Conteúdo e Procedimento de Ensino Sobre Problemas de Adição e
Subtração: uma análise a partir das manifestações dos estudantes do
terceiro ano do ensino fundamental.
Jéssica de Godoy Braga1 Josélia Euzébio da Rosa2
Resumo
Investigou-se o conteúdo e o procedimento de ensino expresso nas manifestações de estudantes do terceiro ano do Ensino Fundamental, durante resolução de problemas sobre adição e subtração. Trata-se de uma pesquisa do tipo estudo de caso. Para auxiliar a coleta dos dados, os instrumentos utilizados foram: diário de campo e gravador de áudio e vídeo. Adotou-se o Materialismo Histórico-Dialético como base orientadora das reflexões apresentadas, desde a delimitação do objeto de estudo, as etapas de apreensão da realidade investigada até a análise dos dados, com foco para o problema da conduta fossilizada. Em consonância com o método de pesquisa adotado, no decorrer do artigo, o referencial teórico não está separado da apresentação e análise dos dados, mas em unidade dialética, ou seja, de modo inseparável. Durante a resolução de quatro problemas sobre adição e subtração, e refletiu-se sobre algumas possibilidades de superação das limitações detectadas com base na proposição davydoviana de ensino. Concluiu-se que o conteúdo e o procedimento de ensino revelados nas manifestações dos estudantes sobre resolução de problemas de adição e subtração são predominantemente empíricos.
Palavras-chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Adição e Subtração.
Apresentação da Pesquisa
Como resolver um problema com facilidade? Eis uma das possibilidades de resposta no meio educacional brasileiro (Figura 1):
1 Acadêmica do curso de Licenciatura em Pedagogia, da Universidade do Sul de Santa Catarina, UNISUL.
Integrante do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TedMat). E-mail: jebraaaga@gmail.com.
2 Professora do Mestrado em Educação e do Curso de Pedagogia, da Universidade do Sul de Santa Catarina,
UNISUL. Doutora em Educação (UFPR). Líder do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TedMat). Vice-Líder do Grupo de Estudos e Pesquisas com base na Teoria Histórico-Cultural (GPEMAHC). E-mail: joselia.euzebio@yahoo.com.br.
Figura 1: Cartaz com palavras chaves
Fonte: Grupo do Facebook Professores do Fundamental I, 2018.
A partir desse tipo de respostas, referentes ao modo de organização do ensino, surgem, como consequência, perguntas do tipo: “É de mais, ou é de menos?”; “O que é pra [sic] fazer aqui professora?”; “O que é diferença?”; “É só uma conta que é para fazer aqui, ou tem mais de uma?” (MATOS, 2013, p. 12-13).
Atualmente, é comum a associação da palavra-chave com a operação a ser realizada na resolução de problemas. Essa orientação é suficiente para que os estudantes resolvam com êxito os problemas? Não. O cartaz exposto na figura 1 foi publicado por uma professora do quarto ano, no grupo de Professores do Fundamental I, ao qual participo no facebook. Com a seguinte legenda: Cartaz para ajudar meus alunos do quarto ano a resolver os problemas matemáticos. Eles adoraram.
O referido grupo foi criado com o objetivo de compartilhar ideias e/ou experiências desenvolvidas com estudantes do primeiro ao quinto ano, do Ensino fundamental I, em escolas brasileiras. Atualmente, o grupo é composto por, aproximadamente, cento e noventa e nove mil integrantes de todas as regiões do país. O cartaz da figura 1 teve 1,6 mil curtidas e 295 comentários elogiosos, nenhuma crítica. Por exemplo:
• Legal! Eu fiz para colocar no caderno! E sempre que tem uma situação problema, eles consultam!
• Show! Muito dez. • Amei a ideia. • Maravilha. • Boa ideia. • Vou fazer.
• Ótimo.
A julgar pelos comentários e pelo número de curtidas, essa é uma orientação bem aceita entre os professores brasileiros, porém, não é a mais eficaz, pois, segundo Matos (2013, p. 121), o foco incide apenas na classificação em problemas de “mais”, “menos”, “vezes” e de “dividir”. Nesse contexto, as ações como tirar, gastar, acrescentar, aumentar são indicativas de palavras-chave que sugeririam a operação a ser realizada.
A partir de tais ações são extraídos os indícios comuns que possibilitam a classificação dos problemas, como de adição, subtração, multiplicação, entre outros. Por exemplo, subjacentemente às ações de esconder, apagar, tirar, cortar, descontar, gastar, perder etc., está o indício comum gerador da classe dos problemas de subtração. São ações diretamente perceptíveis. As demais ações (unir, juntar, acrescentar e aumentar) formam outro conjunto, a classe dos problemas de adição (MATOS, 2013, p. 65).
Mas, nem sempre as ações ou palavras-chave indicam corretamente a operação a ser realizada. Pode constar, no enunciado do problema, a ação de acrescentar e a operação adequada ser a de subtração. Ou seja, “as palavras apresentadas no enunciado do problema nem sempre coincidem com a operação a ser realizada para resolvê-los” (MATOS, 2013, p. 135).
Kalmykova (1991, p. 12) alerta que “a mesma palavra pode estar ligada num problema a determinada operação aritmética e noutro problema, com uma operação diferente. Se o aluno se habitua a usar uma determinada palavra como critério para a escolha de uma operação aritmética, cometerá erros”. Matos (2013), ao analisar o processo de resolução de problemas desenvolvido por estudantes do sexto ano, constatou que ao selecionarem as palavras-chave, no enunciado do problema, os estudantes faziam uma relação direta entre a palavra e a operação correspondente. Ao desprezarem as demais informações, a análise do problema tornava-se insuficiente e, consequentemente, resolviam de modo errôneo.
A presente pesquisa surgiu a partir das fragilidades inerentes ao processo de ensino e aprendizagem sobre o processo de compreensão, interpretação e resolução de problemas. De acordo com as professoras pesquisadas por Sousa (2014), a origem das dificuldades das crianças está nas fragilidades de compreensão conceitual dos próprios professores ao ensinarem. Por outro lado, Pereira (2016) argumenta que:
Essas dificuldades podem ser originadas por: interpretação errônea dessas palavras, desconsiderando o contexto em que estão inseridas; desinteresse e falta
de motivação em aprender e compreender conceitos matemáticos; tentativas de ensino memorísticas, pouco eficazes e desprovidas de situações desafiadoras; por desconhecimento do papel da mediação no processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos. Podem também estar relacionadas à insegurança de muitas crianças quando estão diante de situações que envolvem a necessidade do cálculo mental ou escrito (PEREIRA, 2016, p. 18).
Já os professores pesquisados por Lorensatti (2009) afirmam que o imbróglio está na compreensão da língua materna: “Os alunos não sabem interpretar” ou “Os alunos não sabem o que o problema pede”, ou ainda, “Os alunos não sabem Língua Portuguesa, por isso, não conseguem resolver os problemas” (LORENSATTI, 2009, p. 90). Gomes (2002, p. 365) afirma que “[...] é evidente a fobia e o analfabetismo matemático em muitos dos futuros professores”.
Mas, para Rosa (2012), essas são apenas manifestações externas do problema cuja origem está no modo de organização de ensino tradicionalmente desenvolvido no Brasil, no qual tanto o conteúdo, quanto os procedimentos de ensino são empíricos em detrimento dos teóricos. A Teoria do Pensamento Empírico obstaculiza o desenvolvimento dos conceitos teóricos, pois “os estudantes, gradualmente, são levados às generalizações por meio da observação e o estudo do material concreto dado visualmente e captado sensorialmente” (DAVÍDOV, 1988, p. 103, tradução nossa). É a partir dessa orientação que as palavras, visualmente captadas são generalizadas: sempre que tiver a palavra y no enunciado do problema a operação correspondente será x.
De acordo com Davýdov (1982), é necessário que a educação escolar contemporânea desenvolva as máximas capacidades humanas nos estudantes por meio da apropriação dos conhecimentos científicos e o desenvolvimento do pensamento teórico. Nesse sentido, na presente pesquisa a pretensão é refletir sobre as limitações inerentes ao modo de organização do ensino tradicional e suas possibilidades de superação. Para tanto, o objeto de investigação consiste no conteúdo e procedimento utilizados por estudantes do terceiro ano, do ensino Fundamental I, durante a resolução de problemas sobre adição e subtração. Tomamos conteúdo e procedimento como unidade dialética, portanto, indissociável e perseguimos o seguinte problema da pesquisa: “O que revela resolução de problemas dos estudantes sobre o conteúdo e os procedimentos de ensino?”. Os colaboradores da presente pesquisa são estudantes, matriculados no terceiro ano do Ensino Fundamental, de uma escola da Rede Pública estadual de Educação, localizada no município de Tubarão, Estado de Santa Catarina, Brasil.
Partimos da hipótese de que o conteúdo e o procedimento de ensino revelados nas manifestações dos estudantes sobre resolução de problemas de adição e subtração são predominantemente empíricos. Com base no pensamento empírico, “o aluno chega ao conhecimento direto e imediato do objeto, só lhe possibilita apreender seus traços empíricos, de caráter externo, [...] não revelando suas conexões internas e essenciais” (LIBÂNEO; FREITAS, 2013, p. 336).
Com base na problemática anunciada, elaboramos o seguinte objetivo de pesquisa: Investigar o conteúdo e o procedimento de ensino expresso nas manifestações de estudantes do terceiro ano, do Ensino Fundamental, durante resolução de problemas sobre adição e subtração. Trata-se de uma pesquisa do tipo estudo de caso. Neste tipo de investigação, o pesquisador:
Visa conhecer em profundidade o como e o porquê de uma determinada situação que se supõe ser única em muitos aspectos, procurando descobrir o que há nela de mais essencial e característico. O pesquisador não pretende intervir sobre o objeto a ser estudado, mas revelá-lo tal como ele o percebe. O estudo de caso pode decorrer de acordo com uma perspectiva interpretativa, que procura compreender como é o mundo do ponto de vista dos participantes, ou uma perspectiva pragmática, que visa simplesmente apresentar uma perspectiva global, tanto quanto possível completa e coerente, do objeto de estudo do ponto de vista do investigador (FONSECA, 2002, p. 33).
Para conhecer com profundidade nosso objeto de investigação, selecionamos uma turma do terceiro ano do ensino fundamental I, por entendermos que aquelas crianças estavam em processo inicial de escolarização, e por compreender que a prática pedagógica desenvolvida nessa turma são indicadores importantes sobre como é desenvolvido o trabalho com os conceitos, nessa etapa inicial do Ensino Fundamental.
A inserção na turma foi realizada logo após o ensino sobre resolução de problemas referentes aos conceitos de adição e subtração no terceiro ano. Para auxiliar a coleta dos dados, os instrumentos utilizados foram: diário de campo e gravador de áudio e vídeo. Estes não possuem a capacidade de revelar a essência do fenômeno investigado, apenas de captá-lo em sua exterioridade. A essência obscurecida pela aparência foi revelada durante o processo teórico de análise e síntese dos dados apreendidos por meio desses instrumentos.
A Escola que constitui o contexto no qual a pesquisa foi realizada, possui apenas uma turma de terceiro ano, com 31 alunos matriculados. Antes de iniciar a observação em sala de aula, tive uma breve conversa com a professora. Relatou-me que
destes, dez têm muita dificuldade em aprender: uns só copiam, mas não sabem ler; outros conhecem as coisas, mas se esquecem facilmente; e têm aqueles que não conhecem praticamente nada. Relatou-me, também, que os estudantes utilizam os dedos para realizarem os cálculos e que, quando a conta passa de dez, e as crianças não têm mais o que contar, por isso, dispõe de uma caixa com várias tampinhas pra eles separarem e tentarem resolver o problema. Mas que, mesmo assim, de acordo com a avaliação da professora da turma, alguns estudantes têm dificuldade na interpretação de problemas e outros ainda não são alfabetizados.
No dia 02 de março de 2018, comecei3 a experiência de pesquisa na escola por meio das observações, em sala de aula, principalmente das aulas de matemática, uma vez que o foco principal era a Resolução de Problemas sobre adição e subtração. Foram oito tardes de imersão na escola, embora só as duas últimas tardes foram destinadas para coleta de dados, em si. Além de seis tardes de observação, analisei a coleção de livros didáticos de matemática adotada na escola. Essa etapa foi relevante por propiciar uma compreensão mais ampla do fenômeno investigado. Nas duas últimas tardes, após observar o processo de ensino e aprendizagem em desenvolvimento naquela sala de aula, levei quatro problemas. No início da aula, antes de escrever os problemas no quadro ela disse: “– Agora peguem o caderno de matemática que vou passar alguns problemas pra vocês resolverem”. Bastou dizer isso e a resposta deles foi: “– Probleminha! Ah, não!”.
A professora escreveu os problemas no quadro para os estudantes copiarem. A solicitação da professora da turma foi para não levar os problemas na forma impressa aos estudantes, para que eles pudessem, também, exercitarem a escrita. A professora escreveu no quadro, para os estudantes copiarem, dois problemas por tarde, na seguinte sequência, pensada aleatoriamente:
1) Izadora tem 5 latas e Fernando 3 latas. Izadora tem quantas latas a mais do que Fernando?
2) Roberto jogou boliche, no sábado, com seus amigos. Na primeira rodada, ele derrubou 7 pinos e na segunda, derrubou 6 pinos. Quantos pinos Roberto derrubou nas duas rodadas?
3
Quando se tratar da experiência de pesquisa na escola, utilizaremos a primeira pessoa do singular, uma vez que só a acadêmica do Curso de Pedagogia foi coletar os dados. No entanto, quando se tratar da pesquisa como um todo adotaremos a primeira pessoa do plural. Uma vez que não se trata de uma pesquisa desenvolvida isoladamente, mas no contexto de um Grupo de Pesquisa, e conta com toda a estrutura investigativa desse grupo.
3) Júlia ganhou de seu pai 10 balas e João ganhou 5 balas. Júlia ganhou quantas balas a mais do que João?
4) Pedro tinha uma fazenda com vários bois. Na segunda-feira, morreram 5 bois, e na terça-feira, morreram mais 2 bois. Quantos bois Pedro perdeu em dois dias?
O primeiro e o segundo problema foram extraídos do livro didático Alfabetização Matemática (Cerullo, Shirahige e Chacur 2011) correspondente ao segundo ano, da coleção adotada na escola. O terceiro e o quarto foram elaborados pela acadêmica pesquisadora.
A professora, ao terminar de escrever os problemas ao quadro, lia em voz alta e alertava as crianças a prestarem atenção na interpretação dos mesmos. Cada criança tentou resolver individualmente, mas não conseguiu. Quando as crianças iam até a mesa da professora pedirem explicações, para não interferir na pesquisa, ela respondia: “– Vai lá e pensa mais um pouquinho!”. Outros já vinham direto na minha mesa, quando não vinham, eu ia até a mesa deles e estabelecia um diálogo, de modo a extrair elementos que pudessem subsidiar a análise do fenômeno investigado. Esses diálogos foram registrados por meio de fotografias, vídeos e áudios. Só depois que todos terminavam de resolver os dois problemas, em seus cadernos, é que a professora procedia a correção coletiva no quadro.
Após o período de imersão na escola, procedemos a transcrição das falas e das manifestações gestuais. Na sequência, selecionamos aquelas que possibilitam dialogar com o problema de pesquisa.
Adotamos o Materialismo Histórico-Dialético como base orientadora das reflexões apresentadas, desde a delimitação do objeto de estudo, as etapas de apreensão da realidade investigada até a análise dos dados, com foco para o problema da conduta fossilizada.
[...] são as formas psicológicas petrificadas, fossilizadas, originadas em tempos remotíssimos, nas etapas mais primitivas do desenvolvimento cultural do homem, que se conservaram de maneira surpreendente, como vestígios históricos em estado pétreo e ao mesmo tempo vivo na conduta do homem contemporâneo (VIGOTSKI, 1995, p. 89, tradução nossa).
De acordo com Galdino (2016), a utilização dos riscos pelos estudantes ao realizarem os cálculos é um exemplo de conduta fossilizada. Esta conduta foi desenvolvida pela humanidade, por volta de, aproximadamente, 35.000 anos a. C., e persiste no modo de organização de ensino vigente no Brasil.
Izadora tem 5 latas e Fernando 3 latas. Izadora tem quantas latas a mais do que Fernando?
Em consonância com o método de pesquisa adotado, no decorrer do presente artigo, o referencial teórico não está separado da apresentação e análise dos dados, mas em unidade dialética, ou seja, de modo inseparável, conforme segue na próxima seção.
Desenvolvimento
Na sequência, apresentamos o conteúdo e o procedimento utilizados pelos estudantes do terceiro ano, do ensino Fundamental I, durante a resolução de quatro problemas sobre adição e subtração, e refletimos sobre algumas possibilidades de superação das limitações detectadas, com base na proposição davydoviana de ensino. Davýdov foi seguidor de Vigotski. Este último, foi o precursor da teoria que fundamenta a proposta curricular do Estado de Santa Catarina, a Teoria Histórico-Cultural. Davýdov, com base nas ideias de Vigotski e seus continuadores, elaborou e desenvolveu em sala de aula, por mais de vinte anos, uma proposta de ensino de matemática que contemplasse os conceitos teóricos, como possibilidade de superação do predomínio dos conceitos empíricos na educação escolar (DAVÝDOV, 1982). Os conceitos empíricos, aos quais Davýdov faz a crítica, são semelhantes àqueles adotados pelos estudantes durante a resolução dos problemas. Na sequência, apresentamos os quatro problemas e as reflexões desencadeadas com os estudantes, a fim de preservar a identidade dos mesmos, lhes atribuímos nomes fictícios.
Quadro 1: Problema 1- Expressão “a mais”
Fonte: Cerullo, Shirahige e Chacur (2011).
Durante a resolução individual, enquanto transitava na sala de aula, quando passo próximo da carteira de Helô, e ela me4 pergunta: “– É de mais ou de menos?”.
4 Quando se tratar da experiência de pesquisa na escola, utilizaremos a primeira pessoa do singular, uma vez
que só a acadêmica do Curso de Pedagogia foi coletar os dados. No entanto, quando se tratar da pesquisa como um todo adotaremos a primeira pessoa do plural. Uma vez que não se trata de uma pesquisa
lhe com outra questão: “– O que você acha? É de mais ou de menos?”. E ela rapidamente responde: “– Acho que é de menos!”. A fim de compreender o pensamento subjacente à resposta corretamente dada, questiono: “– Por que que (sic) é de menos?”. A estudante afirma o contrário do que havia expresso antes: “- É de mais! (sic)”. Novamente, solicito-lhe que justifique sua afirmação: “– Por que é de mais?”. Ela responde: “– Porque ali diz que Izadora tem a mais do que Fernando.”. Explico para Helô que a expressão “a mais” não indica, necessariamente, a operação a ser realizada e sugiro que resolva o problema. Imediatamente ela escreveu o algoritmo e resolveu a operação −
5 3
2
. Durante o cálculo, a estudante estende os cinco dedos da mão direita e começa a baixá-los, um a um, a partir do dedo mínimo, até atingir o terceiro. Após esse movimento, constata que restaram dois dedos estendidos e escreve a resposta no algoritmo (2).
Na carteira ao lado, estava Hana. Observei que ela começou a resolver o problema, equivocadamente, com a operação de adição e questionei: “– Por que você acha que é de mais?”. Hana responde em tom de segurança na opção realizada “– Porque ali no problema está escrito mais!”. A fim de instigá-la a reflexão, interroguei: “– Você sabia que quando tem a palavra chave no problema, não significa, necessariamente, que é essa a operação a ser utilizada?”. Ela afirma que não sabia. A fim de averiguar se ela havia repensado o problema, indago: “– Então, qual operação vamos utilizar?”. E ela responde em tom de pergunta: “– Mais?”. Eu afirmo negativamente, e novamente ela questiona: “– Menos?”. Antes que eu respondesse, ela inicia a resolução por meio da utilização dos dedos: Estendeu a mão esquerda, baixou do dedo polegar até o dedo médio e concluiu: “Sobraram dois!”.
Assim como Hana, a maioria dos estudantes resolveu o problema em análise, equivocadamente, por meio da adição: 5 + 3 =8, e com auxílio dos dedos. Por que esse fenômeno ocorre? É consequência do ensino. As crianças foram orientadas a identificarem a palavra correspondente à operação a ser desenvolvida. Nesse sentido, a expressão “a mais” está relacionada com a continha de mais (operação de adição). Se fosse “a menos”, seria a continha de menos (operação de subtração). Mas, interpretação de problema se reduz a identificação de uma palavra-chave? Essa conduta é suficiente? O processo percorrido por Helô e Hana apresentam indícios que nos levam a responder negativamente
desenvolvida isoladamente, mas no contexto de um Grupo de Pesquisa, e conta com toda a estrutura investigativa desse grupo.
essa questão, ou seja, a identificação da palavra-chave é insuficiente para a resolução exitosa de problemas.
E como o problema em análise poderia ser interpretado? O enunciado do problema consistia em: Izadora tem 5 latas e Fernando 3 latas. Izadora tem quantas latas a mais do que Fernando? A interpretação requer a identificação do valor das partes e do todo. O todo em referência é constituído pelas cinco latas de Izadora. Uma das partes desse todo é conhecida, são as três latas de Fernando. Qual o valor desconhecido? A outra parte, aquela referente à quantidade de latas que Izadora tem a mais. No contexto dos números positivos, quando o valor do todo e uma das partes é conhecida, a operação a ser realizada é a de subtração, independentemente das palavras constantes no enunciado do problema (ROSA, 2012; MATOS, 2017), conforme o esquema a seguir (Figura 2).
Figura 2: Representação gráfica de 5 – 3 = __
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Por meio da operação de subtração é possível determinar o valor da parte desconhecida, que no problema em análise é dois. Portanto, Izadora tem duas latas a mais que Fernando. A representação gráfica do problema um (Figura 2) é constituída por arcos e segmentos de reta. Recorremos, portanto, a elementos geométricos para representar visualmente um problema de natureza aritmética, o que possibilita a articulação entre aritmética e geometria, o que não ocorre na resolução dos estudantes investigados. Eles utilizam os dedos, tal como procediam os povos primitivos.
De acordo com Pereira (2016, p. 40), “um dos artefatos de contagem e cálculo mais antigo, difundido através dos tempos, é a própria mão do homem” (PEREIRA, 2016, p. 40). No entanto, a realização das operações com o apoio dos dedos, além de ser uma metodologia primitiva, não garante “que o cálculo seja desenvolvido com êxito” (MATOS, 2013, p. 118).
Além disso, cabe questionar: Qual tipo de pensamento compete à escola desenvolver, o primitivo ou o contemporâneo? De acordo com Davýdov (1982), é papel da
Izadora
0 1 2 3 4 5
educação escolar desenvolver, nos estudantes, aquilo de mais atual que a humanidade já produziu. Além disso, a dependência dos dedos precisa ser superada pelo cálculo mental. Os esquemas, por sua vez, são elementos mediadores que subsidiam a passagem da contagem direta de objetos ao plano mental (ROSA, 2012). A dependência dos dedos e demais objetos, para o cálculo, obstaculiza a realização do cálculo mental. Mas todas as crianças investigadas utilizam dedos para calcular? Não, algumas faziam riscos, conforme Isa procedeu no problema a seguir:
Quadro 2: Problema 2 - Palavra-chave “derrubou”
Fonte: Cerullo, Shirahige e Chacur (2011).
Isa interpretou e resolveu o problema corretamente. Extraiu os dados e os colocou no algoritmo:
7
6 , para efetuar o cálculo, utilizou riscos. Iniciou da esquerda para a direita, fez sete riscos, colocou o sinal de adição e mais seis. Depois prosseguiu da esquerda para a direita, cortando os riscos e contando-os de um em um: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... até atingir o décimo terceiro risco (Figura 3).
Figura 3: Contagem com auxílio de riscos
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Após cortar o último risco, em silêncio, Isa registra o número 13 no algoritmo e o operador da adição: +
7 6 13
. Diante desse procedimento, cabem alguns questionamentos: Isa realizou a operação de adição? Não, ela apenas procedeu a recontagem dos riscos. No primeiro momento, contou 7 riscos e 6 riscos. Depois, no segundo momento, recontou-os.
Roberto jogou boliche, no sábado, com seus amigos. Na primeira rodada, ele derrubou 7 pinos e na segunda, derrubou 6 pinos. Quantos pinos Roberto derrubou nas duas rodadas?
O procedimento de recontagem não expressa o movimento operacional 7 + 6. Além disso, exerce “influência negativa sobre a formação do conceito de número; as crianças continuarão a contar um objeto de cada vez, em vez de somar ou diminuir” (KALMYKOVA, 1991, p. 13).
A dependência dos riscos, para efetuar a contagem, também é uma orientação escolar, para os casos em que a quantidade de dedos das mãos é insuficiente. A origem de tal procedimento ocorreu por volta de, aproximadamente, 35.000 anos a. C. (GALDINO, 2016). De acordo com Rosa (2012, p. 191-192):
A orientação para utilização dos dedos e de risquinhos, embora oriunda de um estágio inicial do desenvolvimento histórico da matemática, também aparece nos livros didáticos brasileiros. Isso significa dizer que as proposições brasileiras para o ensino de Matemática, no primeiro ano do Ensino Fundamental, em sua maioria, contemplam o estágio inicial do desenvolvimento do conceito de número pela humanidade em detrimento de seu estágio atual.
Portanto, um comportamento petrificado, fossilizado, no senso comum educacional que teve origem em tempos remotos, nas etapas mais primitivas do desenvolvimento da humanidade, que se conservaram até os dias atuais. Os estudantes brasileiros, em sua maioria, são incapazes de efetuar as operações básicas sem o auxílio dos dedos ou riscos (GALDINO, 2016). Além disso, utilizam-se da lógica empírica de pensamento, na qual:
[...] são extraídos os indícios comuns que possibilitam a classificação dos problemas, como de adição, subtração, multiplicação, entre outros. Por exemplo, subjacentemente às ações de esconder, apagar, tirar, cortar, descontar, gastar, perder etc., está o indício comum gerador da classe dos problemas de subtração. São ações diretamente perceptíveis. As demais ações (unir, juntar, acrescentar e aumentar) formam outro conjunto, a classe dos problemas de adição (MATOS, 2013, p. 65).
Diferentemente de Isa, que resolveu o problema 2 corretamente, as demais crianças se deixaram levar pela palavra-chave “derrubou” e adotaram a operação de subtração, ao invés da adição.
Ao me aproximar da carteira de Igor, percebi que ele tinha resolvido o problema com a operação de subtração. Logo interroguei: “– Igor, por que você acha que é continha de menos?”. Constrangido, apagou o problema, pois achou que estava errado, só por ouvir a pergunta. Continuei: “– Se tem a palavra derrubou, não significa, necessariamente, que é
de menos. Você concorda?”. Sem manifestar-se, seja por meio de gestos ou oralmente, registrou os dados no algoritmo: +
7
6 e utilizou os dedos para calcular.
Estendeu a palma da mão no caderno e discretamente, para que eu não percebesse que estava utilizando os dedos, fez movimentos quase imperceptíveis durante a contagem, a partir do número 7. Iniciou dedo mínimo até o polegar e depois voltou para o dedo mínimo da mesma mão. Na sequência, registrou o número treze no algoritmo: +
7 6 13
.
Mas, como superar a dependência de dedos e riscos? Como se poderia efetuar a passagem do plano objetal ao cálculo mental? De acordo com Davýdov (1982), esse movimento não ocorre por meio de uma transposição direta: objetal-mental. É mediatizada. Nessa direção, os esquemas se constituem em elementos mediadores, que em um processo de abstração, gradativamente, se desenvolve o cálculo mental (ROSA, 2012).
No enunciado do problema 2, o valor desconhecido era a quantidade de pinos derrubados nas duas rodadas. Na primeira, ele derrubou 7 e na outra, 6. O valor desconhecido é o todo. As partes que compõe esse todo são 7 e 6, portanto, o todo é obtido pela operação de adição: 7 + 6 = 13, conforme o esquema a seguir (Figura 4).
Figura 4: Representação na reta numérica de 7 + 6 = ____
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Na figura 4, explicitamos a interpretação mediatizada, portanto, teórica, do problema 2. O valor do todo é desconhecido, por isso, o representamos com um ponto de interrogação, mas também poderia ser por uma incógnita, por exemplo: x = 7 + 6. O valor de uma das partes foi representado com um único arco (7). A partir deste, nos deslocamos, pela reta numérica, mais seis unidades. O ponto de chegada coincide com o resultado (13). Portanto, Roberto derrubou 13 pinos nas duas rodadas.
? 13 8 9 10 5 6 7 3 4 2 0 1 11 12 7
Em síntese, “[...] se conhecemos o todo e uma parte, e desconhecemos a outra parte, a operação a ser realizada é subtração. Se conhecemos ambas as partes, para determinar o todo, a operação é adição” (MATOS, 2017, p. 80).
Deste modo, em Davýdov, a relação todo-partes constitui a base para a introdução das operações de adição e subtração, no contexto das propriedades matemáticas em nível teórico. Na proposição davydoviana, a reta numérica consiste em um elemento mediador, que possibilita a elevação das ações desenvolvidas no plano objetal ao mental. Cada problema davydoviano está interconectado aos anteriores e, juntos, compõem um sistema no qual são reveladas, progressivamente, as significações teóricas dos conceitos a partir das relações entre grandezas discretas e contínuas, na interconexão das significações aritméticas, algébricas e geométricas (ROSA, 2012). Nesse movimento, a reta numérica surge como síntese teórica do conceito de número, como refletiremos durante a análise do problema 3.
Quadro 3: Problema 3 - Palavras-chave “perdeu e morreram”
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Estava a andar pela sala de aula, quando Helô me chamou para corrigir o problema por ela resolvido, em seu caderno. Identifiquei que ela, assim como as demais crianças, resolveu equivocadamente, com a operação de subtração. Havia o seguinte registro em seu caderno: −
5 2 3
. Em tom de pergunta, lhe falei: “– Você acha que está certo essa continha? Por que você acha que é de menos?”. Ela rapidamente responde com argumentos: “– Ah! Porque ali no problema está perguntando quantos bois Pedro perdeu, daí eu acho que é de menos!”. Ao lado, estava Pietro, atento a conversa. Li o problema em voz alta para os dois. Enquanto ouvia, Pietro registrava os dados no algoritmo:
5 2. Ao terminar a leitura, percebi a ausência do operador em seu registro e lhe perguntei: “– Você
Pedro tinha uma fazenda com vários bois. Na segunda-feira, morreram 5 bois, e na terça-feira, morreram mais 2 bois. Quantos bois Pedro perdeu em dois dias?
acha que é de mais ou de menos?”. E ele respondeu: “– Eu acho que é de menos.” A fim de revelar o pensamento subjacente a tal resposta, indago “– E por que você acha que é de menos?”. Ele responde em tom de certeza “– Porque ali pergunta quantos morreram.”. Então, eu falei para ele: “– Mas nós queremos saber quantos bois Pedro perdeu.”. Ele responde em tom de insegurança: “– Ah, é de mais. Então, dá 7!”. Rapidamente, Pietro registra o operador de adição no algoritmo +
5
2 , estende a palma da mão esquerda e diz: “– Cinco, mais dois [nesse momento estendeu a palma da mão direita mostrando dois dedos] é sete!”. E completou o algoritmo com o resultado: : +
5 2 7
. Embora as duas palavras-chave do problema estivessem relacionadas a ação de perda e de morte, a operação adequada é de adição. Mas, nenhum estudante da turma pesquisada utilizou a operação de adição durante a resolução do problema.
E como resolver corretamente, com a ajuda da reta numérica, o problema em análise? A reta numérica é o contexto matemático do conceito de número, uma significação geométrica que possibilita a mediação do plano objetal ao plano mental.
O lugar geométrico dos infinitos números reais é a reta, nela há um ponto correspondente para cada número real. Como objetivação do conceito de número, a reta expressa a concatenação dos naturais, inteiros, racionais e irracionais. Ela possibilita a introdução da inter-relação entre as operações de adição e subtração na forma de acréscimo e decréscimo de unidades. Por meio de deslocamentos para a direita realiza-se a operação da adição e para a esquerda a subtração (ROSA, 2012, p. 229).
A reta numérica, de acordo com Rosa (2012), reflete os nexos e relações entre as significações aritméticas (sequência numérica concreta, numerais...), algébricas (variável, expressão algébrica...) e geométricas (reta, segmento de reta, ponto...) do conceito de número (Figura 5).
Figura 5: Representação da reta numérica
Fonte: ROSA (2012, p. 227).
Será no contexto da reta numérica que vamos refletir sobre o problema vivenciado por Pedro com a morte de seus bois. O valor desconhecido é o todo, a quantidade de bois
que Pedro perdeu. Por isso, representamos com uma incógnita (x), conforme o esquema a seguir (Figura 6).
Figura 6: Representação na reta numérica de 5 + 2 = ___
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Na figura 6, o valor de uma das partes foi representado com um único arco (5). A partir deste, nos deslocamos, pela reta numérica, mais duas unidades. O ponto de chegada coincide com o resultado (7). De modo geral, na adição, temos que a + b = c. Matematicamente, ao número a dá-se o nome de adicionando, ao b, adicionador. Na soma, o adicionando representa um papel passivo e o adicionador um papel ativo (CARAÇA, 1951).
Quadro 4: Problema 4 - Palavra-chave “ganhou”
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Antes de iniciar a resolução Hana diz: “– O tia, eu acho que essa aqui é de mais!”. Pergunto-lhe: “– Por que você acha que é de mais?”. Ela rapidamente responde, em tom de afirmação: “– Porque aqui [aponta o dedo a expressão “a mais”] está a mais.”. Logo pergunto: “– E será que é de mais, só pelo fato de ter a expressão a mais?”. Hana não responde, registra o algoritmo da adição +
10
5 e realiza o cálculo com o auxílio dos dedos. Estendeu as duas mãos, e com o dedo indicador da mão esquerda começou a apontar os dedos da mão direita, até chegar ao resultado, 15.
Júlia ganhou de seu pai 10 balas e João ganhou 5 balas. Júlia ganhou quantas balas a mais do que João?
Assim como Hana, todos os estudantes resolveram esse problema por meio da adição em vez da subtração. Mas, como seria a interpretação correta do problema em análise? Vale lembrar que Júlia ganhou de seu pai 10 balas e João ganhou 5 balas. A resolução do problema requer o cálculo de quantas balas Júlia tem a mais do que João? A interpretação teórica requer a identificação do valor das partes e do todo. O todo em referência é constituído pelas dez balas de Júlia. Uma das partes, desse todo, é conhecida, são as cinco balas de João. E qual o valor desconhecido? A outra parte, ou seja, a quantidade de balas que Júlia tem a mais que João. Esse problema, assim como os demais apresentados no presente artigo, requer a análise da relação entre as partes e o todo, que pode ser expressa no esquema a seguir (Figura 7):
Figura 7: Esquema todo-partes e a representação algébrica
Fonte: Elaborado pela autora (2018).
Com base na análise do esquema expresso na figura 7, conclui-se que o valor do todo é 10, uma parte vale 5 e a outra parte é desconhecida. Portanto, se o valor de uma das partes é desconhecida, se trata da operação de subtração (Figura 8).
Figura 8: Representação na reta numérica de 10 - 5 = ____
10
a
b
c
5 a Júlia 5 6 7 3 4 2 0 1 8 9 10 JoãoFonte: Elaborado pela autora (2018).
Com base na análise do esquema (Figura 7), temos que: a + 5 = 10, mas como o valor desconhecido é a, o movimento operacional desenvolvido é o inverso: 10 – 5 = a. Como decorrência, a partir do valor do todo (10) e de uma das partes (5), subtraímos a parte conhecida deste todo: 10 – 5 = 5 (a = 5).
Em seu aspecto geral, de acordo com Caraça (1951), a subtração a – b = c, é a operação pela qual se determina um número c que, somado com b, resulta em a (c + b = a). Para o número a, dá-se o nome de diminuendo, b diminuidor ou subtrativo, c resto ou diferença. Para que a operação da subtração seja possível, nos limites dos números inteiros positivos, o aditivo deve ser maior que o subtrativo, ou igual a ele.
Considerações Finais
A presente pesquisa teve por objetivo investigar o conteúdo e o procedimento sobre resolução de problemas de adição e subtração expresso por estudantes do terceiro ano, do Ensino Fundamental, de uma escola da rede de educação pública estadual catarinense, mediante a dificuldade dos alunos em compreender, interpretar e, principalmente, resolver os problemas matemáticos.
Fundamentamo-nos na Teoria Histórico-Cultural (DAVYDOV, 1982; DAVIDOV, 1988; KALMYKOVA, 1991; VIGOTSKI, 1995). Estudamos as proposições de Davydov e seus colaboradores para o processo de resolução de problemas relacionados às operações de adição e subtração.
Os livros didáticos adotados pelos professores dos estudantes sujeitos da investigação, abordam os conceitos de adição e subtração de forma segmentada (separados). Apresentam um capítulo para cada operação. E não propõem ensino especificamente sobre resolução de problemas, eles aparecem concomitantemente aos demais conteúdos.
Na realização da pesquisa com a turma do 3° ano do Ensino Fundamental, foi constatado que resolver problemas ainda é uma dificuldade por parte dos estudantes, pois
eles não conseguem interpretar e, principalmente, compreender o que se pede na questão proposta. As crianças são constantemente levadas a identificarem palavras-chave que correspondem à operação na resolução dos problemas propostos, desprendendo-se da interpretação do que se trata o enunciado, considerando-se que a identificação da palavra-chave não gera, necessariamente, a solução correta do problema.
Detectamos a presença de uma metodologia primitiva de cálculo, como apoio dos dedos e riscos, quando os dedos já não eram suficientes. Todos esses procedimentos decorrem de orientações provenientes da educação tradicional, o que nos leva a concluir que o conteúdo e o procedimento de ensino revelados nas manifestações dos estudantes sobre resolução de problemas de adição e subtração, são predominantemente empíricos.
Durante a resolução de quatro problemas sobre adição e subtração, refletimos sobre algumas possibilidades de superação das limitações detectadas com base na proposição davydoviana de ensino. Nesta proposição, durante o processo, são introduzidos os esquemas abstratos e a reta numérica. Estas representações compõem o elemento mediador, que possibilita elevar as ações objetais ao plano mental. Os conceitos de adição e subtração são introduzidos com base na relação todo-partes das grandezas, na interconexão entre as significações aritméticas, algébricas e geométricas. Vislumbramos, na proposição davydoviana, uma das possibilidades de superação dos limites detectados durante a pesquisa.
Referências
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