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POSSIBILIDADES PARA O ENSINO MÉDIO ATRAVÉS DA CRIPTOGRAFIA E
MATRIZES
1POSSIBILITIES FOR HIGH SCHOOL THROUGH CRYPTOGRAPHY AND MATRICES
Bárbara Elisa Kranz Universidade Luterana do Brasil – ULBRA barbaraelisa13@hotmail.com Clarissa de Assis Olgin Universidade Luterana do Brasil – ULBRA clarissa_olgin@yahoo.com.br Grupo Temático 1. Ensino e aprendizagem por meio de/para o uso de TDIC
Subgrupo 1.1 Aprender por meio de diferentes tecnologias – da educação básica à pós-graduação
Resumo:
A criptografia torna-se indispensável com o avanço das tecnologias digitais, visto que garante a privacidade e seguridade das informações transmitidas entre indivíduos sejam por meio de e-mail, redes sociais, compras via internet, transações bancárias, entre outras ações. Os documentos curriculares brasileiros ressaltam a importância de trazer os conteúdos matemáticos de forma contextualizada, uma vez que viabilizam uma formação integral dos estudantes como cidadãos atuantes na sociedade. O objetivo desse artigo é discutir o tema criptografia e o conteúdo de matrizes através da utilização de planilhas eletrônicas para o desenvolvimento de atividades contextualizadas, no Currículo de Matemática. Para subsidiar a pesquisa com o tema criptografia e o conteúdo de matrizes apoiou-se no trabalho de Olgin (2015) e em documentos oficiais brasileiros. A metodologia desse trabalho foi à pesquisa qualitativa que por meio de uma análise descritiva buscou-se compreender e descrever os dados dando significado ao objeto de estudo. Como resultado, apresentam-se atividades didáticas envolvendo o conteúdo de matrizes aliado ao tema criptografia, com o uso de planilhas eletrônicas. Palavras-chave: Currículo. Ensino Médio. Criptografia. Matrizes. Planilhas eletrônicas. Abstract:
Encryption becomes indispensable with the advancement of digital technologies, since it guarantees the privacy and security of information transmitted between individuals, whether through e-mail, social networks, Internet shopping, banking transactions, among other actions. The Brazilian curriculum documents emphasize the importance of bringing mathematical content in a contextualized manner, since they make it possible for students to be fully trained as active citizens in society. The objective of this article is to discuss the subject of cryptography and the content of matrices through the use of electronic spreadsheets for the development of contextualized activities in the Mathematics Curriculum. To support the research on cryptography and the content of matrices, Olgin (2015) and official Brazilian documents were used. The methodology of this work was qualitative research that through a descriptive analysis sought to understand and describe the data giving meaning to the object of study. As a result, 1 Trabalho desenvolvido com o apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).
2 didactic activities are presented involving the content of matrices allied to the
cryptography theme, with the use of electronic spreadsheets.
Keywords: Curriculum. High School. Cryptography. Matrices. Eletronic spreadsheets.
1. Introdução
Com base nos documentos curriculares nacionais entende-se a importância de abordar os conteúdos de forma contextualizada e que, por meio do trabalho com temas de interesse, contribuam na formação dos estudantes e na sua aplicabilidade (BRASIL, 1996; 1997; 1998; 2000; 2006; 2018; 2019). Dessa maneira, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) traz que é dever dos sistemas e redes de ensino “[...] incorporarem aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora” (BRASIL, 2018, p. 19). Para isso, a BNCC apresenta os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs), que buscam trazer temas que sejam de interesse para os estudantes e que possuem relevância para a sua formação como cidadão (BRASIL, 2019).
Olgin (2015) trata, em sua Tese de Doutorado, sobre os Temas de Interesse. Para a pesquisadora, esses temas são “[...] assuntos relevantes para a formação do estudante, temas modernos e que possam potencializar o Currículo de Matemática do Ensino Médio, permitindo o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos” (OLGIN, 2015, p. 65). Consequentemente, a pesquisadora propõe uma classificação desses temas em oito temáticas. Nesse artigo, aborda-se a temática Contemporaneidade, que abrange temas decorrentes da vida na sociedade.
A criptografia surgiu da necessidade de enviar informações para outras pessoas, sem que fossem descobertas e alteradas suas informações, e consiste em “estudar métodos ou técnicas que tornam o conteúdo de mensagens incompreensíveis às pessoas não autorizadas ao mesmo tempo permitindo que os destinatários recuperem a mensagem original” (CARNEIRO, 2015, p. 3). Ainda, Urgellés (2018), afirma que a criptografia se torna indispensável com o avanço das tecnologias, uma vez que garante a privacidade e seguridade das informações transmitidas entre indivíduos sejam por meio de e-mails, redes sociais, compra e venda via internet, registros financeiros, entre outras ações.
Além disso, a criptografia pode proporcionar a aplicabilidade de conteúdos matemáticos como os de aritmética, funções, matrizes e polinômios, de forma contextualizada, pois está presente no cotidiano da sociedade. Portanto, apresenta-se neste artigo atividades que envolvem o conteúdo de matrizes, de forma contextualizada, aliado ao tema criptografia com o uso de planilhas eletrônicas, como salienta os documentos curriculares nacionais referentes ao uso dos recursos tecnológicos no processo de ensino e aprendizagem (BRASIL, 2018; 2019).
2. O ensino de matemática através de temáticas de ensino
Já se apontava a necessidade de ter uma Base Nacional Comum e diversificada para o Currículo da Educação Básica na Lei de Diretrizes e Bases da Educação (Lei 9394/96). Em
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busca disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicavam o trabalho com os Temas Transversais, de forma a reestruturar o sistema de ensino, viabilizando no currículo o trabalho com questões sociais (BRASIL, 1997). Para tanto, foram utilizados, como critérios de escolhas dos Temas Transversais a urgência social, a abrangência nacional, a possibilidade de ensino e aprendizagem no Ensino Fundamental, o favorecimento a compreensão da realidade e a participação social.
As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio estabelecem a divisão do currículo em áreas de conhecimento que buscando as práticas escolares interdisciplinares dentro das áreas (BRASIL, 1998). Da mesma forma, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), destacavam a importância de desenvolver os conteúdos de forma interdisciplinar nestas áreas de conhecimento, para que os estudantes estabelecessem relações entre os conteúdos das áreas (BRASIL, 2000). Em sua resolução, os PCNEM apresentavam o conceito de interdisciplinaridade como a interação constante entre os conhecimentos podendo ser “[...] de questionamento, de confirmação, de complementação, de negação, de ampliação, de iluminação de aspectos não distinguidos” (BRASIL, 2000, p. 75).
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio, também indicavam a importância de incentivar o trabalho interdisciplinar no Currículo do Ensino Médio, uma vez que permite aos estudantes a contextualização dos conhecimentos escolares (BRASIL, 2006). Atualmente, a BNCC traz que é dever dos sistemas e redes de ensino incorporar em seus currículos temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global (BRASIL, 2018). Para que isso ocorra, a BNCC apresenta dez competências gerais que devem ser desenvolvidas ao longo das três etapas da Educação Básica pelos estudantes.
A normativa define como competência “[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8). Sendo assim, as escolas e instituições de ensino devem estruturar propostas pedagógicas que ponderam “[...] as necessidades, possibilidades e os interesses dos estudantes, assim como suas identidades linguísticas, étnicas e culturais” (BRASIL, 2018, p. 15).
Como os demais documentos curriculares nacionais mencionados, a BNCC se preocupa com a relação dos estudantes com o ensino, buscando a contextualização dos conteúdos trabalhados nas áreas de conhecimento. Com isso, apresenta os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) que:
“[...] buscam uma contextualização do que é ensinado, trazendo temas que sejam de interesse dos estudantes e de relevância para seu desenvolvimento como cidadão. O grande objetivo é que o estudante não termine sua educação formal tendo visto apenas conteúdos abstratos e descontextualizados, mas que também reconheça e aprenda sobre temas que são relevantes para sua atuação na sociedade” (BRASIL, 2019, p. 7).
Os TCTs visam relacionar assuntos da contemporaneidade e assuntos que possam ser trabalhados de forma transversal entre as áreas do conhecimento, de maneira a abranger a
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realidade dos estudantes. Trata-se de temas que refletem a vivência da comunidade escolar em seu dia a dia e que influenciam o processo escolar (BRASIL, 2019).
Segundo Brasil (2019), ao contrário dos Temas Transversais que são divididos em temáticas, os TCTs são divididos em seis macroàreas temáticas (Meio Ambiente, Economia, Saúde, Cidadania e Civismo, Multiculturalismo e Ciência e Tecnologia), das quais englobam quinze Temas Contemporâneos (Ciência e Tecnologia; Direitos da Criança e do Adolescente; Diversidade Cultural; Educação Alimentar e Nutricional; Educação Ambiental; Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras; Educação em Direitos Humanos; Educação Financeira; Educação Fiscal; Trabalho; Educação para o Consumo; Educação para o Trânsito; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso; Saúde; e Vida Familiar e Social).
De acordo com a normativa, os TCTs são considerados conteúdos essenciais para a Educação Básica, pois contribuem para o desenvolvimento de habilidades relacionadas aos componentes curriculares. E abordam temas que garantem para os estudantes uma formação que
“[...] possibilite interagir de forma ativa com a vida social e com o mundo do qual fazem parte, a incorporação desses assuntos contribui para que os conteúdos científicos (também essenciais) se integrem aos conteúdos sociais e políticos. Contudo, manteve-se a orientação de que os sistemas de ensino trabalhem esses temas de forma transversal, por meio de abordagens intra, inter e transdisciplinares” (BRASIL, 2019, p. 14).
A abordagem intradisciplinar diz respeito a relação dos TCTs de forma integrada aos conteúdos de cada área do conhecimento. Já, a interdisciplinaridade, vai relacionar as áreas do conhecimento de forma que haja uma interação entre elas para se desenvolver os TCTs. E a abordagem transdisciplinar ultrapassa as barreiras impostas pelos conteúdos escolares, reduzindo a fragmentação do conhecimento.
No tocante a Área de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, a BNCC procura, a partir do que já foi trabalhado no Ensino Fundamental, “[...] possibilitar que os estudantes construam uma visão mais integrada da Matemática, ainda na perspectiva de sua aplicação à realidade” (BRASIL, 2018, p. 527). Para que os estudantes alcancem esse objetivo devem-se aprimorar as competências de raciocinar, representar, comunicar e argumentar, sendo fundamentais as habilidades relativas aos processos de investigação, de construção de modelos e de resolução de problemas. Almejando tais competências e habilidades, a BNCC apresenta as competências específicas para a Área da Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, que visam a “[...] articulação com as competências gerais da Educação Básica e com as da área de Matemática do Ensino Fundamental” (BRASIL, 2018, p. 531).
Buscando subsídio para desenvolver os conteúdos matemáticos de forma contextualizada, Olgin (2015) apresenta em sua Tese de Doutorado os Temas de Interesse que são assuntos relevantes para a formação dos alunos e que possibilitam o desenvolvimento dos conteúdos de Matemática do Ensino Médio. De acordo com a pesquisadora, estes temas viabilizam aos estudantes “[...] valores sociais, culturais, políticos,
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econômicos, de forma a atender as necessidades e objetivos dos sujeitos envolvidos nessa relação, que permitam a formar um cidadão atuante e comprometido” (OLGIN, 2015, p. 65). Desta maneira, Olgin (2015) classifica os Temas de Interesse em oito temáticas (Contemporaneidade, Político-Social, Cultura, Meio Ambiente, Conhecimento Tecnológico, Saúde, Temáticas Locais e Intramatemática), de forma a proporcionar, no Currículo de Matemática, “[...] uma Educação Crítica, transformadora, reflexiva, rica em contextos, permitindo ao estudante envolver-se em cada assunto de forma a revisar, aprofundar, exercitar e estudar os conteúdos da Área da Matemática” (OLGIN, 2015, p 130).
Destaca-se a temática Contemporaneidade apresentada pela pesquisadora, uma vez que viabiliza a aplicabilidade dos conteúdos matemáticos na vida da sociedade atual de forma contextualizada. Olgin (2015) sugere a criptografia como um dos temas a serem trabalhados dentro dessa temática, pois permite o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos de: aritmética, aritmética modular, função linear, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, matrizes e polinômios.
Conforme os documentos curriculares nacionais (BRASIL, 2018; 2019) é necessário potencializar um ensino contextualizado que vise o uso de tecnologias digitais em sala de aula, quando possível. Para tanto, destaca-se, entre as competências gerais da BNCC, a quinta que se refere a
“Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva” (BRASIL, 2018, p. 9).
Visando produzir o conhecimento por meio de tecnologias digitais, este artigo tem como objetivo discutir o tema criptografia e o conteúdo de matrizes através da utilização de planilhas eletrônicas para o desenvolvimento de atividades contextualizadas para o Currículo de Matemática. Com base na temática Contemporaneidade apresentada por Olgin (2015), entende-se que a criptografia pode ser trabalhada com os estudantes do Ensino Médio, uma vez que apresenta a aplicabilidade dos conteúdos matemáticos e os contextualiza.
3. Metodologia
O trabalho baseia-se em uma pesquisa qualitativa que busca compreender e descrever, através de uma análise descritiva, os dados obtidos a partir de uma investigação sobre o tema criptografia e o conteúdo de matrizes ao utilizar as planilhas eletrônicas.
Buscando trabalhar conteúdos matemáticos do Ensino Médio de forma contextualizada, o trabalho foi desenvolvido em três momentos. O primeiro foi o estudo sobre o trabalho com temáticas no Ensino de Matemática, no qual foram investigados os documentos educacionais brasileiros e a pesquisa de Olgin (2015) sobre o trabalho com temáticas no Currículo de Matemática do Ensino Médio. O momento seguinte foi à pesquisa sobre o conteúdo de matrizes e sua relação com o tema criptografia. O terceiro momento foi
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à construção de atividades que explorassem as cifras históricas, bem como códigos com o conteúdo de matrizes aliado ao tema, com o uso de planilhas eletrônicas.
4. Atividades com o conteúdo de matrizes aliado ao tema criptografia
Para Tamarozzi (2001), a criptografia tem vestígios desde o sistema de escrita hieroglífica dos egípcios e dos romanos, os quais se utilizavam da criptografia para transmitir, a partir de códigos secretos, seus planos de batalha. De acordo com as competências gerais apresentadas pela BNCC, deve-se “valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva [...]” (BRASIL, 2018, p. 9). O Quadro 1 apresenta as atividades construídas a partir de cifras históricas.
Quadro 1 – Atividades de cifras históricas.
Atividade Descrição
Cifra de Vigenère
Conhecer e aplicar os procedimentos utilizados para codificar e decodificar utilizando a Cifra de Vigenère.
Cifra de ADFGVX
Conhecer e aplicar os procedimentos utilizados para codificar e decodificar utilizando a Cifra de ADFGVX.
Cifra de Playfair
Conhecer e aplicar os procedimentos utilizados para codificar e decodificar utilizando a Cifra de Playfair.
Cifra de Hill
Conhecer e aplicar os procedimentos utilizados para codificar e decodificar utilizando a Cifra de Hill.
Fonte: as autoras.
Na busca da contextualização do conteúdo de matrizes desenvolvido no Ensino Médio, foram criadas atividades que relacionam o tema criptografia e explora os recursos das planilhas eletrônicas, isto porque essa ferramenta nos permite realizar os cálculos de matrizes. Ainda, as competências gerais da BNCC afirmam que o estudante deve compreender e utilizar tecnologias digitais de forma a produzir conhecimento e resolver problemas (BRASIL, 2018). O Quadro 2 apresenta as atividades construídas relacionando o conteúdo de matrizes a criptografia.
Quadro 2 – Atividades relacionando o conteúdo de matrizes e a Criptografia.
Atividade Descrição
Codificando com adição de matrizes Atividade que explora as operações de adição e matriz
inversa.
Codificando com subtração de matrizes Atividade que explora as operações de subtração e matriz
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Codificando com multiplicação de matrizes Atividade que explora as operações de multiplicação e
matriz inversa. Codificando com multiplicação por escalar e
adição de matrizes
Atividade que explora as operações de adição, multiplicação por escalar e matriz inversa. Codificando com multiplicação por escalar e
subtração de matrizes
Atividade que explora as operações de subtração, multiplicação por escalar e matriz inversa.
Fonte: as autoras.
A seguir apresentam-se dois exemplos de atividades desenvolvidas que exploram os recursos das planilhas eletrônicas, um abordando a parte histórica e outro o conteúdo de matrizes.
Como exemplo de atividade que relaciona uma cifra histórica, apresenta-se a atividade criada a partir da Cifra de Hill.
De acordo com Urgellés (2018), a Cifra de Hill trata-se de uma criptografia de substituição que utiliza uma combinação de aritmética modular e álgebra linear. Para aplicar essa Cifra é necessário determinar um alfabeto de n caracteres e uma matriz quadrada de determinante 1. É imprescindível que a matriz escolhida tenha o determinante de valor 1 para garantir a sua inversa e, assim, poder determinar a decodificação da mensagem. Para o autor “uma matriz pode ser uma ferramenta muito útil para criptografar uma mensagem, decompondo o texto em pares de letras e associando a cada letra um valor numérico do alfabeto” (URGELLÉS, 2018, p. 82, tradução nossa).
Apresenta-se a seguir, uma atividade desenvolvida a partir da Cifra de Hill, utilizando a planilha eletrônica (Figura 1).
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Figura 1 – Atividade desenvolvida a partir da Cifra de Hill.
Fonte: as autoras.
Para decodificar a mensagem enviada deve-se, primeiramente, agrupar as letras em pares e fazer a correspondência numérica de acordo com o alfabeto, conforme Figura 1.
Figura 2 – Correspondência numérica da mensagem enviada.
Fonte: as autoras.
Em seguida, determina-se a matriz inversa da matriz-chave dada. Para isso, exploram-se os comandos das planilhas eletrônicas que permite calcular a inversa de uma matriz. Para realizar o cálculo é necessário selecionar a quantidade de células correspondente a matriz inversa e digitar o comando, conforme se pode observar na Figura 3.
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Fonte: as autoras.
Após, aperta-se o botão enter e a matriz inversa é dada (Figura 4).
Figura 4 – Matriz inversa da matriz-chave.
Fonte: as autoras.
Tendo a inversa da matriz-chave, determina-se o produto entre a inversa e a matriz obtida na correspondência numérica da mensagem. Novamente, explora-se o comando da planilha eletrônica que permite calcular a multiplicação entre matrizes. Para realizar o cálculo é necessário selecionar a quantidade de células correspondente ao produto entre as matrizes e digitar sinal de igualdade seguida do comando “MATRIZ.MULT” (Figura 5). A multiplicação de uma matriz de ordem 2x2 por uma matriz de ordem 2x1 será uma matriz de ordem 2x1.
Figura 5 – Comando para determinar a multiplicação entre matriz.
Fonte: as autoras.
Após, aperta-se o botão enter e a matriz resultante da multiplicação é obtida (Figura 6).
Figura 6 – Produto entre a inversa da matriz-chave e as matrizes correspondentes da mensagem enviada.
Fonte: as autoras.
Os valores encontrados na multiplicação das matrizes devem estar entre os valores 0 e 26, de acordo com o alfabeto utilizado na codificação. Caso isso não ocorra, deve-se realizar a divisão considerando o módulo 27, ou seja, dividir os valores pelo módulo e
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considerar o resto. No caso de valores negativos, deve-se adicionar o módulo ao número até obter um valor entre 0 e 26 (Figura 7).
Figura 7 – Módulo 27 dos valores.
Fonte: as autoras.
Por último, determinam-se as letras correspondentes aos valores numéricos obtidos para se encontrar a mensagem (Figura 8).
Figura 8 – Mensagem decodificada.
Fonte: as autoras.
Como exemplo de atividade envolvendo o conteúdo de matrizes e Criptografia, a presenta-se a atividade depresenta-senvolvida utilizando a operação de adição de matrizes. A Figura 9 apresenta o alfabeto codificador e decodificador desenvolvido para a realização das atividades.
Figura 9 – Alfabeto codificador e decodificar da atividade.
Fonte: as autoras.
A atividade consiste em transformar a mensagem dada em uma matriz de ordem mxn
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Figura 10 – Descrição da atividade.
Fonte: as autoras.
Para que seja possível decodificar a mensagem é necessário operar a matriz da mensagem com a matriz transposta da matriz-chave. Para isso, explora-se o comando da planilha eletrônica que permite determinar a matriz transposta da matriz-chave. Para realizar o cálculo é necessário selecionar a quantidade de células correspondente a matriz transposta e digitar o sinal de igualdade seguido do comando “TRANSPOR”, conforme se pode observar na Figura 11.
Figura 11 – Comando para determinar a matriz transposta.
Fonte: as autoras.
Após, aperta-se os botões ctrl + shift + enter e a matriz transposta é dada (Figura 12).
Figura 12 – Trabalhando o conceito de matriz transposta.
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A mensagem enviada deve ser transformada em uma matriz, na qual seus elementos estão distribuídos em coluna. Para determinar a matriz correspondente a mensagem é necessário relembrar os conceitos estudados sobre adição de matriz (Figura 13).
Figura 13 – Transformando a mensagem em matriz.
Fonte: as autoras.
Para que seja possível descobrir a matriz original é preciso adicionar a transposta da matriz-chave com a matriz mensagem. Para isso, explora-se o comando da planilha eletrônica que permite determinar a adição entre matrizes. Para realizar o cálculo é necessário selecionar a quantidade de células correspondente a matriz resultante e digitar o comando como se apresenta na Figura 14.
Figura 14 – Comando para determinar a adição entre matrizes.
Fonte: as autoras.
Após, aperta-se os botões ctrl + shift + enter e a matriz resultante é obtida (Figura 15).
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Figura 15 – Trabalhando com o conceito de adição de matrizes.
Fonte: as autoras.
Após a adição das matrizes, utiliza-se o alfabeto codificador e decodificar dado no início da atividade, para transformar os elementos da matriz nas letras correspondentes e revelar a mensagem enviada. Para isto, deve-se lembrar de que a mensagem está escrita em coluna (Figura 16).
Figura 16 – Revelando a mensagem.
Fonte: as autoras.
De acordo com os exemplos, é possível criar uma sequência didática com o conteúdo de matrizes aliado ao tema criptografia, com o uso de planilhas eletrônicas.
5. Considerações finais
Conforme a BNCC é necessário contextualizar os conteúdos matemáticos do Ensino Médio utilizando temas contemporâneos (BRASIL, 2018). Baseada na pesquisa de Olgin (2015) referente aos Temas de Interesse e no documento oficial que aponta o trabalho por meio de Temas Contemporâneos Transversais, foi possível relacionar o conteúdo de matrizes ao tema criptografia, através de atividades didáticas que podem ser utilizadas pelos professores como um recurso potencializador no processo de ensino e aprendizagem, levando em consideração que o conteúdo matemático é apresentado relacionando a teoria e a sua aplicação.
Entre as competências gerais apresentadas pela BNCC, destaca-se a competência cinco que se referente à utilização das tecnologias digitais de forma crítica, reflexiva e significativa de forma a produzir conhecimentos e resolver problemas pelo estudante (BRASIL, 2018). Visando a exploração de uma tecnologia digital na realização das atividades criadas, utilizaram-se as planilhas eletrônicas por permitir o desenvolvimento dos cálculos de
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operações com matrizes e oportunizar aos estudantes o contato com um recurso tecnológico.
Agradecimentos
Agradecemos a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa taxa, para a realização dessa pesquisa.
Referências
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