EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO E DE UM ATRATOR PARA EQUAÇÃO DA ONDA COM MEMÓRIA DEGENERADA

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

(Mestrado)

TALITA DRUZIANI MARCHIORI

EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO E DE UM ATRATOR PARA

EQUAÇÃO DA ONDA COM MEMÓRIA DEGENERADA

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO E DE

UM ATRATOR PARA EQUAÇÃO DA

ONDA COM MEMÓRIA

DEGENERADA

TALITA

D

RUZIANI

M

ARCHIORI

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Esta-dual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requi-sitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Área de concentração: Análise.

Orientadora: Profa_{. Dr}a_{. Claudete Matilde Webler} Martins.

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, por me permitir chegar até aqui.

Aos meus pais, que sempre estiveram comigo ao longo dessa caminhada e nunca mediram esforços para que esse sonho fosse alcançado. Aos meus irmãos, pelo carinho dedicado a mim, especialmente à minha irmã Jaqueline, que sempre esteve disposta a me ajudar.

Ao meu namorado Cristian que, com muito amor, paciência e companheirismo, es-teve ao meu lado e nunca deixou de acreditar e confiar em mim, mesmo nos momentos de estresse.

Aos meus amigos, próximos e distantes, que me apoiaram e incentivaram. Obri-gada por todos os encontros e companheirismo.

A todos os professores da minha vida acadêmica, em especial à minha orientadora Claudete Matilde Webler Martins, pela paciência, sabedoria, compreensão, confiança, incentivo e ajuda que foram essenciais para elaboração e conclusão deste trabalho.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

Enfim, a todos que acreditaram em mim. Meu muito obrigada!

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Resumo

Neste trabalho consideramos a equação da onda viscoelástica degenerada com com-portamento a longo tempo

utt− △u+ Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇(u)(t−s)]ds+b(x)ut+f(u) =h(x). (0.0-1)

Estudamos a existência e unicidade de solução para (0.0-1), definida em um domínio limitadoΩ deR3, com condição de fronteira do tipo Dirichlet, ondea ∈ C1(Ω)

satis-fazendomed{x ∈ Γ;a(x) > 0} > 0, b ∈ L∞(Ω), g ∈ C1(R+₎_∩_L1₍_R+₎_, _f _∈ _C2 0(R) e

h ∈ L2(Ω). Além disso, estudamos a existência de um atrator global para o problema

com dissipação viscoelástica e atrito combinados (casob 6= 0) onde (0.0-1) é estudada

emΩ×R+_,

u(x, t) = 0 em Γ×R,

u(x,−t) = u0(x,−t), ut(x,−t) = _∂t∂u0(x,−t) em Ω×R+,

eu0(x, t), t≤0, é estabelecido como passado histórico deu.

(9)

Abstract

This work considers a degenerate viscoelastic wave equation with long-time behaviour

utt− △u+ Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇(u)(t−s)]ds+b(x)ut+f(u) =h(x). (0.0-2)

We study the existence and uniqueness of solution for (0.0-2), defined in a bounded do-mainΩofR3_{, with Dirichlet boundary condition, where}_a _∈_C1_(Ω)_{such that}_med_{_x _∈

Γ;a(x) > 0} > 0, b ∈ L∞(Ω), g ∈ C1(R+₎ _∩_L1₍_R+₎_, _f _∈ _C2

0(R) and h ∈ L2(Ω). In

addition, we study the existence of a global attractor for the problem with combined viscoelastic and frictional dissipations (caseb 6= 0) where (0.0-2) is defined in Ω×R+_,

u(x, t) = 0 in Γ×R_,

u(x,−t) =u0₍_x,₋_t₎_, _u

t(x,−t) = _∂t∂u0(x,−t) inΩ×R+, andu0₍_{x, t}₎_{, t} _≤₀_{, is a prescribed past history of}_u_.

(10)

SUMÁRIO

Introdução 11

1 Resultados Preliminares 14

1.1 Alguns Conceitos de Análise Funcional . . . 14

1.2 Os EspaçosLp_(Ω) _{. . . 19}

1.3 Teoria das Distribuições . . . 21

1.4 Os Espaços de Sobolev . . . 24

1.5 Teoria do Traço . . . 30

1.6 Semigrupo de Operadores Lineares e Limitados e Sistemas Dinâmicos . 32 1.7 O Problema de Cauchy Abstrato . . . 36

2 Equação da Onda com Memória Degenerada 39 2.1 Hipóteses . . . 40

2.1.1 Hipótese 1(H1) . . . 40

2.1.2 Hipótese 2(H2) . . . 41

2.1.3 Hipótese 3(H3) . . . 41

2.1.4 Hipótese 4(H4) . . . 42

2.2 Existência e Unicidade de Solução . . . 44

2.3 Existência de Atrator Global . . . 60

(11)

INTRODUÇÃO

Este trabalho foi baseado no artigo de Marcelo Moreira Cavalcanti, Luci Harue Fa-tori e Ma To Fu [6].

Consideramos a equação da onda viscoelástica semilinear com história

utt− △u+ Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇u(t−s)]ds+f(u) =h(x), (0.0-3)

definida em um domínio limitadoΩ⊂R3_{, com fronteira regular}_Γ_{e condição de}

fron-teira do tipo Dirichlet. Temos ainda que o problema é degenerado, considerando que a função a(x) ≥ 0, no termo de memória, se anula em um subconjunto de medida

positiva deΩ.

Inicialmente, foram provados resultados de existência e unicidade de solução do sistema

utt−div[(1−a(x)k0)∇u]−

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇ηt(s)]ds+b(x)ut =−f(u) +h (0.0-4)

ondeh∈L2(Ω),k0 =

Z ∞

0

g(s)ds

(12)

INTRODUÇÃO 12

com condição de fronteira

u(x, t) = 0, x∈Γ, t >0e ηt(x, s) = 0, x∈Γ, t, s >0 (0.0-6)

e condição inicial

u(x,0) =u0(x), ut(x,0) = u1(x), ηt(x,0) = 0, η0(x, s) =η0(x, s), (0.0-7)

onde

      

     

u0(x) = u0(x,0), x∈Ω, u1(x) = ∂tu0(x, t)|t=0, x∈Ω,

η0(x, s) = u0(x,0)−u0(x,−s), (x, s)∈Ω×R+.

(0.0-8)

Assumimos hipóteses apropriadas para as funçõesa, b, g ef, descritas em(H1)− (H4), como em [6]. Para demonstração dos resultados de existência e unicidade de

solução utilizamos resultados da teoria de semigrupos de classeC0 e da teoria de

pro-blemas de Cauchy abstrato.

Posteriormente, estabelecemos a existência de um atrator global para o sistema (0.0-4)-(0.0-8). Para esta demonstração utilizamos resultados da teoria de sistemas dinâmi-cos. Usando propriedades de sistemas quase estáveis, mostramos que o atrator global possui dimensão fractal finita.

Estabelecemos a existência do atrator global adicionando uma dissipação de atrito definida localmente, o termo dissipação também é conhecido por "damping". O pro-blema explora a dissipação combinada dada por dois tipos de dissipações parciais di-ferentes, elas são complementares. Além disso, a dissipação de atrito pode ser tomada arbitrariamente pequena (veja hipótese (H2)).

O trabalho de CAVALCANTI, M. M.; FATORI, L. H.; FU, M. T; [6], o qual nos ba-seamos, foi um trabalho pioneiro abordando o comportamento a longo tempo de uma equação de onda viscoelástica degenerada.

(13)

INTRODUÇÃO 13

(14)

CAPÍTULO 1

RESULTADOS PRELIMINARES

O capítulo que se inicia tem por objetivo apresentar os principais conceitos e resul-tados que são necessários ao desenvolvimento deste trabalho. Ao longo deste capítulo,

K_{denotará o corpo dos números reais}R_{ou o corpo dos números complexos}C_e_Ω_um

subconjunto aberto deRn_.

Cabe salientar que não provaremos os resultados expostos, mas citaremos a refe-rência onde as provas estão feitas.

1.1 Alguns Conceitos de Análise Funcional

Definição 1.1. SejaX um espaço vetorial. Uma sequência emX é uma funçãox:N→

X. Denotaremos por x(n) := xn ex(N) := (xn)n∈N ou simplesmente por (x_n). Uma

subsequência de (xn) é uma restrição x|N′ : N

′ _→ _X _{da função} _x _{a um subconjunto}

infinitoN′ _⊂_N_.

Definição 1.2. Seja X um K−espaço vetorial. Uma métrica em X é uma função d :

X×X →R+_{tal que para quaisquer elementos}_{x, y, z} _∈_X_temos:

(15)

1.1 Alguns Conceitos de Análise Funcional 15

• d(x, z)≤d(x, z) +d(z, y).

O par(X, d)é chamado espaço métrico.

Definição 1.3. Seja(xn)uma sequência em um espaço métricoX. Dizemos que(xn)é:

• convergente emX quando existex∈Xsatisfazendo a seguinte condição: para todo ε > 0, existe n0 ∈Ntal qued(xn, x)< ε, para todon > n0. Denotamos a convergência

de(xn)paraxporxn→x.

• de Cauchy em X se para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que d(xm, xn) < ε, para quaisquerm, n > n0.

Definição 1.4. O espaço métrico X é chamado de espaço métrico completo se toda

sequência de Cauchy definida emXconvergir emX, isto é, tem um limitex∈X.

Definição 1.5. Seja X um K_{-espaço vetorial. Uma norma em X é uma função} _k·k

X :

X →R+_{tal que para quaisquer}_{x, y} _∈_X_e_α _∈_K_:

• kxk_X = 0⇔x= 0; • kαxk_X =|α| kxk_X;

• kx+yk_X ≤ kxk_X +kyk_X.

O par(X,k·k_X)é chamado espaço normado. Quando não houver confusão,

deno-taremos porXum espaço normado e pork·ka norma emX.

Definição 1.6. Seja X umK-espaço vetorial. Uma aplicação n : X → R+ _{é uma}

se-minorma se as seguintes condições são satisfeitas para quaisquer x, y ∈ X eλ ∈ K_:

• n(λx) =|λ|n(x); • n(x+y)≤n(x) +n(y).

Quandon(x)6= 0parax6= 0a seminorma é uma norma.

Definição 1.7. Seja X um espaço vetorial normado e k·k₁,k·k₂ duas normas em X.

Dizemos quek·k₁ é equivalente ak·k₂ quando existem constantesC1 >0eC2 > 0tais

que

C1kxk1 ≤ kxk2 ≤C2kxk1, ∀x∈X.

Observação 1.8.Todo espaço normado(X,k·k)pode ser considerado um espaço métrico(X, d),

(16)

Definição 1.9. Um espaço vetorial normado (X,k·k)é chamado de espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy emX é convergente emX, com respeito à métrica

induzida pela normak·k.

Definição 1.10. SejaXumK-espaço vetorial. Um produto interno emXé uma função

h·,·i_X :X×X →R+_{tal que para quaisquer}_{x, y, z}_∈_X _e_α_∈_K_:

• hx+y, zi_X =hx, zi_X +hy, zi_X;

• hαx, yi_X =αhx, yi_X;

• hx, yi_X =hy, xi_X;

• hx, xi_X = 0 ⇔x= 0.

Neste caso, o parX = (X,h·,·i_X)é chamado espaço com produto interno. Quando não houver confusão, denotaremos porX um espaço com produto interno e porh·,·i

o produto interno emX.

Definição 1.11. SejaXum espaço com produto interno. Então a aplicação:

• d(·,·) :X×X →R+_{dada por}

d(x, y) = hx−y, x−yi12

define uma métrica em X, que será denominada métrica induzida pelo produto

in-ternoh·,·i.

• k·k:X×X →R+_{dada por}

kxk=hx, xi12

define uma norma emX, que será denominada norma induzida pelo produto interno

h·,·i.

Definição 1.12. Um espaço com produto internoX é um espaço de Hilbert se ele for

um espaço de Banach relativamente à norma induzida pelo produto interno.

Definição 1.13. Sejam X e Y dois K-espaços normados. Dizemos que um operador T :D(T)⊂X →Y é linear quando

T(x+αy) = T(x) +αT(y),

(17)

O conjuntoD(T)é o domínio deT. No caso particularY =K, dizemos queT é um

funcional linear.

Definição 1.14. Um operador linear T : D(T) ⊂ X → Y definido entre dois espaços

normadosXeY é chamado de:

• limitado emX quando existe uma constanteC > 0tal quekT(x)k_Y ≤ Ckxk_X, para

todox∈D(T);

• contínuo quando T é contínuo em todo x ∈ D(T), ou seja, dado a ∈ D(T), para

cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D(T) com kx−ak_X < δ, então

kT(x)−T(a)k_Y < ε.

Teorema 1.15. Seja T : D(T) ⊂ X → Y um operador linear definido entre dois espaços normadosXeY. EntãoT é limitado se, e somente se,T é contínuo.

Demonstração. Ver [13], página 97, Teorema 2.7-9.

Denotaremos porL(X, Y), o conjunto dos operadores lineares limitados. Este

con-junto munido com a norma

kTk_L(_X,Y₎:= sup

x∈X,kxkX=1

kT(x)k_Y ,

é um espaço normado. No casoY = R, denotaremos L(X, Y) := X′. O espaçoX′ é

chamado de dual topológico do espaçoX.

Teorema 1.16. Sejam X e Y dois espaços normados. Se Y é um espaço de Banach, então

L(X, Y),k·k_L(_X,Y₎é um espaço de Banach. Em particular,X′ eX′′:= (X′)′ _{são espaços de}

Banach.

Demonstração. Ver [13], página 118, Teorema 2.10-2.

Definição 1.17. Um espaço normadoXé chamado de reflexivo quando o operador J : X →X′′

x 7→J(x),

definido porJ(x)(f) = f(x), é sobrejetor.

(18)

Demonstração. Ver, [13], página 242, Teorema 4.6-6.

Definição 1.19. SejaH um espaço com produto interno. Diremos que uma forma

bili-near

ah·,·i:H×H →R,

isto é, uma aplicação linear na primeira e na segunda variável, é 1. contínua se existirc≥0tal que

|ahu, vi| ≤ckuk kvk, ∀u, v ∈H.

2. coerciva se existirα >0tal que

ahv, vi ≥αkvk2, ∀v ∈H.

Teorema 1.20. (Lax Milgran). SejamH um espaço de Hilbert ea : H×H →R_{uma forma}

bilinear, contínua e coerciva. Então, para todoφ∈H′, existe um únicou∈Htal que

ahu, vi=φ(v), ∀v ∈H.

Demonstração. Ver [5], página 181, Corolário 4.15.

Definição 1.21. Uma sequência(xn)em umK-espaço normadoXconverge fracamente parax∈ Xquandof(xn)→f(x)emK, para todof ∈X′. Denotaremos a convergên-cia fraca de(xn)paraxporxn ⇀ x.

Definição 1.22. SejaXumK-espaço vetorial. Uma seminormanemXé dita compacta

se, para qualquer sequência(xj) ⊂ X tal que xj ⇀ 0 fracamente em X implicar que

n(xj)⇀0.

Definição 1.23. Sejam X e Y espaços de Banach. Um operador F : X → Y é dito

localmente Lipschitziano quando para toda constante L > 0, existe uma constante

ML>0tal que sekxkX ≤LekykX ≤L, então

kF(x)−F(y)k_Y ≤MLkx−yk_X.

(19)

1.2 Os EspaçosLp(Ω) 19

Lipschitz se existeC > 0tal que

kF(x)−F(y)k_Y ≤Ckx−yk_A

para todox, y ∈A.

Definição 1.25. SejamX eY espaços com produto interno eT : X →Y um operador.

Dizemos que o operadorT∗ :Y →X é o adjunto deT se

hT x, yi=hx, T∗yi,

para quaisquerx∈X ey∈Y.

Definição 1.26. SejaX um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e T :X →Xum operador linear. Dizemos queT é auto adjunto seT =T∗_.

1.2 Os Espaços

L

p

(Ω)

Definição 1.27. Denotaremos porLp_(Ω)_,₁_≤_{p <}_∞_{, o conjunto das (classes de) funções} reaisfdefinidas emΩcuja p-ésima potência é integrável no sentido de Lebesgue e por

L∞(Ω)denotaremos o conjunto das (classes de) funções mensuráveis e essencialmente

limitadas emΩ.

Definição 1.28. Denotaremos porLp_loc(Ω),1≤p <∞, o espaço das (classes de) funções reais definidas em Ω, cuja p-ésima potência é integrável à Lebesgue sobre qualquer

subconjunto compacto Rn _{contido em} _Ω _{e por} _L∞

loc(Ω) o espaço das (classes de) fun-ções mensuráveis e essencialmente limitadas em qualquer subconjunto compacto do

Rn_{contido em}_Ω_.

Teorema 1.29. O espaçoLp_(Ω)_{munido da norma}

kfk_Lp_(Ω) =kfk_p =

Z

Ω

|f|pdx

1_p

, se 1≤p < ∞

e

kfk_L∞_(Ω) =kfk_∞= sup

x∈Ω

ess|f(x)|

(20)

1.2 Os EspaçosLp(Ω) 20

Demonstração. Ver [1], página 26, Teorema 2.10.

Corolário 1.30. O espaçoL2(Ω)é um espaço de Hilbert com produto interno dado por hf, gi_Lp_(Ω) =hf, gi_p =

Z

Ω

f(x)g(x)dx.

Teorema 1.31. Se0 < p1 < p2 ≤ ∞e|Ω| < ∞, entãoLp2(Ω) ⊂ Lp1(Ω), onde|Ω|denota a

medida de Lebesgue.

Teorema 1.32. Lp_(Ω) _⊂_L1

loc(Ω)para1≤p≤ ∞e qualquer domínioΩ.

Teorema 1.33. (Desigualdade de Young). Sejam 1 < p < ∞e q ∈ R_{tais que} 1

p +

1

q = 1. Dadosa, b≥0, então

ab≤ a

p

p + bq

q.

Corolário 1.34. (Desigualdade de Young com peso) Dadosa, b≥0eε >0vale

ab≤εa2+ b

2

4ε.

Definição 1.35. Seja1≤p≤ ∞. Dizemos que um número realqé expoente conjugado

depquando 1 p +

1

q = 1sep∈(1,∞),q =∞sep= 1eq = 1sep=∞.

Teorema 1.36. (Desigualdade de Hölder). Sejam1 ≤ p ≤ ∞eq o expoente conjugado de p. Sef ∈Lp_(Ω)_e_g _∈_Lq_(Ω)_{, então}_{f g} _∈_L1_(Ω)_e

kf gk₁ ≤ kfk_pkgk_q. Demonstração. Ver [18], página 186, Teorema 8.6.

Teorema 1.37. (Desigualdade de Minkowski). Se1≤p≤ ∞então

(21)

1.3 Teoria das Distribuições 21

Teorema 1.38. (Teorema de Representação de Riesz) Sejam1< p <∞ef ∈(Lp_(Ω))′_._Então

existe uma única funçãou∈Lq_(Ω)_com 1

p+

1

q = 1, tal que

hf, vi=

Z

Ω

u(x)v(x)dx, ∀v ∈Lp(Ω).

Mas ainda,

kuk_q =kfk₍_Lp_(Ω))′.

E, sep= 1ef ∈(L1_(Ω))′_{, existe uma única}_u_∈_L∞_(Ω)_{tal que}

hf, vi=

Z

Ω

u(x)v(x)dx, ∀v ∈L1(Ω)e kuk_∞=kfk₍_L1_(Ω))′.

Proposição 1.39. (Lema de Gronwall). DadoT > 0, sejamf ∈ C([0, T]), g ∈ L1₍₀_{, T}₎

fun-ções não negativas eC uma constante positiva. Se

f(t)≤C+

Z t

0

g(s)f(s)ds, ∀t∈[0, T], então

f(t)≤CeR0tg(s)ds, ∀t∈[0, T].

Demonstração. Ver [17], página 16, Corolário 1.5.1.

1.3 Teoria das Distribuições

Dadosα = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn ex = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, representaremos porDα o operador derivação de ordemαdefinido por

Dα = ∂

|α|

∂xα1₁ ∂xα2₂ ...∂xαn

n

,

onde|α|=

n X

i=1

(22)

Definição 1.40. Seja φ : Ω → K uma função contínua. Definimos o suporte de φ, e

denotaremos porsupp(φ), como sendo o fecho emΩdo conjunto{x∈Ω;f(x)6= 0}.Se

este conjunto for um compacto doRn_{, então dizemos que}_φ_{possui suporte compacto.}

Definição 1.41. Denotaremos por C∞

0 (Ω) o espaço vetorial, com as operações usuais,

das funções infinitamente diferenciáveis emΩe que tem suporte compacto.

Teorema 1.42. C∞

0 (Ω)é denso emLp(Ω), para1≤p <∞.

Definição 1.43. Uma sequência (φν) em C0∞(Ω) converge para φ em C0∞(Ω), quando

existe um subconjunto compactoKdeΩ, tal que: • supp(φ), supp(φν)⊂K, para todoν ∈N;

• Para todo multi-índiceα ∈Nn_{, tem-se}_Dα₍_φ

ν −φ)→0uniformemente emK.

O espaçoC₀∞(Ω), munido dessa noção de convergência, é chamado de Espaço das

Funções Teste sobreΩe é representado porD(Ω).

Definição 1.44. Uma distribuição sobre um aberto Ω ⊂ Rn _{é um funcional linear}_T _:

D(Ω)→R_{, contínuo no sentido da convergência em}_D(Ω)_{, isto é,}

• T(aφ+bψ) =aT(φ) +bT(ψ), ∀φ, ψ∈ D(Ω);

• Seφν converge paraφemD(Ω), entãoT(φν)converge paraT(φ)emR. O espaço das distribuições sobreΩé denotado porD′_(Ω)_.

SeT ∈ D′_(Ω)_{, representamos o valor da distribuição}_T _em _φ_por_h_{T, φ}_i_{. Com isso,}

dizemos que

Tν →T emD′(Ω), quando

hTν, φi → hT, φiemR, ∀φ ∈ D(Ω).

Exemplo 1.45. Sejau∈L1_loc(Ω). O funcionalTu :D(Ω)→R, definido por

hTu, φi= Z

Ω

u(x)φ(x)dx, ∀φ∈ D(Ω),

(23)

Exemplo 1.46. Sejax0 ∈Ω. Entãoδx0 definido por

hδx0, φi=φ(x0), φ∈ D(Ω)

é uma distribuição sobreΩ. Quandox0 = 0, escrevemosδ0.

A distribuição δx0 não é definida por uma função localmente integrável. Para mais detalhes ver [3], página 23, Exemplo 1.12.

Observação 1.47. Do Exemplo 1.45, segue que a função T : L1_loc(Ω) → D′_(Ω)_{, dada por}

T(u) =Tu, sendohTu, φi= R

Ωu(x)φ(x)dx, ∀φ∈ D(Ω), está bem definida, é linear e injetiva.

Por esta razão, identifica-seucom a distribuiçãoTupor ela definida e diz-se "a distribuiçãou"ao

invés da distribuiçãoTu. Além disso,T é contínua. Então, podemos escrever queL1loc(Ω)está

imerso continuamente emD(Ω). Porém, pelo Exemplo 1.46 vemos que, não é toda distribuição

que pode ser definida por uma funçãou∈L1_loc(Ω). Ou seja, a funçãoT não é sobrejetora.

Definição 1.48. SejaT uma distribuição sobreΩeα ∈ Nn_{. A derivada de ordem}_α_de

T é um funcionalDα_T _:_D_(Ω)_→_R_{, definido por}

hDαT, φi= (−1)|α|_h_{T, D}α_φ_i_.

Observação 1.49. •Dα_T _{é uma distribuição sobre}_Ω_.

• Uma distribuição possui derivadas de todas as ordens.

• A funçãoDα _: _D′_(Ω) _{→ D}′_(Ω)_{dada por}_Dα₍_T_{) =} _Dα_T _{é linear e continua no sentido da}

convergência definida emD′_(Ω)_.

Para mais detalhes, veja [3].

Exemplo 1.50. Sejaua função Heavisidade definida emRdo seguinte modo:

u(x) =

  

 

1, se x≥0 0, se x < 0.

Ela é localmente integrável emR_{mas, sua derivada}_u′ _{no sentido das distribuições não}

(24)

1.4 Os Espaços de Sobolev 24

1.4 Os Espaços de Sobolev

Sejam1 ≤ p < ∞em ∈ N. Como visto nas Observações 1.47 e 1.49, no Teorema

1.32 e no Exemplo 1.50, se u ∈ Lp_(Ω) _{a distribuição} _u _{possui derivadas de todas as} ordens no sentido das distribuições, mas não é verdade, em geral queDα_u _{seja uma} distribuição definida por uma função deLp_(Ω)_{. Isto é o que motivou a definição dos} espaços de funções denominados Espaços de Sobolev.

Definição 1.51. Dado um número inteirom > 0, representamos porWm,p_(Ω)_{o espaço} vetorial de todas as funçõesupertencentes aLp_(Ω)_{, tais que para todo}_|_α_{| ≤} _m_{, temos} que a derivada deuno sentido das distribuiçõesDα_u_{, pertence a}_Lp_(Ω)_.

Para cadau∈Wm,p(Ω), definimos a norma deupondo

kuk_Wm,p_(Ω) =



 X

|α|≤m Z

Ω

kDαukp_Lp_(Ω)



 1

p

, quando1≤p <∞,

e

kuk_Wm,∞_(Ω) =

X

|α|≤m

kDαuk_L∞_(Ω), quandop=∞.

Observação 1.52. Quandop= 2,Wm,2(Ω)é representado porHm(Ω).

Teorema 1.53. O espaço de SobolevWm,p_(Ω)_{é um espaço de Banach.}

Demonstração. Ver [3], página 80, Proposição 2.2.

Corolário 1.54. Os espaçosHm(Ω)são espaços de Hilbert com a estrutura de produto interno

dada por

hu, vi_Hm_(Ω) =

X

|α|≤m

hDαu, Dαvi_L2_(Ω).

Sabemos que C₀∞(Ω) é denso em Lp_(Ω)_{, mas não é verdade que} _C∞

0 (Ω) é denso

emWm,p(Ω), param ≥ 1. Por isto defini-se o espaçoW₀m,p(Ω)como sendo o fecho de

(25)

Observemos que quando Ω é "suficientemente suave"com fronteira Γ = ∂Ω

limi-tada, então para1≤p < ∞consideramosW₀m,p(Ω)munido da norma

kuk_Wm,p

0 (Ω) = 

 X

|α|=m Z

Ω

|Dαu(x)|pdx



 1

p

que é equivalente a norma kuk_Wm,p_(Ω). Suponha que 1 ≤ p < ∞ e 1 < q ≤ ∞ tal

que 1

p +

1

q = 1. Representa-se por W

−m,q_(Ω) _{o dual topológico de} _Wm,p

0 (Ω). O dual

topológico deH₀m(Ω)denota-se porH−m(Ω).

Teorema 1.55. (Desigualdade de Poincaré). Se|Ω|<∞então existe uma constanteC > 0tal que

kuk_L2_(Ω) ≤Ck∇uk_L2_(Ω), ∀u∈H₀1(Ω).

Teorema 1.56. Suponha que Ω ⊂ RN _{é limitado e que a fronteira de} _Ω_, _∂_Ω _∈ _Cm_(Ω)_{. Se}

mp < N, então

Wm,p(Ω)֒→Lq(Ω)

para todosq ∈h1,_NpN₋_mpi.

Exemplo 1.57. Acima, definimos os espaços Wm,p_(Ω)_{, onde} _Ω _⊂ _Rn _{era um aberto} genérico. Em particular, quandop= 2eΩ = Rn_{, temos:}

Hm(Rn_{) =} _{_u_∈_L2₍_Rn_);_Dα_u_∈_L2₍_Rn_); _∀_α_∈_Nn_;_|_α_|≤_m_}_,

onde as derivadas são distribucionais, munido do produto interno

hu, vi_Hm₍Rn₎ =

X

|α|≤m

hDαu, Dαvi_L2₍Rn₎. (1.4-1)

Definição 1.58. Denotamos por S o espaço de Schwartz que é definido por

S ={ϕ∈C∞(Rn); lim

kxk7→∞kxk

k

(26)

Definição 1.59. Para cada função u ∈ L1₍_Rn₎ _{a transformada de Fourier de}_u _{é dada} por

ˆ

u(x) = (2π)−2n Z

Rn

e−ihx,yiu(y)dy

onde,hx, yidenota o produto interno usual deRn_{, ou seja,}_h_{x, y}_i₌ n X

j=1

xjyj.

Consideremos o seguinte espaço

{u∈S′(Rn_{); (1 +}_k_x_k2

)m2uˆ∈L2(Rn)}

ondeuˆdesigna a transformada de Fourier deu, munido do produto interno

hu, vi=

Z

Rn

(1 +kxk2)muˆ(x)ˆv(x)dx=

(1 +kxk2)m2u,ˆ (1 +kxk2)

m

2vˆ

L2₍Rn₎. (1.4-2)

Proposição 1.60. Para todom∈N_temos:

Hm(Rn) = {u∈S′(Rn); (1 +kxk2)m2 uˆ∈L2(Rn)}.

Além disso, as normask·k_mek·kprovenientes dos produtos internos dados em (1.4-1) e (1.4-2)

são equivalentes.

Motivados pela Proposição 1.60 temos a seguinte definição:

Definição 1.61. Definimos paras∈R,s≥0:

Hs(Rn_{) =} _{_u_∈_S′_{; (1 +}_k_x_k2

)s2uˆ∈L2(Rn)}

munido do produto interno

hu, vi_Hs₍Rn₎ =

Z

Rn

(1 +kxk2)s_u_ˆ₍_x_)ˆ_v₍_x₎_dx.

Teorema 1.62. Para todos≥0, o espaçoHs₍_Rn₎_{, é um espaço de Hilbert.}

(27)

Observação 1.63. Ses ≥0, temos que

Hs(Rn₎_֒_→_L2₍_Rn₎_֒_→₍_Hs₍_Rn₎₎′ ₌_H−s₍_Rn₎_.

Definição 1.64. ParaΩ⊂Rn_{aberto e limitado bem regular (ou o}_Rn

+) es ≥0, definimos

Hs(Ω) ={u|Ω; u∈H s

(Rn)},

cuja norma é dada por

kuk_Hs_(Ω) = inf{kvk_Hs₍Rn₎; v|Ω =u}.

Observação 1.65. Quandos ≥ 0é um inteiro as definições deHs_(Ω) _{dadas acima e na}

Ob-servação 1.52 são equivalentes.

Proposição 1.66. SejaΩ ⊂ Rn_{um aberto e limitado bem regular. Para todo} _s _≥ ₀_, _Hs_(Ω) _é

um espaço de Hilbert.

Agora, considerandoΩum subconjunto aberto limitado doRn_{com fronteira}_Γ_bem regular vamos introduzir os espaçosHs(Γ). Esta teoria pode ser vista detalhadamente

em [3] e em [14].

Seja {(U1, ϕ1), ...,(Uk, ϕk)} um sistema de cartas locais para Γ. A cobertura aberta

Ω, U1, ..., Uk deΩ¯ determina uma partiçãoC∞da unidade subordinada à mesma. Mais precisamente, existemθ0, θ1, ..., θk ∈C0∞(Rn)tais que

(i)supp(θ0)⊂Ω; supp(θi)⊂Ui parai= 1, ...k;

(ii)

k X

i=0

θi(x) = 1; para todox∈Ω¯;

(iii) 0≤θi ≤1 parai= 1, ..., k.

Sejauuma função definida sobreΓ. Por(ii), temos que

u(x) =

n X

i=1

(28)

Para cadai∈ {1, ..., k}, definimos

ui(y) = (θiu)(ϕ−1i (y))

ondey∈P

= (0,1)n−1_.

Observação 1.67. Notemos que

S(uθi) = {x∈Γ; (uθi)(x)6= 0} ⊂supp(θi)∪Γ⊂Ui∪Γ.

Então,

S(ui) ={x∈(0,1)n−1; (ui)(x)6= 0}

é um compacto doRn−1 _{contido no aberto}P_{. Além disso, como,}

supp(ui)⊂S(ui)⊂ X

podemos estenderui a uma funçãou˜i definida por

˜

ui(y) =   

 

(uθi)(ϕ−1i (y)), se y ∈ P

0, se y ∈Rn−1₋P

.

Seu˜i for para todoi= 1, ..., k,uma função integrável emRn−1então em virtude de (1.4-3)

Z

Γ

u(x)dΓ =

k X

i=1

Z

Γ

(uθi)(x)dΓ = k X

i=1

Z

Rn−1

˜

ui(y) ¯J(y)dy,

onde_J¯₍_y₎_{é uma aplicação infinitamente diferenciável sobre}Rn−1_.

Denotando pordΓa medida superficial sobreΓinduzida pela medida de Lebesgue,

designaremos porLp_(Γ)_,₁_≤_p _{≤ ∞}_{, o espaço das funções}_Lp _{somáveis sobre}_Γ_{para a} medida superficialdΓ, munido da norma

kuk_Lp_(Γ) =

Z

Γ

|u(x)|p _d

Γ

1_p

, (1.4-4)

se1≤p <∞ou,

kuk_L∞_(Γ) = sup

x∈Γ

(29)

sep=∞.

Sejam ∈ N_{. Representamos por} _Cm_(Γ)_{o espaço das funções}_u_{: Γ} _→_K_{de classe}_Cm_e porD(Γ)o espaço das funções infinitamente diferenciáveis sobreΓ. Usando a partição

da unidade{θi}0≤i≤kintroduzida anteriormente temos,

Lp(Γ) = {u: Γ→K_; _u_θ^_i_◦_ϕ−1

i = ˜ui ∈Lp(Rn−1), i = 1, ..., k},

Cm(Γ) ={u: Γ→K; uθ^i◦ϕi−1 = ˜ui ∈Cm(Rn−1), i= 1, ..., k} e

D(Γ) ={u: Γ→K_; _u_θ_i^_◦_ϕ−1

i = ˜ui ∈Cm(Rn−1), ∀m ∈N e i= 1, ..., k}. Consideremos a aplicação:

φi : D(Γ) →D(Rn−1)

u 7→φi(u) = ˜ui =u

^

θi◦ϕ−1i . (1.4-5)

Sendov ∈D(Rn−1₎_{vem que}

hφi(u), viD′

(Rn−1_)×_D₍Rn−1₎ = Z

Rn−1

˜

ui(y)v(y)dy

=

Z

Ui∪Γ

u(x)θi(x)v(ϕi(x))Ji(x)dΓ (1.4-6)

ondeJi(x)é uma aplicação infinitamente diferenciável sobreΓi =Ui∪Γ. Definindo

ψi(v)(x) =   

 

θi(x)v(ϕi(x))Ji(x), se x∈Ui∪Γ

0, se x∈Γ−(Ui∪Γ) então, de (1.4-6) podemos escrever

hφi(u), vi_D′₍_Rn−1_)×_D₍Rn−1₎ = Z

Γ

u(x)ψi(v)(x)dΓ

ou ainda, do fato queψi(v)∈D(Γ), tem-se

(30)

1.5 Teoria do Traço 30

Da igualdade acima e do fato que D(Γ) é denso em D′_(Γ)_{, resulta que a aplicação}

definida em(1.4−5)se prolonga, por continuidade a uma aplicação que ainda

deno-taremos porφi deD′(Γ)emD′(Rn−1).

Definição 1.68. Definimos paras∈R,

Hs(Γ) ={u; φi(u)∈Hs(Rn−1), i= 1,2, ..., k}

dotado da norma

kuk_Hs_(Γ) =

k X

j=1

kφi(u)k2Hs₍Rn−1₎ !12

.

Observação 1.69. •Segue do fato deHs₍_Rn−1₎_{ser um espaço de Hilbert que}_Hs_(Γ)_também

é um espaço de Hilbert.

•A definição dos espaçosHs_(Γ)_{independe da escolha do sistema de cartas locais}_{_U

j, ϕj}e da

partição da unidade{θj}subordinada.

• Dados dois sistemas {Ui, ϕi, θi} e {Ui∗, ϕi∗, θ∗i} para Ω, prova-se que Hs(Γ) e Hs(Γ)∗ são

"isomorfos"como espaços de Hilbert.

1.5 Teoria do Traço

Nesta seção, consideremosΩsendo um subconjunto um aberto limitado com

fron-teiraΓbem regular doRn_.

Definição 1.70. Denotamos porD(Γ)o espaço das funções reais definidas na fronteira

deΩ, que possuem derivadas parciais de todas as ordens e por D( ¯Ω) o conjunto de

todas as funçõesρ: ¯Ω→R_{que são restrições de funções de}_C∞

0 (Rn), ou seja,

D( ¯Ω) ={φ|Ω¯ =ρ, φ∈C

∞ 0 (R

n_)}

.

Definamos

γ :D( ¯Ω) → D(Γ)

(31)

1.5 Teoria do Traço 31

Induzindo emD( ¯Ω) e em D(Γ) as topologias deH1_(Ω) _e_H1₂_(Γ)_{, respectivamente,}

te-mos o resultado abaixo.

Teorema 1.71. SejaΩ ⊂ Rn _{aberto limitado com fronteira}_Γ _{bem regular. Então, existe uma}

constante positivaC, tal que

kγ0uk_H1

2_(Γ) ≤CkukH1(Ω),

para todou∈D( ¯Ω).

ComoD( ¯Ω)é denso emH1(Ω)e pelo Teorema anterior, podemos estender a

aplica-çãoγdada em (1.5-7) a uma única aplicação linear e contínua

γ0 :H1(Ω) → H

1 2(Γ)

u 7→ u|Γ, ∀u∈D( ¯Ω)

a qual chamamos de aplicação traço deusobreΓ.

Teorema 1.72. SejaΩum subconjunto aberto limitado doRn_{com fronteira}_Γ_{bem regular. A}

aplicação traçoγ0 :H1(Ω)→H

1

2(Γ)é sobrejetiva e além disso

ker(γ0) =H01(Ω),

ondeker(γ0)representa o núcleo deγ0.

De maneira mais geral, podemos definir o traço em espaços de SobolevW1,p_{, para}

1≤p < ∞:

Teorema 1.73. SejamΩlimitado eΓ∈C1. Então existe um operador linear limitado T :W1,p →Lp(Γ)

tal que

(i)T u=u|Γseu∈W

(32)

1.6 Semigrupo de Operadores Lineares e Limitados e Sistemas Dinâmicos 32

(ii) kT uk_Lp_(Γ) ≤Ckuk_W1,p_(Ω),

para cadau∈W1,p_(Ω)_{, onde a constante}_C _{depende somente de}_p_e_Ω_.

Demonstração. Ver [8], página 258, Teorema 1.

Teorema 1.74. SejamΩlimitado eΓ∈C1_{. Suponha que}_u_∈_W1,p_(Ω)_{. Então}

u∈W₀1,p(Ω)se, e somente se, T u= 0emΓ.

Demonstração. Ver [8], página 259, Teorema 2.

1.6 Semigrupo de Operadores Lineares e Limitados e

Sis-temas Dinâmicos

Definição 1.75. Uma família{S(t)}t≥0 de operadores lineares e limitados definida

so-bre um espaço de BanachXé chamada de semigrupo de operadores lineares limitados

(ou simplesmente semigrupo) quando

i)S(0) =Id:X →X (Operador Identidade emX).

ii)S(t+s) = S(t)S(s), para cadat, s≥0.

Ainda, dizemos que {S(t)}t≥0 é um semigrupo de classe C0 (ou simplesmente C0

-semigrupo) se além dos itens acima tivermos que iii)lim

t→0S(t)x=x, para todox∈X.

Definição 1.76. Um operador A é chamado gerador infinitesimal de um semigrupo

{S(t)}t≥0quandoAé definido como

D(A) =

x∈X| lim

t→0+

S(t)x−x

t existe

e para cadax∈D(A)temos

Ax= lim

t→0+

S(t)x−x

t .

(33)

Observação 1.77. O domínioD(A)do operadorApode ser reescrito como D(A) ={x∈X |Ax∈X}.

Definição 1.78. Um semigrupo {S(t)}t≥0 é chamado de uniformemente limitado se

existe uma constanteM ≥1tal que

kS(t)k ≤M, ∀t≥0.

QuandoM = 1, diremos também que{S(t)}t≥0 é um semigrupo de contrações.

Definição 1.79. SejaAum operador linear definido sobre um espaço de HilbertHcom

domínioD(A)⊆H. Dizemos queAé um operador dissipativo quando

RehAx, xi_H ≤0, ∀x∈D(A).

Teorema 1.80. SejaHum espaço de Hilbert eA :D(A) ⊆ H → H um operador dissipativo tal que o operadorId−Aé sobrejetor. Então,D(A) =H.

Teorema 1.81. (Lummer-Philips) Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊆ H → H um operador comD(A) = H. Então, A é o gerador infinitesimal de um C0- semigrupo de

contrações emH se, e somente se,Aé dissipativo e o operadorλId−Aé sobrejetor para algum λ >0.

Teorema 1.82. SeAé o gerador infinitesimal de umC0- semigrupoS(t)entãoD(A), o domínio

deA, é denso emH eAé um operador linear fechado.

Definição 1.83. Um sistema dinâmico é um par de objetos (X, S(t))ondeX é um

es-paço métrico completo e a família de operadores limitados{S(t)}t≥0deXnele mesmo

satisfaz:

(34)

Assumiremos quey(t) = S(t)y0 é contínua com respeito àtpara qualquer y0 ∈ X.

Com isso, denominamosXde espaço fase eS(t)por semigrupo de evolução.

Definição 1.84. Sejam A, B ⊂ X, onde X é um espaço métrico. A semi distância de

Hausdorff entreAeB é dada por

dX(A, B) = sup

x∈A

dX(x, B)

onde,dX(x, B) = inf

y∈Bd(x, y).

Definição 1.85. Um sistema dinâmico(X, S(t))é dito assintoticamente suave se para qualquer conjunto limitado B tal que S(t)B ⊂ B, para t > 0, existe um conjunto

compactoK ⊂B¯ tal que

lim

t→∞d

X

(S(t)B, K) = 0.

Definição 1.86. Um conjunto D ⊂ X é dito atrator uniforme se para todo conjunto

limitadoB ⊂X

lim

t→∞d

X

(S(t)B, D) = 0.

Definição 1.87. Um conjuntoD⊂X é dito invariante se S(t)D=D, ∀t≥0.

Definição 1.88. Um atrator global de um sistema dinâmico (X, S(t)) é um conjunto

compactoA⊂X tal que:

(i)Aé invariante;

(ii)Aé atrator uniforme.

Definição 1.89. A dimensão fractal de um conjunto compactoA⊂X é definida por dimFA = lim

ǫ→0sup

lnNǫ(A)

ln1

ǫ

ondeNǫ(A)é o número mínimo de bolas fechadas de raio2ǫnecessárias para cobrirA.

Definição 1.90. Uma curva contínua γ ≡ {u(t);t ∈ R_} _em _X _{é dita uma trajetória}

completa se

S(t)u(τ) =u(t+τ),

(35)

Definição 1.91. O conjunto dos pontos estacionários de um sistema dinâmico(X, S(t))

é dado por

N ={v ∈X :S(t)v =v, ∀t ≥0}.

Definimos a variedadeMu_(N₎ _de _N _{como o conjunto dos elementos} _y _∈ _X _{tal que} existe uma trajetória completaγ ={u(t);t ∈R_}_{que satisfaz a seguinte propriedade:}

u(0) =y e lim

t→−∞dX(u(t),N) = 0.

Definição 1.92. SejaY ⊆X um conjunto invariante de um sistema dinâmico(X, S(t)). • A função contínua Φ(y) definida em Y é dita função de Lyapunov para o sistema

dinâmico (X, S(t))em Y se a função t → Φ(S(t)y) é uma função não crescente para

qualquery∈Y.

• A função de Lyapunov Φ(y)é dita estrita em Y se a equaçãoΦ(S(t)y) = Φ(y)para

todot >0e, para algumy∈Y, implicar queS(t)y=ypara todot >0, ou seja,yé um

ponto estacionário de(X, S(t)).

• O sistema dinâmico (X, S(t)) é dito gradiente se existe uma função de Lyapunov

estrita para(X, S(t))no espaço faseX.

Teorema 1.93. Suponha que o sistema dinâmico (X, S(t))é um sistema dinâmico gradiente,

assintoticamente suave e com função de LyapunovΦ. Suponha também que,

Φ(S(t)z)→ ∞se, e somente se,kzk_X → ∞, (1.6-8)

e o conjunto N de pontos estacionários de (X, S(t)) é limitado. Então o sistema dinâmico (X, S(t))possui um atrator global dado porMu_(N₎_{, onde}_N _{são os pontos fixos de}_S₍_t₎_.

Demonstração. Ver [7], página 360, Corolário 7.5.7.

SejamX, Y, Z espaços de Banach reflexivos comX compactamente imerso emY e

defina

H =X×Y ×Z.

Suponha que o sistema dinâmico é dado pelo semigrupo de evolução

(36)

1.7 O Problema de Cauchy Abstrato 36

onde as funçõesueξsão regulares

u∈C(R+;X)∩C1(R+;Y), ξ ∈C(R+;Z). (1.6-10)

Definição 1.94. Um sistema (H, S(t)) é chamado de quase estável em um conjunto

B ⊂ H se existe uma seminorma compactanX, funções escalares não negativasa(t)e

c(t), localmente limitadas em[0,∞)eb(t)∈L1₍_R+₎_com _lim

t→∞b(t) = 0, tais que,

S(t)z1−S(t)z2

2

H ≤a(t)

z1−z2

2

H,

e

S(t)z1−S(t)z2

H ≤b(t)

z1−z2

2

H +c(t)sup[nX(u

1₍_s₎₋_u2₍_s_))]_,

para quaisquerz1, z2 ∈B onde, .

Teorema 1.95. (Chueshov-Lasiecka). Seja (H, S(t)) um sistema dado por (1.6−9), satisfa-zendo (1.6−10) e quase estável em todo subconjunto limitadoB ⊂Xtal queS(t)B ⊂B, para t >0. Então(H, S(t))é assintoticamente suave e qualquer atrator global deste sistema possui dimensão fractal finita.

Demonstração. Ver [7], páginas 383 e 384, Proposição 7.9.4 e Teorema 7.9.6.

1.7 O Problema de Cauchy Abstrato

Consideremos o seguinte Problema de Cauchy

  

 

Ut(t) +A(U(t)) =F(t, U(t)), t > t0,

U(t0) = U0,

(1.7-11)

onde−Aé o gerador infinitesimal de umC0- semigrupoS(t), t ≥0, em um espaço de

(37)

U. Consideremos a seguinte equação:

U(t) = S(t−t0)U0+

Z t t0

S(t−s)F(s, U(s))ds. (1.7-12)

Definição 1.96. Dizemos que uma função U : [t0, T] → X, contínua em [t0, T] é uma

solução generalizada para o Problema de Cauchy(1.7−11)seU é uma solução para a

equação(1.7−12).

A solução generalizada também é chamada de "mild"solução.

Definição 1.97. Dizemos que uma função U : [t0, T) → X contínua em [t0, T) e U ∈

C1(]t0, T[) é uma solução regular do Problema de Cauchy (1.7−11) se U(t) ∈ D(A)

parat0 < t < T e(1.7−11)é satisfeito em[t0, T[.

Teorema 1.98. SejaF : [0,∞]×X →X uma função contínua emt, parat≥0, e localmente

Lipschtziana emU. Se−Aé o gerador infinitesimal de umC0-semigrupoS(t)emXentão para

todoU0 ∈Xexiste umtmax ≤ ∞tal que o problema de Cauchy

  

 

Ut(t) +A(U(t)) =F(t, U(t)), t >0

U(0) =U0,

(1.7-13)

possui uma única solução generalizadaU em[0, tmax[. Além disso, setmax <∞então

lim

t→tmax

kU(t)k=∞.

Teorema 1.99. Seja −A um gerador infinitesimal de um C0-semigrupoS(t) em X. Se F :

[t0, T]×X → X ∈ C1([t0, T], X)então a solução generalizada do Problema de Cauchy

(1.7-11) comU0 ∈D(A)é uma solução regular para o Problema de Cauchy (1.7-11).

Observação 1.100. Seja−Aum gerador infinitesimal de umC0- semigrupoS(t)emH.

Con-sideremos o domínio deA,D(A), com a norma

(38)

para cadax∈D(A). Munido desta norma,D(A)é um espaço de Banach.

Agora, supondo que a funçãoF : [t0, T]×D(A)→D(A)é localmente Lipschitziana, contínua

emD(A)e uniformemente contínua em[t0, T], pela Teorema 1.98, obtemos que para todoU0 ∈

D(A)o problema de valor inicial 1.7-11 possui uma solução regular em um intervalo máximo

[t0, tmax[e setmax< T

lim

t→tmax

(39)

CAPÍTULO 2

EQUAÇÃO DA ONDA COM MEMÓRIA DEGENERADA

Vamos considerar o problema com dissipações viscoelástica e friccional combinadas

utt− △u+ Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇(u)(t−s)]ds+b(x)ut+f(u) = h(x) emΩ×R+,(2.0-1)

u(x, t) = 0 emΓ×R_, _(2.0-2)

u(x,−t) =u0(x,−t) e ut(x,−t) =

∂ ∂tu

0₍_x,₋_t₎ _em_Ω_×_R+_, _(2.0-3)

sendoΩum domínio limitado deR3_{com fronteira regular}_Γ_,_b₍_x₎_u

tum termo de amor-tecimento de atrito, denominado dissipação friccional e u0₍_{x, t}₎_{, t} _≤ ₀_{, estabelecido}

como passado histórico deu.

Na seção2.1, assim como em [6], assumiremos algumas hipóteses adequadas,(H1)−

(H4), sobre as funções a, g, f, b e h e definiremos alguns espaços de funções com os

quais trabalharemos no restante do trabalho.

Na seção2.2, estudaremos a existência e unicidade de solução do problema

(2.0-1)-(2.0-3) e seu comportamento a longo tempo.

(40)

2.1 Hipóteses 40

2.1 Hipóteses

2.1.1 Hipótese 1

(

H

1

)

Sejaa∈C1( ¯Ω)tal que

med{x∈Γ;a(x)>0}>0 (2.1-4)

e

Va=

u∈L2_(Ω);

Z

Ω

a(x)|∇u|2dx <∞, u|Γ = 0

.

sendou|Γ = 0no sentido do traço, munido do produto interno

hu, vi_V

a =

Z

Ω

a(x)∇u∇vdx

e norma

kuk2_V_a =

Z

Ω

a(x)|∇u|2dx,

assumiremos queVaé um espaço de Hilbert. Além disso, assumiremos

H₀1(Ω)֒→Va ֒→L2(Ω) (2.1-5)

e queAu=div(a(x)∇u)é um operador auto adjunto não positivo.

Estas premissas apresentadas acima são necessárias, quando trabalhamos com pro-blemas viscoelásticos com memória (conforme [9]-[12]). Como consequência, defini-mos o espaçoMfrequentemente usado nestes estudos

M=L2_g(R+_;_V

a) =

η;

Z ∞

0

g(s)kη(s)k2_V_ads <∞

, (2.1-6)

(41)

2.1 Hipóteses 41

hη, ξi_M =

Z ∞

0

g(s)

Z

Ω

a(x)∇η(x, s)∇ξ(x, s)dx

ds

e norma

kηk2_M =

Z ∞

0

g(s)kη(s)k2_V

ads

Mé um espaço de Hilbert.

2.1.2 Hipótese 2

(

H

2

)

Para o termo de amortecimento de atrito adicional,b(x)ut, supomos queb∈L∞(Ω)

é uma função não negativa satisfazendo

a(x) +b(x)≥δ >0, ∀x∈Ω, (2.1-7)

para algumδ >0.

Notemos que b(x) é necessário (b(x) > 0) apenas em uma vizinhança pequena de

ω0, ondeω0é o conjunto de pontos em quea(x) = 0. Por exemplo, seΩ = (0,1)ea(x)se

anula somente emx= 0, então podemos terb(x) = cem(0, ǫ)ondeceǫsão constantes

positivas, que existem, mesmo pequenas. Entretanto, podemos verb(x)ut como uma dissipação complementar pequena e arbitrária.

2.1.3 Hipótese 3

(

H

3

)

Em relação a memória, assumiremos queg ∈C1(R+₎_∩_L1₍_R+₎_satisfaz

g(s)>0 e g′(s)≤ −ǫg(s), ∀s ≥0, (2.1-8)

para algumǫ >0. Além disso, assumiremos

k0 =

Z ∞

0

g(s)ds <kak−1_∞ . (2.1-9)

(42)

2.1 Hipóteses 42

(i) A condição (2.1−8) é usual e implica queg decresce exponencialmente para zero. De fato, como

g(s)≥0e g′(s) +ǫg(s)≤0, ∀s ≥0, multiplicando a desigualdade poreǫs_{, temos}

eǫsg′(s) +ǫg(s)eǫs≤0, ∀s≥0,

ou ainda,

d ds(e

ǫs_g₍_s₎₎_≤₀_, _∀_s _≥₀_.

Isto nos dá

eǫsg(s)−g(0)≤0, ∀s≥0. Consequentemente,

0≤g(s)≤g(0)e−ǫs, ∀s≥0. Portanto,g(s)→0quandos→ ∞.

(ii) Tomando

l0 = 1−k0kak_∞, (2.1-10)

obtemos da condição (2.1−9) que

1−a(x)k0 ≥1− kak_∞k0 >1− kak_∞kak−1_∞ ≥0

e assim

1−a(x)k0 ≥l0 >0

para todox∈Ω.

2.1.4 Hipótese 4

(

H

4

)

(43)

2.1 Hipóteses 43

f′_{(0) = 0}_{e que existe}_C

f >0tal que

|f′′(s)| ≤Cf(1 +|s|), s∈R.

Observação 2.2. Esta hipótese implica que existeC > 0tal que

|f(s)−f(r)| ≤C(1 +|s|2+|r|2)|s−r|, ∀s, r∈R_. _(2.1-11)

De fato, pelo Teorema do Valor Médio, existeθentreres, tal que

|f(r)−f(s)|=|f′(θ)||r−s|.

Novamente pelo Teorema do Valor Médio, como|k |≤|r |+|s |para qualquerk entreres

|f′(θ)|≤Cf(1+ |r|+|s |)2 ≤C(1+ |r|2 +|s|2)

Então,

|f(s)−f(r)| ≤C(1 +|s|2+|r|2)|s−r|, ∀s, r∈R_.

Além disso, assumimos que para algum β ∈ (0, λ1), onde λ1 > 0 é o primeiro

autovalor de−△com condição de fronteira do tipo Dirichlet, existeρf >0tal que

f(s)s≥ −l0βs2−ρf e fˆ(s)≥

−l0β

2 s

2 ₋_ρ

f, ∀s∈R, (2.1-12)

onde_fˆ₍_s_{) =} Z s

0

f(y)dy. Tal suposição é padrão e pode ser obtida através de

lim

|s|→∞inf f

′₍_s₎_>₋_l 0λ1,

(44)

2.2 Existência e Unicidade de Solução 44

2.2 Existência e Unicidade de Solução

Definiremos como espaço fase

H=H₀1(Ω)×L2(Ω)× M,

com norma

k(u, v, η)k2_H=k∇uk2₂+kvk2₂+kηk2_M, (u, v, η)∈ H,

equivalentemente,

k(u, v, η)k2_H=

Z

Ω

(1−a(x)k0)|∇u|2dx+kvk22+kηk 2 M

e produto interno

h(u1, v1, η1),(u2, v2, η2)iH =

Z

Ω

(1−a(x)k0)∇u1∇u2dx+

Z

Ω

v1v2dx

+

Z ∞

0

g(s)

Z

Ω

a(x)∇η1∇η2dx

ds, (2.2-13)

para(ui, vi, ηi)∈ H, i= 1,2.

A classe memória degenerada que consideraremos é dada pelo operador definido na hipótese (H1) dado por

Au=div(a(x)∇u),

ondea∈C1( ¯Ω)pode ser zero em um subconjuntoω0deΩ¯.

Introduziremos uma nova variávelηt_{, que corresponde à história de deslocamento} relativo, definida por

ηt(x, s) =u(x, t)−u(x, t−s), (x, s)∈Ω×R+_{, t}_≥₀_, _(2.2-14)

donde

ηt

(45)

que sugere a condição inicial(t= 0)

η0(x, s) = u(x,0)−u(x,0−s) = u(x,0)−u(x,−s) = u0(x,0)−u0(x,−s),

(x, s)∈Ω×R+_.

Como mostrado por Grasselli e Pata [9], vamos considerarηtt=v+T ηt,onde

v =ut e T η =−ηs, η∈D(T), é o gerador do semigrupo de translação com domínio

D(T) ={η ∈ M |ηs∈ M, η(0) = 0}.

Para simplificar um pouco a representação de fórmulas, frequentemente escrevere-mosuouu(t)ao invés deu(x, t)eηouη(s)ao invés deηt₍_{x, s}₎_.

A relação (2.2−14) implica que

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇u(t−s)]ds =

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇(u(x, t)−ηt(x, s))]ds

= −

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇ηt(s)]ds+k0div[a(x)∇u(t)],

ondek0 é como na hipótese (H3). Portanto o problema (2.0−1)−(2.0−3) pode ser

escrito por

utt−div[(1−a(x)k0)∇u]−

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇ηt(s)]ds + b(x)ut (2.2-15)

= −f(u) +h(x)

emΩ×R+_{, onde}_h_∈_L2_(Ω)_,

ηt=−ηs+ut emΩ×R+×R+, (2.2-16)

com condição de fronteira

(46)

e condição inicial

u(x,0) =u0(x), ut(x,0) = u1(x), ηt(x,0) = 0, η0(x, s) =η0(x, s), (2.2-18)

onde

      

     

u0(x) = u0(x,0), x∈Ω, u1(x) = ∂tu0(x, t)|t=0, x∈Ω,

η0(x, s) = u0(x,0)−u0(x,−s), (x, s)∈Ω×R+.

Nosso estudo do problema viscoelástico degenerado será feito pelo sistema (2.2−15)− (2.2−18).

ConsiderandoU = (u, v, η)∈ H, reescrevemos o sistema(2.2−15)−(2.2−18)como

um problema de Cauchy equivalente,

dU

dt =LU +FU t >0, U(0) =U0, (2.2-19)

sobre o espaço de faseH, ondeU0 = (u0, u1, η0),

LU =



    

v

div[(1−a(x)k0)∇u] +

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇η(s)]ds−b(x)v v −ηs



    

e

F(U) = (0,−f(u) +h,0)T. (2.2-20)

Uma vez que o domínio deLé definido por

D(L) ={z ∈ H | Lz ∈ H},

temos que

D(L) =

(

(u, v, η)∈ H

v ∈H1

0(Ω), η∈D(T),

div[(1−a(x)k0)∇u] +

Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇η(s)]ds ∈L2(Ω)

  

 

(47)

Lema 2.3. O operadorLé o gerador infinitesimal de umC0 _{- semigrupo de contrações}_eLt_em

H.

Demonstração. Pelos Teoremas 1.80 e 1.81 precisamos provar que o operadorLé

dissi-pativo emHe que o operadorId− Lé sobrejetor.

Conforme definido em (2.2-13), para todoU = (u, v, η)∈D(L), tem-se

hLU, Ui_H =

Z

Ω

(1−ak0)∇v∇udx+

Z

Ω

vdiv[(1−ak0)∇u]dx

+ Z Ω v Z ∞ 0

g(s)div[a∇η]ds

dx−

Z

Ω

b(x)|v|2_dx

+

Z ∞

0

g(s)

Z

Ω

a∇v∇ηdx

ds−

Z ∞

0

g(s)

Z

Ω

a∇ηs∇ηdx

ds.

Integrando por partes, obtemos

hLU, Ui_H =

-Z

Ω

b(x)|v|2_dx₊ 1 2

Z ∞

0

g′(s)kη(s)k2

Vads.

Por hipótese,b(x)≥0eg′(s)60, então para todoU = (u, v, η)emD(L)temos hLU, Ui_H60,

mostrando queLé dissipativo emH.

Agora, mostraremos que o operadorId− L é sobrejetor, ou seja, para cadaF ∈ H, existeU ∈D(L)tal que

(Id− L)U =F.

De forma equivalente, mostraremos que, para cada F = (f1, f2, f3) ∈ H onde f1 ∈

H1

0(Ω),f2 ∈L2(Ω)ef3 ∈ M, existeU = (u, v, η)∈D(L)tal que

u−v =f1, (2.2-21)

v+b(x)v−div[(1−ak0)∇u]−

Z ∞

0

g(s)div[a∇η(s)]ds =f2, (2.2-22)

η−v+ηs=f3. (2.2-23)

Multiplicando (2.2-23) pores _{e integrando sobre}₍₀_{, s}₎_obtemos

Z s

0

η(x, τ)eτdτ−

Z s

0

v(x)eτdτ+

Z s

0

ητ(x, τ)eτdτ = Z s

0

(48)

Após integrarmos por partes e impormos a condiçãoη(0) = 0, a equação (2.2-24)

re-sulta em

η(x, s) =

Z s

0

f3(x, τ)eτ−sdτ+v(x)(1−e−s). (2.2-25)

Substituindo (2.2-21) e (2.2-25) em (2.2-22) temos

(1 +b)v−div[(1−ak0)∇v]−k1div[a∇v]

= f2+div[(1−ak0)∇f1] +

Z ∞

0

Z s

0

g(s)eτ−sdiv[a∇f3(τ)]dτ ds, (2.2-26)

ondek1 =

Z ∞

0

g(s)(1−e−s)ds. Note que

Z ∞

0

g(s)(1−e−s)ds <∞pois Z ∞

0

g(s)ds <∞, pela hipótese (H3).

A fim de resolver a equação (2.2-26), definimos a forma bilinear

B :H₀1(Ω)×H₀1(Ω)→R

dada por

B(w, z) =

Z

Ω

(1−ak0)∇w∇z dx+k1

Z

Ω

a∇w∇z dx+

Z

Ω

(1 +b(x))wz dx.

Aplicando a desigualdade de Hölder e a desigualdade de Poincaré obtemos

|B(w, z)| ≤

Z Ω

(1−ak0)∇w∇z dx

+ k1 Z Ω

a∇w∇z dx

+ Z Ω

(1 +b(x))wz dx

≤ c1

Z Ω

∇w∇z dx

+c2

Z Ω

∇w∇z dx

+c3

Z Ω wz dx

≤ C1kwkH1 0kzkH01 e pelo item (ii) da Observação 2.1

B(w, w) =

Z

Ω

(1−ak0)| ∇w |2 dx+k1

Z

Ω

a| ∇w|2 _dx

+

Z

Ω

(1 +b(x))|w|2 dx

≥ l0

Z

Ω

| ∇w|2 _dx₊_d 2

Z

Ω

| ∇w|2 _dx₊_d 3

Z

Ω

|w|2 _dx

(49)

com C1, C2 > 0, isto é, B é contínua e coerciva em H01(Ω) para todo w, z ∈ H01(Ω).

Observemos que,f2+div[(1−ak0)∇f1]∈H−1(Ω)poisf1 ∈H01(Ω), f2 ∈L2(Ω)e

H1

0(Ω)֒→Va ֒→L2(Ω) ֒→V

′

a ֒→H−1(Ω). Denotando

f∗ =

Z ∞

0

Z s

0

g(s)eτ−sdiv[a∇f3(τ)]dτ ds

usaremos a integração por partes e a desigualdade de Hölder, paraw ∈ H1

0(Ω) com

k∇wk2 61,

(f

∗_{, w}₎

H−1_,H1 0 = Z ∞ 0 Z s 0

g(s)eτ−s

Z

Ω

div[a∇f3(τ)]wdx

dτ ds = Z ∞ 0

g(s)

Z s

0

eτ−s

Z

Ω

a∇f3(τ)∇wdx

dτ ds ≤ Z ∞ 0

g(s)

Z s

0

eτ−s

Z

Ω

a2 | ∇f3(τ)|2 dx

1₂ Z

Ω

| ∇w|2 _dx

1₂ dτ ds

6 kak

1 2 ∞ Z ∞ 0

g(s)

Z s

0

eτ−s(kf3(τ)kVak∇wk2)dτ ds

6 kak12

∞

Z ∞

0

Z ∞

τ

g(s)eτ−skf3(τ)kVa dsdτ

Mas,

Z ∞

τ

g(s)eτ−sds = g(τ) +

Z ∞

τ

g′(s)eτ−sds≤g(τ),

poisg′(s).

Logo,

(f

∗_{, w}₎

H−1_,H1 0

6 kak 1 2

∞

Z ∞

0

g(τ)kf3(τ)kVadτ

6 kak12

∞

Z ∞

0

g(τ)dτ

1₂ Z ∞

0

g(τ)kf3(τ)k2Vadτ

1₂

= kak12

∞k

1 2

0kf3kM

< ∞.

Portanto,f∗ ∈H−1(Ω). Consequentemente,

(50)

Pelo Teorema de Lax-Milgram (Teorema 1.20), a equação (2.2-26) possui uma solução fraca

ˆ

v ∈H₀1(Ω). (2.2-27)

Desta forma, pelas equações (2.2-21) e (2.2-25), vamos definir

ˆ

u= ˆv+f1

e

ˆ

η(s) = ˆv(1−e−s) +

Z s

0

f3(τ)eτ−sdτ. (2.2-28)

Como v, fˆ 1 ∈ H01(Ω), temos que uˆ ∈ H01(Ω). Por outro lado, pela desigualdade de

Minkowski,

kˆηk2

Va 6 kˆv(1−e

−s_)k2

Va +

Z s

0

f3(τ)eτ−sdτ

2

Va 6 kˆvk2

Va +

Z s

0

eτ−skf3(τ)k2Vadτ,

de onde segue que

Z ∞

0

g(s)kˆηk2

Vads6

Z ∞

0

g(s)kˆvk2

Vads+

Z ∞

0

Z s

0

g(s)eτ−skf3(τ)k2Vadτ ds.

Como

Z ∞

0

g(s)kˆηk2_V_ads 6

Z ∞

0

g(s)kˆvk2_V_ads+

Z ∞

0

Z s

0

g(s)eτ−skf3(τ)k2Vadτ ds 6 k0kˆvk2Va +

Z ∞

0

g(τ)kf3(τ)k2Vads

= k0kˆvk2Va +kf3k

2 M

< ∞,

concluímos, pela definição do conjuntoM, queηˆ∈ M. Portanto

U = (ˆu,ˆv,ηˆ)∈ H

(51)

Resta provarmos queU = (ˆu,ˆv,ηˆ)∈D(L). Temos:

(i) ˆv ∈H₀1(Ω) por (2.2-27);

(ii) ˆη∈D(T). De fato, acabamos de mostrar queηˆ∈ M. Além disso, de (2.2-28) temos queηˆ(0) = 0e

ˆ

ηs=f3+ ˆv−ηˆ∈ M,

poisf3 ∈ M,ηˆ∈ Mevˆ∈ M(vˆ∈H01(Ω)implica que

Z ∞

0

g(s)kˆvk2

Vads <∞);

(iii) Como

−div[(1−ak0)∇ˆu]−

Z ∞

0

g(s)div[a∇ˆη(s)]ds=f2−(1 +b(x))ˆv

e

f2−(1 +b(x))ˆv ∈L2(Ω)

temos que

−div[(1−ak0)∇ˆu]−

Z ∞

0

g(s)div[a∇ˆη(s)]ds∈L2(Ω).

Portanto, de(i),(ii)e(iii)

U = (u, v, η)∈D(L),

completando a prova.

Lema 2.4. O operadorF :H → Hdefinido porF (u, v, η) = (0,−f(u) +h,0)é localmente

Lipschitziano.

Demonstração. Sejam B um conjunto limitado em H e U, V ∈ B. Denotemos U = (u1_{, v}1_{, η}1₎_,_V _{= (}_u2_{, v}2_{, η}2₎_{. Da hipótese (}_H

4), (ver (2.1-11)) existeC >0tal que

|f(u)−f(v)|6C(1 +|u|2+|v|2)|u−v|,

para todou, v ∈R_{. Assim,}

kF(U)− F(V)k2_H = k −f(u1) +h−(−f(u2) +h)k2₂ = k −f(u1) +f(u2)k2₂

6

Z

Ω

(52)

Aplicando, na desigualdade acima, a desigualdade de Hölder comp = 3₂ e q = 3

obtemos

kF(U)− F(V)k2

H 6 C1(1 +ku1k46+ku2k46)ku1−u2k26,

ondeC1 >0.

Porém comoH1

0(Ω)⊂L6(Ω)(Teorema 1.56) e porU, V ∈B podemos concluir que

kF(U)− F(V)k2

H 6 C2kU −Vk2H,

para algumC2 >0dependendo deB, o que finaliza a prova.

No próximo lema provaremos algumas propriedades sobre a energia do sistema (2.2-15)-(2.2-18), a qual é definida por

E(t) = 1 2kutk

2 2+ 1 2 Z Ω

(1−a(x)k0)|∇u|2dx+

1 2kη

t_k2

M+

Z

Ω

( ˆf(u)−hu)dx. (2.2-29)

Lema 2.5. A energia E(t) é não crescente ao longo de qualquer solução (u(t), ut(t), ηt) de

(2.2-15)-(2.2-18). Além disso, existemδ0, Cf h>0, que não dependem do fluxo, tais que

E(t)≥δ0k(u(t), ut(t), ηt)k2H−Cf h, (2.2-30)

para todot >0.

Demonstração. Multiplicando a equação (2.2−15) porute integrando sobreΩtemos

Z

Ω

ut(x)utt(x)dx− Z

Ω

ut(x)div[(1−a(x)k0)∇u(x)]dx+

Z

Ω

b(x)u2_t(x)dx

−

Z

Ω

ut(x) Z ∞

0

g(s)div[a(x)∇ηt(x)]dsdx =

Z

Ω

(h(x)−f(u))ut(x)dx.

Por definição, _fˆ₍_u_{) =} Z u

0

f(s)ds eh não dependem det explicitamente. Então,

inte-grando por partes a igualdade acima, obtemos

1 2

d dt

(

kutk22+

Z

Ω

(1−a(x)k0)|∇u|2dx+ 2

Z

Ω

( ˆf(u)−hu)dx

)

= −

Z

Ω

b|ut|2dx− Z ∞

0

g(s)

Z

Ω