21030 0809 eF1 resolucao

(1)

Nome: . . . . B. I.: . . . N0

de Estudante: . . . . Licenciatura: . . . . Unidade Curricular: Elementos de An´alise Infinitesimal I C´odigo: 21030 Data: . . . Ano Lectivo: 2008/09

Docente: Fernando Pestana da Costa Classifica¸c˜ao: . . . .

Para a resoluc

¸˜

ao do

e-F´

olio A, aconselha-se que:

• Preencha devidamente o cabe¸calho do exemplar.

• O e-Fólio é composto por seis grupos de questões, num total de 2 páginas e termina com a palavra FIM. As suas respostas às questões deste e-Fólio não podem ultrapassar nove páginas A4; páginas adicionais não serão classificadas. • Escreva sempre com letra leg´ıvel ou usando um processador de texto matemático

conveniente.

• Depois de ter realizado o e-Fólio produza um único documento digital (de pre-ferência pdf) que deve incluir esta folha de rostoe insira-o na página moodle da unidade curricular em “e-Fólio A” até ao dia 17 de Novembro.

Crit´

erios de avaliac

¸ ˜

ao e cotac

¸˜

ao:

• A cota¸cão total deste e-Fólio é de 4 valores.

• Para a correçcão das questões constituem critérios de primordial importância, além da óbvia correçcão cient´ıfica das respostas, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar logicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os cálculos e o racioc´ınio matemático correctos, utilizando nota¸cão apropriada.

• Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os cálculos, racioc´ınios e afirma¸cões que efectuar. Não será atribu´ıda classifica¸cão a uma resposta não justificada.

(2)

1. Conjecture uma expressão para o valor da soma 1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7+ · · · + 1 (2n − 1) · (2n + 1) e use o princ´ıpio de indu¸cão para provar que a sua conjectura é válida. 2. Considere o conjunto Ω = x_{∈ R :} (x − 3) 2 log |x − 1| >0 .

a) Escreva Ω sob a forma de um intervalo, ou de uma reuni˜ao de intervalos. b) Determine o interior, o exterior e a fronteira de Ω.

c) Indique quais das afirma¸cões seguintes são verdadeiras e quais são falsas:

(i) Toda a sucess˜ao crescente de termos em Ω ∩ R−_{´e convergente para um ponto de Ω.}

(ii) Existem sucessões xn e yn de termos em Ω tais que xn+ yn não está em Ω.

(iii) N˜ao existem sucess˜oes un em R \ Ω, estritamente crescentes e convergentes para 3.

3. Calcule, se existirem, ou prove que não existem, os limites das seguintes sucessões: a) un= (n + 1)α− nα,onde α ∈ R é uma constante independente de n.

b) vn = n−1_n+1

3n

.

4. a) Considere as sucess˜oes reais xn e yn definidas por

xn+1 =

xn+ yn

2 , yn+1 = √_x

nyn, n ∈ N

e suponha que 0 < y1 < x1. Mostre que as sucessões xn e yn são ambas sucessões

convergentes e conclua que convergem para o mesmo limite.

b) Seja un o termo geral de uma sucessão monótona e vn o termo geral de uma sucessão

limitada. Seja wnuma sucess˜ao positiva convergente para zero. Suponha que se verifica

a condi¸c˜ao

∀n ∈ N, |un− vn| < wn.

Prove que un ´e limitada. Prove que un e vn s˜ao ambas convergentes e que os seus

limites s˜ao iguais.

5. Determine a natureza das seguintes s´eries num´ericas

∞ X n=5 1 (n − 2)(n − 4), ∞ X n=1 n2_{− 1} (n2 _{+ n − 1)}β, ∞ X n=1 cos(πn) log n n ,

e determine o valor da soma da primeira delas. 6. Seja an uma sucess˜ao positiva tal que

P

nan´e uma s´erie convergente. Seja bn= a1+···+a_n n.

Estude a natureza das s´eries X n anbn, X n bn, X n b2_n. fim

(3)

resolução do e-Fólio A

1. Comecemos por calcular a soma dada no enunciado para alguns valores de n a fim de observar se conseguimos inferir da´ı alguma regularidade:

n= 1 : 1 1 · 3 = 1 3 n= 2 : 1 1 · 3 + 1 3 · 5 = 6 15 = 2 5 n= 3 : 1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7 = 45 105 = 3 7 n= 4 : 1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7+ 1 7 · 9 = 420 945 = 4 9 n= 5 : 1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7+ 1 7 · 9+ 1 9 · 11 = 4725 10395 = 5 11 ´

E agora óbvio, por observa¸cão destes casos particulares, que a conjectura quanto ao valor da soma, para um n ∈ N arbitrário, deve ser

1 1 · 3 + 1 3 · 5 + 1 5 · 7+ · · · + 1 (2n − 1) · (2n + 1) = n 2n + 1. Provemos isto por indu¸c˜ao:

A verifica¸cão do caso n = 1 está feita acima e não é necessário repeti-la. Verifiquemos agora a hereditariedade: suponhamos que, para um dado n, natural, fixo, se tem

1 1 · 3+ 1 3 · 5+ 1 5 · 7 + · · · + 1 (2n − 1) · (2n + 1) = n 2n + 1 e vejamos o que podemos concluir quanto a

1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7+ · · · + 1 (2n − 1) · (2n + 1) + 1 (2(n + 1) − 1) · (2(n + 1) + 1). Utilizando a hip´otese do que se passa para n podemos escrever

1 1 · 3 + 1 3 · 5+ 1 5 · 7+ · · · + 1 (2n − 1)(2n + 1) | {z } = n 2n+1 + 1 (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) = = n 2n + 1+ 1 (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) = n 2n + 1+ 1 (2n + 1)(2n + 3) = (2n + 3)n + 1 (2n + 1)(2n + 3) = ((2n + 1) + 2)n + 1 (2n + 1)(2n + 3) = (2n + 1)n + 2n + 1 (2n + 1)(2n + 3) = (2n + 1)(n + 1) (2n + 1)(2n + 3) = n+ 1 2n + 3 = n+ 1 2(n + 1) + 1,

o que prova que a hereditariedade é válida e que, portanto, a conjectura é verdadeira para todos os valores de n ∈ N.

(4)

2.a) Sabendo que (x − 3)2 _>_{0 para todos os valores reais de x excepto x = 3 e que, para}

este, o seu valor ´e igual a 0, o estudo do sinal da fun¸c˜ao x 7→ log |x−1|(x−3)2 fica reduzido

ao estudo do sinal de log |x − 1|. Das propriedades conhecidas da fun¸cão logaritmo sabe-se que log u = 0 se e só se u = 1 e que é negativa se 0 < u < 1 e positiva se u > 1. Isto permite concluir que os sinais da fun¸cão que define Ω são os indicados na tabela seguinte: x _{−∞ 0} 1 2 3 _+∞ (x − 3)2 _{+ + +} _{+ 0 +} log |x − 1| + 0 − − 0 + + (x − 3)2 log |x − 1| + − − + 0 +

Consequentemente, por simples inspeçcão da última linha do quadro, tem-se Ω =] − ∞, 0[∪]2, 3[∪]3, +∞[.

2.b) Como o conjunto Ω é a reunião de três intervalos abertos disjuntos é, consequentemente, também um conjunto aberto, pelo que intΩ = Ω. Pela mesma razão, a fronteira de Ω é a reunião das fronteiras dos três intervalos abertos disjuntos cuja reunião forma Ω (note-se que isto não é necessariamente válido se alguns dos intervalos não forem abertos ou não forem disjuntos); portanto, frontΩ = {0, 2, 3}. Por fim, como R = (intΩ) ∪ (frontΩ) ∪ (extΩ) e estes três conjuntos são disjuntos, conclui-se que extΩ = R_{\ (intΩ ∪ frontΩ) =]0, 2[.}

2.c)(i) Sabendo que Ω_∩R− _{=]−∞, 0[, ´e evidente que se podem ter sucess˜oes neste conjunto}

que sejam crescentes e que convirjam para 0, o qual não é um ponto do conjunto; um exemplo é a subsucessão un= −_n1. Consequentemente a afirma¸cão é falsa.

2.c)(ii) A afirma¸cão é verdadeira. É até muito fácil encontrar sucessões xn e yn, ambas

em Ω e tais que a soma não esteja em Ω. Por exemplo, considerem-se as sucessões constantes xn= −3 e yn= 4: ambas estão em Ω e xn+ yn= 1 ∈ extΩ 6⊂ Ω.

2.c)(iii) Comecemos por reparar que R \ Ω = [0, 2] ∪ {3}. Suponhamos que a afirma¸cão é falsa, i.e., suponhamos que existe pelo menos uma sucessão vn nas condi¸cões do

enunciado: uma sucess˜ao estritamente crescente, tal que vn ∈ [0, 2] ∪ {3} e convergente

para 3. O facto de convergir para 3 significa que, para qualquer ε > 0, existe uma ordem p a partir da qual (i.e., para todos os n > p) se tem |vn − 3| < ε, ou seja

3 − ε < vn < 3 + ε. Sendo vn estritamente crescente, todos os seus termos ter˜ao de

ser estritamente inferiores ao limite, ou seja vn < 3, ∀n ∈ N. Mas, como ε > 0 pode

ser escolhido arbitrariamente, pode-se tomar ε < 1, e ent˜ao, a partir de certa ordem p_{, tem-se 2 < 3 − ε < v}n < 3, o que significa que vn ∈]2, 3[⊂ Ω. Mas isto contradiz a

hipótese inicial de vn∈ R \ Ω. Esta contradi¸cão prova que a afirma¸cão do enunciado é

verdadeira.

3.a) Importa come¸car por distinguir trˆes casos de α. Se α = 0 ent˜ao kα _{= k}0 _{= 1, ∀k ∈ N,}

e portanto un = 1 − 1 = 0, ∀n ∈ N, pelo que lim un= 0. Se α < 0 ent˜ao kα= _k|α|1 → 0

quando k → ∞; portanto, tamb´em neste caso tem-se lim un= 0−0 = 0. Finalmente, se

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n _{= 1 → 1. Resta-nos estudar o caso de α positivo e diferente de 1: Se 0 < α < 1} tem-se (n + 1)α _{− n}α _{= n}α _{1 +} 1 n α − 1 < nα _{1 +} 1 n− 1 = nα−1 _{→ 0. Analogamente,} se α > 1 tem-se (n + 1)α − nα _{= n}α _{1 +} 1 n α − 1> nα 1 + 1_n_{− 1}= nα−1 _{→ +∞.}

3.b) Sabendo n´os, pelo Teorema 1.3.22, que 1 + a m m → ea_{, conclui-se que} n − 1 n+ 1 3n = (n + 1) − 2 n+ 1 3n = 1 + −2 n+ 1 3n+3−3 = " 1 + −2 n+ 1 n+1#3 1 − _n 2 + 1 −3 → e−231−3 = e−6

4.a) Se soubermos que as sucess˜oes xn e yn s˜ao ambas convergentes, digamos xn → L e

yn → ℓ, então é fácil concluirmos que se tem de ter L = ℓ. De facto, tendo em conta

que xn+1 é uma subsucessão de xn e que yn+1 é uma subsucessão de yn, conclui-se,

aplicando limites a ambos os termos das igualdades xn+1 = xn+y₂ n e yn+1 = √xnyn,

que se tem L = L+ℓ 2 e ℓ =

√

Lℓ. Basta-nos a primeira destas igualdades para concluir que L = ℓ. É claro que esta dedu¸cão é feita sob a hipótese das sucessões serem convergentes. Vejamos agora que assim é: Atendendo ao que se sabe sobre os primeiros termos, é razoável tentar ver primeiro se se tem 0 < yn < xn, ∀n ∈ N. Argumentando

por indu¸cão tem-se que a desigualdade é válida para n = 1 (é dado no enunciado) e, supondo que é válida para n, tem-se, para n+1, 0 < yn+1 = √xnyn<

p x2

n= |xn| = xn;

por outro lado, como tamb´em xn+1 = xn+y₂ n > xn+x₂ n = xn, conclui-se que, de facto,

yn+1 < xn+1. Note-se que a desigualdade yn < xn, ∀n ∈ N, que acab´amos de provar,

não nos permite (ainda) concluir nem que as sucessões são limitadas nem que são monótonas. Mas ambas estas propriedades são, agora, mais fáceis de obter. Utilizando, na igualdade xn+1 = xn+y₂ n, a desigualdade que acabámos de obter, conclui-se que

x_n+1 = xn+yn

2 < xn+xn

2 = xn e, portanto, xn´e estritamente decrescente. Analogamente,

da igualdade yn+1 = √xnyn obt´em-se yn+1= √xnyn > √ynyn= |yn| = yn e, portanto,

yn ´e estritamente crescente. Observe-se que isto prova tamb´em que todos os termos

das duas sucess˜oes ent˜ao contidos em ]0, x1] :

0 < y1 < yn < xn < x1, ∀n ∈ N.

Isto, claro está, prova que ambas as sucessões são limitadas, o que, conjuntamente com a sua monotonia, provada acima, permite-nos concluir que ambas são convergentes (para limites que, em princ´ıpio, não teriam de ser iguais, mas, pelo que provámos no in´ıcio desta al´ınea, já conclu´ımos que são mesmo iguais).

4.b) Observe-se que, sendo wn convergente, ´e, necessariamente limitada. Portanto, ambas

as sucess˜oes vn e wn s˜ao limitadas, ou seja, existem constantes reais positivas K e L

tais que, para quaisquer n ∈ N, tem-se −K < vn< K e −L < wn< L. A rela¸c˜ao entre

un, vn e wn dada no enunciado permite-nos escrever ∀n ∈ N, vn− wn< un < vn+ wn

e, portanto,

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ou seja, un´e uma sucess˜ao limitada.

Tendo acabado de provar que a sucess˜ao un ´e limitada e, sendo dado no enunciado

que ela é uma sucessão monótona, concluimos que é convergente. Seja ℓ o seu limite, ℓ = lim un. Pretendemos concluir que a sucessão vné também convergente e que o seu

limite é o mesmo valor ℓ. Utilizando a defini¸cão de limite de uma sucessão, pretendemos estimar |vn− ℓ| e mostrar que esta diferen¸ca pode ser tão pequena quanto se queira,

desde que se tome n suficientemente grande. Repare-se que a única informa¸cão que temos sobre este tipo de diferen¸cas é a que resulta da condi¸cão dada no enunciado, pelo que é natural tentar transformar a expressão |vn− ℓ| em algo que envolva |vn− un|.

O modo mais ´obvio de fazer isto ´e adicionar e subtrair un e utilizar a desigualdade

triangular:

|vn− ℓ| = |vn− un+ un− ℓ| = |(vn− un) + (un− ℓ)| ≤ |vn− un| + |un− ℓ| < wn+ |un− ℓ|.

Agora note-se que, da informa¸c˜ao, dada no enunciado, de que wn→ 0, concluimos que,

∀δ > 0, ∃p1 ∈ N : ∀n > p1, wn<

δ 2;

do mesmo modo, pelo facto de ℓ ser o limite de un, podemos escrever

∀δ > 0, ∃p2 ∈ N : ∀n > p2,|un− ℓ| <

δ 2.

Consequentemente, tomando p = max{p1, p2} conclu´ımos que ´e verdadeira a afirma¸c˜ao

∀δ > 0, ∃p ∈ N : ∀n > p, |vn− ℓ| < wn+ |un− ℓ| <

δ 2+

δ 2 = δ, o que prova que vn→ ℓ, como pretendiamos.

5. Para a primeira série, comecemos por observar que o seu termo geral pode ser escrito como a diferen¸ca de dois termos de uma outra sucessão conveniente e que, portanto, se trata de uma série de Mengoli. De facto, podemos escrever _{(n−4)(n−2)}1 = 1₂ _n−41 ₋ _n−21 e, portanto, para a sucessão das somas parciais da série, tem-se1

SN = 1 2 N X n=5 1 n_{− 4} − N X n=5 1 n_{− 2} ! = 1 2 N−4 X n−4=1 1 n_{− 4} − N−2 X n−2=3 1 n_{− 2} ! = = 1 2 N−4 X j=1 1 j − N−2 X j=3 1 j ! = 1 2 1 1 + 1 2 − 1 N _{− 3} − 1 N_{− 2} = = 3 4 − 1 2 1 N _{− 3} + 1 N _{− 2} −−−→_N →∞ 3 4 ∈ R,

e portanto a série é convergente e a sua soma é 3 4.

Para estudarmos a segunda s´erie comecemos por observar que, se β = 1 tem-se an = n 2₋₁ (n2_+n−1)β = n2₋₁ n2_+n−1 → 1 6= 0, e quando β < 1 tem-se an = n 2₋₁ (n2_+n−1)β =

1_{Alguns dos passos da dedu¸c˜}_{ao poderiam estar ausentes, visto tratarem-se apenas de passos elementares}

de manipula¸cão de somatórios. São apresentados apenas para que não surjam quaisquer dúvidas sobre as manipula¸cões envolvidas.

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1−n−2

(n2(1−β−1)_+n1−2β−1_−n−2β−1₎β →

1

0 = +∞ 6= 0. Portanto, em qualquer dos casos, o termo

geral da sucessão não tende para zero e, portanto, a série é divergente. Investigue-mos agora o caso β > 1. Pelos cálculos que já fizeInvestigue-mos podeInvestigue-mos concluir que neste caso an → 0, o que não nos permite concluir nada quanto à convergência da série.

Observe-se, no entanto, que quando β > 1, o termo dominante do denominador de an é n2β e portanto é natural esperar que o comportamento da nossa sucessão seja

semelhante ao da sucessão análoga cujos numerador e denominador contêm apenas os termos dominantes, ou seja n2−1

(n2_+n−1)β ∼

n2

n2β = _n2(β−1)1 . Isto sugere que se considere a

sucessão bn = _n2(β−1)1 e apliquemos o corolário do critério de compara¸cão (cf. Sarrico,

p´g. 74). Note-se que as naturezas das séries P_n_n2(β−1)1 são bem conhecidas: a série

converge se 2(β − 1) > 1 e divergente se 2(β − 1) 6 1. Como se tem an bn = n2₋₁ (n2_+n−1)β 1 n2(β−1) = n 2_{− 1} (n2_{+ n − 1)}β n2(β−1) 1 = = n 2β _{− n}2(β−1) (n2_{+ n − 1)}β = 1 − n−2 (1 + n−1_{− n}−2₎β → 1 ∈]0, +∞[

a aplica¸cão do corolário do critério de compara¸cão permite concluir que a série dada no enunciado e a série P_nbn são da mesma natureza. Portanto, conclui-se que a série

dada diverge se β 6 3

2 e converge se β > 3 2.

Por fim, para a ´_{ultima s´erie, comece-se por observar que cos(πn) = (−1)}n _{e, como}

log 1 = 0, o primeiro termo não nulo da série é o termo n = 2. Observe-se também que, a partir de n = 3, inclusive, tem-se log n_n > 0. Agora, é fácil de concluir que a série não é absolutamente convergente visto que o termo geral da série dos módulos satisfaz |cos(πn) log nn | =

| log n| n >

1

n e como a s´erie cujo termo geral ´e 1

n ´e divergente, o

critério de compara¸cão permite concluir que a série cujo termo geral é |cos(πn) log nn | é

também divergente. Para vermos se a série dada originalmente, P_n cos(πn) log n_n , é, ou não, simplesmente convergente, é agora natural aplicar o critério de Leibnitz (Sarrico, pág. 73). Como se sabe que log n_n _{→ 0, resta-nos concluir que a sucessão} log n_n é monótona decrescente para concluirmos que a série dada é (simplesmente) convergente. Para tal, observe-se que log(n + 1) n+ 1 − log n n = n_{log(n + 1) − (n + 1) log n} n(n + 1)

= n(log(n + 1) − log n) − log n n(n + 1) = log 1 + 1 n n − log n n(n + 1) < 1 − log n n(n + 1) <0, onde a primeira desigualdade vem do facto de que 1 + 1

n

é uma sucessão monótona crescente e convergente para e (Sarrico, pp. 40 e 41) e de que a fun¸cão logaritmo é estritamente crescente, e a segunda desigualdade vem de que log n > 1 se n > e > 2. Isto prova o que se pretendia.

6. Sabendo an ´e uma sucess˜ao positiva e

P

nan ´e uma s´erie convergente, concluimos que,

(8)

por SN, satisfaz SN < S, ∀N ∈ N, onde S é a soma da série. Então, atendendo

a isto, tem-se tamb´em bn > 0 e bn = a1+···+a_n n = S_nn < S_n 6 S. Consequentemente,

|anbn| = anbn < San e, pelo critério de compara¸cão (Sarrico, pág. 71) conclui-se que,

como a série P_nané convergente, a série

P

nanbn tamb´em ´e convergente.

Para estudar a segunda série basta retomar a observa¸cão feita acima de que a soma que surge no numerador de bn é exactamente a soma parcial Sn da série P_nan, a qual

sabemos que ´e convergente para S. Portanto, para n ≫ 1 ´e natural esperar que bn =

Sn

n ∼ S n. Tomemos esta sucess˜ao S

n e apliquemos o corolário do critério de compara¸cão (Sarrico,

p´ag. 74): como bn S n = Sn n S n = Sn S → 1 ∈]0, +∞[,

conclu´ımos que as séries são da mesma natureza e, portanto, como a série P_n S n =

SP_n_n1 é divergente, a série P_nbn é também divergente.

Finalmente, pode-se utilizar exactamente o mesmo racioc´ınio para estudar a última série: como é natural esperar que

b2_n= Sn n 2 ∼ S 2 n2

tome-se agora a sucess˜ao S2

n2 e comparˆe-mo-la com a sucess˜ao b2n:

b2_n S2 n2 = S2n n2 S2 n2 = S 2 n S2 → 1 ∈]0, +∞[. Como a s´erie P_nS2 n2 = S2 P n 1

n2 é convergente, o corolário do critério de compara¸cão