Disciplina de Estruturas Metálicas

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DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Disciplina de Estruturas

Metálicas

Aulas de Problemas

Prof. Francisco Virtuoso

Prof. Eduardo Pereira

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Capítulo 3

Encurvadura de colunas

Problema 3.1

Determine as cargas críticas e os modos de encurvadura para as estruturas constituídas por barras rígidas representadas nas figuras 3.1 a 3.4.

Figura 3.1: Coluna com restrição elástica à

rotação na base _{rotação na base e ao deslocamento no topo}Figura 3.2: Coluna com restrição elástica à

Figura 3.3: Coluna articulada com restrição

elástica à rotação

Figura 3.4: Coluna articulada com restrição

elástica ao deslocamento

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Problema 3.2

Para as estruturas constituídas por barras rígidas representadas nas figuras 3.1 e 3.2 a) Determine as trajectórias de pós-encurvadura.

b) Avalie a estabilidade das trajectórias de equilíbrio.

c) Admitindo uma imperfeição inicial na forma do modo de encurvadura determine a relação carga-deslocamento.

d) Represente graficamente a relação carga-deslocamento para a estrutura perfeita, identificando a trajectória fundamental e a trajectória de pós-encurvadura. Represente também a relação carga-deslocamento da estrutura com imperfeições geométricas.

Problema 3.3

Considere a coluna representada na figura 3.5, determine qual a relação que deve existir entre os coeficientes de rigidez elástica K1 e K2 de forma a garantir que a trajectória de

pós-encurva-dura seja estável.

Figura 3.5: Coluna com encastramento elástico na base

Problema 3.4

Considere a coluna representada na figura 3.6

Figura 3.6: Coluna com 2 graus de liberdade

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Considere a coluna representada na figura 3.7. Determine a carga crítica da coluna, tendo em conta a possibilidade da coluna encurvar nos dois planos ortogonais definidos pelo eixo da coluna e por cada um dos planos principais de inércia da secção transversal.

UNP 200 h = 200 mm d = 151 mm b = 75 mm yG = 20.1 mm tf = 11.5 mm tw = 8.5 mm r1 = 6 mm r2 = 11.5 mm Iy = 1910 cm 4 Iz = 148 cm 4 A = 32.2 cm2 Figura 3.7: Coluna Problema 3.6

Tendo em consideração que a equação genérica do problema de encurvadura de colunas é

0 dx w d k dx w d 2 2 2 4 4 = + com EI P k2 ₌ ,

cuja solução é dada por

4 3 2 1sin(kx) C cos(kx) C x C C ) x ( w = + + + ,

determine, para as colunas representadas na figura 3.8, os valores da carga crítica e do comprimento de encurvadura, assim como a configuração do 1º modo de encurvadura. (Nota: Considera apenas a encurvadura no plano da figura).

Figura 3.8: Colunas 2D com diferentes condições de apoio

f) a) b) c) d) e) a) biarticulada; b) biencastrada; c) encastrada-encastrada deslizante; d) articulada-encastrada deslizante; e) consola; f) encastrada-apoiada b b/2 h d z z y y tw

A

r2 r1 yG x y z H P 200 mm 12 mm y z

2 Perfis UNP 200 afastados de 200 mm e unidos por chapas de 12 mm

Aço S235 – fy = 235 MPa; E = 210 GPa

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Problema 3.7

Para as colunas indicadas na figura 3.9 determine os valores das esbeltezas e das cargas críticas. Tenha em consideração a possibilidade de as colunas encurvarem em dois planos ortogonais definidos pelo eixo da coluna e por cada um dos planos principais de inércia da secção transversal.

Admitindo que a tensão de cedência do aço é de 275 MPa, determine o valor da esbelteza normalizada associada aos modos de encurvadura.

Figura 3.9: Colunas 3D com diferentes condições de apoio, secção transversal HEA 200

Problema 3.8

Tendo em consideração que a equação genérica do problema de encurvadura de colunas é 0 dx w d k dx w d 2 2 2 4 4 = + com EI P k2 ₌ _,

cuja solução é dada por

4 3 2 1sin(kx) C cos(kx) C x C C ) x ( w = + + + ,

determine, para cada uma das colunas representadas na figura 3.10, os valores do comprimento de encurvadura.

Sugestão: considere a rigidez da mola através do parâmetro adimensional

L I E 4 k com k k k c m c c = + = η km km km a) A e B – rótulas esféricas z A x B y A x B b)

A – rótula cilíndrica na direcção y B – rótula esférica y A x B z A x B z L = 6000 mm A = 5383 mm2 Iy = 3692 cm4 Iz = 1336 cm4 iy = 82.8 mm ix = 49.8 mm y z c) A – encastramento B – contraventamento na direcção y y A x B A x B

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Determine o valor das cargas críticas para os pórticos representados na figura 3.11 considerando apenas o comportamento no plano da figura.

Figura 3.11: Pórticos planos

a)

Pórtico sem deslocamentos laterais

6000 m m 6000 mm P P 6000 m m 6000 mm P P b)

Pórtico com deslocamentos laterais

P P 4000 m m 7000 mm c)

Pórtico articulado sem deslocamentoslaterais

P P 4000 m m 7000 mm d)

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Problema 3.10

Para a estrutura representada na figura 3.12 determine o valor da carga crítica da estrutura.

Figura 3.12 Pórtico tridimensional

Problema 3.11

Considere a coluna representada na figura 3.13. Tendo em conta que todas as rótulas são esféricas e que os nós A, B e C estão impedidos de se deslocar na perpendicular ao plano da estrutura, determine a carga crítica da coluna.

Figura 3.12: Pórtico tridimensional

B

C

A

x

3

x

2

x

1

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Para a estrutura representada na figura 3.14, determine a carga crítica da estrutura. O apoio cilíndrico em D apenas permite a rotação segundo x2.

Problema 3.13

Para a estrutura tridimensional representada na figura 3.15, determine a carga crítica da estrutura.

A secção transversal adoptada é um perfil tubular CHS 168.3x8 em aço S275 JR.

x

3

x

2

x

1

x

3

x

2

x

1 300 0 mm 300 0 mm 3000 mm HEB 320 A C B D HEB 320

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Problema 3.14

Considere a coluna biarticulada de 6m de comprimento representada na figura 3.9a, cuja secção transversal é constituída por um perfil HEA200. Admita que a tensão de cedência do aço é de 275 MPa e considere como critério de resistência atingir-se a tensão de cedência numa fibra da secção transversal.

Para cada uma das direcções:

a) Calcule a carga resistente da coluna perfeita; b) Considerando uma imperfeição geométrica

λ = = θ 0.003 i c w 2 0 1 _,

calcule o valor da resistência da coluna; c) O valor da imperfeição a meio vão;

d) Para o valor da carga obtido na alínea b), determine: d1) o valor do deslocamento transversal a meio vão;

d2) o valor do momento flector a meio vão.

e) Tendo em conta a carga, a imperfeição inicial e o deslocamento transversal, determine o diagrama de tensões na secção de meio vão.