A Transcendˆ
encia do N´
umero
π
Anselmo A. de A. Oliveira
∗Uziel P. da Silva
†Edson Agustini
‡Faculdade de Matem´atica - Famat
Universidade Federal de Uberlˆandia -Ufu
Uberlˆandia - MG
Abril de
2005Resumo
Este trabalho apresenta uma prova da transcendˆencia do n´umero π, baseada na demonstra¸c˜ao de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59), seguindo as altera¸c˜oes propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Al´em de um pe-queno apanhado hist´orico sobre o n´umeroπe a teoria dos n´umeros alg´ebricos e tran-scendentes, introduzimos duas se¸c˜oes: uma sobre a “Desigualdade do Valor M´edio para Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Complexa“ e outra sobre “Polinˆomios Sim´etricos”. Com elas, pretendemos esbo¸car defini¸c˜oes e resultados pertinentes e necess´arios `a compreens˜ao da demonstra¸c˜ao supracitada.
Palavras-chave: n´umeros transcendentes, n´umeros alg´ebricos, n´umeros
irra-cionais, n´umeros construt´ıveis, n´umero π, desigualdade do valor m´edio, polinˆomios
sim´etricos.
1
Um Pouco da Hist´
oria do N´
umero
π
O n´umero mais famoso da hist´oria, π, representa a raz˜ao constante entre o per´ımetro de um c´ırculo e o seu diˆametro. A hist´oria do n´umero π tem in´ıcio cerca de 4000 anos atr´as, sendo que a existˆencia de uma rela¸c˜ao constante entre “a circunferˆencia e o seu diˆametro” era conhecida por muitas das civiliza¸c˜oes antigas.
Das placas de Sus˜a (placas de argila dos babilˆonios), vemos que estes adotavam uma aproxima¸c˜ao grosseira para o valor de π que ´e deduzido como 3 + 1
8, ou seja, 3,125.Nos papiros eg´ıpcios escritos antes de 1700 a.C., a ´area de um c´ırculo ´e igual `a de um quadrado com 8
9 de diˆametro, e o papiro de Ahmes (cerca de 1600 a.C.) d´a `a rela¸c˜ao existente entre a circunferˆencia e o seu diˆametro o valor 3,16.Isto evidencia que a medi¸c˜ao da circunferˆencia tinha erro menor do que 1%.
∗anselmoangelo@yahoo.com.br. Orientando do Programa Institucional de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica e Mon-itoria da Faculdade de Matem´atica (PROMAT) de set/03 a jul/04.
†uzielpaulo@yahoo.com.br. Orientando do Programa Institucional de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica e Monitoria da Faculdade de Matem´atica (PROMAT) de set/03 a jul/04
Ao descrever a constru¸c˜ao do templo de Salom˜ao, aproximadamente em 950 a.C., o velho testamento b´ıblico traz em II Crˆonicas 4:2 uma aproxima¸c˜ao hebraica para o n´umero
π: “Fez o tanque de metal fundido, redondo, medindo quatro metros e meio de diˆametro e dois metros e vinte e cinco cent´ımetros de altura. Era preciso um fio de treze metros e meio para medir a sua circunferˆencia.”, do que conclu´ımos queπ seria igual a 3.
Assim, muitas civiliza¸c˜oes antigas observaram atrav´es de medi¸c˜oes que a raz˜ao do c´ırculo ´e a mesma para c´ırculos de diferentes tamanhos. No entanto, foram os gregos que conseguiram compreender e explicar a l´ogica desta rela¸c˜ao, que adv´em das propriedades de figuras semelhantes. Os gregos antigos compreendiam que n´umeros como π e √2 s˜ao diferentes dos n´umeros inteiros e dos n´umeros racionais utilizados em suas matem´aticas e, mesmo tendo conseguido provar a irracionalidade de √2, o mesmo n˜ao ocorreu para o
π.
Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) conseguiu melhorar a aproxima¸c˜ao dada ao n´umeroπ,aproximando a circunferˆencia por pol´ıgonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados e descobrindo as seguintes limita¸c˜oes paraπ: 310
71 < π <3 1
7,isto ´e, 3,14085< π <3,142857. Recentemente, descobriu-se que em 480 d.C., Tsu Chung-Chi (430-501 d.C.) chegou `a conclus˜ao de que o valor de π oscilaria entre 3,1415926 e 3,1415927, uma aproxima¸c˜ao impressionante para a ´epoca. Por volta de 499 d.C., um tratado indiano sobre matem´atica e astronomia, intitulado “˜aryabhata”, indica 3,1416 como um valor aproximado deπ,que ´e uma aproxima¸c˜ao com 3 casas decimais corretas.
Mais tarde, aproxima¸c˜oes melhores deπpuderam ser encontradas utilizando pol´ıgonos com mais lados do que aqueles utilizados por Arquimedes. Um c´alculo chinˆes chega a usar um pol´ıgono com mais de 3000 lados e apresenta π com 5 casas decimais. Os chineses tamb´em aproximaram π pelo racional 355
113, que difere de π menos de 0,0000003. Essa mesma aproxima¸c˜ao foi redescoberta no s´eculo XVI pelo engenheiro alem˜ao Ariaan Anthoniszoon. No mesmo s´eculo, outro alem˜ao, Adrien van Rooman, usou o m´etodo de Arquimedes com um pol´ıgono de 230 lados para obter 15 casas decimais para π.
O Renascimento Europeu causou muitos efeitos sobre a matem´atica, entre eles a ne-cessidade de se encontrar f´ormulas, o que n˜ao foi diferente para o π. Descobriu-se, ent˜ao, a defini¸c˜ao n˜ao geom´etrica de π e a representa¸c˜ao deste por s´eries infinitas. Um dos primeiros foi Fran¸cois Vi`ete que, em 1592, descobriu a f´ormula:
π = 1
r 1 2
s 1 2 +
1 2
r 1 2
v u u t1
2+ 1 2
s 1 2+
1 2
r 1 2
v u u u t 1 2 +
1 2
v u u t1
2+ 1 2
s 1 2 +
1 2
r 1 2...
Tamb´em John Wallis (1616-1703) com a f´ormula:
π= 2 µ
2 1 2 3 4 3
4 5 6 5 6 7...
e William Brouncker, em 1658, com a fra¸c˜ao cont´ınua infinita:
π = 4 1
1 + 1
2
2 + 3
2
2 + 5
2
2 + 7 2
2 +...
Uma f´ormula atribu´ıda a Leibniz (1646-1716) e a James Gregory (1638-1675) ´e:
π = 4 µ
1 1 −
1 3+
1 5−
1 7+
1 9−...
¶
.
O mesmo Gregory propˆos tamb´em a seguinte f´ormula, que converge mais rapidamente:
π
6 = 1
√
3 µ
1− 1 3.3+
1 5.3.3 −
1
7.3.3.3 +... ¶
.
John Machin, em 1706, criou uma varia¸c˜ao da s´erie de Gregory; com um aumento significativo da convergˆencia, ele conseguiu calcular π com 100 casas decimais. Esta f´ormula ´e dada por:
π
4 = 4 arctan 1
5 −arctan 1 239.
Uma propriedade relacionada `a natureza de π foi demonstrada, em 1761, por Johann Heinrich Lambert: π´e um n´umero irracional.
Em 1873, o inglˆes William Shanks usou a f´ormula de Machin para calcular (manual-mente e durante quinze anos!) as 707 primeiras casas decimais de π, das quais s´o 527 estavam corretas.
A populariza¸c˜ao da letra grega π para representar a raz˜ao entre o comprimento da circunferˆencia e seu diˆamentro se deve a Leonhard Euler, que passou a empreg´a-la a partir de 1736, muito embora alguns matem´aticos a tenham utilizado antes.
O S´eculo XX foi marcado pela introdu¸c˜ao do uso de computadores e algoritmos com-putacionais que tˆem possibilitado encontrar um n´umero cada vez maior de casas decimais do n´umero π. Em 1949, pela primeira vez, um computador foi usado para calcular π
at´e `as 200 casas decimais. Em 1961, conseguiu-se atrav´es de computa¸c˜ao a aproxima¸c˜ao de π at´e 100.265 casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se at´e `as 500.000 casas decimais.
Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilh˜oes de casas decimais para o π, usando uma f´ormula que d´a cada casa decimal do π individ-ualmente para cada n escolhido. Atualmente, o recorde ´e de 1.241.000.000.000 (mais de um trilh˜ao!) casas decimais de π, calculadas por Yasumana Kanada, da Universidade de Tokio em 2002. Em 11/9/2000 foi calculada pelo projeto Pihex a 1.000.000.000.000.000a. (quatrilhon´esima!) casa bin´aria de π (que, na base bin´aria, ´e 0).1
2
Introdu¸
c˜
ao
Nosso objetivo com o presente trabalho ´e demonstrar que o n´umeroπ ´e transcendente. Um n´umero complexo que pode ser expresso como raiz de uma equa¸c˜ao polinomial com coeficientes inteiros ´e chamado de n´umero alg´ebrico. Os complexos n˜ao alg´ebricos s˜ao chamados de n´umeros transcendentes.
Conforme comentado em [5], a quest˜ao de saber se um dado n´umero ´e transcendente ou alg´ebrico ´e, em geral, dif´ıcil, tendo aparecido como o s´etimo problema na famosa lista dos vinte e trˆes problemas de David Hibert, citados em palestra no Segundo Congresso Internacional de Matem´atica, em 1900, realizado em Paris na Fran¸ca.
Podemos firmar a semente da teoria dos n´umeros transcendentes na Gr´ecia antiga com os trˆes famosos problemas gregos de constru¸c˜ao com r´egua e compasso: a quadratura de um c´ırculo, a trisec¸c˜ao de um ˆangulo e a duplica¸c˜ao de um cubo. O estudo desses problemas recai na constru¸c˜ao (com r´egua sem escala e compasso) de um segmento com certa medida que n˜ao ´e “construt´ıvel” a partir de um segmento dado como unidade. Temos a´ı a teoria dos N´umeros Construt´ıveis que, hoje sabemos, s˜ao todos n´umeros alg´ebricos (no entanto, nem todo n´umero alg´ebrico ´e construt´ıvel [6]).
Em 1844, Joseph Liouville exibiu uma classe de n´umeros que demonstrou serem tran-scendentes e, trinta anos ap´os, uma prova da existˆencia de n´umeros transcendentes sem exibir um n´umero transcendente sequer foi feita Georg Cantor. A primeira demonstra¸c˜ao de que π ´e transcendente foi dada por Ferdinand Lindemann, em 1882, comprovando a impossibilidade da quadratura do c´ırculo, que depende da constru¸c˜ao de um segmento de comprimento π a partir da unidade.
Em 1934, Aleksander Gelfond demonstrou que n´umeros complexos da formaab,sendo
aum n´umero alg´ebrico diferente de 0 e 1 ebum alg´ebrico n˜ao racional, s˜ao todos transcen-dentes, constituindo um avan¸co significativo na teoria desses n´umeros. Assim, o n´umero 2√2, citado na lista dos problemas de Hilbert, ´e transcendente.
Neste trabalho, esbo¸camos uma prova da transcendˆencia do n´umero π, baseada na demonstra¸c˜ao de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59), seguindo as altera¸c˜oes propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Para tanto, iniciamos o trabalho com duas se¸c˜oes de pr´e-requisitos que julgamos necess´arias ao bom entendimento do trabalho.
3
Desigualdade do Valor M´
edio para Fun¸
c˜
oes de Uma
Vari´
avel Complexa
Para demonstrarmos a transcendˆencia de π, precisaremos de um resultado relacionado `as fun¸c˜oes de uma vari´avel complexa chamado deDesigualdade do Valor M´edio. Para tanto, consideremos as seguintes defini¸c˜oes:
Uma fun¸c˜ao de uma vari´avel complexa f : C−→C tem derivada no ponto z ∈ C, se existir o limite:
f′(z) = lim z0→0
f(z+z0)−f(z)
z0
,
sendo z0 ∈C. Chamaremosf′(z) de derivada def em z.
Sejaf(z) =u(x, y) +iv(x, y) com z =x+iy,ou seja, u(x, y) ´e a parte real ev(x, y) a imagin´aria de f(z).
Supondo quef(z) seja anal´ıtica emC,vamos calcularf′(z) considerando valores reais para z0, isto ´e, z0 =h.Assim, z+z0 = (x+h) +iy e, conseq¨uentemente,
f(z+z0) = u(x+h, y) +iv(x+h, y).
Da´ı:
f′(z) = lim z0→0
f(z+z0)−f(z)
z0
= lim h→0
u(x+h, y) +iv(x+h, y)−u(x, y)−iv(x, y)
h
= lim h→0
u(x+h, y)−u(x, y)
h +ihlim→0
v(x+h, y)−v(x, y)
h
= ∂u
∂x(x, y) +i ∂v
∂x(x, y). (1)
Calculando f′(z) usando valores imagin´arios puros para z
0, isto ´e,z0 =ik, temos:
f′(z) = lim ik→0
u(x, y+k)−u(x, y)
ik +iiklim→0
v(x, y+k)−v(x, y)
ik .
Mas ik→0 =⇒k→0 e (i)−1 =−i,ent˜ao:
f′(z) = −ilim k→0
u(x, y+k)−u(x, y)
k + limk→0
v(x, y+k)−v(x, y)
k
=−i∂u
∂y(x, y) + ∂v
∂y (x, y). (2)
Identificando (1) e (2) encontramos as Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann:
∂u
∂x(x, y) = ∂v ∂y(x, y) ∂u
∂y (x, y) =− ∂v ∂x(x, y)
para qualquer z =x+iy em C.
O teorema abaixo estabelece uma esp´ecie de “desigualdade do valor m´edio” para fun¸c˜oes de uma vari´avel complexa, uma vez que o Teorema do Valor M´edio n˜ao ´e ver-dadeiro neste caso. Um fato curioso envolvendo uma demonstra¸c˜ao da transcendˆencia de
π devida a Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2 (1901), pp. 57-59) ´e o fato deste ter usado oTeorema do Valor M´edio para caso complexo.
Teorema 3.1 (Desigualdade do Valor M´edio) Seja f : C−→C uma fun¸c˜ao anal´ıtica e
sejam z1, z2 ∈C. Ent˜ao,
|f(z2)−f(z1)| ≤2|z2−z1|sup{|f′(z1+λ(z2−z1))|: 0≤λ≤1},
Demonstra¸c˜ao
Sejam u(x, y) e v(x, y) as partes real e imagin´aria de f(z) e z0 = x0 +iy0. Assim,
f(z0) =u(x0, y0) +iv(x0, y0) e, particularmente,f(0) = u(0,0) +iv(0,0). Da´ı,
f(z0)−f(0) =u(x0, y0)−u(0,0) +i(v(x0, y0)−v(0,0)) (3) Definamos as fun¸c˜oes ϕ:R→R eψ :R→R de modo que:
ϕ(λ) =u(λx0, λy0)
ψ(λ) =v(λx0, λy0).
Pelo Teorema do Valor M´edio, temos:
½
ϕ(1)−ϕ(0) =ϕ′(λ
1) para algum 0< λ1 <1
ψ(1)−ψ(0) =ψ′(λ
2) para algum 0< λ2 <1 (4)
Com o aux´ılio de (4) e calculando as derivadas das fun¸c˜oes compostasϕ eψ,podemos escrever:
u(x0, y0)−u(0,0) =ϕ(1)−ϕ(0) =ϕ′(λ1) =
∂u
∂x(λ1x0, λ1y0)x0+ ∂u
∂y(λ1x0, λ1y0)y0
v(x0, y0)−v(0,0) =ψ(1)−ψ(0) =ψ′(λ2) =
∂v
∂x(λ2x0, λ2y0)x0 + ∂v
∂y(λ2x0, λ2y0)y0
que substitu´ıdas em (3) fornecem
f(z0)−f(0) =
∂u
∂x(λ1x0, λ1y0)x0+ ∂u
∂y(λ1x0, λ1y0)y0
+i
·
∂v
∂x(λ2x0, λ2y0)x0 + ∂v
∂y(λ2x0, λ2y0)y0
¸
.
Usando a desigualdade|z| ≤ |x|+|y|,sendo |x|e|y|os valores absolutos da parte real e imagin´aria de z =x+iy, temos:
|f(z0)−f(0)| ≤ ¯ ¯ ¯ ¯
∂u
∂x(λ1x0, λ1y0)x0+ ∂u
∂y (λ1x0, λ1y0)y0
¯ ¯ ¯ ¯
+ ¯ ¯ ¯ ¯
∂v
∂x(λ2x0, λ2y0)x0+ ∂v
∂y (λ2x0, λ2y0)y0
¯ ¯ ¯ ¯
.
Usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|h(a1, a2),(b1, b2)i| ≤ |(a1, a2)|.|(b1, b2)| ⇒ |a1b1+a2b2| ≤ q
a21+a22
q
b21+b22,
obtemos:
|f(z0)−f(0)| ≤ s
µ
∂u
∂x(λ1x0, λ1y0)
¶2 +
µ
∂u
∂y (λ1x0, λ1y0)
¶2q
x2 0+y02
+ s
µ
∂v
∂x(λ2x0, λ2y0)
¶2 +
µ
∂v
∂y (λ2x0, λ2y0)
¶2q
x2
Observemos que de (1) temos f′(z) = ∂u
∂x(x, y) +i ∂v
∂x(x, y) e, utilizando as Equa¸c˜oes
de Cauchy-Riemann, temos:
f′(z) = ∂u
∂x(x, y)−i ∂u ∂y (x, y)
f′(z) = ∂v
∂x(x, y) +i ∂v ∂y(x, y)
Aplicando a primeira equa¸c˜ao ao ponto z = λ1z0, a segunda ao ponto z = λ2z0 e, posteriormente, calculando o m´odulo dessas fun¸c˜oes complexas, temos:
|f′(λ1z0)|= s
µ
∂u
∂x(λ1x0, λ1y0)
¶2 +
µ
∂u
∂y (λ1x0, λ1y0)
¶2
|f′(λ
2z0)|= s
µ
∂v
∂x(λ2x0, λ2y0)
¶2 +
µ
∂v
∂y(λ2x0, λ2y0)
¶2
Como |z0|= p
x2
0+y02, retornando a (5):
|f(z0)−f(0)| ≤ |f′(λ1z0)| |z0|+|f′(λ2z0)| |z0|. Mas,
|f′(λ
1z0)| ≤sup{|f′(λz0)|: 0≤λ≤1}
|f′(λ
2z0)| ≤sup{|f′(λz0)|: 0≤λ≤1} (pois 0< λ1, λ2 <0).
Da´ı,
|f(z0)−f(0)| ≤2|z0|sup{|f′(λz0)|: 0≤λ≤1}.
Aplicando o resultado acima `a fun¸c˜ao g(z) = f(z+z1) e ao ponto z0 = z2 −z1, conclu´ımos que
|f(z2)−f(z1)| ≤2|z2−z1|sup{|f′(z1+λ(z2−z1))|: 0≤λ≤1},
o que conclui a demonstra¸c˜ao. ¤
4
Polinˆ
omios Sim´
etricos
Na prova da transcendˆencia de π tamb´em necessitaremos de dois resultados envolvendo polinˆomios sim´etricos.
Um polinˆomio P(t1, t2, ..., tn) ; t1, ..., tn ∈ C ´e chamado sim´etrico se para todas as permuta¸c˜oes σ :{1, ..., n} → {1, ..., n} (que s˜ao as n! bije¸c˜oes de{1, ..., n} em {1, ..., n}), temos:
P (t1, t2, ..., tn) =P ¡
tσ(1), tσ(2), ..., tσ(n) ¢
.
Seja P(x) = (x−t1) (x−t2)...(x−tn), sendo t1, t2, ..., tn ∈ C as ra´ızes de P (x). Podemos escrever P (x) da seguinte forma:
da qual segue, pelas Rela¸c˜oes de Girard, que:
s1 = n P
j=1
tj
s2 =P i<j
titj
s3 = P i<j<k
titjtk
...
sn=t1t2...tn
Os polinˆomioss1, s2, ..., sns˜ao chamadospolinˆomios sim´etricos elementaresemt1, t2, ..., tn.
O grau de um monˆomio atk1
1 ...tknn em t1, ..., tn ´e definido como sendo o valor n P
i=1
ki.
O grau de um polinˆomio em t1, ..., tn ´e definido como sendo o m´aximo dos graus dos monˆomios que o comp˜oe.
O peso de um monˆonio atk1
1 ...tknn ´e definido como sendo o valor n P
i=1
iki. O peso de um
polinˆomio em t1, ..., tn ´e definido como sendo o m´aximo dos pesos dos monˆomios que o comp˜oe.
Baseados nas defini¸c˜oes acima, temos as seguintes proposi¸c˜oes:
Proposi¸c˜ao 4.1 Seja P (t1, ..., tn) um polinˆomio sim´etrico de grau d, com coeficientes
inteiros. Ent˜ao, existe um polinˆomio G(s1, ..., sn) de peso menor ou igual a d com
co-eficientes inteiros, sendo s1, ..., sn os polinˆomios sim´etricos elementares em t1, ..., tn, tal
que:
P (t1, ..., tn) =G(s1, ..., sn).
Demonstra¸c˜ao
(Por indu¸c˜ao em n): Para n = 1, o teorema ´e ´obvio, pois nesse caso s1 = t1. Supon-hamos, agora, que o teorema seja v´alido para polinˆomios em t1, ..., tn−1. Representemos por s1, ..., sn−1 os polinˆomios sim´etricos elementares em t1, ..., tn−1:
s1 = n−1
P
j=1
tj
s2 =P i<j
titj; 1≤i < j ≤n−1
s3 = P i<j<k
titjtk; 1≤i < j < k ≤n−1 ...
sn−1 =t1...tn−1
f(t1, ..., tn) um polinˆomio de grau d. Pela hip´otese de indu¸c˜ao, existe um polinˆomio de peso menor ou igual a d, g1(s1, ..., sn−1), tal que
f(t1, ..., tn−1,0) =g1(s1, ..., sn−1) (6)
Assim, g1(s1, ..., sn−1) ´e um polinˆomio emt1, ..., tn, cujo grau ´e menor ou igual a d.E´ f´acil de ver que g1(s1, ..., sn−1) ´e um polinˆomio sim´etrico emt1, ..., tn. Logo,
f1(t1, ..., tn) =f(t1, ..., tn)−g1(s1, ..., sn−1) (7)
´e um polinˆomio sim´etrico emt1, ..., tn. Provaremos agora quef1(t1, ..., tn) ´e da forma (8), com f2 de grau menor qued, para ent˜ao usarmos a hip´otese de indu¸c˜ao.
Se fizermos tn = 0 em (7), obtemos, em virtude de (6), que
f(t1, ..., tn−1,0) = 0.
Conseq¨uentemente,tn ´e um fator comum emf1(t1, ..., tn). Do fato que f1(t1, ..., tn) ´e sim´etrico emt1, ..., tn,segue-se quetj,para todoj = 1, ..., n,´e fator comum def1(t1, ..., tn). Logo,
f1(t1, ..., tn) = snf2(t1, ..., tn) (8)
e da´ı segue que o grau de f2 ´e menor ou igual a d −n < d. Aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao, temos que existe um polinˆomiog2(s1, ..., sn) de peso menor ou igua a d−n, tal que
f2(t1, ..., tn) =g2(s1, ..., sn). (9)
Finalmente, de (7), (8) e (9) obtemos
f(t1, ..., tn) =sng2(s1, ..., sn) +g1(s1, ..., sn−1),
o que mostra que f(t1, ..., tn) ´e igual a um polinˆomio sim´etrico em s1, ..., sn:
g(s1, ..., sn) =sng2(s1, ..., sn) +g1(s1, ..., sn−1).
O peso de g(s1, ..., sn) ´e menor ou igual a d o que conclui a demonstra¸c˜ao. ¤
Proposi¸c˜ao 4.2 Sejam α1, ..., αj n´umeros alg´ebricos, tais que os polinˆomios sim´etricos
elementares
s1 = n P
j=1
αj
s2 = P i<j
αiαj; 1≤i < j ≤n
...
sn =α1...αn
sejam n´umeros racionais. Considere agora os
µ
n
2 ¶
n´umeros alg´ebricos
βij =αi+αj, 1≤i < j ≤n.
Ent˜ao os polinˆomios sim´etricos elementares associados aos βij ′s s˜ao tamb´em n´umeros
Demonstra¸c˜ao
Seja σ uma permuta¸c˜ao dos inteiros 1, ..., n. Dado um polinˆomio f(t1, ...tn), a ele associamos um outro polinˆomio, que representamos por fσ(t
1, ...tn),assim definido:
fσ(t1, ...tn) = f ¡
tσ(1), ..., tσ(n) ¢
(10)
Em virtude da Proposi¸c˜ao 4.1, basta provar que os polinˆomios sim´etricos elementares nos βij ′s s˜ao polinˆomios sim´etricos nos αj ′s. Seja pois σ uma permuta¸c˜ao dos inteiros 1, ..., n. A express˜ao (10) define uma fun¸c˜ao do conjunto dos polinˆomios nele pr´oprio, fun¸c˜ao esta associada a σ. Vamos representar essa fun¸c˜ao tamb´em pela letra σ. Assim, por 10 temos:
σ(αj) =ασ(j) ; j = 1, .., n.
Se tivermos um polinˆomio qualquer em α1, ..., αn com coeficientes racionais, segue-se de que a a¸c˜ao de σ sobre ele ´e
σ¡Pak1...knα
k1
1 ...αknn ¢
=P
ak1...kn[σ(α1)]
k1
...[σ(αn)]kn
,
sendo os somat´orios tomados sobre todos os inteirosk1, ..., kn ≥0,e tais quek1+...+kn≤
m, sendo m o grau do polinˆomio. A seguir, observemos que σ induz uma permuta¸c˜aoσ′ dos βij ′s assim definida:
σ′(βij) = σ(αi+αj) def
= σ(αi) +σ(αj).
Logo:
σ′(β
ij) =σ(βij).
Para verificar que o primeiro polinˆomio sim´etrico elementar S1 dos βij ′s ´e sim´etrico nos α′s, devemos provar queσ(S
1) =S1. Vejamos:
σ(S1) =Pσ(βij) = Pσ′(βij) =σ′(S1) =S1,
onde utilizamos, na ´ultima igualdade que S1 ´e sim´etrico nos βij ′s. Para os demais polinˆomios sim´etricos elementares, S2, ..., Sn, procedemos de modo an´alogo ao que se fez
em acima. E isso completa a demonstra¸c˜ao. ¤
A Proposi¸c˜ao 4.2 pode ser facilmente generalizada para µ
n j
¶
, j = 3, ..., n n´umeros
alg´ebricos:
βk1,...,kj =αk1 +...+αkj; 1≤k1 < ... < kj ≤n.
Como conseq¨uˆencia, podemos enunciar o seguinte corol´ario:
Corol´ario 4.1 Se os α′s da generaliza¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.2, para j = 3, ..., n, s˜ao as
ra´ızes de um polinˆomio de grau n com coeficientes racionais, ent˜ao os β′s s˜ao ra´ızes de
um polinˆomio de grau
µ
n j
¶
5
Prova da Transcendˆ
encia de
π
Os dois lemas abaixo s˜ao extra´ıdos da prova da transcendˆencia do n´umero e em [5] e usaremo-os na prova da transcendˆencia de π.
Lema 5.1 Seja a fun¸c˜aoF (x) =P(x)+P′(x)+...+P(r)(x) ;em queP(x)´e um polinˆomio
de grau r e P(r)(x) representa a derivada de ordem r de P (x). Ent˜ao,
d dx
¡
e−xF(x)¢
=−e−xP(x).
Demonstra¸c˜ao:
Temos e−xF (x) = e−xP (x) +e−xP′(x) +...+e−xP(r)(x). Ent˜ao,
d dx
¡
e−xF(x)¢
=−e−xP (x) +e−xP′(x)−e−xP′(x) +e−xP′′(x)−e−xP′′(x) +...
+e−xP(r)(x)
−e−xP(r)(x) +e−xP(r+1)(x),
ou seja,
d dx
¡
e−xF(x)¢
=−e−xP(x),
como quer´ıamos. ¤
Lema 5.2 Seja Q(x) = r P
j=0
ajxj um polinˆomio com coeficientes inteiros e seja p < r um
inteiro positivo. Ent˜ao: (i) Q(i)(x) = Pr
j=i
j! (j−i)!ajx
j−i, i≤r.
(ii) 1
(p−1)!Q
(i)(x), p≤i,´e um polinˆomio com coeficientes inteiros divis´ıveis por p.
Demonstra¸c˜ao:
Temos que Q(x) = r P
j=0
ajxj =a0+a1x+...+arxr.
Ent˜ao,
Q(1)(x) = a1+ 2a2x+...+rarxr−1
Q(2)(x) = 2a2 + 6a3x+...+r(r−1)arxr−2
Q(3)(x) = 6a3 + 24a4x+...+r(r−1)(r−2)arxr−3 = 3!
0!a3+ 4!
1!a4x+...+
r! (r−3)!arx
r−3
...
Logo, Q(i)(x) = i! 0!ai+
(i+ 1)!
1! ai+1x+
(i+ 2)! 2! ai+2x
2+...+ r! (r−i)!arx
r−i, ou seja,
Q(i)(x) = r P
j=i
j! (j −i)!ajx
j−i, i
e isso prova a primeira parte.
Quanto `a segunda parte, observemos que os coeficientes de 1 (p−1)!Q
(i)(x) ser˜ao da
forma j! (j−1)!
1
(p−1)!aj,onde aj ´e inteiro. Temos p≤i, p fixo e j =i, ..., r.
No 1o coeficiente, temosj =i e, conseq¨uentemente,
j! 0!
1 (p−1)! =
j(j−1)...p(p−1)!
(p−1)! =j(j−1)...p. No 2o coeficiente, temosj =i+ 1,portanto,
j! 1!
1 (p−1)! =
j(j−1)...p(p−1)!
(p−1)! =j(j−1)...p. No 3o coeficiente, temosj =i+ 2,portanto,
j! 2!
1 (p−1)! =
j(j−1)...p(p−1)! 2.1.(p−1)! =
j(j−1)...p
2 .
Observemos que o numerador tem j−(p−1) = j −p+ 1 fatores. Como i+ 2≥ p+ 2,
temosj ≥p+ 2,ou seja, j−p≥2, o que implicaj−p+ 1≥3.Assim, podemos concluir que o numerador ter´a pelo menos 3 fatores.
No 4o coeficiente, temosj =i+ 3,portanto,
j! 3!
1 (p−1)! =
j(j−1)...p(p−1)! 3.2.1.(p−1)! =
j(j−1)...p
3!
e, nesse caso, o numerador ter´a pelo menos 4 fatores. Generalizando, teremos para j =i+k, k ∈N,
j!
k! 1 (p−1)! =
j(j−1)...p(p−1)!
k!(p−1)! =
j(j−1)...p k! ,
sendo que o numerador tem pelo menos k+ 1 fatores, ou seja,
j −p+ 1 ≥k+ 1 ⇒
j−k+ 1 ≥p+ 1.
Dessa forma,
j!
k! 1 (p−1)! =
j(j−1)...(j−k+ 1) (j−k)...p k!
= j(j−1)...(j−k+ 1)
k!
(j−k)!
(j−k)!(j−k)...p
= j!
k!(j−k)!(j −k)...p =
µ
j k
¶
sendo µ
j k
¶
um n´umero binomial, o que implica µ
j k
¶
∈Z,ou seja, µ
j k
¶
(j −k)...p∈Z e,
portanto, j!
k! 1
(p−1)! ∈Ze ´e divis´ıvel porp.Dessa forma, os coeficientes de 1 (p−1)!Q
(i)(x)
s˜ao n´umeros inteiros divis´ıveis por p. ¤
Teorema 5.1 O n´umero π ´e transcendente.
Demonstra¸c˜ao
Suponhamos que π ´e um n´umero alg´ebrico. Ent˜ao, iπ tamb´em ´e alg´ebrico (produto de alg´ebricos). Logo, iπ ´e raiz de uma equa¸c˜ao polinomial
P1(x) = 0 (11)
com coeficientes inteiros.
Sejam α1 =iπ, α2, ..., αn as n ra´ızes de (11). Como eiπ =−1, segue-se que n
Q
j=1
(1 +eαj) = 0. (12)
Desenvolvendo o produt´orio (12), obtemos uma express˜ao da forma “1+ somat´orio de exponenciais” cujos expoentes s˜ao:
[1] α1, α2, ..., αn;
[2] αi+αj, para todo i < j;
[3] αi+αj+αk, para todoi < j < k; ...
[n]α1+...+αn.
Em [1] temos µ
n
1 ¶
=ntermos, em [2] temos µ
n
2 ¶
termos, em [3] temos µ
n
3 ¶
termos,...,
em [n] temos µ
n n
¶
= 1 termos.
O fato de α1, ..., αn satisfazerem uma equa¸c˜ao polinomial com coeficientes inteiros (P1(x) = 0) implica que:
(a) Pelo Corol´ario 4.1, os n´umeros de [2] satisfazem uma equa¸c˜ao polinomial de grau µ
n
2 ¶
, com coeficientes inteiros:
P2(x) = 0.
(b) Pelo Corol´ario 4.1, os n´umeros de [3] satisfazem uma equa¸c˜ao polinomial de grau µ
n
3 ¶
, com coeficientes inteiros:
P3(x) = 0.
E assim sucessivamente.
Desse modo, os n´umeros [1], ...,[n] satisfazem a equa¸c˜ao polinomial:
com coeficientes inteiros cujo grau ´en+ µ n 2 ¶ +...+ µ n n ¶ = 2n
−1.
(Obs.: Esta ´ultima igualdade segue do fato de que:
(a+b)n = µ
n
0 ¶
an+ µ
n
1 ¶
an−1b+ µ
n
2 ¶
an−2b2+...+ µ
n n−1
¶
abn−1+ µ
n n
¶
bn.
Para a=b= 1, temos:
(2)n= µ n 0 ¶ + µ n 1 ¶ + µ n 2 ¶ +...+ µ n n−1
¶ + µ n n ¶ ,
como quer´ıamos.)
Considerando a possibilidade de alguns dos n´umeros em [1], ...,[n] serem nulos, vamos supor que m deles s˜ao diferentes de zero, representando-os por β1, ..., βm (isto significa que m≤2n−1).
Simplificando (13) de modo que encontremos uma equa¸c˜ao de grau mcujas ra´ızes s˜ao
β1, ..., βm, temos:
R(x) =cxm+cm−1xm−1 +...+c1x+c0 = 0, (14)
sendo ci ∈Z.
Agora, efetuamos o produto de (12) e obtemos
k+eβ1
+...+eβm = 0, (15)
sendo k ∈N.
Consideremos o polinˆomio
P (x) = c s
(p−1)!x
p−1(R(x))p
, (16)
sendos=mp−1 epum n´umero primo grande a ser escolhido posteriormente. Observemos que o grau de P ´er= (p−1) +pm=s+p.
Seja:
F (x) =P (x) +P′(x) +...+P(r)(x).
Desta forma, devido ao Lema 5.1:
d dx
¡
e−xF(x)¢
=−e−xP(x). (17)
Ao aplicarmos o Teorema 3.1 `a fun¸c˜aof(z) = e−zF (z) e tomandoz
2 =βj, j = 1, ..., m e z1 = 0, obtemos:
|f(βj)−f(0)| ≤2|βj|sup{|f′(λ(βj))|: 0≤λ≤1}.
Usando (17):
¯
¯e−βjF (βj)−F (0) ¯
¯≤2|βj|sup ©¯
¯e−λβjP (λβj) ¯
¯: 0≤λ≤1 ª
. (18)
Definemos
εj = 2|βj|sup ©¯
¯e(1−λ)βjP(λβj) ¯
¯: 0≤λ ≤1 ª
Ent˜ao, de (18) temos:
¯
¯F (βj)−eβjF (0) ¯ ¯≤εj.
Observemos que desta inequa¸c˜ao, para cada j = 1, ..., m,temos:
¯
¯F (β1)−eβ1F (0) ¯ ¯≤ε1 ¯
¯F (β2)−eβ2F (0) ¯ ¯≤ε2 ...
¯
¯F (βm)−eβmF (0) ¯ ¯≤εm
(20)
E como de (15) temos k =− m P
j=1
eβj,do somat´orio de (20) obtemos
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
kF (0) + m P
j=1
F(βj) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
≤
m P
j=1
εj (21)
Agora vamos mostrar que o lado esquerdo de (21) ´e um inteiro n˜ao nulo, e que o lado direito, para algum p primo grande, ´e menor que 1; gerando, assim, uma contradi¸c˜ao.
Observemos que P (x) = c s
(p−1)!x
p−1(R(x))p
conforme definido em (16) ´e da forma
P (x) = c s
(p−1)! ¡
cp0xp−1+bxp +...¢
= c
s
(p−1)!H(x). (22)
Temos:
P(i)(0) = 0, para i < p−1.
Neste caso em qualquer derivada de ordem i, o polinˆomioH(i)(x) apresentar´a potˆencias dex em todos os termos do seu somat´orio. Da´ı, H(i)(0) = 0.
Temos ainda:
P(p−1)(0) =cscp0,
pois a derivada de ordem (p−1) de H(x) ser´a H(p−1)(x) = cp
0(p−1)! +bp!x+... Como R(βj) = 0, j = 1, ..., m,ent˜ao:
P(i)(βj) = 0, i < p, (23)
pois, R(x) ´e fator comum nestas derivadas.
Observando que o polinˆomio Q(x) = (p−1)!P(x) possui grau maior que p e coefi-cientes inteiros, pelo Lema 5.2 os coeficoefi-cientes de 1
(p−1)!Q
(i)(x) = P(i)(x), para i ≥ p, s˜ao inteiros divis´ıveis por p.
Observemos tamb´em que todos os termos de P(x) s˜ao m´ultiplos de cs. Ent˜ao:
Todos os coeficientes de P(i)(x), i≥p, s˜ao inteiros divis´ıveis por pcs. (24)
Portanto,
pois
F(x) = P(x) +P′(x) +...+P(p−2)(x) +P(p−1)(x) +P(p)(x) +...+P(r)(x)=(22)
⇒
F (0) = 0 + 0 +...+ 0 +cscp0+P(p)(0) +...+P(r)(0) =(24)⇒
F (0) =cscp0 +pcsk0,
sendo k0 ∈Z.
Observemos que:
F (βj) =P (βj) +P′(βj) +...+P(r)(βj) (23)
= P(p)(βj) +...+P(r)(βj).
Conseq¨uentemente:
m P
j=1
F(βj) = m P
j=1 P
i≥p
P(i)(βj) = P
i≥p m P
j=1
P(i)(βj). (25)
Por um momento vamos considerar a express˜ao:
m P
j=1
P(i)(βj), (26)
para cada i fixado, com p≤i≤s+p.
Por (24), o polinˆomio P(i)(x) tem coeficientes inteiros divis´ıveis por pcs. Como P (x) tem grau s+p, ent˜ao P(i)(x) tem grau s+p−i≤s, poisp≤i.
Portanto, podemos escrever (26) da seguinte forma:
m P
j=1
P(i)(βj) =pcsT (β1, ..., βm), (27)
sendo T (β1, .., βm) um polinˆomio nos βj ′s de grau menor ou igual a s.
Desta forma, para cada i, temos que m P
j=1
P(i)(βj) ´e um polinˆomio sim´etrico nos β j ′s
com coeficientes inteiros, poisT (β1, .., βm) assim o ´e.
Pela Proposi¸c˜ao 4.1, existe um polinˆomioG(σ1, ..., σn) de peso menor ou igual ascom coeficientes inteiros, sendo σ1, ..., σnos polinˆomios sim´etricos elementares emβ1, .., βm,de modo que:
T(β1, ..., βn) =G(σ1, ..., σn). (28)
Pela defini¸c˜ao de polinˆomios sim´etricos elementares, temos que:
σ1 = m P
j=1
βj
σ2 =P i<j
βiβj
...
σn=β1β2...βm
Como β1, β2, ..., βm s˜ao ra´ızes de P(x) = cxm+cm−1xm−1+...+c0 segue-se que:
−cmc−1 = m P
j=1
βj
cm−2
c =
P
i<j
βiβj
...
(−1)m c0
c =β1β2...βm
. (30)
Igualando os sistemas (29) e (30) temos:
σ1 =−
cm−1
c σ2 =
cm−1
c ... σm = (−1)
mc0
c
. (31)
Portanto, de (27), (28) e (31), temos que a express˜ao (26) ´e um inteiro divis´ıvel porp
e, consequentemente, (25) ser´a dado por
m P
j=1
F (βj) = pk1,
sendo k1 ∈Z.
Tomando o lado esquerdo de (21) temos
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
kF(0) + m P
j=1
F (βj) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=|k(cscp0+pcsk0) +pk1|
=|p(csk0k+k1) +kcscp0|
=|pK+kcscp0|, (32)
sendo K =csk0k+k1.
A partir de agora consideremos o n´umero primo p maior que k, ce c0. Logo, o inteiro (32) n˜ao ´e divis´ıvel porp(poisp6 |kcscp
0 ep|pK ⇒p6 | |pK+kcsc p
0|) e, consequentemente, ´e diferente de zero.
Vamos calcular uma estimativa para o termo no lado direito de (21), isto ´e, m P
j=1
εj.
Seja:
M = max{|β1|, ..,|βm|}. Como:
εj (19)
= 2|βj|sup ©¯
¯e(1−λ)βjP (λβj) ¯
¯: 0≤λ≤1 ª
,
temos:
εj ≤2Msup ©¯
¯e(1−λ)MP (λβj) ¯
¯: 0≤λ ≤1 ª
⇒
εj ≤2M eMsup ½¯
¯ ¯ ¯
cs
(p−1)!(λM) p−1
(R(λβj))p ¯ ¯ ¯ ¯
: 0≤λ≤1 ¾
⇒
εj ≤2M eM |
c|s
(p−1)!M
p−1sup
Seja:
N = max{|R(z)|:|z|< M}.
Da´ı:
εj ≤2M eM |
c|s
(p−1)!M p−1Np
e, comos =mp−1, temos:
εj ≤2M N eM |c|
m−1 (M N|c| m
)p−1 (p−1)! e
lim
p→∞2M N e M
|c|m−1 (M N|c|
m )p−1
(p−1)! = 2M N e M
|c|m−1 lim p→∞
(M N|c|m)p−1 (p−1)! = 2M N eM|c|m−1.0
= 0,
pois o fatorial majora qualquer exponencial, isto ´e, lim n→∞
An
n! = 0 para qualquerA >0. Logo, para algum p suficientemente grande, podemos fazer εj <
1
m+ 1,da´ı temos m
P
j=1
εj ≤
m
m+ 1 <1. (33)
Lembremos que (21) ´e : ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
kF(0) + m P
j=1
F(βj) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
≤
m P
j=1
εj.
Mostramos, portanto, que o lado esquerdo ´e um inteiro n˜ao divis´ıvel porp; Conseq¨ uen-temente, n˜ao nulo e de (33), temos que o lado direito ´e menor que 1. Uma contradi¸c˜ao que surge do fato de supormos que π ´e alg´ebrico. Logo,π n˜ao pode ser alg´ebrico, isto ´e,
π ´e transcendente.
Referˆ
encias
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[3] Gundlach, B. H. T´opicos de Hist´oria da Matem´atica para Uso em Sala de Aula. N´umeros e Numerais. Trad. Bras. v.1, S˜ao Paulo, SP: Atual, 1992.
[4] Niven, I. N´umeros: Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matem´atica (SBM). Cole¸c˜ao Fundamentos da Matem´atica Elementar, 1984.
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FAMAT em Revista, N´umero 03. Setembro de 2004. (www.famat.ufu.br)
