P r in c íp io fu n d a m e n ta l d a
c o n ta g e m
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBASe existem x maneiras de se tomar uma decisão 0zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1e, para cada uma delas,ymaneiras de se tomar uma decisão02'então o número
de maneiras de tomarmossucessivamente as decisões01e02 é dado por x .y.
Esseprincípioéválido para qualquer número de decisõessucessivas.
F a to r ia l
o
fatorial de um número natural nz 2 éindicado por n! e definido como sendo o produto de n por todos os números naturais positivos que o antecedem.n!=n ·(n-1)·(n-2) '".·1
P e r m u ta ç õ e s
Permutacões simules
o
número de permutações simples de n elementos distintosé indi-cado porPne dado porPn= n!.o
número de permutações de n elementos tais que um ou mais deles são repetidos é indicado por Pnu,p, ... e dado por pll,!},,,. = __n!_.n a!.(3!.".
Na indicação Pnu,p, ... ,a,(3,e assim por diante, representam as quantidades devezes que os elementos repetidos aparecem.
Para obter o número de permutações circulares dos n elementos, que indicamos por(PC)n' dividimos o número de permutações sim-ples por n.
(PC) =~=.Q!=n.(n-1)!
n n n n
(PC)n =(n-1)!
C o m b in a ç õ e s s im p le s
o
número de combinações simples de n elementos tomados p a p édado por:cP n!
n p!.(n-p)!
A r r a n jo s s im p le s
o
número de arranjos simples de n elementos tomados p a pé dado por:AP=_n_!_ n (n-p)!
B in ô m io d e N e w to n
1 0
ca
o
Triângulo de Pascaléformado pelos valores de (~ , organizados em linhas e colunas.(0
°
(0 (1 1 1
(0 (1 (~
2 2
(0 (1
(~ (j 3 3
(~ (14 (24 (~ (44
(0 (1 (2
(~ (4 (5
5 5 5 5 5
(0 (1 (2
(~ (4 (5 (6
6 6 6 6 6 6
(~ (17 (~ (~
(j
(57 (67(;
(0 (1 (2(~ (4 (5 (c (7
(~
8 8 8 8 8 8 8
• Relação de Stifel
(~~i
+(~-1 =(~• Soma dos elementos de uma mesma linha (~ + (~ + (~ + . " + (~ =2n
e
(x + y)n = x" + (~ . xn-1. y 1+ (~. Xn-2 . y2 + ... +
v"
ou
n
(X+y)"= L(~· xn-p.yp p=o
P r in c íp io fu n d a m e n ta l d a
c o n ta g e m
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1. Mariana tem em seu guarda-roupa 5 blusas, 4 saias e 6 sapatos. Determine de quantos modos ela pode
escolher uma peça de cada tipo.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o
total de modos que Manana pode escolher uma peça de cada tipo é 5 . 4 . 6=
120.2. Existem 3 opções de rota para ir da cidade A até a cidade B e 5 opções de rota para ir da cidade B até a cidade C. Determine quantas maneiras existem de ir da cidade A até a C e depois retornar à cidade A, passando sempre pela cidade B, sem utilizar a mesma via duas vezes.
Como o caminho éde Ida e volta e respeitando a condiçao de que a via utilizada na ida nao pode ser utilizada na volta,
o total de possibilidades é
U' U -
120.IDA VOLTA
3. Seis garotos, entre os quais estão Márcio e Carlos, vão disputar um campeonato de bolinha de gude. Sabe-se que, na classificação final, não existe empate. Um dos meninos presentes fez a seguinte aposta:
- Márcio não seria o campeão e Carlos não seria o últi-mo colocado.
Determine:
a) o total de possibilidades para a classificação do campeonato;
6 5· 4 . 3 2· 1 720possibilidades diferentes para a classificação dos 6 garotos.
b)
em quantas das possíveis classificações o garoto ganha a aposta.. Do total de POSSibilidades, devemos oesconsicerar aqce'as em que Marcio éo campeao ou Carlos e c U:tl:T'O coiocado
Mareio éo campeao. M
Onúmero de possibilidades é 5 4 3 2 I 12C
Carlos éo último colocado. C O numero de possibilidades é 5 4 ::s 2· 1")
Em cada um dos doscasos artenores cortab zanosas classificações em que Márcio éocampeão e Ci.\r o r o li timo colocado e portanto devemos subtrair uma VEZ esse
iunero depossíb ucaoes
M C 4 3 2 1 24
Assim o número de possibi .daoes lavorave s o g-'c'
emsua aposta e.720 (120 12C 24 'iC4
Observação' outra possível maneira de OOtE o resuln
do c fixar a posição dE um dos dOi M!1r10 c Car :JS)
e calei, a os nuneros de oossc« danes tavorave Por exemplo, vamos fixar as posiçoes de M2 cç
EXistem 4 possibilidades para a posiçao de Canos
M 4 4J 2 1 96
c 1 3 1 ."
• t
EXistem 4 possimlidaões para a posiçac 1e Carlos
[M] ~ ~ 4 3 2 1 96
C rimars
Existern 4 posséíüoades para a posiçac de Carlos
J
[M] 4 4 3·2 1 .96Existem 4 possibilidades para a POSIÇflOde Carlos M 4 4 3 2 1 96
Existem 5 pos Ibl Idades para a posição dO)Carlos
r M í ~3 2 1 120
de
.a
Assim, o número de possibilidades faoráv' ao qarnt em sua aposta e
4.
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACom os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, determine:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa ) quantos números de 4 algarismos podem ser
formados;zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~ [Ç1
[Q][ill
5 . 5 . 5 . 5 ==625b ) quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados;
LUM:cJ
[QJ ~5· 4· 3 .2 ==120
c ) quantos números pares de 4 algarismos distintos podem ser formados;
Para satisfazer àcondição do item, o algarismo da unidade deve ser" par, portanto este só pode ser 2. 4 ou 6 (3 possi-bilidades) Assim'
UM
CllD [Q!
4 3 2·3 ==72
d ) quantos números de 4 algarismos podem ser
formados de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais.
Para solucionar esse. item, basta calcular o total de nú-meros de quatro algarismos possíveis de ser escritos e subtrair as possibilidades em que todos os algarismos são diferentes. Portanto:
UM C
º
JlJ
5 . 5 5· 5 ==625
LUM ~
&][ill
5 .4 . 3 .2 ==120
Assim, o total de possibilidades em que pelo menos dois algarismos são iguais é 625 - 120 =505.
5 .Um artesão confecciona tapetes listrados formados por 5 listras coloridas. Ele dispõe de listras com 4 cores di-ferentes. Sabendo que listras consecutivas não podem ter a mesma cor, determine:
a ) o total de modelos de tapetes possíveis;
Como listras consecutivas não podem ter a mesma cor. para a primeira. existem 4 possibilidades de cor: para a segunda. existem 3: para a terceira, existem 3 também, pOIS a cor que foi utilizada na primeira listra pode ser utilizada novamente: o mesmo ocorre com a quarta e a quinta listras. Portanto, existem 4 . 3 . 3 . 3 . 3 ==324 modelos de tapetes diferentes.
V O Il.1 It 1 1 ! E 7
b) Onúmero de tapetes em que a cor da primeira listra
éigual àda última;
Como a primeira listra precisa ter a mesma cor da última, a escolha da cor da primeira listra faz com que a última tenha somente uma possibilidade de cor, im-pedindo que ela seja utilizada na segunda e na quarta listras, ficando disponível somente para a listra do meio. Se essa listra tiver a mesma cor escolhida para as pontas, entre as 4 possíveis (A, B, C e D), ficam 3 opções para a segunda listra e3opções para a quarta listra:
I
AI
B, C ou DI
AI
B, C ou DI
A Portanto, existem 4 . 3 . 1 .3 .1 =36 modelos de tapetes diferentes nessas condições.Se a listra do meio não tiver a mesma cor utilizada nas pontas, teremos 3opções para a segunda listra:
I
A
IB,COUDI
I
I-A-2opções para a do meio:
I
AI
Bl-c
ou-DI
I
AE 2 opções para a quarta listra:
I
AI
BI
CI
B ou DI
APortanto, existem 4· 3 . 2 . 2 . 1=48 tapetes diferen-tes nessas condições.
Desse modo, o número de modelos diferentes com a cor da primeira listra igual à da última totaliza 36+48
=
84.c ) O número de tapetes em que se utilizam somente duas cores.
Os tapetes que são confeccionados com 2 cores são aqueles em que a primeira, a terceira e a quinta listras devem ter uma cor e a segunda e a quarta listras devem ter outra cor. Portanto, existem 4 . 3 . 1 . 1 . 1 == 12 modelos de tapetes diferentes confeccionados com so-mente 2 cores.
6 .Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-Ios, determine:
a ) quantos números com 4 algarismos podemos formar;
Nesse grupo de algarismos, temos o zero, que não pode ser o algarismo da unidade de milhar, pois o número formado teria três algarismos, não quatro. Assim:
[QM]
[Ç]
[QJ[ill
b)
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAquantos números com 4 algarismos e múltiplos de 5 podemos formar;Para que o número formado seja múltiplo de 5, o algaris-mo da unidade deve ser O ou 5. Há 2 casos a considerar: I. o número termina com O e, além disso, o O não pode
ocupar a posição da unidade de milhar.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
[QM] [Ç]
[Q][Q]
6 . 5 .4 .1
=
12011.O número termina com 5. Nesse caso, o 5 e o O não podem ocupar a posição da unidade de milhar.
[Q'M]
[Ç]
[Q] ~5 . 5 . 4 . 1 =,1 00
Portanto, existem 120 + 100 = 220 múltiplos de 5 com quatro algarismos.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
c ) quantos números compreendidos entre 1 000 e 5 000 podemos formar;
o
algarismo da unidade de milhar só pode ser ocupa-do pelos algarismos 1, 2,3 ou 4. Assim:[QM] [Ç] [Q] [ill
4 . 6 . 5 . 4 =480 números possíveis entre 1 000 e5 000.
d ) quantos números compreendidos entre 50 e 1 500 podemos formar.
Nesse item, temos 3 tipos de formação.
I. Números com 2 algarismos: o algarismo da dezena so pode ser ocupado pelos algarismos 5 ou 6.
[Q][ill
2·6 =12
Desse total, devemos desconsiderar o número 50. Por-tanto, tem-se 12 - 1 = 11 numeros com 2 algarismos
11. Números com 3 algarismos: o algarismo O não pore ocupar a posição da unidade de milhar.
[Ç][Q][ill
6·6, 5 = 180
111.Números com 4 algarismos: o algarismo da unidade de milhar só pode ser 1 e o algarismo das centenas tem que ser menor que 5.
[QM]
[g
[Q] [ill
1·4·5·4
=
80Portanto, há um total de 11+ 180 +80 = 271 números possíveis entre 50 e 1 500.
(ACAFE - SC) Com base no texto abaixo, responda às questões 7 e 8.
o
sistema binário ou de base 2 é um sistemade numeração posicional em que todas as
quantidades se representam com base em
dois números, ou seja, zero e um (O e 1)
Os computadores digitais. trabalham interna-mente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sisternabiná-rio (aceso, apagado). Corh efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálcu-lo, com o auxílio da lógica booleana. Em
com-putação, chama-se um dígito binário (Oou 1) de
bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupa-mento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits, ainda, é cha-mado de nibble.
[ ...]
O matemático indiano Pinga Ia apresentou
a primeira descrição conhecida de um
sistema numérico binário no século III a.C.,
representando os números de O a 7 com a
sequência (usando símbolos modernos) 000,
001,010, Oll, 100, 101, llO e lll.
r. ..]
Por exemplo, o número binário 101001l
representa o número decimal 83. É difícil
dizer imediatamente, por inspeção do número,
qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns
minutos, usando os procedimentos descritos
anteriormente, pode-se prontamente calcular
seu valor decimal. A quantidade de tempo que
leva para converter ou reconhecer um número
binário é uma desvantagem no trabalho com
este código, a despeito das numerosas vantagens de "hardware".
r...]
O "American Standard Code for lnformation
lnterchange" comumente referido como
ASCII - também chamado ASCII completo,
ou ASCII estendido -, é uma forma especial
de código binário que é largamente utilizado
em microprocessadores e equipamentos de
comunicação de dados.
Um novo nome para este código que está
se tornando popular é "American National
Standard Code for Information Interchange"
(ANSCIl). Entretanto, utilizaremos o termo
consagrado, ASCII. Éum código binário que é
usado em transferência de dados entre
micro-processadores e seus dispositivos periféricos, e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de [...].
7 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAÉ correto afirmar que os 7 bits do código ASCII permi-tem representar um total de:
a ) 256 caracteres diferentes.
b ) 64 caracteres diferentes.
c ) 1 024 caracteres diferentes.
xd ) 128 caracteres diferentes.
Como o sistema binário admite duas possibilidades de dígitos na sua formação (O ou 1), o total de
possibilida-des para o código de 7 bitszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
=
128caracteres diferentes.8 . Como você viu no texto, o número binário 101 equi-vale ao número decimal 5. Para se fazer a conver-são do número binário (que consiste em um sistema numérico de base 2), você pode seguir o exemplo abaixo:
O número binário 101 em decimal é 1· 22+0.21 +1· 2° ,
ou seja, corresponde ao número decimal 5.
Assim, é correto afirmar que o código ASCII 1011 011 é equivalente ao número decimal:
a ) 113
x
b ) 9 1c ) 45
d ) 5 4
o
código apresentado é:1· 26+ O. 25+ 1· 24+ 1· 23 O. 22.•.1·i+-1 .2°
1· 64+0· 32 + 1· 16+ 1· 8+0· 4 + 1· 2+ 1· 1
64+0+ 16+8..-0+2+ 1=91
. 9 . (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum
encontrar-mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de
diferen-tes cores, formando desenhos. Um
artesão deseja fazer peças com
areia de cores cinza, azul, verde e
amarela, mantendo o mesmo
de-senho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.
O fundo pode ser representado
nas cores azul ou cinza; a casa,
V O I I A I I I t l E 7
,
nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é
a ) 6 ..
xb)7.
c ) 8.
d ) 9 .
e ) 10.
o
problema pode ser dividido em duas possibilidades. 1~) Se o fundo for azul, a casa poderá ser verde ou amarela e a palmeira poderá ser cinza ou verde, assim temos 1 . 2 . 2=
4 possibilidades.2~) Se o fundo for cinza, a casa poderá ser azul, verde ou amarela e a palmeira poderá ser somente verde, assim temos 1 . 3 . 1=3 possibilidades.
Portanto, o número de variações que podem ser obti-das para a paisagemé7.
1 0 .(ENEM) O código de barras, contido na maior parte
dos produtos industrializados, consiste num conjun-to de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Ouando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número O e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direi-ta irá ler: 01011010111010110001.
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquer-da irá ler: 10001101011101011010.
No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual àda direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.
esquer-da para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas
as escuras, é:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a ) 14.
b) 12.
c ) 8.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x
d ) 6 .e ) 4 .
A leitura do código de barras deve ser a mesma da es-querda para a direita e da direita para a eses-querda. Assim, a primeira barra deve ser igualàquinta e a segunda deve ser igualàquarta, ou seja, a partir do momento em que a primeira barraécolorida, a quinta só tem uma possibilida-de possibilida-de cor e o mesmo acontece com a quarta barra quando se colore a segunda. Assim, temos 2 . 2 . 2 . 1 . 1
=
8 possibilidades ao todo. Como não são considerados os códigos em que todas as barras são claras ou escuras, temos 8 - 2=6 possibilidades ao todo.1 1 .No Brasil, as placas de automóveis são compostas de 3
letras das 26 existentes no nosso alfabeto associadas a 4 algarismos.
Com relação à composição dessas placas, assinale V se a afirmação for verdadeira e F se ela for falsa.
a ) (v) O total de placas possíveis é 263 .104.
b) (F ) O total de placas possíveis iniciadas por vogal é 5.263.103
.
c ) (v) O total de placas possíveis com letras e algaris-mos distintos é 78 624 000.
d ) (F) O total de placas possíveis, sendo todas as le-tras vogais, é 15.104
e ) (v) O total de placas possíveis compostas somente
de consoantes e algarismos primos é 28 .33 .73.
b) Falsa. O total de placas iniciadas por vogal é
5.262.104 .
d) Falsa. O total de placas possíveis, sendo todas as le-tras vogais,é 53.104 .
1 2 .(FAE - PR) Com os números 1, 2, 4, 5, 6 e 8,
quan-tos números de quatro algarismos distinquan-tos podemos formar, sabendo que o algarismo das unidades é um número primo?
a ) 60
b) 1.00
e ) 240
x
c ) 120d ) 180
[QM][Ç]illJillJ
5 4· 3 2 = 120
o algansmo das Unidadeséum número pnmo: 2 ou 5
1 3 .(UEM - PR) Uma senha bancária é composta de 3 (três)
dígitos que podem variar de O a 9 (zero a nove). Assina-le o que for incorreto.
a ) Se uma possível senha é testada a cada segundo, então todas as possíveis senhas serão verificadas em menos de 17 minutos.
xb) Há mais de mil possíveis senhas distintas.
c ) Existem apenas 10 senhas com todos os dígitos idênticos.
d) Há 720 senhas com todos os dígitos distintos.
e ) Há 100 senhas identificadas com números menores que o número 100 (cem).
a) Correto. O número total de senhasé10 . 10 . 10
=
=1 000.
Como a cada segundoétestada uma senha, todas as senhas possíveis levarão 1 000 segundos
=
16 minutos e 40 segundos para ser testadas.b) Incorreto. Há exatamente mil posslveis senhas distintas.
c) Correto. São 10 senhas com todos os dígitos idên-ticos: 000, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 ou 999.
d) Correto. O número total de senhas com todos os dígi-tos distindígi-tosé10 . 9 . 8=720.
e) Correto. O número total de senhas identificadas com números menores que o número 100é1 . 10 . 10=100.
1 4 .(UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos
cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser
compostas dessa forma?ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
S E N H A :
DD~DD
dígitos centrais
x a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA106 - 12 · 104
b) 106 -12
c) 106-12.102
d) 104- 12 . 102
e) 104 -12
o
número total de senhas é 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106 .O número total de senhas que não atendem ao critério de segurança é
1010 12
---' os dOISdigltos centrais não podem corresponder aos
doze meses do ano
10·10= 12.104
Assim, o total de senhas possívei atendendo aos crité-rios de segurança é 106
- 12.104
15. (ENEM) A bandeira de um estado éformada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.
-I
A
B
C
D
E
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor. O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é:
a) 1 . 2 . 1 . 1 . 2.
x
b) 3 . 2 . 1 . 1 . 2.c) 3 . 2 . 1 . 1 . 3.
d) 3 . 2 . 1 . 2 . 2.
e) 3 . 2 . 2 . 2 . 2.
A
3
B C
2 1
D
E
1 2
Não pode ter a Não pode ter as cor de A. cores de A e B.
-
-Não pode ter as Não pode ter a cores de A e C cor deO
16.(ENEM) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, 11,
111, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro
quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que
VOIVlVYtE 7
podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito En-redo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento er:n que faltava somente a di-vulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quesitos 1. Fantasia 2. Evolução 3. Enredo 4. Bateria e Alegoria e Conjunto e Harmonia Total
Jurado A B A B A B A B
Escola
6 7 8 8 9 9 8 55
I
Escola
9 8 10 9 10 10 10 66
"
Escola
8 8 7 8 6 7 6 50
111
Escola
9 10 10 10 9 10 10 68
IV
Escola
8 7 9 8 6 8 8 54
V
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola li?
a) 21
b) 90
e)3 125
x c) 750
d) 1250
I. As escolas I,111e V não podem ser campeãs, pois o
núme-ro máximo de pontos que podem conseguir é 65, 60 e 64, respectivamente.
11.Em caso de empate da escola11com a escola IV no
que-sito Bateria, a escola11será campeã, pois ganha da escola IV no quesito Enredo e Harmonia.
111.A escola11será campeã se as pontuações de11e IVforem:
Escola11 Escola IV
10 8
10 7
10 6
9 7
9 6
8 6
IV.Em cada uma dessas 6 possibilidades, as outras 3 esco-las podem ser avaliadas de 5 possíveis maneiras. O número de configurações possíveis é: 6 . 5 . 5 . 5 = 750.
1 7 .(UERJ) Considere a situação abaixo:
Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sa-bem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.
A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. Há, portanto, 12 x 6 =72 modos de formar um casal.
Essa solução está errada. Apresente a solução correta.
Há 6 possibilidades de escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades de escolher um homem.
Portanto, o número de maneiras distintas de formar um
ca-sal é dado por 6 . 6 = 36.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F a t o r ia l
8 .Calcule o valor das seguintes expressões:
a ) 5! + 4! - 3!
5 . 4 . 3 . 2 . 1 + 4 . 3 . 2 . 1 - 3 . 2.' 1 120 + 24 - 6
138
2! ·1!
b )
Ü!
2!.1!=~=2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
O! 1
8!·10!
c ) 6! .12!
8·7·6!·10! 8·7 14
--=-6!12·11·10! 1211 33
50!+ 48!
d ) 48!
50·49·48!+48! 50.49+1=2450+1=2451
48! 1
100!-98!
e ) 98! + 99!
100·99·98!-98! 100·99-19900-19899
--=--98! + 99 . --=--98! 1+ 99 100 100
1 9 .Simplifique as expressões a seguir:
(k-3)!
a ) (k-4)!
(k-3)·(k-4)! =k-3 (k-4)!
(p - 3)!
b )
(p
-1)!(p-3)! 1 1
(p-1),(p-2).(p-3)! (p-1),(p-2)- p2-3p+2
n!+(n-2)!
c )
(n
-1)!n.(n-1).(n-2)!+(n-2)!_n.(n 1)+1 n2-n+1
(n-1).(n-2)! - (n 1) n-1
(n + 1)! + (n -1)!
d ) (n + 1)! - n!
(n + 1). n . (n - 1)! + (n -1)!
(n + 1).n- (n -1)! - n· (n -1)!
n2+ n+1 n2+ n + 1 n2 + n -n - n2
(n+1).n+1
(n + 1)' n - n
2 0 .Calcule o valor de n de modo que 5 000 < n!<5 500.
Para resolver esta questão, é possível fazer as multiplica-ções dos números naturais na ordem inversa àque usa-mos para desenvolver um fatorial, até chegar a um valor que pertença ao intervalo. Nesse caso, temos:
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5040 , portanto n = 7.
'-""" 2
'----v--'
6 ~
24
'--v---'"
120 ~
720
M .\t E IN l& t ic & _ .•
~J
2 1 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAResolva as equações a seguir:
(x-6)!
a )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(x _
5)!=1(x 6)!
(x 5)·(x-6)!
_1_=1 (x-5)
1= x-5
x=6
b ) (x - 2)!. (x -1)! =12· (x -4)!
{x
-1)!(x- 2).(x-3) (x-4)!·(x 1)!=12·(x 4)1·(X 1)'
(x-2).(x-3) 12
x2 3x - 2x
-t-6 - 12 =o
x2 5x -6=0 a-1; b=-5;c--6
.~=(-5/ -4·1(-6)
~-25+24
~=49
-(-5)±J49
x=
----"---'---21 5±7
x=-2
5+ 7 12 5-7 -2
x,=-=-=6 ou x2=-= = 1
2 2 2 2
x não pode ser -1, pois x - 1, x - 2 e x - 4 resultariam em números negativos e fatorial sóédefinido para nu-meros naturais. Portanto, x = 6.
(n+1)! - n! ( )
c ) = n-1 !
7n
(n"'1) n(n-1)I-n(n-1)1=7n (n-1)!
(nt1). n - n - 7n
n2+n - n - 7n = O
n2-7n O
n (n - 7) = O~ n = O ou n = 7
n não pode ser zero, pois n - 1 resultaria em número negativo e fatorial sóédefinido para números natu-rais. Portanto, n = 7
VOIl.1WlE
7
2 2 . (UFAC) Seja n um número inteiro tal que satisfaz a
igualdade 7! = 8·(n -1)! - 720. Então, vale que:
a ) néum número natural maior que 10.
b ) néum número par.
x
c )n
éum número ímpar.d ) néum inteiro quadrado perfeito.
e ) néum número natural menor que 6.
7! 8·(n-1)!-720
5040 8·(n 1)1 720
5760 8·(n 1)1
[n 1)!=720
(n 1)! 61
n 1 6
n 7
P e r m u ta ç õ e s
2 3 . Considere a palavra BRINQUEDO e responda às
ques-.... tões propostas.
a ) Qual o total de anagramas possíveis de serem formados?
9 letras distintas. Pg- 9! 362880.
b ) Quantos dos anagramas iniciam com a letra R?
R
Ps 8! 40320
c ) Quantos dos anagramas iniciam e terminam com vogal?
vogal_ _ _ vogal
~-~~
4 P7 3
4P7·3 4·5040·3 60480
d) Quantos dos anagramas iniciam com consoante?
consoante ----...--- ~
5 P~
e )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQuantos dos anagramas têm as letras E, D e O jun-tas e nessa ordem?
Como as letraszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE, D eO necessitam estar juntas e nes-sa ordem, elas devem ser consideradas uma única letra.
que associada às outras 6 letras da palavra, configura uma permutação de7letras.
P7-7!-5040
f) Quantos dos anagramas têm as letras E, D e O juntas?
As letrasE, DeOnecessitam estar juntas, mas não ne-cessariamente nessa ordem. Portanto, elas devem ser consideradas uma única letra, que, associada às outras6
letras da palavra, configura uma permutação de7 elemen-tos. Considerando as trocas possíveis entre as letrasE. D eO,temos uma permutação de3elementos. Chegamos à resposta multiplicando essas duas permutações:
P7· P3 7! .31 5040 6 30240
2 4 . Uma família pretende tirar uma foto com os seus seis
integrantes (pai, mãe e quatro filhos, todos posiciona-dos lado a lado, sentaposiciona-dos em um banco).
a ) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto?
P6 6!-720
b ) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto de tal forma que os filhos fiquem sempre entre o pai e a mãe?
pais pais
'-.--'--v----''-v--'
2 P
4 1
2· P4· 1 2· 24· 1 48
c) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto de tal forma que o pai e a mãe fiquem sempre juntos?
Como os pais têm que ficar juntos, eles devem ser con-siderados uma única pessoa, que, associada aos quatro filhos, configura uma permutação de5elementos. Mul-tiplicamos essa permutação pelas trocas possíveis entre o pai e a mãe, queéuma permutação de2elementos:
P~,P2-5!· 2!-120· 2 240
2 5 .(UFSCAR - SP) Cinco amigos, João, Pedro, Antônio,
Carlos e José, irão caminhar por uma trilha na mata, um atrás do outro, formando uma fila. Sabendo que João e
Pedro sempre ficam nas extremidades da fila, então, o número de maneiras diferentes de se formar essa fila é:
a ) 13.
x
b ) 12.c ) 11.
d ) 1 0 .
e ) 9 .
Como João e Pedro devem ocupar as extremidades da fila. temos duas situações:
João Pedro ou Pedra João
1 . 3 2· 1 . 1+1 . 3· 2 . 1 . 1 = 6+6 = 12.
Portanto, o número de maneiras diferentes de formar essa filaé12.
2 6 .(UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de
segun-da a sexta-feira, estas cinco ativisegun-dades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d ) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá--Ias em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco ativida-des, em ordem diferente, é:
a ) 24
x
b ) 6 0c ) 72
d ) 120
Ototal de maneiras de realizar as atividadesa, b, c, de e deve respeitar a condição de que a atividadednão pode acontecer antes da atividade a. Assim, temos as seguintes possibilidades:
ª
---1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 .
_ .L _ _ __ (a atividade dnão
3 . 1 . 3 . 2 . 1 = 18 pode ocupar a primeira posição)
- -
ª---
(a atividade dnão3 2 1 2 =12 pode ocupar as
duas primeiras posições)
a,
(a atividade dnão3 2 1 . 1 1 =6 pode ocupar as três
primeiras posições)
2 7 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(UFMG) Permutando-se os algarismos do núme-ro 123456, formam-se números de seis algarismos. Supondo-se que todos os números formados com es-ses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente,
a) determine quantos números possui essa lista.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o
total de permutações:P6= 6! = 720 números diferentes.
b ) determine a posição do primeiro número que come-ça com o algarismo 4.
Os números são escritos em ordem crescente. Números iniciados por 1: 1 ~ Ps= 5! = 120
'--v--'
Ps
Númerosiniciados por2: 2 ~ Ps = 5! = 120
'--v--'
Ps
Números iniciados por 3: 3 ~ Ps= 51= 120
'--v--'
Ps
Assim, a posição do primeiro número que inicia com o algarismo 4é
120 + 120 + 120 + 1 = 361°.
c ) determine a posição do primeiro número que termi-na com o algarismo 2.
Os números são escritos em ordem crescente.
O primeiro número que termina com o algarismo 2 é 134562.
Números iniciados por 1 e com o 2 ocupando a casa da dezena de milhar: 12 ~ P4= 4! = 24
~
P4
Números iniciados por 1 , com o 3 ocupando a casa da dezena de milhar e com o 2 ocupando a casa da unida-de unida-de milhar: 132 ~ P3=3!=6
••...
P3
Números iniciados por 1, com o 3 ocupando a casa da dezena de milhar, com o 4 ocupando a casa da unidade de milhar e com o 2 ocupando a casa da centena:
1342 __--...- ~ P2=2!=2
P2
Números iniciados por 1, com o 3 ocupando a casa da -dezena de milhar, com o 4 ocupando a casa da unidade de milhar, com o 5 ocupando a casa da centena e com o 2 ocupando a casa da dezena: 13452:;: ~ P1= 1! = 1
P1
Assim, o número 134562 ocupa a 34~ posição (24 + 6 + + 2 + 1 + 1
=
34)V O llA lI1 .1 E 7
28.
Todos os anagramas possíveis com as letras da pala-vra MARES foram organizados em ordem alfabética. Determine:a ) a posição do primeiro anagrama que inicia com a letra S;
As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4= 4! = 24
~
P4
Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24
'---.,r--'
P4
Anagramas iniciados por M: M ~ P4= 4! = 24
'--v---'
P4
Anagramas iniciados por R: R .:: ~ P4=4! = 24
'---.,r--'
P4
Assim, a posição do primeiro anagrama que inicia com a letra S ocupa a ª7~ posição (24 + 24 + 24 +24 + 1
=
97).b) a posição ocupada pelo anagrama RESMA;
As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4=4! = 24
'--v---'
P4
Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24 ~
P4
Anaqrarnas iniciados por M: M ~ P4= 4! = 24
'---.,r--'
P4
Anagramas iniciados por RA: RA ~ P3= 3! = 6
~
P3
Anagramas iniciados por REA: REA __---,...~ P2=2! = 2
P2
Anagramas iniciados por REM: REM __ ~ P2=2! = 2
---,...
P2
Anagramas iniciados por RES: RES __ ~ P2= 2! - 2
---,...
P2
No último caso, temos os anagramas R E S A M eR E S M A ,
assim, a palavra RESMA ocupa a 84~ posição (24 +24 + + 24 + 6 + 2 + 2 + 2 = 84)
c ) Oanagrama que ocupa a 60? posição.
As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4= 4! = 24
'---.,r--'
P4
Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24
'---.,r--'
Anagramas iniciados por MA: MA ~ P3=3!=6
~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P3
Anagramas iniciados por MEA: MEA __ ~ P2=2!=2
'-v-'
P2
Anagramas iniciados por MER: MER __ ~ P2=2!=2
'-v-'
P2
Anagramas iniciados por MES: MES __ ~ P2=2!=2
'--v-' P2
No último caso, temos os anagramasZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM E S A R eM E S R A .
Assim. a palavra MESRA ocupa a 6(Y.' posição (24 + 24 + + 6 + 2 + 2 + 2
=
60).,29.
Considere a palavra GARGAREJO.a ) Quantos são os anagramas dessa palavra?
9 letras, sendo 2 letras A, 2 letras G e 2 letras R. p,2,2,2__ 9_!_
9 - 21. 2! 2!
2.22 987·6543 2! 9·876543 45360
Pg =
=---2·1·2·12! 21'21
A palavra GARGAREJO tem 45 360 anagramas.
b ) Quantos são os anagramas dessa palavra que ini-ciam pela letra A?
Como a palavra deve iniciar com a letra A, sobram 8 letras para permutar, sendo 2 letras G e 2 letras R:
p'2.2_~ 8 - 2! .2!
~2 8.7.6.5.4.3.21 8·7·6·5·4·3 10080
~ =
=---2·1·2! 2·1
30.
Considerando a equação x+y +Z+W =20, com x, y, z ew
naturais, responda às questões propostas,a ) Qual o total de soluções da equação?
Podemos representar uma solução usando "bolinhas" e "sinais de mais". Por exemplo, as soluções 4 + 7 + 6 + 3 e 8 + O + 7 + 5 são representadas por:
4 + 7 + 6 + 3: •••• + ••••••• + ••••••.•.•• •
8 + O + 7 + 5: •••••••• + + ••••••• + •••• •
Cada sequência de bolinhas e sinais de mais corres-ponde a uma solução da equação. Assim, a quantidade de soluções é dada pelo número de permutações de 23 símbolos, sendo 20 bolinhas e 3 sinais de mais.
20.3 23! 23·22·21·20! 23·22·21 1771
P23
=---20!·3! 20!·3·2·1 3·2·1
b) Supondo que y seja igual a 4, qual o total de solu-ções possíveis para a equação?
Como y
=
4, a equação fica x + 4 + z +w=
20 e, as-sim, x + z + w=
16. Podemos representar uma solução usando "bolinhas" e "sinais de mais". Por exemplo, as soluções 8 + 2 + 6 e O + 4 + 12 são representadas por: '8+2+6: •••••••• + • • + • • • • • •O + 4 + 12: + •••• + • •••••••••••
Cada sequência de bolinhas e sinais de mais corres-ponde a uma solução da equação. Assim, a quantidade de soluções é dada pelo número de permutações de 18 símbolos, sendo 16 bolinhas e 2 sinais de mais.
p16,2_~_18.17.16!_18.17 -153 18 -16!.2! - 16!·2·1 - 2.1
-3 1 .No plano cartesiano abaixo, temos os pontos A, B e C.
y
8
•
C7 -
--
--+--6 .8
5
-+--4
L.
---L-o 5 8 x
-
+-2
-+---+---A
3 4
a ) Movendo-se apenas sobre as linhas do quadricula-do, de quantas maneiras diferentes é possível ir do ponto A ao ponto C deslocando-se ou para a direita ou para cima?
Podemos indicar um caminho com uma sequência de letras H ouV , em que H corresponde a deslocar-se na horizontal e V na vertical. Para ir de A(O, O) até C(8, 8), é necessário deslocar-se 8 unidades na horizontal e 8 na vertical. Assim, um possível caminho pode ser indicado porVVHVHVH H HVVHVHVH.
Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de perm utações dessas 16 letras (H e V aparecem oito vezes cada uma).'
8.8 16! 16 ·15.·14 ·13 ·12 ·11·1 0·9· 8! P16
=--=---8!·8! 8!·8·7·6·5·4·3·2·1
b )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBANas mesmas condições do item anterior, de quantas
maneiras diferenteszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAépossível ir do ponto A ao ponto C passando necessariamente por B?
1" Etapa: ir de A até B.
Para ir de A(O,O) até B(5, 6), é necessário deslocar-se 5 unidades na horizontal e 6 na vertical. Assim, um pos-sível caminho pode ser indicado por VVVVVV H H HH H. Se mudarmos a sequência, teremos um novo caminho. Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de permutações dessas 11 letras (a letra H aparece 5 vezes e a letra V aparece 6 vezes).
5,6 11! 11· 10· 9· 8· 7· 6! 11· 10· 9· 8· 7
P" =~-- =462
5!· 6! 5· 4· 3· 2· 1· 6! 5· 4· 3· 2· 1
2" Etapa: ir de B até G.
Para ir de B(5, 6) até C(8, 8), é necessário deslocar-se 3 unidades na horizontal e 2 na vertical. Assim, um possí-vel caminho pode ser indicado por HHV HV.
Se mudarmos a sequêncta.terernos um novo caminho. Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de permutações dessas 5 letras (H aparece 3 vezes e V aparece 2 vezes).
3.2 5! 5· 4· 3! 5· 4 .
P5 =--=--= -=10
3!· 2! 3! 2· 1 2· 1
Assim, o total de caminhos possíveis para ir de A até G, passando necessariamente por B, é igual a462 . 10 = = 4 620.
3 2 .
Desenvolvido em 1835, pelo pintor e inventor Samuel Finley Breese Morse, o Código Morse é um sistema binário de representação a distância de números, letras e sinais gráficos, utilizando-se de sons curtos e longos, além de pontos e traços para transmitir mensagens.
Esse sistema é composto por todas as letras do alfabeto e todos· os números. Os caracteres são representados por uma combinação específica de pontos e traços [...
l
FRA CISCO, Wagner de Cerqueira e. CódigoMorse. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/geograha/codigo-morse.h[lTl.>. Acesso em: 23 dez. 2015.
Considerando o exposto no texto e um conjunto de sinais composto de 2 traços e 3 pontos, determine quantas mensagens podem ser representadas:
V O Il- 1 IN lE 7
a ) usando exatamente quatro símbolos do conjunto;
I.Podemos criar mensagens com dois traços e dois pon-tos. Nesse caso, temos a permutação de 4 elementos, sendo eles dOIStraços e dois pontos.
22 4! 4· 3· 2! 4· 3
P4' =-- ---=--6
2!· 2! 2· 1· 2! 2· 1
li. Podemos criar mensagens com um traço e três pontos. Nesse caso, temos a permutação de 4 elementos, sendo eles um traço e três pontos.
p3=~= 4· 3!=4
4 3! 31
Portanto, o total de mensagens possíveis utilizando 4 ele-mentos do conjunto é 6+4=10.
b) usando todos os elementos do conjunto;
Com dois traços e três pontos, temos a permutação de 5 elementos com repetição.
2.3 5! 5· 4· 3! 5· 4
P5 =-- ---=-=10
2!· 3! 2· 1· 3! 2· 1
c ) usando, no máximo, três elementos do conjunto.
I.Podemos ter mensagens com um único elemento do conjunto. Nesse caso, temos somente 2 possibilidades: 1 traço ou 1ponto.
li. Podemos ter mensagens com dois elementos do con-junto. Nesse caso, temos 4 possibilidades:H; (- -); (.-);
(-').
111. Podemos ter mensagens com três elementos do
con-junto. Nesse caso, temos 7 possibilidades: (...); (.._); (._.);
(_..);(.- -); (_._); (--').
Portanto, o total de mensagens possíveis utilizando, no máximo,3elementos do conjunto é:2+4+7 = 13.
3 3 .Um cartomante vai organizar sete cartas de baralho
uma ao lado da outra, formando uma fila. Sabendo que três das cartas são valetes exatamente iguais e que as outras quatro são reis distintos, responda às questões propostas,
a ) Ouantas filas distintas de sete cartas podem ser formadas?
Permutação de 7 cartas com repetição de 3 valetes.
pi
= ~ = 7 · 6· 5· 4· 3!= 7 · 6· 5· 4=840b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEm quantas filas não aparecem reis um ao lado do outro?
Indicando os três valetes porzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJe os quatro reis porK1, K2, K3eK4,temos K1JK2JK3JK4como uma das
possibilidades. Os valetes não podem sair dessas posi-ções, pois os reis não podem estar um ao lado do outro. Portanto, há somente a permutação dos 4 reis distintos:
P4=4!=24ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
3 4 .Oito pessoas, entre eles Helena e Ricardo, dispõem-se ao redor de uma mesa redonda para uma reunião.
a ) De quantas formas as oito pessoas podem se dispor
à mesa?
(PC)8=(8-1)!
(PC)8=7!
(PC)8= 5 040
Ou seja, existem 5 040 maneiras diferentes de as oito pessoas se disporemàmesa.
b) Suponha que Helena e Ricardo precisam sentar-se juntos, pois apresentarão projetos desenvolvidos em conjunto. De quantas formas as oito pessoas podem dispor-se à mesa respeitando essa condição?
Como Helena e Ricardo precisam se sentar juntos à
mesa, consideramos os dois uma única pessoa. Utili-zamos, então, uma permutação circular de7 elemen-tos multiplicada pela quantidade de trocas que Helena e Ricardo podem fazer entre si (permutação simples de 2 elementos).
(PC)7 . P2= (7 - 1)! . 2!
(PC)7 'P2=6!· 2!
(PC)7 'P2=720· 2
(PC)7 . P2= 1440
Ou seja, existem1 440 maneiras diferentes de as oito pessoas se organizaremàmesa de modo que Helena e Ricardo fiquem juntos.
3 5 .(FUNCAB - RJ) João vai jogar o jogo das argolas. O
jogo contém cinco argolas idênticas que devem ser lançadas em um dos cinco pinos de maceira, conforme a figura abaixo.
Considerando que João acertará cada argola lançada em um dos pinos, determine de quantas formas distin-tas as argolas poderão ficar alocadas nos pinos após
os cinco lançamentos feitos por João. Tome, por exem-plo, todas em um único pino, ou três em um pino e duas em outro, ou, ainda, uma argola em cada pino e assim por diante.
x
a ) 126.b) 114.
c ) 55.
d ) 84.
e ) 120.
Podemos representar as argolas como "bolinhas" e as separações dos pinos como "barras". Assim:
• / • / • / • /. representa uma argola em cada pino; •• / / / •• /. representa duas argolas no primeiro pino, duas no quarto pino e uma no quinto pino;
/ / / / ••••• representa as cinco argolas no quinto pino. Cada sequência de bolinhas e barras corresponde a uma organização das argolas nos pinos. Assim, a quantidade de formas distintas de disposição das argolasé dada pelo número de permutações de 9 símbolos, sendo 5 bolinhas e 4 barras.
5,4 9! 9· 8· 7· 6· 5! 9· 8· 7· 6
Pg = -- = = = 126
5!· 4! 5!· 4· 3· 2· 1 4· 3· 2· 1
C o m b in a ç õ e s s im p le s
3 6 .De quantas formas diferentes uma garota pode
combinar 4 das 12 pulseiras que possui para colocá-Ias em seu braço?
A quantidade de opçõesédada pelo número de combina-ções simples das12pulseiras tomadas 4 a 4.
c4
=c8
= 12 11· 1 0· 9 = 495 12 12 4.3.2.1Portanto, a garota pode fazer a escolha de495 maneiras.
37.Numa confeitaria, são vendidos cupcakes de 6 tipos diferentes: maçã com canela, cenoura com chocolate, fubá com glacê, morango, limão siciliano e dois amo-res. Paulo quer presentear sua mãe com 3 cupcakes
de sabores diferentes e, chegando àloja, ficou em dú-vida sobre quais sabores escolher. Determine:
a ) de quantas formas distintas ele pode escolher os
cupcakes entre os sabores disponíveis;
A quantidade de formas édada pelo número de combi-nações simples dos 6 tipos decupcakestomados 3 a 3.
C~=6 . 5 . 4=20 3 · 2· 1
Portanto, Paulo pode fazer a escolha dos 3 tipos de
b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAde quantas formas diferentes ele pode escolher os
cupcakes, supondo que sua mãe não gosta de bolo de maçã com canela;
A quantidade de formas é dada pelo número de combi-nações simples dos 5 tipos decupcakes restantes to-mados 3 a 3.
CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA3-C2 _ 5·4·3 -10 5-
5-3.2.1
-Portanto, há 10 maneiras de fazer a escolha.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
c ) de quantas formas diferentes ele pode escolher os
cupcakes, supondo que o bolo de morango será um dos escolhidos.
A quantidade de maneiras de fazer a escolha,nessecaso, é dada pelo número de combinações simples dos 5 tipos de
cupcakesrestantes tomados 2 a 2, uma vez que um será de morango.
2 3 5·4
C5=C5 =-=10 2·1
Portanto, há 10 maneiras de fazer a escolha.
3 8 .Considere 10 crianças, sendo 4 meninos, entre eles
Rafael, e 6 meninas. Determine quantos grupos dife-rentes podem ser formados com 4 crianças, incluindo Rafael e pelo menos uma menina.
Como Rafael ocupa uma vaga, existem 3 vagas disponíveis no grupo. Assim, temos 3 modos de completar o grupo: 1~) 2 meninos e 1 menina
C~. C~=3 . 6=18 2~) 1 menino e 2 meninas
C~. C~.=3 . 15 = 45
3~) 3 meninas C~=20
Assim, o total de grupos que podem ser formados, contendo pelo menos uma das meninas e Rafael, é 18 + 45 + 20 = 83.
Também é possível encontrar essa resposta retir-andodo total de grupos possíveis, em que Rafael já está presente, o úni-co que não nos interessa, ou seja, o grupo formado pelos 4 meninos.
C~- 1= 84 - 1= 83
3 9 .Obtenha o número de diagonais de um dodecágono
regular.
Podemos resolver o problema fazendo a combinação dos 12 vértices do cocecáqono tomados 2 a 2, subtraindo da resposta as 12 situações em que os vértices são consecu-tivos e formam os lados do dodecágono.
C~2-12 = 12·11 - 12 = 66 - 12 54
2 · 1
Assim, o dodecágono regular tem 54 diagonais.
VOIL.1~E7
4 0 .(PUC-Campinas - SP) O cientista John Dalton é
bastan-te conhecido pelas suas contribuições para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instru-mentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilita-va de distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo.
• Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os es-colhidos?
x
a ) 140b) 240
c ) 285
d ) 336
e ) 392
Aqui, o caminho mais fácil é calcular o total de combina-ções de 10 pessoas tomadas 4 a 4 e subtrair os grupos que não têm nenhum daltônico (nesse caso, a combinação de 8 pessoas tomadas 4 a 4).
C;o-C:
= 10·9·8· 7 8· 7 ·6·5 =210-70=140 4·3·2·1 4·3·2·1Assim, existem 140 grupos nos quais pelo menos uma pessoa é daltônica.
4 1 .Um professor de História, desenvolvendo seu projeto
de pesquisa, recebeu recursos financeiros para visitar 5 dos 10 museus listados a seguir.
Museu Oscar Niemeyer- PR Museu do Prado- Espanha
Museu Imperial - HJ Museu do Louvre- França
Museu do Ipiranga- SP British Museum - Inglaterra
Museu HistóricoNacional- RJ Museu Egípcio- Egito
Instituto Ricardo Brennand Museu Nacionalde História
- PE Natural- EUA
Ele estabeleceu algumas condições para escolher os museus a serem visitados:
- visitará 3 museus brasileiros e 2 museus
internacionais;
- não deixará de visitar o Museu Oscar Niemeyer.
Como o Museu Oscar Niemeyer será visitado obrigatoria-mente, há 4 a serem escolhidos entre os 9 restantes. Para encontrar a resposta, utilizaremos a combinação dos 4 mu-seus brasileiros restantes tomados 2 a 2 e a dos 5 mumu-seus internacionais tomados 2 a 2.
CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2.C2=~. 5·4 =60 4 s 2.1 2.1
Portanto, nessas condições, o professor tem 60 possibili-dades de escolha.
42. Dos 20 alunos de uma classe, 5 serão escolhidos para participar de uma viagem de intercâmbio. Rober-to só irá se Antônio não for. Respeitando a condição apresentada, determine de quantas formas poderá ser formado o grupo de estudantes que realizará o intercâmbio.
Como a única condiçãoéque Roberto e Antônio não viajarão juntos, basta excluir do total de combinações de 20 alunos tomados 5 a 5 os grupos em que os dois rapazes estejam, ou seja, a combinação de 18 alunos tomados 3 a 3 (duas vagas já estão ocupadas pelos dois rapazes).
S 3 20 . 19 . 18 . 17 . 16 18 . 17 . 16
C20-C18=
----5·4·3·2·1 3·2·1
= 15504 - 816 = 14688
Portanto, nessas condições, existem 14 688 grupos possíveis para o intercâmbio.
43. Um salão tem 7 conjuntos de lâmpadas com interrupto-res individuais. Para conter gastos em energia elétrica, mais de 4 conjuntos não podem estar acesos ao mesmo tempo. Determine de quantas formas diferentes o galpão pode ser iluminado, sabendo que' pelo menos um dos conjuntos de lâmpadas sempre deve estar aceso.
Aqui, temos a condição de que pelo menos um grupo de lâmpadas deve estar aceso e não mais do que 4 grupos. Dessa forma, temos a combinação dos 7 grupos de lâmpa-das acesos 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3 ou 4 a 4.
1 2 3 4 7·6 7·6·5 7·6·5·4
c7+ C7+ C7+ C7= 7 + - + -- + -- =
2·1 32·1 4·3·2·1
= 7 +21+35+35 = 98
Portanto, existem 98 formas diferentes de manter de 1 a 4 grupos de lâmpadas acesas.
44. (FUVEST - SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhi-dos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?
a) 360
b) 420
c) 540
d) 600
x e) 640
Como a condição éque haja pelo menos um alimento não perecível e um produto de limpeza, basta excluir do total de combinações de 13 produtos tomados 4 a 4 aqueles grupos em que há somente alimentos não perecíveis ou . somente produtos de limpeza.
4 4 4 13·12·11·10 8·7·6·5
C13-C8
-c
s = - -5=4·3·2·1 4·3·2·1
=715-70-5=640
Portanto, existem 640 tipos de sacolas possíveis com pelo menos 1 alimento não perecível e 1 produto de limpeza.
45. (UFMT) Braille éOsistema de leitura e escrita mais uti-lizado pelos deficientes visuais em todo mundo. Esse método tátil consiste em pontos em relevo, dispostos de maneiras diferentes para cada letra do alfabeto, nú-meros, símbolos e pontuação.
A unidade de leitura onde são assinalados os pontos para representar cada algarismo édenominada CELA. A figura abaixo ilustra uma CELA.
r-,..
,..r-r-,..
Admita que na ilustração abaixo estão as representa-ções dos algarismos da base decimal nesse sistema.
1 121 3 I 4 I 5
6 171 8 I 9 I o
A partir das informações acima, quantas celas distin-tas, no sistema Braille, podem ser assinaladas com 1, 2,3 e 4 pontos e não representam algarismos da base decimal?
a)78
b) 109
c) 380
x
d) 46e) 506
Os seis pontos da cela podem ser tomados 1 a 1, 2 a 2,
3a3ou 4 a 4.
1 2 3 4 6·5 6·5·4 65·4·3
C6+C6 +C6 +C6 =6+-+--+--=
2·1 3·2·1 4·3·2·1 = 6 + 15 + 20 + 15 = 56
46. (UEL - PR) Um professor entrega 08 questões aos alu-nos para que, em uma prova, escolham 05 questões para resolver, sendo que duas destas questões são obri-gatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 05 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alu-nos que entregou a prova é:
a) 6zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x
b) 20c) 56
d) 120
e) 336
Duas questões são obrigatórias, restando, portanto, 6 questões para que os alunos escolham 3 entre elas.
C~= 6·5·4 =20 3·2·1
47. (UFJF - MG) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de es-colher pelo menos 3 cobaias é:
a) 10.
x
b) 16.c) 50.
d) 120.
e) 60.
3 4 5 5·4·3
Cs+Cs+Cs= -- +5+1= 1o+5 + 1= 16 3·2 ·1
Portanto, existem 16 formas diferentes de escolher pelo menos três cobaias.
48. (UFMG) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe--se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70 c) 45
b)35 xd)55
Como a única condiçãoéque Gustavo e Danilo não par-ticiparão da comissão juntos, basta excluir do total de combinações de 8 pessoas tomadas 4 a 4 os grupos em que os dois rapazes estejam, ou seja, a combinação de 6 pessoas tomadas 2 a 2 (duas vagas já estão ocupadas pelos dois rapazes).
cri
-C~ = 8·7·6·5 -~=70-15=55. 4·3·2·1 2·1Portanto, nessas condições, existem 55 grupos possíveis para a comissão.
VOIl.1W1E 7
49, (UFAL) O diretor de um departamento de uma empre-sa quer selecionar equipes formadas por 5 pessoas entre seus 12 empregados (que são 5 homens e 7 mulheres). Quantas equipes ele poderá formar se cada equipe deve conter pelo menos um homem e pelo me-nos uma mulher?
x a) 770
b) 760
c) 750
d) 740
e) 730
I.
o
número total de equipes sem a restriçãoé:5 12·11·10·9·8 C'2= 5.4.3.2.1 =792
11. O número de equipes formadas somente por homens
é C~=1.
111.Onúmero de equipes formadas somente por mulheres
• 5 2 7·6 e C7=C7 =-=21.
2 ·1
Portanto, o número de equipes contendo pelo menos um homem e pelo menos uma mulheré792 -1 - 21
=
770.50. (UERJ) Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela:
quantidade de figurinhas idênticasZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
- - -l
-time/escudo
A
B
C
D
T
E
3
2
G
Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios:
- duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo;
- três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas.
De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a:
a) 32
x
b) 40c) 56
Paraformar o conjunto de acordo com os critérios esta-belecidos, as duas figurinhas com mesmo escudo serão ou do time A ou do time B. As outras três deverão ser escolhidas entre os seis times restantes em cada caso. Assim, o número de conjuntos distintos que têm duas figurinhas do time A mais três figurinhas dos demais
times é:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C~=6.5.4 =20 3· 2· 1
O número de conjuntos distintos que têm duas figuri-nhas do time B mais três figurifiguri-nhas dos demais times
é:
C~=6.5.4 =20 3· 2· 1
Portanto, o número máximo de conjuntos que podem ser formados atendendo aos critérios indicados é