O pensamento algébrico e suas inter-relações com os pensamentos geométrico, aritmético e numérico / Algeric thinking and their inter-relationships with geometric, arithmetic and numerical thoughts

(1)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 8, p.56430-56437 aug. 2020. ISSN 2525-8761

O pensamento algébrico e suas inter-relações com os pensamentos geométrico,

aritmético e numérico

Algeric thinking and their inter-relationships with geometric, arithmetic and

numerical thoughts

DOI:10.34117/bjdv6n8-163

Recebimento dos originais:08/07/2020 Aceitação para publicação:13/08/2020

Michael Araújo de Oliveira

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Federal do Acre (2020), Professor da rede pública de ensino do Estado do Acre e do Estado de Amazonas

E-mail: michael_czs@hotmail.com

José Ronaldo Melo

Doutor em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (2010), Professor Titular do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas (CCET) da Universidade Federal do Acre

E-mail: ronaldo.ufac@gmail.com

RESUMO

Esse relato de experiência é fruto das discussões realizadas na disciplina Relações entre o Conhecimento Matemático e a Educação Matemática, oferecido pelo Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Federal do Acre e pela atuação como professor de Matemática na Educação Básica. Faz parte do relato uma abordagem do pensamento algébrico e suas inter-relações com os demais pensamentos matemáticos quando explorados na sala de aula, no ensino infantil e em todas as etapas da Educação Básica, articulado principalmente nos pensamentos: geométrico, aritmético e numérico, como meio para atenuar os reflexos oriundos de problemas na didática do ensino de Matemática. Em contrapartida tivemos como expectativa estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico em distinção à visão tradicional do ensino de Álgebra, com ênfase na produção de significados e possíveis compreensões.

Palavras-chave: Pensamento, Desenvolvimento, Álgebra, Professor Inter-relações. ABSTRACT

This experience report is the result of the discussions held in the discipline Relations between Mathematical Knowledge and Mathematical Education, offered by the Professional Master in Science and Mathematics Teaching at the Federal University of Acre and by acting as a professor of Mathematics in Basic Education. The report includes an approach to algebraic thinking and its interrelationships with other mathematical thoughts when explored in the classroom, in early childhood education and in all stages of Basic Education, articulated mainly in thoughts: geometric, arithmetic and numerical, as means to mitigate the reflexes arising from problems in the teaching of mathematics teaching. On the other hand, we had the expectation of stimulating the development of algebraic thinking in distinction to the traditional view of teaching Algebra, with an emphasis on the production of meanings and possible understandings.

(2)

1 INTRODUÇÃO

Ao pensarmos na Matemática em si, como um todo, e principalmente quando começamos a compreendê-la, nos deparamos com uma ciência que é em partes, uma álgebra codificada por incógnitas e coeficientes que, transformados, formam figuras, formas, tabelas e quase todos – senão todos - os elementos coexistentes na matemática. Mason (1996) aponta a generalização como sendo o coração da Matemática, e esse asserto soa um pouco “mágica” quando não entendemos a epistemologia da matemática, principalmente quando fazemos uma analogia com a ciência criptográfica, que é em suma, o desenvolvimento algébrico – ou genérico – da computação. E isso ainda tem mais sentido ainda na geometria analítica, quando aprendemos a trabalhar com, pontos, retas e circunferências, além das posições entre esses elementos sem precisar tê-los geometricamente e sim, trabalhando de forma analítica, ou algébrica.

A relação que esse ramo da matemática tem com os outros é bastante estreita, vista que a álgebra possibilita principalmente a proporcionalidade quando aplicada em problemas que envolve a relação de duas ou mais grandezas, o que acaba abrindo um leque de opções que levam a solucionar tais problemas. Além disso, o ensino dessas situações envolvendo tais conteúdos é um desafio para aquele que se encontrar no processo de ensino-aprendizagem pois traz uma tarefa – um tanto quando difícil – induzir o aluno a desenvolver esse pensamento algébrico com a íntima relação com os outros pensamentos citados no título do texto. E talvez seja esse o ápice do aperfeiçoamento do processo indutivo-didático-pedagógico do professor, processo que assim chamarei nesse texto, que se refere ao processo de levar o aluno a entender e pensar, e consequentemente deduzir o processo matemático em si e assim, deixar que o próprio aluno deixem de caçoar a álgebra - para não dizer a matemática como um todo - com comentários do tipo “professor, segundos os romanos, x é 10” ou até mesmo ironizando quando dizem: “álgebra: a matemática do desconhecido”.

Aqui pretendo, não fazer uma abordagem da ciência em si, apesar de ser impossível não a relacionar, mas meu principal intuito é fazer interligações com o processo de ensino e aprendizagem de conteúdos que envolve a álgebra, mas especificamente a geometria analítica com o pensamento geométrico e fazendo analogias com outras ciências que usam de outra codificação para dar uma forma visual a elementos, seja essa forma, concreta ou abstrata.

2 DESENVOLVIMENTO

Ao longo dos anos de minha vida acadêmica e docente, me deparei com situações que precisei lidar com a exposição de conteúdos de forma que induzisse meu aluno a deduzir equações e principalmente demonstrações de modo que a aprendizagem fosse mais significativa e fizesse real

(3)

sentido principalmente no que diz respeito a famosas “fórmulas” matemáticas, e nesse intento didático-pedagógico, depois que aprofundei meus estudos sobre teorias da aprendizagem, costumei ter como alicerce os pensamentos de David Ausubel que diz que os conhecimentos prévios dos alunos são a chave para uma aprendizagem significativa, ativando assim o que o especialista chama de “subçunçores”. A premissa fundamental de Ausubel é ilusoriamente simples: “O aprendizado significativo acontece quando uma informação nova é adquirida mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva. (AUSUBEL et al., 1978, p. 159)"

Embora não seja os pensamentos de Ausubel que irei tratar nesse relato, mas precisei deixar claro as contribuições que temos que considerar ao nos encontrarmos em um espaço formal ou em qualquer meio que procede de um processo de ensino e aprendizagem, é de suma importância, os teóricos e principalmente as suas contribuições tem que ser reflexo para o docente, afim de trazer benefícios para o aprendizado do aluno.

Nesse “mecanismo” presente na vida do professor, inclusive na minha, muitas vezes tive insucesso e me frustrei ao criar expectativas sobre possível “êxito” que sempre imaginava alcançar em minhas aulas e consequentemente me fazia refletir sobre a minha prática docente, além do peso da consciência que me deixava mais inquieto ainda e buscava criar métodos ou aperfeiçoar os já existentes. Tudo isso afim de interligar o pensamento algébrico com o pensamento geométrico no que se refere a geometria analítica e todos os outros pensamentos matemáticos que são estreitamente ligados com a álgebra.

Acredito que esses poucos anos que leciono me ajudarão a relatar fatos sobre esse processo de ensinar e aprender tendo em vista a minha ativa participação principalmente nas formações e meu comprometimento em saber e perceber que verdadeiramente meus alunos aprenderam e desenvolveram o pensamento matemático.

2.1 O PENSAMENTO ALGÉBRICO E SUA INTER-RELAÇÕES COM O PENSAMENTO GEOMÉTRICO

Essa inter-relação talvez seja a mais próxima que tive até então. A estreita ligação entre o pensamento algébrico afim de desenvolver e ‘manusear’ elementos geométricos seja a mais fascinante aos olhos daquele que ver a operacionalidade de tais elementos com as vantagens que a álgebra oferece, principalmente no que diz respeito a geometria analítica como já citei no começo desse relato. A possibilidade de determinar distancia, posições e valores de relações trigonométricas faz com que o processo de ensinar tais situações se tornem mais significativo uma vez que faz

(4)

ligações direta com dois ‘ramos’ da matemática que antes não se relacionava – ou não se tornava nítido tal relação.

Programas computacionais e aplicativos móveis, como o software Geogebra se torna um grande aliado e facilitador do professor no ato de expor e de certa forma criar meios para o aluno compreender essa conexão entre esses pensamentos, já que esse recurso expõe janelas de visualização (2D e 3D) e de janelas de álgebra, o que promove a alteração instantânea das coordenados dos pontos, dos comprimentos dos segmentos, a medida dos ângulos, coeficientes das equações da retas e muitos mais, o que emerge exatamente o raciocínio matemático sobre a possibilidade de criar e determinar elementos na geometria utilizando somente a álgebra.

Nesse mesmo intento me remeto atividades e jogos que os mediadores usam didaticamente de forma incorreta, sem o verdadeiro sentido que tais procedimentos devem atingir, como por exemplo os blocos lógicos e boa parte dos materiais manipuláveis, que ficam empoeirados nos armários dos depósitos escolares sem a contínua utilização para o promover o a visualização do espaço em si, como explica Barbosa quando diz que:

Muitas vezes realizam-se com alunos atividades que são encaradas como simples diversão, tais como jogos de montar, de encaixe, aparentemente mais indicados para Artes do que para Matemática. Porém, tais atividades não só são importantes para o desenvolvimento da intuição espacial e de habilidades para visualizar, interpretar e construir, como têm relação com a formação do pensamento geométrico dedutivo. Na grande maioria de nossas escolas de ensino fundamental, contudo, não é habitual serem realizadas atividades nas aulas de Matemática que favoreçam a visualização e a percepção do espaço a nossa volta. (BARBOSA, 2003, pág 3)

Além disso, vale ressaltar a pouca prática por grande parte desses professores que não de debruçam de formações continuadas voltadas para esse processo específico com a utilização desses materiais manipuláveis e muito menos com metodologias centradas em desenvolver essa relação entre os pensamentos geométricos e algébricos que, apesar de que não seja solução apontar transgressores, porém a iniciativa – além da própria prática – dos docentes seria, sem necessidade de pesquisa, uma solução a ser pensada e principalmente refletida, docentes esses que estão atuando diretamente em sala de aula e que estão exercendo o papel de professor formador, afim de levar mais esse “pilar” para reuniões de formação continuada, da qual julgo um meio eficiente de sanar dificuldade nesse processo de desenvolvimento da relação entre pensamentos.

(5)

2.2 O PENSAMENTO ALGÉBRICO E SUA INTER-RELAÇÕES COM O PENSAMENTO ARITIMÉTICO

Tendo passado por quase todas as séries do ensino fundamental II e ensino médio, me deparei com situações que estive escrevendo e explicando conteúdo do campo da aritmética usando incógnitas de todas as maneira possíveis (inclusive já teve ocasiões de pensar em usar símbolos invés de letras como comumente boa parte dos professores usam, além de pensar também em usar imagens de desafios matemáticos que frequentemente encontramos nas redes sociais, que acho bastante interessante e estimulante para os discentes), situações estas que me fez parar para refletir sobre o melhor método de explicar algoritmos e situações-problemas que envolvesse operações com números.

Uma certa vez em sala de aula, quando estava cursando minha graduação, meu professor expôs um procedimento didático em que aconselhou que usássemos, para fins de demonstração, um cálculo com números reais para depois fazer o mesmo cálculo com incógnitas, o que segundo ele, possibilitaria ao aluno a melhor compreensão de tal procedimento, criando assim, meios de chegar ao objetivo do pensamento aritmético-algébrico. Esse feito do meu mestre levanta questões de como deve ser ensinada a matemática e sobre que decisões devemos tomar ao ensinar certos conteúdos dessa área, tendo em vista que a obsessão implanta o platonismo e o formalismo a metodologia tão discutida.

Isso é ainda mais marcante ao ensinar em níveis de ensino distintos em que encontramos, não muito raro, professores com concepções que, muitas vezes, são errôneas ao prevalecer o saber científico ao saber social como aliado na formação integral do indivíduo, assim como diz Graça e Moreira que citam Kuhs e Ball (1986) citado em Thompson (1991, p. 36) que diz que:

[...] Neste sentido, quer o platonismo quer o formalismo apresentam a Matemática como um produto acabado, privilegiando o rigor e a precisão na linguagem e simbolismo. Enquanto que o formalismo está mais associado a conceitos abstratos e a uma perspectiva de demonstração (com uma maior ênfase no Ensino Universitário) no platonismo os conteúdos matemáticos são organizados essencialmente em função da estrutura da Matemática, com uma ênfase curricular (com maior ênfase no Ensino Secundário). Por contraste, o construtivismo descreve a Matemática como uma atividade. Coloca assim em primeiro plano o processo de pensamento daqueles que “fazem” matemática, como por exemplo a procura de relações e a construção de conceitos matemáticos a partir de experiências reais. (THOMPSON, 1992, pág 136)

Não deixando de lado o raciocínio que introduzi nessa subseção, porém achei necessário discutir o que ouço ao passar pelos corredores das escolas e me deparar com professores nos seus locais de trabalho tentando “implantar” na cabeça dos alunos invés de tentar achar mecanismos que facilitem esse desenvolvimento do pensamento e ao mesmo tempo que precisam lembrar-se que

(6)

acima de qualquer concepção que tenham sobre si próprio, são professores que precisam construir a matemática junto com o aluno no lugar de usar o seu espaço como um ambiente educacional à base de discursos como se fosse comício.

É inegável que para a construção e o desenvolvimento do pensamento aritmético que o professor tem que estimular no aluno, é imprescindível as técnicas e os recursos que a álgebra disponibiliza e, mais além de construir e desenvolver é generalizar operações e algoritmos com o intuito de “encarar” toda e qualquer situação envolvendo relações operatórias não entre números e mas sim entre símbolos.

2.3 O PENSAMENTO ALGÉBRICO E SUA INTER-RELAÇÕES COM O PENSAMENTO NUMÉRICO

É provável que uma das primeiras – e mais usadas – formas de relacionar uma quantidade, principalmente nos anos inicias, seja a associação com objetos que na maioria das vezes são usados como meio de desenvolver o pensamento numérico com qualquer que seja a figura apresentada afim de relacionar o meio em que vivemos, tal como emergir a interação entre o individuo e o objeto manipulável/observável.

Embora esse processo de desenvolvimento seja um dos mais complexos, os professores veem como forma de inserir no indivíduo, quando ainda construtor e consumidor do saber, os números e suas respectivas representações possíveis sem sequer levar em consideração o processo que se dar de desenvolver o conceito de número, o que provoca um impacto na maior parte das propostas pedagógicas de natureza progressista, como salienta Coll, quando diz que:

Nessa conjuntura, o problema que se coloca, do ponto de vista do ensino e da aprendizagem significativa, é duplo. Por um lado, o aluno constrói significados relativos aos conteúdos escolares, e a própria dinâmica deste processo construtivo dificulta ou impossibilita as tentativas de que sejam transmitidos de uma forma direta e acabada; mas, por outro lado a natureza cultural dos conteúdos marca a direção na qual o ensino deve orientar, de forma progressiva, a construção de significados. Os significados que o aluno finalmente constrói são, pois, o resultado de uma complexa série de interações nas quais intervêm, no mínimo, três elementos: o próprio aluno, os conteúdos de aprendizagem e o professor. (COLL, 1994, p. 156)

E como esse processo ainda é mais evidente e percebível na alfabetização matemática ocorrente no ensino infantil e anos iniciais do ensino fundamental, as metodologias usadas pelos(as) professores(as) se tornam mecânicas, já que muitas vezes, não encontram meios de desencadear esse tão desejado pensando numérico e assim tornando um “espelho”, um padrão, a ser seguido por professores que iniciam a jornada docente.

(7)

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As dificuldades de compreensão apresentadas pelas estudantes no ensino/aprendizagem da Matemática, os induz a pensar que a matemática é extremamente difícil e inútil. A culpa muitas vezes pode estar no trabalho do professor, que se justifica por má formação ou pelas condições de trabalho que se faze necessária devido à renumeração precária.

Vários pontos de vista devem ser analisados quando se trata de ensino de álgebra e suas inter-relações com as outras áreas da matemática no Ensino Fundamental: problemas como a linguagem escrita e a linguagem matemática, que poderia ser explorados mais no texto; dificuldade do professor em interpretar o raciocínio do estudante, o que exatamente o que quis colocar em discussão no texto, embora talvez não tenha obtido êxito, dificuldades apresentadas em conteúdos base para desenvolvimento do pensamento algébrico e o mais grave de todos que é o desvinculo da Álgebra/Geometria/Aritmética/Número.

Concluo esse relato na esperança de ter fornecido subsídios aos leitores, que justifiquem o nosso enfoque na questão do desenvolvimento do pensamento algébrico concomitante à Geometria, à Aritmética e aos Números, reforçando a construção do conhecimento através da significação dos conteúdos e não como mecanização dos cálculos algébricos sem aplicação nenhuma no cotidiano do aluno.

A falta de motivação para a aprendizagem Matemática se dá pela falta de aplicabilidade dos cálculos matemáticos na vida. O conhecimento quando construído, ao invés de transmitidos pelo professor faz muito mais sentido para o estudante, por isso é mais facilmente absorvido.

A iniciação do conhecimento algébrico o quanto antes na vida escolar da criança é um dos caminhos almejados para a concretização de um conhecimento matemático mais integrador e provocante, possibilitando aos alunos desenvolverem suas capacidades matemáticas com compreensão.

Nesse sentido, o papel do professor enquanto mediador do processo ensino-aprendizagem é extremamente relevante. Atividades adequadas sem uma abordagem pontual não geram significados, principalmente quando estas são de cunho investigativo. A atuação do professor é o diferencial na construção do conhecimento. O aluno ao ser instigado à discussão, ao confronto de ideias combinando teoria e prática está sendo submerso a uma metodologia altamente motivadora, capaz de gerar aprendizagem.

(8)

REFERÊNCIAS

BARBOSA, Paula Marcia. O Estudo da Geometria. Rio de Janeira: IBC, 2003;

COLL, César, Aprendizagem Escolar e Construção do Conhecimento, Porto Alegre: Artemed, 1994 GROUWS (ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: MacMillan;

MASON, J. Expressing generality and roots of algebra. In: BEDNARZ, N., KIERAN, C. &LEE, L. (Eds.). Approaches to algebra, perspectives for research and teaching. London: Bluwer Academic Publishers, 1996.