ECDR - DIMENSIONAMENTO CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO OS DENTES

Elementos de Maquinas - CSA - ECDR

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ECDR - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO OS DENTES

• Da ação desses esforços na seção [AB], igual a [s.b] onde:

b é a largura da engrenagem [mm]

s é a espessura do dente no engastamento [mm].

• Temos agindo as seguintes tensões: devido a PH - Flexão - b

devido a PR - Compressão -- d • De acordo com a figura ao lado:

Lado A - Compressão

Lado B - Tração

• Os materiais em geral comportam-se melhor as tensões de compressão do que as de tração, desta forma é lógico supor que o inicio de fissuramento no engastamento, por efeito de fadiga, dar-se-á do lado tracionado, portanto a tensão máxima será igual a max(B):

• Rearranjando a equação acima temos:

• chamando de [ q ] a expressão:

• Obtemos: • O esforço normal PN que atua

na linha de engrenamento determinara na seção engastada [AB] do dente da coroa, esforços fletores e cortantes devido a ação da componente PH, esforços de compressão devido a ação da componente PR, como mostrado na figura acima.

• Aplica-se PN ao vértice do dente no intuito de determinar os maiores esforços.

• O esforço cortante representado por PN não será considerado. • A componente PH aplica-se ao

ponto extremo da parábola de igual resistência a uma distancia [h] do engastamento do dente na coroa na seção [AB].

s

b

PN

s

b

h

PN

d b

A

6

.

_.

.

2

sen

.

cos

_.

max

s

b

PN

s

b

h

PN

d b

Geometria básica e calculo simplificado para pinhão com 17 dentes

Dimensionamento de ECDR’s

Critério da Resistência

m

≥

3

1

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

admissível

e

Z

b

q

Mt

σ

onde b = ( 10

∼

25).m

⇒

Adotando b = 17 m

e = (0,8

∼

1,5) - fator de carga

0,8 – para utilização e incidência de carga máxima continuadamente

1,5 – para pouco uso e pequenas incidências de carga máxima.

Tensões admissíveis à flexão para

engrenagens

Material

σ

_adm

_(kgf/cm

2

)

Bronze fosforozo

600-700

Fofo cinzento

350-450

Nodular

550-700

1010-1020

700-900

1045-1050

850-1200

Cr-Ni

1400-2000

Liga de Cr

1500-2000

Aço fundido

700-900

sintéticos e plásticos

300-400

Módulos normalizados, conforme DIN 780

Módulo – m

[mm] - de

Até

[mm]

Variação

[mm]

0,3

1,0

0,1

1,0

4,0

0,25

4,0

7,0

0,5

7,0

16,0

1,0

16,0

24,0

2,0

24,0

45,0

3,0

45,0

75,0

5,0

s/ tratamento térmico

fator de forma “q”

Engrenamento externo

Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100

∞

q 4,5 4,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,45

Engrenamento interno

Z 20 24 30 38 50 70 100 200

∞

q 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,45

Fórmula para largura mínima

Critério do desgaste (Pressão)

Coeficiente Elástico “f”

Coeficiente elástico

f

Pinhão de aço [E

1

= 2,1 x 10

6

kgf/cm

2

]

Corôa de aço [E

2

= 2,1 x 10

6

kgf/cm

2

]

1512

Pinhão de aço

Corôa de FoFo [E

2

= 1,05 x 10

6

kgf/cm

2

]

1234

Pinhão de FoFo e engrenagem de FoFo

1069

0 0 2 1 sen cos 1 1 2 1 35 , 0 α α ⋅ ⋅       + ⋅ = E E

f

α

0

= 20

°

Dureza Brinell – HB [kgf / mm

2

]

Material

HB [kgf / mm

2

]

ABNT 1020

160

ABNT 1040

200

ABNT 1050

240

Aços Cr-Ni

300

Aços Cr-Mo

400

Aços Ni-Cr-Mo

400

Aço Fundido

180

W =

6

10

60

⋅

n

⋅

h

n = rpm h = vida em horas

ρ

adm

=

1/6

) ( 7 , 48 W HB ⋅

[kgf/cm

2

]

HB – [kgf / mm

2

]

bd

2

= 2 . f

2 2 2 2 1 1 i i Mt adm ± ⋅

ρ

d = m . Z [cm]

(positivo para engrenamento externo e negativo para engrenamento interno)

isolar “b” mínimo b [cm]

Reações no eixo: Mt = Ft . r Fr = Ft . tg

α

Dimensionamento da secção crítica de um eixo através da flexo-torção

d

≥

3 10

admissível Mi

σ ⋅

ou (10 Mi/

σ

admissível

)

1/3

Mi =

2 2

0 2

75 ,

0 Mt

Mfr + ⋅α ⋅

Mf

r

=

2 2

v h Mf Mf ⋅

α

0

=

σ

f. admissível

/

β

.

τ

t. admissível

β

=

1,73

σ

f. admissível

=

tensão de flexão admissível

τ

t. admissível

=

tensão de cisalhamento admissível

σ

f

=

Wf Mf

_⇒

32 3 D Mf ⋅

π

⇒

3

32

D Mf

⋅ ⋅

π

τ

t

⇒

16

3

D Mt

⋅

π

⇒

3

16

D Mt

⋅ ⋅

π

∴

α

0

=

Mt Mf

⋅ ⋅ β

2

Rigidez a torção de um eixo

θ

/l = Mt/ G.Jp

θ

/l = 0,25

∼

0,5

0

/m (graus/metro)

G = Modulo de elasticidade transversal =

aço

= 8100 kp/mm

2

Jp = momento de Inércia polar

Para secção cheia Jp = 0,1 d

4

3

1 – Projetar um par de ECDR, para transmitir 12 CV, com rotação do pinhão de 850 rpm

i = 3,2 Z1 = 38 σadmissível = 850 ₂

cm kgf

(aço ABNT 1045/1050) q = ?

f = 1512

pede-se:

a) o módulo do par a resistência

b) largura mínima para uma vida de 5 anos

Resolução:

a) Critério da resistência

M ≥ 3 1 2 σ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e Z b q Mt

N = F . v ⇒ N = F . ω . r

N = F . 2 . π. n . r

N = Mt . 2 . π. n

Mt = n N ⋅ ⋅π 2 Mt = m cm N kgf s W m N cv W s rpm

cv 102

8 , 9 1 736 min 60 850 2 12 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅π = 1012,4776 kgf . cm

Z1 = 38 ⇒ q = ?

(40 – 38) / (40 – 34) = (3,0 – q) / (3,0 – 2,9) ⇒ q = 2,9667

b = 25 mm = 2,5 cm (adotado)

Z1 = 38

e = 0,8 (segurança)

σadmissível = 850 ₂

cm kgf

M _≥ 3 1 2 σ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e Z b q Mt

⇒ M _≥ 3

850 8 , 0 38 5 , 2 9667 , 2 47 , 1012 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4

b) Critério do desgaste ( como critério de verificação)

W = 6

10

60

⋅

n

⋅

h

⇒ W = 6

10

43800

850

60

⋅

⋅

⇒ 2233,8 [adm]

h – vida em horas (adotado 5 anos ⇒ 43800 horas)

HBABNT 1045/1050⇒ 175 2 mm

kgf

ρadm = 1/6

)

(

7

,

48

W

HB

⋅

⇒ρadm = 1/6

8 , 2233 ) 175 ( 7 , 48 ⋅

⇒ρadm = 2357,181 kgf / cm2

bd2 = 2 . f2 2 2 2 1 i i Mt adm ± ⋅

ρ (positivo para engrenamento externo e negativo para engrenamento interno) Mt [kgf.cm] ρadm = [kgf / cm2]

d = m . z ⇒d = 4,5 . 38 ⇒d =171 mm ou 17,1 cm

bd2 = 2 . f2 2 2 2 1 i i Mt adm ± ⋅

ρ ⇒ b = 2 . f

2 2 2 2 2 1 d i i Mt adm ± ⋅ ⋅ ρ

b = 2 . 15122 ₂

2 2 2 8 , 2 1 8 , 2 1 , 17 181 , 2357 47 , 1012 ± ⋅

⋅ ⇒b = 3,21 cm ou 32,1 mm

ENGRENAGENS CILINDRICAS DE DENTES

HELICOIDAIS - ECDH

ECDH - FORMULARIO

ECDH - FORÇAS

2

2

1

1

2

.

.

2

do

M

do

M

Ft

=

t

=

t

so

tg

Ft

Fr

=

.

α

o

tg

Ft

Fa

=

.

β

ECDH - FORÇAS

ECDH - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO DO DENTE

•

O procedimento de calculo é similar as ECDR, sendo acrescentado um

fator de correção de hélice.

•

caso desejamos calcular o modulo podemos utilizar a equação acima na

forma de:

onde:

ƒ

mn = modulo normal, [mm];

ƒ

b = largura do pinhão, [mm];

ƒ

q = fator de forma, [1/1];

ƒ

Ft = Força tangencial, [N];

ƒ

σ

max = Tensão máxima atuante na base do dente, [N/mm2];

ƒ

σ

adm = Tensão admissível do material da engrenagem, [N/mm2]

(tabela pg 94 do livro texto);

ƒ

ϕ =

Fator de serviço, [1/1], (tabela AGMA, pg 87 a 91 do livro texto

ou tabela simplificada);

ƒ

ϕ

r

=

Fator de correção de hélice, [1/1], (tabela pg 118 livro texto);

ƒ

M = Momento torsor no pinhão, [Nmm];

ƒ

bv = Largura relativa, [ bv = b/m ], [ 5=< bv =<15 , usual bv = 10 ];

ƒ

z = numero de dentes da engrenagem;

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

ϕ

ϕ

σ

1

.

.

.

.

.

.

.

.

max

max

=

≤

=

≤

onde

e

=

e

m

b

q

Ft

ou

m

b

q

Ft

adm r n adm r n 3 1

.

.

.

.

.

.

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ϕ

ϕ

σ

_{adm r}

n

bv

z

q

M

m

F a to r d e c o r re ç ã o d e h é lic e - ϕr

βo 0 º 5 º 1 0 º 1 5 º 2 0 º 2 5 º 3 0 º 3 5 º 4 0 º 4 5 º

ϕr 1 ,0 0 1 ,2 0 1 ,2 8 1 ,3 3 1 ,3 5 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6

T e n s õ e s a d m i s s í v e i s a f l e x ã o

M a t e r i a l (σa d m.f l e x ã o ) [ M P a ]

B r o n z e f o s f o r o s o 6 0 a 7 0 F e r r o F u n d i d o c i n z e n t o 3 5 a 4 5 F e r r o F u n d i d o n o d u l a r 5 5 a 7 0 A ç o f u n d i d o 7 0 a 9 0 A ç o s a o 1 0 1 0 e 1 0 2 0 7 0 a 9 0 C a r b o n o e 1 0 4 5 e 1 0 5 0 8 5 a 1 2 0

L i g a d o s C r – N i 1 4 0 a 2 0 0 A B N T C r - M o 1 5 0 a 2 0 0 M a t . S i n t é t i c o , r e s i n a s 3 0 a 4 0

ECDH - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO OS DENTES

•

Fator de forma [ q ] para engrenagens sem correção:

– Engrenamento externo:

– Engrenamento interno:

•

Fator de forma [ q ] para engrenagens com correção:

Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞

q 4,5 4,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,5

Z 20 24 30 38 50 70 100 200 ∞ q 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

•

Fator de serviço ou de sobrecarga [

ϕ

] :

•

Utilizar a tabela simplificada acima ou a tabela de fatores de

serviço da AGMA, paginas 87 a 90 do livro texto.

•

AGMA = American Gear Manufactuers Association

MAQUINA ACIONADA

FONTE DE POTENCIA UNIFORME CHOQUE LEVE CHOQUE FORTE

UNIFORME 1,00 1,25 1,75

CHOQUES LEVE 1,25 1,50 2,00

CHOQUES FORTE 1,50 1,75 2,25

ECDH - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE DESGASTE OU PRESSÃO

•

Para este critério de dimensionamento leva-se em conta

a pressão de contato nos flancos dos dentes da

engrenagens e ainda sua duração ou vida.

•

Este critério deve ser utilizado somente para verificar os

dados do pinhão [ engrenagem menor ] e se o pinhão

suportar uma quantidade razoável de horas de

funcionamento, a coroa, com certeza, suportara esta

mesma quantidade.

•

O procedimento de calculo é similar as ECDR, sendo

acrescentado um fator de correção de hélice.

Onde:

ƒ

b = largura do pinhão [mm];

ƒ

do = diâmetro primitivo do pinhão [mm];

ƒ

M = Momento torsor no pinhão [Nmm];

ƒ

ϕ

p = Fator de correção de hélice [1/1],

(tabela pg 118 livro texto);

ƒ

f = Fator de características elásticas do par [1/1];

ƒ

i =

relação de transmissão [i = z2/z1 = rot entrada/rot saída];

ƒ

padm = pressão admissível [MPa] [N/mm2];

ƒ

+ = utilizado para engrenamento externo;

ƒ

- = utilizado para engrenamento interno;

i

i

p

M

f

do

b

p

adm

1

.

.

2

,

0

.

2

=

2

₂

±

ϕ

F a t o r d e c o r r e ç ã o d e h é li c e - ϕp

βo 0 º 5 º 1 0 º 1 5 º 2 0 º 2 5 º 3 0 º 3 5 º 4 0 º 4 5 º

ϕp 1 , 0 0 1 , 1 1 1 , 2 2 1 , 3 1 1 , 4 0 1 , 4 7 1 , 5 4 1 , 6 0 1 , 6 6 1 , 7 1

ECDH - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE DESGASTE OU PRESSÃO

•

Fator de características elásticas do par [ f ].

Par

f

Pinhão de aço

E1 = 2,1x10^6 kgf/cm2

Coroa de aço

E2 = 2,1x10^6 kgf/cm2

1512

Pinhão de aço

E1 = 2,1x10^6 kgf/cm2

Coroa de FoFo

E2 = 1,05x10^6 kgf/cm2

1234

Pinhão de FoFo

E1 = 1,05x10^6 kgf/cm2

Coroa de FoFo

E2 = 1,05x10^6 kgf/cm2

1069

o o E

E f

α α .sen cos . 2 1 1 1 . 2 1

35 , 0

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

=

•

Pressão admissível [ padm ].

•

Onde:

•

HB = dureza Brinell [ N/mm2 ]

[ tabela 3 livro texto, pg 92 a 93 ];

•

W = Fator de numero de ciclos [1/1];

•

padm = pressão admissível [ N/mm2 ];

•

n = rotação do pinhão [ rpm ];

•

h = duração do par [ horas ];

6 1

.

487

,

0

W

HB

p

_adm

=

6

10

.

.

60

n

h

W

=

ECDH - GRAU DE RECOBRIMENTO

•

O grau de recobrimento [

ε

g ]

para engrenagens

helicoidais é obtido pela composição do grau de

recobrimento [

ε ]

do dente normal com as medidas do

perfil frontal e do grau de recobrimento [

ε

s

] que

representa o avanço das linhas representativas dos

flancos dos dentes. Resultando em:

s

g

ε

ε

ε

=

+

so so

so so

t

a

rg

rk

rg

rk

α

α

ε

cos

.

sen

.

2

2 2

2 2

1 2

1

−

+

−

−

=

π

β

ε

.

sen

.

n so

s

m

o

b

t

S

₌

=