O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Salvador-Bahia

(2)

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Salvador-Bahia

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Fernandes, Teles Ara´ujo.

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplica¸c˜oes / Teles Ara´ujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010.

35 f.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matemática). 3. Variedades riemannianas. I. Costa, Ézio de Araújo. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 05 de fevereiro de 2010.

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

(5)

(6)

Agradecimentos

(7)

Existe apenas um bem, o sa-ber, e apenas um mal, a ig-norˆancia.

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Resumo

Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplica¸cões desse teorema, provamos uma generaliza¸cão de Efimov: Não existe hipersuperf´ıcief :M3 −→

R4 completa e orientável com Ric _{≤ −}c tal que c > 0. De forma original, também provamos que, esse resultado é verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.

Além disso, ainda como consequência deste teorema provamos que, para n _≥ 4 não existe hipersuperf´ıcie f : Mn _−→ _Rn+1 _{completa e orientável com} _Ric _{≤ −}_c _{tal que}

c >0 e com as curvaturas seccionais n˜ao assumindo todos os valores reais.

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Abstract

We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely: The Principal Curvature Theorem. Among applications of this theorem, we prove a generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfacesf :M3 −→

R4 with Ric _{≤ −}c such that c >0. In original form, also proved that this result is true when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar.

Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n ≥ 4, there are no complete and orientable hypersurfaces f :Mn−→ Rn+1 with Ric_{≤ −}c such that c >0 and the sectional curvatures not taking all real values.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

1.1 Fatos B´asicos da Geometria Riemanniana . . . 2 1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . 4 1.3 Hipersuperf´ıcies de Rn+1 . . . 6 2 Hipersuperf´ıcies Convexas de _Rn+1 ₁₂

2.1 Propriedade da Envolt´oria Convexa da Hipersuperf´ıcie de Rn+1 . . . 12

3 O Teorema das Curvaturas Principais 21

4 Aplica¸c˜oes 27

(11)

Introdu¸

c˜

ao

´

E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade RiemannianaMnpode ser imersa isometricamente em algum espa¸co euclidianoRm_{. Entretanto, se}_m₌_{n+1 pode}

existir obstru¸cão á existência de tais imersões (hipersuperf´ıcies). Por exemplo, o clássico Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperbólico não pode ser imerso isometricamente no espa¸co euclidianoR3. Em 1968, Efimov [4] foi mais além e mostrou que uma superf´ıcie completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa não pode ser imersa isometricamente em R3. Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa então essa variedade não pode ser imersa isometricamente no _Rn+1_{. Smyth e Xavier [11] mostraram que este}

resultado é verdadeiro para n = 3 e para n ≥ 4 com a hipótese adicional das curvaturas seccionais não asumirem todos os valores reais.

A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas Principais que é nosso principal resultado. Em seguida damos aplica¸cões do referido teo-rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier é válido em dimensão n= 3 e também quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela curvatura de Gauss-Kronecker.

Assim, o objetivo deste trabalho é demonstrar, com detalhes, o resultado em [11] e acrescentar que esses resultados também são válidos para as curvaturas de Guass-Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo as no¸cões básicas da geometria Riemanniana que estão relacionada com o proposto. No segundo cap´ıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperf´ıcies convexas de_Rn+1 _{e da propriedade}

da envolt´oria convexa das variedades. No terceiro cap´ıtulo, demonstramos o Teorema das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o cap´ıtulo quatro apresenta as aplica¸c˜oes desse teorema.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é familiarizar o leitor com a linguagem básica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Come¸camos com conceitos básicos: variedades diferenciáveis, métrica Riemanniana, conexão Riemanniana e curvatura. Em seguida é apresentada a segunda se¸cão, onde definimos uma distância em uma variedade, as curvas geodésicas e a completude de variedades. Na terceira se¸cão, abordamos o con-ceito e as principais equa¸cões das hipersuperf´ıcies de Rn+1.

1.1 Fatos B´

asicos da Geometria Riemanniana

Uma variedade diferenciável de classe C∞ _{e de dimensão}_{n, denotada por} _Mn_{, é}

um conjunto conexo M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de

abertos Uα de Rn em M tais que:

(i) [

α

xα(Uα) =M.

(ii) Para todo par α, β,com xα(Uα)∩xβ(Uβ) =W 6=∅, os conjuntosx−α1(W) ex−β1(W)

s˜ao abertos em Rn _{e as aplica¸c˜oes} _x−1

β ◦xα s˜ao diferenci´aveis.

(iii) A fam´ılia _{(Uα, xα)}é máxima relativamente às condi¸cões (i) e (ii).

De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferencável porM, esta-remos considerando que sua dimensão én, salvo men¸cão em contrário.

Dada uma variedade diferenciável M definimos uma métrica Riemanniana como uma fun¸cão que associa cada p _∈ M um produto interno _h,_ip : TpM × TpM −→ R

satisfazendo a seguinte propriedade: Se U é um aberto em M e X, Y são campos de vetores diferenciáveis emU, então a fun¸cão _hX, Y_i:U _−→_R dada por

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3

´e diferenci´avel emU.

Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana.

Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classeC∞ _em_M_e_C₍_M_{) o anel}

das fun¸c˜oes reais de classeC∞ _{definidas em}_M_{. Uma conex˜ao afim} _∇ _{em uma variedade}

diferenciável Mé uma aplica¸cão

∇: χ(M)_×χ(M) _−→ χ(M) (X, Y) _{7−→ ∇}XY

que satisfaz as propriedades:

(i) _∇f X+gYZ =f∇XZ +g∇yZ,

(ii) _∇X(Y +Z) =∇XY +∇XZ,

(iii) _∇X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y, Z _∈χ(_M) e f, g_{∈ C}(_M).

Defini¸cão 1.1.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica Riemanniana h,i. A conexão é dita compat´ıvel com a métrica h,i se

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, X, Y, Z ∈χ(M).

Sejam X, Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade diferenci´avel M. ´

E poss´ıvel provar que existe um ´unico campo vetorial Z tal que, para todo f _{∈ C}(M), Zf = (XY ₋Y X)f. O campo vetorial Z ´e chamado o colchete de X e Y e denotamos [X, Y] =XY ₋Y X.

Defini¸cão 1.1.2. Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M é dita simétrica

quando

∇XY − ∇YX = [X, Y]para todoX, Y ∈χ(M).

Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão afim _∇emMtal que _∇é simétrica e compat´ıvel com a métrica Riemanniana. Dizemos que essa conexão é a conexão Riemanniana deM.

A curvatura R de uma variedade Riemanniana _M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈χ(M) uma aplica¸cão R(X, Y) :χ(M)−→χ(M) dada por

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4

onde _∇´e conex˜ao Riemanniana de M.

Intimamente relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional que definimos,

Defini¸c˜ao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p ∈ Mn e um subespa¸co bi-dimensional σ ⊂ TpMn o n´umero real Kp(u, v) =Kp(σ) = hR(u, v)u, vi

|u∧v|2 onde u, v ´e uma

base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p.

Existem combina¸c˜oes importantes das curvatura seccionais, a saber:

Seja x = zn um vetor unit´ario em TpM, tomemos uma base ortonormal {z1, ..., zn = x}

do hiperplano de TpM ortogonal a x=zn.

A curvatura de Ricci, no ponto p, e na dire¸c˜ao x ´e Ricp(x) =

X

i6=n

hR(x, zi)x, zii.

A curvatura escalar, no ponto p´e a soma das curvaturas de Ricci, i.´e, τ(p) = X

i

Ricp(zi) =

X

ij

hR(zi, zj)zi, zji, j = 1, ..., n.

1.2 Variedades Riemannianas Completas

Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distância de p a q, denotada por d(p, q), é o ´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes ligando p a q. Munido da métrica d, M é um espa¸co métrico completo e além disso, a topologia induzida pord em M coincide com a topologia inicial deM.

Dada uma curva parametrizada γ :I _−→_M, dizemos que γ ´e uma geod´esica se D dt dγ dy

= 0 para todo t _∈ I onde, D

dt é a derivada covariante. Note que, se γ é uma geodésica, então d dth dγ dt, dγ dti= 2h

D dt

dγ dt,

dγ dti= 0.

Portanto, o comprimento do vetor tangente dγ

dt ´e constante. O comprimento de arcosde γ, a partir de uma origem fixa, digamos t=t0, ´e dado por

s(t) = Z t

t0

kdγ

dtkdt =c(t−t0). Sec= 1, dizemos que a geod´esicaγ est´a normalizada.

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5

Proposi¸cão 1.2.1. Dado p _∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um número real ε > 0 e uma aplica¸cão C∞_, _γ(₋_{a, a)}_{× U −→} _M _{tal que} _t _7−→ _{γ(t, q, w)} _{é a ´}_unica

geod´esica de _M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q _∈ V e cada w∈TqM. Onde U ={(q, w)∈TM;q∈V, w∈TqM,kwk< ε}.

Seja p _{∈ U ⊂} TM como acima. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : _{U −→} M dada por exp(q, v) = γ

kv_k, q, v

kv_k

é chamada aplica¸cão exponencial em _U. Dizemos que M é geodesicamente completa se para todop_∈M, a aplica¸cão exponencialexpp, está definida

para todo v _∈ TpM, i.é, se as geodésicas que partem de p estão definidas para todos os

valores det_∈_R.

Proposi¸cão 1.2.2. Para cadap∈Mexistem uma vizinhan¸caW depe um númeroδ >0, tais que, para cadaq _∈W, expqé um difeomorfismo em Bδ(0)⊂TqMe expq(Bδ(0)) ⊃W.

Dizemos que (W, δ) ´e uma vizinhan¸ca totalmente normal de p.

Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na sequˆencia, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao de variedade completa.

Defini¸c˜ao 1.2.3. (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M ´e uma variedade

riemanniana completa seM ´e geodesicamente completa.

Defini¸c˜ao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0,+_∞) _−→ M ´e divergente em _M se para cada compacto K _⊂ _M, _∃t0 ∈ [0,+∞) tal que α(t) 6∈ K, para

todot > t0. O comprimento de uma curva divergente ´e dado por l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′(t)_|dt.

Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em [3] pág. 163. Este teorema possui um corolário seguinte que caracteriza as variedades completas em fun¸cão das curvas divergentes.

Teorema 1.2.5. Seja _M uma variedade Riemmaniana e seja p _∈ _M. As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(i) expp est´a definida em todo o TpM.

(ii) Os limitados e fechados de M s˜ao compactos.

(iii) M ´e completa como espa¸co m´etrico.

(iv) M ´e geodesicamente completa.

(v) Existe uma sucess˜ao de compactos Kn⊂ M, Kn ⊂intKn+1 e

[

n

Kn=M, tais que

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6

Al´em disso, cada uma das afirma¸c˜oes acima implica que

(vi) Para todo q _∈M existe uma geod´esica γ ligando p a q com l(γ) =d(p, q).

Corol´ario 1.2.6. Uma variedade Riemanniana _M ´e completa se, e somente se, o

com-primento de qualquer curva divergente ´e ilimitado.

Prova: Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma sucess˜ao de compactos Kn ⊂M, Kn ⊂intKn+1 e

[

n

Kn =M, tais que se qn ∈/ Kn ent˜ao

d(p, qn) −−−→

n→∞ ∞, para todo p∈ M. Seja α : [0,∞) −→M uma curva divergente tal que

α(tn) = qn. Da defini¸c˜ao de distˆancia d em M seque que d(p, qn) ≤

Z s

0 |

α′(t)_|dt. Al´em disso,d(p, qn)−−−→

n→∞ ∞logo

Z s

0 |

α′(t)|dt−−−→_s

→∞ ∞. Portanto o comprmento de uma curva

divergente qualquerα ´e ilimitado.

Reciprocamente, se Mé uma variedade Riemanniana não completa então existe uma geodésica normalizada,γ, que não está definida para todot _∈R, i.é,γ não se estende. Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s0)−→M com γ(0) =p.

J´a que l(γ) = s0, ´e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.

Com efeito, pois caso contr´ario ter´ıamos um compacto K tal que, para todo t0 e

algum t > t0, γ(t) ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequˆencia {sn}n_∈N convergindo a s0

comsn< s0 eγ(sn)∈K. Portanto existe subsequˆencia {γ(sk)}k_∈N′_⊂N de{γ(sn)}tal que

γ(sk)→q0 ∈K.

Seja (W, δ) uma vizinhan¸ca totalmente normal deq0. Da convergˆencia de{sn}n_∈N

podemos escolher um ´ındicen0tal que, sen, m > n0ent˜aoksn−smk< δcomγ(sn), γ(sm)∈

W. Da proposi¸cão 1.2.1, existe uma única geodésica η de comprimento menor que δ li-gandos(tn) as(tm). Portantoγ coincide comηondeγ está definida. Comoexpγ(sn)é um difeomorfismo em Bδ(0) e expγ(sn)(Bδ(0)) ⊃W, η estende γ além deq0. Isso mostra que γ se estende o que é um absurdo pois estamos supondo que γ não se estende. Portanto

M´e completa.

1.3 Hipersuperf´ıcies de

_R

n+1

Iniciamos esta se¸cão com alguns fatos gerais das imersões isométricas. Em seguida exibimos os principais conceitos das hipersuperf´ıcies deRn+1_.

Sejam _Mn _e

Mm variedades Riemannianas. Dizemos que f : _Mn_−→

Mm é uma imersão se a diferencial dfx : TxM −→ TxM é injetiva para todo x ∈ M. O número

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7

variedades Riemannianas com m´etricas _h;_iM e h;iM, respectivamente, ´e chamada uma

imers˜ao isom´etrica se:

hX;Y_iM =hdf_xX;df_xYiM

para todox∈M e todo X, Y ∈TxM.

Seja f : Mn −→ Mn+p uma imersão isométrica. Em cada x _∈ M existe uma vizinhan¸ca U _⊂ M tal que a restri¸cão de f a U é um mergulho em f(U). Portanto podemos identificarU com sua imagem porf, isto é,f é localmente uma inclusão.

Dessa forma, podemos considerar o espa¸co tangente de _M em x como um su-bespa¸co do espa¸co tangente aM em x, e escrever

TxM=TxM⊕TxM⊥,

ondeTxM⊥´e o complemento ortogonal deTxMemTxM. Com esta decomposi¸c˜ao obtemos

um fibrado de vetoresTM⊥ =S_x_∈MTxM

⊥_{, chamado fibrado normal a}_M_{. Dessa maneira,}

os vetores

TM|f(M) ={X ∈TM:π(X)∈f(M), onde π :TM−→M ´e a proje¸c˜ao}

´e uma soma direta do fibrado tangente TM com TM⊥, isto ´e, TM|f(M₎ =TM⊕W TM

⊥_.

Com respeito a estas decomposi¸c˜oes temos as proje¸c˜oes ()T _:_T

M|f(M) −→TM

()⊥:TM|f(M₎ −→TM

⊥_,

as quais s˜ao chamadas tangente e normal respectivamente.

Seja Mn+p uma variedade Riemanniana com a conex˜ao de Levi-Civita _∇, e seja f :_Mn _−→

Mn+p uma imers˜ao isom´etrica. Dados campos de vetores X, Y _∈T_M, temos que

∇XY = (∇XY)T + (∇XY)⊥.

Com a unicidade da conexão de Levi-Civita temos que_∇T é a conexão de Levi-Civita de

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8

Portanto, obtemos a f´ormula de Gauss:

∇XY =∇XY +α(X, Y). (1.1)

A qual define uma fun¸c˜aoα:T_M_×T_M_−→T_M⊥ _{chamada segunda forma fundamental}

def. Pode-se concluir, com as propriedades das coneçcões de Levi-Civita ∇ e ∇, que α é simétrica e bilinear sobre o anel C∞₍_M_{) das fun¸cões diferenciáveis em} _M_.

Em particular, para algum pontox_∈M e campos de vetores X, Y _∈TM, a fun¸c˜ao αx : TxM×TxM −→ TxM⊥

(X, Y) 7−→ αx(X, Y) =α(X, Y)(x)

depende apenas dos valores deX e de Y em x.

Seja X campos de vetores em TM e ξ de TM⊥, denote por AξX a componente

tangencial de _−∇ξX, i.´e.,

AξX =−(∇Xξ)T.

Portanto para cadaY ∈TMtemos

0 =X_hξ, Y_i=_h∇Xξ, Yi+hξ,∇XYi,

Da f´ormula de Gauss segue que

hAξX, Yi=hα(X, Y), ξi.

Em particular, a fun¸c˜ao

A: TM×TM⊥ −→ TM

(X, ξ) _7−→ A(X, ξ) =AξX

´e bilinear sobre C∞₍

M). Portanto, a fun¸c˜ao Aξ : TM −→ TM ´e linear sobre C∞(M) e

simétrica, isto é, hAξX, Yi = hX, AξYi para todo X, Y ∈ TM. Por abuso de nota¸cão

chamaremos a fun¸c˜aoAξ de segunda forma fundamental na dire¸c˜ao normal ξ.

A componente normal de _∇Xξ, denotada por ∇⊥Xξ, define uma conex˜ao

com-pat´ıvel no conjunto normal TM⊥. Dizemos que _∇⊥ _{´e a conex˜ao normal de} _f_{, e obtemos}

a f´ormula de Weingarten

∇Xξ =−AξX+∇⊥Xξ. (1.2)

Sejam X, Y, Z ∈TM, ent˜ao

∇X∇YZ =∇X∇YZ+∇Xα(Y, Z)

=∇X∇YZ+α(X,∇YZ)−Aα(Y,Z)X+∇⊥Xα(Y, Z),

(19)

9

onde a primeira equa¸cão é dada por 1.1 e a última equa¸cão segue de 1.1 e 1.2. De maneira similar,

∇Y∇XZ =∇Y∇XZ+α(Y,∇XZ)−Aα(X,Z)Y +∇⊥Yα(X, Z). (1.4)

Seguindo de 1.1 temos

∇[X,Y]Z =∇[X,Y]Z+α([X, Y], Z). (1.5)

Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aqua¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y)Z, W_i=_hR(X, Y)Z, W_i+_hα(X, W), α(Y, Z)_{i − h}α(X, Z), α(Y, W)_i,

onde R e R são os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se K(X, Y) = _hR(X, Y)Y, X_i e K(X, Y) = _hR(X, Y)Y, X_i são as curvaturas seccionais do plano gerado pelos vetores ortogonaisX, Y _∈TxM, a equa¸cão de Gauss é

K(X, Y) =K(X, Y) +_hα(X, X), α(Y, Y)_{i − k}α(X, Y)_k2_. _(1.6)

Dado uma imersão isométrica f : Mn −→ Mm dizemos que f é uma hipersu-perf´ıcie se a codimensão de f é igual a um.

Seja p _∈ M e ξ _∈ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Como Aξ :TpM−→ TpM ´e sim´etrica, existe

uma base ortonormal de autovetores _{e1, ..., en} de TpM com autovalores reais λ1, ..., λn,

i.é, Aξ(ei) =λiei, 1≤i≥n. Se escolhemos uma orienta¸cão paraM e M, então o vetorξ

fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo {e1, ..., en} uma base na orienta¸c˜ao

deM, {e1, ..., en, ξ} seja uma base na orienta¸c˜ao de M m

. Neste caso, denominamos os ei

dire¸c˜oes principais e osλi curvaturas principais def. Dizemos que Gp =λ1(p)· · ·λn(p)

´e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que Hp =

1

n(λ1(p) +...+λn(p)) ´e a curvatura m´edia de f.

Agora, seja f :_Mn_−→

Mm uma imersão isométrica e x_∈_M. Podemos conside-rar, localmente, um campo diferenciável de vetores normal e unitário, i.é, um campo de vetores diferenciávelξ emTM⊥ definido num abertoU dextal que hξy, ξyi= 1 para todo

y_∈U. Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha paraξ. Dado X _∈TxM

eY _∈TMé fácil ver da fórrmula de Gauss que

(20)

10

Por outro lado, já que ξ é um campo de vetor normal unitário, temos _h∇Xξ, ξi = 0,

consequentemente _∇⊥

Xξ = 0 para todo X ∈ TM. Portanto, da f´ormula de Weingarten

temos

∇Xξ =−AξX. (1.8)

Quando Mm = Rn+1, Aξ tem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante. Para

ver isto, definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Seja uma hipersuperf´ıcie orient´avel f : M −→ Rn+1_{, seja} _ξ _{um campo normal}

global unitário de vetores emT_M⊥_{. A aplica¸cão normal de Gauss é definida por}

φ : _M _−→ Sn

x 7−→ ξx

Onde Sn _⊂

Rn+1 ´e a esfera e ξx ∈ Sn denota a trasla¸c˜ao paralela do vetor ξx ∈ TxM⊥

para a origem doRn+1.

Proposi¸cão 1.3.1. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie orientável com aplica¸cão de Gaussφ :M−→Sn_{. Então, para cada} _x

∈M temos

dφx =−Aξx.

Prova: Dado X ∈ TxM, seja γ : (−ε,+ε) −→ M uma curva diferenci´avel tal que

γ(0) =x eγ′(0) =X. Ent˜ao dφx(X) =

d

dt(φ◦γ)(t)|t=0 =∇Xξ=−AξxX.

onde a última igualdade é dada por 1.8. Portanto ₋Aξ é a derivada da aplica¸cão normal

de Gauss.

A curvatura seccional das hipersuperf´ıcies admite uma express˜ao mais simples do que aquela apresentada em 1.1.3.

De fato, sejam f : Mn −→ Mn+1 uma hipersuperf´ıcie, p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥, |ξ_| = 1. Considere uma base ortonormal _{e1, ..., en} de TpM que diagonaliza Aξ. Se

λ1, ..., λn s˜ao os autovalores de Aξ ent˜ao, de 1.1 e de 1.7 obtemos, hα(ei, ei), α(ej, ej)i=λiλj

Portanto a equa¸c˜ao 1.6 reduz-se a

(21)

11

Se Mm = Rn+1 ent˜ao K(X, Y) =λiλj. Consequentemente, a curvatura de Ricci

e a curvatura escalar s˜ao respectivamente, Ricp(x) =

X

i6=n

λiλj

τ(p) = X

i

X

i6=n

λiλj

Defini¸cão 1.3.2. Dada uma fun¸cão f :M−→R diferenciável, dizemos que p_∈M é um ponto cr´ıtico se dfp não é sobrejetiva. A imagem de um ponto cr´ıtico é um valor cr´ıtico.

Se a imagem de um ponto p não é um valor cr´ıtico, dizemos que é um valor regular e em particular, segue do teorema da fun¸cão impl´ıcita que a imagem inversa de um valor regular é uma hipersuperf´ıcie de M.

(22)

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies Convexas de

_R

n

+1

Aqui, apresentaremos sem demonstra¸cões, o teorema de H. Wu [12] e o teorema de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperf´ıcie convexa e homeomorfa ao_Rn _{é o gráfico de uma fun¸cão convexa não negativa. O segundo mostra}

basicamente que uma hipersuperf´ıcie completa de Rn+1, com curvatura seccional não negativa e não identicamente nula, é convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos o conceito da envoltória convexa e o teorema de Robert Osserman.

2.1 Propriedade da Envolt´

oria Convexa da

Hipersu-perf´ıcie de

_R

n+1

Nesta se¸c˜ao definiremos a propriedade da envolt´oria convexa da hipersuperf´ıcie de

Rn+1e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema é uma caracteriza¸cão das variedades com tal propriedade e tem grande relevância na demonstra¸cão do teorema das curvaturas principais.

Defini¸cão 2.1.1. (Envoltória convexa) Dado E ⊂ Rn, a envoltória convexa de E, que será denotada por Env(E), é a interseçcão de todos os subespa¸cos convexos que contém

E.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Dada uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, dizemos que f tem a propriedade da envolt´oria convexa se, para todo dom´ınioD em M, comf(D) limitado em

Rn+1_{, tivermos} _f_(D)_⊂_Env(∂f_(D))_.

Observa¸cão 2.1.3. Se, na defini¸cão acima,Dé relativamente compacto então os valores

de fronteira de f(D) conincidem com a imagem da fronteira, i.´e, ∂f(D) =f(∂D).

A seguir, provamos o teorema de Osserman, este d´a uma estimativa para as curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que segue.

(23)

13

Lema 2.1.4. Seja f :M −→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma fundamental

A na dire¸c˜ao ξ. Denote os autovalores de A por λ1 ≥ ... ≥ λn. Para cada R > 0 seja

BR(cR) a bola de raio R e centro em c=f(p) +Rξ.

(i) Se Vp ´e uma vizinhan¸ca de p em M e f(Vp)⊂BR(c) ent˜ao λn ≥

1 R.

(ii) Se λn>

1

R ent˜ao existe vizinhan¸ca de p em M tal que f(Vp)⊂BR(c).

Prova: Inicialmente vamos provar (i). Seja x:U ⊂Rn −→M uma parametriza¸c˜ao em p, com x(p) = 0.

Em TpM, seja {

∂ ∂u1

(p), ..., ∂ ∂un

(p)_} uma base ortonormal que diagonaliza Ap.

Defina a aplica¸c˜ao

g :U _⊂Rn _−→ _R

u _{7−→ ||}f_◦x(u)₋c_||2

Aplicando a f´ormula de Taylor ag, obtemos: g(u) = g(0) +dg(0)u+1

2d

2_g(0)u2₊

||u_||2ρ(u) (2.1) Com lim

u→0ρ(u) = 0. Note que,

dg(0) = 2_h ∂ ∂ui

f _◦x(u)|0;f◦x(u)i

= 2h ∂

∂ui

(p);−Rξ0i= 0

d2g(0) = ∂ ∂uj{

2_h ∂ ∂ui

f_◦x(u)|0;f ◦x(u)i}|0

= 2h ∂

2

∂ui∂uj

f ◦x(u);−Rξ0i|0 + 2h

∂ ∂ui

f ◦x(u); ∂ ∂uj

f ◦x(u)i|0

=−2Rλjδij + 2δij

= 2δij(1−Rλj)

(24)

14

g(u) = g(0) + 1 2

n

X

i,j=1

∂2_g(0)

∂uiuj

uiuj +||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

i,j=1

δij(1−Rλj)uiuj+||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

j=1

(1−Rλj)ujuj +||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

j=1

{1₋Rλj+ρ(u)}u2j (2.2)

Suponha que existe vizinhan¸ca Vp depem M tal quef(Vp)⊂BR(c). Ent˜ao para

todou_∈U segue de 2.2

0_≥g(u)₋R2 =

n

X

j=1

{1₋Rλj+ρ(u)}u2j (2.3)

Em particular parau= (0, ..., t) obtemos,

0_≥g(0, ..., t)₋R2 = (1₋Rλn+ρ(0, ..., t))t2

Como lim

u→0ρ(u) = 0 temos queλn ≥

1 R.

Para provar (ii) suponha que existe ε0 ≥0 tal que

λ1 ≥...≥λn=

1 R +

ε0

R

Donde temos

−ε0 +ρ(u) = 1−Rλn+ρ(u)≥...≥1−Rλ1+ρ(u)

E da equa¸c˜ao 2.3

g(u)₋R2 _≤

n

X

j=1

{−ε0+ρ(u)}u2j

J´a que lim

u→0ρ(u) = 0, dado ε=ε0 existeδ ≥0 tal que||u|| ≤δ temosρ(u)≤ ||ρ(u)||< ε.

Portanto, para todou tal que ||u|| ≤δ temos

g(u)₋R2 _≤

n

X

j=1

(25)

15

logo,

||f _◦x(u)₋c_||2₋R2 _≤0

Isso mostra que existe vizinhan¸ca Vp = x(U) tal que f(Vp) ⊂ BR(c) concluindo a prova

de (ii).

Teorema 2.1.5. (Robert Osserman) Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie, f tem a propriedade da envoltória convexa se, e somente se, para todo ponto de M, não existe dire¸cão normalξ tal que a segunda forma fundamental de f, Aξ tem todos os autovalores

positivos.

Prova: Inicialmente, suponha que existe p _∈ _M e um vetor normal unit´ario ξ0 em M,

no ponto p, tal que todas as curvaturas principais s˜ao positivas, ou equivalentemente, como no lema anterior, λn >0. Escolha R >0 tal que λn > _R1. Por 2.1.4 (ii), existeVp

vizinhan¸ca depem M, tal que f(Vp)⊂BR(c). Sendo f uma imers˜ao, podemos restringir

Vp (se necess´ario) a uma vizinhan¸caV

′

p tal que f :V

′

p −→f(V

′

p) seja bijetora.

Note que, sendo V_p′ uma vizinhan¸ca de p ent˜ao p /_∈ ∂V_p′ e como f|

Vp′

´e bijetora obtemos que f(p)_∈/ f(∂Vp′).

Da continuidade def e da compacidade de∂Vp′ vem queE =f(∂V′p) ´e compacto

em BR−f(p).

Defina a fun¸c˜ao

h : ∂Vp′ −→R

x_7−→ _hf(x)₋f(p);ξ0i

Note que h´e n˜ao negativa pois,

h(x) =_hf(x)₋f(p);ξ0i

=_hf(x)₋c+Rξ0;ξ0i

=hf(x)−c;ξ0i+R

=_||f(x)₋c_||cos_{f(x)₋c;ξ0}+R

≥ −||f(x)₋c_||+R

e comof(p)∈/ f(∂Vp′) e f(V

′

(26)

16

Al´em disso,h(x)₆= 0 caso contr´ario existiriax_∈∂Vp′ tal quehf(x)−f(p);ξ0i= 0.

Reescrevendo esta igualdede temos,

hf(x)₋c;ξ0i=hf(p)−c;ξ0i=−R

Portanto,

hf(x)₋c;ξ0i=||f(x)−c||||ξ0||cos{f(x)−c;ξ0}=−R.

Obtemos ent˜ao cos_{f(x)₋c;ξ0}= −1 e ||f(x)−c|| =R e temos f(x)−c= ±Rξ0. Se

f(x)−c=−Rξ0ent˜aof(x)−c=f(p)−ce temosf(x) =f(p). Comof|

V_p′ é bijetora,x=p o que é um absurdo poisp /_∈∂V_p′. Se f(x)₋c=Rξ0 então f(x)−c=−(f(p)−c) o que

implicaf(x)−f(p) =−2{f(p)−c}=−2Rξ0. Portantohf(x)−f(p);ξ0i=h−2Rξ0;ξ0i=

−2R 6= 0 que ´e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h n˜ao se anula.

Da continuidade de h e da compacidade da ∂Vp′ vem que h possui um m´ınimo

positivo emE, digamos ω. Portanto f(∂V_p′)_⊂S =_{x_∈Rn+1 _:_h_x₋_f_(p);_ξ

0i ≥ω >0}e

temos claramente quef(p)_∈/ S. Logo existe um subespa¸co convexoS que contémf(∂V_p′) mas não contém f(Vp′). Segue que f(V

′

p) 6⊂ Env(f(∂V

′

p)). Como V

′

p ´e relativamente

compacto, da observa¸c˜ao 2.1.3 temos que f(Vp′) 6⊂Env(∂f(V

′

p)). Isto mostra que f n˜ao

tem a propriedade da envolt´oria convexa.

Reciprocamente, suponha que f não tem a propriedade da envoltóoria convexa. Então existe um dom´ınioD_∈M, comf(D) limitado masf(D)_6⊂Env(∂f(D)). Portanto, existe um subespa¸co convexo S = _{x _∈ _Rn+1 _: _h_{x, v}_{i ≤} _a,_k_v_k _{= 1}_} _com _∂f_(D) _⊂ _S _e

f(D)6⊂S. Logo existe p0 ∈D tal que hf(p0), vi=b > a.

Afirma¸c˜ao 2.1.6. Existemp∈D,ξ dire¸c˜ao normal empeBR(cR)(comcR=f(p)+Rξ)

tal que f(D)⊂BR(cR).

Prova: Para a provar essa afirma¸c˜ao, considere os lemas que seguem:

Lema 2.1.7. Seja Br(cr)o fecho da bola de raio r e centro cr, onde hcr;vi=a e f(D)⊂

Br(cr) . Para cada t > r, se Bt(ct)´e o fecho da bola de raio t e centro ct =cr+v √

t2₋_r2

ent˜ao ∂f(D)_⊂Bt(ct).

Prova: Para todo valor de fronteira x def(D),

kx−ctk2 =hx−cr+v √

t2₋_r2_;_x₋_c

r+v √

t2₋_r2_i

=_kx₋crk2+ 2 √

t2₋_r2_h_x₋_c

r, vi+t2−r2

< r2+ 2√t2₋_r2_h_x₋_c

(27)

17

J´a que f(D)_⊂Br(cr), hx, vi ≤a ehcr, vi=a, segue que

r2+ 2√t2₋_r2_h_x₋_c

r, vi+t2−r2 ≤t2.

Portanto,

kx₋ctk2 ≤t2.

Lema 2.1.8. Se (2b₋2a)√t2₋_r2 _>_2r2 _ent˜ao _f(p) _{n˜ao pertence a} _B

t(ct).

Prova:

kf(p)−ctk2 =hf(p)−cr+v √

t2₋_r2_;_f_(p)₋_c

r+v √

t2₋_r2_i

=_hf(p)₋cr, f(p)−cri+ 2hf(p)−cr, v √

t2₋_r2_i₊_t2

−r2 > t2−2r2+ 2hf(p)−cr, v

√

t2₋_r2_i

=t2₋_2r2_{+ 2}_h_f(p)₋_c

r, vi √

t2₋_r2₋₂_h_{r, v}_i√_t2₋_r2

=t2₋2r2+ (2b₋2a)√t2₋_r2 _{> t}2

Lema 2.1.9. Existe t = R tal que f(D) _⊂ BR(cR) e existe q = f(p) ∈ f(D) tal que

q∈∂BR(cR).

Prova: Considere o conjunto

Θ = {t≥r:f(D)⊂Bt(ct)}.

Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f(D) _⊂ Bt(ct), ´e suficiente que Θ 6= ∅.

Isso é dado diretamente da defini¸cão de Br(cr), pois f(D)⊂ Br(cr), consideremos então

t=r=R. Agora mostremos que algum q =f(p) emf(D) est´a na fronteira de BR(cR).

Pela afirma¸c˜ao 2.1.8 Θ ´e limitado superiormente logo existe supΘ = t0. Seja

(tk)k∈N uma sequˆencia em Θ tal que tk −−−→

k→∞ t0. Para todo k e todo x ∈f(D) segue da

defini¸c˜ao de Θ que

kx₋ctkk ≤tk

Da continuidade da norma temos kx−ct0k ≤ t0. Isto prova que f(D) ⊂ Bt0(ct0) logo

t0 ∈Θ.

Agora, suponha que n˜ao existe ponto de f(D) em∂Bt0(ct0). Ent˜ao, pela

compa-cidade def(D), existiria t′ > t0 com f(D)⊂Bt′(ct′) o que é uma contradi¸cão já quet0 é

(28)

18

Seja (xk)k∈N uma sequˆencia em D tal que f(x_k) −−−→

k→∞ y. ´E fato que, (xk)k∈N ´e

convergente pois se não fosseyestaria na fronteira def(D). Pela afirma¸cão 2.1.7, ter´ıamos y _∈ Bt0(ct0) que é uma contradi¸cão pois y ∈ ∂Bt0(ct0). Portanto (xk)k∈N é convergente,

digamos a x∈D. Assim,

y= lim

k→∞f(xk) = f(x)∈f(D)

Lema 2.1.10. Existe R >0 tal que ξ= cR−f(p)

R é uma dire¸cão unitária e normal a f

em p.

Prova: Sejaα : (₋ε, ε)_−→f(D) uma curva diferenci´avel tal que α(0) =f(p).

Como f(p) _∈ ∂BR(cR) (lema 2.1.9) ent˜ao kα(s)−cRk2 assume o m´aximo em

s= 0 pois, α(s)_⊂f(D)_⊂f(D)_⊂BR(cR) e R=kα(s)−cRk=kf(p)−cRk. Logo,

d

dt(kα(s)−cRk

2₎

|0 = 0

ou seja,

hα′(0), α(0)−cRi= 0.

Seja agora ξ = α(0)−cR

R ent˜ao hα

′

(0), ξ_i = 0 e _kξ_k = kα(0)−cRk

R = 1. Isto prova queξ ´e um vetor unit´ario e normal af em p.

Portanto, obtemos que existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com

cR=f(p) +Rξ) tal que f(D)⊂BR(cR).

Agora ´e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de Aξ s˜ao

λ1 ≥...≥λn≥

1

R >0.

Corol´ario 2.1.11. Seja f :M−→ Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie com segunda forma}

funda-mental A na dire¸cão ξ. Se f possui a propriedade da envoltória convexa então M não é compacta.

Prova: Pelo teorema anterior Aξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto

de_M. Pela proposi¸c˜ao 1.3 em [2] obtemos o desejado.

Agora, abordaremos o conceito das hipersuperf´ıcies convexas e os teoremas de Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstra¸c˜ao desses resultados podem ser vistas em [12].

Defini¸cão 2.1.12. (hipersuperf´ıcie convexa) Uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, é dita convexa se f(M) = ∂C onde C _⊂Rn+1 _{é um conjunto convexo fechado com interior}

(29)

19

Teorema 2.1.13. (Sacksteder-van Heijenoort) Sejaf :Mn−→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel,A a segunda forma fundamental de f. Se a curvatura seccional de

Mé não negativa e não identicamente nula, então temos:

(i) f ´e um mergulho e f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa.

(ii) Ser=max{posto de Ap, p∈M}(necessariamente2≤r ≤n)ent˜aoRn+1 pode ser

decomposto em soma direta ortogonal Rn+1 = Rr+1⊕Rn−r tal que f(M) ∼= M1 ⊕

Rn−r. Mr1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1 com segunda forma fundamental

de posto r em algum ponto de M1.

Teorema 2.1.14. (H. Wu) Seja f : Mn _−→ _Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie e} _A _{a segunda}

forma fundamental de f com respeito a ξ:_Mn _−→_Sn−1_{. Temos:}

(i) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1_{, é não vazio e} _M _{não é compacta então} _M_é

homeomorfa ao Rn_.

(ii) Se f (com f(M) = ∂C) é convexa e M é homeomorfa ao Rn _{então as coordenadas}

podem ser escolhidas tal que H0 ={x= (x1, ..., xn+1)∈Rn+1 :xn+1 = 0} ´e o

hiper-plano suporte de C na origem.

Al´em disso,

(ii.1) Se Π : Rn+1 −→ H0 é a proje¸cão ortogonal então M é o gráfico de uma fun¸cão

convexa n˜ao negativa h:intΠ(C)_−→R.

(ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que _M_∩Π−1_(a) _{´e um segmento de reta.}

(ii.3) Se o interior deξ(_M), relativo a Sn−1_{, é não vazio então para cada}_{c >} ₀_, _f₍

M)_∩Hc

´e difeomorfo a Sn_{, onde}_H

c ={x= (x1, ..., xn+1)∈Rn+1 :xn+1 =c} .

Corol´ario 2.1.15. Seja f :M −→Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie convexa homeomorfa a} _Rn

satisfazendo (ii.1)e (ii.3) do teorema de Wu. Se Πn+1 :Rn+1 −→R é a última proje¸cão

de Rn+1 então Πn+1◦f(M) := (Πn+1)|_f₍M) :f(M)−→R é uma aplica¸cão própria.

Prova: Inicialmente, notemos que Π : Hc ∩ f(M) −→ Υ = Π(Hc ∩f(M)) ´e um

difeorfismo. Para todoc >0, Hc∩f(M) ´e difeomorfo a Sn logo Υ = Π(Hc∩f(M)) e Sn

s˜ao difeomorfos.

Como Πn+1 ◦f(M) ´e cont´ınua, resta mostrar que (Πn+1 ◦f)−1(K) ´e compacto

(30)

20

Como (Πn+1◦f)−1([0, c]) ´e fechado, resta mostar que (Πn+1◦f)−1([0, c]) ´e limitado em

f(M).

Suponha por absurdo que (Πn+1 ◦f)−1([0, c]) ´e ilimitado. Como 0 ≤ xn+1 ≤ c

para todo (x1, ..., xn, xn+1) =x∈(Πn+1◦f)−1([0, c]) ent˜ao existex∈(Πn+1◦f)−1([0, c]) tal

que Π(x) est´a na componente ilimitada de H0, i.´e, Π(x)∈ H0\Υ. Como 0, Π(x) ∈Π(C)

e Π(C) é convexo então existe t0 ∈ (0,1) tal que t0Π(x) = z ∈ Υ. Além disso, f(M) é

gr´afico sobreint_{Π(C)_}, logo existe um ´unico (w1, ..., wn+1) =w0 ∈f(M), comwn+1 =c

tal que w0 = (z, h(z)).

Como 0, x_∈∂C eC´e conexo, ent˜aow=t0x∈int C. Portanto, temosw∈int C

e (z,0) ∈ Rn+1\int C. Logo o segmento que liga w a (z,0) intersecta ∂C = f(M) em algum ponto, digamos w. Note queb wb= (z,wbn+1) com wbn+1 < t0wn+1 < c. J´a que f(M)

é gráfico de h então w_b= (z, h(z)) = w0. Portanto, wbn+1 =wn+1 =c o que é um absurdo

(31)

Cap´ıtulo 3

O Teorema das Curvaturas

Principais

Dedicamos este cap´ıtulo a demonstra¸cão do Teorema das Curvaturas Principais. Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperf´ıcies euclidianas completas. A técnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons-tra¸cão desse teorema, foi criar uma perturba¸cão adequada na hipersuperf´ıcie dada (com segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperf´ıcie (com segunda forma funda-mentalA) com curvatura seccional não negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder-van Heijenoort garantindo que a hipersuperf´ıcie perturbada é uma hipersuperf´ıcie convexa. Além disso, o conjunto de autovalores deAcoincide com o deA. Para concluir a demons-tra¸cão foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperf´ıcie convexa. Interessantes consequências saem do teorema das curvaturas principais, essas consequências são tema do próximo cap´ıtulo.

Inicialmente provamos o lema que segue: Lema 3.0.16. Sejam f : _Mn _−→

Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel e A a segunda forma fundamental def com respeito ao compo normal unit´arioξ :Mn−→Sn−1_.

ConsidereΛ ⊂R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e Λ± _{= Λ}_∩_R±_{. Se} _Λ+_,_Λ−

são ambos não vazios einfΛ+ ₆_{= 0} _ou _sup_Λ+₆_{= 0} _{então, para cada ponto de} _M_, _A _possui

autovalores positivo e negativo. Em particularf tem a propriedade da envolt´oria convexa.

Prova: Primeiro mostremos que, em cada ponto de M,A possui um autovalor positivo. Equivalentemente, se N =_{p_∈_Mn_:_λ

i(p)>0 para algum i∈(1, ..., n)} ent˜ao Mn =N.

Com efeito, N 6= ∅ j´a que Λ+ ₆₌ _∅_{, i.´e, existe} _p

1 ∈ Mn e existe i ∈ (1, ...n) tal

que λi(p1) > 0. Dado que uma inclusão é óbvia, provemos que Mn ⊂ N. Suponha que

M6⊂N, i.´e, existe p2 ∈ Mn tal que, para todo i∈ (1, ..., n) temos λi(p2)≤0. Considere

uma curvaC que ligap1 a p2.

(32)

22

Da conexidade de M e da continuidade de λi : Mn −→ R, obtemos que λi(C) ´e

um intervalo com extremos emλi(p2)≤0 eλi(p1)>0. Portanto existe sequˆencia (pk)k∈N

emCcomλi(pk)>0 tal queλi(pk)−−−→

k→∞ 0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo

que infΛ+ _> _{0. Portanto} _Mn ₌ _N _e _A _{possui um autovalor positivo em cada ponto de}

M.

Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um pontop0 ∈Mn

tal que λi(p0) > 0 para todo i. Da hip´otese Λ− 6= ∅ e com os mesmos argumentos de

conexidade de M e continuidade de λi, obtemos sequˆencia (pk)k∈N tal que λ_i(p_k) −−−→

k→∞ 0

contradizendo que infΛ+ ₆_{= 0. Portanto para todo ponto} _p _∈

Mn existe i tal que λi(p)<0.

Concluimos ent˜ao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

A prova deste resultado segue de forma an´aloga se supormos que supΛ+ ₆_{= 0.}

Teorema 3.0.17. (Curvaturas Principais) Sejam f : Mn _−→ _Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie}

e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unit´ario global ξ :Mn −→ Sn−1 _{. Considere} _Λ _⊂_R _{o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de} _A _e

Λ±_{= Λ}_∩_R±_{. Se} _Λ+ _e _Λ− _{são não vazios então} _inf_Λ+₌_{sup λ}− _{= 0}_.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha por absurdo que infΛ+ _{= 2c >}_{0. Seja} _t

0 = 1/c e defina

f =f +toξ:Mn −→Rn+1

Afirma¸cão 3.0.18. Seja _h,_i a métrica induzida por f. Então a aplica¸cão f é uma hipersuperf´ıcie com a métrica dada por_hu;v_i=_h(I₋t0A)2u;vi.

Prova: Para todo ponto p _∈ _M, a aplica¸c˜ao df_p : TpM −→ Tf(p)M ´e injetiva. Caso

contr´ario existiriaq ∈M e TqM∋v 6= 0 tal que

0 =dfq(v) =dfq(v) +t0dξq(v) = dfq(v)−t0dfq(Aqv) = dfq(v−t0λqv).

Onde a terceira igualdade ´e dada por 1.3.1. Da injetividade dedfq vem quev−t0λpv = 0

donde temosλ(p) = 1_t

0 =ce isto ´e um absurdo pois inf Λ

+ _{= 2c. Portanto} _v _{= 0 e}_df

p ´e

injetiva.

Al´em disso,

hu;v_i=_h(I₋t0A)2u;vi

(33)

23

Por outro lado,

hdf_pu;df_p(v)_i=_hdfp(u)−t0dfp(Au);dfp(v)−t0dfp(Av)i

=_hdfp(u);dfp(v)i −2t0hλu, vif +t20hλu;λvi

=hdfp(u);dfp(v)i −2t0hAu, vi+t20hAu;Avi.

Usando queA ´e um opearador auto-adjunto, obtemos

hdfpu;dfp(v)i=hu;vi −2t0hAu;vi+t20hA2u, vi.

Portanto _hu;v_i=_hdfp(u);dfp(v)i e f ´e uma isometria.

Note que, se bλ são os autovalores do operador I ₋t0A então λbé maior ou igual

a unidade em valor absoluto.

De fato, (I −t0A)v = bλv ⇔ v −t0λv = λvb ⇔ 1−t0λ = bλ. Se supormos que

|bλ_| < 1 ent˜ao ₋2 < ₋t0λ < 0 e teriamos 0 < λ < _t2

0 = 2c o que ´e um absurdo pois

inf Λ+ _{= 2c. Portanto} _|_b_λ_|_>_1.

Afirma¸cão 3.0.19. Munida da métrica _hu;v_i, Mé completa.

Prova: Seja α : [0,+_∞) _−→M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) é o comprimento de α com respeito a mética _h;_i, basta mostrar que l(α) é ilimitado. Para cada t ∈ [0,+∞), seja {e1(t), ...en(t)} uma base ortonormal de Tα(t)M que diagonaliza o

operadorP =I−t0A e tem {λb1, ...,cλn} como autovalores associados. Podemos escrever

α′(t) =

n

X

i=1

αi(t)ei(t)

Assim, teremos

|α′

(t)_|2 =_hα′

(t);α′

(t)_i =_h(I₋t0A)α

′

(t); (I₋t0A)α

′

(t)_i =hP α′(t);P α′(t)i

=h n

X

i=1

αi(t)P ei(t); n

X

i=1

αj(t)P ej(t)i

=

n

X

i=1

(αi(t))2(λbi)2 ≥

n

X

i=1

(αi(t))2 (pois|λbi| ≥1)

(34)

24

Portanto,

l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′

(t)_|dt _≥l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′(t)_|dt

SendoM, com a m´etrica _h;_i, uma variedade completa segue que l(α) ´e ilimitado.

Afirma¸c˜ao 3.0.20. A imers˜ao f possui segunda forma fundamental A = (I −t0A)−1A

com respeito ao mesmo campo de vetores normal unitário ξ. Além disso, se K é a cur-vatura seccional def(M) então K >0.

Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unitário com respeito a A é ξ, assumiremos queA= (I₋t0A)−1A. Esta igualdade será provada em seguida.

Se N é o campo global, normal e unitário com respeito a A então, dN =₋df(A)

=−(df+t0dξ)A

=₋df(A) +t0df(AA)

=₋df(A₋t0AA)

=−df((I−t0A)A)

=₋df(A) =dξ

portanto ξ=N.

Ademais, como a derivada covariante doRn+1_{, com respeito ao campo de vetores}

X ´e ´unica, vem que

−df(AX) = DXξ =−df(AX)

=₋(df(AX)₋t0df(AAX))

=₋df(AX₋t0AAX)

=−df((I−t0A)AX)

Sendof uma imers˜ao, (I−t0A)AX =AX e portanto AX = (I−t0A)−1AX.

Provemos que K >0. Se λ´e um autovalor de A ent˜ao podemos escrever λ= λ

1₋t0λ

= λc c₋λ.

(35)

25

inf Λ+ _{= 2c}_{segue que}_c₋_{λ <}_{0 logo}_λ_≤_{0. Portanto a curvatura seccional}_K ₌_λ

iλj ≥0.

Do lema 3.0.16, A possui posto r _≥2 e como A tem o mesmo posto de A conclu´ı-se que

K n˜ao ´e identicamente nula.

Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f. Assim, f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rn+1 e podemos decompor M ef (veja [5] p´ag. 1) como segue:

M=Mr1×R

n−r

e f =f₁_×f₂ Tal que,

f₁ :_Mr

1 −→Rr+1 e f2 :Rn−r −→Rn−r

Ondef₂ é a aplica¸cão identidade ef₁ é uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1_{. A segunda}

forma fundamental A1 com respeito a f2 tem posto r em algum ponto de Mr1. Portanto

podemos escrever A=A1 ×A0 em que A0 ´e a segunda forma fundamental com respeito

af2. Segue que A0 = 0 e como o posto de A ´e igual ao posto de A, podemos supor que

r=n.

Afirma¸cão 3.0.21. A imagem da aplica¸cão de Gauss ξ : _Mn _−→ _Sn _{com rela¸cão a}

imers˜ao f, tem interior n˜ao vazio.

Prova: Do par´agrafo anterior, existe p _∈ M tal que Ap possui posto n, i.´e, λi(p) 6= 0

para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λi, existe vizinhan¸ca de p, Vi ⊂ M, tal que

λi(p)6= 0 ∀q∈Vi.

Se U =

n

\

i=1

Vi então a aplica¸cão de Gaussξ :U −→Sn é um difeomorfismo sobre

sua imagem.

De fato, dξp = dfp(−Ap) logo, se v ∈ TpM e dξp(v) = dfp(−Ap(v)) = 0 ent˜ao,

da injetividade dedfp temos que −Ap(v) = 0. Como o posto deA|U é igual an, obtemos quev = 0. Portantodξp é injetiva e do teorema da fun¸cão inversaξ|U é um difeomorfismo sobre sua imagem. Já que um difeomorfismo é uma aplica¸cão aberta, ξ(_M) tem interior

n˜ao vazio.

Do corolário 2.1.11 e do teorema 2.1.14,Mé homeomorfa aoRn. Podemos então aplicar o corolário 2.1.15 a hipersuperf´ıcief e concluir que Πn+1◦f(M) é própria.

Afirma¸cão 3.0.22. Πn+1◦f := (Πn+1)|f(|M) :f(M)−→R é própria.

Prova: Como Πn+1◦f é cont´ınua, é suficiente mostrar que (Πn+1◦f)−1(K) é compacto

emf(M), para qualquer compactoK _∈R. J´a que (Πn+1◦f)−1(K) est´a contido emRn+1,

(36)

26

Seja (xn)n∈N sequˆencia em (Π_n₊₁◦f)−1(K). Sabemos que, para ξ = (ξ₁, ...ξ_n₊₁)

Πn+1◦f(xn) = Πn+1◦f(xn) +t0ξn+1(xn).

Como Πn+1◦f(xn) ∈ K e kξn+1k ≤ 1 segue que Πn+1◦f(xn) pertence a um compacto

K′. Sendo assim, existe subsequência (xnk) de (xn)n∈Ntal que Πn+1◦f(xnk) converge. Se Πn+1◦f é uma aplica¸cão própria então (xnk) também é convergente, digamos a x.

Ademais, da continuidade de Πn+1 ◦ f obtemos que Πn+1 ◦f(xnk) converge a Πn+1◦f(x). Como Πn+1◦f(xnk)∈K temos Πn+1◦f(x)∈K logo x∈(Πn+1◦f)

−1_(K)

provando que (Πn+1◦f)−1(K) ´e sequencialmente compacto.

Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que, para quase todo valor regular a > 0 de Πn+1 ◦f : M −→ R, temos que (Πn+1 ◦ f)−1(a) ´e uma

hipersuperf´ıcie de M. Seja ent˜ao a > 0 um valor regular de Πn+1 ◦ f e seja M1 =

(Πn+1◦f)−1(a). Já que Πn+1◦f é própria, então M1 é uma hipersuperf´ıcie compacta de

Mn _{que podemos assumir que ´e conexa (caso contr´ario, consideramos uma componente}

conexa de_M1).

Considere agora o homeomorfismo h : Mn −→ Rn e note que h(M1) ´e uma

hipersuperf´ıcie (topológica) compacta de Rn. Uma generaliza¸cão do teorema de Jordan nos permite afirmar que h(M1) decompõe o Rn em dois abertos L1 e Rn\L1, onde L1 é

relativamente compacto eRn_\_L

1 ´e ilimitado.

Seja ent˜ao Ω =h−1_(L

1). Observe que Ω ´e um aberto relativamente compacto em

Mn e que,

h(M1) =∂L1 =∂h(Ω) =h(∂Ω).

Portanto,

∂Ω = M1 = (Πn+1◦f)−1(a) = f−1(Π−n+11 (a)).

Assim, f(∂Ω) = Π−n+11 (a) = Ha. Em particular Envf(∂Ω) = Env(Ha) = Ha. Pelo

lema 3.0.16 f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Segue que f(Ω)_⊂ Env(f(∂Ω)). Portantof(Ω)_⊂Ha (hiperplano) ef possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto

´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo que infΛ+ ₆_{= 0.}

Para provar que supΛ− _{= 0, basta supor por absurdo que} _sup_Λ− ₌ ₋_{2c <} _{0 e}

proceder de forma an´aloga ao acima.

(37)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

c˜

oes

Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e

Mn _{´e uma variedade completa e orient´avel com curvatura de Ricci menor ou igual a uma}

constante negativa ent˜ao, essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no _R4_{. E}

para n ≥ 4, isso também é válido se, a curvatura seccional não assume todos os valores reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M é uma variedade completa e orientável, de dimensão três, com curvatura de Ricci não positiva então, a curvatura de Ricci está próxima de zero quanto se queira, i.é, o ´ınfimo da curvatura de Ricci é igual a zero. E, se a dimensão é maior ou igual a quatro, isso também é válido se a curvatura seccional não assume todos os valores reais.

Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso é também válido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar.

Para demonstrar o proposto em dimensão três, necessitamos do próximo teorema. Teorema 4.0.23. Seja f :Mn _−→ _Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orientável com}

curvatura de Ricci n˜ao positiva e A a segunda forma fundamental de f. Suponha que A

possui assinatura, i.´e,A tem um autovalor positivo en₋1 autovalores negativos, ou vice versa, para todo p∈M. Ent˜ao

inf

p∈MkApk:= infkAk= 0

inf p∈M

v∈TpM

kRicp(v)k:= infkRick= 0

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p), ..., λn(p) os autovalores de Ap, escolhamos uma orienta¸c˜ao

para_Mtal queAppossua um autovalor positivo en−1 autovalores negativos. Da hip´otese

sobre a curvatura de Ricci temos

Ricp(v)≤0⇔

X

i6=j

Kp(ei, ej)≤0.

(38)

28

Segue da equa¸c˜ao de Gauss que

Kp(ei, ej) =λi(p)λj(p),

donde temos que

X

i6=j

Kp(ei, ej)≤0⇒

X

i6=j

λi(p)λj(p)≤0⇒

λi(p)

X

i6=j

λj(p)≤0

Assim, obtemos que

λi(p) n

X

j=1

(λj(p)−λi(p))≤0.

Note que, para i= 2,

λ2(p)

n

X

j=1

(λj(p)−λ2(p))≤0⇒

λ2(p)λ1(p) +λ2(p)

n

X

j=3

λj(p)≤0⇒

λ1(p)≥ −

n

X

j=3

λj(p) = n

X

j=3

kλj(p)k.

Portanto,

λ1(p)≥ kλj(p)k para todo j 6= 2.

De forma an´aloga, para i= 3,

λ1(p)≥ kλj(p)k para todo j 6= 3.

Segue que

(39)

29

Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ+ _{= inf}

p∈Mλ1(p) = 0. Logo existe uma

sequˆencia (pk)k∈NemM, tal queλ₁(p_k)−−−→

k→∞ 0.Comoλ1(p)≥ kλj(p)kpara todoj ent˜ao,

ao longo dessa mesma sequˆenciaλj(pk)−−−→ k→∞ 0.

Ademais, para todo p∈M,

kApk2 = n

X

j=1

(λj(p))2.

Em particular parapk,

kApkk

2 ₌

n

X

j=1

(λj(pk))2 −−−→ k→∞ 0.

Portanto,

inf_kA_k= 0. Além disso, sevk é uma sequência em TpkM obtemos

Ricpk(vk) = X

ik6=jk

Kpk(eik, ejk) = X

ik6=jk

λik(pk)λjk(pk)−−−→

k→∞ 0.

Portanto,

inf_kRic_k= 0.

Com esse teorema vimos que, as hipersuperf´ıcies completas e orientáveis com curvatura de Ricci não positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura, tem ´ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condi¸cões, as hipersuperf´ıcies de uma variedade de dimensão três tem automaticamente segunda forma fundamental com assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.

Lema 4.0.24. Seja f :M3 −→R4 uma hipersuperf´ıcie com curvatura de Ricci negativa e A a segunda forma fundamental de f. Ent˜ao A possui assinatura.

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p) e λ3(p) os autovalores de Ap. Da hip´otese sobre a curvatura

de Ricci temos,

Ricp(v)<0⇒λi(p)

X

i6=j

λj(p)<0

.

Para i= 1, λ1(p)

X

i6=j

λj(p)<0 e supondo λ1(p)>0 teremos λ2(p) +λ3(p)<0 o

que nos d´aλ2(p)<0 ou λ3(p)<0.

Se λ2(p) < 0 e λ3(p) < 0 nada a fazer. Caso λ2(p) < 0 e λ3(p) > 0 mudamos a

(40)

30

Se λ1(p)<0 o resultado ´e an´alogo. Portanto Ap possue um autovalor positivo e

n₋1 autovalores negativos.

Com esse lema podemos provar a generaliza¸cão de Efimov [4] em dimensão três, a saber,

Teorema 4.0.25. Se f : M3 −→ R4 é uma hipersuperf´ıcie completa e orientável com curvatura de Ricci negativa então inf_kRic_k= 0.

Prova: Sejaf :M3 −→Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie e} _A _{a segunda forma fundamental de}

f. Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 inf_kRic_k= 0.

Nós adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este último resultado também é válido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver nos dois próximos teoremas.

Teorema 4.0.26. Seja f : _M3 _−→

R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orientável com curvatura de Ricci não positiva então inf

p∈M|Gp|= 0. Em particular se Gp =cte para todo

p∈M3, teremos G≡0.

Prova: Pela afirma¸cão 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega-tivos ou vice-versa. Da demonstra¸cão de 4.0.23 existe sequência em M, (pk)k∈N, tal que

λi(pk)−−−→

k→∞ 0 para todo i∈ {1,2,3}.

Portanto,

lim

k→∞G(pk) = limk→∞

3

Y

i=1

λi(pk) = 0.

Logo,

inf

p∈M|Gp|= 0.

(41)

31

Teorema 4.0.27. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orientável com curvatura de Ricci não positiva então inf

p∈M|τ(p)| = 0. Em particular se τ(p) = cte para

todo p_∈M3, teremos τ _≡0.

Prova: Do teorema 4.0.23, Ricpk(vk)−−−→

k→∞ 0. Ent˜ao ao longo desta mesma sequˆencia,

τ(pk) =

3

X

j

Ricpk(vj)−−−→

k→∞ 0.

Logo,

inf

p∈M|τ(p)|= 0.

Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie com-pleta e orientável, com curvatura de Ricci não positiva, pode ser um cilindro. Além disso, mostra uma rela¸cão entre a curvatura média e a curvatura de Ricci. Esta rela¸cão será usada para mostrar uma generaliza¸cão de Efimov paran _≥4.

Teorema 4.0.28. Seja f : M3 −→Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com}

curvatura de Ricci n˜ao positiva e H a curvatura m´edia de _M.

(i) Ou inf

p∈M|Hp|= infkHk:= 0 ou f(M)´e um cilindro sobre uma curva plana emR

n+1_.

(ii) Se infH 6=−∞ ou supH 6= +∞ ent˜ao infkRick= 0.

Em particular, se H =constante6= 0 ent˜ao f(M)´e um cilindro.

Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ+ _{ou Λ}−_{´e vazio. Se Λ}+ ₌

Λ−₌_∅ _ent˜ao _M_{´e um hiperplano e}_H _≡_0.

Caso Λ+ ₌ _∅ _{e Λ}− ₆₌ _∅_, _{da hip´otese sobre a curvatura de Ricci sabemos que}

λi(p)

X

i6=j

λj(p)≤0. ent˜ao

X

i6=j

λj(p)≥0 o que nos d´a λj(p) = 0 para todo j 6=i.

Dessa forma, Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p) = 0 para todo p ∈ M. Por

Hartman-Niremberg [2] pag. 72, f(M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

Supondo que nem Λ+ _{nem Λ}− _{s˜ao vazios, assuma por absurdo que inf}

p∈M|Hp| 6= 0.

SeHp ≥ε > 0, da condi¸c˜ao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nHp −λ(p))≤ 0 para todo

λ(p) ∈ Λ o que nos d´a n·Hp ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+. Do teorema das curvaturas

principais inf

p∈Mn·Hp ≤inf Λ

+ _{= 0. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo inf}

(42)

32

Caso Hp ≤ −ε < 0, teremos que n·Hp ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ−.

Analoga-mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradi¸c˜ao. Portanto infH = 0 e isto conclui a prova de (i).

Para provar (ii) suponha que existe c ∈ R tal que Ricp(v) ≤ −c2,

equivalente-mente, λ(p)(nHp−λ(p))≤ −c2 para todoλ(p)∈Λ. Disto segue quenHp ≤ −c

2

λ(p) +λ(p) para todoλ(p)_∈Λ+_.

Como inf Λ+ _{= 0 existe uma sequˆencia (p}

k)k∈N em M tal que λ(pk) −−−→ k→∞ 0.

Portanto lim

k→∞(

−c2

λ(pk)

+λ(pk)) = −∞e ao longo dessa mesma sequˆencia H −−−→ k→∞ −∞.

Analogamente, usando que nHp ≥ −c

2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ− e que

sup Λ− _{= 0, obtemos que sup}_H _{= +}_∞_.

Teorema 4.0.29. Seja f : Mn _−→ _Rn+1 ₍_n _≥ ₄_{) uma hipersuperf´ıcie completa e}

ori-entável com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional deMnão assume todos os valores reais então inf

p∈MkRicpk= 0.

Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, supK 6= +∞. Com efeito, suponha que infK = −∞. Da continuidade da fun¸c˜ao curvatura seccional e da hip´otese sobre sua imagem temos que supK ₆= +_∞.

Caso infK ₆= _−∞ suponha por absurdo que supK = +_∞. Ent˜ao, existem sequˆencias (pk)k∈N e (v_k, u_k)_k_∈N em M eT_p_kMrespectivamente, onde lim

k→∞Kpk(eik, ejk) = +∞. Al´em

disso, existe c >0 tal que infK _{≥ −}c.

Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci, X

ik6=jk

Kpk(eik, ejk)<0⇒ X

K>0

Kpk(eik, ejk) + X

K<0

Kpk(eik, ejk)<0.

E portanto,

X

K>0

Kpk(e_ik,e_jk) <− X

K<0

Kpk(e_ik,e_jk) ≤c. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo que supK = +_∞.

Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor positivo en−1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23.

Caso contr´ario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores negativos. Comoλ(p)(nHp−λp)<0 para todo λ∈Λ ent˜aonHp < λ(p) paraλ(p)>0.

(43)

33

Ent˜ao, paraHp >0

(

nHp < λi1(p)

nHp < λi2(p).

Portanto,

λi1(p)·λi2(p)≥n

2_(H

p)2 ⇒Kp(ei1, ei2)≥n

2_(H

p)2.

Logo,

+_{∞ 6}= supK _≥supKp(ei1, ei2)≥supH.

Do teorema 4.0.28 (ii),

inf

p∈MkRicpk= 0.

(44)

Referˆ

encias

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(45)

35

(46)

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