Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática. Modelos de convolução para dados espaço-temporais. Geraldo Marcelo da Cunha

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´

atica

Modelos de convolu¸

c˜

ao para dados

espa¸

co-temporais

Geraldo Marcelo da Cunha

(2)

espa¸

co-temporais

Geraldo Marcelo da Cunha

Tese de Doutorado submetida ao programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Doutor em Estat´ıstica.

Orientador: Dani Gamerman

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Modelos de convolu¸

c˜

ao para dados

espa¸

co-temporais

Geraldo Marcelo da Cunha

Orientador: Dani Gamerman

Tese de Doutorado submetida ao programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Doutor em Estat´ıstica.

Aprovada por:

Presidente Prof. Dani Gamerman Profa. Esther Salazar

IM–UFRJ IM–UFRJ

Prof. Hedibert Freitas Lopes Prof. Ronaldo Dias

University of Chicago UNICAMP

Prof. Josemar Rodrigues UFSCAR

(4)

Geraldo Marcelo da Cunha. – Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2009.

xvii, 133 f. : il. ; 31cm.

Tese (Doutorado) – UFRJ/IM. Programa de P´ os-Gradua¸c˜ao em Estat´ıstica, 2009.

Orientador: Dani Gamerman

Referˆencias bibliogr´aficas: p.101–106.

1. Estat´ıstica Matem´atica - Tese. I. Gamerman, Dani. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

(5)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 1

Resumo

Nos recentes anos, uma série de modelos para dados espacialmente correlacionados surgiram no intuito de relaxar ou desconsiderar a suposi¸cão de estacionaridade na estrutura de covariância. Alguns desses modelos utilizam a idéia de convolu¸cão de processos por fun¸cões núcleo. Partindo de modelos conhecidos na literatura (Fuentes e Smith (2001); Fuentes (2002); Banerjee, Gelfand, Knight, e Sirmans (2004b)) um novo modelo que considera estrutura de covariância não-estacionária é apresentado. O modelo é definido como uma mistura de processos estacionários latentes ponderados por componentes de misturas. Fun¸cões núcleo cont´ınuas são utilizadas para definir estas componentes. Nossa abordagem consiste em a partir dos dados, estimar os parâmetros de suaviza¸cão das fun¸cões núcleo consideradas.

Seguindo adiante no trabalho, o modelo proposto para processos espaciais n˜ ao-estacionários é inserido no contexto de dados que variam no tempo e espa¸co. Dois diferentes modelos dinâmicos espa¸co-temporais são propostos. O primeiro, considera uma mesma estrutura espacial não-estacionária em todos os tempos. O segundo, ge-neraliza o primeiro, permitindo também, que esta estrutura espacial evolua no tempo através de seus parâmetros de suaviza¸cão.

No último cap´ıtulo, dados de temperatura m´ınima mensal observados no estado do Rio de Janeiro de 1961 a 2000 são analisados considerando um modelo hierárquico que incorpora nossa abordagem para a estrutura espacial não-estacionária.

(6)

Abstract

In recent years, different models for correlated spatial data emerged in order to relax or disregard the stationarity assumption of covariance structure. Some of these mod-els are built around kernel convolution of stationary processes. Starting from known models in the literature (Fuentes e Smith (2001); Fuentes (2002); Banerjee, Gelfand, Knight, e Sirmans (2004b)) a new model considering non-stationary covariance struc-ture is presented. The model is defined as a weighted combination of latent stationary processes by mixture components. Continuous kernel functions are used to define these componentes. Our approach consists in estimation of the bandwidths in the kernels, from the data.

Following on the work, the proposed model for spatial non-stationary processes is inserted to account for data varying in time and space. Two different spatio-temporal dynamic models are proposed. The first one considers the same non-stationary spatial structure for all times. The second one generalizes the first one by allowing this spatial structure to vary over time through their bandwidths parameters.

In the last chapter monthly minimum temperature data observed in Rio de Janeiro state from 1961 to 2000 are analyzed considering a hierarchical model that incorporates our non-stationary approach.

(7)

AGRADECIMENTOS

Inicialmente gostaria de agradecer ao meu orientador Dani Gamerman, pessoa pela qual passei a admirar nos últimos anos como pesquisador e ser humano. Este tra-balho é fruto de muitos dos seus conselhos e intui¸cões, ditos ou escritos muitas vezes em pequenos rascunhos em peda¸cos de papel, ou em seu pequeno quadro branco, o que sempre me surpreendia. Eu espero que esta rela¸cão forne¸ca frutos de amizade e trabalhos futuros.

Gostaria também de agradecer pelas outras pessoas maravilhosas que conheci e que participaram deste processo, todos professores do programa e meus amigos e colegas da pós: Valmária, Mário, Adelmo, Fidel, Esther e Fernando. Meus amigos da FIOCRUZ que sempre me apoiaram e possibilitaram minha visita a Universidade Estadual da Carolina do Norte.

Gostaria de agradecer à minha fam´ılia e amigos distantes que são o meu suporte e dão razão ao meu viver. Meu pais, Mário e Ana, meus irmãos, Rosana e Márcio e outros do cora¸cão, Buda, Ivan, Alan, Alex primo, Didier, Alex Erikson, Edicléia, Tio Rômulo. À Lane que esteve comigo em boa parte deste per´ıodo. E finalmente, à Thati, minha companheira, amiga e mulher que sempre me incentivou e incentiva em tudo o que fa¸co.

Durante este doutorado, outras coisas alegres e tristes ocorreram em minha vida, sou grato a todas elas. Citando meu preferido poeta, Fernando Pessoa:

“...

Quem quere passar al´em do Bojador Tem que passar al´em da dor.

Deus ao mar o perigo e o abysmo deu, Mas nelle ´e que espelhou o c´eu.”

(8)

1 Processos espaciais via convolu¸

c˜

ao de processos

7

1.1 Introdu¸c˜

ao . . . .

7

1.2 Modelos para processos espaciais n˜

ao-estacion´

arios . . . .

10

1.3 Processos espaciais via convolu¸c˜

ao de processos

. . . . .

12

1.3.1 Processos estacion´

arios via convolu¸c˜

ao de processos 12

1.3.2 Processos n˜

ao-estacion´

arios via convolu¸c˜

ao de

pro-cessos com n´

ucleos variando no espa¸co . . . .

16

1.3.3 Processos n˜

ao-estacion´

arios via convolu¸c˜

ao de

pro-cessos localmente estacion´

arios . . . .

17

1.4 Justificativa deste trabalho . . . .

20

1.5 Organiza¸c˜

ao da tese . . . .

20

2 Processos n˜

ao-estacion´

arios via convolu¸

c˜

ao de processos

estacion´

arios latentes

24

2.1 Introdu¸c˜

ao . . . .

24

2.2 Defini¸c˜

ao do modelo e suas propriedades . . . .

25

2.3 Inferˆ

encia . . . .

28

(9)

2.3.1 Introdu¸c˜

ao . . . .

28

2.3.2 Verossimilhan¸ca . . . .

29

2.3.3 Distribui¸c˜

oes a Priori e a Posteriori . . . .

29

2.4 Aspectos computacionais . . . .

32

2.4.1 Interpola¸c˜

ao . . . .

35

2.5 Simula¸c˜

oes

. . . .

35

2.5.1 Estudo 1

. . . .

36

2.5.2 Estudo 2

. . . .

44

3 Modelo dinˆ

amico com estrutura de covariˆ

ancia espacial

n˜

ao-estacion´

aria

51

3.1 Introdu¸c˜

ao

. . . .

51

3.2 Modelo Proposto . . . .

53

3.3 Inferˆ

encia . . . .

55

3.3.1 Verossimilhan¸ca . . . .

55

3.3.2 Distribui¸c˜

ao a Priori . . . .

55

3.3.3 Distribui¸c˜

ao a Posteriori . . . .

56

3.4 Aspectos computacionais . . . .

56

3.5 Simula¸c˜

ao . . . .

60

4 Modelo dinˆ

amico com estrutura de covariˆ

ancia espacial

dinˆ

amica n˜

ao-estacion´

aria

66

4.1 Introdu¸c˜

ao . . . .

66

(10)

4.3 Inferˆ

encia . . . .

72

4.3.1 Verossimilhan¸ca . . . .

72

4.3.2 Distribui¸c˜

ao a Priori . . . .

72

4.3.3 Distribui¸c˜

ao a Posteriori . . . .

73

4.4 Aspectos computacionais . . . .

73

4.5 Simula¸c˜

ao . . . .

77

5 Aplica¸

c˜

ao

81

5.1 Introdu¸c˜

ao . . . .

81

5.2 Modelo para varia¸c˜

oes na temperatura . . . .

82

5.2.1 Modelando a estrutura n˜

ao-estacion´

aria . . . .

83

5.2.2 Inferˆ

encia dos parˆ

ametros do modelo . . . .

85

5.2.3 Aspectos computacionais . . . .

86

5.2.4 Dados faltantes e interpola¸c˜

ao . . . .

86

5.3 Exemplo simulado . . . .

87

5.4 Resultados da an´

alise . . . .

88

5.4.1 Descri¸c˜

ao dos dados e modelo . . . .

88

5.4.2 Compara¸c˜

ao dos modelos . . . .

90

5.4.3 Estima¸c˜

ao do termo espacial . . . .

93

5.4.4 Estima¸c˜

ao da estrutura m´

edia . . . .

93

5.5 Conclus˜

ao . . . .

98

(11)

(12)

Processos espaciais via convolu¸

c˜

ao

de processos

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Nesta se¸cão fazemos uma revisão breve e simples de modelos para dados espacialmente correlacionados. O objetivo é apresentar algumas defini¸cões da teoria clássica e chamar aten¸cão de como algumas propriedades desses modelos foram constru´ıdas de modo a facilitar a estima¸cão e interpreta¸cão de seus parâmetros.

Considere uma região espacialmente cont´ınua1 D ⊂ <2 na qual, somente para um conjunto n de posi¸cões fixas s1, . . . , sn, são conhecidas medidas de interesse Y =

(Y (s1), . . . , Y (sn))0. O objetivo final da an´alise estat´ıstica espacial ´e ser capaz de

fornecer a qualquer localiza¸c˜ao s0 ∈ D, onde n˜ao se conhece o valor da medida de

interesse, a melhor estimativa Y (s0), a partir dos dados observados Y .

A fun¸cão aleatória Y (.) é chamada campo aleatório. Uma abordagem usual na modelagem de valores observados de um campo aleatório é feita ao considerar Y de-composto nas seguintes componentes:

1_{Pode-se considerar uma regi˜}_{ao definida em um espa¸}_{co de dimens˜}_{ao L qualquer, onde L ≥ 1 e L ´}_e

um n´umero inteiro.

(13)

Y = (m´edia)+(componente espacial)+(erro de medida) (1.1) = µ + Z + ,

onde µ representa uma média que pode, por exemplo, ter forma linear, isto é, µ = Xβ, onde X é uma matriz (n × p) que acomoda p covariáveis associadas à média e β é um vetor (p × 1) dos parâmetros associados a essas covariáveis. A componente Z corresponde a um vetor (n × 1) de realiza¸cão de um campo aleatório espacial de média 0 e é um vetor (n × 1) de erros de medida independentes e identicamente distribu´ıdos, tal que e Z são independentes. é comumente chamado de efeito pepita (Cressie, 1993).

Em muitas aplica¸cões, o campo aleatório espacial Z(.) é assumido Gaussiano, ou diz-se simplesmente que Z(.) segue um processo Gaussiano.

De um modo geral, Z(.) segue um processo Gaussiano de média 0, se para qualquer n ≥ 1, o conjunto de observa¸cões Z = (Z(s1), . . . , Z(sn))0 têm distribui¸cão normal

multivariada com média 0 e matriz de covariância Ω. Vamos considerar a seguinte nota¸cão,

Z(.) ∼ P G(0, Ω).

No contexto da teoria espacial clássica, é utilizada a simplifica¸cão Ω = σ2_{Σ, onde}

Σ é a matriz de correla¸cão dos dados e σ2 é a variância, igual para todos os Z(s). Assumindo que Y é condicionalmente independente dado os parâmetros e que o processo Z(.) segue um processo Gaussiano podemos escrever:

Y | β, Z, σ2 ∼ N Xβ + Z, σ2I , (1.2)

onde σ2

´e a variˆancia do erro de medida .

Da express˜ao acima, podemos marginalizar em Z, obtendo

Y | β, σ2, Σ, σ2 ∼ N Xβ, σ2_{Σ + σ}2

(14)

Outra simplifica¸cão útil ocorre pela especifica¸cão da matriz Σ definida a partir de uma única fun¸cão de correla¸cão ρ entre medidas realizadas em dois pontos quaisquer si e sj,

ρij = ρ(Z(si), Z(sj)).

Como esperado, ρij deve ser definido como uma fun¸c˜ao que decres¸ca com o aumento

da distância que separa as localiza¸cões si e sj. A geoestat´ıstica clássica (Cressie, 1993)

apresenta uma classe paramétrica de fun¸cões de correla¸cão ρ que dependem somente do vetor diferen¸ca entre os pontos si e sj.

Sendo mais espec´ıfico, se ν = si− sj ´e o vetor da diferen¸ca entre duas localiza¸c˜oes

quaisquer si e sj e ρ é fun¸cão somente dessa diferen¸ca, ρ = ρ(ν), Z(.) é estacionário,

significando que a correla¸cão entre quaisquer dois pontos em D depende da orienta¸cão do vetor da diferen¸ca entre os pontos e do módulo dessa diferen¸ca. Caso ρ dependa somente da distância entre as localiza¸cões, ρ = ρ(|ν|), Z(.) é isotrópico, e portanto, ρ passa a não depender mais da orienta¸cão do vetor diferen¸ca. Sendo assim, segue que todo processo isotrópico é também estacionário.

Como exemplo, temos abaixo a fun¸cão de correla¸cão estacionária Matérn:

ρ = 1

2ξ−1_Γ(ξ)(2ξ

1/2 _{| ν | φ)}ν_κ

ξ(2ξ1/2φ | ν |),

onde κν ´e a fun¸c˜ao modificada de Bessel de terceira ordem. Neste caso, a matriz

de covariâncias é totalmente especificada se conhecemos os parâmetros σ2_{, φ e ξ. O}

parâmetro φ é o inverso da amplitude r (range) que mede como a correla¸cão decai com a distância. O parâmetro ξ é responsável pela suavidade do processo sendo este mais suave na medida em que ξ aumenta. O parâmetro σ2 _´_{e a variˆ}_{ancia do processo.}

Outras importantes fun¸cões de correla¸cão são derivadas a partir da fun¸cão de correla¸cão Matérn. Por exemplo, fazendo ξ → ∞ obtemos a fun¸cão de correla¸cão gaussiana. Fixando ξ = 1₂, obtemos a fun¸cão de correla¸cão exponencial:

(15)

Apesar de atraentes do ponto de vista da interpreta¸cão e fácil implementa¸cão, os modelos que consideram processos espaciais estacionários/isotrópicos são limitados dadas as suas especifica¸cões. Essas propriedades limitam uma poss´ıvel complexidade real na estrutura espacial que dados reais possam vir a ter. Recorre-se portanto a mode-los espaciais mais elaborados, onde por exemplo, seja permitido à fun¸cão de covariância variar sobre a região de estudo.

1.2 Modelos para processos espaciais n˜

ao-estacion´

arios

Devido ao avan¸co e maior utiliza¸cão de procedimentos computacionalmente intensivos nos recentes anos, uma série de procedimentos surgiram no intuito de relaxar ou des-considerar a suposi¸cão de estacionaridade para dados espaciais.

Uma série de procedimentos que obtiveram notório reconhecimento na literatura parte do artigo inicial de Sampson e Guttorp (1992) que sugerem um modelo de de-forma¸cão espacial para dados espa¸co-temporais onde a estacionaridade é assumida no processo temporal enquanto é permitido ao processo espacial ser não-estacionário. Eles utilizam técnicas de escalonamento multidimensional para transformar o espa¸co onde se encontram as observa¸cões, em um espa¸co latente estacionário no qual procedimentos de geoestat´ıstica clássica podem ser aplicados. Seguindo essa linha, Schmidt e O’Hagan (2003) propõem uma abordagem Bayesiana para este modelo.

Hass (1995) propõe uma abordagem baseada em janelas móveis para estruturas de covariância não-estacionárias. Entretanto, uma desvantagem deste modelo é que ele pressupõe isotropia nas janelas que incidem sobre as localiza¸cões.

Uma outra abordagem proposta por Nychka e Saltzman (1998) utiliza fun¸cões or-togonais emp´ıricas para modelar dados com estruturas de covariância mais complexas. Entretanto, o inconveniente deste método é a necessidade de que as localiza¸cões, onde os dados foram coletados, sejam um subconjunto da grade onde é feita a interpola¸cão dos dados.

Outras duas diferentes abordagens surgem da convolu¸cão de processos por fun¸cões núcleo (kernel ). A primeira abordagem (Higdon, Swall, e Kern (1999); Swall (1999))

(16)

permite que núcleos normais bivariados possam variar no espa¸co e considera os proces-sos como sendo um mesmo ru´ıdo branco ou um mesmo processo espacial estacionário definido por um mesmo conjunto de parâmetros. Paciorek e Schervish (2004) e Pa-ciorek e Schervish (2006) mostraram ser poss´ıvel, a partir de outros núcleos, estabelecer diferentes estruturas de covariâncias não-estacionárias. A segunda abordagem (Fuentes e Smith (2001); Fuentes (2002)) utiliza um mesmo núcleo para diferentes centros, mas processos espaciais estacionários definidos por diferentes conjuntos de parâmetros. Banerjee et al. (2004b) estende este modelo ao substituir os núcleos por fun¸cões ponde-radas dos núcleos. Todos os trabalhos que consideram esta segunda abordagem fixam os parâmetros de suaviza¸cão em valores conhecidos, como será discutido na próxima se¸cão.

Gelfand, Kottas, e MacEachern (2005b) definem processos não estacionários n˜ ao-paramétricos a partir da convolu¸cão de processos de Dirichlet. Kottas, Duan, e Gelfand (2008) utilizam uma abordagem equivalente a partir de um processo de Dirichlet cen-trado em torno de uma normal multivariada. Ainda neste artigo, o modelo é estendido para análise de dados espa¸co-temporais através de uma formula¸cão dinâmica (West e Harrison, 1997) para os efeitos aleatórios. Fuentes e Reich (2009) permitem aos parâmetros de suaviza¸cão que compõe a convolu¸cão de processos de Dirichlet vari-arem no espa¸co, para caracterizar a falta de estacionaridade na dependência espacial e dependência cruzada, quando são considerados processos espaciais multivariados. Também, Fuentes, Henry, e Reich (2009) permitem ao parâmetro de suaviza¸cão do núcleo ser fun¸cão espacial para explicar falta de estacionaridade em distribui¸cões de extremos, utilizando uma mistura não-paramétrica para dados de extremos de tempe-ratura.

Para processos não-estacionários multivariados Schmidt e Gelfand (2003) e Gelfand, Schmidt, Banerjee, e Sirmans (2004) utilizam modelos de coregionaliza¸cão. Também Calder (2003) e Calder (2007) propõem um modelo não-estacionário com núcleos va-riando espacialmente para dados espa¸co-temporais multivariados considerando modelos dinâmicos.

(17)

ao-Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 12

estacionários. Uma revisão dos principais modelos pode ser encontrada em Banerjee, Carlin, e Gelfand (2004a) e Smith (2001). Em português, a revisão de alguns desses modelos pode ser encontrada em Schmidt e Sansó (2006).

A próxima se¸cão é dedicada à uma melhor compreensão de modelos espaciais n˜ ao-estacionários envolvendo convolu¸cão de processos.

1.3 Processos espaciais via convolu¸

c˜

ao de processos

1.3.1 Processos estacion´

arios via convolu¸

c˜

ao de processos

Considere uma grade de M pontos u1, ..., uM contidos em uma regi˜ao D, como na

Figura 1.1 e suponha localiza¸cões (s1, . . . , sn) onde são observadas as realiza¸cões de

um processo de interesse Z = Z(s1), . . . , Z(sn). Vejamos como isto pode ser obtido

a partir da convolu¸cão de processos, de modo que Z represente a realiza¸cão de um processo espacial estacionário.

Inicialmente a cada um, m = 1, . . . , M são atribu´ıdas variáveis aleatórias ω(um)

independentes e identicamente distribu´ıdas,

ω(um) ∼ N 0, σ2 .

Deste modo, ω(um) representa um processo ru´ıdo branco.

Seja k(si − um; hm) o valor de uma fun¸c˜ao n´ucleo de centro um avaliada em si,

i = 1, . . . , n. O parâmetro hm é chamado de parâmetro de suaviza¸cão. Quanto maiores

os valores de hm, m = 1, . . . , M , mais suave ´e o processo final observado. De agora

em diante, a seguinte nota¸cão será considerada. Para um núcleo cont´ınuo qualquer k(.), onde u varia continuamente no espa¸co, k(si − u) = ku(si) representa o núcleo

centrado em u e avaliado em si. No caso em que u varia discretamente no espa¸co,

k(si − um) = km(si) representa o n´ucleo centrado em um e avaliado em si. Al´em

disto, subentende-se um parâmetro de suaviza¸cão para definir cada uma destas fun¸cões núcleo.

(18)

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 u1 u2 u3 …… … … u99 u100 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15

Figura 1.1: Grade formada de um pontos, m = 1, . . . , 100 em D = [0, 10] × [0, 10]. A cada um

´

e atribu´ıdo um processo ru´ıdo branco ω(um). A figura apresenta tamb´em o que poderiam ser as

poss´ıveis localiza¸c˜oes si, i = 1, . . . , 15 das medidas de interesse Z(si).

iguais para m = 1, . . . , M , a realiza¸c˜ao de um processo estacion´ario Z(si) pode ser

obtida por convolver os processos ω(um) por km(si) atrav´es da soma finita,

Z(si) = M

X

m=1

km(si)ω(um). (1.4)

Segue então que Z é a realiza¸cão de um processo Gaussiano no qual,

E[Z(si)] = E " _M X m=1 km(si)ω(um) # = M X i=m km(si)E[ω(um)] = 0,

(19)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 14 V ar[Z(si)] = E   M X m=1 km(si)ω(um) !2  = σ2 M X m=1 km(si)2, e:

Cov[Z(si), Z(sj)] = E[Z(si)Z(sj)] − E[Z(si)]E[Z(sj)]

= σ2 M X m=1 km(si)km(sj) − 0 = σ2 M X m=1 km(si)km(sj).

Na Figura 1.2 o processo estacionário foi gerado sobre a grade de pontos repre-sentada pela Figura 1.1 considerando uma fun¸cão núcleo normal padrão, km(s) =

1

2πexp− 1 2s

0_{s , ou seja, h}

m = 1 para m = 1, . . . , M e um processo ru´ıdo branco de

variˆancia σ2 _{= 0.01.}

A vers˜ao cont´ınua de convolu¸c˜ao de processos, segue diretamente do limite da grade de pontos formada por um cada vez mais densa,

Z(s) = Z

ku(s)ω(u)du. (1.5)

A variância e covariância de Z(si) são dadas por,

V ar[Z(si)] = σ2 Z (ku(si))2du, (1.6) Cov[Z(si), Z(sj)] = σ2 Z ku(si)ku(sj)du. (1.7)

Uma demonstra¸cão interessante da aproxima¸cão discreta para a cont´ınua de con-volu¸cão de processos pode ser encontrada em Smith (2001).

(20)

Figura 1.2: A realiza¸cão de um processo estacionário é obtida a partir da convolu¸cão do núcleo normal padrão km(si) e um processo ru´ıdo branco ω(um) de variância 0.01.

Cov[Z(si), Z(sj)] = σ2 Z k(si− u)k(sj− u)du = σ2 Z k(si− sj + δ)k(δ)dδ

que depende somente do vetor da diferen¸ca entre as localiza¸c˜oes ν = si− sj e portanto,

Z(.) ´e estacion´ario.

A equa¸cão (1.4) pode ser utilizada para gerar processos estacionários cujas fun¸cões de correla¸cão podem ser obtidas na sua forma expl´ıcita, utilizando a rela¸cão entre a transformada de Fourier de Cov[si− sj] e a transformada de Fourier do núcleo

k(si − sj). Uma discuss˜ao sobre este tema pode ser encontrada em Kern (2000).

Cabe ressaltar que os ru´ıdos brancos ω(um) podem ser substitu´ıdos por realiza¸c˜oes

de um mesmo processo estacionário definido por um conjunto de parâmetros fixados e ainda assim, o processo Z(.) será estacionário.

Na prática, a versão discreta do modelo (1.4) é utilizada pois a integra¸cão das es-truturas de covariâncias estabelecidas por (1.5) é de dif´ıcil manipula¸cão por métodos

(21)

numéricos. Uma das vantagens atribu´ıdas ao modelo (1.4) é a redu¸cão da dimensionali-dade no problema, quando M é pequeno em rela¸cão ao número de localiza¸cões (Higdon (1998); Kern (2000)).

Calder (2003) estende o modelo discreto de convolu¸cão de processos (1.4) para modelos dinâmicos (West e Harrison, 1997). Isso é feito ao definir componentes de ru´ıdo ωt(um), m = 1, . . . , M , t = 1, . . . , T , evoluindo no tempo.

1.3.2 Processos n˜

ao-estacion´

arios via convolu¸

c˜

ao de processos

com n´

ucleos variando no espa¸

co

No intuito de obter processos não-estacionários, duas diferentes abordagens são moti-vadas a partir de (1.4) e (1.5).

Uma primeira abordagem para processos não-estacionários proposta por Higdon et al. (1999) e Swall (1999) é obtida ao se manterem os processos ru´ıdo branco ω(u), mas serem definidos núcleos ksi(.) que variam de acordo com a localiza¸cão si. O modelo

´

e ent˜ao representado por,

Z(si) =

Z

ksi(u)ω(u)du, (1.8)

onde ksi(.) ´e um n´ucleo de centro si.

De modo que a fun¸cão de covariância do processo é dada por,

Cov[Z(si), Z(sj)] = σ2

Z

ksi(u)ksj(u)du. (1.9)

Uma vez que Cov[Z(si), Z(sj)] depende tamb´em das localiza¸c˜oes de si e sj, o

processo Z(.) é não-estacionário.

Higdon et al. (1999) e Swall (1999) escolhem propositalmente a forma do n´ucleo, ks(.), como a de uma normal bivariada com matriz de covariˆancias Λ(s). Como as

curvas de n´ıvel deste núcleo têm forma de elipse, eles utilizam elementos da equa¸cão de uma elipse (os focos, a área e um fator de expansão) como um modo de parametrizar os elementos da matriz Λ(s). Além disso, eles estabelecem que os focos dessa elipse

(22)

sigam um processo Gaussiano. A varia¸c˜ao dos focos permite que o modelo se ajuste a estruturas complexas dos dados podendo eles exibir um comportamento suave ou n˜ao.

Novamente na prática, a integra¸cão em (1.8) é aproximada pela soma finita,

Z(si) = M

X

m=1

ksi(um)ω(um), (1.10)

sendo portanto a fun¸c˜ao de covariˆancia

Cov[Z(si), Z(sj)] = σ2 M

X

m=1

ksi(um)ksj(um). (1.11)

1.3.3 Processos n˜

ao-estacion´

arios via convolu¸

c˜

ao de processos

localmente estacion´

arios

Nosso trabalho tem como ponto de partida uma outra abordagem baseada na con-volu¸c˜ao de processos, proposta inicialmente por Fuentes e Smith (2001) e Fuentes (2002). Esta abordagem difere da anterior por manter fixo o n´ucleo ku(s) e substituir

o único processo ru´ıdo branco ω(u) por processos espaciais localmente estacionários Wη(u)(s) de média 0 e conjunto de parâmetros da fun¸cão de covariância η(u). Por

exemplo, se Wη(u)(.) representa um processo estacionário com fun¸cão de correla¸cão

exponencial de parˆametros η(u) = (σ2

u, φu), de modo que,

Wη(u)(.) ∼ P G 0, σu2 exp {−φu| si− sj |} .

O modelo não-estacionário é então representado por,

Z(s) = Z

ku(s)Wη(u)(s)du. (1.12)

Fuentes e Smith (2001) resolvem a integral em (1.12) cobrindo a regi˜ao de estudo D por uma grade fina de pontos um, m = 1, . . . , M . Definindo para cada um um

processo Wη(um)(.), os autores assumem que fun¸c˜oes (por exemplo, logar´ıtmica) de cada

um dos parˆametros em η(um) variam no espa¸co segundo processos Gaussianos. Eles

(23)

suaviza¸c˜ao de modo que para pontos si e sj pr´oximos de um, Z(si) e Z(sj) sejam como

realiza¸cões de um mesmo processo estacionário de parâmetros η(um). Deste modo, o

processo observado global é não-estacionário, mas retém localmente caracter´ısticas de um processo estacionário.

Apesar das interessantes considera¸cões teóricas e propriedades deste modelo descrito em Fuentes e Smith (2001), parecem haver problemas práticos na convergência dos parâmetros por considerar a aproxima¸cão da integral por uma grade fina de pontos um (Barber (1999); Banerjee et al. (2004a)). Deste modo, a integral em (1.12) é de

fato aproximada por uma grade de pontos relativamente muito menor ao n´umero de localiza¸c˜oes (Fuentes (2002); Fuentes, Chen, Davis, e Lackmann (2005); Banerjee et al. (2004b)).

Define-se portanto processos localmente estacion´arios Wη(um)(si) = Wm(si), m =

1, . . . , M , satisfazendo Cov[Wm(si), Wm0(s_j)] = 0 para m 6= m0 de modo que assume-se

a vers˜ao discreta de (1.12), Z(si) = M X m=1 km(si)Wm(si). (1.13) ´

E f´acil ver que E[Z(si)] = 0, desde que os processos Wm(si) tem m´edia 0 para

m = 1, . . . , M . Pode-se mostrar tamb´em que,

Cov[Z(si), Z(sj)] = M

X

m=1

km(si)km(sj)Cov[Wm(si), Wm(sj)], (1.14)

e que portanto o processo geral é não-estacionário.

Nesta abordagem, os parâmetros de suaviza¸cão hm dos núcleos km(.), m = 1, . . . , M,

s˜ao escolhidas e fixadas nos menores valores poss´ıveis de modo que a estacionaridade ´

e aproximadamente obtida dentro de cada sub-região. Para isto, as amplitudes dos parâmetros de suaviza¸cão hm são escolhidas em seus menores valores poss´ıveis,

satis-fazendo km(si) > 0 para todo si em D . A proposta apresentada por Banerjee et al.

(2004b) estende o modelo ao substituir os n´ucleos km(si) por pesos ponderados dos

(24)

γm(si) = km(si) PM m0₌₁km0(s_i) ,ou ainda, γm(si) = km(si) q PM m0=1k 2 m0(si) ; (1.15)

e o modelo (1.13) ´e ent˜ao reescrito como,

Z(si) = M

X

m=1

γm(si)Wm(si). (1.16)

Estas duas abordagens apresentadas nos modelo (1.13) e (1.16) que fixam os parˆ ame-tros de suaviza¸cão hm, fazem uma parti¸cão de D similar à utilizada na Tesselagem de

Voronoi. Em outras palavras, o processo não-estacionário é basicamente obtido pela composi¸cão de processos estacionários ao invés de uma mistura destes processos. Como um exemplo, considere uma região D = [0, 100] × [0, 100], com M = 4 centros como dispostos na Figura 1.3. Considere também 40 localiza¸cões (s1, . . . , s40) e pesos

pon-derados (1.15, primeira equa¸cão) definidos a partir de núcleos normais padrão, k(si) = 1

2πexp− 1 2(si)

0_(s

i) , ou seja, núcleos com parâmetros de suaviza¸cão hm = 1. Tomando

como exemplo, a localiza¸c˜ao s37, temos2, k1(s37) = O(10−400), k2(s37) = O(10−311),

k3(s37) = O(10−280), k4(s37) = O(10−139), de modo que γ1(s37)

. = 0, γ2(s37) . = 0, γ3(s37) . = 0, γ4(s37) .

= 1, e portanto, Z(s37) = W4(s37), independente dos valores

ob-servados em cada um dos processos W1(s37), W2(s37) e W3(s37). O mesmo ocorre para

cada uma das outras localiza¸cões que têm somente um peso relevante associado, de modo que são estabelecidas 4 sub-regiões descritas por 4 processos estacionários. As-sim, o processo resultante é globalmente não-estacionário mas retendo uma estrutura local estacionária.

Esta abordagem leva a inversão de matrizes esparsas da dimensão dos dados. A proposta adotada por Kim, Mallick, e Holmes (2006) define processos estacionários independentes em sub-regiões obtidas pela Tesselagem de Voronoi. Neste caso, ma-trizes de dimensão do número de localiza¸cões em cada uma das sub-regiões é que são invertidas, tornando esta abordagem computacionalmente mais atrativa.

2_{Se lim}

(25)

1.4 Justificativa deste trabalho

Este trabalho é focado na extensão do modelo (1.16) por tratar cada um dos parâmetros de suaviza¸cão hmdos núcleos km(.) que definem γm(.), m = 1, . . . , M , como parâmetros

do modelo. Essa abordagem é original uma vez que não estamos propondo um modelo de misturas de processos localmente estacionários (1.13) e (1.16). Nosso modelo assume processos estacionários latentes que se misturam entre si, ponderados por componentes de misturas a serem definidas no próximo cap´ıtulo. Nosso modelo também se difere dos modelos (1.13) e (1.16) por ser não-estacionário não só através dos processos esta-cionários latentes mas também através das componentes de mistura, uma vez que é permitido a elas variarem no espa¸co.

Os procedimentos de inferência e amostragem adotados para os parâmetros pos-sui a vantagem de selecionar automaticamente o número de componentes de misturas envolvidas no problema. Este procedimento evita o uso de algoritmos de saltos re-vers´ıveis (Green, 1985) tornando o procedimento computacional relativamente simples. Exemplos simulados do próximo cap´ıtulo sugerem que mesmo considerando diferentes critérios de mistura dos processos estacionários envolvidos, os procedimentos de in-ferência e amostragem adotados são eficazes na recupera¸cão dos parâmetros utilizados na simula¸cão dos dados.

Este trabalho também se justifica por extender esta nova proposta para processos espaciais não-estacionários em modelos espa¸co-temporais através de uma abordagem de modelos dinâmicos (West e Harrison, 1997) na qual duas propostas são apresen-tadas. A primeira extensão considera uma estrutura dinâmica na média na qual a estrutura espacial não-estacionária dos dados permanece constante ao longo tempo enquanto, a segunda extensão, considera uma estrutura dinâmica na média e uma estrutura dinâmica para a matriz de covariância espacial não-estacionária dos dados.

1.5 Organiza¸

c˜

ao da tese

(26)

No Cap´ıtulo 2 o modelo proposto para processos espaciais não-estacionários é definido e suas propriedades são estabelecidas. Partindo de uma abordagem Bayesiana, o procedimento de inferência e esquema de amostragem são apresentados para os parâmetros que compõem a fun¸cão de covariância do modelo. Dois exemplos simu-lados são apresentados. Estes estudos ilustram como o procedimento de inferência e de amostragem adotados são capazes de identificar corretamente o número de com-ponentes do modelo, descartando aquelas não existentes. Nestes estudos, o modelo proposto é também comparado ao modelo de mistura de processos localmente esta-cionários no que diz respeito à capacidade preditiva destes modelos .

No Cap´ıtulo 3, a fun¸cão de covariância do modelo proposto no Cap´ıtulo 2 é inserida no contexto de dados espa¸co-temporais. Para isso, é utilizada uma abordagem de mode-los dinâmicos para a média do processo (West e Harrison, 1997) na qual é sugerida à matriz de covariâncias das observa¸cões ser não-estacionária. O modelo proposto neste cap´ıtulo considera que esta estrutura de covariância não evolua no tempo. Todo o procedimento de inferência e esquemas de amostragem são apresentados para todos os parâmetros do modelo. Ao final, um exemplo simulado de regressão dinâmica é uti-lizado para exemplifica¸cão. Para os parâmetros de variância dos coeficientes dinâmicos da regressão duas prioris são sugeridas, a Gamma Invertida e a Semi-Cauchy. Além disso, o efeito delas na estimativa a posteriori dos parâmetros é analisada.

O Cap´ıtulo 4 estende o modelo estabelecido no Cap´ıtulo 3 ao permitir que estrutura de covariância não-estacionária evolua no tempo. Isso é feito por definir uma estrutura dinâmica para os parâmetros de suaviza¸cão. Por serem positivos, a distribui¸cão log-normal é utilizada na constru¸cão da estrutura dinâmica desses parâmetros. Essas distribui¸cões são parametrizadas de modo que a cada evolu¸cão no tempo o parâmetro de suaviza¸cão tenha média igual ao valor do parâmetro de suaviza¸cão no tempo anterior. No final do cap´ıtulo um exemplo simulado é utilizado para exemplificar este modelo dinâmico de estrutura de covariância dinâmica.

No Cap´ıtulo 5 é apresentado um estudo das altera¸cões climáticas sofridas no estado do Rio de Janeiro a partir da análise dos dados de temperatura m´ınima mensal de 1961 a 2000. O modelo considerado é baseado em uma especifica¸cão hierárquica onde

(27)

os dados são modelados através de uma estrutura de regressão para a média e um termo de ru´ıdo espacialmente estruturado com uma representa¸cão não-estacionária. Ao final, este modelo é comparado a outros que consideram para o termo espacial, um modelo de mistura de processos localmente estacionários e um único processo espacial estacionário.

O Cap´ıtulo 6 tra¸ca os plano de trabalhos futuros e poss´ıveis extens˜oes para os modelos.

(28)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude 37 u1 u2 u3 u4 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude u1 u2 u3 u4

Figura 1.3: Localiza¸c˜oes de 40 pontos (s1, . . . , s40) de medidas de interesse Z(si) e centros dos

processos localmente estacion´arios (u1, u2, u3, u4) (acima) e como esses pontos s˜ao alocados a cada

uma das sub-regi˜oes (abaixo) a partir dos seus respectivos pesos γm(si), m = 1, . . . , 4. Por exemplo,

(29)

Cap´ıtulo 2

Processos n˜

ao-estacion´

arios via

convolu¸

c˜

ao de processos

estacion´

arios latentes

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo apresentamos uma nova representa¸cão não-estacionária para processos espaciais. O modelo é formalmente definido e suas propriedades são estabelecidas. Partindo de uma abordagem Bayesiana, o procedimento de inferência e esquema de amostragem são apresentados para o conjunto de parâmetros que compõem o modelo. Um estudo simulado é utilizado para mostrar como as estratégias de inferência e de amostragem adotadas selecionam o número correto de misturas envolvidas na constru¸cão do processo espacial não-estacionário. Neste estudo, são comparadas as capacidades preditivas do modelo proposto e modelo de mistura de processos localmente estacionários. Outro estudo é utilizado para mostrar que o modelo proposto é capaz de identificar um processo não-estacionário definido a partir da mistura de processos localmente estacionários.

(30)

2.2 Defini¸

c˜

ao do modelo e suas propriedades

O modelo proposto é introduzido aqui. Considere M sub-regiões em D de centros um, m = 1, . . . , M e para cada uma dessas sub-regiões defina processos estacionários

latentes Wm(.) seguindo um processo Gaussiano de média 0 e fun¸cão de covariância

definida por parâmetros η(um). Os processos Wm(.) são independentes, isto é, para

todo i, j = 1, · · · , n, Wm(si) e Wm0(s_j) s˜ao independentes para todo m 6= m0 e s_i,

sj ∈ D. Seja tamb´em,

γ(si− um) = γm(si)

a componente de mistura associada ao processo Wm(.).

A restri¸c˜ao de idenficabilidade

M

X

m=1

γm(si) = 1, ´e considerada da mesma forma como

em Banerjee et al. (2004b).

Se km(si− um) = km(si) representa uma fun¸cão núcleo, esta restri¸cão é facilmente

satisfeita se as componentes de mistura γm(si) s˜ao definidas como pesos relativos,

γm(si) =

km(si)

PM

m0₌₁km0(s_i)

.

Note que em nossa abordagem, os n´ucleos km(.) dependem de seus respectivos

parˆametros de suaviza¸c˜ao desconhecidos hm. Quanto maior o valor de hm maior a

influˆencia da componente m sobre o processo observado na regi˜ao.

O processo não-estacionário é obtido pela mistura (convolu¸cão) discreta,

Z(s) = M X m=1 γm(s)Wm(s), (2.1) para cada s ∈ D.

A equa¸cão (2.1) fornece uma média ponderada dos processos e pode ser vista como uma generaliza¸cão espacial da estima¸cão dos parâmetros de suaviza¸cão de Nadaraya (1964) e Watson (1964) em modelos de regressão.

(31)

Além disso, é esperado que com uma escolha adequada de componentes, esta re-presenta¸cão finita forne¸ca uma aproxima¸cão representativa da mistura cont´ınua subja-cente,

Z

γu(s)Wu(s)du, (2.2)

como sugerido em Fuentes e Smith (2001). Note que os centros e suas correspondentes regiões de vizinhan¸ca são meramente uma aproxima¸cão para a forma de convolu¸cão infinita. Deste modo, eles não precisam necessariamente estar relacionados a alguma caracter´ıstica local espec´ıfica da região. De fato, eles são um artefato para a apro-xima¸cão finita e as componentes do modelo podem não ter uma interpreta¸cão espacial associadas às suas localiza¸cões espec´ıficas.

Dada estas especifica¸cões do modelo segue que a esperan¸ca, variância e covariância do processo obtido são,

E [Z(si)] = E " _M X m=1 γm(si)Wm(si) # = 0, V ar[Z(si)] = V ar " _M X m=1 γm(si)Wm(si) # = E " _M X m=1 γm(si)Wm(si) #2 = M X m=1 [γm(si)]2V ar[Wm(si)] e

(32)

Cov[Z(si), Z(sj)] = Cov " _M X m=1 γm(si)Wm(si), M X m0₌₁ γm0(s_j)W_m0(s_j) # = E " _M X m=1 γm(si)Wm(si) ! _M X m0₌₁ γm0(s_j)W_m0(s_j) !# = M X m=1 M X m0₌₁ γm(si)γm0(s_j)E [W_m(s_i)W_m0(s_j)] = M X m=1 γm(si)γm(sj)Cov [Wm(si), Wm(sj)] .

A n˜ao-estacionaridade ´e obtida porque os pesos γm(si) podem variar no espa¸co

através de seus parâmetros de suaviza¸cão hm e os processos Wm(.) podem também

variar no espa¸co atrav´es de seus parˆametros η(um) que os definem. Banerjee et al.

(2004a) observam que esta abordagem apresenta algumas similaridades qualitativas com o modelo proposto por Higdon et al. (1999).

O modelo (1.16) proposto por Banerjee et al. (2004b) pode ser visto como um caso especial do modelo (2.1) quando os valores de hm, m = 1, . . . , M , s˜ao pequenos o

suficiente para evitar uma intera¸cão entre as componentes do modelo, definindo assim processos localmente estacionários. Neste caso, se uma localiza¸cão si é mais próxima

do centro um que dos demais centros ent˜ao γm(si) ≈ 1 e γm0(s_i) ≈ 0 para todo

m0 6= m. Ent˜ao Z(si) ≈ Wm(si). O mesmo racioc´ınio pode ser aplicado a todas

as localiza¸cões em D, implicando uma representa¸cão de processo aproximadamente estacionário para todas as localiza¸cões, mas variando no espa¸co uma vez que diferentes localiza¸cões podem estar mais próximas de diferentes centros. Note também que no caso em que M = 1 e h1 é suficientemente grande, γ1(si) = 1 para todo si ∈ D, e

portanto Z(si) = W1(si) define um único processo estacionário em toda região.

Uma poss´ıvel interpreta¸cão para o modelo (2.1) é a seguinte: para todo ponto s ∈ D, o processo observado Z(s) é uma mistura de processos estacionários latentes Wm(s), ponderados por componentes de mistura γm(s). Naturalmente, os parâmetros

η(um) das fun¸cões de covariância Wm(s) estimados não podem ser comparados com os

(33)

o modelo de mistura de processos localmente estacion´arios (1.16). ´

E bastante conhecido o fato de que os parâmetros de suaviza¸cão desempenham um papel mais importante do que a forma do núcleo em modelos de mistura e suavizadores via núcleo (ver por exemplo, Epanechnikov (1969)). O mesmo efeito é válido aqui.

Algumas suposi¸cões a respeito do núcleo e fun¸cão de covariância são agora assumidas para serem consideradas neste cap´ıtulo e cap´ıtulos subsequentes.

Vamos considerar o seguinte n´ucleo Gaussiano,

km(si− um) = 1 2π|Λm| −1 2 exp −1 2(si− um) 0 Λ−1_m (si− um) , (2.3) onde Λm =   h2_m 0 0 h2_m 

e que os processos estacionários de mistura sejam isotrópicos e Gaussianos com variância σ2_m e fun¸cão de correla¸cão espacial de amplitude 1/φm,

para m = 1, . . . , M . Ou seja,

Wm(.) ∼ P G 0, σm2 exp(−φm|si− sj|) , (2.4)

de modo que a fun¸cão de covariância do modelo proposto (2.1) será dada por, Cov[Z(si), Z(sj)] =

PM

m=1γm(si)γm(sj)σm2 exp(−φm|si− sj|).

Note que outras possibilidades mais elaboradas na defini¸cão do núcleo são poss´ıveis, por exemplo, a utiliza¸cão de núcleos Gaussianos anisotrópicos correlacionados como em Higdon et al. (1999) ou núcleos mais gerais como os estabelecidos em Paciorek e Schervish (2006). Note também que outras diferentes fun¸cões de correla¸cão para os processos estacionários latentes poderiam ser consideradas.

2.3 Inferˆ

encia

2.3.1 Introdu¸

c˜

ao

Sejam as observa¸c˜oes ao longo do tempo denotadas por Z = (Z0₁, . . . , Z0_T)0, onde Zt = (Zt(s1), . . . , Zt(sn))0. Dadas as especifica¸c˜oes em (2.3) e (2.4), σ = (σ1, . . . , σM)

(34)

e φ = (φ1, . . . , φM) representam os parâmetros das fun¸cões de covariância dos processos

Wm(.) e h = (h1, . . . , hM) os parâmetros de suaviza¸cão que compõem as componentes

de mistura γm(.) O conjunto de parˆametros a serem estimados ´e Θ = (σ, φ, h). Vamos

supor inicialmente que as observa¸c˜oes Zt, t = 1, . . . T s˜ao independentes para t 6= t0 e

que a estrutura espacial n˜ao-estacion´aria seja a mesma para todos os tempos,

Z|Θ ∼ N (0, Ω ⊗ IT), (2.5)

onde Ω = PM

m=1σ 2

mAmR(φm)Am, Am = diag(γm(s1), . . . , γm(sn)) , [R(φm)]i,j =

exp(−φm|si − sj|) e In é a matriz identidade n-dimensional. Esta especifica¸cão é

tal que (2.5) pode ser facilmente incorporado a um modelo mais geral, como um ru´ıdo espacialmente estruturado n˜ao-estacion´ario.

A partir de cada uma das amostras observadas Zt = (Zt(s1), . . . , Zt(sn))0 o objetivo

´

e interpolar Zt(.) n˜ao observado em localiza¸c˜oes (sn+1, . . . , sn+k). As respostas n˜

ao-observadas nessas localiza¸c˜oes, Zno_t = (Zt(sn+1), . . . , Zt(sn+k))0 no tempo t s˜ao obtidas

atrav´es de E[Zno_t |Zt].

2.3.2 Verossimilhan¸

ca

Dado o conjunto de observa¸cões Z = (Z0₁, . . . , Z0_T)0 e Θ = (σ, φ, h) o conjunto de todos os parâmetros do modelo, a fun¸cão de verossimilhan¸ca é dada por,

p(Z | Θ) ∝ T Y t=1 | Ω |−12 exp −1 2Z 0 tΩ −1 Zt (2.6) ∝ | Ω |−T2 exp ( −1 2 T X t=1 Z0_tΩ−1Zt ) .

2.3.3 Distribui¸

c˜

oes a Priori e a Posteriori

(35)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 30 p(Θ) = p(σ)p(φ)p(h) = M Y m=1 p(σm)p(φm)p(hm).

Embora pare¸ca razoável, na ausência de informa¸cão a priori relevante, assumir pri-oris Gama e Gama-Invertida pouco informativas para aos parâmetros de suaviza¸cão, variâncias e amplitudes, estudos pilotos simulados mostraram que estas distribui¸cões tiveram impacto na posteriori desses parâmetros. Berger, Oliveira, e Sansó (2001) con-sideram o uso de prioris de referência para estes parâmetros quando se tem um único processo Gaussiano isotrópico definido para toda região. Em nosso caso, o exerc´ıcio de obter estas prioris é complicado pois estamos definindo um processo não-estacionário como mistura de diferentes processos Gaussianos. Além disso, esta mistura também considera parâmetros de suaviza¸cão dos núcleos a serem estimadas. Algumas outras distribui¸cões alternativas foram testadas, mas bons resultados foram geralmente obti-dos com distribui¸cões a priori semi-Cauchy (half-Cauchy) sugeridas por Gelman (2006). Se κ é um dado parâmetro com distribui¸cão semi-Cauchy, então sua densidade é pro-porcional a p(κ) ∝ 1 +κ c 2−1 , (2.7)

se κ > 0 e 0, caso contr´ario.

A Figura 2.1 mostra como essa priori se comporta para diferentes valores do parˆametro de escala c.

Gelman (2006) sugere o uso dessas prioris para o parâmetro desvio-padrão e não para a variância para evitar distribui¸cões a posteriori impróprias.

Um cuidado especial deve ser tomado para a especifica¸cão a priori dos parâmetros de suaviza¸cão hm.

(36)

Seja s − um = (xm, ym). Ent˜ao, para todo m, γm(s) = km(s) PM m0₌₁km0(s) = 1 2πh2 m exp n − 1 2h2 m[x 2 m+ ym2] o PM m0₌₁ _2πh12 m0 exp n − 1 2h2 m0 [x2 m0 + y_m20] o = 1 2πh2 mexp n − 1 2h2 m [x 2 m+ y2m] o 1 2πh2 mexp n − 1 2h2 m[x 2 m+ ym2] o + c

Segue diretamente que limhm→∞γm(s) = 0 e que limhm→0γm(s) = 0. Esses c´alculos

mostram que γm(s) → 0 quando hm → ∞ e γm(s) → 0 quando hm → 0. Assim, a

verossimilhan¸ca perfilada de hm(que depende de hmsomente atrav´es de Ω, que depende

de hm somente atrav´es de γm(s)) converge para o mesmo valor se hm converge para 0

ou infinito. Ou seja, se L(hm; Y , Θ−hm) representa a verossimilhan¸ca perfilada de hm,

lim

hm→∞

L(hm; Y , Θ−hm) = lim

hm→0

L(hm; Y , Θ−hm). (2.8)

Deste modo, os parâmetros de suaviza¸cão devem ser adicionalmente restritos a um suporte finito a fim de se verificar a possibilidade de sua convergência para 0. Se isto acontece, esta componente de mistura é desnecessária e pode ser removida do modelo. Esta observa¸cão fornece um procedimento simples para determina¸cão do número de componentes. Um exerc´ıcio simulado na próxima se¸cão e outro no cap´ıtulo 5 fornecerão maiores evidências da adequa¸cão desta abordagem. Neste caso, outras alternativas complexas para estimar o número desconhecido de componentes são evitadas.

Os centros das componentes de mistura são alocados em torno da região de interesse a fim de cobri-la adequadamente. Considera¸cões espec´ıficas sobre as caracter´ısticas locais das sub-regiões podem ser utilizadas também. Elas podem, mas não necessaria-mente precisam ser interpretadas em associa¸cão com os aspectos f´ısicos locais. De fato, eles são utilizados na inten¸cão de se fazer uma aproxima¸cão adequada da representa¸cão espacial infinitamente dimensional. Os centros são assumidos fixados neste trabalho mas podem também ser estimados como em Fuentes, Chaudhuri, e Holland (2007).

(37)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 32 0 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 σσm Densidade c=25 c=10 c=5

Figura 2.1: Densidades proporcionais de uma distribui¸cão Semi-Cauchy para três diferentes valores da constante c = 5, 10, 25. A distribui¸cão apresenta cauda pesada e sugere prioris pouco informativas.

A combina¸cão das especifica¸cões a priori acima com a verossimilhan¸ca (2.6) fornece a distribui¸cão a posteriori pelo teorema de Bayes,

p(Θ | Z) ∝ | Ω |−T2 exp ( −1 2 T X t=1 Z0_tΩ−1Zt ) _M Y m=1 p(σm)p(φm)p(hm). (2.9)

Como usualmente ocorre em modelos com este grau de complexidade, é dif´ıcil ex-trair informa¸cões analiticamente e algum mecanismo de aproxima¸cão deve ser uti-lizado. Dentre as poucas alternativas dispon´ıveis, um algoritmo MCMC h´ıbrido com amostrador de Gibbs (ver cap´ıtulo 5), passos de Metropolis-Hastings e slice sampling foi escolhido. No restante do texto que segue, Θ−ξ denota o vetor completo de parâmetros

sem seu componente ξ.

2.4 Aspectos computacionais

(38)

p(σm | Θ−σm) ∝ | Ω | −T 2 exp ( −1 2 T X t=1 Z0_tΩ−1Zt ) p(σm). (2.10) p(φm | Θ−φm) ∝ | Ω | −T 2 exp ( −1 2 T X t=1 Z0_tΩ−1Zt ) p(φm). (2.11) p(hm | Θ−hm) ∝ | Ω | −T 2 exp ( −1 2 T X t=1 Z0_tΩ−1Zt ) p(hm). (2.12)

Cada um dos parˆametros σm, φm, m = 1, . . . , M ´e amostrado individualmente por

passos de Metropolis. Por aproveitarem da mesma estrutura da fun¸cão de verossimi-lhan¸ca e terem distribui¸cão a priori semi-Cauchy, os passos de amostragem de cada um dos parâmetros σm e φm, m = 1, . . . , M no algoritmo MCMC são parecidos. O quadro

abaixo apresenta como exemplo, como um elemento σm pode ser amostrado.

Algoritmo: Metropolis-Hastings para σm, m = 1, . . . , M .

A cada passo da itera¸c˜ao i + 1 do algoritmo de Metropolis-Hastings,

• Gere cada componente σ(p)m proposto, a partir de uma proposta de transi¸c˜ao

Gama-Invertida (GI) com m´edia σm(i) e variˆancia σ

2(i) m ∆σm, σ_m(p) ∼ GI∆σm+ 2, σ (i) m(∆σm+ 1) .

• Aceite σm(p) com probabilidade,

B(σ_m(i), σ(p)_m ) = min ( 1,p(σ (p) m | Θ(i)−σm)q(σ (p) m → σm(i)) p(σ(i)m | Θ(i)−σm)q(σ (i) m → σ(p)m ) )

onde q(.) é a densidade da proposta de transi¸cão e p(.) é fornecida pela equa¸cão (2.10).

Amostrar os parˆametros de suaviza¸c˜ao hm eficientemente requer utilizar outra

(39)

deles vai para 0 o que implicaria na remo¸c˜ao deste componente do modelo. O algoritmo slice sampling proposto por Neal (2003) ´e utilizado com este fim. Agarwal e Gelfand (2005) utilizam este algoritmo no contexto espacial e relatam as vantagens sobre os esquemas de reamostragem e Metropolis.

O quadro abaixo apresenta como exemplo, como um elemento hmpode ser amostrado.

Algoritmo: Slice Sampling para hm, m = 1, . . . , M .

• Amostre aleatoriamente h(1)m da distribui¸c˜ao uniforme [0, R] e um ponto S da

distribui¸c˜ao uniforme h0, L(Θh(1)m _{; Y )}

i

, onde L(Θh(1)m _{; Y ) ´}_{e a verossimilhan¸ca de}

h(1)m e valores correntes dos outros parˆametros.

• O ponto S define um slice horizontal na fun¸cão de verossimilhan¸ca. Um novo ponto h(2)m é amostrado da distribui¸cão condicional completa de hm até que ele

esteja dentro do slice.

Maiores detalhes técnicos que tornam o uso deste algoritmo viável como a utiliza¸cão de um esquema de amostragem com retra¸cão (shrinkage sampling scheme) e o uso do algoritmo na escala logar´ıtmica podem ser encontrados em Neal (2003) e Agarwal e Gelfand (2005).

Nossa abordagem consiste em definir suportes iniciais [0, R] de amplitudes largas em rela¸cão à região de estudo para todos os parâmetros de suaviza¸cão hm. Se um dado

parâmetro de suaviza¸cão não converge, indo para R, o algoritmo é reinicializado para um novo e menor suporte [0, R1], onde R1 < R, para este parâmetro de suaviza¸cão. Esta

estratégia fornece bons resultados em exerc´ıcios simulados, como descrito na próxima se¸cão, provendo indica¸cões claras da relevância de um dado componente adicionado ao modelo. Ela também evita o uso de algoritmos de saltos revers´ıveis (Green, 1985) para determinar o número de componentes tornando o procedimento computacional relativamente simples.

(40)

2.4.1 Interpola¸

c˜

ao

As respostas n˜ao-observadas Zno_t = (Zt(sn+1), . . . , Zt(sn+k))0para localiza¸c˜oes (sl, . . . , sl+k)

no tempo t são obtidas através de E[Zno_t |Zt], onde Znot |Zt representa a distribui¸cão

preditiva, cuja densidade ´e dada por

onde p(Zno_t |Zt, Θ) tem distribui¸c˜ao condicional normal surgindo da distribui¸c˜ao normal

conjunta de Zno_t e Zt, e por último Θ(1), . . . , Θ(G) são amostras da distribui¸cão a

posteriori p(Θ|Zt) obtidas pelo algoritmo MCMC descrito. Cabe observar tamb´em

que E[Zno_t |Zt] e V ar[Znot |Zt] podem ser obtidos pelas aproxima¸c˜oes:

E(Zno_t |Zt) = E [E(Znot |Zt, Θ)] ≈ 1 G G X g=1 E Zno_t |Zt, Θ(g)

V ar(Zno_t |Zt) = E [V ar(Znot |Zt, Θ)] + V ar [E(Znot |Zt, Θ)]

2.5 Simula¸

c˜

oes

Dois diferentes estudos simulados são considerados nesta se¸cão. Estes estudos servem para ilustrar as vantagens obtidas quando os parâmetros de suaviza¸cão das com-ponentes de mistura são estimadas no modelo. Em ambos os estudos foram con-sideradas n = 30 localiza¸cões (s1, . . . , s30) em D = [0, 100] × [0, 100] e 5 centros

(41)

(u1, u2, u3, u4, u5). Os valores dos parâmetros da fun¸cão de covariância dos

proces-sos estacion´arios de m´edia 0 foram, σ2₁ = 1.0, σ₂2 = 5.0, σ₃2 = 2, σ₄2 = 3, σ2₅ = 0.5 e φ1 = 0.040, φ2 = 0.015, φ3 = 0.025, φ4 = 0.020, φ5 = 0.030). A partir desse conjunto

de parˆametros e valores fixados, T = 200 realiza¸c˜oes independentes foram geradas, (Z0₁, . . . , Z0₂₀₀)0, onde Zt= (Zt(s1), . . . , Zt(s30))0.

Os algoritmos de estima¸cão dos parâmetros utilizado em todos os exemplos e si-mula¸cões deste trabalho, foram implementados no programa Ox; as simula¸cões e análise dos dados feitas no R.

2.5.1 Estudo 1

Neste primeiro estudo, supomos observa¸cões de um processo não-estacionário definido a partir da mistura de cinco processos estacionários. Entretanto, para um destes pro-cessos, a componente de mistura é gerada a partir de parâmetro de suaviza¸cão próximo de 0. Isto significa na realidade que apenas quatro destes processos são utilizados para gerar os dados. Nossos interesses neste estudo são: 1) mostrar como o procedimento de amostragem para o modelo proposto é capaz de diferenciar o parâmetro de suaviza¸cão próximo de 0. Neste caso, isso implica que esta componente se faz desnecessária no modelo e deve ser removida; 2) Comparar a capacidade preditiva em termos da média e variância do modelo proposto (modelo I) com o modelo de misturas de processos localmente estacionários (modelo II) considerando os mesmos cinco centros e com o modelo de misturas de processos localmente estacionários (modelo III) considerando os quatro centros que de fato possuem pesos associados.

Os dados foram gerados a partir dos parˆametros de suaviza¸c˜ao h1 = 0.01, h2 =

30, h3 = 20, h4 = 40, h5 = 15. A Figura 2.2 apresenta as curvas de n´ıvel das

compo-nentes de mistura γ1(.), γ2(.), γ3(.), γ4(.) e γ5(.) que s˜ao observadas ao considerarmos

estas componentes para o vetor h. Esta especifica¸c˜ao faz com que a correla¸c˜ao obser-vada nos dados varie de 0.004 a 0.7989.

Modelo I

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0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 γγ1 longitude latitude u1 u2 u3 u4 u5 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 γγ2 longitude latitude u1 u2 u3 u4 u5 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 γγ3 longitude latitude u1 u2 u3 u4 u5 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 γγ4 longitude latitude u1 u2 u3 u4 u5 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 γγ5 longitude latitude u1 u2 u3 u4 u5 0.2 0.4 0.6 0.8

Figura 2.2: Curvas de n´ıvel de cada uma das componentes de mistura γ1(.), γ2(.), γ3(.),γ4(.) e

γ5(.) em D. As curvas fornecem uma idéia da influência de cada componente nas observa¸cões Zt(si).

de 0 a 100 para cada um dos 5 parâmetros de suaviza¸cão hm considerados. Este é

um limite bastante elevado, uma vez que maxmhm = 40. As distribui¸c˜oes a priori

Semi-Cauchy foram assumidas com c = 30. A Figura 2.3 apresenta a verossimilhan¸ca perfilada para cada hm, onde a concentra¸c˜ao em torno de 0 somente ´e observada para a

componente no. 1. A Figura 2.4 apresenta os tra¸cos para os 5 parâmetros de suaviza¸cão. Ela mostra que embora os parâmetros que influenciam no processo observado sejam bem estimados a distribui¸cão para h1 se acumula no limite superior do intervalo.

Ou-tras exemplos simulados mostram que nem sempre os parâmetros de suaviza¸cão que influenciam o processo observado são bem estimadas quando um destes parâmetros não converge (veja o exemplo simulado do cap´ıtulo 5). De qualquer maneira há uma indica¸cão de problemas de convergência e a discussão da se¸cão anterior já indicava que isto poderia indicar h1 concentrado em torno de 0. O algoritmo de amostragem foi

reiniciado com um suporte mais curto [0, 15], somente para h1. A Figura 2.5 mostra

que todas as distribui¸cões dos parâmetros de suaviza¸cão ficam concentradas em torno de seus verdadeiros valores, incluindo h1 que se concentra em torno de 0. Isto indica

(43)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 38 0 50 100 150 200 −1550 −1450 −1350 −1250 h1 log(Verossimilhança) 0 50 100 150 200 −1550 −1450 −1350 −1250 h2 log(Verossimilhança) 0 50 100 150 200 −1500 −1400 −1300 h3 log(Verossimilhança) 0 50 100 150 200 −1550 −1450 −1350 −1250 h4 log(Verossimilhança) 0 50 100 150 200 −1700 −1600 −1500 −1400 −1300 h5 log(Verossimilhança)

Figura 2.3: Log das fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perfilada para h1, h2, h3, h4 e h5.

iteração h1 0 1000 2000 3000 4000 5000 40 50 60 70 80 90 100 iteração h2 0 1000 2000 3000 4000 5000 30 40 50 60 70 iteração h3 0 1000 2000 3000 4000 5000 20 40 60 80 iteração h4 0 1000 2000 3000 4000 5000 30 40 50 60 70 80 90 100 iteração h5 0 1000 2000 3000 4000 5000 20 30 40 50 60 70 80

Figura 2.4: Tra¸cos do slice sampling para hm, m = 1, . . . , 5 e verdadeiros valores (linha horizontal)

considerando o suporte [0, 100] for h1.

O Algoritmo é reiniciado excluindo a componente 1. A Tabela 2.1 confirma o achado visual da Figura 2.5 para os outros parâmetros do modelo. Quando os parâmetros de

(44)

iteração h1 0 1000 2000 3000 4000 5000 0 2 4 6 8 iteração h2 0 1000 2000 3000 4000 5000 20 30 40 50 60 70 80 iteração h3 0 1000 2000 3000 4000 5000 20 30 40 50 60 70 80 iteração h4 0 1000 2000 3000 4000 5000 30 40 50 60 70 80 iteração h5 0 1000 2000 3000 4000 5000 20 40 60 80 100

Figura 2.5: Tra¸cos do slice sampling para hm, m = 1, . . . , 5 e verdadeiros valores (linha horizontal)

considerando o suporte [0, 15] para h1.

suaviza¸cão e número de componentes são corretamente estimados, todos os parâmetros podem ser identificados e eles são bem estimados.

Modelo II

Para obter as estimativas do modelo II cada um dos valores de hm ´e fixado como

igual a 1. Este valor gera automaticamente 5 processos que s˜ao localmente esta-cion´arios. A Tabela 2.2 fornece as estimativas obtidas para σ_m2 e φm, m = 1, . . . , 5.

Modelo III

O modelo III difere do modelo II no fato de que somente as componentes 2, 3, 4 e 5, que de fato possuem pesos associados ao processo observado, são consideradas. Este novo esquema gera 4 processos que são localmente estacionários. A Tabela 2.3 fornece as estimativas obtidas para σ2

m e φm, m = 2, . . . , 5.

Compara¸c˜ao dos modelos As estimativas de σ2

m e φm obtidas pelo modelo I (Tabela 2.1) n˜ao podem ser

(45)

Tabela 2.1: Valores estimados de parˆametros `a posteriori para o Modelo I e seus respectivos intervalos de credibilidade de 95%.

Parˆametros Verdadeiros valores M´edias a posteriori I.C. 95 %

σ₂2 5.0 4.7 (4.1, 5.2) σ2 3 2.0 2.2 (2.0, 2.5) σ2 4 3.0 3.1 (2.5, 3.6) σ₅2 0.5 0.5 (0.4, 0.6) φ2 0.015 0.015 (0.013, 0.018) φ3 0.025 0.021 (0.018, 0.025) φ4 0.020 0.019 (0.016, 0.024) φ5 0.030 0.031 (0.026, 0.038)

Tabela 2.2: Valores estimados de parˆametros `a posteriori para o Modelo II e seus respectivos intervalos de credibilidade de 95%.

Parˆametros M´edias a posteriori I.C. 95 %

σ2₁ 1.2 (1.0, 1.4) σ2₂ 2.4 (2.1, 2.7) σ2 3 1.6 (1.4, 1.9) σ2₄ 1.8 (1.6, 2.1) σ2 5 0.4 (0.4, 0.5) φ1 0.025 (0.0203, 0.030) φ2 0.018 (0.015, 0.022) φ3 0.023 (0.018, 0.027) φ4 0.033 (0.028, 0.039) φ5 0.033 (0.028, 0.039)

(46)

Tabela 2.3: Valores estimados de parˆametros `a posteriori para o Modelo III e seus respectivos intervalos de credibilidade de 95%.

Parˆametros M´edias a posteriori I.C. 95 %

σ₂2 2.3 (2.0, 2.6) σ2 3 1.6 (1.4, 1.8) σ2 4 1.7 (1.5, 1.9) σ₅2 0.4 (0.4, 0.5) φ2 0.017 (0.015, 0.020) φ3 0.024 (0.020, 0.028) φ4 0.021 (0.018, 0.025) φ5 0.033 (0.029, 0.038)

estimativas destes parâmetros, obtidas pelos modelos II e III revelam o grau de n˜ ao-estacionaridade do processo global e podem ser interpretadas, pois cada uma delas corresponde a uma distinta sub-região de estacionaridade. Os parâmetros estimados pelo modelo I não podem ser interpretados dada a misturas dos processos pelas com-ponentes de mistura.

Uma vez que estamos tratando de um estudo simulado, conhecemos a verdadeira dis-tribui¸c˜ao condicional [Zno

t |Zt] e podemos comparar diretamente a esperan¸ca e variˆancia

condicionais E[Zno_t |Zt] e V ar[Znot |Zt] com suas respectivas estimativas obtidas pelos

modelos I, II e III. Para isto, observa¸c˜oes geradas em 256 pontos de uma grade regular foram geradas e guardadas para compara¸c˜ao.

A Figura 2.6 apresenta os verdadeiros valores de E[Zno_t |Zt] no tempo t = 10 e os

valores interpolados para estes pontos obtidos a partir das equa¸cões descritas na sub-se¸cão 2.4.1. É n´ıtido observar que as estimativas obtidas pelo Modelo I são superiores, `

as obtidas pelos modelos II e III. De fato, a soma dos res´ıduos quadrados s˜ao 0.019 (modelo I), 3.733 (modelo II) e 7.539 (modelo III). O mesmo cen´ario ocorre para outros diferentes valores de t.

(47)

Modelos de convolu¸c˜ao para dados espa¸co-temporais 42 −1 0 1 2 3 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude −1 0 1 2 3 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude −1 0 1 2 3 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude −1 0 1 2 3 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude

Figura 2.6: Verdadeira esperan¸ca condicionalE[Zno₁₀|Z10](acima e `a esquerda) no tempo t = 10

e suas estimativas fornecidas pelo Modelo I (acima e à direita), Modelo II (abaixo e à esquerda) e Modelo III (abaixo e à direita).

apresenta estes verdadeiros valores e os valores interpolados para estes pontos obtidos no tempo t = 10. Os gráficos revelam que o modelo I recupera estas variâncias, enquanto que os outros modelos fornecem estimativas que sobreestimam ou subestimam estes valores em algumas regiões. A soma dos res´ıduos quadrados das variâncias são 0.02 (modelo I), 5.64 (modelo II) e 5.94 (modelo III).

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 longitude latitude

Figura 2.7: Verdadeira variância condicionalV ar[Zno|Z](acima e à esquerda) e suas estimativas fornecidas pelo Modelo I (acima e à direita), Modelo II (abaixo e à esquerda) e Modelo III (abaixo e `

a direita) no tempo t = 10.

pelos modelos II e III acabam por influenciar na capacidade de interpola¸c˜ao real dos dados. Por exemplo, considere o ponto se = (53.3, 46.7). A Figura 2.8 apresenta os

valores verdadeiros observados de Zt(se) para t = 1, . . . , 200 (em ordem crescente),

contra as estimativas da média e respectivos intervalos de credibilidade de 95%. A qualidade dos intervalos de confian¸ca e valores preditos obtidos pelo modelo I são notavelmente superiores àqueles obtidos pelos modelos II e III. O tamanho médio dos intervalos para o Modelo I (4.39) é menor quando comparado ao tamanho dos