APOSTILA DE LAJES - 2016

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO

- FATEC SP -

LAJES DE

CONCRETO

2016

2 ÍNDICE

• Evolução Histórica das Lajes – pág. 3

• Definição – pág. 4

• Tipos de Lajes – pág. 5

• Funcionamento global das lajes – pág. 10

• Vão efetivo – pág. 10

• Carregamento das lajes – pág. 11

• Espessura das lajes – pág. 12

• Reação dos Apoios – pág. 13

• Regime Rígido-Plástico – pág. 13

• Vinculação das bordas – pág. 15

• Momento fletor e disposição das armaduras nas lajes – pág. 17

• Determinação das flechas nas Lajes – pág. 20

• Cálculo da Armação – pág. 22

• Disposição da armação na laje (detalhamento) – pág. 23

• Bibliografia – pág. 27

• Anexo 01 – Tabela de lajes – pág. 28

• Anexo 02 – Tabela tipo K – pág. 39

• Anexo 03 – Tabela tipo K antiga – pág. 41

3 Evolução Histórica das Lajes

As lajes são elementos que remetem à antiguidade. Sua constituição variou conforme a evolução dos materiais.

Um dos mais antigos registros do uso de lajes é de 2575 a.C. a 2134 a.C., na pirâmide de Kéfren no Egito. A laje cobria uma das câmaras da pirâmide e possuía rasgos horizontais para iluminação e ventilação.

Também há relatos históricos de 605 a.C. a 562 a.C. do uso de lajes de pedra como separação de pavimentos nos jardins suspensos da Babilônia.

4 Definição

Segundo a NBR 6118:2014, podemos definir lajes como “elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais a seu plano”.

Lajes podem ser definidas também como elementos planos bidimensionais que se destinam a receber a maior parte das ações aplicadas na construção, os mais variados tipos de carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte.

Outra definição que podemos ter é que lajes são elementos planos das edificações (horizontais ou inclinados), de estrutura monolítica e espessura relativamente pequena e que são caracterizados por duas dimensões: sua largura e seu comprimento, predominantes em relação à sua altura e servem para separar os diversos pisos de um edifício.

As ações nas lajes são normais ao seu plano e são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas eventualmente podem ser transmitidas diretamente aos pilares.

5 Tipos de Lajes

Laje de sistema construtivo “convencional”

6

Laje “lisa”

São aquelas que se apoiam diretamente nos pilares.

Observação: neste sistema ocorre “punção”

Laje “cogumelo”

7

Laje maciça em concreto armado

8

Lajes pré-moldadas

São lajes pré-moldadas (ou pré-executada) todas aquelas cujas partes constituintes são fabricadas em larga escala por indústrias, sendo montada na obra. Podem ser de vigotas pré-moldadas com blocos cerâmicos (ou de isopor) de preenchimento, ou em placas cimentícias dispostas umas ao lado das outras.

9

Lajes protendidas

São lajes que, para conter os esforços de tração, utilizam sistema de protensão.

10 Funcionamento global das lajes

Mediante cargas perpendiculares ao seu plano médio, as lajes se comportam como

placas, e diante de cargas que atuam em seu próprio plano médio, comportam-se como chapas.

O comportamento da laje como chapa está ligado à sua contribuição ao contraventamento da estrutura global tridimensional e à transmissão das cargas horizontais do vento aos elementos resistentes, participando da estabilidade global da estrutura.

O comportamento da laje como placa, considera-se a laje desligada estruturalmente das vigas que a sustentam e não se leva em consideração a influência da deformação das vigas.

Vão efetivo

O vão efetivo de uma laje é dado pela expressão:

l = + +

onde escolhemos o menor valor das expressões:

≤

0,3. ℎ

e

≤

0,3. ℎ

11 Carregamento das lajes

Para determinação dos esforços atuantes nas lajes, determinam-se quais cargas atuam nas mesmas. De modo geral, as cargas consideradas são: peso próprio, enchimento (pode ser de vários tipos, ocorre quando há rebaixamento das lajes), revestimento, carga permanente, carga acidental.

Peso Próprio

O peso próprio das lajes maciças é determinado pelo produto da espessura h pelo peso específico do material. O peso específico do concreto armado é 25 kN/m³; portanto, o peso próprio será dado por:

h x 25 kN/m³

Enchimento

Para enchimentos, valem as mesmas considerações utilizadas para peso próprio, sendo a única diferença o peso específico do material a ser utilizado. Segue abaixo o peso específico de alguns materiais de enchimento:

_ entulho: 15 kN/m³; _ cacos: 12 kN/m³;

_ argila expandida: 9 kN/m³; _ terra: 18 kN/m³.

Revestimento

O revestimento depende do material utilizado. Seguem-se alguns valores a considerar: revestimento de pisos 1,0 kN/m²; impermeabilização de pisos 1,0 kN/m².

Carga Verticais

As cargas verticais podem ser permanentes ou variáveis (acidentais) e variam conforme o ambiente e a utilização da edificação.

A carga permanente é constituída pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes.

Carga Acidental

A carga acidental varia conforme o ambiente e a utilização da edificação. Segue abaixo algumas cargas a serem consideradas:

_ Dormitórios, salas, cozinhas e banheiros: 1,5 kN/m²; _ Despensas, áreas de serviço e lavanderias: 2,0 kN/m²;

12

_ Escadas sem acesso ao público: 2,5 kN/m²; _ Escadas com acesso ao público: 3,0 kN/m²; _ Corredores sem acesso ao público: 2,0 kN/m²; _ Terraços sem acesso ao público: 2,0 kN/m²; _ Corredores com acesso ao público: 3,0 kN/m²; _ Terraços com acesso ao público: 3,0 kN/m²

A incidência das cargas acidentais nos pavimentos de uma edificação varia conforme o pavimento considerado. A seguir, segue-se tabela para redução da carga acidental nos pavimentos (devendo-se considerar o forro como piso).

Redução das cargas acidentais

Número de pisos que atuam sobre o elemento

Redução percentual das cargas acidentais (%)

1, 2, 3 0

4 20

5 40

6 ou mais 60

Espessura das lajes

A altura final de uma laje é função da deformação-limite causada pelos esforços a que a laje está submetida. Inicialmente estima-se a altura e depois se fazem as correções necessárias. A NBR 6118:2014 não faz nenhuma recomendação sobre o cálculo da altura das lajes, por isso usaremos a expressão , × (sendo lx o menor lado da laje) para uma estimativa inicial. No entanto, deve-se respeitar o mínimo estipulado pela norma:

_ 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; _ 8 cm para lajes de piso não em balanço; _ 10 cm para lajes em balanço;

_ 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; _ 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

_ 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de para lajes de

piso biapoiadas e para lajes de piso contínuas;

13

No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem

considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional , de acordo com a tabela abaixo:

h (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

Onde

= 1,95 – 0,05.h;

h é a altura da laje, expressa em centímetros (cm).

NOTA: O coeficiente deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando de seu dimensionamento.

Reação dos apoios

As cargas das lajes são transferidas para as vigas (exceto em lajes lisas e cogumelo), que respondem com uma reação. No entanto, não é a carga total da laje que passa para as vigas (no caso de não estar engastada num único apoio, como lajes em balanço).

Regime rígido-plástico

As reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas. As charneiras correspondem a zonas de intensa fissuração da face tracionada.

14

Quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, conforme a seguir:

_ 45° entre apoios do mesmo tipo;

_ 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado;

15 Vinculação nas bordas

Para a determinação dos momentos atuantes nas lajes, é importante estabelecer o vínculo da laje com o apoio.

Bordas simplesmente apoiadas

Não há continuidade da laje em nenhuma direção, e todas as bordas se apoiam em vigas.

Laje rebaixada – não há continuidade

Bordas apoiadas – esquema estrutural

Bordas engastadas

Podem ser de engaste perfeito (é o caso de lajes em balanço) ou de engaste elástico (é o caso de continuidade entre lajes).

16

O engaste elástico ocorre devido aos momentos negativos diferentes que lajes com continuidade entre si geram.

Para o cálculo das lajes maciças retangulares, a convenção de vinculação é feita da forma a seguir:

As lajes L1 e L2 geram momentos negativos diferentes – engaste elástico

Borda apoiada (charneira)

Borda engastada

17

Em função das diversas combinações de vínculos, as lajes são classificadas numericamente, conforme o vínculo:

No caso em que uma laje está vinculada, no mesmo apoio, de forma diferente (um trecho está engastado e no mesmo apoio outro trecho está apoiado), pode-se considerar o seguinte critério:

_ Considera-se a borda apoiada se o comprimento do trecho apoiado for maior ou igual a 2/3 do vão total analisado.

Geralmente essa situação acontece porque uma laje maior se relaciona com outras duas menores com condições de apoio diferentes.

Momento Fletor e disposição das armaduras nas Lajes

Os momentos nas lajes (Mk), resultantes dos esforços solicitantes, podem ser positivos (Mk – tração na parte inferior e compressão na superior) e negativos (M’k – tração na parte superior e compressão na parte inferior).

Chamando o lado menor da laje de lx e o lado maior de ly, podemos definir:

• O momento fletor Mkx tem plano de ação paralelo ao lado lx e, portanto, dará origem a

uma armadura Asx a ser colocada junto à face inferior da laje, paralelamente àquele lado;

• O momento fletor Mky tem plano de ação paralelo ao lado ly e, portanto, dará origem a

uma armadura Asy a ser colocada junto à face inferior da laje, paralelamente àquele lado. Logo, ela ficará disposta perpendicularmente à armadura Asx;

18

• O momento fletor M’kx tem plano de ação paralelo ao lado lx e, portanto, dará origem a

uma armadura A’sx a ser colocada junto à face superior da laje, sobre os apoios definidos pelos lados ly e paralelamente ao lado lx;

• O momento fletor M’ky tem plano de ação paralelo ao lado ly e, portanto, dará origem a

uma armadura A’sy a ser colocada junto à face superior da laje, sobre os apoios definidos pelos lados lx e paralelamente ao lado ly.

Onde lx é o menor lado e ly é o maior lado.

Direção da armadura principal

As lajes podem ser classificadas quanto à disposição da armadura principal. Isso acontece porque os esforços solicitantes mais significantes podem atuar tanto paralelamente a um lado como paralelamente a ambos os lados da laje.

Laje armada em uma direção

Quando a relação entre o lado maior e o lado menor resultar em:

=

!

"

> 2

Os esforços solicitantes de maior intensidade estão atuando paralelamente ao lado lx, chamado também de direção principal.

19

Laje armada em duas direções (armada em cruz)

Quando a relação entre o lado maior e o lado menor resultar em:

=

!

"

≤ 2

Os esforços solicitantes de maior intensidade estão atuando paralelamente a ambos os lados, ou seja, em ambas as direções.

20

Cálculo dos Momentos Fletores

Para o cálculo dos momentos fletores é necessário ter a carga atuante na laje e suas dimensões. Então, pelo vínculo das bordas classificamos a laje em 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B e 6 (conforme classificação numérica exposta anteriormente).

Aplicando a Tabela de Lajes disponível no site da disciplina, aplicamos as fórmulas e chegamos aos momentos positivos e negativos:

_ Momento positivo paralelo ao vão lx –

%

_&"

=

'×( )(

_ Momento positivo paralelo ao vão ly –

%

_&!

=

'×( )*

_ Momento negativo paralelo ao vão lx –

%′

_&"

=

'×( ,(

_ Momento negativo paralelo ao vão ly –

%′

_&!

=

'×( ,*

Cálculo dos Momentos Fletores Negativos Compensados

Conforme visto, o engaste elástico ocorre devido aos momentos negativos diferentes que lajes com continuidade entre si geram. No entanto, não podemos adotar dois momentos negativos diferentes para um mesmo apoio, mas também não devemos simplesmente adotar o maior, pois seria extremamente antieconômico.

Adotaremos nesta apostila o método da compensação. Antes de descrever o método, faremos algumas observações:

_ Chamaremos o momento fletor negativo de maior valor de M’k1; portanto, ele poderá se

referir tanto ao M’kx quanto ao M’ky.

_ Chamaremos o momento fletor negativo de menor valor de M’k2; portanto, ele poderá

se referir tanto ao M’kx quanto ao M’ky.

Primeiramente, faz-se a média aritmética simples dos momentos

-

.

/_{& 0.}/_&

1

; em seguida calcula-se 0,8.M’k1 (ou seja, 80% do maior). Entre os dois valores, adota-se o maior

deles (o maior entre a média aritmética e 80% do maior).

Determinação das flechas nas Lajes

As cargas aplicadas nas lajes geram deslocamento transversal o qual chamamos flecha. A utilização do processo de cálculo de placas facilita a determinação da flecha, sendo esta elástica e não considerando os efeitos e fissuração e fluência.

21 = _{4 × ℎ}3 × "₅×₁₀₀6

Onde:

_ p – carregamento uniformemente distribuído sobre a placa; _ α _{– coeficiente tirado da tabela 01;}

_ lx – menor vão da laje;

_ E – módulo de elasticidade do concreto; _ h – altura ou espessura da laje.

O módulo de elasticidade do concreto é dado pela fórmula:

4 = 4760 × ;<=&

sendo fck em MPa.

TIPOS DE LAJES

λ TIPO 1 TIPO 2 TIPO 3 TIPO 4 TIPO 5 TIPO 6 TIPO 7 TIPO 8 TIPO 9 1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46 1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60 1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74 1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87 1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98 1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10 1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20 1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30 1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37 1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45 1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51 1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57 1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63 1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68 1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72 1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76 1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80 1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83 1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85 1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88

22 2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91

∞ 15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07

Tabela 01

Os tipos de lajes estão descritos no Anexo 01 – Tabela de Lajes. O símbolo λ é a relação ly/lx.

Cálculo da Armação

Determinados os momentos positivos e negativos, procede-se o cálculo da ferragem para resistir a estes momentos. Nesta apostila não utilizaremos o método analítico, mas as tabelas K. O momento calculado (tanto positivo quanto negativo compensado) deve ser majorado pelo coeficiente de segurança γc, ficando:

%> = %? ×

=

.

Usualmente o valor do coeficiente de segurança de majoração do momento é 1,4

.

As forças resistentes (aço - fyd e concreto - fck) são minoradas também

:

<

_=@

=

ABC

DB e

<

!@

=

A*C

DE

;

usualmente o valor do coeficiente de segurança

do concreto é 1,4, e do aço 1,15.

O cálculo do Kc se dá pela fórmula:

FG =

H×@

.@

.

Onde d = h – 2cm.

Entrando na tabela K, acha-se o valor de Ks. Com o valor de Ks, encontra-se a área de ferro:

IJ =

FJ × %>

_>

A área de ferro será em cm², e a quantidade de barras será escolhida de modo a atender uma faixa de 1,00m de laje. Com isso, o cálculo do Kc ficará:

23 Disposição da Armação na Laje (detalhamento)

As armaduras devem ser dispostas de forma que possa ser garantido o seu posicionamento durante a concretagem. Ao ser colocada o mais próximo da face inferior da laje (altura útil d) será sempre a correspondente ao maior momento fletor; sobre ela será colocada a correspondente ao menor momento fletor.

O diâmetro máximo para a armadura de flexão deve ser igual a K

L

.

O espaçamento máximo das barras (

s

) deve ser o menor dos valores entre N 2ℎ

20GOpara a

armadura principal. O espaçamento da armadura secundária (

s’

) deve ser J′ ≤ 33GO.

Armaduras Positivas

a) Bordas extremas

A armadura deixará de ter gancho na utilização de aço CA50-A e:

b ≥ 15 cm para Φ≤ 6,3mm b ≥ 20 cm para Φ≤ 10mm

No caso de b < 15 cm, a armadura deverá ter ganchos nas extremidades.

b) Bordas internas

Neste caso, para qualquer valor de b, as armaduras deverão ultrapassar a face da viga de apoio de pelo menos 15 cm para prescindir dos ganchos.

24

Recomenda-se ainda que, escolhido um espaçamento para a armadura principal, o espaçamento da armadura secundária não seja inferior a ele. Assim, evitam-se enganos na obra quando da colocação das armaduras.

Armaduras Negativas a) Bordas extremas

≥ R

₅

S

50GO

b

15 cm

1

5

c

m

a

h - 2cm

25

b) Armadura Negativa Principal

≥ R 4

50GO

b = 40cm

h - 2 h - 2

a

a

26

Na representação a,

lx

lxlx

lx

é o maior dos dois vãos menores das lajes envolvidas.

Na representação b,

l

é o vão de eixo a eixo da laje do lado esquerdo utilizado para calcular o comprimento a do lado esquerdo, e o vão de eixo a eixo da laje do lado direito utilizado para calcular o comprimento a do lado direito.

27 Bibliografia

- http://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf.

- Apostila de Estruturas de Concreto I – FESP Faculdade de Engenharia São Paulo; Prof. A. R. Martins.

- ARAÚJO, José Milton de. Curso de Concreto Armado. Editora Dunas. Rio Grande – RS. 2v. 3° Ed. 2010.

- Estruturas de Concreto I – Lajes de Concreto. Notas de Aula. Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos. Bauru-SP. Novembro. 2005. (www.feb.unesp.br/pbastos)

- Anotações de aula da disciplina de Estruturas I da Faculdade de Tecnologia de São Paulo, curso Edifícios. Prof. Eduardo Roberto Domingues da Silva.

- Projeto de Lajes Maciças de Concreto Armado. Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia – UFRS. Campos Filho, Américo. 2011.

- NBR 6118:2014.

- FUSCO, Péricles Brasiliense. Técnica de armar as estruturas de concreto. Ed. PINI. São Paulo. 1995.

- CARVALHO, Roberto Chust; FILHO, Jasson Rodrigues de Figueiredo. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. EDUFSCAR. 3° edição. São Carlos. 2013.

28 ANEXO 01 – TABELA DE LAJES

39 ANEXO 02 – TABELA TIPO K

41 ANEXO 03 – TABELA TIPO K ANTIGA

43 ANEXO 04 – TABELA DE GRINTER