − 2) 2 −41 12(x − 2) − 1 4; s ′′ 1(x) = 13 4 (x − 2) − 41 12 e s ′′′ 0(x) = 13 4 s′ 2(x) = − 9 8(x − 4) 2₊37 12(x − 4) − 7 12; s ′′ 2(x) = − 9 4(x − 4) + 37 12 e s ′′′ 0(x) = − 9 4 s′ 3(x) = − 9 8(x − 6) 2₊37 12(x − 6) − 13 12; s ′′ 3(x) = − 9 4(x − 6) − 17 12 e s ′′′ 0(x) = − 9 4

Soluc

¸˜

ao, cont.

Pela equa¸c˜ao (condi¸c˜ao) (3), os splines s˜ao cont´ınuos

si(xi+1) = si+1(xi+1) : s0(2) = s1(2) = 4; s2(4) = 1 e s2(6) = s3(6) = 3

As primeiras derivadas, pela condi¸c˜ao (4) s′ i(xi+1) = s ′ i+1(xi+1) : s′0(2) = s ′ 1(2) = −14; s ′ 1(4) = s ′ 2(4) = −127 e s′ 2(6) = s ′ 3(6) = 1312

As segundas derivadas, pela condi¸c˜ao (5) s′′ i(xi+1) = s ′′ i+1(xi+1) : s′′0(2) = s ′′ 1(2) = −4112; s ′′ 1(4) = s ′′ 2(4) = −3712 e s′′ 2(6) = s ′′ 3(6) = −1712

As terceiras derivadas, pela condi¸c˜ao (19) s′′′ 0(x1) = s′′′1(x1) : s′′′0(2) = s ′′′ 1(2) = 134 , s′′′ 0(x3) = s′′′3(x3) : s′′′2(6) = s ′′′ 3(6) − 94

Exemplo 6

Interpolar os valores z = 1, 2; 2, 9; 5, 2; 6, 7 usando os splines extrapolados obtido no Exemplo 5

Soluc

¸˜

ao

s0(1, 2) = 13 24(1, 2 − 1) 3 −10 3 (1, 2 − 1) 2₊ 115 24 (1, 2 − 1) + 2 = 2, 8293 s1(2, 9) = 13 24(2, 9 − 2) 3 −41 24(2, 9 − 2) 2 −1 4(2, 9 − 2) + 4 = 2, 7861 s2(5, 2) = − 3 8(5, 2 − 4) 3₊37 24(5, 2 − 4) 2₊ 7 12(5, 2 − 4) + 1 = 1, 8720 s3(6, 7) = − 3 8(6, 7 − 6) 3 −17 24(6, 7 − 6) 2₊13 12(6, 7 − 6) + 3 = 3, 2826

Parˆ

ametros de entrada e sa´ıda do algoritmo

Entrada

n - n´umero de pontos x - vetor com as abscissas y - vetor com as ordenadas

Sa´ıda

s2 - vetor solu¸c˜ao contendo as segundas derivadas

Avaliac

¸˜

ao dos splines c´

ubicos

Calculados os splines c´ubicos da forma (1)

si(x) = ai(x − xi)3+ bi(x − xi)2+ ci(x − xi) + di, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

Tˆem seus coeficientes calculados a partir de (12), (11), (13) e (6) ai= s′′ i+1(xi+1)−s′′i(xi) 6hi , bi= s′′ i 2 , ci = ∆iyi−s ′′ i+1(xi+1)−s′′i(xi) 6 hi di = yi,            ı = 0, 1, 2, . . . , n − 1

Avaliac

¸˜

ao dos splines c´

ubicos, cont.

hi = xi+1− xi, ∆yi = yi+1 −_xi hi  ı = 0, 1, 2, . . . , n − 1 Dados por (7) e (14)

Exemplo 7

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), interpolar os valores z = 1.2, 0.1, 2.9, 5.2 e 6.7 usando os splines c´ubicos naturais