Abstract— The currents and voltages in the multiphase transmission line are described by differential equations that sometimes can be difficult to solve due the mutual coupling and skin effect that have to be considered for accurate results. An alternative consists in using a matrix to decompose the multiphase transmission line in n single-phase systems uncoupled. For evaluating modal voltages and currents, each system will be represented by two models well-known for studies in electromagnetic transients in transmission line. The first model uses the lumped parameters to represent the transmission line and it is developed directly in the time domain. The second model uses the distributed parameters and transforms the differential equations in the time domain to algebraic equations in the frequency domain using Laplace Transform. Once solved them, it can be applied the inverse transformation and the solutions are obtained in the time domain. It can be observed the presence of spurious oscillations in the lumped model simulations. This work will analyze the spurious oscillations in the voltages in the open receiving end using, considering a fixed-length transmission line, represented by different quantities of π-circuits during energization process.
Keywords— Time-Frequency domain, lumped and distributed
parameters models, electromagnetics transients, model
transformation.
I. INTRODUÇÃO
S CORRENTES e tensões de uma linha de transmissão polifásica são descritas por equações diferenciais de difícil resolução devido ao seu acoplamento mútuo e aos efeitos pelicular e solo presentes. Uma alternativa para o estudo dos transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica de n fases consiste em decompô-lo em n sistemas monofásicos desacoplados entre si, denominados de modos de propagação, e matematicamente idênticos ao sistema original. Cada modo de propagação é estudado separadamente, e uma vez obtidas as correntes e tensões no domínio modal, as correntes e tensões do sistema polifásico são calculadas utilizando matrizes de transformação [1]-[2];
Para a obtenção das correntes e tensões em cada modo, pode-se representar a linha de transmissão por diversos modelos. Neste trabalho cada linha de transmissão modal será representada por dois modelos: O primeiro modelo é conhecido como Modelo a Parâmetros Discretos que considera a linha representada por circuitos π conectados em cascata e outro modelo utiliza os parâmetros distribuídos da
A. R. J. de Araujo, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, São Paulo, Brasil, anderjusto@yahoo.com.br
R. C. da Silva, Instituto Federal de São Paulo,Campus de Votuporanga, São Paulo, Brasil, rcleber@gmail.com
S. Kurokawa, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, São Paulo, Brasil, kurokawa@dee.feis.unesp.br.
linha e as equações hiperbólicas da linha de transmissão, sendo denominado de Universal Line Model (ULM).
Tem-se reconhecido que um dos mais importantes aspectos na modelagem de linhas de transmissão para estudos em transitórios eletromagnéticos consiste em considerar a dependência da frequência nos parâmetros e perdas distribuídas [3]. Martí cita que modelos que consideram parâmetros constantes não são adequados para simular a resposta transitória para uma ampla faixa de frequências que estão presentes durante o transitório. Na maioria dos casos, usando a representação por parâmetros constantes, se produz sinais de elevadas harmônicas e como consequência, uma distorção geral do formato da onda do transitório com picos de exageradas magnitudes [3].
Nas respostas do modelo a parâmetros discretos são observadas oscilações numéricas denominadas (picos de exageradas magnitudes) que não correspondem ao valor real do transitório eletromagnético. Essas oscilações serão denominadas de que oscilações espúrias. Sabe que as oscilações espúrias dependem da quantidade de circuitos π utilizada na representação da linha de transmissão, assim como o seu próprio comprimento. Neste trabalho serão mostradas as oscilações espúrias para simulações de uma linha de transmissão trifásica em aberto submetida a um processo de energização e serão feitas análises do seu conteúdo espectral considerando a linha representada por diferentes quantidades de circuitos π, verificando a sua influência nos resultados obtidos.
II. TRANSFORMAÇÃOMODAL
Para um sistema polifásico genérico, são utilizadas as matrizes impedância longitudinal por unidade de comprimento [Z] e a matriz de admitância transversal por unidade de comprimento [Y] da linha. Para o produto [Z][Y] existem diversos conjuntos de autovetores que desacoplam a linha em seus modos exatos de propagação [3]. Os modos exatos são totalmente desacoplados entre si e são obtidos a partir da utilização das matrizes [TI] e [TV] como sendo as matrizes de transformação. As matrizes [TI] e [TV] são os autovetores associados aos produtos [Y][Z] e [Z][Y]. Outra possibilidade consiste em utilizar os “quase-modos” que são obtidos a partir do uso da matriz de Clarke [Tclarke] como sendo uma matriz de transformação. A [Tclarke] é uma matriz real e constante, cujos elementos são independentes da frequência, de fácil implementação em softwares que realizam simulações diretamente no domínio do tempo [4]. Se a linha de transmissão é idealmente transposta a [Tclarke] e decompõe a linha nos seus modos exatos. Quando a linha de transmissão é idealmente transposta, a [Tclarke] separa a linha em seus modos exatos. Em situações em que uma linha não pode ser considerada idealmente transposta, mas possui um plano de
A. R. J.de Araújo, R. C. da Silva and S. Kurokawa
Analyses of the Spurious Oscillations in the Lumped
Parameters Line Model
si a co Pa [Y di se nã qu re (1
[
T m
[
Y
m im co C po e id m e en N
imetria vertica [Tclarke] para ondições obtémara linhas dec Yqm] e [Zqm] iagonal princip e seus quase-m Portanto, ão, os modos e uase-modos, q espectivamente 1):
]
− − = 6 2 clarke T As matriz modos da linha[
qm clarkeZ
=
T
]
[
clarke]
qmT
Y
=
Se a lin matrizes [Zqm] mpedância e ondições a [Tc aso a linha p ossa ser consi [Yqm] são escr 0 0 qm Z Z Z α α = 0 0 qm Y Y Y α α = As equaçõ dealmente tran modos de propa zero. No enta ntre os modo Nestas condiçõe0
0
qmZ
Z
α
≅
0
0
qmY
Y
α
≅
al, pode-se, co a determinar m-se a linha d compostas em possuem algu pal, que serão modos [1].considerando exatos podem que serão deno
e. A [Tclarke] é − 1 2 1 6 1 1 2 1 6 1 2 0 6 2 zes de imped são expressas
] [ ][
T keZ T
clarke] [ ][
clarke]
1Y
T
− − nha de transm e [Yqm] são admitância clarke] decompõ possua um pla derada idealm ritas como mo 0 0 0 0 0 Z Z Z α β 0 0 0 0 0 Y Y Y α β ões (4) e (5) m nsposta, exist agação, que aq anto, em determ os alfa, beta es, as matrizes 00
0
0
0
Z
Z
β
00
0
0
0
Y
Y
β
om algumas ap os seus mo decomposta em m seus quase-uns elementos o desprezados a linha trifá ser considera ominados com é expressa com
3 1 3 1 6 2 âncias e adm s como mostra]
e T − missão é idealm idênticas às [Zm] e [Ym] õe a linha em ano de simetri mente transpost ostram (4) e (5) mostram que q te acoplamen qui são denom minadas situa e zero pode s [Zqm] e [Yqm] proximações, u odos exatos. m seus quase-m -modos, as m s não nulos f e neste caso o ásica, transpo dos equivalen mo alfa, beta e mo sendo con mitâncias dos am (2) e (3): mente transpo matrizes mod ]. Ou seja, m seus modos e ia vertical, m ta, as matrizes ): quando a linha nto entre os minados de alfa ções, o acopla ser desconsid ] tornam-se (5) utilizar Nestas modos. matrizes fora da obtém-osta ou ntes aos e zero, nforme (1) quase-(2) (3) osta, as dais de nessas exatos. mas não s [Zqm] (4) a não é quase-fa, beta amento derado. ): (5) mos[
V
qm beta 12V
fase da c II poli no d solu é ge linh funç essa solu mod das da fr deco desc uma “n” Figur A long nZ (
O C e por corr VB(ω corr n AI
As tensões stram (6).]
[
T
]
T clarke m=
Uma vez ob a e zero, as ten[
]
23 T clarkeT
− =
Na equação es 1, 2 e 3 da l combinação lin II. SOLUÇÕE As equaçõe fásica são de domínio da fr uções são conhenérica e pod a, consideran ção da frequên as são depen uções não são delos a parâm equações da l frequência. Considerand ompostas em critas as equa a linha monof conforme a F ra 1. Linha de tran A linha mostra gitudinal e um n
j
R
ω
ω
)
=
+
(
Onde R e L s G são a capac unidade de c rentes nos termω) são as te rentes no domí n AA
( ) Y
ω
=
(
dos quase-m[ ]
V
123 btidos os valor nsões trifásicas T qmV
(7), o vetor [ linha trifásica near das tensõe ESDASEQUA LINHADE es diferencia difícil solução requência esta hecidas. A sol de ser aplicad ndo os parâm ncia. Quanto à ndentes das i o facilmente o metros distribu linha de trans do que a linh 3 linhas de t ações das corrfásica para o Fig. 1[4]. nsmissão de comp ada na Fig. 1 ma admitância t n
L
ω
Yn(ω
) ão a resistênc citância e a co comprimento. minais A e B d ensões nestes ínio da frequê n A( )V ( )
ω
ω
+
modos são o res de tensões s da linha são o [V123] represen respectivame es nos modos AÇÕESDIFER TRANSMISÃ is que mod o no domínio as equações sã lução no domí da para qualq metros fixos e à solução no d integrais de c obtidas. Serão uídos e discre missão no dom ha de transmi transmissão m rentes e tensõ modo de pro primento d. possui uma i transversal da n n j C G +ω
= cia e a indutân ondutância tra Na Fig.1 IA(ω da linha, enqu s terminais. Ancia são dadas
n n AB
Y
( )V
ω
+
obtidas confo (6) s nos modos obtidas por (7) (7) nta as tensões ente obtida a p alfa, beta e ze RENCIAISDA ÃO delam uma l do tempo, po ão simples e ínio da frequê quer condição e/ou variáveis domínio do tem convolução c o apresentado etos e as solu mínio do tem issão trifásica monofásicas, s ões que mode opagação gené impedância m da por (8): n (8) ncia longitudin ansversais da l ω) e IB(ω) sã uanto que VA( As equações s por: n B( )
ω
(9) orme ) alfa, ). ) s nas partir ro. A linha orém suas ência o da em mpo, cujas os os uções mpo e a foi serão elam érico modal ) nais, linha ão as (ω) e das )I
ca Y Y Em fu Zγ
é co tr eq m ao hi U ut re umF
(1 I I qu gr ut do L pr te re tr n n B BI ( ) Y
ω
=
Onde os t alculados por n n BB AB Y = Y =-n n AA BA Y =Y = Z m (11) Znc( ω unção de propa ) (ω
n n C n Y Z Z = ( ) (ω
γ
n = Zn A transforma facilmente ob onvolução o ansformar as quações algéb modelo conside o longo do seu iperbólicas no Universal Line tilizando a Tr espostas no do ma função f(t){
( )
(
F s
=
L f
Aplicando a 10) e considera ( ) j n A j 1 t 2π + ∞ − ∞ =
( ) j n B j 1 t 2π + ∞ − ∞ =
Geralmente ue não é poss randezas IA(t tilizados méto omínio da freq aplace implem roposto em [6 empo. IV. MOD O modelo epresentação ansitórios el n BA( )V (
ω
Aω
termos YAA(ω : ( n n C 1 - csch γ Z ( n n C 1 coth γ (ω) Z ω) e γn( ω) são agação da linh ) ( ) (ω
ω
n n ) ( ) (ω
Ynω
ação de (9) e ( btida de modo observadas. U equações dife bricas para o era que os par u comprimento o domínio da f Model [5]. U ansformada In omínio do temp ) é definida co}
0( )
t
=
∞f
(
a Transforma ando que s= jω ( ) ( n n AA A Y ω V ω ( ) ( n n BA A Y ωV ω essas equaçõ sível determin t), IB(t), VA( odos numéric quência e utili mentada nume 6,11], pode-se DELOAPAR o a parâmetro de linhas de etromagnético n BB) Y
( )
ω
+
ω
ω), YAB(ω), Y ) (ω)d ) ω)d o a impedânci ha e são escrito (10) para o do o analítico de Uma alterna renciais do do o domínio d râmetros da li o, e utiliza as frequência sen Uma vez enconversa de Lap mpo. A transfor omo mostrado
( )
t e
−stdt
ada Inversa de ω obtém-se: ) n ( ) n AB Y V ω + ω ) n ( ) n BB Y V ω + ωões são de dif nar uma soluç (t) e VB(t) [ cos que resolv
izando a Tran ericamente, co e obter a resp RÂMETROSD os discretos é e transmissão os. Nesse m n B
V ( )
ω
YBA(ω) e YBB( ia característi os como sendo omínio do temp vido às integr ativa consist omínio do tem da frequêncianha são distri equações algé ndo denomina
ntradas as sol place, são obti rmada de Lapl em (14): e Laplace em ( ) j t B ω eωdω ( ) n j t B ω eωdω fícil resolução ção analítica p [10]. Portanto vem (9) e (1 sformada Inve onforme o alg osta no domí DISCRETOS muito utiliza para o estu modelo a lin (10) ω) são (11) ica e a o: (12) (13) po não rais de e em mpo em . Esse ibuídos ébricas ado por luções, idas as lace de (14) m (9) e (15) (16) sendo para as o, são 10) no ersa de goritmo nio do ado na udo de nha é repr se c coro repr técn utili U repr casc Figur N resis linh cond parâ R= E da li os com Fig. dom qual linh circu as te equa x• x • E um esta repr matr
[ ]
A[ ]
B resentada por considerar as ona. Será mos resentada por nicas de obte izando o mode Uma linha resentada por cata de n circu ra 2. Linha repres Na Fig. 2, os stência e a in a. Os parâm dutância e a âmetros R, L, G d R' n d L' n L= Em (17) os te inha por unidaparâmetros mprimento. O 2 fornece as mínio do temp lquer linguag a de transmis uitos π, como ensões transve ações de estad
[ ][ ] [ ]
A x B u = + 1( ) 1( ) i t• v t• = Em (18), [x] é u dos circuitos ados da cas resentada por rizes [A] e [B]]
/ 1 1 / 0 0 0 0 0 0 0 R L C G − − − = ]
=L1 0 0 circuitos π co perdas, o ef strada uma lin uma cascata enção das c elo proposto. de transmis r parâmetros uitos π [12] consentada por cascat s parâmetros ndutância long metros G e a capacitância G e C são escr d n d C' n C= rmos R' e L' s ade de compri transversais modelo a par correntes e te o e podem se gem computac ssão de comp mostra a Fig ersais da linha do.
( )
u t 2( ) 2( ) i t• v t• um vetor com π, enquanto scata. Para n circuitos ] são dadas po / 0 0 / 1 / 0 0 0 0 1 / 0 0 0 L C − C T 0 0 onectados em feito da frequ nha de transm de circuitos correntes e t ssão monofá discretos, c nforme mostra tas de circuitos π. R e L são, re gitudinais de c C são, re a do segmenritos como sen d G' n G= são os parâme imento e os ter da linha p râmetros discr ensões da linh er facilmente i cional [7]-[8] primento d, re 2. As corrent podem ser es ( ) ( ) T n n i t• v t• m as correntes que [A] e [B uma linha π conectados or: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / 1 0 1 / C G C L R − − − cascata e pod uência e o ef missão monofá π, bem como tensões na l ásica poder omo sendo a a Fig. 2. . espectivament cada segmento spectivamente nto de linha. ndo: (17 etros longitudi rmos e C' e G por unidade retos mostrado ha diretament implementado . Considere epresentada p tes longitudina scritas na form ( T e tensões em c B] são matrize de transmi s em cascata 0 0 0 0 / / C R L (1 (2 dem-feito ásica o as linha ser uma te, a o de e, a Os 7) inais ' são de o na e no o em uma or n ais e ma de (18) cada es de issão a, as 19) 20)
[B em nu lin in eq A ut co as G 5 Fi co m as re
[
L[
C
[Z sã[
Z
A matriz [A] B] possui a dim m (18) serão umérica de H nguagem co nerentes ao mé quações de est A Fig. 3 mostr tilizada nas onsiderada tra s fases 1, 2 e Grosbeak, raiosão cabos par
igura 3. Linha trif Os parâm onsiderando o mostrada na Fig s matrizes espectivamente
]
lin h a 0 , L 0 , 0 , = ]
linha14
C
-2,
-2,
=
Considerand Zlinha] (Ω/km)ão dadas por:
]
linha0,6738
Z
0,0580
0,0580
=
] é uma matriz mensão (2nx1 resolvidas po Heun que sã omputacional. étodo numéric tado. V. RES ra uma linha simulações ansposta e com e 3 constituíd de 1,021 cm ra-raios do tipo fásica utilizada na metros longitud os efeitos solo g. 5 são conhe [Llinha] (mH/ e: ,8 5 5 1 0 ,1 ,1 2 1 7 0 ,6 ,1 2 1 7 0 ,04,6252
-2,7
,7246
19,8
,7246
-1,7
do o efeito s e [Ylinha] (µS/8 + j1,2263 0,
0 + j0,3430 0,
0 + j0,3430 0,
z quadrada de 1). A equação or meio do mé ão implementa As oscilaç co de integraç SULTADOS de transmissã deste trabalh m plano de simdas por 4 sub em cada fase, o EHSW-3/8”. as simulações. dinais da linh e pelicular. C ecidas para a f /km) e [Cli 1 2 1 7 0 ,1 2 6 3 4 0 0 ,0 6 0 6 9 3 0 ,6 3
7246
-2,72
8058
-1,78
7830
19,8
skin e o efeit /km), para a fr0,0580 + j0,3430
0,6740 + j1,1531
0,0581 + j0,3245
ordem 2n e a de estado mo étodo de integ adas com qu ções espúria ção utilizado p ão trifásica qu ho. A linha metria vertical, bcondutores d e os conduto . ha foram calc Considerando a frequência de inha] (nF/km) 2 1 7 6 9 3 3 4 0 246
830
058
to solo, as m frequência de0 0,0580 + j0,
1 0,0581 + j0
5 0,6740 + j1
matriz ostrada gração ualquer s são para as ue será a será , sendo do tipo res 4 e culados a linha 60 Hz ) são, matrizes 60 Hz,0,3430
0,3245
1,1531
[
Y
lin aber seno trifá inde dois resp espú espú cons de c Figur simu A repr Figur A desa e tri Figur A ta cada ( (]
nhaj0,5514
-j0,102
-j0,102
=
Serão calcu rto para uma oidal trifásica ásica será d ependentes. Ca s modelos d postas do m úrias nas sim úrias e feita siderando a li circuitos π. ra 4. Linha trifás lações. A Fig. 5 mo resentado pelo ra 5. Linha genér A Fig. 6 mo acoplamento d ifásicas (no do ra 6. Procediment abela I mostra a modo de pro (7) (6)4 -j0,1027i
27
j0,7467
27
-j0,0672
uladas as tens linha energiz e equilibrada decomposta e ada linha mon descritos ante modelo a par mulações. Se as análises inha representica com terminal ostra um mod o modelo a par
rica para o modo stra o diagram da linha trifási omínio das fas
to para o calculo d a os parâmetro opagação m:
i -j0,1027
-j0,0672
j0,7467
sões no term zada por uma a. Utilizando em três linh nofásica será r eriormente. V râmetros disc erão mostrada do seu co tada por diferreceptor em aber do de propag râmetros discr m. ma dos proce ica e cálculo d es).
das tensões trifási
os da linha de minal receptor a fonte de ten a [Tclarke] a l has monofás representada p Verificam-se cretos oscila as as oscila nteúdo espe rentes quantid
rto usado nas gação genéric etos. edimentos pa das tensões mo icas modais. e transmissão em nsão linha sicas pelos nas ações ações ctral dades o m ara o odais para
Tabela I. PARÂMETROS ELÉTRICOS PARA CADA MODO M.
MODO
PARÂMETROS ALFA BETA ZERO
Rm(Ω/km) 0,6159 0,6159 0,79
Lm(mH/km) 2,3 2,2 4,9
Cm(nF/km) 0,1939 0,2159 0,13255
Gm(µS/km) 0 0 0
As tensões medidas no terminal receptor B em aberto, VB(t), considerando o modelo a parâmetros distribuídos podem ser observadas conforme a Fig. 7.
Figura 7. Tensões VB(t) considerando a linha representada pelo modelo a parâmetros distribuídos.
A linha trifásica foi representada pela quantidade de 5, 100 e 200 circuitos π para verificar a influência da quantidade de circuitos π no surgimento das oscilações espúrias nas simulações. As respostas serão comparadas com as simulações obtidas pelo ULM. A Fig. 8 mostra as tensões no terminal receptor B da linha de transmissão representada por 5 circuitos.
Figura 8. Tensões VB(t) considerando a linha representada por 5 circuitos π.
A Fig. 9 mostra as tensões no terminal receptor representada por 100 circuitos π.
Figura 9. Tensões VB(t) considerando a linha representada por 100 circuitos π.
A Fig. 10 mostra as tensões no terminal receptor representada por 200 circuitos π.
Figura 10. Tensões VB(t) para a linha representada por 200 circuitos π.
As Figs. 9 e 10 representam as tensões no terminal B adequadamente. Verifica-se que as respostas são semelhantes em todas as simulações, porém as Figs. 8 a 10 contêm oscilações espúrias. As oscilações ocorrerem devido à representação de um pequeno segmento de linha, cujos parâmetros são distribuídos, por cascata de circuitos π que utiliza elementos discretos de circuitos e independem do método numérico utilizado para resolução das equações de estado [9]. Assim pode-se utilizar o modelo a parâmetros discretos para estudar transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão. As oscilações não representam o valor real da tensão transitória. Nas Figs. 9 e 10, considerando a primeira oscilação, essa está 30% acima do valor esperado). Esse pico, caso considerado, pode resultar na atuação indevida de sistemas de proteção ou sobredimensionamento de isoladores durante seu projeto, tornando-o mais custoso. Diversos programas como ATP®, EMTP®, PSCAD® usam o modelo a parâmetros discretos na representação de linhas e distintos métodos de integração trapezoidal e as oscilações podem ser observadas nos transitórios eletromagnéticos. Para estudar o conteúdo espectral das oscilações espúrias será aplicada a Transformada de Fourier nas simulações obtidas. Na Fig. 11 são mostradas as tensões VB(t) na fase 1 durante a primeira reflexão de onda para a linha de transmissão representada por n circuitos π em cascata, considerando um comprimento fixo de 100 km. 0 5 10 15 20 25 30 35 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 tempo (ms) Ten são (p u) fase 1 fase 2 fase 3 0 5 10 15 20 25 30 35 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 tempo (ms) T e n são ( pu ) fase 1 fase 2 fase 3 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 tempo (ms) Ten são (p u) fase 1 fase 2 fase 3 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 tempo (ms) te ns ão ( pu)
Figura 11. Tensões VB(t) considerando a linha representada n circuitos π.
As oscilações espúrias dependem da quantidade de circuitos π utilizada na representação da linha. Para as quantidades acima de 0,5 π/km, o transitório é mais bem representado. Os resultados também mostram que para 100 e 200 circuitos π o transitório não apresenta uma diferença significativa. Isto sugere que ocorre uma saturação na resposta, para dado comprimento fixo da linha.
Mamis [13] calcula o erro obtido no cálculo da tensão VB(t) devido à representação da linha de transmissão monofásica por n circuitos π com a resposta obtida para o modelo a parâmetros distribuídos. Nesse estudo a variação do erro percentual é inversamente proporcional com o número de circuitos π usado. Mamis também propõe que para um dado erro tolerável, pode-se encontrar o número exato de circuitos π para representar a linha, evitando o número excessivo de circuitos π e os esforços computacionais e erros acumulativos são eliminados.
As Figs. 12 a 15 mostram os espectros de frequência das tensões no terminal em aberto com a linha representada por diversas quantidades de circuitos e em seguida será feita uma análise sobre os resultados obtidos. A Fig. 11 mostra o espectro de frequência das tensões obtido pelo modelo a parâmetros distribuídos.
Figura 12. Espectro de VB(t) para o modelo a parâmetros distribuídos.
As Figs. 13-15 mostram o espectro das tensões VB(t) no terminal receptor em aberto obtidas com o modelo a parâmetros discretos com 5, 100 e 200 circuitos π.
Figura 13. Espectro de VB(t) para modelo a parâmetros discretos com 5 circuitos π.
Na Fig. 12 mostra o espectro das tensões no terminal receptor da linha considerando o modelo a parâmetros distribuídos. As amplitudes são apresentadas em valores porcentuais (valor de base é a amplitude da componente fundamental das tensões). Assim por exemplo, a amplitude da componente do espectro de frequência para 500 Hz é equivalente a 13% da componente fundamental.
Figura 13. Espectro de VB(t) para modelo a parâmetros discretos com 100 circuitos π.
Figura 15. Espectro de VB(t) para modelo a parâmetros discretos com 200 circuitos π.
A quantidade de circuitos π influencia no espectro de frequência. Para uma quantidade de 5 circuitos π, a tensão apresenta poucas componentes de elevadas frequências quando comparada com uma linha representada por 100 ou
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 tempo (ms) Te ns ao (pu ) n = 5 n = 20 n = 50 n = 100 n = 200 Tensäo na fase 1 para linha representada
por n circuitos pi.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 120 Frequência (Hz) A m pl itude (% ) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 5 10 15 Frequência (Hz) A m pl itude (% ) fase 1 fase 2 fase 3 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 120 Frequência (Hz) A m pli tud e ( % ) 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Frequência (Hz) A m pli tud e (% ) fase 1 fase 2 fase 3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 20 40 60 80 100 120 Frequência (Hz) A m plit ud e (% ) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 A m plitu de (% ) fase 1 fase 2 fase 3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 20 40 60 80 100 120 Frequência (Hz) A m pl itude (% ) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Frequência (Hz) A m pl itude (% )
20 a am Pa ci su ut qu es ob re cá tr pr co de m de a nu si pa O pa di es us tri m am sã es os qu tr di co pa tr à e T [1 00 circuitos π. resposta co mplitudes são ara o espectro ircuitos π ver ugerindo uma tilizada na rep uantidade de ssas estão d bservadas nas Nesse traba epresentada po álculo das tens ansmissão tri rimeiro mode onsidera a linh esenvolvido d modelo é denom esenvolvido n Transforma umericamente Observou-se imulações con ara a linha su Os resultados arâmetros disc iscretos utiliza spúrias são in sado para reso
Verifica-se ifásicas, cons medida que se mplitudes das ão reduzidas spectro. Os resultado scilações pre uantidade de c ansmissão. A iretamente na omposição esp ara o estudo ansmissão. Os autotres a Pesquisa do E do Conselho ecnológico - C ] S. Kurokaw Pissolato,“Re Variáveis de sobre os Parâ vol. 18, no 3, . Para a linha ontém maior o inferiores qu o da tensão c rifica-se que saturação na presentação de circuitos π i diretamente l respostas no d VI. CO alho a linha or dois modelo sões no termin ifásica foi rep elo é o mode ha representad diretamente n minado de o m o domínio da ada Inversa e, obtendo as r a presença de nsiderando o ubmetida a div mostraram q cretos depend ados para repr
nerentes ao olver as equaçõ no espectro iderando o co e aumenta a componentes e são inseri s também mo esentes nas circuitos π usa Assim a quan a resposta no pectral, e deve de transitório VII. AGR agradecem pel Estado de São o Nacional d CNPq. REFE wa, F. N. epresentação de Estado Levando âmetros Longitud pp. 337-346, july representada c conteúdo es uando compar om a linha re não há difere a quantidade d e linhas de tr insere frequên ligadas às o domínio do tem ONCLUSÕES a de transm os de linha de nal receptor em presentada po elo a parâme da por uma cas no domínio d modelo a parâ frequência e e a de Lapla resposta no dom e oscilações e modelo a p versas condiç que o desemp dem da quant esentar a linha método de in ões de estado. o de frequên omprimento d a quantidade espectrais das idas mais co ostraram que o respostas co ados na repres ntidade de cir o domínio do em sem levad os eletromagn RADECIMENTO lo apoio da Fu o Paulo - FAPE de Desenvolvi ERÊNCIAS R. Yamanaka, Linhas de Tra em Consideração dinais”, Revista y, august , setemb com 100 circu spectral, poré radas com a F epresentada po enças signific de circuitos π ransmissão. A ncias na resp oscilações es mpo. missão trifásic e transmissão m aberto. A li or dois mode etros discreto scata de circui do tempo. O âmetros distri em seguida ap ace implem mínio do temp espúrias em to parâmetros dis ções de energi penho do mo tidade de elem a e que as osci ntegração num ncias das t de linha fixo, de circuitos s oscilações es omponentes n ocorre saturaç om o aumen entação de lin rcuitos π infl o tempo e n das em consid néticos em lin S undação de A ESP (2012/13 imento Cientí A. J. Pra ansmissão por m o o Efeito da Fre Controle & Auto ber 2007. uitos π, ém as Fig.10. or 200 cativas, π a ser Assim a posta e spúrias ca foi para o inha de los. O os que itos π e outro ibuídos plica-se mentada po. odas as scretos ização. delo a mentos ilações mérica tensões que a π, as spúrias no seu ção das nto da nhas de luência na sua deração nha de Amparo 857-4) ífico e ado, J. meio de equência omação, [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] mode mate trans Comp áreas potên eletro Tavares, C., Pi Transmission Li on Power Delive Marti, J. R. Transmission Li Transactions on pp.147-157, janu S. Kurokawa, transmission lin América Latina, B. Gustavsen, “ Models”,IEEE T 933, april 2005 P. Moreno, A. Transform: A R No 4, pp. 2599-2 M. S. Mamis, Transmission L Generarion, Tran march 2003. S. Ma, B. Xu Parameter Equiv System Control International Co A R. J. Araúj Transmission Li Discrete Parame pp.1047-1052, ju Budner, A. (197 into an electrom And Systems, N Moreno, P., Na transient analy conditions". Int Systems, vol. 27 Dommel, H. W Transients in Si Power Apparatu Mamis, M.S. (2 Transmission Li pp. 565-575. Ander mestre Engen atualm na Fac áreas sistem elagem de linhas Rodri engen Soltei univer (IFSP eletrom máticos para linh itória. Sérgi Elétri Facul Estad Engen mputação da Unive s de interesse são ncia e modelos d omagnéticos em s ssolato J., Porte ine Model-Use in ery, vol. 14, no 4, , "Accurate M ines in Electrom Power Apparatu uary 1982. R.C. SILVA, ne theory-based vol. 10, pp. 2074 Validation of Fre Transactions on P Ramirez, “Imple Review”,IEEE Tra 2609, october 200 , “Computation Lines with Nonli nsmission and D , Z. Bo, Klimb valent Circuit of T l, Operation and nference, pp 1-5, újo, R. C Silva ines: Comparison eters”; Revista IE une 2013. 0) “Introduction o magnetic transient ew York, vol. PA aredo J. L, Guard ysis of electric ternational Journ 7, n. 2, pp. 139-14 W. (2007) “Di ingle and Mutiph us and Systems, vo 2010) “Remark o ines”, Electric Ma rson Ricardo Ju e (2014) em En nharia Elétrica de mente é estudante culdade de Enge de interesse sã mas elétricos de po de transmissão. igo Cleber da S nharia elétrica p ira. Atualmente rsidade. Professo ). Suas principa magnéticos em has de transmiss io Kurokawa (S ica (1990). Des ldade de Engenh dual Paulista (UN
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S’01-M’04) Grad sde 1994 atua haria de Ilha Sol NESP). Obteve o a Faculdade de En l Paulista (UNICA tromagnéticos em smissão para simu ncia.
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potência, mo uméricos para an duado em Engen como Professo lteira da Univers o título de Douto ngenharia Elétrica AMP). Suas princ m sistemas elétric ulações de transit phase ctions ndent IEEE sue 1, phase IEEE n Line . 925-aplace ol. 23, s on edings 0-203, umped Power ), 8th on of buted rie 4, meters App. omain linear nergy gnetic ns on ng of , n. 6, 12) e de de eira e étrica Suas s em icos e e em Ilha mesma Paulo tórios odelos nálise nharia or na sidade or em a e da cipais os de tórios
