25 de outubro de 2002
143/2002-DG
O F Í C I O C I R C U L A R
Membros de Compensação, Corretoras Associadas e Operadores Especiais
Ref.: Limites Mínimo e Máximo para Prêmios, Preços de Exercício e
Preços de Barreira para os Contratos de Opções Flexíveis – Nova
Metodologia.
Prezados Senhores,
Comunicamos que, a partir do dia 01/11/2002, inclusive, serão alterados os
critérios de fixação de limites mínimo e máximo para prêmios e preços de
exercício e de barreira das operações realizadas com os Contratos de Opções
Flexíveis de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar dos Estados Unidos e de
Índice Bovespa, com e sem garantia, devendo obedecer aos critérios
estabelecidos a seguir.
I. Critério para Fixação dos Preços de Exercício e de Barreira
1. Opções Flexíveis de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar dos
Estados Unidos
Opção de Compra
a) X
mínimo= 70% da taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados
Unidos, cotação intermediária de abertura, divulgada pelo
Banco Central do Brasil na data da operação e corrig ida
pela taxa de cupom cambial estabelecida pela BM&F:
1
0,7
36.000
mínimo dolc
n
X
=
S
× +
×
×
b) X
máximo=
× 1+
(
+1
)
36.000
dol callc
n
S
×
×
FV
, onde:
×
100
360
dol calln
FV
=
σ
143/2002-DG
.2.
c) X < B > S
dolOpção de Venda
a) X
mínimo=
(
1
)
1
36.000
1
dol callc
n
S
FV
×
× +
×
+
b) X
máximo= 130% da taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados
Unidos, cotação intermediária de abertura, divulgada pelo
Banco Central do Brasil na data da operação e corrigida
pela taxa de cupom cambial estabelecida pela BM&F:
1
1,3
36.000
máximo dolc
n
X
=
S
× +
×
×
c) X > B < S
dol2. Opções Flexíveis de Índice Bovespa
Opção de Compra
a) X
mínimo= 70% do valor de abertura do Índice Bovespa (Ibovespa) a
vista, corrigido pela taxa de juro prefixada estabelecida
pela BM&F:
252=
×
+1
×0,7
100
u mínimo indPré
X
S
b) X
máximo=
(
)
252×
1
+1
100
u ind callPré
S
FV
+
×
, onde:
×
100
360
ind calln
FV
=
σ
c) X < B > S
indOpção de Venda
a) X
mínimo=
(
)
2521
1
100
1
u ind callPré
S
FV
×
+
×
+
b) X
máximo= 130% do valor de abertura do Índice Bovespa (Ibovespa)
a vista, corrigido pela taxa de juro prefixada estabelecida
pela BM&F:
2521
1,3
100
u máximo indPré
X
S
=
×
+
×
143/2002-DG
.3.
c) X > B < S
indOnde:
X
= preço de exercício;
S
dol= taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, cotação
intermediária de abertura, divulgada pelo Banco Central do Brasil
na data da operação;
S
ind= valor de abertura do Índice Bovespa a vista na data da operação;
σ
= volatilidade, expressa em percentual ao ano, para efeito de
determinação de limites máximo e mínimo de preços de exercício;
c = taxa de cupom cambial, em taxa linear anual, estabelecida pela
BM&F;
Pré = taxa de juro prefixada estabelecida pela BM&F.
n
= número de dias corridos compreendido entre a data da operação,
inclusive, e a data de vencimento, exclusive;
u
= número de dias úteis compreendido entre a data da operação,
inclusive, e a data de vencimento, exclusive;
B
= preço de barreira da opção.
Parâmetros de Negociação
Ativo
Volatilidade
Juro
Taxa de câmbio
70
15
Ibovespa
70
22
A BM&F poderá alterar esses valores, bem como os demais parâmetros,
a qualquer tempo, a seu critério.
II. Limites Mínimo e Máximo para Prêmios e Critérios de Aceitação de
Operações de Opções Flexíveis pela BM&F
Os contratos de opções flexíveis possuem parâmetros que são definidos
diretamente entre as contrapartes, como:
§ tipo de opção (de compra ou de venda);
§ possibilidade ou não de exercício antecipado (americana ou
européia);
§ preço de exercício;
§ data de vencimento;
§ data de pagamento do prêmio;
143/2002-DG
.4.
§ preço de barreira do tipo knock-in;
§ preço de barreira do tipo knock-out;
§ preço de rebate.
Como é do conhecimento geral, conforme as disposições contidas no
Ofício Circular 054/2002, de 17/04/2002, as operações realizadas em
balcão e registradas na BM&F somente são aceitas mediante a verificação
da existência de saldo de margem de garantia depositado.
A BM&F decidiu aprimorar o processo de aceitação dessas operações.
Para tanto, observará, além dos saldos de margem de garantia, os limites
de prêmios para aceitação de negócios.
Todos os negócios com opções flexíveis, inclusive as liquidações
antecipadas, passarão a ser submetidos a um processo de apreçamento
desenvolvido para todas as modalidades de operações, de acordo com
modelos mundialmente conhecidos e utilizados. Tendo em vista esses
modelos, a BM&F calculará dois preços teóricos para cada negócio
submetido – um mínimo e um máximo –, ficando a aceitação da operação
condicionada à observância desses limites.
Ressaltamos que a BM&F poderá aceitar, a seu critério, o registro de
operações fora dos limites definidos, mediante solicitação formal das
partes envolvidas e demonstração do modelo de apreçamento adotado,
bem como de todos os parâmetros utilizados.
III. Prazo para Registro de Opções Flexíveis e Confirmação de Negócios
Os registros referentes às opções flexíveis deverão ser realizados até as
18:15, ficando pendentes de confirmação com relação aos preços
praticados até as 19:30 do mesmo dia. Se a Câmara de Derivativos BM&F
constatar a existência de saldo de margem suficiente para a cobertura de
risco nas contas dos participantes, a operação será confirmada no mesmo
dia. Caso contrário, ficará pendente de confirmação até a cobertura da
margem, a qual deverá ser feita até as 13:30 de D+1. Na hipótese de
ausência do depósito das garantais requisitadas ou a seu critério, a Câmara
poderá não aceitar as operações para liquidação.
IV. Critério de Apreçamento das Opções Flexíveis
Os dois principais parâmetros utilizados pelos modelos de apreçamento de
opções são volatilidade e preço do ativo-objeto. Para a determinação dos
preços mínimo e máximo a serem utilizados como referência para a
aceitação de negócios com opções flexíveis, a Câmara de Derivativos
143/2002-DG
.5.
BM&F calculará, todos os dias, o desvio -padrão da variação percentual
diária do preço do ativo-objeto da opção (dólar ou Ibovespa), utilizando
amostras de tamanhos diferentes:
σ
30= desvio-padrão calculado com janela de 30 dias;
σ
60= desvio-padrão calculado com janela de 60 dias;
σ
90= desvio-padrão calculado com janela de 90 dias;
σ
180= desvio-padrão calculado com janela de 180 dias;
σ
360= desvio-padrão calculado com janela de 360 dias.
Em virtude da possibilidade de os participantes do mercado utilizarem
modelos de apreçamento diferentes dos da Câmara, a determinação dos
limites de preço mínimo e máximo será feita tomando por base o mínimo
e o máximo desvios-padrão calculados, multiplicados por um “fator de
tolerância”
γ
, cujo objetivo é acomodar eventuais diferenças existentes
entre os modelos de apreçamento adotados. Assim, para efeito de
apreçamento dos contratos, são usadas as volatilidades
σ
máxe
σ
mín,
definidas abaixo:
σ
máx= (1 +
γ
)
×
máx(
σ
30,
σ
60,
σ
90,
σ
180,
σ
360);
σ
mín= (1 –
γ
)
×
mín(
σ
30,
σ
60,
σ
90,
σ
180,
σ
360).
onde
γ
é determinado pela Câmara, estando atualmente fixado em 0,3. A
BM&F poderá alterar esse valor, a qualquer momento, a seu critério.
Além disso, como o registro de opções flexíveis pode ser feito horas
depois da realização do negócio, a Câmara não é capaz de saber o preço
exato do ativo-objeto no momento da contratação.
Diante disso, para efeito de determinação dos limites de preço, são
definidas as variáveis S
míne S
máxcomo o mínimo e o máximo valores
atingidos pelo preço do ativo-objeto durante o dia, respectivamente. Os
limites de preço máximo e mínimo das calls e puts são calculados por
meio dos modelos apresentados no anexo deste Ofício, tendo como base o
conjunto de parâmetros
σ
máx,
σ
mín, S
máxe S
mín, segundo definição abaixo:
Preço máximo = máx[f(S
máx,
σ
máx), f (S
máx,
σ
mín), f(S
mín,
σ
máx), f (S
mín,
σ
mín)]
Preço mínimo = mín[f(S
máx,
σ
máx), f (S
máx,
σ
mím), f (S
mín,
σ
máx), f (S
mín,
143/2002-DG
.6.
onde f(S,
σ
) denota o modelo de apreçamento de opção apropriado ao caso
em questão, cujo resultado é função dos parâmetros S e
σ
.
Informamos, adicionalmente, que também anexamos o documento técnico
contendo a especificação completa dos modelos de apreçamento, de modo
que todos os participantes do mercado possam conhecer,
antecipadamente, os limites de preço praticados pela Câmara.
Esclarecimentos adicionais poderão ser obtidos com as Diretorias da Câmara
de Derivativos (Nestor, Verdi, Cícero, Radislau, Randolfo, Regiane e
Alexandre) e Técnica e de Planejamento (Marco Aurélio, Álvaro, Isabela,
Luis Vicente e Vânia) e com o Escritório Rio (Galvão).
Atenciosamente,
Edemir Pinto
Diretor Geral
Bolsa de Mercadorias & Futuros 1
Anexo ao Ofício Circular 143/2002-DG
OPÇÕES FLEXÍVEIS – MODELOS TEÓRICOS PARA
APREÇAMENTO DE OPERAÇÕES
Este anexo tem o objetivo de descrever os modelos teóricos empregados pela Câmara de Derivativos BM&F no apreçamento das operações com opções flexíveis a ela submetidas. O anexo é de natureza técnica, procurando conferir a máxima transparência possível aos critérios utilizados pela Câmara na definição dos limites de preço.
O anexo foi dividido em duas partes. A primeira descreve as fórmulas de apreçamento empregadas para opções européias e a segunda, os modelos de árvore binomial usados para opções americanas. 1. Fórmulas para Apreçamento de Opções Européias com Barreira
As fórmulas abaixo relacionadas referem-se ao modelo de apreçamento desenvolvido por Merton (1973) e Reiner e Rubinstein (1991). Um excelente resumo também pode ser encontrado em Haug (1998).
Primeiramente, são definidas as fórmulas de variáveis auxiliares que compõem o modelo:
( )
(
)
(
)
1 1 − − = φ × × b r T φ × − φ × × rT φ × − φ × σ × A S e N x X e N x T( )
(
)
( ) 2 2 − − = φ × × b r T φ − φ × × rT φ × − φ × σ × B S e N x X e N x T ( )(
)
2( )1( )
(
)
2(
)
1 1 / µ+ / µ − − = φ × × b r T η − φ × × rT η × −ησ C S e H S N y X e H S N y T ( )(
)
2( )1(
)
(
)
2(
)
2 2 / µ+ / µ − − = φ × b r T η × − φ × × rT η × −ησ D Se H S N y X e H S N y T(
)
(
)
2(
)
2 / 2 µ − = rT η × − η σ − η× −ησ E Ke N x T H S N y T(
/)
µ + λ(
)
( / )µ−λ(
2)
= η × + η × − ηλσ F K H S N z H S N z T onde:(
)
1 ln / (1 ) , = + + µ σ σ S X x T T(
)
2 ln / (1 ) = + + µ σ σ S H x T T(
)
2 1 ln( / ) 1 , = + + µ σ σ H SX y T T 2(
)
ln( / ) 1 = + + µ σ σ H S y T T(
)
ln / , = +λσ σ H S z T T 2 2 / 2 , − σ µ = σ b 2 2 2 λ = µ + σ rS = preço do ativo objeto;
X = preço de exercício da opção; T = prazo para o vencimento;
r = taxa de juro livre de risco;
Bolsa de Mercadorias & Futuros 2 σ = volatilidade do ativo objeto;
H = preço de barreira (knock-in ou knock-out); K = preço de rebate.
1.1 Barreiras do tipo knock-in
Nas opções com cláusula de knock-in, o direito de exercício passará a existir somente se o preço do ativo-objeto, S, atingir o preço da barreira, H, antes da data de vencimento, T. Existe a possibilidade de incluir um prêmio de compensação ou rebate, K, que será pago na data de vencimento caso a barreira knock-in não seja alcançada durante a existência da opção.
As opções com knock-in podem ser classificadas como in-and-down (S > H) ou in-and-up (S < H). O payoff e o prêmio dessas opções são obtidos conforme demonstrado a seguir. • Knock-in-and-down – indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está
acima do preço de barreira, ou seja, S > H. O payoff da opção é dado por:
Call: payoff = máx(S – X; 0), se S ≤ H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso
contrário;
Put: payoff = máx(X – S ; 0), se S ≤ H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso
contrário.
As fórmulas de cálculo do prêmio dessas opções são obtidas por meio da combinação das variáveis A, B, C, D, E e F anteriormente definidas:
( ) − − > = + in and down X H call C E η = φ =1, 1 ( ) − − < = − + + in and down X H call A B D E η = φ =1, 1 ( ) − − > = − + + in and down X H put B C D E η = φ = −1, 1 ( ) − − < = + in and down X H put A E η = φ = −1, 1
• Knock-in-and-up – indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está abaixo do preço de barreira, ou seja, S < H. O payoff da opção é dado por:
Call: payoff = máx(S – X; 0) se S ≥ H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso
contrário;
Put: payoff = máx(X – S; 0) se S ≥ H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso
contrário.
As fórmulas de cálculo do prêmio são dadas por:
( ) − − > = + in and up X H call A E η = − φ =1, 1 ( ) − − < = − + + in and up X H call B C D E η = − φ =1, 1 ( ) − − > = − + + in and up X H put A B D E η = − φ = −1, 1 ( ) − − < = + in and up X H put C E η = − φ = −1, 1
Bolsa de Mercadorias & Futuros 3 1.2 Barreiras do tipo knock-out
As opções com barreira do tipo knock-out são similares às opções tradicionais, exceto pelo fato de as primeiras deixarem de existir caso o preço do ativo-objeto, S, atinja a barreira knock-out antes da data de vencimento. Similarmente às knock-in, existe a prerrogativa do rebate (K), o qual é pago no caso de a opção deixar de existir antes do vencimento. A barreira knock-out pode ser do tipo out-and-down ou out-and-up. O payoff e o prêmio são calculados segundo as fórmulas a seguir.
• Knock-out-and-down – indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está acima do preço de barreira, ou seja, S > H. O payoff será:
Call: payoff = máx(S – X;0), se S >H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(X – S; 0), se S >H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário.
As fórmulas de cálculo do prêmio são dadas por:
( )
− − > = − +
out and down X H
call A C F η = φ =1, 1 ( ) − − < = − + out and d o w n X H call B D F η = φ =1, 1 ( ) − − > = − + − +
out and down X H
put A B C D F η = φ = −1, 1
( )
− − < =
out and down X H
put F η = φ = −1, 1
• Knock-out-and-up – indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está abaixo do preço de barreira, ou seja, S < H. O payoff será dado por:
Call: payoff = máx(S – X; 0) se S < H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(X – S; 0) se S < H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário.
As fórmulas para cálculo do prêmio são dadas por:
( ) − − > = out and up X H call F η = − φ =1, 1 ( ) − − < = − + − + out and up X H call A B C D F η = − φ =1, 1 ( ) − − > = − + out and up X H put B D F η = − φ = −1, 1 ( ) − − < = − + out and u p X H put A C F η = − φ = −1, 1
2. Modelos para Precificação de Opções Americanas com Barreira
O modelo utilizado na precificação de opções americanas é o de árvores binomiais, desenvolvido por Cox, Ross e Rubinstein (1979). Na abordagem por eles proposta, as variações sofridas pelo preço do ativo-objeto a cada instante são dadas por:
Variação up = = σ ∆t
Bolsa de Mercadorias & Futuros 4 Variação down = d =1
u
Além disso, a probabilidade de o preço sofrer uma variação u é dada por P e a probabilidade de ele sofrer uma variação d é dada por (1 – P), onde:
r t e d P u d ∆ − = − σ = volatilidade do ativo-objeto;
∆t = espaço de tempo compreendido entre dois instantes consecutivos da árvore binomial;
r = taxa de juro livre de risco;
A seguir, considera-se uma árvore binomial com n passos, sendo x(i, j) o valor da variável x no instante
i e no estado da natureza j.
2.1 Barreiras simples (cap ou floor)
Call
O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por:
(
)
, máx 0;mín , ;
i j i j
c = S − X H −X
Nos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por:
(
)
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ;mín , ; r t i j i j n j n m c = e− ∆ ×P c× + + + − ×P c+ S −X H −X PutO valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por:
(
)
, máx 0;mín , ;
i j i j
p = X −S X −H
Nos instantes intermediários ( i < n) o valor da put é dado por:
(
)
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ;mín , ; r t i j i j i j i j p = e− ∆ ×P× p+ + + −P × p+ X −S X −H2.2 Barreiras do tipo knock-out
Conforme mencionado anteriormente, as opções com barreira do tipo knock-out deixam de existir quando o preço do ativo-objeto alcança a barreira. Assim, a precificação dessas opções em cada nó envolve a verificação de a barreira ter ou não sido atingida, retornando valor “zero” em caso afirmativo.1 Tal procedimento é executado da seguinte forma:
1 Caso a opção envolva rebate, o detentor da posição receberá o valor de rebate (K) quando a barreira for atingida. Neste caso, o prêmio
Bolsa de Mercadorias & Futuros 5 Se a barreira for knock-out-and-up (S0 < H), define-se a variável x = 1 e, no caso de
knock-out-and-down, define-se x = –1.
Call
O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida):
, = i j c K Caso contrário:
(
)
, máx 0; , i j i j c = S − XNos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (barreira foi atingida):
, = i j c K caso contrário:
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ; , r t i j i j i j i j c = e− ∆ ×P×c+ + + − ×P c+ S − X PutO valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (barreira foi atingida):
, = i j p K Caso contrário:
(
)
, máx 0; , i j i j p = X −SNos instantes intermediários (i < n), o valor da put é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (barreira foi atingida):
, = i j p K caso contrário:
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ; , r t i j i j i j i j p = e− ∆ ×P× p+ + + − ×P p+ X −SComo é possível perceber no procedimento acima, enquanto a barreira não é atingida, a opção é precificada da mesma forma que uma opção plain vanilla (sem barreira).
Bolsa de Mercadorias & Futuros 6 2.3 Barreiras do tipo knock-in
As opções com barreira do tipo knock-in passam a “existir” apenas depois de o preço do ativo-objeto haver atingido o preço de barreira. Para essas opções, a árvore binomial é construída duas vezes. A primeira árvore precifica uma opção plain vanilla (sem barreira), enquanto a segunda se baseia na primeira para precificar a opção com knock-in.
Sejam c*i, j e p*i, j, respectivamente, os preços de uma call e de uma put sem barreira no instante
i, estado da natureza j.
Analogamente às opções com barreira do tipo knock-out, em cada um dos pontos intermediários da árvore, é feita a verificação do rompimento da barreira. Em caso afirmativo, o prêmio da opção naquele ponto será igual ao prêmio de uma opção plain vanilla (c* ou p*); caso contrário, será dado pelo valor presente da expectativa de payoff no instante seguinte, conforme demonstrado nas fórmulas abaixo.
Se a barreira for knock-in-and-up (S0 < H), define-se a variável auxiliar x = 1 e, no caso de
knock-in-and-down, define-se x = –1.
Call
O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida):
, = *, i j i j c c Caso contrário: , = i j c K
Nos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida):
, = *, i j i j c c Caso contrário:
(
)
, 1, 1 1 1, − ∆ + + + = r t × × + − × i j i j i j c e P c P c PutO valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida):
, = *, i j i j p p Caso contrário: , = i j p K
Bolsa de Mercadorias & Futuros 7 Nos instantes intermediários (i < n) o valor da put é dado por:
Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida):
, = *, i j i j p p Caso contrário:
(
)
, 1, 1 1 1, − ∆ + + + = r t × × + − × i j i j i j p e P p P p2.4 Barreira do tipo knock-out + barreira simples
Existe a possibilidade de se incluir mais de um tipo de barreira na mesma opção. Na hipótese de se utilizarem uma barreira do tipo knock-out e uma barreira simples, obviamente a barreira simples deverá ser inferior à knock-out, quando esta for knock-out-and-up, e superior, quando for
knock-out-and-down.2
A precificação dessa opção é feita utilizando-se, em conjunto, a limitação do prêmio da opção à diferença entre o preço de exercício e o preço de barreira e a verificação contínua do rompimento da barreira, como demonstrado a seguir.
Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida): ci,j = K pi,j = K Caso contrário: Call
(
)
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ;mín , ; r t i j i j i j i j c = e− ∆ ×P×c+ + + − ×P c+ S −X H −X Put(
)
(
)
{
}
, máx 1, 1 1 1, ;mín , ; r t i j i j i j i j p = e− ∆ ×P× p+ + + −P × p+ X −S X −H2.5 Barreira do tipo knock-in + barreira simples
No caso das opções com barreira do tipo knock-in e barreira simples, a precificação ocorre em duas etapas, como no caso das opções que possuem apenas uma barreira de knock-in.
Na primeira etapa, calcula-se o prêmio de uma opção com barreira simples em cada um dos pontos da árvore binomial, desconsiderando a barreira de knock-in. Posteriormente, em nova árvore, faz-se a verificação do rompimento da barreira em cada ponto, retornando o prêmio calculado para a opção com barreira simples caso o preço de barreira tenha sido atingido. Caso isso não ocorra, o prêmio será dado pelo valor presente do payoff esperado no instante seguinte, conforme demonstrado nas fórmulas a seguir.
Se (Si, j – H) × x > 0 (a barreira foi atingida), a opção é precificada como uma opção plain vanilla
com barreira simples; caso contrário:
Bolsa de Mercadorias & Futuros 8 Call
(
)
, 1, 1 1 1, − ∆ + + + = r t × × + − × i j i j i j c e P c P c Put(
)
, 1, 1 1 1, − ∆ + + + = r t × × + − × i j i j i j p e P p P pAssim como no caso das opções que possuem apenas barreira de knock-in, no último instante da árvore, se a barreira não houver sido atingida, (Si, j – H) × x < 0, o prêmio da opção será igual ao
valor de rebate K.3
Referências Bibliográficas
Haug, E.G. The Complete Guide to Options Pricing Formulas. New York: McGraw-Hill, 1998. Merton, R.C. “Theory of Rational Option Pricing”, in Bell Journal of Economics and Management
Science, 4, 141–183, 1973.
Reiner, E. and Rubinstein M. “Breaking Down the Barriers”, in Risk Magazine 4(8), 1991.
