REPOSITORIO INSTITUCIONAL DA UFOP: Uma abordagem híbrida para resolver o problema da escala de motoristas de ônibus urbano.

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Uma Abordagem H´ıbrida para Resolver

o Problema da Escala de Motoristas de

ˆ

Onibus Urbano

Danilo Santos Souza

Universidade Federal de Ouro Preto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

Orientador: Gustavo Peixoto Silva

Coorientador: Haroldo Gambini Santos

Disserta¸cão submetida ao Instituto de Ciências Exatas e Biológicas da Universidade Federal de Ouro Preto para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão

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Uma Abordagem H´ıbrida para Resolver

o Problema da Escala de Motoristas de

ˆ

Onibus Urbano

Danilo Santos Souza

Universidade Federal de Ouro Preto

Orientador: Gustavo Peixoto Silva

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Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br

S729a Souza, Danilo Santos.

Uma abordagem híbrida para resolver o problema da escala de motoristas de ônibus urbano [manuscrito] / Danilo Santos Souza. – 2014.

83 f.: il. color., grafs., tabs.

Orientadores: Prof. Dr. Gustavo Peixoto Silva e Haroldo Gambini Santos.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Computação.

Área de concentração: Otimização e inteligência computacional.

1. Metaheurísticas - Teses. 2. Inteligência artificial - Teses. I. Silva, Gustavo Peixoto. II. Santos, Haroldo Gambini. III. Universidade Federal de Ouro Preto. IV. Título.

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(5)

Dedico este trabalho a você que sempre me fez acreditar na realiza¸cão dos meus sonhos e trabalhou muito para que eu pudesse realizá-los, Mãe. A minha fam´ılia e amigos que sempre me apoiaram nas horas dif´ıceis. Ao meu pai, que mesmo distante influenciou para que pudesse chegar até aqui.

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iii

Uma Abordagem H´ıbrida para Resolver o Problema da

Escala de Motoristas de ˆ

Onibus Urbano

Resumo

A aloca¸cão da tripula¸cão (motoristas e cobradores) é uma etapa muito importante no planejamento operacional do Sistema de Transporte Público visto que custo operacional representado pelas escalas de trabalho compõe uma parcela significativa nos custos totais de uma empresa de transporte público. A redu¸cão dos custos das escalas de trabalho afetam não só as empresas operadoras, mas também os usuários deste servi¸co, pois com esta redu¸cão há a possibilidade de um maior investimento na qualidade do transporte público e a redu¸cão dos pre¸cos dos bilhetes. Estes custos, estão estritamente relacionados as normas operacionais impostas pelas empresas e legisla¸cões trabalhistas que se refletem na defini¸cão das jornadas de trabalho dos motoristas e cobradores.

Esse trabalho tem a finalidade de propor um novo método computacional capaz de auxiliar o processo da programa¸cão da tripula¸cão em empresas de transporte público de ônibus urbano. Os métodos apresentados nesta pesquisa são baseados no uso de um modelo de programa¸cão linear inteira, ainda inédito na literatura, se diferindo dos demais pelo fato de que cada jornada é gerada diretamente a partir das tarefas a se-rem alocadas. Uma metaheur´ıstica Late Acceptance Hill Climbing (LAHC) também foi utilizada com o objetivo de resolver problemas de maiores dimensões. Um método h´ıbrido, utilizando o método exato e a metaheur´ıstica LAHC, é proposto com o objetivo de obter um refinamento das solu¸cões obtidas pela metaheur´ıstica, de modo a reduzir os custos das jornadas geradas. Para avaliar as abordagens apresentadas foram utilizadas instâncias geradas a partir de dados reais de uma empresa do setor de transporte público da cidade de Belo Horizonte/MG. Os modelos computacionais propostos apresentaram resultados satisfatórios, sendo que os custos finais foram reduzidos para a maioria dos testes realizados. Por outro lado, há a necessidade de novos estudos sobre os métodos apresentados, a fim de que os mesmos se tornem mais eficientes.

(7)

iv

A Hybrid Approach to Solve the Problem of Scale for

Urban Bus Drivers

Abstract

The allocation of crew (drivers and collectors) is a quite important stage of opera-tional planning of Public Transit System once the operaopera-tional cost represented by the work schedules consist in a significant portion of total costs in a public transit company. Cost reduction of work schedules affects not only the operating company but also the users of this service since there is chance of higher investments in transit quality and reduction of ticket prices because of this cost-cutting. These costs are strictly related to the operational rules established by companies and work laws which reflects themselves in the transit drivers and collectors work schedule definition.

The goal of this work is to propose a new computational method able to assist the crew planning process in urban bus public transit companies. The methods presented in this work are based on use of an integer linear programming method even unpublished in literature, being different from others due the fact that each schedule is created directly from tasks to be allocated. A metaheuristic Late Acceptance Hill Climbing (LAHC) was also utilized with the purpose of solving bigger problems. A hybrid method using the exact method and the metaheuristic LAHC is proposed with the goal of refining solutions gotten through metaheuristic, reducing created schedule costs. To evaluate the presented approaches, problems generated from real data from a public transit company from Belo Horizonte/MG city were used. The proposed computational methods presented satisfactory results and final costs were reduced for most tests performed. On the other hand, other researches about the presented methods are necessary in order that they become more efficient.

(8)

v

Declara¸

c˜

ao

Esta disserta¸cão é resultado de meu próprio trabalho, exceto onde referência expl´ıcita é feita ao trabalho de outros, e não foi submetida para outra qualifica¸cão nesta nem em outra universidade.

(9)

vi

Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co `a Deus por me amparar nos momentos dif´ıceis e me dar for¸ca para superar as dificuldades.

Aos meus pais,Gilsa e Denildo, e a meu irmão Diego, pelo incentivo, apoio e afeto. A minha avóCarmelita, pelo exemplo de dedica¸cão e por ser uma mãe pra mim. Ao meu TioDenilson, por sempre acreditar em mim quando alguns não acreditavam, e por ser um exemplo de pai e homem.

`

A toda minha fam´ılia, pelo carinho e for¸ca.

Agrade¸co ao meu orientadorGustavo Peixoto Silva pela oportunidade concedida, pela impecável orienta¸cão e pelo apoio no desenvolvimento do trabalho. Agrade¸co ainda ao meu Coorientador Haroldo Gambini Santos pelas valiosas contribui¸cões para o presente trabalho.

Aos meus amigos Bruna, Priscilla, Gabriela, Thayane, Lorran, Aristides, Alisson, Pereira, Lucas, Marco, Emilia, Danielle e Flavio pela ajuda, pelas longas horas de estudo, amizade, carinho e for¸ca, fundamentais para que eu conseguisse chegar at´e aqui.

`

A Rep´ublica Navio Pirata, Moradores e Ex-alunos, por me acolherem, pelo compa-nheirismo e amizade, tornando esta minha segunda casa.

AoCNPq, àFAPEMIG, àCAPES e àUFOP pelo apoio recebido no desenvolvimento deste trabalho.

Ao PPGCC - UFOP, professores e t´ecnicos, em especial aos professores Fabr´ıcio, Gustavo e Haroldo, e a Mariana pela ajuda sempre que fez-se necess´ario.

(10)

Sum´

ario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas x

Lista de Algoritmos xiii

Nomenclatura 1

1 Introdu¸c˜ao 2

1.1 Objetivo Geral . . . 5 1.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 5 1.3 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 5

2 Revis˜ao Bibliogr´afica 6

2.1 M´etodos Exatos para Resolver o PPT . . . 7 2.2 Metaheur´ısticas para Resolver o PPT . . . 9 2.3 M´etodos H´ıbridos para resolver o PPT . . . 12

3 Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão de Ônibus Urbano 14

3.1 Restri¸c˜oes do Problema . . . 15

4 M´etodos Propostos 17

4.1 Estruturas para a Representa¸cão do Problema . . . 17 4.2 Modelo Matemático Proposto . . . 19 4.2.1 Parâmetros e Conjuntos . . . 19

(11)

viii SUM ´ARIO

4.2.2 Vari´aveis de Decis˜ao . . . 20

4.2.3 Fun¸c˜ao Objetivo . . . 21

4.2.4 Conjunto de Restri¸c˜oes . . . 21

4.3 A Metaheur´ıstica LAHC . . . 25

4.3.1 Fun¸c˜ao Objetivo . . . 26

4.3.2 Gera¸c˜ao da Solu¸c˜ao Inicial . . . 26

4.3.3 Estrutura de Vizinhan¸ca Realoca-Troca . . . 27

4.4 Matheur´ıstica . . . 28

4.4.1 Particionamento da Solu¸c˜ao . . . 29

5 Resultados e Discuss˜ao 31 5.1 Resultados Obtidos pelo Modelo Exato . . . 31

5.2 Resultados Obtidos pelo LAHC e a Matheur´ıstica . . . 37

5.2.1 Calibra¸c˜ao da Metaheur´ıstica . . . 37

5.2.2 Compara¸c˜ao entre a Matheur´ıstica, LAHC e demais Metaheu-r´ısticas . . . 40

6 Conclusões e Trabalhos Futuros 59 A Apêndices 62 A.1 Publica¸cões . . . 62

(12)

Lista de Figuras

4.1 Movimentos de realoca¸c˜ao e troca de uma tarefa da jornada j para a jornada k . . . 28 4.2 Representa¸c˜ao da Matheur´ıstica implementada para o Problema de

Pro-grama¸c˜ao da Tripula¸c˜ao . . . 29

(13)

Lista de Tabelas

4.1 Estrutura de uma tarefa . . . 17

4.2 Estrutura de uma jornada . . . 18

5.1 Caracter´ısticas dos problemas gerados para o caso 1 . . . 33

5.2 Resultados do modelo exato para os problemas para o caso 1 . . . 33

5.4 Resultados do modelo exato para os problemas do caso 2 . . . 34

5.9 Tabela com as informa¸cões de cada instância, contendo a quantidade de tarefas a serem realizadas e quantos ve´ıculos são utilizados. . . 37

5.10 Resultados do primeiro teste de calibra¸c˜ao da Metaheur´ıstica LAHC para os valores de tamanho de lista: 10, 20, 30, 40, 50, 100 e 150 . . . 38

5.11 Resultados do primeiro teste de calibra¸c˜ao da Metaheur´ıstica LAHC para os valores de tamanho de lista: 200, 250, 300, 350, 400, 450 e 500 . . . . 39

5.12 Resultados do segundo teste de calibra¸c˜ao da Metaheur´ıstica LAHC para os valores de tamanho de lista: 40, 50, 100 e 300 . . . 40

5.13 Caracter´ısticas dos melhores resultados para a instˆancia 01 com custo 600 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 42

5.14 Melhorias da Matheur´ıstica em rela¸cão aos métodos LAHC, VNS, VNS-VLNS, ILS e ILS - VLNS para a instância 01 com custo 600 para jornadas do tipo dupla . . . 43

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LISTA DE TABELAS xi

5.16 Melhorias da Matheur´ıstica em rela¸cão aos métodos LAHC, VNS, VNS-VLNS, ILS e ILS-VLNS para a instância 02 com custo 600 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 44

5.27 Valores da fun¸c˜ao objetivo para os melhores resultados obtidos para todas as instˆancias e com peso 600 para as jornadas do tipo dupla pegada . . . 49

(15)

xii LISTA DE TABELAS

5.29 Melhorias da Matheur´ıstica em rela¸cão aos métodos LAHC, VNS e VNS-VLNS para a instância 01 com custo 5.000 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 51 5.30 Caracter´ısticas dos melhores resultados para a instância 02 com custo

5.000 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 51 5.31 Melhorias da Matheur´ıstica em rela¸c˜ao aos m´etodos LAHC, VNS e

VNS-VLNS para a instˆancia 02 com custo 5.000 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 52 5.32 Caracter´ısticas dos melhores resultados para a instˆancia 03 com custo

VNS-VLNS para a instˆancia 03 com custo 5.000 para jornadas do tipo dupla . 53 5.34 Caracter´ısticas dos melhores resultados para a instˆancia 04 com custo

VNS-VLNS para a instância 07 com custo 5.000 para jornadas do tipo dupla pegada . . . 57 5.42 Melhores resultados obtidos da fun¸cão objetivo para todas as instâncias

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Lista de Algoritmos

4.1 Implementa¸cão do LAHC para um problema de minimiza¸cão . . . 26 4.2 Particionamento da solu¸cão . . . 30

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“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Gra¸cas a Deus, não sou o que era antes.”

— Marthin Luther King

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Nomenclatura

GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure

ILS Iterated Local Search

LAHC Late Acceptance Hill Climbing

MPL Mathematical Programming Language

PPT Problema de Programa¸c˜ao de Tripula¸c˜oes

VND Variable Neighborhood Descent

VNS Variable Neighborhood Search

VLNS Very Large-Scale Neighborhood Search

(19)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Atualmente no ramo empresarial há uma necessidade cada vez maior pela utiliza¸cão de ferramentas computacionais para auxiliar no processo de tomada de decisões. Tal fato acontece devido à possibilidade de redu¸cão nos custos da empresa, seja no n´ıvel estratégico, tático ou operacional. No setor de log´ıstica, são exemplos de decisões ope-racionais: i) a defini¸cão de rotas de transporte para entrega de cargas,ii) a quantidade de matéria prima a ser utilizada no processo de produ¸cão,iii) a aloca¸cão e programa¸cão das máquinas no processo de produ¸cão, entre outros (Novaes 2001). Nas empresas de transporte publ´ıco, a utiliza¸cão de ferramentas computacionais para dimensionar suas frotas ainda é pequena, assim como para alocar seus motoristas e cobradores de maneira econômica e equilibrada (Silva 2001). Desta forma, surge a importância de estudar e aplicar métodos de otimiza¸cão, nesta fase do processo de planejamento das empresas de transporte público, para permitir a redu¸cão dos seus custos operacionais.

O ônibus ainda é o meio de transporte público de passageiros mais utilizado nas cidades, sendo que em algumas delas ele é o único meio de transporte público. Assim, o planejamento da opera¸cão das empresas deste ramo deve ser muito preciso para que a de-manda dos usuários seja atendida prontamente e com o menor custo poss´ıvel. A redu¸cão dos custos, decorrente de um melhor planejamento, é de fundamental importância para as empresas. Além de um fator de sobrevivência, essa economia pode ser reinvestida em outras áreas, como na qualifica¸cão dos seus funcionários, na manuten¸cão da frota, entre outros. Desta forma, a qualidade do servi¸co pode ser melhorada, assim como o retorno à empresa. Logo, a utiliza¸cão de técnicas e ferramentas computacionais podem trazer benef´ıcios para as empresas deste setor (Wren 2004).

(20)

Introdu¸c˜ao 3

O desenvolvimento e a utiliza¸cão de sof twares para auxiliar o processo de tomada de decisão, em empresas de transporte público brasileiro, tem um histórico de pouca utiliza¸cão (Silva 2001). Isso ocorre por que tais métodos requerem a obten¸cão de dados precisos da opera¸cão das frotas, o cumprimento de regras espec´ıficas, o treinamento do pessoal, entre outros outros fatores que geram custos adicionais e requerem a mudan¸ca na forma de opera¸cão das empresas. Mesmo com essas dificuldades, é importante que métodos de otimiza¸cão adequados à realidade brasileira sejam elaborados e sua utiliza¸cão disseminada entre as empresas de transportes público, propiciando benef´ıcios tanto para as empresas como para os usuários do sistema.

O planejamento de transporte público urbano é uma tarefa muito delicada pois o mesmo envolve tanto o poder público quanto as empresas de presta¸cão de servi¸co. Uma série de decisões operacionais devem ser tomadas neste planejamento. Primeiramente, deve-se definir quais as linhas de transporte que irão operar, ou seja, definir quais serão as rotas das linhas necessárias para cobrir todas as regiões desejadas de uma determi-nada cidade, definindo também os pontos de parada de cada rota. Com a defini¸cão da trajetória das linhas a serem operadas, deve-se então definir o horário de partida de cada viagem em cada linha sob a responsabilidade da empresa. Isto é, deve-se definir o

quadro de horários das linhas para os dias úteis, os sábados e os domingos/feriados. A varia¸cão no quadro de horários se deve pela varia¸cão na demanda nos diferentes dias da semana.

Numa segunda etapa deve-se fazer a aloca¸cão dos ve´ıculos que realizarão as viagens de cada linha. Este problema é conhecido na literatura comoProblema de Programa¸cão dos Ve´ıculos. Nesta etapa procura-se definir a quantidade m´ınima de ve´ıculos necessários para realizar todas as viagens previstas no quadro de horários de cada linha, gerado na etapa anterior, e especificar o ve´ıculo que realizará cada viagem. A resolu¸cão deste problema procura minimizar não apenas o número de ve´ıculos, mas também as viagens ociosas e o tempo ocioso dos ve´ıculos nos terminais.

Na etapa seguinte deve ser definida a quantidade m´ınima de tripulantes (motorista e cobrador) e como estes serão alocados de modo a cobrir todas as viagens dos ve´ıculos em opera¸cão. Desta forma são definidas as jornadas que cada tripula¸cão da empresa deverá cumprir em um dia de trabalho. Este problema é denominadoProblema de Programa¸cão da Tripula¸cão e tem como objetivo minimizar o total de tripulantes e o custo com horas extras e ociosas contidas na escala diária.

(21)

4 Introdu¸c˜ao

objetivo gerar as escalas mensais das tripula¸cões de modo a cobrir todas as jornadas respeitando as regras especificas para a atividade, como por exemplo as folgas da tri-pula¸cão, o número máximo de dias trabalhados consecutivamente, entre outras. Este problema é conhecido na literatura como Problema do Rod´ızio das Tripula¸cões. Nesta etapa é poss´ıvel realizar a compensa¸cão de horas extras com horas ociosas, realizadas no mesmo mês, por uma determinada tripula¸cão.

A defini¸cão das linhas e do quadro de horários é de responsabilidade do poder público, enquanto a programa¸cão dos ve´ıculos e tripula¸cões e o rod´ızio das tripula¸cões ficam a cargo das empresas de transporte público. O processo de planejamento operacional descrito acima é geralmente realizado na ordem apresentada e a solu¸cão de cada etapa é usada como dado de entrada da etapa seguinte.

A abordagem de todos os problemas do sistema de transporte em um único modelo pode ser uma tarefa computacionalmente imposs´ıvel. Logo, este trabalho dedica-se ex-clusivamente ao tratamento do Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão (PPT). Devido às restri¸cões operacionais vigentes, restri¸cões das empresas e das leis trabalhistas, este problema especificamente torna-se de grande complexidade. O problema pode ser mode-lado como um problema de particionamento ou de recobrimento com variáveis binárias, o que o torna NP-hard, para o qual não existe algoritmo de complexidade polinomial que obtenha a solu¸cão ótima (Fischetti et al. 1987). Este problema vem sendo estudado desde a década de 60, tendo Elias (1964) como trabalho pioneiro. Devido às constantes mudan¸cas no sistema de transporte público, várias pesquisas são realizadas ainda hoje para representar e resolver o problema de forma mais precisa e eficiente.

Devido à complexidade deste problema, a utiliza¸cão de métodos exatos fica restrita, impossibilitando a resolu¸cão de problemas reais, que normalmente são de grandes di-mensões. Assim, os métodos heur´ısticos se tornam uma alternativa e são amplamente utilizados para resolver o problema (Ernst et al. 2004b).

(22)

Introdu¸c˜ao 5

1.1 Objetivo Geral

Este trabalho tem como objetivo resolver o Problema da Programa¸cão de Tripula¸cão de Ônibus Urbano de modo a reduzir o máximo poss´ıvel os custos operacionais na atribui¸cão das viagens às tripula¸cões, utilizando técnicas exatas e heur´ısticas. Assim foi implementado um modelo exato de programa¸cão linear inteira, uma metaheur´ıstica e a combina¸cão de ambos, resultando em um modelo do tipo Matheur´ıstica. Os métodos foram avaliados quanto às vantagens e desvantagens destas abordagens na resolu¸cão de problemas reais.

1.2 Objetivos Espec´ıficos

• Resolver o PPT utilizando um modelo exato e verificar a dimensão máxima do problema que o método é capaz de resolver;

• Resolver o PPT utilizando a metaheur´ısticaLate Acceptance Hill Climbing LAHC;

• Resolver o PPT utilizando uma abordagem h´ıbrida, que ´e a combina¸c˜ao da me-taheur´ıstica LAHC e do modelo exato;

• Avaliar os resultados obtidos com resultados da literatura e das solu¸c˜oes apresen-tadas pela empresa.

1.3 Organiza¸

c˜

ao do Trabalho

(23)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

O PPT é um problema clássico, sobre o qual existem diversos trabalhos que exploram diferentes técnicas de programa¸cão linear inteira para resolvê-lo. Entre estas técnicas são destacadas oBranch-and-Bound (Fores et al. 1999, Smith and Wren 1988), Branch-and-Price (Barnhart et al. 1998, Desrochers and Soumis 1989) e Branch-and-Cut (Friberg and Haase 1999). Por outro lado, diversas metaheur´ısticas foram implementadas para re-solver problemas de grande porte. Dentre essas pode-se destacar: Algoritmos Genéticos, GRASP, Busca Tabu, Simulated Annealing, entre outros (Louren¸co et al. 2001, Shen and Kwan 2001, Silva and da Cunha 2010, Souza et al. 2004). Com o emprego des-tas meta-heur´ısticas foi poss´ıvel obter resultados muito satisfatórios para o problema, embora a otimalidade das solu¸cões não sejam garantidas.

O trabalho de Ernst et al. (2004a) apresenta uma série de problemas relacionados à aloca¸cão de pessoal em diversas áreas, incluindo motoristas e cobradores de sistemas de transportes. Neste contexto, os autores descrevem problemas de aloca¸cão de funcionários em seus diferentes modais de transportes, ou seja, no aeroviário, ferroviário, transporte urbano e no transporte interurbano. No trabalho é apresentada uma revisão sobre as principais pesquisas tanto para o problema de programa¸cão da tripula¸cão, como para o problema do rod´ızio das tripula¸cões. No trabalho é mencionado também que a complexidade dos problemas dependem do tipo de transporte, da categoria da tripula¸cão, dos tipos de frotas, das regras e regulamenta¸cões, da regularidade das viagens e dos custos a serem considerados. Segundo Ernst et al. (2004a), uma das abordagens mais utilizadas para resolver os problemas de programa¸cão das tripula¸cões é aquela que o decompõe nas seguintes etapas: gera¸cão das jornadas, otimiza¸cão das jornadas e defini¸cão do rodizio da tripula¸cão. Desta forma, a complexidade do problema é reduzida, permitindo sua

(24)

Revis˜ao Bibliogr´afica 7

resolu¸c˜ao de forma satisfat´oria.

Algumas destas técnicas de otimiza¸cão são utilizadas em pacotes comerciais voltadas para a área de programa¸cão de ve´ıculos e tripula¸cões. Uma metaheur´ıstica do tipo run-cutting foi utilizada para resolver o problema no pacote RUCUS (Luedtke 1985, Wilhelm 1975), desenvolvido nos Estados Unidos da América a partir da década de 70, e um al-goritmo desenvolvido por Parker and e Smith (1981) foi utilizado no sistema TRACS, o qual simulava o processo manual de aloca¸cão da tripula¸cão. A formula¸cão de reco-brimento de conjuntos foi usada no pacote IMPACS do sistema BUSMAN e no pacote Crew-opt, que posteriormente foi utilizado na versão inicial do HASTUS que substituiu o TRACS (Wren 2004). A empresa brasileira Wplex, desenvolvedora de sistemas no âmbito de transporte, desenvolveu um sistema WplexON (Fournier 2009) para tratar problemas de aloca¸cão de tripula¸cão. Neste trabalho a empresa utiliza a abordagem de

Branch-and-Price para solucionar o problema modelado como particionamento de con-juntos, sendo que o conjunto de Jornada de Trabalho é gerada a partir do movimento de inser¸cão de tarefas. Estas solu¸cões obtidas pela Wplex são utilizadas em empresas no estado de Santa Catarina.

Nas subse¸c˜oes a seguir s˜ao apresentados alguns trabalhos que utilizam abordagens Exatas, Metaheur´ısticas e Heur´ısticas H´ıbridas.

2.1 M´

etodos Exatos para Resolver o PPT

Os métodos exatos se mostram mais eficiente quando utilizados para resolu¸cão de pro-blemas de otimiza¸cão combinatória quando os problema são de pequena dimensão ou não são NP-Completo. No entanto, estes métodos podem ser ineficientes para proble-mas NP-Completos de grande dimensão, uma vez que o tempo de execu¸cão aumenta exponencialmente à medida que as instâncias aumentam. Ainda assim, existem várias abordagens exatas descritas na literatura para resolver o problema. Entre elas podemos citar a Programa¸cão Dinâmica, a Programa¸cão Linear e Inteira, Relaxa¸cão Lagrange-ana, Programa¸cão por Restri¸cões, entre outros. Muitas destas técnicas são flex´ıveis e independentes de dom´ınio, e podem ser aplicadas à maioria dos problemas práticos (Stefanello 2011).

(25)

8 Revis˜ao Bibliogr´afica

é dividido em dois: um problema de cobertura de conjunto e um problema de caminho m´ınimo com limita¸cão de recurso. O problema de cobertura de conjuntos escolhe uma escala de trabalho viável já conhecida. O problema de caminho m´ınimo é usado para propor novas escalas de trabalho para melhorar a solu¸cão obtida pelo problema de co-bertura de conjuntos. Para o problema de coco-bertura de conjuntos, o método de gera¸cão de colunas é representado por linhas e colunas, onde as colunas representam uma escala viável e as linhas as tarefas a serem realizadas. O modelo deve selecionar as melhores escalas de modo que todas as tarefas de um dia de trabalho sejam cobertas. Porém as novas escalas são geradas usando um algoritmo de caminho m´ınimo com restri¸cão de recursos. Cada caminho viável, da origem ao consumidor, representa uma jornada de trabalho viável, ou seja, uma nova coluna para o problema de cobertura de conjuntos. O método proposto apresenta resultados satisfatório para resolver problemas considerados pequenos, compostos de 167 e 235 tarefas.

Fores et al. (1999) apresentam um sistema baseado em programa¸cão linear inteira, como melhoria do sistema TRACS II desenvolvido pela Universidade de Leeds, Ingla-terra. Diferente da abordagem utilizada no TRACS II, que utilizava duas fun¸cões ob-jetivos para calcular as penalidades impostas na solu¸cão, o modelo proposto por Fores et al. (1999) utiliza uma fun¸cão objetivo composta, e o método de gera¸cão de colunas para obter a sua solu¸cão final. Os testes computacionais mostram que o modelo pro-posto consegue resultados melhores do que o modelo utilizado pelo sistema TRACS II, e obteve uma redu¸cão média de 41% no tempo de processamento para o mesmo conjunto de dados.

A abordagem branch-and-price é utilizada por Freling et al. (2004) para resolver tanto o problema de aloca¸cão quando o problema do rod´ızio de tripula¸cão. Para re-solver o problema, os autores utilizaram uma abordagem do tipo Gera¸cão de Colunas onde inicialmente é escolhido um conjunto de jornadas (colunas) e então é resolvido o problema relaxando a condi¸cão de integralidade da solu¸cão. Em seguida são geradas novas colunas que podem ser inseridas no conjunto, substituindo outra, caso esta in-ser¸cão consiga reduzir o custo da solu¸cão. Esta opera¸cão se repete até que nenhuma jornada que reduza o custo seja encontrada. Se na etapa de gera¸cão de novas colunas não for encontrada nenhuma jornada que reduza o custo, a opera¸cão branch-and-bound

(26)

todas as restri¸cões estão sendo atendidas e o processo de branch-and-bound é iniciado novamente até que a condi¸cão de parada seja atendida. Os testes foram realizado em problemas de aloca¸cão de tripula¸cões de aeronaves para instâncias pequenas. O modelo teve como objetivo minimizar o número de tarefas descobertas e o número de tripulantes.

Santos and Mateus (2007) utilizam uma abordagem exata de Gera¸cão de Colunas combinada com a metaheur´ıstica populacional Algoritmos Genéticos para resolver o PPT. Na gera¸cão de colunas, o problema é subdividido em dois: problema mestre e sub-problema. O problema mestre seleciona as jornadas que serão realizadas pela tripula¸cão em um conjunto de jornadas viáveis, de modo a conseguir cobrir todas as viagens ne-cessárias. Já o subproblema é responsável por gerar novas jornadas (colunas). Estas jornadas são adicionadas ao problema mestre se possibilitarem a melhoria da solu¸cão. Para a resolu¸cão do subproblema é utilizado um Algoritmo Genético. Os resultados obtidos mostram que a utiliza¸cão do Algoritmo Genético, em compara¸cão com outras metaheur´ısticas, destaca-se pelo fato da possibilidade de gera¸cão de um conjunto maior de jornadas viáveis para a inclusão no problema mestre e consequentemente possibilita reduzir o tempo de processamento quando lida com grandes instâncias.

2.2 Metaheur´ısticas para Resolver o PPT

(27)

de um método de cruzamento entre duas popula¸cões é proposto, utilizando GRASP para tentar resolver este cruzamento como um subproblema e encontrar uma popula¸cão dita perfeita. Os teste foram comparados com dados utilizados em uma empresa de Portugal e um método de programa¸cão linear proposto por Beasley (1987).

Um Algoritmo Genético H´ıbrido para resolver o problema de programa¸cão da tri-pula¸cão foi proposto por Li and Kwan (2003). Em sua abordagem os testes foram rea-lizados tanto com instâncias de problemas de ônibus urbano quanto de linhas de trem, com dados reais de empresas inglesas. Uma heur´ıstica gulosa é utilizada para construir uma escala, onde as jornadas são selecionados sequencialmente de um conjunto grande de potenciais jornadas viáveis geradas previamente. As jornadas individuais e a escala devem ser avaliadas como um único processo. A teoria do conjuntofuzzyé aplicada sobre tais avalia¸cões. Para jornadas individuais a sua viabilidade é avaliada por critérios iden-tificados a partir do conhecimento prático do problema. O Algoritmo Genético é usado para gerar uma distribui¸cão de pesos quase ótimos entre os critérios, onde uma avalia¸cão ponderada de um único valor pode ser computada para cada jornada. A programa¸cão constru´ıda a partir da distribui¸cão dos pesos gerados é avaliada pela fun¸cão de aptidão do Algoritmo Genético. Para essa fun¸cão, são utilizados os objetivos de minimizar jor-nadas e minimizar o custo total formulados como uma meta fuzzy. Este apresentou um algoritmo inédito baseado na teoria dos conjuntos fuzzy para resolver o Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão. A partir dos resultados apresentados o algoritmo proposto consegue resolver problemas de tamanho reais.

(28)

Em Silva and da Cunha (2010) o PPT é resolvido pela combina¸cão da metaheur´ıstica GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) com o método de busca em vizinhan¸ca de grande porte, o VLNS (Very Large-Scale Neighborhood Search). Esta abordagem permite que sejam resolvidos problemas reais em empresas de grande porte, em um tempo considerável e com bom resultados, devido a possibilidade de explorar vi-zinhan¸cas com um número muito grande de solu¸cões adjacentes. Os resultados apresen-tados referem-se à resolu¸cão de problemas reais de uma empresa de Belo Horizonte-MG. Para todos os testes realizados, a abordagem utilizada consegue melhorias significativas na programa¸cão da tripula¸cão em rela¸cão à solu¸cão adotada pela empresa.

Gon¸calves (2010) propõe um estudo comparativo entre as metaheur´ısticas Busca Tabu e Iterated Local Search (ILS) e uma metodologia exata de programa¸cão ma-temática. Para a utiliza¸cão das metaheur´ısticas foi necessário a gera¸cão de uma solu¸cão inicial, onde esta foi gerada de forma sequencial. A cada itera¸cão, uma tarefa é escolhida sequencialmente e alocada à jornada existente, desde que a jornada permane¸ca viável. Como estrutura de vizinhan¸ca foram utilizados os movimentos de troca e realoca¸cão de tarefas, os mesmo utilizados no presente trabalho. Na Buca Tabu, a lista tabu é definida como uma fila circular, onde os vizinhos mais antigos são eliminados à medida em que os novos são adicionados e a fila está cheia. A metaheur´ıstica ILS é combinada com a metaheur´ıstica Variable Neighborhood Descent (VND), onde o VND é utilizado como método de busca local do ILS. Na utiliza¸cão do ILS um processo de pertuba¸cão é apre-sentado, onde sucessivos movimentos aleatórios baseados na estrutura de vizinhan¸ca são empregados. Como critério de aceita¸cão, uma nova solu¸cão é aceita se ela for melhor do que a melhor solu¸cão encontrada. Para as metaheur´ısticas a fun¸cão de avalia¸cão proposta leva em considera¸cão solu¸cões viáveis e inviáveis. As solu¸cões inviáveis são penalizadas de forma a privilegiar a elimina¸cão destas da solu¸cão final. A metodologia exata proposta utiliza a abordagem de gera¸cão de colunas onde as colunas são geradas a partir de Enumera¸cão Exaustiva. No modelo exato só são aceitas solu¸cões que atendam todas as restri¸cões, ou seja solu¸cões viáveis. Os resultados apresentados mostram que os métodos propostos obtêm solu¸cões muito próximas e provou-se otimalidade em 93,75% dos casos de teste considerados.

(29)

de estruturas de vizinhan¸ca é definido sequencialmente. Com a primeira estrutura de vizinhan¸ca, é gerado um vizinho da solu¸cão corrente. Em seguida é realizada uma busca local a partir deste vizinho. Se ao final da busca local for encontrado um valor melhor do que o da solu¸cão corrente então a solu¸cão é atualizada e o procedimento se repete consi-derando a estrutura de vizinhan¸ca inicial. Caso o valor da solu¸cão encontrada na busca local seja pior do que o valor atual, um novo vizinho é gerado considerando a próxima estrutura de vizinhan¸ca, e o procedimento de busca local é novamente realizado. O pro-cedimento se repete até que a condi¸cão de parada seja atingida. Como propro-cedimento de busca local foram utilizados o VND e o VLNS. Ambas as implementa¸cões foram testadas considerando que as tripula¸cões podem realizar no máximo uma troca e duas trocas de ve´ıculos durante a jornada. Os custos para jornadas do tipo dupla pegada também foram variados na realiza¸cão dos testes, assumindo os valores de 500 e 6000. Os mesmos pesos também foram utilizados no presente trabalho. Ambos os métodos utilizados obtiveram melhores resultados quando comparados com os custos adotados pela empresa da cidade de Belo Horizonte-MG que forneceu os dados. Estes resultados serão utilizados como base de compara¸cão para os métodos propostos neste trabalho.

2.3 M´

etodos H´ıbridos para resolver o PPT

(30)

viagens.

Mauri and Lorena (2007) apresentam um método h´ıbrido utilizando algoritmo de treinamento populacional e programa¸cão linear para gerar os horários dos motoristas em um sistema de transporte público. O método utiliza o modelo clássico de particiona-mento, onde os custos que compõem a fun¸cão objetivo levam em considera¸cão o total de condutores, de horas extras e de horas ociosas. No algoritmo de treinamento foi utilizada uma busca local, de modo a avaliar vários tamanhos de vizinhan¸ca, gerando assim um grande número de jornadas de modo a cobrir todas as tarefas. Em seguida é utilizado um modelo de programa¸cão linear para reduzir os custos das jornadas de modo que todas as tarefas sejam realizadas. De acordo com os autores os resultados apresentados são considerados bons e em tempo de execu¸cão razoável se comparado com Simulated Annealing apresentados em Mauri and Souza (2003).

(31)

Cap´ıtulo 3

Problema de Programa¸

c˜

ao da

Tripula¸

c˜

ao de ˆ

Onibus Urbano

Neste trabalho é abordado o Problema de Programa¸cão das Tripula¸cões de Ônibus Ur-bano (PPT), também conhecido na literatura como Crew Scheduling Problem. O PPT tem como dados de entrada a solu¸cão do Problema de Programa¸cão dos Ve´ıculos, que cor-responde ao sequenciamento das viagens a serem realizadas por cada ônibus em opera¸cão, de uma empresa, num determinado dia da semana. Cada viagem a ser realizada apre-senta um horário de in´ıcio e de fim, além do seu ponto inicial e ponto final. O conjunto de todas as viagens realizadas por um ve´ıculo constitui seubloco de viagens. Desta forma é poss´ıvel prever o horário de partida do ve´ıculo da garagem e o seu retorno ao final do dia, assim como o detalhamento de todas as viagens e eventuais pausas realizadas pelo ve´ıculo ao longo da opera¸cão. As viagens de cada ve´ıculo são agrupadas emtarefas. Uma tarefa é a sequência de viagens consecutivas que deve ser executada por um único condutor, uma vez que entre estas viagens não existe tempo suficiente para que ocorra a troca da tripula¸cão. Cada jornada corresponde a um conjunto de tarefas que serão realizadas por uma tripula¸cão ao longo de um dia. As jornadas são formadas a partir da atribui¸cão das tarefas, a composi¸cão destas jornadas devem respeitar o pontos de tro-cas, a utiliza¸cão dos ve´ıculos, o tempo máximo de trabalho,entre outros. Desta forma, podemos identificar uma jornada como uma tripula¸cão e vice-versa, pois cada tripulante receberá uma jornada a ser realizada durante um dia útil de trabalho. As jornadas também devem respeitar as restri¸cões impostas pela empresa, pelas leis trabalhistas e conven¸cões coletivas.

No problema abordado, s˜ao considerados dois tipos de jornadas. A dupla pegada

(32)

Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão de Ônibus Urbano 15

é uma jornada caracterizada por um conjunto de tarefas que têm um intervalo, entre duas tarefas, maior ou igual a um valor estipulado, no caso de duas horas. Este tipo de jornada é utilizado para a condu¸cão dos ve´ıculos que só operam durante os horários de pico, o que ocorre principalmente no in´ıcio da manhã e no final da tarde. O intervalo entre os dois peda¸cos de jornada não é contabilizado como hora trabalhada. Em uma jornada do tipo pegada simples os intervalos entre as tarefas são menores do que o valor estipulado para a dupla pegada. Independentemente do tipo de jornada, as horas extras correspondem ao tempo trabalhado além do tempo normal, que no caso é de seis horas e quarenta minutos. Por outro lado, se uma jornada durar menos do que o tempo normal de trabalho, então a diferen¸ca entre o tempo normal de trabalho e a dura¸cão da jornada é otempo ocioso ou a ociosidade da jornada.

A resolu¸cão do PPT tem como objetivo atribuir as tarefas às tripula¸cões de modo que cada tarefa seja realizada por uma única tripula¸cão, as restri¸cões do problema sejam atendidas e que o custo total composto pelo número de tripula¸cões e a quantidade de horas extras seja minimizado.

Além das restri¸cões mencionadas, as jornadas devem obedecer as restri¸cões impostas pelas empresas, as leis trabalhistas e os acordos contidos nas conven¸cões coletivas de trabalho. Entre essas regras podem se citadas: a carga horária máxima de trabalho de cada tripulante, o tempo m´ınimo de descanso de cada tripula¸cão, o tempo m´ınimo para a realiza¸cão da troca da tripula¸cão, a possibilidade de troca de ve´ıculos durante a jornada, entre outras.

Nas subse¸cões seguintes são apresentadas as restri¸cões consideradas neste trabalho e uma abordagem matemática clássica de particionamento de conjuntos normalmente utilizada para resolver o problema.

3.1 Restri¸

c˜

oes do Problema

Para a constru¸cão das jornadas de trabalho foram levadas em considera¸cão as seguintes restri¸cões operacionais e trabalhistas:

(33)

16 Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão de Ônibus Urbano

• Hora Extra: A dura¸cão de uma jornada deve conter no máximo 2 horas a mais da dura¸cão de trabalho regular, sendo este tempo de excesso contabilizado como hora extra;

• Intervalo de Descanso: Cada tripula¸cão tem direito a no m´ınimo 30 minutos par-ticionado ou não de folga (descanso, almo¸co, etc.). Esse tempo não é aplicado quando a jornada for do tipo dupla pegada;

• Troca de Terminal: Dada duas tarefas,i ej realizadas consecutivamente por uma tripula¸c˜ao, ent˜ao o ponto final da tarefai deve ser igual ao ponto inicial da tarefa

j. Para as jornadas do tipo dupla pegada esta troca ´e permitida se o intervalo de tempo entre o t´ermino da tarefa i e o in´ıcio da tarefa j for superior a 2 horas;

• Intervalo de Descanso Diário: Considerando que uma jornada pode ser executada pela mesma tripula¸cão em dias consecutivos, então o intervalo entre o fim da jornada e o seu in´ıcio no dia seguinte deve ser superior a 11 horas.

• Troca de Ve´ıculo: Em uma jornada de trabalho, dependendo das regras empresa-riais, pode ter como restri¸c˜ao um n´umero limitado de troca de ve´ıculos;

• Minimiza¸c˜ao de Hora Extra: O tempo excedente da hora de trabalho normal ser´a contabilizado em horas extras e o mesmo deve ser minimizado;

• Minimiza¸cão do Número de Duplas Pegadas: Deve ser minimizado o número de jornadas do tipo dupla pegada o tanto quanto poss´ıvel;

• N´umero de Jornadas: A quantidade de jornadas de trabalho deve ser m´ınimo, cobrindo todas as tarefas as di´arias;

(34)

Cap´ıtulo 4

M´

etodos Propostos

Neste cap´ıtulo são apresentados os métodos utilizados para a resolu¸cão do PPT. A resolu¸cão do PPT consiste em encontrar um conjunto de jornadas de tal forma que todas as tarefas sejam realizadas com o menor custo poss´ıvel e que sejam atendidas todas as restri¸cões consideradas para o problema (3.1). Inicialmente é apresentado o Modelo de Programa¸cão Inteira proposto neste trabalho, o qual modela o problema por meio de uma série de restri¸cões lineares. Posteriormente é apresentado como a metaheur´ıstica LAHC foi implementada para resolver o problema, e finalmente segue a descri¸cão da implementa¸cão da Matheur´ıstica que combina a LAHC com o modelo exato. Para tanto, a seguir são descritas as estruturas utilizadas para representar os principais elementos que compõem uma solu¸cão do PPT.

4.1 Estruturas para a Representa¸

c˜

ao do Problema

Tarefa Identificador

Hor´ario de In´ıcio Hor´ario de Fim Terminal de In´ıcio Terminal de Fim

N´umero do Ve´ıculo

Tabela 4.1: Estrutura de uma tarefa

A Tabela 4.1 apresenta os dados de cada tarefa a ser alocada. O campoIdentificador

(35)

18 M´etodos Propostos

recebe um inteiro que identifica unicamente cada tarefa. Os campos Hor´ario de In´ıcio

e Horário de Fim correspondem ao instante estimado em que a tarefa se inicia e se encerra, respectivamente. No campo Terminal de In´ıcio é atribu´ıdo um número inteiro para identificar o terminal onde a tarefa se inicia, e no campo Terminal de Fim um número inteiro para identificar o terminal onde a tarefa se encerra. O campo Ve´ıculo

recebe um número inteiro que identifica qual ve´ıculo realiza a tarefa. Estes campos são as caracter´ısticas relevantes de uma tarefa para a resolu¸cão do PPT.

Jornada Identificador

Hor´ario de In´ıcio Hor´ario de Fim Horas Extras Horas Ociosas Dupla Pegada Troca de Ve´ıculos

Lista das Tarefas

Tabela 4.2: Estrutura de uma jornada

(36)

M´etodos Propostos 19

4.2 Modelo Matem´

atico Proposto

Nesta se¸cão é apresentado o modelo matemático proposto para a resolu¸cão do Problema de Programa¸cão da Tripula¸cão. Este modelo, ainda inédito na literatura, difere dos demais pelo fato de que as jornadas são geradas a partir das tarefas a serem alocadas. Nos modelos matemáticos apresentados na literatura, a solu¸cão do problema é alcan¸cada selecionando as melhores jornadas dentro de um conjunto de jornadas previamente ge-radas, sendo que as jornadas selecionadas devem cobrir todas as tarefas. No método proposto neste trabalho, as jornadas são geradas durante a resolu¸cão do modelo, a par-tir do conjunto de tarefas a ser designado e o conjunto de restri¸cões que devem ser atendidas. Desta forma não é necessário gerar jornadas previamente.

Para modelar o problema de forma exata foi utilizada a linguagem Mathematical Programming Language (Fourer et al. 1990) no ambiente de desenvolvimento Gusek. O modelo final foi resolvido pelo Cplex 12.5. A modelagem é apresentada nas subse¸cões 4.2.1 a 4.2.4, onde são descritos os parâmetros e conjuntos utilizados, as variáveis de decisão, as restri¸cões e as duas fun¸cões objetivo consideradas.

4.2.1 Parˆ

ametros e Conjuntos

Seja qt o parâmetro de entrada que corresponde à quantidade de tarefas do problema, logo tem-se o conjunto de tarefas T, onde |T| = qt. O parâmetro qj se refere ao número máximo de jornadas na solu¸cão, que gera o conjunto de poss´ıveis jornadas J, com |J| ≤qj. O número máximo de tarefas alocadas a uma jornada é dado pelo valor

M ax T ar. Uma constante suficientemente grandeM (Big M) ´e utilizada na modelagem

de algumas restri¸cões. Os parâmetros T emp M ax J e T emp M ax HE correspondem respectivamente à dura¸cão máxima de uma jornada de trabalho e ao tempo máximo de horas extras que uma jornada pode conter. Os parâmetros Custo J, Custo HE,

Custo OC e Custo DP representam o custo fixo de uma jornada e os custos vari´avies

(37)

Vale ressaltar que os parˆametros acima s˜ao valores inteiros e positivos.

Para cada tarefa t ∈ T, temos stt o hor´ario de in´ıcio da tarefa, ett o hor´ario de

t´ermino, slt o terminal de sa´ıda, elt o terminal de chegada e vct o ve´ıculo que realiza

a tarefa. Dadas duas tarefas t1 e t2 ∈ T, P os T Vt1t2 identifica se entre as duas tarefas

existe a possibilidade da tripula¸c˜ao realizar a troca entre os respectivos ve´ıculos, ou seja, P os T Vt1t2 = 1 sevct1 6=vct2,elt1 =slt2 e stt2−ett1 >0, caso contr´arioP os T Vt1t2 = 0.

E P os DPt1t2 identifica se entre as duas tarefas existe um intervalo que possibilita a

ocorrˆencia de uma jornada do tipo dupla pegada. Desta forma P os DPt₁t₂ = 1 se

stt2 −ett1 > Inter M in DP, caso contr´ario P os DPt1t2 = 0.

4.2.2 Vari´

aveis de Decis˜

ao

Para modelar o PPT, além das variáveis de aloca¸cão das tarefas às jornadas, são ne-cessárias algumas variáveis auxiliares para que sejam geradas solu¸cões viáveis para o problema. As solu¸cões viáveis devem satisfazer ao conjunto das restri¸cões implementas que serão apresentadas nas próximas subse¸cões. Tais restri¸cões matemáticas são utiliza-das para modelar as regras impostas para que uma jornada de trabalho seja viável.

Seja j ∈ J ,onde |J| ´e aproximadamente 30% do total de tarefas , t ∈ T e p ∈ P,

|P| = 8 , onde J, T e P são os conjuntos de jornadas, tarefas e posi¸cões (corresponde a ordem que cada tarefa esta alocada, onde para cada jornada, uma tarefa será alocada a uma posi¸cão, sempre em ordem crescente) das tarefas nas jornadas respectivamente, então a variável binária xjtp assume valor 1 se a tarefa t for alocada à jornada j na

posi¸cão p. Vale ressaltar que esta é a variável que apresentará a solu¸cão do problema. A variável yj é utilizada para identificar se a jornadaj tem alguma tarefa alocada a ela,

recebendo o valor 1, caso contrário seu valor será 0. A variável inij receberá o valor do

horário de in´ıcio da jornadaj,f imjreceberá o valor do horário de término da jornadaj e

OC intj ter´a o valor do tempo total de ociosidade interna, ou seja, a soma dos intervalos

ociosos entre as tarefas atribu´ıdas à jornada j. A variável auxiliar OC extj receberá o

tempo de ociosidade externa quando houver, que é dado pelo intervalo que falta para concluir a carga horária normal de uma jornada de trabalho, e Qnt HEj receberá a

quantidade de horas extras da jornada, quando houver.

Considerando j ∈ J, t1, t2 ∈ T e p1, p2 ∈ P, ent˜ao a vari´avel T roca Vjt1t2p1p2 tem

como objetivo verificar se existe uma troca de ve´ıculo entre as tarefas t1 et2 localizadas

(38)

respectivamente, para verificar as posi¸cões e marcar se uma jornada é do tipo dupla pegada ou não. A variável Desc DPj contém a amplitude do intervalo não remunerado

para as jornadas do tipo dupla pegada. Esse valor ´e descontado da remunera¸c˜ao da jornada.

4.2.3 Fun¸

c˜

ao Objetivo

Duas fun¸cões objetivo são propostas neste trabalho, sendo que a primeira, dada pela expressão (4.1), minimiza o número de duplas pegadas e não utilizando a restri¸cão (4.15) para limitar o número máximo de jornadas do tipo dupla pegada. A segunda fun¸cão objetivo, expressa em (4.2), não minimiza o número de duplas pegadas, porém limita o número de jornadas deste tipo considerando a restri¸cão (4.15). Ambas são apresentadas abaixo e foram testadas separadamente.

f o1 =

X

j∈J

(Custo J ∗yj +Custo OC∗(OC extj+OC intj)

+Custo HE∗Qnt HEj+Custo DP ∗Duplaj)

(4.1)

f o2 =

X

j∈J

(Custo J ∗yj +Custo OC∗(OC extj+OC intj)

+Custo HE∗Qnt HEj)

(4.2)

Nas express˜oes (4.1) e (4.2) o Custo J se refere ao custo fixo de cada jornada,

Custo OC ´e o custo de cada hora ociosa, Custo HE ´e o custo de cada hora extra e

Custo DP ´e o custo associado a cada jornada do tipo dupla pegada, quando esta

com-ponente fizer parte da fun¸cão objetivo. Desta forma são minimizados os custos fixos, as horas extras, as horas ociosas e as duplas pegadas, quando considerada, de uma solu¸cão.

4.2.4 Conjunto de Restri¸

c˜

oes

(39)

X

t∈T

xjtp ≤ 1,∀j ∈J, p∈P (4.3)

X

j∈J,p∈P

xjtp = 1,∀t∈T (4.4)

X

t1∈T

xjt1(p+1) ≤

X

t2∈T

xjt2p,∀j ∈J, p∈P − {1} (4.5)

yj ≥ xjtp,∀j ∈J, t∈T, p∈P (4.6)

A restri¸cão (4.3) garante que em cada posi¸cão de cada jornada só sera alocada uma ´

unica tarefa; (4.4) garante que cada tarefa seja alocada somente a uma jornada. A restri¸cão (4.5) garante que as tarefas sejam alocadas às jornadas em posi¸cões cont´ıguas, salvo a primeira posi¸cão. A restri¸cão (4.6) verifica se a jornada esta sendo utilizada ou não, fazendo com que o valor da variávelyj assuma o valor 1 se alguma tarefa for alocada

à jornada j, e 0 caso contrário. As cinco restri¸cões apresentadas estão relacionadas à aloca¸cão das tarefas, garantindo assim que estas sejam designadas de forma coerente, gerando solu¸cões fact´ıveis e que cobrem todas as tarefas informadas.

inij =

X

t∈T

sttxjt1,∀j ∈J (4.7)

f imj ≥ ett−M(1−xjtp),∀j ∈J, t∈T, p ∈P (4.8)

P os DPt₁t₂ +xjt₁p (4.9)

+xjt2(p+1)−DPj t1t2p(p+1) ≤ 2,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p∈P −1

DPj t1t2p(p+1) ≤ xjt1p,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P −1, t2 > t1 (4.10)

(40)

DPj t1t2p(p+1) = 0,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P −1, P os DPt1t2 = 0 (4.12)

X

t1,t2∈T,p∈P−1

DPj t1t2p(p+1) ≤ 1,∀j ∈J (4.13)

Duplaj =

X

t1,t2∈T,p∈P−1

DPj t1t2p(p+1),∀j ∈J (4.14)

X

j∈J

Duplaj ≤ Qnt M ax DP (4.15)

Desc DPj =

X

t1,t2∈T,p∈P−1

DPj t1t2p(p+1)∗(stt2 −ett1),∀j ∈J (4.16)

f imj −inij −Desc DPj ≤ T emp M ax J +T emp M ax HE,∀j ∈J (4.17)

f imj −inij ≤ 780,∀j ∈J (4.18)

As restri¸cões (4.7) e (4.8) são responsáveis por atribuir os valores de inij, in´ıcio da

jornada e f imj, fim da jornada, para cada jornada j. Estas informa¸c˜oes s˜ao utilizados

nas outras restri¸cões para garantir a consistência temporal das solu¸cões. As restri¸cões apresentadas de (4.9) a (4.16) são utilizadas para identificar e calcular o intervalo das jornadas do tipo dupla pegada, sendo que em (4.9) é verificado se duas tarefas são executadas em ordem consecutiva, e se entre elas ocorre uma dupla pegada. Em caso afirmativo, a variávelDPj t1t2p(p+1)recebe o valor 1, indicando assim que naquela jornada

haver´a dupla pegada entre as tarefast1 et2, que se localizam entre as posi¸c˜oespep+ 1.

As restri¸cões (4.10) e (4.11) garantem que a variável DP receba valor um se as duas tarefas t1 e t2 foram alocadas àquela jornada . O conjunto de restri¸cões em (4.12)

garante que se duas tarefast1 et2 não forem candidatas a dupla pegada então a variável

DPj t₁t₂p(p+1)nunca receber´a valor 1 para estas tarefas. As restri¸c˜oes em (4.13) garantem

que cada jornada pode ter no máximo um intervalo de tempo do tipo dupla pegada. As restri¸cões em (4.14) verificam se existe dupla pegada em uma jornada, atribuindo o valor 1 à variável Duplaj e 0 caso contrário. Em (4.15) é limitado o número total de

duplas pegadas pelo parâmetro Qnt M ax DP, e em (4.16) é atribu´ıdo, como desconto de tempo, o valor do intervalo da dupla pegada à variável Desc DPj para que possa

(41)

OC extj ≥ yj ∗T emp M ax J −(f imj −inij −Desc DPj),∀j ∈J (4.19)

OC intj ≥ (f imj −inij −Desc DPj)−

X

t∈T,p∈P

(ett−stt)xjtp,∀j ∈J (4.20)

OC intj ≥ (1−Duplaj)∗Inter M in T,∀j ∈J (4.21)

Qnt HEj ≥ (f imj −inij −Desc DPj)−T emp M ax J,∀j ∈J (4.22)

As restri¸cões (4.19) e (4.20) calculam a ociosidade externa e interna de uma jornada. O intervalo de descanso da tripula¸cão durante a realiza¸cão das tarefas é garantido pela restri¸cão (4.21). O cálculo da quantidade de horas extras é realizado em (4.22).

xjt₁p+xjt₂(p+1) ≤ 1,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P − {1} (4.23)

xjt1p+xjt2(p+1) (4.24)

−DPj t1t2p(p+1) ≤ 1,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P − {1}, slt2 6=elt1

xjt1p+xjt2(p+1) (4.25)

−T Vj t1t2p(p+1) ≤ 1,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P − {1}, P os T Vt1t2

T Vj t1t2p(p+1) ≤ xjt1p,∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P − {1}, t2 > t1 (4.26)

T Vj t1t2p(p+1) ≤ xjt2(p+1),∀j ∈J, t1, t2 ∈T, p ∈P − {1}, t2 > t1(4.27)

X

t1,t2∈T,p∈P−1

T Vj t1t2p(p+1) ≤ Qnt M ax T V,∀j ∈J (4.28)

A (4.23) é responsável por garantir que nenhuma tarefa possa ser iniciada antes que a anterior tenha terminado, em uma mesma jornada. Para permitir que haja troca de terminal somente em jornadas do tipo dupla pegada, foi implementada a restri¸cão (4.24). As restri¸cões (4.25), (4.26), (4.27) e (4.28) são responsáveis por garantir as regras de poss´ıveis trocas de ve´ıculos.

(42)

4.3 A Metaheur´ıstica LAHC

A metaheur´ısticaLate Acceptance Hill Climbing-LAHC, proposta por Burke and Bykov (2008), trata-se de uma adequa¸cão do método Hill Climbing Clássico (Russell and Nor-vig 2002). Segundo Burke and Bykov (2012), essa metaheur´ıstica foi criada tendo em mente três objetivos: ser um procedimento de busca local que não exige um processo de resfriamento artificial, como acontece noSimulated Annealing; usar eficientemente a in-forma¸cão coletada durante itera¸cões anteriores da busca, e; aplicar um novo mecanismo simplificado de aceita¸cão de solu¸cões candidatas.

O objetivo desta metaheur´ıstica é comparar o valor da fun¸cão objetivo (fitness) de uma solu¸cão candidata com o fitness de uma solu¸cão armazenada em uma lista de solu¸cões encontradas em itera¸cões anteriores. Desta forma, a solu¸cão não é comparada necessariamente com a melhor solu¸cão conhecida, mas com uma solu¸cão que foi armaze-nada em uma certa posi¸cão da lista em uma determiarmaze-nada itera¸cão anterior. Vale ressaltar que existe a possibilidade de uma solu¸cão candidata ser aceita mesmo não sendo a me-lhor solu¸cão encontrada até a sua itera¸cão. Isto pode ocorrer uma vez que a compara¸cão não é feita com a melhor solu¸cão conhecida, e sim com a solu¸cão armazenada numa determinada posi¸cão da lista.

Esta metaheur´ıstica tem como único parâmetro o tamanho da lista onde serão ar-mazenados os valores de fun¸cão objetivo de diferentes solu¸cões encontradas. Esta lista, denotada por f, tem comprimento Lf a. Seja a lista f ={f1, f2, ..., fLf a}, onde,

inicial-mente, todas as suas posi¸cões são preenchidas com o custo da solu¸cão inicial C(s), ou seja, fk ← C(s), ∀k ∈ {1, 2,..., Lf a}. A cada itera¸cão i, uma solu¸cão candidata s′ é

gerada na vizinhan¸ca de s. Uma solu¸cão candidata é aceita se o seu fitness for melhor ou igual ao fitness armazenado na posi¸cão v da lista f, onde v =i mod Lf a. Em caso afirmativo, a posi¸cão v da lista f é atualizada: fv ←f(s

′

). Além disso, se essa solu¸cão for melhor do que a melhor solu¸cão encontrada s∗_, _s∗ _{é atualizada, ou seja,} _s∗ _← _s′_. Esse procedimento continua até que a condi¸cão de parada seja alcan¸cada.

(43)

Algoritmo 4.1: Implementa¸cão do LAHC para um problema de minimiza¸cão Entrada: Solu¸cão inicial s e o parâmetro Lf a.

Sa´ıda: Melhor solu¸c˜ao s∗

encontrada. fk ←C(s)∀k ∈ {1, 2,...,Lf a};

1

s∗

←s;

2

i←0;

3

enquantoCondi¸c˜ao de parada n˜ao atendida fa¸ca

4

Gere um candidato s′ na vizinhan¸ca de s;

5

v ←i mod Lf a;

6

se f(s′

)≤fv ent˜ao

7

s ←s′

;

8

se f(s)< f(s∗

) ent˜ao

9

s∗

←s;

10

fv ←f(s);

11

i←i+ 1;

12

retornas∗ ;

13

4.3.1 Fun¸

c˜

ao Objetivo

Como fun¸cão objetivo da metaheur´ıstica LAHC, foi utilizada a mesma fun¸cão objetivo apresentada em 4.2.3 que minimiza o número de duplas pegadas. Esta é apresentada abaixo.

f olahc=

X

j∈J

(Custo J ∗yj +Custo OC∗(OC extj+OC intj)+

Custo HE∗Qnt HEj+Custo DP ∗Duplaj)

(4.29)

Na expressão (4.29) o Custo J se refere ao custo fixo de cada jornada, Custo OC é o custo de cada hora ociosa, Custo HE é o custo de cada hora extra e Custo DP é o custo associado a cada jornada do tipo dupla pegada. Desta forma são minimizados os custos fixos, as horas extras, as horas ociosas e as duplas pegadas.

4.3.2 Gera¸

c˜

ao da Solu¸

c˜

ao Inicial

(44)

guloso, onde o critério adotado é a ordem das tarefas, estas ordenadas a partir do tempo de inicio. Os dados de entrada, ou seja, as tarefas a serem programadas, são armazenadas na ordem crescente de seus horários de in´ıcio, e em caso de empate, pelo horário de fim. A constru¸cão da solu¸cão é iniciada com uma jornada vazia, dita jornada corrente. A primeira tarefakainda não alocada é inserida nessa jornada. A partir de então, enquanto for poss´ıvel, são inseridas as próximas tarefas ainda não alocadas, que pertencem ao mesmo ve´ıculo da tarefa k e que não geram inviabilidade na jornada corrente. Quando não for poss´ıvel inserir qualquer tarefa na jornada corrente, uma nova jornada vazia é inicializada e o processo se repete até que todas as tarefas tenham sido alocadas a alguma jornada.

4.3.3 Estrutura de Vizinhan¸

ca Realoca-Troca

Os dois tipos de movimentos que caracterizam a estrutura de vizinhan¸ca adotada foram a realoca¸cão ou a troca de uma tarefa entre duas jornadas, sem gerar inviabilidade. Estes movimentos são realizados para encontrar um vizinho de uma solu¸cão corrente. Exem-plificando, considere duas jornadas i e j, escolhidas aleatoriamente. Então é sorteada uma tarefa a ser retirada da jornada i e introduzida na jornada j. Logo, pode ocorrer uma das seguintes situa¸cões:

1. A tarefa retirada de i pode ser introduzida em j sem a necessidade de remover qualquer tarefa da jornadaj. Neste caso é realizado um movimento de realoca¸cão, e a nova solu¸cão será avaliada.

2. A introdu¸cão da tarefa emj exige a retirada de uma ou mais tarefas desta jornada. Neste caso, se a(s) tarefa(s) removida(s) dej puder(em) ser inserida(s) na jornada i, sem haver qualquer sobreposi¸cão com as tarefas remanescentes em i, então o movimento é aceito, caso contrário ele é descartado. Este é um movimento de troca.

(45)

Figura 4.1: Movimentos de realoca¸c˜ao e troca de uma tarefa da jornadaj para a jornada k

4.4 Matheur´ıstica

A utiliza¸cão de métodos exatos em conjuntos com as heur´ısticas vem sendo uma crescente tendência em otimiza¸cão. Este processo dehibridiza¸cãode métodos é também conhecido como Matheur´ıstica (Maniezzo et al. 2009). Os modelos apresentados nas se¸cões 4.2 e 4.3 fazem parte da abordagem do tipo Matheur´ıstica proposta neste trabalho para a resolu¸cão do PPT.

A Matheur´ıstica desenvolvida neste trabalho parte de uma solu¸cão viável gerada pela metaheur´ıstica LAHC e particiona os componentes da solu¸cão em subconjuntos menores de tal forma que gera subproblemas de dimensões menores do que o probema original. Assim, cada parti¸cão está associada a um problema menor e apresenta uma solu¸cão inicial, a qual pode ser melhorada utilizando o modelo exato. Devido ao tamanho reduzido dos subproblemas, é poss´ıvel encontrar a solu¸cão ótima para cada parti¸cão.

(46)

par-M´etodos Propostos 29

ticionamento da solu¸cão é apresentado com maiores detalhes na próxima se¸cão. Após o particionamento, cada parti¸cão ou subproblema é resolvido pelo modelo exato descrito na se¸cão 4.2, onde tenta-se melhorar a solu¸cão inicial para cada parti¸cão ou demonstrar a sua otimilidade.

Na Figura 4.2 é apresentado um diagrama com os métodos que compõe a abordagem proposta neste trabalho.

Figura 4.2: Representa¸cão da Matheur´ıstica implementada para o Problema de Pro-grama¸cão da Tripula¸cão

4.4.1 Particionamento da Solu¸

c˜

ao

A seguir é apresentado o procedimento adotado para realizar o particionamento da solu¸cão em subproblemas, de tal forma que seja poss´ıvel empregar o modelo exato e obter a solu¸cão ótima. Para escolher as jornadas pertencentes a cada parti¸cão foram utilizadas como atributos a quantidade de horas extras, quantidade de horas ociosas e os ve´ıculos utilizados nas jornadas envolvidas.

(47)

ve´ıculo da jornada já inserida na parti¸cão. Quando não houver nenhuma jornada que utilize o mesmo ve´ıculo, será inserida a jornada com o maior número de horas ociosas independente do ve´ıculo utilizado na primeira jornada. Esse processo é realizado até que cada parti¸cão receba no máximo seis jornadas e que todas as jornadas sejam alocadas em uma única parti¸cão. O fato de escolher jornadas que conduzem o mesmo ve´ıculo se deve à possibilidade de realoca¸cão das tarefas, visto que desta forma as tarefas estarão associadas aos mesmos terminais.

Algoritmo 4.2: Particionamento da solu¸c˜ao

Entrada: Lista de Jornadas Ordenadas por Horas Extras LHe Entrada: Lista de Jornadas Ordenadas por Horas Ociosas LHo Sa´ıda: Conjunto de parti¸c˜oes P

Pk← ⊘ ∀k;

1

i←0;

2

n←1;

3

enquanto LHe6=⊘ e LHo6=⊘ fa¸ca

4

enquanto (n <= 6)&&(n <= Tamanho de LHe + Tamanho de LHo) fa¸ca

5

Pi ←LHe1;

6

n ←n+ 1;

7

remove a jornada LHe1 das ListasLHe e LHo;

8

se V e´ıculoLHe1 =V e´ıculoLhok ∀k ent˜ao

9

Pi ←LHok;

10

n ←n+ 1;

11

remove a jornada LHok das ListasLHe e LHo;

12

sen˜ao

13

Pi ←LHo1;

14

n ←n+ 1;

15

remove a jornada LHo1 das Listas LHee LHo;

16

i←i+ 1;

17

retornas∗_;

(48)

Cap´ıtulo 5

Resultados e Discuss˜

ao

Inicialmente foram realizados testes com o Modelo Exato para medir a dimensão dos problemas que este pode resolver. Para estes testes, foram geradas instâncias a partir de dados reais de uma empresa de transporte público que opera na região metropolitana de Belo Horizonte MG. As caracter´ısticas destes problemas e os resultados obtidos são apresentados na se¸cão 5.1. Cada problema foi resolvido pelosolver do pacote computa-cional CPLEX 12.5.

Na segunda fase de experimentos, a metaheur´ıstica LAHC e a Matheur´ıstica foram testada em um conjunto de sete instâncias referentes a uma semana de opera¸cão de uma empresa que atua na cidade de Belo Horizonte-MG. A metaheur´ıstica LAHC e o processo de particionamento das jornadas foram implementados na linguagem C/C++. Após o particionamento das jornadas, cada subproblema foi resolvido pelo solver do pacote computacional CPLEX 12.5.

Todos os testes foram executados em um microcomputador com processador Intel(R) Core(TM) i7-2600, com clock de 3.40GHz, 8 GB de mem´oria RAM, sob plataforma Windows Seven Professional.

Neste Cap´ıtulo são apresentados os resultados obtido pelo modelo exato, pela me-taheur´ıstica LAHC e pela Matheur´ıstica. Na se¸cão 5.1 são apresentadas os resultados obtidos pelo método exato. Em 5.2 é mostrado os resultados do LAHC, incluindo a fase de calibra¸cão, os resultados da matheur´ıstica e uma compara¸cão com outras me-taheur´ısticas abordadas na literatura.

5.1 Resultados Obtidos pelo Modelo Exato

Para testar o modelo foram gerados 4 casos com caracter´ısticas particulares. Os proble-mas resolvidos tˆem as seguintes caracter´ısticas:

• Caso 1: modelo completo com todas as restri¸c˜oes e a fun¸c˜ao objetivo 4.1. Dados