Universidade de Bras´ılia
Divis˜
ao com Dobras
Objetivos
Analisar como dobrar uma folha de papel em trˆes partes, sem medir os seus lados.
Conte´
udos abordados
Semelhan¸ca de triˆangulos; Teorema de tales.
Metodologia
Resolu¸c˜ao de problemas.
Materiais
Folhas quadradas, l´apis, r´egua, compasso, tesoura, folha A4 com quadrado tra¸cado
Autor Daniel Cavalcante Orientador Guy Grebot
1
Resumo te´
orico: Demonstra¸
c˜
oes
1.1
Mostre que as trˆ
es medianas de um triˆ
angulo se interceptam
em um ´
unico ponto
Considere o triˆangulo PQR com medianas QQ0 e RR0. Seja B = QQ0·RR0e P0 = QR·P B
e portanto B, P e P0 s˜ao colineares. Nos resta mostrar que P0 ´e ponto m´edio de QR, e B ser´a consequentemente o baricentro. Observe que os triˆangulos BP Q0 e BQ0R possuem a mesma ´area, pois possuem a mesma altura em rela¸c˜ao as bases P Q0 e Q0R (que s˜ao iguais). O mesmo acontece com os triˆangulos BP R0 e BQR0.
|ABC| ser´a usado para denotar a ´area do triˆangulo ABC.
Os triˆangulos P RR0 e QRR0 possuem a mesma altura e bases iguais, pois P R0 = QR0, assim podemos escrever
|P RR0| = |P QR|
2 . (1)
Analogamente (relacionando os triˆangulos P QQ0 e RQQ0), temos |P QQ0| = |P QR| 2 . (2) Relacionando (1) e (2), |P RR0| − |P QQ0| = 0. (3) Como |P QQ0| = |BQR0| + |BP R0| + |BP Q0| = |BP R0| + |BP R0| + |BP Q0| e |P RR0| = |BQ0R| + |BP Q0| + |BP R0| = |BP Q0| + |BP Q0| + |BP R0|, temos, ap´os subtrair uma da outra,
|P RR0| − |P QQ0| = |BP Q0| − |BP R0| = 0.
Assim, conclu´ımos que BQR0 e BQ0R possuem mesma ´area (item 2). Ainda mais (s´o para dar ˆenfase),
x = |BQR0| = |BQ0R| = |BP R0| = |BP Q0|. Chegamos ao ´ultimo passo da nossa demonstra¸c˜ao:
x = |P QR|
6 , (4)
pois de (2) temos
|P QQ0| = x + x + x = |P QR| 2 . E, por ´ultimo, de equa¸c˜ao (4),
Assim, escrevemos |P QR| = 2|P P0Q| = 2(x + x + |BP0Q|) = 4x + 2|BP0Q| = 4|P QR| 6 + 2|BP 0 Q|. Portanto, |BP0Q| = |P QR| 6 . (5) Analogamente, |BP0R| = |P QR| 6 . (6) De (5) e de (6), |BP0Q| = |BP0R|.
Como estes dois triˆangulos possuem a mesma altura em rela¸c˜ao `a base QR e tamb´em a mesma ´area, ent˜ao eles possuem base de mesmo tamanho (P0Q e P0R), ou seja, P0 ´e ponto m´edio de QR.
1.2
Mostre que o baricentro divide a mediana na propor¸
c˜
ao 2:1
Diretamente do resultado anterior, ´e f´acil ver que |BP R| |BP0R| =
2 1.
Como estes dois triˆangulos possuem mesma altura em rela¸c˜ao `as bases BP e P P0, concluimos que
BP BP0 =
2 1,
ou seja, o baricentro divide a mediana na propor¸c˜ao 2:1.
1.3
Outra forma de demonstrar
Considere o triˆangulo P QR com baricentro B, medianas P P0, QQ0, RR0. Observe que P QR ≈ P Q0R0 (crit´erio LAL).
Por hip´otese P Q P R0 =
2
1, e aplicando Tales chegamos `a QR
Q0R0 =
2
1. (7)
Observe tamb´em que BQR ≈ BQ0R0 (crit´erio ALA), ent˜ao (de (7)) BQ BQ0 = BR BR0 = QR Q0R0 = 2 1.
2
Caderno: Divis˜
ao com Dobradura
2.1
Um pouco de hist´
oria
A viagem que Tales fez ao Egito, no s´eculo VI a.C. , marcou o in´ıcio da Geometria Grega e na hist´oria ficou registrado o deslumbramento do s´abio de Mileto diante da Grande Pirˆamide de Queops.
Constru´ıda por volta de de 2.650 a.C. e empregando cerca de 2.000.000 de blocos de pedra calc´aria, alguns deles com 20 toneladas de peso, aquela pirˆamide eleva-se `a uma altura da ordem de 146 metros.
Encontram-se frente a frente uma das sete maravilhas do mundo antigo e um dos sete s´abios da Gr´ecia. ”Que altura ter´a esse monumento?” perguntou-se o pai de todos os geˆometras. Para respondˆe-la, empregou um m´etodo por ele mesmo criado e que ainda hoje nos cativa pela sua simplicidade e precis˜ao: plantou sobre a areia, verticalmente, um bast˜ao de madeira, cujo comprimento conhecia, e mediu-lhe a sombra (ver figura 1). Ap´os medir a sombra da pirˆamide, deduziu-lhe a altura, porque sombras e alturas, tanto em pirˆamides quanto em bast˜oes, quaisquer que sejam seus tamanhos, s˜ao proporcionais. No momento em que a altura de um bast˜ao ´e igual `a sua sombra, a altura da pirˆamide tamb´em ser´a igual `a sombra do monumento.
Esta propor¸c˜ao entre alturas e sombras constitui a essˆencia daquilo que hoje se aprende na escola sob a denomina¸c˜ao Teorema de Tales e, 26 s´eculos depois, durante a corrida espacial, os cientistas da NASA ainda avaliavam alturas de montanhas na lua e em Marte atrav´es de suas respectivas sombras obtidas em fotografias
Teorema 1 (Teorema de Tales) Sejam abc e a0b0c0 dois triˆangulos semelhantes, sendo xi e x0i lados correspondentes, ent˜ao
x1 x0 1 = x2 x0 2 = x3 x0 3 = k. 2.1.1 Atividade
Material: l´apis; r´egua; compasso
1. Procure agora explicar como Tales de Mileto encontrou a altura da pirˆamide usando apenas o bast˜ao fixado ao solo verticalmente.
2. ´E necess´ario que a sombra do bast˜ao tenha a mesma medida do bast˜ao para que seja poss´ıvel calcular a altura da pirˆamide? Explique sua resposta.
Defini¸c˜ao 1 Uma mediana de um triˆangulo ´e um segmento de reta que liga um v´ertice ao ponto m´edio do seu lado oposto.
2.1.2 Atividade
Material: l´apis; r´egua; compasso
1. Trace um triˆangulo com v´ertices P , Q e R. O triˆangulo possui quantas medianas? 2. Encontre os pontos m´edios dos lados P Q e P R do triˆangulo e trace as medianas
QQ0 e RR0. O que se pode afirmar sobre as ´areas dos triˆangulos BP R0 e BQR0, onde {B} = QQ0 ∩ RR0?
3. Trace a reta P B e observe o ponto de interse¸c˜ao de P B e QR. Mostre que as ´areas dos triˆangulos P RR0 e QRR0 s˜ao iguais. A partir deste resultado, o que se pode afirmar sobre as ´areas de BQR0 e BQ0R?
4. Conclua dos itens anteriores que as ´areas de BP0Q e BP0R tamb´em s˜ao iguais.
2.1.3 Atividade
Material: l´apis; r´egua; compasso; calculadora
1. Utilize a r´egua para medir os segmentos BP e BP0. Qual ´e a propor¸c˜ao entre as medidas obtidas?
2. Fa¸ca o mesmo para os segmentos BQ e BQ0 e tamb´em para BR e BR0. Relate suas observa¸c˜oes.
3. Considere os triˆangulos BP R e BP0R. Observe a propor¸c˜ao entre suas ´areas (ativi-dade 2.1.2).
4. Mostre que a raz˜ao entre BP e BP0 ´e de 2:1.
2.2
Algoritmo
Tenha um quadrado de v´ertices ABCD em m˜aos. Para dividir seus lados em trˆes partes, basta fazer o seguinte:
1. Dobre o quadrado levando o v´ertice B ao seu oposto D. Obtem-se a diagonal AC; 2. Encontre o ponto m´edio M do lado CD;
3. Fa¸ca a dobra que tra¸ca a reta BM . Obtem-se o ponto {P } = AC ∩ BM ;
4. Leve o lado AD sobre o ponto P de tal maneira que o segmento AD seja paralelo a BC. Obtem-se uma nova marca (reta) paralela a AD;
5. Leve BC de maneira a sobrepor a nova marca do item anterior. Observe que os lados AB e CD foram divididos em trˆes partes iguais. 2.2.1 Atividade
Material: l´apis; r´egua; compasso; folha A4 com um quadrado tra¸cado.
1. Fa¸ca este mesmo procedimento no quadrado ABCD onde as dobras s˜ao represen-tadas por retas tra¸cadas com r´egua.
2. Trace o quadrado CDEF com lado comum CD ao lado do quadrado anterior. Fa¸ca a extens˜ao do segmento AM at´e encontrar um v´ertice de CDEF e explique porque A, M e este v´ertice s˜ao colineares.
3. Considerando os resultados obtidos at´e o momento, o que pode ser dito sobre os segmentos BM e AC? E quanto ao ponto P ?
4. Seja N o ponto m´edio de AB. Mostre que M N ´e dividido em trˆes partes iguais. 5. Argumente em como os lados AD e BC tamb´em foram divididos em trˆes partes
Anexo
C
B A