FUNÇÕES REAIS: POSSIBILIDADES EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

FUNÇÕES REAIS: POSSIBILIDADES EM UM AMBIENTE DE

GEOMETRIA DINÂMICA

Maria Lucia Muruci (Mestrado em Ensino de Matemática – UFRJ) – muruci@pg.im.ufrj.br Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ ) – victor.giraldo@ufrj.br

Luiz Carlos Guimarães (IM-UFRJ ) – lcg@labma.ufrj.com

Este mini-curso tem por objetivo central a exploração de propriedades gráficas de diversas classes de funções reais (polinomiais, trigonométricas, modulares e racionais) através dos recursos vetoriais e de construções geométricas disponíveis no ambiente de geometria dinâmica de Tabulæ. As atividades visam motivar o desenvolvimento de conexões múltiplas entre diversas representações para funções reais (algébricas, gráficas e numéricas) utilizando como recursos pedagógicos a interatividade e a dinâmica características do ambiente. Após a apresentação inicial da interface, as atividades serão organizadas de forma que os participantes trabalhem com gráficos de funções previamente construídos, explorando o efeito da variação de parâmetros algébricos e da aplicação de transformações geométricas no aspecto gráfico, como também atividades de construção de gráficos das funções exploradas.

1.

INTRODUÇÃO

Sabemos que ambientes de geometria dinâmica (GD) podem ser usados como ferramentas pedagógicas que permitem ao aluno experimentar um grande número de exemplos, verificar propriedades, formular e testar conjecturas. A literatura de Educação Matemática tem enfocado largamente o uso de GD no ensino de geometria (e.g. Belfort et al, 1999; Belfort et al, 2003; Hadas et al, 2000), apontando também, alguns estudos sobre a aplicação desses ambientes ao ensino de funções (Hazzan & Goldenberg, 1997).

Utilizaremos nesse trabalho o software Tabulæ. O Tabulæ é um software de geometria dinâmica desenvolvido no Instituto de Matemática da UFRJ, com recursos geométricos e vetoriais, além de uma calculadora, munida das operações das operações elementares, além de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais. Estes recursos permitem ao usuário fazer construções geométricas planas, mover elementos e observar os aspectos e propriedades que mudam e aqueles que permanecem invariantes. Os recursos vetoriais permitem ainda a utilização de parâmetros, que, quando manipulados pelo usuário, produzem movimentos e transformações planas. Assim, o usuário pode observar o efeito dessas transformações em objetos geométricos construídos. Com os recursos disponíveis no Tabulæ, é possível construir gráficos de diversas classes de funções

elementares, tais como polinomiais, modulares, trigonométricas, logarítmicas e exponenciais. Por meio dos recursos citados acima, é possível ainda visualizar classes de funções dependendo de um parâmetro, mudar o valor do parâmetro e observar em tempo real as mudanças nos gráficos.

2.

OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DO MINI-CURSO

Neste mini-curso, exploraremos o comportamento do gráfico de funções polinomiais (sem nos restringirmos às de primeiro e segundo graus, como é usualmente feito nos livros didáticos para o ensino médio), funções trigonométricas, funções modulares e de funções racionais (isto é, aquelas que podem ser escritas como quociente de funções polinomiais). Após a apresentação inicial da interface do software Tabulae, sua barra de ferramentas, com seus principais ícones e suas funcionalidades, o mini-curso será organizado de modo a intercalar atividades em que o cursista manipulará gráficos previamente construídos no ambiente, bem como atividades que os levem a entender de que forma esses gráficos são construídos. Nesse processo de construção serão explorados os vários conceitos matemáticos envolvidos e discutiremos as várias escolhas que se tem no processo de determinação de um sistema de coordenadas.

2.1. Considerações sobre atividades de manipulação de gráficos previamente

construídos no ambiente

Num primeiro momento os participantes, trabalharão com gráficos de funções previamente construídos. Será explorado o efeito da variação de parâmetros algébricos no aspecto gráfico, motivando a conexão entre representações algébricas e gráficas de forma dinâmica. Além disso, serão explorados dois tipos de transformações:

• Translações horizontais e verticais, dadas respectivamente por y= f(x+c) e

c x f

y= ( )+ , sendo c uma constante real.

• Dilatações e compressões horizontais e verticais, dadas respectivamente por y= f(c⋅x) e )

(x

f c

y= ⋅ , sendo c uma constante real.

Utilizando como recurso pedagógico a característica dinâmica e interativa do ambiente, serão sugeridas algumas conjecturas, que deverão ser testadas e discutidas pelo grupo. Em seguida, estas conjecturas serão formalizadas com base na conexão com as expressões algébricas das funções.

Essas atividades têm como principais objetivos específicos: • Desenvolver uma visão dinâmica do conceito de função.

• Explorar o conceito de função, integrando os aspectos algébricos, gráfico-geométricos e numéricos.

2.2 Considerações sobre as atividades relacionadas ao processo de construção de

gráficos no ambiente

Ao longo dessas atividades os participantes serão levados à compreensão do processo de construção do gráfico de funções, sendo capazes de construir os seus próprios gráficos, utilizando as funcionalidades do ambiente. Esta construção envolve vários conceitos matemáticos, como translações e rotações, vetores, produto de escalar por vetor, lugar geométrico, parâmetros e variáveis, o que efetivamente contribuirá para um entendimento mais abrangente e aprofundado de diversos aspectos e propriedades relacionadas a sistema de coordenadas, funções e seus gráficos.

Destacamos como objetivos específicos destas atividades:

• Aprofundar a visão dinâmica do conceito de função desenvolvida nas atividades de exploração de telas previamente construídas.

• Apresentar e discutir as potencialidades de um ambiente de geometria dinâmica para a construção e a análise de gráfico de funções reais.

• Conscientizar os professores sobre as possibilidades de aprofundamento no estudo de funções, utilizando-se de novas tecnologias.

• Aprofundar a compreensão sobre o conceito de vetor, o produto de escalar por vetor e sua aplicação na construção de gráficos de funções no ambiente e nas transformações geométricas ocorridas nos mesmos.

• Explorar o gráfico de função como lugar geométrico.

É importante destacar ainda que o processo de construção de telas deva capacitar os participantes para o uso efetivo do ambiente como ferramenta pedagógica para o ensino de funções. Entendendo o processo de construção para uma determinada função, o usuário será capaz de construir qualquer outra, com o enfoque que lhe for mais apropriado no momento.

3.

DESCRIÇÃO DE ALGUMAS ATIVIDADES

Atividade 1

Abra a tela 1. Nela você encontrará o gráfico da função definida algebricamente por

b ax y = + .

a) Sobre a curva que representa geometricamente a função, vemos um ponto genérico P

( )

b) Varie o parâmetro b , mantendo a fixo e observe o que acontece ao gráfico. Descreva o que acontece. Atente para os casos em que b>0, b<0 e b=0.

c) Você consegue visualizar o parâmetro b no gráfico?

d) Agora faça a variação do parâmetro a, mantendo b fixo. Observe e descreva o que acontece ao gráfico, observando os casos em que a>0, a<0 e a=0.

e) Você consegue visualizar o parâmetro a no gráfico?

f) Com base na expressão algébrica y =ax+b e na observação do gráfico, interprete geometricamente o coeficiente a.

Figura 1. Tela do Tabulæ representando funções afins na forma y =ax+b.

Atividade 2

Abra a tela 2. Nessa tela encontraremos o gráfico da função

2

) (x x

f = _{(em preto)e também o}

gráfico da função f x =a

(

)

2

)

( _{(em azul), de forma que poderemos manipular a, h e k .}

a) Faça h=0 e k =0. Neste caso teremos a função

2

) (x ax

f = _{. Faça agora variar o parâmetro}

a_{, observe e explicite as transformações ocorridas no gráfico da função g em relação ao}

gráfico da função f .

b) Faça a=1 e k =0. Neste caso teremos a função

(

)

2

)

(x x h

f = − _{. Faça agora variar o}

parâmetro h , observe e explicite as transformações ocorridas no gráfico da função g em relação ao gráfico da função f .

c) Faça a=1 e h=0. Nesse caso teremos a função f x =x +k

2

)

( _{. Faça variar o parâmetro k ,}

observe as transformações ocorridas no gráfico da função g em relação ao gráfico de f . d) Varie livremente os parâmetros observando as transformações ocorridas. Você vê alguma

Figura 2. Tela representando funções quadráticas na forma f x =a

(

)

2

)

( _.

Atividade 3

Vamos começar a entender de que forma construímos as telas anteriores. Abra a tela 3. Nela você encontrará um plano cartesiano, com um ponto P(x,y), tal que y = 2x2 + 1 e os respectivos valores numéricos de x e y localizados no canto esquerdo superior da tela

a) Arraste o ponto x, localizado sobre o eixo OX e observe a trajetória do ponto P, e a conseqüente variação no valor de x e de y.

b) Selecione o ponto P, clique no menu Exibir, no alto de sua tela. Clique sobre a opção “Rastro de objetos” e movimente livremente o ponto x sobre o eixo das abscissas. Observe. c) Clique sobre o ícone (criar lugar geométrico). Selecione o ponto P(x,y) e em seguida o

ponto x (no eixo OX). Descreva o que aconteceu.

Sempre que ativar um dos comandos volte ao ícone (repita sempre esse procedimento, que desativa o comando ativado anteriormente).

Atividade 4

Nessa atividade vamos entender de que forma construímos o ponto P(x,y) da atividade anterior. Seguiríamos o mesmo raciocínio para qualquer outra função.

a) Abra a tela 4. Nela você encontrará um plano cartesiano, com um vetor unitário(y1) sobre o eixo OY, com origem em O e um ponto x em OX que você pode arrastar livremente, observando sua variação numérica no canto superior esquerdo da tela.

b) Vamos agora construir o valor numérico de y = 2x2 + 1. Clique no menu Calcular, opção “Calculadora” e digite a seguinte seqüência 2*(clique sobre o valor de x)^2 + 1. Aparecerá no visor da calculadora a expressão 2*x^2+1. Clique em Ok. Na tela ficará registrado o valor

sua tela, nomeando esse valor por y. Arraste o ponto x e observe a variação de x e y. O que podemos afirmar a respeito dessas variáveis? De que forma poderíamos transferir esse valor “y” encontrado para o eixo vertical OY?

c) Clique sobre o ícone (criar vetor)e, em seguida, sobre o ícone (criar produto de vetor por escalar) . Selecione o vetor y1 e o valor de “y” calculado no item b. O que aconteceu? Arraste o ponto x e visualize o novo vetor criado sobre o eixo OY. Nomeie-o por y.

d) Tente responder de que forma podemos criar o ponto cartesiano P(x,y) tal que y= 2x2 + 1?

e) Vamos então criar esse ponto. Clique sobre o ícone (criar reflexão)e, em seguida, sobre o

ícone (criar translação). Selecione o vetor y e em seguida o ponto x (no eixo OX). O que aconteceu? Arraste o ponto x e observe o novo ponto criado. Nomeie-o por P.

f) Movimente o ponto x no eixo das abscissas, observando a trajetória do ponto P na sua tela. Pense em todos os passos dados até aqui para representar esse ponto P. Que informações estão encerradas nesse ponto?

Caso queira utilize “Rastro de objetos” para visualizar melhor a trajetória e/ou complete o

gráfico utilizando o ícone (criar lugar geométrico).

Atividade 5

Nas duas últimas atividades utilizamos telas previamente preparadas. Em cada uma delas disponibilizamos um sistema de coordenadas cartesianas. No ambiente do Tabulae esse sistema de coordenadas não se encontra disponível e deve ser construído de acordo com os critérios e particularidades desejados. Devido ao grau de liberdade na sua construção e aos conceitos envolvidos se constitui num interessante processo.

Primeiramente pense sobre que elementos seriam necessários e fundamentais para que um sistema de coordenadas funcione de maneira eficiente?

Vamos então à construção de um sistema de coordenadas cartesianas. a) Abra uma tela em branco.

b) Clique sobre o ícone (criar reta) e construa uma reta, mantendo-a na posição horizontal.

Volte ao ícone (repita sempre esse procedimento, pois ele desativa o comando ativado anteriormente). Essa reta será o eixo OX. Sobre essa reta estão localizados dois pontos através dos quais podemos movimentar a reta. Temos a opção de escondê-los. Para isso clique no menu Exibir e escolha a opção “Esconder objetos.”

c) Clique sobre o ícone (criar reta) e, em seguida, sobre o ícone (criar reta perpendicular). Clique sobre o eixo OX. Uma reta perpendicular ao eixo OX será criada e o seu mouse estará posicionado sobre um ponto nessa reta, que pode mover-se livremente. Clique sobre o eixo OX e a reta se fixará num ponto do mesmo. Está criado o eixo OY e a origem do sistema de coordenadas (interseção das retas). Nomeie-o por O. Temos então construídos o sistema de eixos e a origem.

d) Vamos agora criar uma escala para os eixos. Clique sobre o ícone e crie um ponto sobre eixo OX. Nomeie-o por 1. Essa será a unidade do eixo das abscissas. Vamos agora criar uma

razão orientada sobre o eixo OX. Clique sobre o ícone (criar vetor) e, em seguida, sobre

o ícone (criar razão por 3 pontos). Selecione o ponto 0, em seguida o ponto 1, e enfim clique sobre um ponto qualquer do eixo OX. Está criada uma razão e um ponto correspondente.

e) Nomeie ambos (o novo ponto e a razão numérica correspondente) por x. Desloque o valor da razão para o canto esquerdo superior da sua tela. Mova livremente o ponto 1 e o ponto x e

observe a variação numérica da razão criada. O programa nos informa que o ícone cria uma “razão por 3 pontos”. Faz sentido calcular uma razão entre pontos? Na verdade, esta razão é feita entre dois exemplares de que grandeza?

f) Você acha que um sistema de coordenadas no qual a unidade está à esquerda da origem no eixo horizontal está matematicamente correto? Como poderíamos fixar a unidade à direita da origem em nossa construção, se essa for nossa opção?

g) Da mesma forma que fizemos anteriormente para o eixo das abscissas, podemos criar uma escala para o eixo das ordenadas, que pode ser a mesma utilizada no eixo das abscissas ou não. Faça a sua escolha e crie uma escala para o eixo das ordenadas.

h) Poderíamos pensar num sistema de coordenadas não ortogonais?

Se você chegou até aqui está apto a construir gráfico de funções no ambiente, pois basta construir o plano cartesiano conforme desenvolvido nessa atividade, fazendo as escolhas de acordo com seu interesse, e seguir os passos desenvolvidos nas atividades 3 e 4.

Atividade 6

Nas atividades 1 e 2 tivemos a oportunidade de trabalhar com funções com parâmetros variáveis, e essa possibilidade é o que torna relevante a utilização do ambiente de GD para a

construção de gráficos de funções. A sua construção segue os mesmos passos das atividades 3 e 4, porém precisamos de um eixo auxiliar para a representação desse parâmetro.

Vamos construir o gráfico da função y = asenx, de forma que a seja um parâmetro variável.

a) Abra a tela 4, onde temos um plano cartesiano já construído ou utilize a tela que acabou de construir.

b) Vamos construir o parâmetro a. Trace uma reta perpendicular ao eixo OX, fixando-a num ponto desse eixo a esquerda da sua tela. Selecione a mesma, clique no menu “Formatar”, “Linha” e escolha a opção “Pontilhado”. Sobre essa reta construiremos o parâmetro a. c) Vamos criar uma razão orientada sobre essa última reta. Clique sobre o ícone (criar

vetor) e, em seguida, sobre o ícone (criar razão por 3 pontos). Clique agora sobre o ponto de interseção da reta com o eixo OX, e em seguida sobre dois outros pontos quaisquer da reta, acima do eixo das abscissas. Está criada uma razão e, um ponto livre correspondente que podemos arrastar. Selecione esse último ponto e a razão nomeando a ambos por a. Se quiser esconda os dois primeiros pontos utilizados.

d) Podemos agora calcular a expressão y = a.senx. Clique no menu Calcular, opção “Calculadora” e digite na seqüência (clique sobre o valor de a)*sen(clique sobre o valor de x). Aparecerá no visor da calculadora a expressão a*sen(x). Clique em Ok. Aparecerá na tela o valor numérico da expressão a.sen(x). Construa o gráfico normalmente, como na atividade 4 e varie o parâmetro a, observando as transformações ocorridas no gráfico.

Se for construir o gráfico de uma função com mais de um parâmetro variável, utilize um eixo

auxiliar para cada um, construindo o parâmetro através do comando (criar razão por 3 pontos).

BIBLIOGRAFIA

[1] BELFORT, E.; CARVALHO, L.M.; GIRALDO, V. Conflitos teórico-computacionais em geometria dinâmica. In: ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, 3., 2003, Vassouras: SBEMRJ, 2003. p. 1-10.

[2] BELFORT, E.; GUIMARÃES, L.C.; BARBASTEFANO, R. Geometria Dinâmica e Demonstrações na formação continuada de professores. In: CABRI WORLD 99., 1999, São Paulo. São Paulo: PUCSP, 1999. p. 1 - 10. CD-ROM.

[3] HADAS, H.; HERSHKOWITZ, R.; SCHWARZ, B. The Role of contradiction and uncertainty in promoting the need to prove in dynamic geometry environments. Educational Studies In

[4] STEWART, J. Cálculo I. 4. ed. São Paulo: Thomson, 2005. v. 1, p. 88, 113, 122.

[5] HAZZAN, O. & GOLDENBERG, E. Student’s understanding of the notion of function in dynamic geometry environments. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 1:263-291,1997