Estatística e Probabilidade. Aula 5 Cap 03 Probabilidade

Estatística e Probabilidade

Aula 5 – Cap 03

Probabilidade

Estatística e Probabilidade

Conceito de Probabilidade

Experimento Probabilístico

Tipos de Probabilidade

Espaço amostral

Propriedades da Probabilidade

Propriedade Condicional

Regra da Multiplicação

Estatística e Probabilidade

Nesta aula...

• Regra da Adição

• Eventos mutuamente exclusivos

• Princípios de contagem

Estatística e Probabilidade

Compare “A e B” a “A ou B”

O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram no mesmo experimento probabilistico. Para definir P(A e B), usa-se a

Regra da Multiplicação.

O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B,

assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição.

A B

A ou B A e B

Estatística e Probabilidade

Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa.

A = ter menos de 21 anos.

B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos. A = ter nascido na Filadélfia.

B = ter nascido em Houston.

A _B

Exclusão mútua

P(A e B) = 0

Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.

Estatística e Probabilidade

Eventos não mutuamente exclusivos

Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos.

A = ter menos de 25 anos.

B = ser um engenheiro de alimentos. A = ter nascido em Imperatriz.

B = ver Big Bang Theory na TV.

A B

Sem exclusão mútua

P

(A e B) ≠ 0

A e B

Estatística e Probabilidade

Regra da Adição

A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é:

P (A ou B) = P

(A) + P(B) – P(A e B)

Se os dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a regra pode ser simplificada para

P (A ou B) = P

(A) + P(B)

Esta regra simplificada pode ser estendida a um número qualquer de eventos mutuamente exclusivos.

Ao subtrair P(A e B) você evita uma dupla contagem da probabilidade dos resultados que ocorrem em A e B.

Estatística e Probabilidade

Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho.

A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha.

P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52

mas P(A e B) = 2/52 (um rei vermelho)

P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52

= 28/52 = 0,538

Exemplo:

Regra da Adição

Estatística e Probabilidade

Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade

de a carta ser um rei ou um 10.

A

= a carta é um rei. B = a carta é um 10.

P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52 P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,054

Quando os eventos são mutuamente exclusivos,

P

(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo:

Estatística e Probabilidade

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir:

Tabela de contingência

3. P(Miami ou sim)

4. P(Miami ou Seattle)

Omaha Seattle Miami Total

Sim 100 150 150 400

Não 125 130 95 350

Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

1. P(Miami e sim)

Estatística e Probabilidade

Tabela de contingência

1. P(Miami e sim)

2. P(Miami e Seattle)

= 0

Omaha

Seattle

Miami

Total

Sim

100

150

150

400

Não

125

130

95

350

Não sabe

75

170

5

250

Total

300

450

250

1.000

Solução…

250 150

150

0,15

1000 250

⋅

=

1000

=

Estatística e Probabilidade

Tabela de contingência

3. P(Miami ou sim)

4. P(Miami ou Seattle)

Omaha

Seattle

Miami

Total

Sim

100

150

150

400

Não

125

130

95

350

Não sabe

75

170

5

250

Total

300

450

250

1.000

250

400

150

500

0, 5

1000

+

1000

−

1000

=

1000

=

250

450

0

700

0, 7

1000

+

1000

−

1000

=

1000

=

Estatística e Probabilidade

¾ Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça

de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram. ¾ Para eventos complementares

P(E') = 1 – P(E)

Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. ¾ Probabilidade de que ambos os eventos ocorram

P(A e B) = P(A) • P(B|A)

Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional

de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.

Estatística e Probabilidade

Princípios

da contagem

Estatística e Probabilidade

Princípio Fundamental da Contagem

Se um evento pode ocorrer de

m maneiras

e um

segundo evento de

n maneiras

, o número de

maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em

sequência é

m . n

Estatística e Probabilidade

Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas?

= 12 refeições

Início

2

Sopa

•

3

Principal

2

•

Sobremesa

Princípio Fundamental da Contagem

Exemplo (diagrama de árvore):

Estatística e Probabilidade

Você está comprando um carro. Usando as informações a seguir – fabricante, tamanho e cor- diga de quantas maneiras diferentes podem-se podem-selecionar um fabricante, um tamanho e uma cor.

Fabricante: Ford, GM, Fiat Tamanho: pequeno, médio

Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), verde (Vd)

Exemplo (diagrama de árvore):

Estatística e Probabilidade

Fatoriais

Suponha que você queira colocar n objetos em ordem…

Há n opções para o primeiro lugar.

Restarão n – 1 opções para o segundo, depois n – 2 opções para o terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais haver opções.

Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados é:

Essa expressão chama-se n fatorial e escreve-se n!.

Estatística e Probabilidade

Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos.

O número de permutações para n objetos é n!

n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 • 2 • 1

O número de permutações de n objetos, tomando-se r a cada vez (onde r ≤ n), é:

Permutações

Permutação de n objetos tomando r a cada vez

Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e

colocá –los em ordem. Essa ordenação é chamada de permutação de n objetos tomando r a cada vez.

Estatística e Probabilidade

Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantas seqüências diferentes você pode fazê-lo?

Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.

Permutação de n objetos tomando r a cada vez

Estatística e Probabilidade

Suponha que você queira agora ordenar um grupo de objetos sendo alguns deles iguais, como por exemplo as letras

AAAABBC.

Permutações distinguíveis

De quantas maneiras diferentes você pode ordenar esse grupo?

Se usarmos a formula anterior, pode-se concluir que existem 7P7 = 7!

Entretanto, como alguns objetos são iguais, nem todas essas ordenações são distinguíveis.

Estatística e Probabilidade

O número de permutações distinguíveis de n objetos,

sendo n

de um tipo, n

de outro tipo e assim por

diante, é:

!

!

!

!

!

!

n

n

n

n

n

n

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Onde n

+n

+n

+...n

=n

Permutações distinguíveis

Assim, o número de maneiras que as letras

AAAA

BB

C

podem ser rearranjadas é

7!

7 6 5

105

4! 2! 1!

2

⋅ ⋅

=

=

⋅

⋅

Estatística e Probabilidade

Combinações

Suponha que voce queira comprar três CDS de uma seleção de cinco. Há dez maneiras de fazer suas seleções:

ABC, ABD, ABE ACD, ACE

ADE

BCD, BCE CDE

Em cada seleção, a ordem não importa (o conjunto ABC é o mesmo que BAC).

O número de maneiras de escolher r objetos dentre n objetos, não importando a ordem, é chamado de número de

Estatística e Probabilidade

Combinação de n objetos tomando r a cada vez

Uma combinação é uma seleção de r objetos de um grupo de n objetos, sem que tenha importância a ordem.

O número de combinações de objetos selecionados em um grupo de n objetos é:

!

)!

(

!

r

r

n

n

C

_r

n

−

=

Estatística e Probabilidade

Uma departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova estrada e recebe 16 propostas para o projeto. O estado planeja contratar 4 das companhias que fizeram ofertas. Quantas combinações diferentes de 4 companhias podem ser selecionadas a partir das 16 que fizeram oferta?

Combinação de n objetos tomando r a cada vez

Exercício:

!

)!

(

!

r

r

n

n

C

=

−

16!

16!

16 15 14 13 12!

1820

(16

4)!4!

(12)!4!

12!4!

C

=

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

−

Estatística e Probabilidade

Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras você pode escolher os livros se a ordem não importar?

Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.

Combinação de n objetos tomando r a cada vez

Exercício:

Estatística e Probabilidade

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Próxima aula:

D

istribuições discretas de probabilidade

I

nício do cap. 4