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Parte I

1. Segundo a Mec^anica Estat stica, a distribuic~ao de energia de um sis-tema em equil brio termica e dada por distribuic~ao de Boltzmann,

P (E) = 1

Z (E) e

E=kT_{; (1)}

onde P (E) e a densidade de probabilidade para o sistema tenha a energia E; e (E) e a densidade de estado, ou seja,

(E) =

Z Z

dqdp (E H (x; p)) : (2)

Acima, a integral e feita no espaco de fase mantendo a energia do sistema no valor E e Z e a constante de normalizac~ao.

(a) Considere que um ensemble de part culas de massa m; unidimen-sionais e livres, con nadas no intervalo [0; L] do espaco pelas duas paredes. As paredes trocam energias com as part culas como um banho termico de temperatura T: Supondo que o sistema esta em equil brio termodin^amico, calcule a energia media da part cula e mostre que

hEi = 1₂kT: (3)

(b) Calcule _{hEi para o sistema de part culas tridimensional.}

(c) Calcule a mesma quantidade, no caso de conjunto de oscilador harm^onico em equil brio termico e mostre que

hEi = kT: (4)

2. A partir de Equac~ao de Maxwell, demonstre que o numero de con-gurac~oes de campo eletromagnetico no corpo negro de volume V no intervalo de frequ^encia [ ; + d ] e dado por

N ( )d = 8 V c3

3. Expresse o valor da constante de Stephan-Boltzman a pardir da inte-gral, " = 8 c3 Z ₁ 0 d h 3 eh =kT ₁: (6)

4. Deduza a formula de calor espec co do Einstein para um cristal, C = 3N@hEi @T = 3N (~!c) 2 e~!c=kT (e~!c=kT ₁₎2 1 kT2: (7)

5. Obtenha a formula de espalhamento de Compton,

0

0 = =

h

mc(1 cos ); (8)

6. Descreve o modelo de Bohr para o atomo de hiddrog^enio e obtenha o espectro de emiss^ao/absorc~ao de fotons.

7. Obtenha a transformada de Fourier das seguintes func~oes: (a) f (x) = 1: (b) f (x) = e jxj: (c) f (x) = e ax2:

8. Calcule o desvio medio quadrado de x e p da func~ao de onda, (x) = 1

Ne

jxj_:

onde N e o fator de normalizac~ao.Utilizando o princ pio de incerteza, estime a energia m nima de um oscilador harm^onico unidimensional.

9. Prove que

h x2i = hx2i hxi2:

10. Para seguintes distribuic~oes, calcule o desvio quadrado medio. 1. (x)_{/ e} x; 0 x ₁ 2. (x)_{/ e} (x b)2; _{1 < x < 1} 3. (r)_{/ r}2e r2; 0 r <₁ (9) Parte II

1. Seja E0 o menor autovalor do Hamiltoniano

H = ~ 2 2m d2 dx2 + V (x) : Prove que Z ₊₁ 1 ( H ) dx E0

para uma func~ao (x) arbitraria, bem comportada e normalizada, i.e.,

Z ₁ 1j j 2 dx = 1: (a) Escohle (x) = _p1 Ne x2_:

onde e um par^ametro. Determine o fator de normalizac~ao. (b) Calcule _{hEi como func~ao de} para

V (x) = 1 2m!

(c) Obtenha o m nimo da func~ao _{hEi e o valor de} correspondente. Compare o resultado com o valor exato do estado fundamental do oscilador harm^onico.

2. Para a func~ao de onda,

(x) = N e ax2+ip0x=~_;

(a) Calcule o valor esperado de momento.

(b) Obtenha a func~ao de onda na base de momento.

(c) demonstre, explicitamente, a validade do Princ pio de Incertaza neste caso.

3. Obtenha autovalores e autovetores da matriz

A = _p1 2 0 B @ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 1 C A:

(a) Veri que ortogonalidade entre autovetores. (b) Calcule a matriz

e2iA:

4. Determine os n veis de energia de uma part cula de massa m dentro de um poco de potencial quadrado in nito,

V (x) = ( 1; 0; jxj > a a x a

5. Discuta o comportamento da func~ao de onda para um autoestado de energia no caso de potencial

V (x) = ( V0 (> 0); 0; x 0 x < 0 de acordo com o valor de energia E.

6. Mostre que uma soluc~ao geral de Equac~ao de Shr•odinger dependente no tempo i~@ _@t = H e dada por (~r; t) =X n Cne iEnt=~ n(~r)

onde n e o autoestado do Hamiltoniano com autovalor En.

Parte III

1. Seja V =_{fjxi; jyi; :::g um espaco vetorial, sendo jxi; jyi:: seus} elemen-tos. De nir um produto escalar como uma regra de associac~ao de um par ordenado de vetores quaisquer ao elemento do Corpo C (numero complexo),

8_{jxi; jyi 2 V ! (jxi; jyi) 2 C}

satisfazendo as seguintes regras:

(_{jxi; jyi) = (jyi; jxi) ;}

(_{jxi; jyi + jzi) = (jxi; jyi) + (jxi; jzi);} (_{jxi; jyi) = (jxi; jyi);}

(_{jxi; jxi)} 0;

sendo a igualdade valida somente para _{jxi = 0. Na notac~ao do Dirac,} o produto escalar e expresso como

hxjyi (_{jxi; jyi):}

(a) Usando somente a de nic~ao do produto escalar acima, prove a desigualdade de Schwartz,

jhxjyij k jxi k k jyi k onde

k jxi k=

q

(b) Veri que que a igualdade e valida somente no caso em que _{jxi =} Const: _jyi.

2. Para qualquer elemento _{jxi 2V, podemos considerar um funcional} lin-ear M_jxi (mappeamento do V ao numero em C) de nido por

8_{jyi 2 V; jyi} Mjxi

! hxjyi 2 C Por simplicidade, descrevemos como

M_jxi=_hxj

(a) Mostre que o conjunto de todos os _{hxj s forma um espaco} veto-rial. Por construc~ao, esse espaco tem correspond^encia um a um com o espaco original _{V e e dito o dual do V e denotado por V}y_:

Denotamos tambem

hxj = jxiy (b) Veri que que

( _{jxi + jyi)}y= _{hxj + hyj:}

3. Sejam _{j i e j i dois vetores arbitrarios n~ao nulos. De ne a quantidade} por

j ih j: Obtenha autovalores e autovetores do .

4. Veri que que o conjunto _Vy de funcionais lineares em V e um espaco vetorial.

5. Prove que a dist^ancia entre dois vetores de nida por d(_{jxi; jyi) k} jxi jyi k satisfaz a desigualdade triangular;

d(_{jxi; jyi)} d(_{jxi; jzi) + d(jzi; jyi)}

6. Prove que os autovalores de um operador hermitiano s~ao reais.

7. Prove que dois autovetores de um operador hermitiano com autovalores distintos s~ao ortogonais.

8. Demonstre que

O =X

i

jii ihij: (10)

onde i e jii s~ao autovalor e autovetor normalizado de O,

O_{jii =} ijii:

9. Para a matriz U acima, demonstre que U Uy _{= 1, ou seja, U}y_{= U} 1_.

10. Para dois operadores A e B que comutam, prove que existem autove-tores simult^aneos para cada um dos autovalores destes operadores. 11. Usando o resultado acima, mostre que duas matrizes podem ser

simul-taneamente diagonalizadas. 12. Partindo a regra de comutac~ao,

[P; Q] = ~ i; calcule o elemento de matriz do P ,

hqjP jq0i: 13. Prove que o operador diferencial

^ p = ~

i d dx

e um operador hermitiano no espaco de func~ao (x) bem comportada. 14. Calcule o elemento de matriz de Q na base de _fjpig.

15. E correto o seguinte argumento? Se for errado, onde? Temos

P Q QP = ~

Seja_{jpi o autoestado de momento tal que}

P_{jpi = pjpi:} (12)

Tomando o valor experado dos dois lados da Eq.(11), temos hp jP Q QP_{j pi =} ~

ihpjpi: Mas o lado esquerdo desta equac~ao ca

hp jP Q QP_{j pi = hp jP Qjpi hpjQP j pi} = p_{hp jQjpi} p_{hpjQj pi} = 0:

onde utilizamos a Eq.(12) e seu conjugado hermitiano, hpjP = phpj:

Assim, concluimos que ~

ihpjpi = 0: 16. Demonstre que

Q0 = eiaP=~Q e iaP=~ = Q + a 17. Mostre que para qualquer func~ao (x)

eadxd (x) = (x + a)

18. Demonstre que o gerador de deslocamento em momento e Q.

19. Seja G = G(q; p) o gerador de transformac~ao can^onica in nitesimal de um parametro ;

q _{! Q = q( )} p _{! P = p( )} na Mec^anica Classica. Demonstre que

dG d = 0:

20. Demonstre que a soluc~ao da Eq.(??) e formalmente escrita por q( ) = expn i ^Goq

p( ) = expn i ^Gop

onde o s mbolo ^G e o operador linear de nido por ^Gf i_{fG; fg para} qualquer func~ao de q e p.

21. Obtenha a representac~ao em momento da equac~ao de Schr•odinger de uma part cula sob a in u^encia de potencial V ,

i~_@t@ (x; t) = ~

2

2m @2

@x2 (x; t) + V (x) (x; t)

22. Um sistema possui apenas dois observaveis, A e B: Os valores obser-vados de A s~ao sempre a1 ou a2, e os de B s~ao sempre b1 ou b2. Foi

feito uma sucess~ao de medic~oes, primeira sobre A, logo em seguida so-bre B utilizando o mesmo sistema. Este processo de medic~ao foi feito varias vezes sobre um ensemble do sistema que inicialmente preparado igualmente. A probabilidade de obter o valor b1 de B logo apos de ter

encontrado o valor a1 de A encontrou-se o valor p. Fazendo o mesmo

tipo de experi^encia modi cando a condic~ao inicial do sistema, veri cou-se que esta probabilidade e independente da condic~ao inicial.

a) Consideramos o processo de medic~ao em que a ordem de A e B e invertida. Calcule a probabilidade de encontrar o valor a1 logo

apos de ter con rmado o valor b2.

b) Determine a representac~ao do observavel B na base dos autoestados de A:

c) A e B comutam?

23. Prove as seguintes express~oes:

Z ₁ 1 dxei(p p0)x = 2 (p p0) lim _!0 s 1 e (x x0)2= = (x x0) lim _!01 x2₊ 2 = (x)

24. Seja f uma distribuic~ao. De nimos a derivada do f; f0 _por:

f0 f 0

Demonstre que a derivada da func~ao de Heaviside, (x) (=1 para x > 1 e 0 para x < 0) e a func~ao - (x). 25. Prove que x 0(x) = (x) 26. Prove que (f (x)) = 1 df dx x=xo (x xo)

onde xo e o ra s da equac~ao, f (x) = 0. Caso em que ha mais que um

ra z, o lado direito da equac~ao acima deve somar em todos ra zes. a) Prove que o operador unitario U (a; b) de translac~ao no espaco de

fase, no sentido de

U (a; b)_{jq; p; >= jq + a; p + b; >} e dado por

U (a; b) = eiaP=~e ibQ=~: b) Prove que

U (a; b) = e~i(aP bQ)e i 2~ab

a) Calcule o fator de normalizac~ao do estado, < q_j c> =

1 p

Ne

(q q0)2=2 2+ip0q=~

b) Calcule a func~ao de onda do _j c> em momento p.

c) Utilizando a func~ao de onda, calcule diretamente os valores espera-dos de q e p e suas dispers~oes.

27. Vamos introduzir a transformac~ao linear, b = xa + y ay; by = x ay+ ya:

Qual e a condic~ao para parametros x e y para que os novos operadores b e by _{satisfazem a regra de comutac~ao de operadores de criac~ao e}