Capítulo Introdução

Capítulo 3 SISTEMA EM POR UNIDADE

3.1 Introdução

Em muitas aplicações na engenharia é útil escalar, ou normalizar, quantidades com dimensão tornando-as adimensionais. Vários componentes físicos do sistema têm diferentes valores nominais. Torna-se conveniente, portanto, obter a representação do sistema com uma base comum.

O sistema por unidade permite uma pronta combinação dos elementos de circuito de um sistema, em que estão presentes diferentes níveis de tensão, sem a necessidade de converter impedâncias cada vez que se deseja uma resposta em um diferente nível de tensão.

Quando um equipamento elétrico, por exemplo, uma máquina elétrica ou um transformador, é analisado usando as grandezas exatas ou dimensionais de seus parâmetros, não fica imediatamente evidente o seu desempenho quando comparado a seu similar projetado para diferente tensão e potência nominal. Entretanto, se tais parâmetros forem expressos em relação a valores de base pré-especificados, e em geral aos valores nominais do próprio equipamento, as comparações entre equipamentos de mesma natureza podem ser estabelecidas. Por exemplo, quando é dito que o enrolamento primário de um transformador é 10Ω, este valor de resistência pode ser muito alto para um transformador ou muito baixo para um outro transformador. No entanto, se é dito que a resistência de primário é 0,1pu, significa que a queda de tensão na resistência para a corrente nominal será de 10% da tensão nominal. Este resultado tem significado independente da tensão e correntes nominais do transformador.

Historicamente, nos Sistemas Elétricos de Potência a normalização das grandezas do sistema foi adotada para simplificar os cálculos numéricos. O uso de computadores digitais embora tenha resolvido o

problema com o volume de cálculos não fez cair a representação do sistema ‘por unidade’.

Uma grandeza expressa em pu (por unidade) é definida como: p.u. = Valor

Valor Base

Dimensional

(3.1) O valor dimensional refere-se ao valor real da grandeza. Este valor real depende das condições operacionais. O valor de base tem a mesma dimensão do valor dimensional.

Características do sistema pu: Š Grandeza adimensional.

Š Valor dimensional pode ser complexo. Š Valor base é sempre um número real.

Š Ângulo da grandeza complexa não é normalizado. Vantagens do Sistema Por Unidade - PU

ƒ Normaliza ou referencia as grandezas com dimensão.

ƒ Os equipamentos podem variar largamente em tamanho e suas perdas e queda de tensão também variarão consideravelmente. Porém, para equipamentos de mesma natureza, as perdas e queda de tensão em pu estão na mesma ordem de grandeza independente do tamanho do equipamento.

ƒ Torna possível a comparação de desempenho entre equipamentos. ƒ Os parâmetros dos equipamentos expressos em pu tendem a

situar-se em uma faixa estreita de valores, tornando os erros mais evidentes.

ƒ Elimina os enrolamentos de um transformador ideal quando a relação entre as tensões de base é igual à relação entre as tensões nominais dos enrolamentos de primário e secundário.

ƒ O uso do fator √3 é eliminado nas relações entre tensão de linha e de fase, e na definição de potência trifásica.

ƒ O fator 3 é eliminado na equivalência de cargas em Y e Δ, e na relação entre potência trifásica e monofásica.

Nos sistemas elétricos de potência para expressar os parâmetros de um equipamento em valores normalizados ou em pu, os valores de referência ou valores de base devem ser inicialmente selecionados. Na escolha dos valores de base, os valores nominais do equipamento são normalmente escolhidos como referência. Com base na relação |S| = |V|.|I|, não importa se para valores de base são selecionadas tensão nominal e corrente nominal, ou tensão nominal e potência nominal, ou corrente nominal e potência nominal. Uma vez escolhidos dois valores de base, os demais serão determinados em função dos dois primeiros.

É comum ter como valores de base a tensão nominal em kV e a potência aparente nominal em kVA ou MVA, por serem estas duas grandezas, na sua grande maioria, disponibilizadas pelos fabricantes de equipamentos ao usuário.

Os sistemas de transmissão e várias partes do sistema de distribuição operam com tensões em nível de quilo volts (kV). Isto resulta em grandes quantidades de potência sendo transmitida, na faixa entre kVA e MVA. Por isso, é interessante tomar como valores de base grandezas elétricas com grandes valores.

Em se tratando de um sistema, com diversos equipamentos de diferentes valores nominais, os valores de base podem ser selecionados arbitrariamente.

— A tensão Vb pode ser selecionada “arbitrariamente”, mas em geral

coincide com o valor nominal de um dos lados, primário ou secundário, de um transformador que compõe o sistema. Ex.: 13,8kV, 69kV, 138kV, 230kV, etc.

— A potência aparente de base, Sb, é escolhida arbitrariamente, e em

geral com um valor múltiplo de 10. Ex.: 1MVA, 10 MVA, 100 MVA. Se Vb e Sb são tensão e potência de base, a corrente e impedância de

b b b

V

S

I

=

_(3.2) e b 2 b b b b

S

V

I

V

Z

=

=

_(3.3)

A impedância em pu é dada por:

b b b b pu Z X j Z R Z jX R Z Z Z = = ± = ± _(3.4)

Portanto, a resistência em pu é a relação entre resistência e impedância de base, e a reatância em pu é definida pela relação entre reatância e impedância de base. Vale lembrar que a impedância de base é uma grandeza real, portanto trata da magnitude da impedância. A potência complexa em pu é definida como:

b b b b pu S Q j S P S jQ P S S S = = ± = ± _(3.5)

em que Sb é uma potência aparente.

Note que a relação 3.4 e 3.5 não alteram o ângulo de fase da grandeza complexa.

Problema 3.1

Considere uma fonte senoidal monofásica de 100 V em série com um resistor de 3 Ω, um indutor de 8 Ω e um capacitor de 4 Ω.

a) Desenhe o diagrama unifilar do circuito representando suas grandezas V e Z.

b) Para valores de base Vb=100 V e Sb=500 VA, represente o circuito

equivalente monofásico do item (a) em pu.

c) Qual a potência em cada componente do circuito?

Problema 3.2

Uma carga consome 2 A a um fator de potência de 0,9 capacitivo quando conectada a uma fonte de 600V, 60Hz. Determine as grandezas atuais e em pu, V, I, S e Z, da carga para valores de base de 100 V e 1000 VA.

3.2 Sistema PU em Transformadores Monofásicos

Para cada lado do transformador existe uma tensão de base, tensão de base de primário V1b e tensão de base de secundário V2b.

As tensões de base entre primário e secundário, V1b/V2b, obedecem a

relação de transformação do transformador, V1,Nom/V2,Nom.

A potência aparente de base é a mesma para os dois lados do transformador.

Figura 3.1: Relação de Transformação em Transformador Monofásico.

A grandeza “a“ representa a relação de transformação entre tensão de primário e tensão de secundário representadas pelos sub-índices 1 e 2 respectivamente1.

A tensão em pu é dada por:

1 _{Observe que se “a” é a relação entre tensão de primário e secundário, para a>1 tem-se um transformador}

abaixador e para a<1 tem-se um transformador elevador. Há autores que expressam a relação de transformação de um trafo como sendo tensão de secundário pela tensão de primário. Neste caso, a>1 trata-se de trafo elevador e a<1 trafo abaixador.

V1 V2

N1 N2

V1 V2

b 2 2 b 1 1 pu 1

aV

aV

V

V

V

=

=

(3.6) Portanto V1pu = V2pu (3.7)

Como visto no Capítulo 2, a impedância ôhmica de um transformador pode ser referenciada quer ao primário, quer ao secundário.

Figura 3.2 Circuito Equivalente Monofásico.

Quando a impedância é referida ao lado do secundário, tem-se:

2, 2 2 1 1 eq R R R a = + _{⋅ (3.8)} e 2, 2 2 1 1 eq X X X a = + ⋅ _(3.9)

De modo semelhante, quando a impedância é referida ao lado do primário tem-se: 2 1,eq 1 2 R = R + a ⋅ R (3.10) e 2 1,eq 1 2 X = X + a ⋅X (3.11)

É também possível calcular a impedância equivalente do primário refletida no secundário como se segue:

(

)

(

)

2, 2, 2 1, 1, 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1

1

1

1

1

eq eq eq eq

R

jX

R

jX

a

R

a R

jX

j a X

a

R

R

j X

X

a

a

+

=

+

=

+

+

+

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

=

+

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

(3.12)

De modo semelhante, a impedância equivalente do secundário vista do primário é expressa como:

(

)

2

1,eq 1,eq 2,eq 2,eq

R

+

jX

=

a

R

+

jX

_(3.13)

Pode-se então observar que a impedância equivalente de primário está relacionada com a impedância equivalente de secundário pela magnitude da relação de transformação ao quadrado.

Para expressar a impedância de um transformador em p.u. é necessário calcular as impedâncias de base do transformador.

Como regra, toma-se para potência aparente de base a potência aparente nominal do transformador. As tensões de base podem ser também as tensões nominais. Portanto, duas impedâncias de base serão calculadas: uma para o lado primário e outra para o secundário.

Z1b = b 2 b 1

S

V

(3.14) e Z2b = b 2 b 2

S

V

(3.15)

2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 b b b b b b b b

V

Z

S

V

a

V

Z

V

S

⎛

⎞

=

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

2 1b 2b

Z

=

a

⋅

Z

_(3.16)

As impedâncias em p.u. são calculadas dividindo-se a impedância equivalente do lado primário, Z1eq, e do lado secundário, Z2eq, pelas

respectivas impedâncias de base, Z1b e Z2b.

b 1 eq , 1 . u . p 1

Z

Z

Z

=

_(3.17) e b 2 eq , 2 . u . p 2

Z

Z

Z

=

_(3.18)

A impedância Z2p.u., por exemplo, pode ser re-escrita:

1, 2 2 . . 1 . . 1, 2

1

1

eq p u p u b

Z

a

Z

Z

Z

a

=

=

⋅

(3.19)

A impedância em p.u. de um transformador é a mesma independente do lado do transformador.

Quando a relação das tensões operativas de um transformador (V1/V2)

é igual à relação de suas tensões de base (Vb,1/ Vb,2) que é igual à

relação entre as tensões nominais (Vb,1/ Vb,2= VNOM,1/ VNOM,2), a relação

1

a

1

a

V

V

V

V

V

V

V

V

a

1 , b 2 , b 2 1 2 , b 2 1 , b 1 . u . p

=

=

⋅

=

⋅

=

(3.20)

A relação de transformação é então 1:1. Isto é, quando o transformador opera com relação de espiras igual a nominal (N1:N2) a

relação de transformação em pu é igual a 1.

Neste caso, o circuito equivalente do transformador, sem considerar o ramo em derivação, no sistema em p.u. é mostrado na figura abaixo.

Fig.3.3: Circuito Equivalente em PU de Transformador Monofásico

Note que a relação de transformação foi eliminada, pois em pu a f.e.m. de primário é igual a f.e.m. de secundário. A diferença entre as tensões terminais V1pu e V2pu é dada pela queda de tensão provocada

pela impedância equivalente em pu..

Exemplo 3.1

Considere um transformador monofásico com valores nominais de tensão de 220V/110V, operando em sua relação nominal de espiras (N1:N2). Se o transformador está com uma tensão no primário de 215

V, considerando que a tensão de base do primário é igual à tensão nominal de 220 V, determine:

a) A relação de transformação nominal. b) A tensão de base do secundário.

c) A tensão em pu de primário e secundário. d) A relação de transformação em p.u.

A relação de transformação do transformador é a = 220/110 = 2 A tensão de base do secundário

V2b = (1/a)V1b = 220/2 = 110 V

A tensão do primário em pu

V1pu = V1/V1b = 215/220 = 0,98 pu

Note que é perceptível que a tensão de primário é 98% da nominal. A tensão do secundário em pu é obtida calculando-se em primeiro lugar a tensão atual do secundário sob a condição que o trafo opera na relação N1:N2, i.é.,

V2 = (1/a)V1 = 215/2 = 107,5V

V2pu = V2/V2b = 107,5/110 = 0,98 pu

A relação "a" em pu é dada por

apu = (V1/V1b)/(V2/V2b) = (215/220)/(107,5/110) =1

Exemplo 3.2

Um transformador de 1,1kVA, 440/110 V, 60 Hz tem os seguintes parâmetros referidos ao primário: R1,eq=1,5Ω, X1,eq=2,5Ω, Rc=3000Ω, e

Xm=2500Ω. O transformador quando em plena carga opera à tensão

nominal, alimentando uma carga com um fator de potência de 0,707 atrasado. Determine para valores de base iguais aos nominais de Sb=1100VA e V2b=110 V:

a) Os parâmetros em pu, R1,eq, X1,eq, Rc e Xm.

b) A regulação de tensão. c) A eficiência do trafo.

A tensão de base no primário é: ' 1 1 2 2 2 2

440

110

440

110

NOM b b b NOM b

V

V

V

aV

V

V

V

⎛

⎞

=

=

=

_⎜

_⎟

=

=

⎝

⎠

Os valores de base das outras quantidades do transformador são: I1b=Sb/V1b=1100/440=2,5A e Z1b=V1b/I1b=440/2,5=176Ω ou simplesmente

Ω

=

=

=

176

1100

440

S

V

Z

2 b 2 b 1 b 1

Os parâmetros equivalentes em pu são calculados como: R 1eq,pu= 1,5/176=0,0085 pu

X 1eq,pu= 2,5/176=0,0142 pu

R 1c,pu= 3000/176=17,0455 pu

X 1m,pu= 2500/176=14,2045 pu

Notar que as impedâncias do transformador quando expressas em pu independem do lado do transformador, i.é., a impedância em pu no primário é a mesma impedância em pu no secundário. Para verificação da afirmação considere a impedância equivalente de primário refletida para o secundário:

Ω + = + ⋅ = + R jX 0,375 j0,625 a 1 jX R_{2,eq 2,eq 2 1,eq 1,eq}

A impedância de base do secundário é dada por: Ω = ⋅ = Z 44 a 1 Z_{2b 2 1b}

A impedância equivalente em pu vista do secundário é então:

(

)

(

)

(

0,375 j0,625

)

0,0085 j0,0142pu 44 1 jX R Z 1 jX R _{2,eq 2,eq} b 2 pu eq , 2 eq , 2 + = + = + ⋅ = +

Como a tensão e corrente nominais são os valores de base, a tensão e corrente da carga em pu refletidas para o primário são:

V’1pu = 1,0∠0 o pu I’1pu = 1,0∠-45 o pu

em que –45o corresponde a um fator de potência de 0,707 indutivo. A corrente de excitação I0 é dada pela componente de corrente

através do resistor mais a componente de corrente através da reatância de magnetização. pu 0 10 67 , 58 0455 , 17 0 1 I 3 0 0 pu , C = × ∠ ∠ = − pu 90 10 40 , 70 2045 , 14 j 0 1 I 3 0 0 pu , m = × ∠− ∠ = −

e finalmente a corrente de excitação I0

A corrente I1pu é dada por:

I1pu = I’1pu + I0pu= 1,0∠-450+ 91,64 x10-3∠-50,19o=1,09∠-45,410 pu

A tensão aplicada V1pu é dada por:

V1pu= V’1pu + (R1eq,pu +j X 1eq,pu)I1pu

=1∠0o_{+(0,0085+j0,0142)(1,09∠-45,41}0_{) = 1,02∠0,24º pu}

A tensão de primário V1 é 2% maior que a tensão nominal de primário

para que a tensão no secundário se mantenha em seu valor nominal de 110 V.

A tensão primária em Volts é

V1=V1b.V1pu=440. 1,02∠0,24 o_{= 448,80∠0,24}o V A regulação de tensão é: 100 V V V % RV PC PC vazio × − =

Em plena carga a tensão no secundário é de 110 V, para tanto a tensão no primário deve ser mantida em 448,80V. Em vazio, para uma tensão no primário de 448,8V a tensão corresponde no secundário é de 112,2V. Assim a regulação de tensão pode ser obtida a partir de valores dimensionais ou em pu:

(

1,02 1

)

100 2% 100 110 110 2 , 112 % RV = − × = − × = ou % 2 100 0 , 1 0 , 1 02 , 1 % RV = − × =

Se ao invés de tensão no lado do secundário a regulação for calculada para valores de tensão no primário nas condições em vazio e plena carga, tem-se:

(

1,02 1

)

100 2% 100 440 440 80 , 448 % RV = − × = − × =

A eficiência do transformador é calculada pela relação entre perdas e potência de entrada, i.é.,

in in in in out

P

Perdas

1

P

Perdas

P

P

P

−

=

−

=

=

η

A potência útil de entrada em pu é dada por Pin,pu=V1pu.I1,pu.cosθ

portanto

Pin,pu=V1pu.Iin,pu.cosθ=1,02x1,09.cos(0,24o+45,41o)= 0,78 pu

As perdas ativas no núcleo Pc,pu=Rc,puIc,pu

2

=17,0455x(58,67x10-3)2=0,059 pu

As perdas ativas de enrolamento representadas pela resistência equivalente de primário:

Penr,pu=R1eq,pu.(I1pu)2=0,0085x(1,09)2=0,010 pu

A perda total

Pt = Pc + Penr = 0,059 + 0,010= 0,069

O rendimento do transformador é então de:

912

,

0

78

,

0

069

,

0

1

−

=

=

η

_{ou 91,2%}

3.3 Mudança de Base de Valores em PU

Em muitas circunstâncias, a impedância em pu de um componente do sistema elétrico é especificada com relação aos valores nominais do próprio componente, os quais podem diferir dos valores de base selecionados para a parte do sistema onde o componente está inserido. No entanto, para proceder a análise de um sistema, faz-se necessário que todas as impedâncias em qualquer parte do sistema sejam expressas em uma mesma base. Como resultado é necessário converter os valores em pu, expressos em relação a uma base dita “velha”, para uma base comum a todo sistema dita “nova”.

No processo de conversão de uma impedância em pu da base velha para a base nova, tem-se em primeiro momento que:

[ ]

(

)

[

MVA

]

S kV V Z old b 2 old b old b = (3.21) e

[ ]

(

)

[

MVA

]

S kV V Z new b 2 new b new b = (3.22)

A impedância em seu valor dimensional Z é obtida por:

[ ]

(

[ ]

)

[

MVA

]

S kV V Z Z old b 2 old b old pu ⋅ = Ω _(3.23)

A mudança para a nova base Zpu new :

( )

(

[

[ ]

)

]

₍

[

_{[ ]}

₎

]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

MVA

MVA

kV

kV

Z

kV

V

MVA

S

MVA

S

kV

V

Z

V

S

Z

Z

old b new b 2 new b old b old pu 2 new b new b old b 2 old b old pu 2 new b new b new pu (3.24)

Na mudança de base de impedância de um transformador, é importante notar que é indiferente se se usa tensões de primário ou tensões de secundário na relação de tensões, contanto que se Vb

OLD

é de primário, VbNEW deverá ser de primário, ou se VbOLD é de

secundário, Vb NEW

deverá ser de secundário.

Em sistemas trifásicos, é indiferente se se usa potências monofásicas ou potências trifásicas, conquanto que as potências nova e velha sejam do mesmo tipo, quer monofásicas, ou quer trifásicas. Ainda em sistemas trifásicos pode-se usar quer tensões de linha, quer tensões de fase contanto que as tensões velha e nova sejam do mesmo tipo.

Exemplo 3.3

Considere o sistema mostrado na figura abaixo em que dois transformadores monofásicos alimentam uma carga resistiva de 10kVA, a tensão na carga sendo mantida a 200 V. Determine o circuito equivalente em pu considerando uma potência de base de 10kVA.

No circuito apresentado há três níveis de tensão envolvidos: 100 V no segmento A, 400 V em B e 200 V em C. Para cada segmento do circuito deverá ser obtida uma tensão de base. Embora não seja essencial que as tensões nominais sejam usadas como base, é essencial que as tensões de base estejam relacionadas pela relação de tensões nominais. C A 200V 100:400V X=0,1pu 15kVA

~

400:200V X=0,15pu 15kVA Vs B T1 T2

Se a tensão do segmento A é tomada como tensão de base, Vb,A=100

V, então as tensões de base dos segmentos B e C são:

V

400

100

4

V

V

V

V

a

1

V

_b,A 1 T 1 2 A , b 1 T B , b

⎟⎟

⋅

=

×

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

=

V 200 400 5 , 0 V V V V a 1 V _b,B 2 T 1 2 B , b 2 T C , b ⎟⎟ ⋅ = × = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ =

Para uma potência de base igual a Sb=10 kVA, as reatância dos

transformadores 1 e 2 devem ser transformadas para os novos valores de base, i.e.: pu 0667 , 0 15 10 400 400 1 , 0 15 10 100 100 1 , 0 S S V V X X 2 2 OLD , b NEW , b 2 NEW , b OLD , b OLD pu , 1 T pu , 1 T = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = pu 1 , 0 15 10 100 100 15 , 0 15 10 400 400 15 , 0 X 2 2 pu , 2 T = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =

A impedância da carga é dada por:

2 200 4 10.000 L Z = = Ω

A impedância de base em C é dada por:

Ω = = 4 000 . 10 200 Z 2 C , b

A resistência da carga em pu: pu 1 4 4 Z R R C , b pu , L = = =

O circuito equivalente em pu é mostrado a seguir:

A tensão na carga é 1,0∠0o

pu uma vez que a tensão na carga é igual à tensão de base em C. Qual o valor da tensão Vs?

S L

V = jX I⋅ +V

Se a resistência da carga é igual 1,0 pu e a tensão na carga também igual 1,0∠0o _{pu, a corrente então é de 1,0∠0}o

pu. Assim, a tensão Vs é

dada por: Vs=(0,1667∠90o x 1,0∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810opu ou Vs=(1+0,1667∠90 o_{). 1,0∠0}o_{=1,014∠9,4810}o pu A tensão Vs em volts:

V

V

V

V

_s

=

_s,pu

⋅

_b,A

=

1

,

014

∠

9

,

5

D

×

100

=

101

,

4

∠

9

,

5

D

Se a potência de base escolhida fosse de 15kVA, mantida as mesmas tensões de base, as reatâncias de dispersão dos transformadores T1 e

T2 não sofreriam alteração, mas apenas a resistência da carga que

passaria a ser de:

VS VL=1∠0 o pu j0,0667pu j0,1pu RL=1,0pu T1 T2

(

)

2

_{[ ]}

2 , , 3 200 2, 67 15 10 b C b C b V Z S = = = Ω × , 4 1, 5 2, 67 L pu Z = =

Neste caso, a corrente no circuito em pu é igual a:

[ ]

, , , 1, 0 0 0, 67 0 1, 5 0 L pu L pu L pu V I pu Z ∠ = = = ∠ ∠ D D D e a tensão VS igual a: Vs=(0,25∠90o x 0,67∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810o pu A tensão Vs em volts:

V

V

V

V

_s

=

_s,pu

⋅

_b,A

=

1

,

014

∠

9

,

5

D

×

100

=

101

,

4

∠

9

,

5

D

Se a tensão de base escolhida fosse de 500 V para o segmento B do circuito e a potência de base 10kVA, ter-se-ia que as reatâncias dos transformadores para os novos valores de base seriam:

pu 0427 , 0 15 10 125 100 1 , 0 15 10 500 400 1 , 0 S S V V X X 2 2 OLD , b NEW , b 2 NEW , b OLD , b OLD pu , 1 T pu , 1 T = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

pu 064 , 0 15 10 250 200 15 , 0 15 10 500 400 15 , 0 X 2 2 pu , 2 T = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Independente qual seja os valores de base selecionados, a impedância em pu de T1 é menor que a de T2.

A tensão de entrada Vs,pu:

(

)

, 1, 2, , ,

s pu T pu T pu L pu L pu

V

=

j X

+

X

I

+

V

A tensão da carga em pu:

, , , 2 200 0 200 0 0,8 0 1 500 ₂₅₀ 2 L L L pu b C b B T V V V pu V V a ∠ ∠ = = = = = ∠ ⋅ D D D A corrente em pu da carga: , , , 1 0 1, 25 0 0,8 0 L pu L pu L pu S I pu V ∗ ⎛ ⎞ _∠ =⎜_⎜ ⎟_⎟ = = ∠ ∠ ⎝ ⎠ D D D Então, Vs,pu:

(

)

pu j j V_{s pu} D D D D D D D D 5 , 9 81 , 0 0 8 , 0 90 134 , 0 0 8 , 0 0 25 , 1 90 107 , 0 0 8 , 0 0 25 , 1 064 , 0 043 , 0 , ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⋅ ∠ = ∠ + ∠ + =

O valor da tensão Vs em volts é simplesmente:

V V V V_{s s pu bA} D 500 0,81 125 101,25 0D 400 100 5 , 9 81 , 0 , , ⎟= × = ∠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _× × ∠ = ⋅ =

O mesmo circuito pode ser analisado para obtenção de VS,

condição de operação da carga devem ser refletidas para o primário de T1, levando-se em consideração as relações de transformação

existentes entre fonte e carga, bem como as impedâncias. O volume de cálculo, neste caso, seria maior.

3.4 Sistema PU em Circuitos Trifásicos Equilibrados

a) Tensão

Tensão linha-neutro em pu:

b LN LN pu LN V V V , , = (3.25)

Tensão linha-linha em pu:

b LL LL pu LL V V V , , = (3.26)

A relação entre as tensões de base de linha-linha e linha-neutro é dada por: 3 , , b LL b LN V V = _(3.27)

Substituindo em VLNpu os valores de neutro por valores de

linha-linha tem-se: D D 30 3 30 3 , , , − ∠ = − ∠ = b LL LL b LL LL pu LN V V V V V (3.28) Portanto D 30 , ,pu = LLpu∠− LN V V (3.29)

Em um sistema trifásico equilibrado, a tensão de fase em pu difere da tensão de linha em pu apenas na abertura angular sendo as magnitudes iguais.

Na obtenção da tensão linha em pu a partir de tensões linha-neutro em pu, tem-se que:

(

)

, , , , , , 1 1 3 3 ab a b ab pu LL b LL b a b a pu b pu LN b V V V V V V V V V V V − = = ⎛ ₋ ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟= − ⎝ ⎠ (3.30) Em um sistema equilibrado:

(

)

(

)

(

)

(

)

, , , , , , , , 1 3 1 120 3 1 1 240 3 30 3 3 30 ab pu a pu b pu a pu a pu a pu a pu a pu V V V V V V V V = − = − ∠ − = − ∠ = ∠ = ∠ D D D D (3.31)

Note que para condição de tensões desequilibradas a relação |Vab|=√3|Va| já não mais se aplica e a igualdade entre tensões de linha

em pu e tensões de fase em pu deixa de existir. No entanto, na análise de sistemas de potência, como p.ex. fluxo de carga, o sistema é considerado equilibrado. Em análise de curto-circuito para a condição pré-falta é assumido que o sistema está equilibrado.

b) Potência

Potência monofásica em pu:

b pu

S

S

S

, 1 1 1 φ φ φ

=

_(3.32)

Potência trifásica em pu:

b pu

S

S

S

, 3 3 3 φ φ φ

=

_(3.33)

Relação entre a potência de base trifásica e monofásica: 3 , 3 , 1 b b S S_φ = φ _(3.34)

Expressando S1φpu em termos de potência trifásica, tem-se:

3 S 3 S S base 3 3 pu 1 φ φ φ = (3.35) Portanto pu pu

S

S

_1φ,

=

_{3φ, (3.36)}

A expressão 3.36 é válida somente para sistemas equilibrados. Em um sistema trifásico qualquer se tem que:

(

a pu b pu c pu

)

b c b a b pu S S S S S S S S S S _{, , ,} , 1 , 3 3 , 3 3 1 3 = + + + + = = φ φ φ φ (3.37)

Quando o sistema é equilibrado (Sa,pu= Sb,pu= Sc,pu) a potência trifásica

em pu torna-se igual à potência monofásica em pu. c) Corrente

Corrente de fase em pu:

b , F F pu , F

I

I

I

=

_(3.38)

Corrente de linha em pu:

b , L L pu , L

I

I

I

=

_(3.39)

3

I

I

_F,b

=

L,b _(3.40)

Expressando a corrente de fase em pu, IFpu, em termos de valores de

linha, tem-se: D D D

30

30

3

30

3

, , , ,

+

∠

=

+

∠

=

+

∠

=

pu L b L L b L L pu F

I

I

I

I

I

I

(3.41)

Em um sistema trifásico qualquer (desequilibrado ou equilibrado), tem-se que a corrente de linha a é dada por:

a ab ca

I

=

I

−

I

(3.42) Em pu:

(

)

(

)

₍

₎

, , , ,

1

1

3

3

ab ca ab ca a pu ab pu ca pu L b F

I

I

I

I

I

I

I

I

I

−

−

=

=

⋅

=

⋅

−

_(3.43) d) Impedância Impedância Y em pu: 2 1 LN Y

V

Z

S

∗_φ

=

_ou 2 3 LL Y

V

Z

S

∗_φ

=

_(3.44) 2 1 , , LN Y pu Y b

V

S

Z

φ

_Z

∗

=

_(3.45) ou Iab Ibc Ica Ia

2 3 , , LL Y pu Y b V S Z Z φ ∗ = (3.46)

Impedância Δ de cada fase em pu:

2 1 , , LL pu b V S Z Z φ ∗ Δ Δ = (3.47)

Expressando a relação entre as impedâncias de base Y e Δ, tem-se:

b , Y b , 3Z Z_Δ = (3.48)

A impedância Y em pu expressa em função da impedância em Δ:

2 2 3 1 , _, 3 LL LL Ypu b _b V V S S Z Z _Z φ φ ∗ ∗ Δ _Δ = = Portanto pu , pu , Y

Z

Z

=

_{Δ (3.49)} ou simplesmente pu , Y b , Y Y b , pu , Z Z 3 Z 3 Z Z Z = = = Δ Δ Δ (3.50) Exemplo 3.4

Teste de curto circuito em um transformador monofásico de 100 kVA, 2400 V:120 V, 60 Hz, resultou em impedância série equivalente referida ao lado de alta tensão igual a 0,478+j1,19 Ω. Três dessas

unidades monofásicas são conectadas em Δ-Y formando um banco de transformadores trifásicos. O banco é suprido por um alimentador cuja impedância por fase é de 0,065+j0,87 Ω. A tensão no terminal transmissor da linha é mantida constante em 2400 V linha-linha. Escolha valores de base convenientes e determine a tensão em pu no lado de baixa tensão do transformador quando o banco entrega corrente nominal a uma carga trifásica equilibrada de fator de potência unitário.

Seleção de valores de base:

[

]

[ ]

1 100 2400 b b S kVA V V = =

Cálculo da impedância de base:

(

)

2

_{[ ]}

2 ,1 1 3 2400 57, 6 100 10 b b b V Z S = = = Ω × Cálculo da impedância em %: 1, , ,1 0, 065 0,87 0,113 1, 51% 57, 6 T T pu b Z j Z j Z + = = = +

A impedância ZT,pu pode representar a impedância do transformador

no lado de alta e baixa tensão, para conexão Δ ou Y.

Como o transformador entrega corrente nominal a uma carga resistiva, significa que a corrente de carga é de 1,0∠0o

pu. Assim,

(

)

, , , , 1, 0 0 0, 00113 0, 0151 1, 0 0 s pu r pu T pu pu r pu V V Z I V j θ = + ∠ = ∠ +D + ⋅ ∠ D

Embora existam 2 incógnitas, a equação acima pode ser dividida em parte real e parte imaginária:

(

)

, 1 cos 0, 00113 0, 0151 0, 0151 0,865 r pu V sen sen θ θ θ − = + = ∴ = =

(

)

, cos 0,865 0, 00113 0, 999

r pu

V = − = pu

A tensão de fase em volts na carga:

[ ]

, ,2 0, 999 120 119,85

r r pu b

V =V ⋅V = × = V

A magnitude da tensão de linha na carga:

(

)

[ ]

, 3 3 119,85 207, 6

r LL r

V = V = ⋅ = V

Exemplo 3.5

Um transformador trifásico de 300 kVA, Δ-Y, 2400/208 V de tensão de linha, 60 Hz, tem como parâmetros R/X=40,17% e Z=2,23%. Calcule a impedância por fase do transformador em ohms, vista do lado de alta e baixa tensão.

A impedância do transformador é obtida por:

(

)

2 2 2 2 2 2 0, 4017 1,16 Z =R +X = X +X = X

(

)

2 0, 0223 2, 07% 1,16 X = ± = ±

Como a reatância série do transformador é indutiva a raiz negativa é desconsiderada e a resistência é então dada por:

0, 4017 0,832% 0, 00832

R= X = ≡ pu

As impedâncias de base do transformador são:

(

)

2

_{[ ]}

2 ,2 ,2 3 208 0,144 300 10 b b b V Z S = = = Ω ×

Note que a impedância de base do secundário está relacionada ao tipo de conexão que é Y.

(

)

2

_{[ ]}

2 ,1 ,1 3 2400 57, 6 100 10 b b b V Z S = = = Ω ×

A impedância do transformador vista do lado Y e delta, em ohms, é dada por:

(

)

[ ]

, ,2 0, 00832 0, 0207 0,144 0, 0012 0, 003 0, 00321 68,1 Y T pu b Z Z Z j j = ⋅ = + ⋅ = + = ∠ D Ω

(

)

[ ]

, ,1 0, 00832 0, 0207 57, 6 0, 479 1,192 1, 29 68,1 T pu b Z Z Z j j Δ = ⋅ = + ⋅ = + = ∠ D Ω

Note que se para ZΔ vista do primário for calculada seu equivalente Y e

refletida para o secundário, tem-se:

[ ]

2 1 1 1, 29 68,1 3 133,14 3 0, 00323 68,1 0, 0012 0, 003 Y Z Z a j Δ ⎛ ∠ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = _{⎜ ⎟}= _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} = ∠ = + Ω D D

Observe que ZΔ é a impedância em ohms do transformador trifásico do