Mestrado em Métodos Quantitativos em Finanças

Mestrado em Métodos Quantitativos em Finanças

Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra

A complexidade dos mercados financeiros exige, actualmente, técnicas quantitativas avançadas em que a Matemática desempenha um papel fundamental. As instituições financeiras contratam, cada vez mais, profissionais com conhecimentos em Matemática, Estatística e Investigação Operacional, capazes de responder aos diversos desafios quantitativos relacionados, por exemplo, com o tratamento de dados, o lançamento de novos produtos financeiros ou a previsão da evolução de variáveis do mercado.

O Mestrado em Métodos Quantitativos em Finanças procura dar resposta à procura crescente deste tipo de qualificações. Pretende-se transmitir um conjunto de conhecimentos na área da Matemática essenciais para tarefas como a atribuição de preços a derivados financeiros, a gestão do risco, o tratamento de séries financeiras e a selecção de carteiras, articulando esta aprendizagem, de modo apropriado, com o estudo sobre a mecânica dos mercados financeiros e mercados de derivados financeiros. É enfatizado o papel do cálculo estocástico e das equações diferenciais na atribuição de preços a produtos derivados e hedging e no desenvolvimento de modelos de estrutura temporal, assim como o da optimização em gestão eficiente de carteiras. Por outro lado, incide-se sobre os conhecimentos de probabilidades e processos estocásticos relevantes para a gestão do risco, a análise de séries financeiras e a previsão do comportamento dos mercados.

O público potencial para este Mestrado é vasto, mas é possível identificar dois perfis:  Profissionais que, com formação inicial na área da Economia ou Gestão ou em

Engenharias, exerçam actividade financeira;

 Recém-licenciados em áreas de Ciências Fundamentais (Matemática e Física) ou na área da Economia ou Gestão.

O presente Mestrado prevê a possibilidade de uniformização dos conhecimentos básicos dos vários tipos de público, considerando uma formação inicial diferente de acordo com o perfil dos candidatos. Assim, para os licenciados oriundos da área da Economia, este Mestrado contempla uma formação maior em Matemática. Para os outros, com formação matemática mais ampla, provenientes de licenciaturas em Ciências Fundamentais ou Engenharias, o plano de estudos prevê uma componente inicial básica em aspectos de economia e gestão relacionados com os mercados financeiros.

O carácter interdisciplinar deste Mestrado proporcionará, desta forma, a aquisição de competências, tanto teóricas como práticas, nas áreas da Matemática, da Economia e das Finanças que vão ao encontro das diferentes perspectivas de interpretação, análise e decisão que podem ocorrer nos Mercados Financeiros. Assim, o presente ciclo de estudos permite formar, ou contribuir para a formação, de:

 Analistas quantitativos com conhecimentos sólidos nas áreas de formação indicadas anteriormente e com capacidade para desenvolver trabalho em departamentos financeiros de Bancos de Investimento, Empresas de

Consultadoria e Auditoria, Empresas de Fundos de Investimento e de Pensões, Bolsas de Valores e Empresas Seguradoras;

 Investigadores com potencial para inovar e criar em problemas de Matemática relacionados com Economia e Finanças.

As constituições dos corpos de professores e investigadores das duas instituições (Departamento de Matemática da FCTUC e Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra) e a sua rica oferta curricular permite inovar em alguns domínios da formação avançada deste Mestrado, conferindo ao plano de estudos uma personalidade própria que o distingue no actual panorama nacional.

Plano curricular

O Mestrado tem a duração de 3 semestres lectivos. O primeiro semestre é composto por 4 disciplinas obrigatórias e 1 disciplina de opção condicionada ao perfil dos candidatos. O segundo semestre é estruturado em 5 disciplinas obrigatórias e 1 disciplina de opção livre. O terceiro semestre é dedicado, na íntegra, a um trabalho de projecto. O curso totaliza 90 unidades de ECTS. As disciplinas têm 4 horas de carga horária semanal.

As aulas decorrerão preferencialmente à tarde, a partir das 15/16 horas, de forma a compatibilizar, o melhor possível, as possíveis ocupações laborais dos candidatos. A estrutura curricular do Mestrado em Métodos Quantitativos em Finanças é a seguinte:

1º SEMESTRE

Unidade curricular Local ECT

S

MÉTODOS DE OPTIMIZAÇÃO EM FINANÇAS DMUC 6

PROCESSOS E CÁLCULO ESTOCÁSTICO DMUC 6

SÉRIES TEMPORAIS DMUC 6

ECONOMIA FINANCEIRA E DO RISCO FEUC 6

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE E PROGRAMAÇÃO (opção condicionada para alunos com formação de 1º ciclo em Economia/Gestão)

FEUC

6 MICROECONOMIA INTERMÉDIA (opção condicionada para alunos

com formação de 1º ciclo em Matemática/Física/Engenharia) FEUC 6 30

2º SEMESTRE

MODELAÇÃO DE DERIVADOS E GESTÃO DO RISCO DMUC 6

ANÁLISE DE SÉRIES FINANCEIRAS FEUC 6

INSTRUMENTOS FINANCEIROS DERIVADOS FEUC 6

MODELOS DE TAXAS DE JURO E DERIVADOS DE CRÉDITO FEUC 3 PROJECTO/DISSERTAÇÃO EM MÉTODOS QUANTITATIVOS EM

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EDPs (opção) DMUC 6

TEORIA DO RISCO (opção) DMUC 6

30

3º SEMESTRE

PROJECTO/DISSERTAÇÃO EM MÉTODOS QUANTITATIVOS EM

FINANÇAS 30

90

Descrevem-se, de seguida, os objectivos e conteúdos programáticos das disciplinas. 1º SEMESTRE

MÉTODOS DE OPTIMIZAÇÃO EM FINANÇAS

Objectivos: Estudar diversos modelos de optimização financeiros, determinísticos e estocásticos, com ênfase em selecção de certeiras.

Conteúdos: Breve introdução à teoria da optimização. Teorema fundamental das finanças em atribuição de preços e detecção de arbitragem em opções. Modelos de programação inteira para a construção de fundos. Modelos de optimização de média-variância e média-desvio para selecção de carteiras. Composição de carteiras com base em Valor em Risco (VaR) e Valor em Risco Condicionado (CvaR). Optimização robusta em selecção de carteiras.

Pré-requisitos: Instrumentos Financeiros Derivados. PROCESSOS E CÁLCULO ESTOCÁSTICO

Objectivos: O objectivo desta unidade curricular é introduzir a noção de processo estocástico, estudar as propriedades fundamentais de processos estocásticos e integração estocástica, de vasta aplicação na modelação de fenómenos aleatórios físicos e financeiros que evoluem com o tempo.

Conteúdos: Em tempo discreto: cadeias de Markov, martingalas. Em tempo contínuo: martingalas, processos de Markov, movimento Browniano, movimento Browniano geométrico e integração estocástica, teorema de Girsanov.

SÉRIES TEMPORAIS

Objectivos: Análise probabilista e estatística de séries temporais, a partir de conhecimentos apropriados de processos estocásticos, com vista à previsão e à sua aplicação financeira.

Conteúdos: Processos estocásticos forte e fracamente estacionários. Modelos lineares de séries temporais: processos ARMA. Modelos não lineares de séries temporais: processos condicionalmente heteroscedásticos (ARCH; GARCH; TARCH e GTARCH); processos ARMAX com erros condicionalmente heteroscedásticos. Modelação, estimação, testes e previsão de séries temporais.

ECONOMIA FINANCEIRA E DO RISCO

Objectivos: Pretende-se que os estudantes ganhem competências nos aspectos fundamentais da teoria financeira, que são a afectação intertemporal de recursos e o estudo do equilíbrio nos mercados financeiros. O estudo destes temas desenvolve-se através dos métodos de avaliação da rentabilidade esperada e do risco dos activos

financeiros, bem como do estudo dos modelos que explicam a formação do equilíbrio nos mercados financeiros.

Conteúdos: A organização e o funcionamento dos mercados financeiros. Os princípios fundamentais da decisão financeira. O modelo da média-variância. A relação de equilíbrio entre o rendimento esperado e o risco dos activos de capital. A eficiência dos mercados financeiros. As obrigações e a determinação da taxa de juro. A problemática do risco da taxa de juro na gestão do investimento obrigacionista.

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE E PROGRAMAÇÃO (opção condicionada para alunos com formação de 1º ciclo em Economia/Gestão)

Objectivos: Esta disciplina pretende calibrar e reforçar conhecimentos básicos em análise e equações diferenciais. Em primeiro lugar, rever conhecimentos básicos de análise matemática vectorial. Depois, fazer uma introdução às equações diferenciais ordinárias e às equações com derivadas parciais, salientando as suas principais definições e propriedades e aplicações em modelos de Economia.

Por outro lado, esta disciplina procura dotar os estudantes de alguns instrumentos e técnicas computacionais com relevância em quantificação em Finanças.

Conteúdos: Conceitos elementares de análise vectorial e álgebra linear. Equações diferenciais ordinárias (equações de primeira ordem e breve introdução às equações lineares de ordem n e aos sistemas de equações lineares de primeira ordem). Equações com derivadas parciais (abordagem clássica; definições e soluções fundamentais de EDPs lineares). Introdução à programação. Programação com recurso a linguagens interpretadas (Matlab). Noções básicas de aritmética de vírgula flutuante, de condicionamento de problemas, de estabilidade de algoritmos, e de contagem de operações aritméticas elementares. O método de Monte Carlo (introdução, implementação e exemplos). Princípios básicos da programação orientada a objectos. MICROECONOMIA INTERMÉDIA (opção condicionada para alunos com formação de 1º ciclo em Matemática/Física/Engenharia)

Objectivos: Pretende-se que os alunos sejam capazes de: deduzir e interpretar as principais regras de decisão de consumidores e de empresas; distinguir os vários tipos de equilíbrio de mercado e antecipar o seu comportamento perante choques externos; discutir as propriedades do equilíbrio competitivo; analisar a decisão de agentes microeconómicos em contextos de incerteza; e avaliar os principais problemas associados à presença de externalidades e de bens públicos.

Conteúdos: Escolhas do consumidor. Decisões da empresa. Equilíbrio de mercado. Equilíbrio geral. Problemas de informação. Externalidades. Bens públicos.

2º SEMESTRE

MODELAÇÃO DE DERIVADOS E GESTÃO DO RISCO

Objectivos: Estudar princípios da atribuição de preços a derivados, sobretudo a opções, sob a ausência de arbitragem e as principais estratégias de cobertura de risco em derivados.

Conteúdos: Modelação diferencial estocástica do valor de um activo financeiro. Modelo de Black-Scholes para opções europeias (equação e fórmula fechada, paridade

put-call, risco reutral) e generalizações (opções sobre activos que pagam dividendos,

opções sobre futuros, etc.). Opções americanas. Opções exóticas. Opções dependentes da trajectória do activo (opções de barreira). Hedging estático e dinâmico em derivados. Método binomial e outras técnicas numéricas em atribuição de preços a derivados. Volatilidade implícita e modelos alternativos ao movimento

Browniano geométrico (modelo de volatilidade local, modelo de difusão com salto e modelo de volatilidade estocástica).

Pré-requisitos: Processos e Cálculo Estocástico e Instrumentos Derivados Financeiros.

ANÁLISE DE SÉRIES FINANCEIRAS

Objectivos: Esta disciplina orienta e desenvolve os conhecimentos adquiridos em Séries Temporais para séries financeiras. O seu objectivo é o de fornecer um conjunto de competências relacionadas com a utilização de modelos standard em Economia Financeira, nomeadamente quando na sua quantificação/utilização se recorre a séries financeiras. Procurar-se-á, em particular, dar ênfase ao tratamento da volatilidade através da especificação e estimação de modelos não-lineares de grande dimensão (modelos de estados), para os quais é necessário desenvolver um conjunto de técnicas de estimação e previsão que vão para além dos mínimos quadrados (técnicas de estimação Bayesiana com recurso a simulações de Monte Carlo, entre outras). Conteúdos: Introdução aos problemas associados às séries financeiras (distribuições com caudas pesadas e dinâmicas de volatilidade). Modelos de estados lineares; filtro de Kalman. Métodos de estimação mais recentes (Estatística Bayesiana e Simulações de Monte Carlo). A modelação da evolução da volatilidade nas séries financeiras com recurso a modelos de estados não-lineares (modelo de volatilidade estocástica). Aplicações (cálculo de valor de uma opção Europeia; determinação do VaR).

Pré-requisitos: Séries Temporais e Processos e Cálculo Estocástico.

INSTRUMENTOS FINANCEIROS DERIVADOS

Objectivos: Pretende-se que o estudante tome contacto, ao nível introdutório-médio, com a terminologia e conceitos específicos referentes aos mercados de derivados. Os alunos devem saber: (1) interpretar de forma concisa a informação publicamente disponível sobre activos derivados e seus activos subjacentes; (2) analisar as funções económicas dos activos derivados; (3) aplicar as ferramentas metodológicas básicas para a avaliação de contratos forward, de futuros, swaps e opções; (4) delinear e monitorizar estratégias elementares de gestão do risco através de activos derivados; e (5) identificar os factores que contribuem para o afastamento do preço de transacção dum activo derivado do seu valor teórico.

Contéudos: Introdução. Conceitos básicos dos activos derivados. Resenha histórica dos derivados. Os principais activos subjacentes aos contratos de derivados. Contratos

forward e de futuros (procedimentos e mecanismos dos mercados; o modelo cost-of-carry; a arbitragem na prática; as operações de cobertura). Swaps (os swaps sobre

taxas de juro; os swaps sobre divisas e os swaps sobre divisas e taxas de juro). Opções (propriedades dos preços das opções; estratégias de transacção compósitas; a fórmula de Black-Scholes; opções sobre índices accionistas, divisas e futuros e avaliação, cobertura e técnica do seguro da carteira).

MODELOS DE TAXAS DE JURO E DERIVADOS DE CRÉDITO

Objectivos: Conhecer as especificidades de vários activos sensíveis às taxas de juro. Distinguir as várias taxas de juro e construir as suas estruturas de prazo. Estudar os modelos de equilíbrio e de não-arbitragem das taxas de juro a um factor, a metodologia HJM e o modelo LIBOR. Avaliar e cobrir opções e outros derivados sobre taxas de juro através de simulações de Monte Carlo e árvores trinomiais. Avaliar obrigações com risco de crédito e os principais derivados de crédito.

Conteúdos: Obrigações, risco e estrutura de prazo das taxas de juro. Os modelos de equilíbrio e de não-arbitragem a um factor. A metodologia Heath-Jarrow-Morton. O modelo de mercado LIBOR. Avaliação de opções sobre taxas de juro e outros activos derivados sobre taxas de juro (implementação de árvores trinomiais e simulações de

Monte Carlo). Noção e indicadores do risco de crédito. Avaliação de obrigações com risco de crédito e de swaps e opções crédito.

Pré-requisitos: Instrumentos Derivados Financeiros e Processos e Cálculo Estocástico.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EDPs (opção)

Objectivos: Adquirir as competências necessárias para analisar, resolver numericamente e interpretar a solução de problemas que envolvam equações de derivadas parciais, tanto em regime estacionário como em regime dinâmico. Em particular, é objectivo da unidade curricular que os alunos dominem os conceitos inerentes à teoria e aplicação prática dos métodos de diferenças finitas, elementos finitos bem como dos métodos numéricos para leis de conservação e problemas de fronteira livre.

Conteúdos: Problemas estacionários. (1) Método das diferenças finitas. (2) Espaços de funções. (3) Formulação fraca para problemas elípticos. (4) Método de Ritz-Galerkin. (5) Ortogonalidade de Galerkin: estimativas para o erro. (6) Método dos elementos finitos. (7) Cálculo da matriz de rigidez. (8) Estimativa para o erro da solução de elementos finitos.

Problemas de evolução. (1) Método dos elementos finitos. (2) Métodos numéricos para leis de conservação.

Problemas com interfaces e fronteiras livres. TEORIA DO RISCO (opção)

Objectivos: Introduzir as técnicas e os modelos básicos da Teoria do Risco no contexto da actividade seguradora.

Conteúdos: Introdução. Complementos sobre Teoria das Probabilidades: leis de probabilidade mistas, função geradora de momentos, convolução de leis de probabilidade. O modelo de risco individual. Distribuições das indemnizações individuais. Distribuição da indemnização total e suas aproximações: aproximações à lei normal, à gama deslocada e à Normal Power. O modelo de risco colectivo. Propriedades gerais. Alguns modelos particulares; distribuições binomial, binomial negativa, Poisson e Poisson mista compostas. As famílias (a,b,0) e (a,b,1). Métodos recursivos: algoritmos de Panjer e de DePrill. Métodos aproximados: aproximação por discretização e aproximação à lei normal. Teoria da Ruína. O modelo de

Cramer-Lundeberg. Equações funcionais para a probabilidade de ruína eventual. Lei de

probabilidade da perda agregada máxima. Majorações e aproximações para a probabilidade de ruína eventual. Resseguro e ruína. Probabilidade de ruína a horizonte finito. O modelo de reserva de risco a tempo discreto. Martingalas a tempo discreto. Tempos de Markov. Desigualdades de Doob. Probabilidades de ruína a horizonte finito e a horizonte infinito: cálculo exacto e majorantes.