Limite e Continuidade
1
Discos Abertos e Fechados
Lembre que a distˆancia d entre os pontosP = (x, y) e P0 = (x0, y0) ´e
d =p(x−x0)2+ (y−y0)2.
Observemos que
|x−x0| ≤
p
(x−x0)2+ (y−y0)2 e |y−y0| ≤
p
(x−x0)2+ (y−y0)2.
• Disco aberto centrado em (x0, y0) e raio δ:
Dδ(x0, y0) ={(x, y)∈R2 |
p
(x−x0)2+ (y−y0)2 < δ}
• Disco fechado centrado em (x0, y0) e raio δ:
Dδ(x0, y0) = {(x, y)∈R2 |p(x−x0)2+ (y−y
0)2 ≤δ}
• Disco perfurado centrado em (x0, y0) e raio δ:
D∗
δ(x0, y0) ={(x, y)∈R2 | 0<
p
(x−x0)2+ (y−y
0)2 < δ}
2
Limites
2.1
Defini¸c˜
ao de Limite
Seja f uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis e suponha que f est´a definida em todos os pontos de algum disco aberto centrado em (x0, y0), exceto, possivelmente em (x0, y0). Dizemos queo limite de f(x, y)
quando (x, y) tende a (x0, y0) ´e L, escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) =L (1) limite
se, dado qualquer n´umero ǫ >0, podemos encontrar um n´umero δ >0 tal que
2.2
Nota¸c˜
ao:
O limite as vezes ´e escrito como
lim
x→x0 y→y0
f(x, y) = L ou f(x, y)→L quando (x, y)→(x0, y0)
Proposi¸c˜ao 2.1 Seja f :R2 →R definida por f(x, y) = ax+b, com a e b reais quaisquer. Ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = ax0+b
Prova: Use a desigualdade:
|x−x0|=
p
(x−x0)2 ≤
p
(x−x0)2+ (y−y0)2
Ou seja,
lim
(x,y)→(x0,y0)
(ax+b) = ax0+b, para quaisquer a e b reais
Exemplo: lim
(x,y)→(−3,7)
(2x+ 5) = 2(−3) + 5 =−1
2.3
Observa¸c˜
oes
1. Se a = 1 eb = 0 ent˜ao lim
(x,y)→(x0,y0)
x=x0
2. Se a = 0 ent˜ao lim
(x,y)→(x0,y0)
b =b. Isto ´e, o limite de uma constante ´e a propria constante.
3. Se b = 0 ent˜ao lim
(x,y)→(x0,y0)
Exerc´ıcio: De forma an´aloga, usando a defini¸c˜ao de limite, podemos provar que
lim
(x,y)→(x0,y0)
(ay+b) = ay0 +b.
Exemplo: lim
(x,y)→(−1,2)
(3y+ 5) = 3(2) + 5 = 11
2.4
Leis dos Limites
´
E poss´ıvel provar, atrav´es de argumentos semelhantes, que todas as propriedades dos limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel se estendem `as fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Por exemplo:
• o limite da soma (diferen¸ca) ´e a soma (diferen¸ca) dos limites
• o limite do produto ´e o produto dos limites
• o limite do quociente ´e o quociente dos limites
se esses limites existem e o denominadores n˜ao se anulam. Ou seja, se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) =M
ent˜ao
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)±g(x, y)] =L±M Lei da soma (diferen¸ca)
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)·g(x, y)] = L·M Lei do produto
• lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y) =
L
M, se M 6= 0 Lei do quociente.
2.5
Observa¸c˜
ao
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L, valem tamb´em as seguintes propriedades:
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)]n =Ln, n inteiro positivo (Lei da potˆencia)
• lim
(x,y)→(x0,y0) n
p
f(x, y) = √n
2.6
Exemplos
1. Se p(x, y) =axmyn, com a6= 0 temos que lim
(x,y)→(x0,y0)
axmyn=axm0 yn0, ou seja,
lim
(x,y)→(x0,y0)
p(x, y) = p(x0, y0)
2. Usando a Lei do quociente temos que
lim
(x,y)→(1,−2)
5x2y
x2+y2 =−2
3. Usando a Lei da ra´ız temos que
lim
(x,y)→(−3,4)
p
x2+y2 =p(−3)2+ (4)2 =√25 = 5
4. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x2−xy
√
x−√y.
Solu¸c˜ao Como
lim
(x,y)→(0,0)
(x2−xy) = 0 e lim
(x,y)→(0,0)
(√x−√y) = 0
n˜ao podemos aplicar a lei do quociente. No entanto,
x2−xy
√
x−√y =x(
√
x+√y), sex6=y
ent˜ao
lim
(x,y)→(0,0)
x2−xy
√
x−√y =(x,ylim)→(0,0)
x(√x+√y) = 0
Observe que
Dom f ={(x, y)∈R2|x≥0, y ≥0 e x6=y}.
2.7
Pergunta
De quantas maneiras, podemos nos aproximar de um ponto (x0, y0) ?
2.8
Resposta
Existem muitas maneiras de (x, y) se aproximar do ponto (x0, y0), por uma grande quantidade de
caminhos e da forma que se queira:
Assim, se o limite existe, f(x, y) deve se aproximar do mesmo valor independentemente do modo como (x, y) se aproxima de (x0, y0).
Suponhamos que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L. Seja C uma caminho ao longo do qual (x, y) → (x0, y0).
f(x, y)→L quando (x, y)→(x0, y0) ao longo do caminho C.
2.9
Teste dos dois caminhos (para mostrar que um l´ımite n˜
ao existe)
Sejam C1 eC2 dois caminhos diferentes, ao longo dos quais (x, y)→(x0, y0). Se
(i) f(x, y)→L1 quando (x, y)→(x0, y0) ao longo do caminhoC1
(ii) f(x, y)→L2 quando (x, y)→(x0, y0) ao longo do caminhoC2
com L1 6=L2, ent˜ao o limite
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y), n˜ao existe.
Ou seja, se acharmos dois caminhos diferentes ao longo dos quais f(x, y) tem limites diferentes, podemos concluir que o limite n˜ao existe.
2.10
Exemplos
1. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2 +y2 n˜ao existe.
2. Seja f(x, y) = xy
x2+y2. O limite (x,ylim)→(0,0)
f(x, y) existe ?
3. Seja f(x, y) = xy
2
x2+y4. O limite (x,ylim)→(0,0)
f(x, y) existe ?
Exerc´ıcio: Mostre que o limite lim
(x,y)→(0,0) x2
x2+y2 n˜ao existe
2.11
Desigualdades Importantes
´
x2 ≤x2+y2 ou y2 ≤x2+y2
Das desigualdes acima, podemos concluir que
|x|=√x2 ≤px2+y2 ou |y|=py2 ≤px2 +y2
2.12
Fun¸c˜
ao Limitada
Uma fun¸c˜ao g(x, y) ´e limitada em um conjunto B ⊂R2 se existe um n´umero realM > 0 tal que
|g(x, y)| ≤M, para todo (x, y)∈B
2.13
Exemplos
1. As fun¸c˜oes
x2 x2+y2 ,
x4 x4+y2 e
y
p
x2+y2
s˜ao exemplos de fun¸c˜oes limitadas em todo o plano R2\ {(0,0)}.
2. A fun¸c˜ao
f(x, y) = x
2
x4+y2
n˜ao ´e limitada numa vizinhan¸ca da origem. Observe quef(10−2
,0) = 102.
3. A fun¸c˜ao
f(x, y) = y
2
p
x2+y2
´e limitada num disco furado com centro na origem e raio menor do que 1.
Exerc´ıcio 1: Mostre que a fun¸c˜ao x
2
x2+y2 ´e limitada.
Exerc´ıcio 2: A fun¸c˜ao x
3
(x2+y2)3/2 ´e limitada ?
Exerc´ıcio 3: O produto de duas fun¸c˜oes limitadas, ´e limitada ?
2.14
Outras propriedades (para c´
alculo de limites)
1. (Teorema do Confronto) Sejam
f(x, y)≤g(x, y)≤h(x, y); em 0<p(x−x0)2+ (y−y
Se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L= lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y)
ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) =L (existe)
2. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0 ⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)|
f(x, y)|= 0
3. ( Propriedade muito ´util) Suponhamos que
• lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0
• a fun¸c˜aog(x, y) ´e limitada em algum disco perfurado D∗
δ(x0, y0)
ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)·g(x, y) = 0
Observa¸c˜ao: A Propriedade 3 (muito ´util) ´e usada para calcular limites de fun¸c˜oes que podem ser escritas como o produto de outras duas fun¸c˜oes, onde uma tem limite zero e a outra ´e apenas limitada.
2.15
Exemplos
1. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
3x2y x2+y2 = 0
2. Mostre que lim
(x,y)→(0,0) x2
p
x2 +y2 = 0
3. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x3+y3 x2+y2
= 0
3
Defini¸c˜
ao de fun¸c˜
ao cont´ıinua
• Um fun¸c˜ao f(x, y) ´econt´ınua no ponto (x0, y0)∈Dom f se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
Observa¸c˜ao: Na pr´atica, para estudar a continuidade de f(x, y) no ponto (x0, y0) precisamos
verificar que
1. f(x0, y0) est´a definida
2. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe
3. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
Assim, se alguma das condi¸c˜aoes acima n˜ao se verifica, a fun¸c˜ao f(x, y) n˜ao ser´a cont´ınua no ponto (x0, y0).
A soma, diferen¸ca, produto e quociente de fun¸c˜oes cont´ınuas de v´arias vari´aveis s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas.
3.1
Exemplos
1. p(x, y) =axmyn ´e cont´ınua em R2.
2. A fun¸c˜ao polinomial de duas vari´aveis ´e cont´ınua em R2.
3. A fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em seu dom´ınio
4. g(x, y) =
x2 −y2
x2+y2; (x, y)6= (0,0)
0; (x, y) = (0,0)
´e cont´ınua em (0,0) ?
5. Estude a continuidade da fun¸c˜ao f(x, y) =
3x2y
x2+y2; (x, y)6= (0,0)
0; (x, y) = (0,0) .
Exerc´ıcio: Seja a fun¸c˜ao f(x, y) = sen(x
2+y2)
x2+y2 .
(i) ´E cont´ınua no ponto (0,0) ?
(ii) Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2+y2) x2+y2 .
4
Algumas defini¸c˜
oes
• Um ponto (x0, y0) em um conjuntoD no planoxy´e umponto interiordeD se existe um disco
aberto centrado em (x0, y0) que est´a inteiramente em D.
• Um ponto (x0, y0) ´e um ponto de fronteira de D se todo disco aberto centrado em (x0, y0)
cont´em ao mesmo tempo pontos que est˜ao em D e do lado de fora deD.
• O conjunto dos pontos interiores de D´e chamado interior de D.
• O conjunto dos pontos da fronteira de D ´e chamado fronteira de D.
• O conjunto D´e chamado conjunto fechado se cont´em todos seus pontos de fronteira
• O conjunto D ´e chamado conjunto aberto se n˜ao cont´em nenhum ponto de sua fronteira.
5
Exerc´ıcios
1. Calcule os limites abaixo, caso existerem, ou mostre que os limites n˜ao existem:
(a) lim
(x,y)→(0,0) cos
x3−y3 x2+y2
(b) lim
(x,y)→(1,2) xy y−2x
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x4+ 3x2y2+ 2xy3
(x2+y2)2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
y
+y sen
1
x
2. Dada f(x, y), encontre o lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y), se este existir:
f(x, y) = x
4y4
(x2+y4)3.
3. Discuta o continuidade da fun¸c˜ao abaixo:
f(x, y) =
x3
x2+y2, se (x, y)6= (0,0)
0, se (x, y) = (0,0)
4. Verifique se a fun¸c˜ao f(x, y) ´e cont´ınua em (0,0) sendo,
f(x, y) =
xy
p
x2+y2, se (x, y)6= (0,0)
