Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma proposta utilizando o software GeoGebra

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Estudo da convergência de sequências

e séries numéricas no Cálculo: uma

proposta utilizando o

software

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2 | P á g i n a Es tu d o d a co n ve rg ên ci a d e se q u ên ci as e s ér ie s n u m ér ic as n o C ál cu lo : u m a p ro p o st a u ti liz an d o o so ft w ar e G eo G eb ra

.

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Daila Silva Seabra de Moura Fonseca

Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

Estudo da convergência de sequências

e séries numéricas no Cálculo: uma

proposta utilizando o

software

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5 | P á g i n a Es tu d o d a co n ve rg ên ci a d e se q u ên ci as e s ér ie s n u m ér ic as n o C ál cu lo : u m a p ro p o st a u ti liz an d o o so ft w ar e G eo G eb ra Ouro Preto | 2012

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Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática

Reitor da UFOP | Prof. Dr. João Luiz Martins Vice-Reitor | Prof. Dr. Antenor Rodrigues Barbosa Junior

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS

Diretor | Prof. Dr. Antônio Claret Soares Sabioni Vice-Diretora | Profa. Dra. Maria Célia da Silva Lanna

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

Pró-Reitor | Prof. Dr. Tanus Jorge Nagem Pró-Reitor Adjunto | Prof. Dr. André Barros Cota

Coordenação | Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

MEMBROS

Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira, Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes, Prof. Dr. Dale Willian Bean, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis,

Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana,

Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira, Profa. Dra. Teresinha Fumi Kawasaki

FICHA CATALOGRÁFICA

Catalogação: [email protected]

F676e Fonseca, Daila Silva Seabra de Moura.

Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma proposta utilizando o software GeoGebra / Daila Silva Seabra de Moura Fonseca, Regina Helena de Oliveira Lino Franchi - Ouro Preto : UFOP, 2012.

52p.: il. color.; grafs.; tabs.

ISBN:

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Séries (Matemática). 3. Sequências (Matemática). 4. Ciência cognitiva - Corporificação. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. Título.

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Epígrafe

A matemática é uma forma de raciocínio e não uma coleção de truques.

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Expediente Técnico

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Organização | Daila Silva Seabra de Moura Fonseca

Pesquisa e Redação | Daila Silva Seabra de Moura Fonseca e

Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

Revisão | Mariane Reis Gomes

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Índice

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Apresentação ... 11 1 Os Três Mundos da Matemática ... 13

2 O uso de software para a corporificação e a relação dos três mundos no Cálculo ... 17

O software GeoGebra ... 19

3 Os Três Mundos da Matemática na convergência de sequências e séries ... 22

4 Apresentação das atividades exploratórias ... 27

Atividade 1 ... 28 Atividade 2 ... 28 Atividade 3 ... 30 Atividade 4 ... 33 Atividade 5 ... 34 Atividade 6 ... 34 Atividade 7 ... 35 Atividade 8 ... 36 Atividade 9 ... 40 Referências ... 46 Apêndice ... 48 Minimanual de GeoGebra ... 48

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Apresentação

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Caro(a) professor(a),

Este material apresenta sugestões de atividades para o ensino de convergência de sequências e séries infinitas a serem trabalhadas com alunos do ensino superior. Ele é um recorte da pesquisa que realizamos no Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática, intitulada “Convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um trabalho visando à corporificação dos conceitos”, disponível na página do Programa. As atividades apresentadas neste material foram desenvolvidas com base em um quadro teórico intitulado Três Mundos da Matemática. O principal objetivo das atividades é desenvolver o conhecimento matemático do aluno, inicialmente por meio das percepções e sentidos oriundos da visualização e manipulação, com o auxílio do software GeoGebra e, posteriormente, pelo estímulo à formulação de conjecturas, bem como à busca pela validação, que ocorrerá no momento em que o conteúdo for sistematizado.

Essas atividades não foram desenvolvidas com o intuito de servir como um manual para ensinar convergência de sequências e séries numéricas, mas como um apoio aos professores que desejarem trabalhar tais conteúdos de maneira diferenciada, proporcionando ao aluno participar da construção da matemática. Elas servem como uma ideia inicial para que você possa adaptá-las às suas necessidades.

A seguir, será feita uma breve exploração sobre os Três Mundos da Matemática. Também serão apresentadas as atividades, com seus objetivos e algumas sugestões de aplicação. Esperamos que esta proposta possa contribuir para suas aulas de Cálculo.

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1 Os Três Mundos da Matemática

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O conhecimento matemático tem importância histórica na evolução da humanidade. Segundo D’Ambrósio (1999) em “todos os momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de saber” (p. 97). Ele ainda ressalta que a Matemática é “a espinha dorsal do conhecimento científico, tecnológico e sociológico” (p. 106).

Comparável à importância da Matemática como ciência está a importância de se pensar em como a humanidade pode se apropriar desse conhecimento matemático e fazer uso dele. A escola tem papel relevante nesse sentido, pois é no ambiente escolar que o saber sistematizado é discutido.

Vários têm sido os esforços para tornar o ensino de Matemática mais eficiente. Igliori (2009, p. 11) conta que a Educação Matemática é um campo de pesquisa que desenvolve investigações em diversos ramos da Matemática na sociedade, tendo grande destaque as discussões sobre seu ensino e aprendizagem. O interesse pela pesquisa resulta do papel dela no desenvolvimento cognitivo das pessoas desde os níveis iniciais, bem como pelas dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes. Para Igliori, é alto o “percentual de estudantes do nível superior cujo desempenho na aprendizagem da Matemática, em especial de Cálculo, tem deixado muito a desejar” (IGLIORI, 2009, p. 12). Um novo quadro teórico tem sido elaborado para contribuir nas reflexões sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática em nível superior. Esse quadro é chamado de Três Mundos da Matemática, sendo o pesquisador David Orme Tall seu principal articulador.

Como parte do fundamento dessa nova teoria, Tall (2002) cita o ensaio “Patterns of Growth” de Bruner (1966), no qual ele assinala três modos de representação mental: o sensório-motor1_{, que se constitui através da ação; o}_icônico2_{, que depende do visual e de}

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uma organização sensorial do uso de imagens e síntese; e o simbólico3_{, que é a} representação do pensamento pelo uso de palavras (linguagem em sua forma natural) ou linguagem (linguagem artificial de número e lógica). Bruner chama de encenado4_o primeiro modo de representação, de icônico o segundo e de simbólico o terceiro.

Bruner considera que essas representações acontecem em sequência no desenvolvimento cognitivo do indivíduo: primeiro, o modo encenado; em seguida, o icônico e, por fim, o modo simbólico. Lima (2007) refere-se a essa forma hierárquica de desenvolvimento iniciando

pelo sistema encenado, em que os indivíduos precisam das ações para compreender uma situação. Em seguida, o sistema icônico, em que imagens resumem as ações efetuadas sobre os objetos e, por fim, o sistema simbólico, para comunicação e raciocínio. Ainda, os três sistemas podem coexistir, isto é, um indivíduo pode fazer uso dos três sistemas para armazenar informações. (LIMA, 2007, p.s 72 e 73).

Diante do que foi exposto, Tall (2002) separa o desenvolvimento cognitivo da Matemática em três mundos que interagem entre si, sendo que cada um possui maneiras diferenciadas de argumentação e prova.

Antes de falarmos com detalhe sobre cada um dos três mundos, é necessária uma ressalva. Tall utiliza o termo corporificado para se referir ao pensamento construído, fundamentalmente, a partir de percepções sensoriais, ações e experiências de pensamento (Tall, 2008); ou seja, no sentido de ‘dar um corpo’ a uma ideia abstrata.

O primeiro mundo é o mundo conceitual-corporificado, ou somente mundo corporificado. Ele está na base do pensamento matemático e está fundamentado na percepção e na ação. Ele “se desenvolve a partir de nossas percepções do mundo e é composto de nosso pensamento sobre as coisas que percebemos e sentimos, não só no mundo físico, mas em nosso próprio mundo de significados mentais” (TALL, 2004, p. 2). Assim, o mundo corporificado se baseia “na percepção e reflexão sobre propriedades de objetos, inicialmente vistos e percebidos no mundo real, mas depois imaginados na mente” (TALL, 2_{No original:}_iconic.

3_{No original:}_symbolic_.

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2008, p.3). A prova no mundo corporificado se dá através da realização de um experimento para verificar se o resultado esperado ocorre e, assim, a verdade fica estabelecida, pois é possível ver essa verdade acontecer (TALL, 2004, p. 5).

O segundo mundo é o mundo proceitual-simbólico, ou somente mundo proceitual. Esse é o “mundo dos símbolos que usamos para cálculo e manipulação na Aritmética, Álgebra, Cálculo e assim por diante” (TALL, 2004, p. 3). O mundo simbólico inicia com ações que são encapsuladas em conceitos por meio do uso de símbolos. Esses símbolos representam, ao mesmo tempo, as ações e os conceitos formados em nossa mente (TALL e RAMOS, 2004). A prova no mundo proceitual é estabelecida por meio do cálculo com números, da manipulação de símbolos algébricos e da utilização desses símbolos para generalizar ideias (TALL, 2002, 2004). A palavra “proceito” foi formulada por Gray e Tall (1994) para representar a dualidade entre o processo (ação) e o conceito que constituem os símbolos da Matemática. De acordo com Lima,

conceitos matemáticos são representados por símbolos que podem ser manipulados. Essa manipulação sintetiza as ações exercidas sobre os conceitos matemáticos. Assim, os símbolos representam não só os conceitos, mas também as ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações. (LIMA, 2007, p. 57)

Tall (2004, p. 3) exemplifica o ato de encapsular as ações em conceitos a partir de uma análise de símbolos usados em aritmética. O símbolo 3 + 2 tem dupla conotação: como processo da adição de três com dois e como conceito da soma que se refere ao número 5. Lima (2007) destaca que pode haver diferentes proceitos de um mesmo processo (como, por exemplo, 1 + 4, 2 + 3) resultando num mesmo conceito (o número 5).

O terceiro e último mundo é o formal-axiomático, ou somente mundo formal, que é “baseado em propriedades, expressas em termos de definições formais, que são usadas como axiomas para especificar estruturas matemáticas (tais como ‘grupo’, ‘corpo’, ‘espaço vetorial’, ‘espaço topológico’ e assim por diante)” (TALL, 2004, p. 3). Esse mundo é caracterizado pelo uso de definições formais para os conceitos, a partir das quais deduções são feitas, e pressupõe-se a construção de um sistema axiomático (TALL, 2002). A verdade do mundo formal é constituída por meio de prova formal a partir da utilização de axiomas e de definições formais para que as deduções sejam feitas.

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Na figura a seguir podemos visualizar como os critérios interagem de verdade em cada um dos Três Mundos da Matemática, em uma sequência de desenvolvimento cognitivo como proposta em TALL ( 2007).

Figura 1: Desenvolvimento cognitivo da argumentação. Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)

A esquematização da figura 01 nos mostra que, no mundo corporificado, há uma construção das definições e deduções dos objetos devido ao uso cada vez mais sofisticado da linguagem, o que pode levar a gerar uma teoria dedutiva. Já o desenvolvimento cognitivo no mundo simbólico envolve uma compreensão cada vez mais sofisticada das ações sobre a manipulação dos símbolos. Existe uma interface comum a esses dois mundos, que permite tanto corporificar o simbolismo como simbolizar as corporificações. Ao utilizar uma linguagem cada vez mais sofisticada, níveis mais avançados de corporificação e simbolismo são desenvolvidos, surgindo definições e deduções que interferem na fase de transição dos argumentos baseados na experiência para um sistema cada vez mais axiomático, presente na prova formal.

O uso de software pode contribuir na constituição de um ambiente que possibilite a passagem pelos três mundos, como veremos no capítulo 2.

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2 O uso de

softwares

como apoio para a

corporificação e a relação entre

os três mundos no Cálculo

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As publicações relativas ao uso de tecnologias em educação matemática indicam a possibilidade de construção de ambientes virtuais que permitem ao indivíduo indagar e/ou investigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a indagação, experimentação e formação de conjecturas, com participação ativa do estudante em todo o processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001).

Segundo Kawasaki (2008) é comum encontrarmos em pesquisas que

uma das principais vantagens, ao incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensinar/aprender matemática, é a possibilidade de visualizar e manipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de alguns

softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de transformar situações algébrico-simbólicas em situações espaço-geométricas. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor

pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no

‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, às suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora)

A mesma autora ainda nos conscientiza de que, ao utilizarmos o computador, é possível admitir que a Matemática esteja sendo produzida de uma maneira diferenciada à Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral, as propostas educacionais para a construção da Matemática por meio do uso do computador “não assumem a ideia tradicional de uma matemática ‘pronta’ ou ‘acabada’ a ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se ‘fazer’ matemática em uma atividade de aprendizagem” (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao encontro de

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considerações feitas por Tall ao incentivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em que trabalhamos as ideias a partir da percepção, antes de introduzirmos qualquer simbolismo (TALL, 2002, p. 11).

O ambiente informatizado parece oferecer um possível local para o desenvolvimento de atividades que visam a transitar pelos Três Mundos da Matemática. De fato, muitas pesquisas indicam que o uso de tecnologias é um meio favorável para o aluno desenvolver hipóteses e/ou conjecturas, conforme nos diz Franchi (2007),

a Informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico. A comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. Borba e Penteado (2001, p.39) afirmam que as conjecturas surgem com frequência em aulas utilizando tecnologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007)

Para dar ao Cálculo um significado humano5_{devemos tirar vantagens de}_softwares_de manipulação (TALL, 2002, p. 9). Os alunos podem manipular diferentes tipos de gráficos, desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um tratamento matemático em um sentido formal. Dessa forma, cria-se uma abordagem corporificada, que pode dar fundamento significativo para as mais refinadas ideias da Análise (TALL, 2002, p. 10).

O uso do computador com o software adequado, como os softwares de geometria dinâmica, é um auxiliar para trabalharmos o mundo corporificado no Cálculo, pois ele possibilita o trabalho com o modo de representação encenado (através da ação) e icônico (visual), enquanto os livros trazem apenas a parte icônica. Segundo Tall (2002), o uso adequado de um software nos permite organizar várias atividades que podem levar o aluno a realizar experiências de pensamento, favorecendo a corporificação de conceitos de Cálculo.

5_{Em muitos de seus textos Tall usa a palavra “humano” ao se referir às bases estabelecidas no mundo} corporificado e simbólico. Interpretamos que o uso da palavra busca enfatizar as características sensoriais, de percepção e de ação predominantes nesses mundos.

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Um software de geometria dinâmica dá ao aluno a possibilidade de explorar conceitos a partir da mudança imediata em um gráfico quando os dados são modificados. Existem alguns softwares que possibilitam a visualização dos dados, ao mesmo tempo, de maneira algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de explorar o gráfico em uma planilha, tudo em uma mesma interface.

Por fim, para a realização de atividades sobre o conteúdo de convergência de sequências e séries, foi escolhido o software GeoGebra. A seguir, serão expostas algumas ferramentas do GeoGebra, importantes na corporificação do conceito de convergência.

O

software

GeoGebra

O GeoGebra6_{é um}_software_{livre de matemática dinâmica e de fácil interação. Devido ao} seu dinamismo, torna-se uma estratégia de ensino, da qual professores e alunos podem fazer uso para explorar, conjecturar, testar hipóteses e investigar conteúdos diversos na Matemática.

O GeoGebra reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Em sua interface temos disponíveis para utilização janela algébrica, janela geométrica, planilha e janela CAS (Computer Algebric System). O interessante nesse software é o fato de as partes gráfica, algébrica e de planilha estarem interconectadas, o que permite apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto e, ao fazermos à modificação em uma delas, as demais acompanham à modificação realizada. Está disponível em 55 idiomas diferentes e é multiplataforma, o que torna possível instalá-lo em computadores com Windows, Linux, Mac OS ou XO.

A figura 2 mostra a tela incial do GeoGebra, contendo as janelas de álgebra, de visualização gráfica e a planilha.

6 _{Disponível para}_download_{na versão 4.0 em http://www.geogebra.org/cms/en/installers. Para a utilização do}

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Figura 2: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização gráfica e planilha

No Campo de Entrada podemos inserir comandos com expressões algébricas ou pontos cujos valores respectivos são criados na Janela de Álgebra e na Janela de Visualização, após se pressionar a tecla Enter. No botão do canto inferior direito é possível encontrar uma lista de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada.

O GeoGebra possui várias ferramentas, dentre elas a de Controle Deslizante. Essa ferramenta cria um intervalo de números livres (ou ângulos livres) de forma que quem a estiver executando pode definir seu nome, valor mínimo e máximo do intervalo e o tamanho de seu passo. Com essa ferramenta é possível verificar o que ocorre com alguma função ou expressão algébrica, desde que relacionada ao Controle Deslizante, quando fazemos o seu valor variar.

Em relação às atividades de sequências e séries, o Controle Deslizante é uma ferramenta para o auxílio da corporificação da convergência de uma sequência, pois é possível associar o valor de n de uma sequência ao Controle Deslizante e fazer o seu valor máximo aumentar o tanto quanto for desejado. Com isso, o aluno passa a ter autonomia para conjecturar e testar sua hipótese com relação aos valores dos termos da sequência ou série, à medida que o valor de n aumenta.

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Outra importante ligação que o GeoGebra permite é a dos Rastros deixados pelos pontos e funções (caso assim se deseje) com a Planilha. Os rastros nada mais são do que os valores assumidos pelos pontos ou funções para cada valor dos números livres do Controle Deslizante. Funcionam como uma memória dos cálculos e assim se pode analisar não apenas o resultado final, como também o processo para se chegar àquele resultado. Com as ferramentas Controle Deslizante e Rastro é possível representar graficamente os termos de uma sequência (ou série) e colocar todas as coordenadas dos pontos na Planilha para uma visualização numérica da convergência.

Havendo a interação entre as três janelas – algébrica, gráfica e planilha – é possível fazer uma relação entre o que foi visualizado no gráfico e a parte numérica que está na Planilha e na Janela Algébrica.

Ao elaborarmos as atividades exploratórias utilizando o software GeoGebra, focamos principalmente nos mundos corporificado e proceitual, tentando uma possível abertura para a exploração do mundo formal.

A seguir, será colocado o nosso entendimento dos Três Mundos da Matemática na convergência de sequências e séries. É necessária a ressalva de que a convergência da série é discutida por meio da convergência da sequência formada pelas somas parciais. Portanto, só há distinção no trabalho de sequências e séries no que se refere à intersecção entre os Três Mundos da Matemática.

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3 Os Três Mundos da Matemática na

convergência de sequências e séries

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No capítulo 1, os Três Mundos da Matemática foram caracterizados de acordo com Tall (2002, 2004 e 2008). O desenvolvimento das atividades exploratórias se deu com base nesse referencial; por isso trazemos também o nosso entendimento sobre os Três Mundos da Matemática.

O mundo corporificado é o mundo composto dos modos encenado e icônico de Bruner. Dessa forma a corporificação ocorre a partir da visualização, da ação sobre objetos matemáticos e experiências de pensamento. Já o mundo proceitual é o mundo composto do modo simbólico de Bruner. O que foi entendido nas ações é transformado em símbolos que permitem a manipulação numérica, algébrica, entre outras. Um símbolo, no mundo proceitual, pode ser utilizado tanto para representar um processo quanto para representar um conceito, ou seja, ele é um proceito. Por fim, o mundo formal é onde se constrói uma teoria com base em definições formais e propriedades provadas formalmente.

Como vimos nos textos de Tall, cada mundo possui a sua maneira de prova. Para contextualização, apresentamos o nosso entendimento sobre as verdades nos Três Mundos da Matemática, com relação à convergência de sequências. Exemplificamos essas verdades por meio da convergência da sequência

n n a n 3 4 − = .

No mundo corporificado, a convergência pode ser provada por meio da visualização dos termos da sequência, nas duas formas de representação: como pontos em uma reta e como gráfico de uma função de domínio discreto. A figura 3 exemplifica essas representações, sendo que os pontos no eixo vertical (pontos em uma reta) são as projeções ortogonais dos pontos do gráfico da função sobre o referido eixo:

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Figura 3: Corporificação da convergência da sequência n n a_n=4 −3

A figura anterior pode ser aceita como uma prova corporificada de que a sequência

n

a

n

3 4 −

=

converge e que o valor de convergência parece ser 4, pois, é possível visualizar e perceber que, à medida que aumentamos o valor de n, com o auxílio do Controle Deslizante do software GeoGebra, o valor de antambém aumenta e se torna cada

vez mais próximo de 4, sem dar a entender que irá ultrapassá-lo.

Para verificarmos a mesma convergência no mundo simbólico, basta calcular o limite de an

quando n tende ao infinito e analisar o resultado final, ou seja,

(

)

. 4 3 4 lim 3 4 lim 3 4 lim =      − = − = − ∞ → ∞ → ∞ → n n n n n n n n n

Por fim, a verdade no mundo formal é verificada ao mostramos que, para cada ε > 0, existe um inteiro correspondente N tal que, se n > N, então 4 −3−4 <

ε

n n

.

Para verificar a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a proceitualização e a axiomatização, utilizamos a figura 1 em que Tall (2007) trata do desenvolvimento cognitivo da argumentação, caracterizando como se dá esse desenvolvimento em cada um dos três mundos. Destacamos a importância das

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caracterizações feitas por Tall para as intersecções entre os mundos que, a nosso ver, podem auxiliar a identificação da transição entre eles.

Lembramos que não existe um único caminho para a transição entre os Três Mundos da Matemática. Entretanto, nossas atividades foram desenvolvidas na expectativa de possibilitar ao aluno transitar pelos três mundos e por suas interseções, iniciando pelo mundo corporificado; em seguida, simbolizando o que foi corporificado; passando pelo mundo simbólico e objetivando alcançar as intersecções entre o mundo formal e/ou os mundos corporificado e/ou simbólico, que chamaremos de base do mundo formal. De acordo com o quadro de Tall, na base do mundo formal as definições e deduções de propriedades são feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas.

Nossa expectativa para um curso de Cálculo é alcançar a base do mundo formal. No mundo formal devem ocorrer definições formais dos sistemas axiomáticos e construção de propriedades por meio de provas formais o que, em nosso entendimento, deve ser feito em um curso de Análise.

Explicitaremos, a partir do esquema do desenvolvimento cognitivo da argumentação, o nosso entendimento a respeito de o aluno estar em cada um dos Três Mundos da Matemática e nas suas intersecções, em relação à convergência de sequências e à convergência de séries. Não definiremos o que significa estar no mundo formal por meio de conceitos isolados, pois entendemos que esse mundo pressupõe a construção de uma teoria axiomática.

Sendo assim, consideraremos que o aluno estará no mundo corporificado, ou seja, que ele terá corporificado o conceito de convergência, a partir do momento em que, por meio da manipulação no GeoGebra, ele conseguir ver e perceber (em uma, ou nas diferentes representações) que os termos da sequência se aproximam de um determinado valor. A manipulação no GeoGebra é possível pela alteração do valor máximo do Controle Deslizante, o que corresponde a aumentar o número de termos da sequência. De modo análogo, o aluno terá corporificado o conceito de divergência quando visualizar que os termos da sequência não se aproximam de um valor fixo. Interpretamos que a visualização do comportamento da sequência é a corporificação do conceito. Entendemos que visualizar o comportamento é mais do que enxergar os termos que se apresentam; é

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realizar experiências de pensamento tentando interpretar o que enxergam para além do número finito de termos apresentados.

Consideraremos também que o aluno estará na interseção dos mundos corporificado e simbólico, ou seja, que haverá a simbolização do que foi corporificado, quando utilizar uma linguagem simbólica ou oral para comunicar sua compreensão sobre a convergência da sequência. Essa comunicação pode ser feita pelo uso de palavras que remetam ao conceito de limite, como “tende”, “aproxima” ou “vai para”.

Em relação ao mundo simbólico, consideramos que o aluno estará nele quando calcular o limite do termo geral e conseguir interpretar o resultado final para dizer se a sequência converge ou não. O valor L, resultado do cálculo do limite a_n L

n→∞ =

lim (ou

a

L

n

→

quando

∞ →

n _{) pode ser entendido como um}processo_{(o cálculo do limite) ou como um}conceito

(o valor para o qual a sequência converge).

Pelo esquema de Tall, apresentado na figura 1, na intersecção entre os mundos, que chamamos de base do mundo formal, as definições e deduções de propriedades são feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas. Assim, tomando como referência as experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como corporificação da convergência, e também as simbologias utilizadas, procuramos identificar quais propriedades foram possíveis de se deduzir. Identificamos como possibilidade as propriedades relativas às distâncias entre os pontos e o possível ponto para o qual a sequência converge e também as relativas às distâncias entre os pontos da sequência (ou diferenças entre termos). Com base nessas propriedades temos duas interpretações possíveis para a convergência de sequências na base do mundo formal. No primeiro caso, consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as diferenças entre os termos da sequência e o possível valor de convergência estão diminuindo para as sequências convergentes ou que não existe um valor para o qual a sequência converge e concluir que ela é divergente. No segundo caso, consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as diferenças entre os termos da sequência deverão diminuir para que ela seja convergente ou que as diferenças deverão aumentar ou tenderem a um valor constante e diferente de zero, para que ela seja

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divergente. Em ambos os casos o aluno também deverá ser capaz de expressar simbolicamente o que foi deduzido.

Continuamos a observar a figura 1, porém, buscando identificar propriedades possíveis de deduzir relativas à convergência de séries. Identificamos que o critério de divergência de séries seria uma possibilidade de dedução a partir das experiências corporificadas acima citadas. Consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal ao chegar à conclusão de que é necessário que a sequência do termo geral tenda a zero para a série ser convergente. Consideraremos que ele estará com o desenvolvimento cognitivo da argumentação mais avançado dentro da base do mundo formal caso ainda diga que essa condição é necessária, mas que não é suficiente para garantir a convergência. Também estará na base do mundo formal o aluno que observar que, se o limite do termo geral for diferente de zero, então a série será divergente.

A seguir, no capítulo 4, serão apresentadas as atividades exploratórias, com seus objetivos e alguns comentários e sugestões de aplicação.

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4 Apresentando as atividades exploratórias

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Neste capítulo apresentamos as nove atividades exploratórias desenvolvidas para o estudo da convergência de sequências e séries no contexto dos Três Mundos da Matemática, sendo a convergência da série estudada por meio da sequência formada pelas somas parcias.

As atividades têm por objetivo fazer o aluno desenvolver o conhecimento matemático, inicialmente por meio das percepções e sentimentos vindos da visualização e manipulação com o auxílio do software GeoGebra. Buscam também estimular a formulação de conjecturas e, posteriormente, a busca da validação auxiliada por testes e visualizações com o GeoGebra. Ao solicitar aos alunos que escrevam as conjecturas por eles elaboradas, justificando-as, almejamos fazer com que a passagem do mundo corporificado para o proceitual ocorra de forma natural. As definições formais e as provas das conjecturas deverão ser efetuadas nas aulas teóricas.

As aulas teóricas devem ser conduzidas de maneira que os conceitos adquiridos nos mundos corporificado e proceitual sejam evocados para serem uma introdução ao mundo axiomático.

Das nove atividades, as duas primeiras inciam pelo mundo simbólico por se tratarem de atividades que têm como objetivo evocar o conhecimento prévio dos alunos em relação ao conceito de sequência, bem como familiarizá-los com a expressão do termo geral e com a obtenção dos termos da sequência. Já as outras sete atividades foram formuladas para se trabalhar o conceito de convergência, a fim de que o desenvolvimento cognitivo se inicie pelo mundo corporificado e transite pelos mundos simbólico e aximomático, com o auxílio do software GeoGebra. Para facilitar a utilização desse software, foi elaborado um

Minimanual de GeoGebra que possui explicações de algumas ações e utilização de

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Sugerimos que, antes de iniciar o trabalho com as atividades exploratórias, o professor disponibilize um horário para a apresentação do GeoGebra, por meio de alguma atividade introdutória7_{. No fim desse horário o professor pode aplicar a Atividade 1.}

Atividade 1

Objetivo: Evocar o conhecimento prévio quanto ao conceito de sequência numérica.

Responda as questões abaixo com base em seu conhecimento prévio. 1 – O que você entende por sequência numérica?

2 – Dê, no mínimo, 5 (cinco) exemplos de sequências numéricas.

Comentário

Com esta atividade o professor poderá vislumbrar o conhecimento prévio dos alunos em relação ao conceito de sequência numérica e enunciar a definição de sequência numérica após discutir com os alunos as respostas dadas.

Sugestão

• Aplicar a Atividade 1 em aula anterior à aula selecionada para a Atividade 2, assim, o professor poderá analisar as respostas dadas. Essa atividade também deverá ser aplicada antes de o professor fazer qualquer referência à sequência.

Atividade 2

Objetivo: Trabalhar a definição de sequência numérica, a expressão do termo geral e a

obtenção dos termos de uma sequência a partir do termo geral.

7_{Atividades introdutórias com}_software_{GeoGebra podem ser encontradas no trabalho de Marcos Dias da} Rocha, intitulado “Atividades Computacionais para o Curso de Cálculo Diferencial e Integral usando o Software GeoGebra”, ou no trabalhdo de Davis Oliveira Alves, intitulado “Ensino de Funções, Limites e Continuidade em Ambientes Educacionais Informatizados: uma Proposta para Cursos de Introdução ao Cálculo”. Os dois trabalhos estão disponíveis no site do Programa, http://www.ppgedmat.ufop.br.

(29)

1 – Para cada uma das sequências abaixo, complete-as com três termos seguintes aos que estão indicados e explique o raciocínio empregado para determinar tais termos:

a)       K , , , 5 5 , 4 5 , 3 5 , 2 5 , 1 5 b)

{

1,4,9,16,25, , , ,K

}

c)       − − − _, _, _, _,K 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1

2 – Determine o termo geral an de cada uma das sequências anteriores.

3 – Liste os cinco primeiros termos de cada uma das sequências, cujos termos gerais são dados a seguir: a) 1 2 + = n n a n b) 1 ) 2 ( + − = n n a c) 4 3 3 2 + − = n n a n Comentário

O principal objetivo desta atividade é o de familiarizar o aluno com o conceito de sequência numérica e com sua representação na forma algébrica. Ao manipularem os termos da primeira questão para encontrar o termo geral pedido na segunda questão, o aluno terá a possibilidade de corporificar o simbolismo de uma sequência numérica.

Sugestões

• Para a aplicação da Atividade 2 reserve uma aula de cinquenta minutos.

• Antes de iniciar a Atividade 2 retome as respostas dadas pelos alunos à Atividade 1 e, com base nessas respostas, defina sequência numérica como um conjunto numérico e como uma função discreta com domínio nos inteiros positivos.

• Apresente exemplos mais simples de sequências numéricas, como a sequência formada pelos números pares e a formada pelos números ímpares, e explique como obter o termo geral.

(30)

Da atividade 3 à atividade 7, o objetivo principal é trabalhar as diferentes formas de representação de uma sequência e relacioná-las. Cada sequência selecionada tem um objetivo específico, que será comentado por atividade. Sugerimos que essas atividades sejam trabalhadas em conjunto, por isso reserve duas aulas de uma hora e meia cada para a aplicação. Caso os alunos já estejam familiarizados com o GeoGebra, este tempo pode ser reduzido. Observamos que, se os alunos não utilizarem os termos “converge” ou “diverge” nas atividades, que esses conceitos sejam vistos somente após a aplicação da Atividade 7.

Atividade 3

Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma

sequência.

Observação: Todo número que estiver sobrescrito, como, por exemplo, “Mova o plano(1)

”, indica que a respectiva ação está descrita no Minimanual de GeoGebra.

Considere a sequência de termo geral

n a

n

5 =

Vamos explorar diferentes formas de representação dos valores dos termos dessa sequência, com os recursos do Geogebra.

1 – Considerando que a sequência pode ser definida como uma função de domínio natural, vamos representar no plano os pontos P = (n, 5/n). Da forma como definimos P, o valor da

primeira coordenada do ponto P representa a posição n do termo da sequência e o valor da segunda coordenada do ponto P representa o valor numérico do termo de posição n da sequência.

• Mova o plano(1)_da_{Janela de Visualização}_{de forma que o eixo vertical dos}_y_{’s fique} próximo da divisória entre a Janela de Álgebra e a Janela de Visualização e o eixo dos x’s fique o mais baixo possível.

• Mude o sistema para 5 Casas Decimais(2)_.

• Peça para exibir Malha(3) _e_Planilha(4)_{. Ajuste a}_Planilha_{para que apareçam as} colunas A e B.

(31)

• Crie um Controle Deslizante(5)_{e ajuste suas configurações para que tenha o nome n} e esteja definido no intervalo de 1 até 12 com incremento 1.

• Entre com o ponto P = (n, 5/n)(6)_{e peça para}_{Habilitar Rastro}(7)_e_Gravar(8)_{para a} Planilha de Cálculos.

Para observar os valores assumidos por an, vamos variar n.

• Na Janela Algébrica, clique no valor de n de forma que ele fique selecionado. • Varie o valor de n utilizando a seta do teclado e observe a distribuição do rastro

do ponto P no plano.

1.1 – O que está acontecendo com os valores dos termos da sequência?

• Aumente a quantidade de rastro deixada pelo ponto P. Para isso, troque o valor máximo(9)_do_{Controle Deslizante.}

• Caso deseje, diminua a escala do eixo dos x’s(10). • Continue a variar o valor de n.

1.2 – O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores numéricos de a _n

n = 5 representados na coluna B da planilha?

1.3 – É possível prever o que acontecerá com o valor do termo an da sequência quando o

n (posição do termo) for muito grande? Explique.

2 – Outra forma de visualização é a representação dos valores dos termos da sequência em uma reta. Para isso vamos criar o ponto Q = (0, 5/n).

• Volte com o valor do Controle Deslizante para n = 1.

• Selecione todos os valores que estão na tabela e apague-os. Mande Reinicializar Coluna(11)_.

• Ajuste a planilha para que seja possível visualizar da coluna A até a coluna D. • Entre com o ponto Q = (0, 5/n). Habilite seu rastro e selecione a opção Gravar para

a Planilha de Cálculos.

(32)

• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado. Pare quando atingir o valor de n = 10.

2.1 – O que você percebe entre os pontos P e Q? Explique.

• Continue a movimentar o Controle Deslizante.

2.2 – O que você vê acontecer com a posição do ponto Q no eixo vertical?

3 – Com base em suas observações e respostas nos itens 1 e 2, o que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?

Comentário

Esta atividade tem por objetivo introduzir aos alunos as diferentes representações de uma sequência. No caso, temos três representações: como uma função discreta (rastros do ponto P), como um conjunto de valores numéricos (valores descritos na Planilha) e como pontos de uma reta (rastros do ponto Q). Inicialmente (questão 1.1) é pedida a observação do comportamento da sequência considerando poucos termos para que o aluno possa descrever a sua percepção inicial e sua intuição quanto à convergência da sequência. Posteriormente é pedido para aumentar a quantidade de termos para que os alunos possam verificar se a conjectura inicial é válida. Só então será inserida uma nova visualização, como pontos de uma reta, com o objetivo de os alunos observarem se os valores da sequência estão se aproximando ou se afastando uns dos outros.

A sequência

n

a_n = 5 foi escolhida para que os alunos pudessem formular suas conjecturas e validá-las ao escolher o valor máximo do Controle Deslizante do GeoGreba. Vejamos na figura 4 uma possível resolução para esta atividade.

(33)

Figura 4: Representação da sequência

n

a_n=5, com n variando de 1 até 15, como uma função discreta, como pontos sobre uma reta e como sequência de valores numéricos

Atividade 4

sequência.

n n a_n 5 20 + =

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 03, crie o ponto P(n, an), Q(0, an) e uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de an. Observe que os pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, (n+20)/(5n)) e Q=(0, (n+20)/(5n)).

O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?

(34)

34 | P á g i n a Es tu d o d a co n ve rg ên ci a d e se q u ên ci as e s ér ie s n u m ér ic as n o C ál cu lo : u m a p ro p o st a u ti liz an d o o so ft w ar e G eo G eb ra Comentário

Esperamos que, a partir da visualização dos termos da sequência no GeoGebra, os alunos conjecturem que a sequência é convergente para zero. Caso isso de fato ocorra, o professor poderá chamar a atenção para a necessidade de se trabalhar a convergência de maneira formal, pois, ao calcular o limite do termo geral conclui-se que a sequência converge para 0,2.

Atividade 5

sequência.

Considere a sequência de termo geral _a _n2

n =

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 03, crie o ponto P(n, an), Q(0, an) e uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de an. Observe que os pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, n^2) e Q= (0, n^2).

Comentário

Com esta atividade buscamos a fácil visualização de que os valores não se aproximam de um valor fixo e, por isso, a sequência não converge, e sim diverge.

Atividade 6

sequência.

1 + = n n a n

(35)

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 3, crie o ponto P(n, an), Q(0, an) e uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de an. Observe que os pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, n/(n+1)) e Q=(0, n/(n+1)).

Comentário A sequência 1 + = n n a

n foi escolhida para que os alunos possam ver que as sequências

podem convergir para outros valores reais, não deixando margem para um entendimento errôneo de que, para uma sequência se aproximar de um valor, o seu limite deve tender a zero.

Atividade 7

sequência.

n n n n a 2 ) 1 ( 2 − =

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 3, crie o ponto P(n, an), Q(0, an) e uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de an. Observe que os pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, (-1)^n*n^2/(2^n)) e Q=(0, n/(n+1)).

Comentário

Nesta atividade deseja-se explorar o fato de que uma sequência alternada também pode convergir.

(36)

36 | P á g i n a Es tu d o d a co n ve rg ên ci a d e se q u ên ci as e s ér ie s n u m ér ic as n o C ál cu lo : u m a p ro p o st a u ti liz an d o o so ft w ar e G eo G eb ra Sugestão

• Futuramente, ao sistematizar a convergência de sequência alternada, utilize a atividade 7 como exemplo de que a sequência alternada só pode ser convergente se for para zero.

• Após a aplicação das atividades, até a de número 7, sugerimos que retome a aula para discutir as conjecturas formuladas pelos alunos. Também deve ser discutida a convergência e a divergência de sequência, sem mencionar o cálculo do limite e sem a definição formal, observando apenas que uma sequência é convergente quando ela se aproxima, ou tende, a um valor fixo; caso isso não ocorra, a sequência será divergente.

Para a atividade 8 sugerimos que seja reservada uma aula de aproximadamente cinquenta minutos.

Atividade 8

Objetivo: Explorar a convergência e a divergência de sequências por meio de distância.

Vamos explorar o que acontece com a distância entre os pontos de uma determinada sequência e o ponto de acumulação quando a quantidade de termos aumenta. A distância entre dois pontos pode ser medida através do cálculo do módulo da diferença entre os valores numéricos correspondentes. Por exemplo: a distância entre os pontos 1 e 4 é 3, pois

1 −

4 =

3

.

Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Sugerimos a construção do Controle Deslizante(5) _{e a construção de uma Planilha.}

1 – Considere a sequência de termo geral

1 + = n n a n . • Construa o ponto(6)Q=(0, n/(n+1)).

• Habilite o rastro(7) _de_Q_{, faça}_n_{variar , e}_{grave para a planilha de cálculos}(8)_. 1.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?

(37)

1.2 – Caso ela seja convergente, o que está acontecendo com a distância entre os pontos da sequência e o ponto para o qual ela parece convergir?

• Podemos saber a medida da distância entre dois pontos, através do valor absoluto da diferença entre o valor de convergência s (intuído por você no item 1.1) e o valor numérico de posição n (|s – an|). Isso pode ser feito através do comando abs na planilha. Por exemplo, na célula de que pertencem a linha 1 e coluna C, digite

=(abs(s – B1)). Faça o mesmo em todas as linhas(13)_.

1.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre o valor intuído por você no item 1.1 e os termos da sequência (valores da coluna C)?

n n a n 5 20 + =

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) _Q_{=(0, (}_n_+20)/(5_n_)).

• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8)_. 2.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?

2.2 – Caso ela seja convergente, o que está acontecendo com a distância entre os pontos da sequência e o ponto para o qual ela parece convergir?

2.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre o valor intuído por você no item 2.1 e o os termos da sequência?

n a n n 3 2 =

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (2^n)/(3n)).

• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8). 3.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?

(38)

3.2 – O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos dos termos da sequência?

• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos). Na célula de que pertencem a linha 3 e coluna C, digite =(abs(B3 – B2)). Faça o mesmo em todas as linhas(13)_.

3.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores numéricos de dois termos consecutivos da sequência?

1 ) 1 ( 1 + − = + n n a n n .

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (–1)^(n+1)*n/(n+1)). • Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8). 4.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?

4.2 – O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da sequência?

4.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores numéricos de dois termos consecutivos da sequência?

Comentário As sequências 1 + = n n a n e n n a n 5 20 +

= são convergentes para 1 e 0,2, respectivamente. Portanto exploramos a distância entre os termos da sequência e o valor para o qual ela converge. Além disso, nenhuma das duas sequências converge para zero, o que gera a discussão de que as sequências convergem para valores diferentes de zero, mas a distância entre os termos e o ponto de acumulação tende a zero. A partir dessas duas sequências é

(39)

possível introduzir o conceito formal de limite e assim discutir a convergência da sequência por meio do cálculo do limite do termo geral.

As sequências n a n n 3 2 = e 1 ) 1 ( 1 + − = + n n a n

n são divergentes. Na primeira, é possível discutir a

divergência, pois a mesma tende para o infinito e com isso a distância entre dois termos consecutivos é crescente. Já a segunda é divergente, pois o limite não existe. Também é possível discutir a divergência por meio da distância entre dois termos consecutivos, já que a mesma tende a se tornar constante e diferente de zero.

Na figura 5 temos a tela do GeoGebra com uma possível resolução para a sequência

1 + = n n a

n . Nela observamos que o ponto Q está cada vez mais próximo de um, o que

também é possível observar pela coluna B da Planilha. Consequentemente, a distância entre os termos da sequência e o valor um está cada vez menor, o que pode ser comprovado pelos valores apresentados na coluna C.

Figura 5: Distância entre os termos da sequência e o valor de convergência

Depois da atividade 8 volte trabalhar o restante do conteúdo de sequências. Neste momento considere o cálculo simbólico.

(40)

Antes de iniciar a atividade 9, sugerimos que trabalhe de modo teórico os conceitos iniciais, como séries e somas parciais. Além disso, discuta com o aluno que uma forma de verificar a convergência ou a divergência de uma série é verificar o comportamento da sequência formada pelas somas parciais.

Atividade 9

Objetivo: Explorar a convergência ou divergência de diferentes séries.

Vamos explorar o que acontece com algumas séries. Para essa exploração vamos usar os recursos do GeoGebra.

Inicie habilitando a Planilha(4)_{, fechando a janela algébrica e passando o arredondamento} para 15 casas decimais(2)_.

Na célula A1 digite 1. Na célula A2 digite = A1+1. Selecione a célula A2 e arraste até a célula A30. Com isso criamos o valores de n de 1 até 30.

Criaremos cada termo da série na coluna B.

Sendo assim, vamos iniciar analisando a série

_∑

−1 2

1

n .

Na célula B1, digite =1/(2^(A1-1)). Selecione a célula B1e arraste até a célula B30.

Na coluna C, criaremos as somas parciais.

Na célula C1, temos a primeira soma parcial s1=a1, para isso digite C1=B1. Na célula C2, teremos a soma parcial dos dois primeiros termos, ou seja, s2 =s1+a2. Para isso, digite C2=C1+B2. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a célula C2 e arraste.

1 – Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está

(41)

Vamos criar dois gráficos de pontos. Sendo um definido pelo termo an da série na posição

n e o outro definido pelo valor sn da soma parcial na posição n.

Para isso digite na célula D1, (A1, B1) e na célula E1 digite (A1,C1).

Troque as cores de cada célula (clique com o botão direito sobre cada uma, selecione propriedades e depois cores). Selecione as células D1 e E1 e arraste.

2 – Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das

somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1? Justifique.

3 – Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item discuta a converência/divergência do termo geral an e das somas parciais da série, com os valores sn

(para fazer esse estudo basta trocar a equação de todas(13)_{as células da coluna B).}

a)

_∑

+ 2 2 1 n n b)

_∑

+1) ( 1 n n c)

∑

      + n n 1 1 d)

∑

− + n n 2 1 1 e)

_∑

+ − 2 1 1 ) 1 ( n n f)

∑

n 1

4 – Quais séries da questão 3 são convergentes? Você identifica alguma relação existente entre elas? Qual?

5 – Quais séries da questão 3 são divergentes? Você identifica alguma relação existente entre elas? Qual?

(42)

6 – Podemos chegar a alguma conclusão geral sobre a convergência ou divergência de uma série?

Comentário

O objetivo principal desta atividade é a corporificação das idéias básicas da convergência de séries com vista a facilitar a exploração téorica da condição de convergência e dos critérios de convergência de séries. Com as séries apresentadas também desejamos verificar que, se o limite do termo geral das séries for diferente de zero, a série será divergente, e que nas séries convergentes a sequência do termo geral converge para zero. Para cada série escolhida apresentamos suas características e uma forma possível de trabalho teórico a partir delas:

-

∑

₋₁ 2

1

n : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode convergir para dois. A convergência da sequência pode ser verificada pelo cálculo do limite e a convergência da série pelo uso do teste de série geométrica ou do teste da razão;

-

∑

+

₂

2

1 n

n

: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do termo geral aparenta convergir para um, no entanto, a série é divergente. A divergência da série pode ser verificada com o uso do teste da divergência;

-

∑

+

1 )

(

1 n

n

: a visualização gráfica e da tabela pode levar à conclusão de que a sequência

do termo geral parece convergir para zero, enquanto a série aparenta convergir para um. A comprovação da convergência da sequência pode ser verificada com o cálculo do limite e a convergência da série é comprovada utilizando-se série telescópica e o valor de convergência pelo cálculo do limite do termo geral das somas parciais;