OPERAÇÃO ÓTIMA DE SISTEMA URBANO DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA. Antonio Marozzi Righetto 1

10/05/02(1) _{Professor Visitante da UFRN, programa de pós-graduação em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental;} LARHISA/CT/UFRN CEP 59072-970 Natal, RN. righetto@ct.ufrn.br

OPERAÇÃO ÓTIMA DE SISTEMA URBANO DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

Antonio Marozzi Righetto1

Resumo - Este trabalho tem por objetivo apresentar uma metodologia para se alcançar a operação

ótima de sistemas de distribuição de água, envolvendo parâmetros relacionados com o consumo de energia, confiabilidade operacional, satisfação quanto ao atendimento da demanda e controle das pressões nodais. O modelo computacional é composto dos modelos hidráulico e de otimização. O modelo hidráulico é baseado no das características para escoamentos transitórios e o modelo de otimização baseado em algoritmo genético. Cinco parâmetros ou índices foram usados para avaliar a performance das regras operacionais ao longo de 24 horas de funcionamento do sistema: índice de consumo de energia, índice de nível d’água de reservatório, índice de atendimento de demanda, índice de adequação da pressão média e índice de mudanças operacionais. O modelo foi aplicado a um sistema fictício simples a fim de ilustrar o procedimento proposto para a determinação das regras operacionais desejadas.

Abstract - The aim of this presentation is to provide insights into the important problem of

operational rules optimisation of real water distribution system by focusing optimal performance parameters related to the minimal energy consumption, maximum reliability, maximum demand satisfaction and the minimization of leakage through avoiding high nodal pressure distribution. To achieve this objective, a combined hydraulic and optimisation model is developed based on the method of characteristics, genetic algorithm with optimal ranking fitness, and parameters for obtaining the desirable operation rule, stated in hourly values of decision variables. The hydraulic model is based on the unsteady flow equations in a pressurized pipeline and their discretization by the Method of Characteristics. The optimisation procedure follows the well-established Genetic Algorithm operators. Five distinct parameters or indices were used to measure the performance of a given operational rule in a 24-hour period: the total energy expenditure index, the tank water level index, the average delivery discharge index, the average pressure adequacy index and operating switch index. The simulation-optimisation model is applied to a relatively simple network to illustrate the proposed procedures to determine the desirable operational rules.

INTRODUÇÃO

Um sistema de distribuição de água urbano eficiente deve ser operado no horizonte diário com o menor gasto com energia elétrica e de manutenção, fornecendo em cada nó da rede de distribuição de água as demandas de consumo com pressões desejadas. Além disso, o sistema de distribuição deve ser confiável no sentido de permitir o suprimento de água em condições anormais ocasionadas por avarias em elementos do sistema.

Na busca de se alcançar maiores eficiências para os sistemas de distribuição de água, novas técnicas hidráulicas associadas a algoritmos de otimização estão sendo desenvolvidas no sentido de se introduzir conceitos de confiabilidade no estabelecimento das regras operativas dos sistemas de distribuição de água.

Mudanças na bem estabelecida prática de engenharia referente ao projeto de redes de distribuição de água vêm ocorrendo de forma surpreendente, influenciadas pelos sistemas modernos de gerenciamento e facilidades computacionais. Redes de médio e grande porte são estudadas, projetadas e operadas com base numa eficiência global, envolvendo importantes questões tais como confiabilidade, distribuição de pressões e demandas, consumo de energia, qualidade das águas nos pontos nodais, minimização de perdas de água, transitórios indesejáveis etc. Nessa abordagem global, questões de eficiência numérica são associadas à obtenção de respostas às questões complexas operacionais, o que impulsiona os pesquisadores a desenvolverem técnicas numéricas apropriadas que permitam resolver problemas específicos ou gerais, de alta complexidade. Assim, por exemplo, a análise da confiabilidade de uma rede de distribuição com acentuação de malhas ou paralelismo de adutoras pode eventualmente ser mais bem analisada com a técnica clássica de Hardy-Cross ou algoritmos orientados a redes malhadas como o apresentado por Gofman e Radeh, 1981. Entretanto, em problemas relativos a operação de sistemas de distribuição contendo várias estações elevatórias e válvulas reguladoras, o Método das Características apresenta uma excelente performance para simular em condições quase permanente a dinâmica do sistema de distribuição.

Técnicas de otimização vêm sendo tradicionalmente usadas no dimensionamento de redes objetivando o mínimo custo. A conexão entre o modelo hidráulico e o modelo de otimização deve ser cuidadosamente elaborada no sentido de dar transparência ao modelo de forma a facilitar a introdução de inequações restritivas e facilitar a obtenção dos valores da função objetivo nos sucessivos passos requeridos pelo otimizador. Com a ampliação dos objetivos de análise de uma rede de distribuição, o algoritmo de otimização deve ser escolhido de forma a facilitar o seu uso e ao mesmo tempo, permitir a análise de problemas complexos, envolvendo critérios de múltiplos objetivos. Apesar dos otimizadores baseados em cálculos de gradientes serem altamente eficientes, tornam-se complicados quando utilizados em problemas complexos com múltiplos objetivos envolvendo funções-objetivo não lineares.

Recentemente, algoritmos baseados em processo aleatório de busca vêm sendo empregados com sucesso em um grande número de problemas de recursos hídricos, abrindo fronteiras quanto ao seu uso devido á facilidade de aplicação e praticamente a ilimitada condição de uso. É um modelo de otimização que possibilita a introdução de regras heurísticas assim como a associação com algoritmos numéricos clássicos de otimização. O algoritmo genético (AG), é um algoritmo de busca baseado na seleção natural e na genética de evolução populacional, e especialmente adequado para tratar com problemas de redes. Tem a vantagem sobre as demais técnicas quanto ao aspecto de analisar diretamente uma população de soluções factíveis, e através de um aprimoramento de populações sucessivas, chegar-se a soluções com alta performance quanto aos critérios multiobjetivos definidos pelo problema. Além disso, as funções-objetivo são usadas diretamente sem a necessidade de outras informações tais como considerações sobre existência, continuidade e restrições necessárias nos otimizadores baseados em cálculos de gradientes [Golderg, 1989;

Simpson et al., 1994]. Grande número de aplicações do AG em problemas de recursos hídricos

demonstra a sua adequação quanto à obtenção de solução senão a ótima pelo menos com grande performance quanto aos critérios multiobjetivos impostos.

Este trabalho tem por objetivo apresentar uma metodologia para se alcançar a operação ótima de sistemas de distribuição de água, envolvendo parâmetros relacionados com o consumo de energia, confiabilidade operacional, satisfação quanto ao atendimento da demanda e controle das pressões nodais. O modelo computacional é composto dos modelos hidráulico e de otimização. O modelo hidráulico é baseado no das características para escoamentos transitórios e o modelo de otimização baseado em algoritmo genético. Cinco parâmetros ou índices são usados para avaliar a performance das regras operacionais ao longo de 24 horas de funcionamento do sistema de distribuição de água: índice de consumo de energia, índice de nível d’água de reservatório, índice de atendimento de demanda, índice de adequação da pressão média e índice de mudanças operacionais. O modelo é aplicado a um sistema fictício simples a fim de ilustrar o procedimento proposto para a determinação das regras operacionais desejadas.

METODOLOGIA

A formulação apresentada a seguir é composta de um simulador hidráulico baseado no método das características (MC) e de um otimizador baseado em algoritmo genético (AG). O sistema físico é composto de uma rede de adutoras, nós de consumo, estações elevatórias, reservatórios e válvulas reguladoras. Objetiva-se encontrar regras operacionais horárias satisfatórias quanto aos índices de performance do sistema.

A rede de distribuição é definida pelo número total de nós de consumo, mno; de trechos, mlk;

de estações elevatórias, mps; de reservatórios mtk, de válvulas de controle mva e de conexões entre

trechos e nós, isto é, trechos ilk=1,2,..., mlk, conectados diretamente aos nós j1(ilk) e j2(ilk). Cada

trecho é caracterizado por uma tubulação de diâmetro D(ilk), comprimento L(ilk), e coeficiente de

perda de carga f(ilk). Cada nó de consumo, ino, tem uma determinada elevação, z(ino) e conectada a

m(ino) trechos, os quais são especificados pelas relações i1(ino ,i), i=1,2,...,m(ino). Cada estação

elevatória ips=1,2,...,mps tem um número máximo de idênticas moto-bombas Nmax(ips) e valores

discretos de velocidade rotacional R(ips, irps), irps=1,2,...,m(ips). Caso alguma estação elevatória tenha

tipos diferentes de moto-bombas, o modelo subdivide a estação elevatória em grupos de bombas com características hidráulicas idênticas. Cada reservatório itk=1,2,...,mtk é caracterizado pela

relação da área de uma seção horizontal com a elevação, Atk(itk, iztk), iztk=1,2,...,mztk com iztk=1

correspondendo ao mínimo nível d’água do reservatório Htk,min(itk), e iztk=mzyk indicando o nível

máximo Htk,max(itk).

As principais variáveis cujos valores são calculados pelo modelo MC são: A descarga em cada nó ino no tempo it=1,2,...,mt denotado por Q(ino, it); a carga piezométrica H(ino, it), a vazão de

adução em um certo trecho q(ilk, it), e o nível d’água de um reservatório Htk(itk, it). mt é o número de

intervalos de tempo utilizado na simulação da operação do sistema de distribuição. Os seguintes vetores e matrizes são utilizados para simplificar a notação: Q(it)=[Q(ino,it), ino=1,2,...,mno];

H(it)=[H(ino,it), ino=1,2,...,mno]; q(it)=[q(ilk,it), ilk=1,2,...,mlk]; Htk(it)=[Htk(itk, it), itk=1,2,...,mtk];

SH(it)=[Q(it), H(it), q(it), Htk(it)]T; SH,total=[SH(it), it=1,2,...,mt] em que o símbolo T denota

transposta. T.

As variáveis de decisão consideradas no modelo são as seguintes: número de bombas em operação em cada estação elevatória ips durante o período de tempo t, denotado por N(ips, it); a

velocidade rotacional das bombas R(ips, it); a condição de abertura das válvulas de controle de vazão

iva=1,2,...,mva denotada por V(iva, it). Nesta apresentação, considerou-se apenas a condição de

válvula totalmente aberta (V= 1) ou totalmente fechada (V= 0).

Nos procedimentos de otimização, mg gerações de populações são construída e denotadas

por ig=1,2,...,mg. Cada geração tem uma população constituída de of mop regras operacionais; a regra

operacional iop da população ig é denotada por Sop(ig, iop) e composta de valores das variáveis de

decisão ao longo de um período operacional de 24 horas (mt=24), i.e., Sop(ig, iop)= [N(ig, iop, ips, it),

de uma geração ig é expressa por Saop(ig)=[Sop(ig, iop), iop=1,2,...,mop]. Explicitamente, Sop(ig, iop) é expressa por S ( , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , op g op g op g op g op t g op g op g op t g op ps g op ps g op ps t g op g op i i N i i N i i N i i m N i i N i i N i i m N i i m N i i m N i i m m R i i R i i = 11 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 11 1 L L M M M M L , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 11 1 2 1 2 1 L L M M M M L L R i i m R i i R i i R i i m R i i m R i i m R i i m m V i i V i i V i i m V i i V g op t g op g op g op t g op ps g op ps g op ps t g op g op g op t g op i i V i i m V i i m V i i m V i i m m g op g op t g op va g op va g op va t , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 2 2 1 2 L M M M M L                                      

O modelo hidráulico é baseado nas equações diferenciais do movimento não permanente de água em tubulações, as quais são discretizadas segundo o esquema clássico do método das características. A regra operacional desejada é escolhida a partir de uma função de parâmetros de performance, que exprimem o consumo de energia, o volume armazenado nos reservatórios, grau de satisfação de atendimento da demanda, distribuição de pressão nos nós da rede, o número de bombas em operação e o número de mudanças de funcionamento de válvulas reguladoras de vazão. O otimizador foi construído utilizando-se a técnica dos algoritmos genéticos. Cada regra operacional constitui um indivíduo com mt elementos. Todos os mop indivíduos de uma população

são avaliados e ordenados através de uma função de adequação dependente dos índices de performance, considerando a posição ocupada pelo indivíduo. Uma nova geração populacional é obtida pela seleção das melhores regras operacionais e cruzamentos entre indivíduos selecionados com possíveis mutações de elementos.

Alguns detalhes do modelo hidráulico, da função-objetivo e do otimizados são apresentados, a seguir.

Modelo de Simulação Hidráulica

O método das características (MC) é um método clássico para o cálculo de transitórios em tubulações. Em geral, para o cálculo de transitórios em redes, é recomendado o cálculo do escoamento permanente através de um outro método como, por exemplo, o método de Hardy-Cross. A proposta que se apresenta, é o de usar o próprio MC para calcular o escoamento permanente da rede, partindo-se, neste caso, como condição inicial do método numérico iterativo, de uma situação simples, hidrostática, para a rede. Apesar do transitório causado pelas abertura dos pontos nodais de consumo, as quais impõem imediatamente as vazões de demanda, o cálculo numérico com o MC mantém-se surpreendentemente estável, convergindo rapidamente para a solução desejada. O método consiste em aplicar duas equações lineares para cada trecho de tubulação, de forma a relacionar a vazão de transporte do trecho com as cargas piezométricas nos nós adjacentes.

A principal vantagem do uso do MC é que as equações são todas lineares e explícitas, de forma a se calcular a cada passo do processo iterativo, diretamente os valores das cargas piezométricas nodais. O método torna-se particularmente eficiente quando são utilizados valores convenientes para a celeridade, parâmetro considerado apenas numérico no cálculo do escoamento permanente, pois não precisa representar a velocidade de propagação das perturbações no meio fluido como ocorre na análise de transitórios hidráulicos. Outra importante vantagem do uso do MC

no cálculo hidráulico de redes é a facilidade de se obter soluções factíveis quando se introduzem relações entre pressão e demanda nos pontos nodais. Esse fato facilita os cálculos e a conexão do modelo hidráulico com o otimizador.

Apesar do fato de que para a obtenção da solução assintótica pelo MC seja necessário um grande número de iterações, o tempo de processamento, em geral, é bastante inferior ao métodos que recaem na solução de grande sistemas de e. Righetto e Porto [1997] aplicaram o MC com sucesso na análise hidráulica do sistema de abastecimento de água da cidade de Ribeirão Preto, SP, sistema que abastece 400.000 habitantes.

As equações da continuidade e quantidade de movimento aplicadas ao escoamento não permanente e discretizadas através do método das características, resulta num sistema de equações lineares com dependencia entre o posição x e o tempo t. A discraetização dessas equações a um trecho da rede no tempo t=k.∆t conduz às seguintes equações para o trecho ilk [Chaudhry, 1979]:

q j k C j k Co i H j lk k 1( )1 ( )= 1( )1 ( −1)+ ( ). ( )1 ( ) (1) q j k C j k Co i H j lk k 2 2 2 2 1 2 ( )( ) ₌ ( )( −)₋ ( ). ( )( ) ₍₂₎ em que Co i g A i c i tk lk lk ( ) . ( ) ( ) = (3) C j k q j k Co i H j F i q j q j lk k lk k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( −) ₌ ( )( −)₋ ( ). ( )( −)₋ ( ). ( )( −). ( )( −) ₍₄₎ C j k q j k Co i H j F i q j q j lk k lk k k 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ( )( −) ₌ ( )( −)₊ ( ). ( )( −)₋ ( ). ( )( −). ( )( −) ₍₅₎ F i f i t D i A i lk lk lk lk ( ) ( ) ( ) ( ) = ∆ 2 (6)

sendo D(ilk), A(ilk), f(ilk) e c(ilk) , respectivamente, o diâmetro, a área, o coeficiente de perda de carga

e a celeridade do tubo do trecho ilk, o qual conecta os nós j1 e j2. A Figura 1 mostra a conexão do

trecho ilk, aos nós j1 e j2 e define as vazões q1(j1) e q2(j2) assim com as cargas piezométricas H(j1) e

H(j2) nos nós ou extremidades do trecho.

H( j ) q ( j ) j (i )1 lk 1 H( j )2 2 lk j (i ) L (i ) lk lk i 1 1 q ( j )2 2

Figura 1. Definições das variáveis associadas a um trecho ilk.

O passo de tempo do processo iterativo ∆t é especificado na simulação hidráulica e o parâmetro c(ilk) para o trecho ilk é ajustado de maneira que c(ilk)=L(ilk)/∆t.

A aplicação das equações (1) e (2) para os vários trechos conectados a um nó qualquer ino

permite a obtenção de uma expressão explícita para a carga piezométrica neste nó [Righetto, 1994]. A Figura 2 define a coleção de trechos ilk,1,1, ilk,1,2,..., ilk,1,m1 que conectam os nós j1,1, j1,2,…, j1,m1 ao

nó ino e a coleção de trechos ilk,2,1, ilk,2,2,..., ilk,2,m1 conectando o nó ino aos nós j2,1, j2,2,…, j2,m2;. Os m1

e m2 conectados ao nó ino são automaticamente selecionado por associações topológicas e definidas

por j1(ilk) e j2(ilk). As outras variáveis associadas ao nó ino são as vazões de demanda ou de

alimentação Q(ino)(k) e a carga piezométrica H(ino)(k).

1

i

_lk,1,m

i

_lk,1,2 lk,1,1

i

j

_1,2

j

_1,1 2,2

i

_lk,2,1

i

_lk,2,2

i

_lk,2,m 2

j

2,1

j

i

no

1

j

_1,m 2

j

_2,m

Figura 2. Definição dos trechos e nós conectados a um nó ino.

A seguinte equação explícita é usada para a determinação da carga piezométrica H(ino)(k) no

nó ino e no passo de tempo k: H i_no k Q i C j C j Co i Co i no k r k s k s m r m lk r r m lk s s m ( )( ) [ ( )( ) ( ) ( ] / [ ( ) ( )] , ( ) , ( ) , , , , = − − + − − − = =

∑

= =

∑

1 1 1 2 2

∑

∑

1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 (7)

A condição inicial a ser definida para o cálculo do escoamento permanente pelo MC pode ser de o de condição hidrostática imposta pelo nível d’água de algum reservatório elevado da rede. A partir dessa condição, os escoamentos nas tubulações são quantificados através da aplicação da equação (7) e de condições de contorno relacionando as características hidráulicas de reservatórios, estações elevatórias, válvulas etc.

Função-Objetivo

Cinco parâmetros distintos foram usados para medir a performance de uma dada regra operacional em um período de 24 horas: o índice de consumo de energia total Ips(iop), o índice de

nível d’água de um reservatório Itk(iop), o índice de fornecimento de água Ideliv(iop), o índice de

pressão Ip(iop) o índice de mudança operativa Iswi(iop) composto de três termos: o número de

acionamento ou desligamentos de bombas IopN(iop), o número de alterações nas velocidades

rotacionais das bombas IpoR(iop) e o número de alterações de abertura de válvulas IopV(iop) . Esses

índices são definidos através das seguintes expressões:

I i C i Q i i H i z i i i ps op u t ps t ps ps ps t i m i m t t ps ps ( ) [ ( ). ( , ).( ( ) ( )) ( , ) ] = − = =

∑

∑

_η 1 1 (8)

]

)

,

(

[

)

(

1

∑ ∑

=

=

tk tk t t m i m i t tk tk op tk

i

i

i

I

ξ

(9)

∑ ∑

= =

=

no no t t m i m i req no t t no deliv op deliv

_Q

_i

_i

i

i

Q

i

I

1 1

]

)

,

(

)

,

(

[

)

(

₍₁₀₎

∑ ∑

= =

=

no no t t m i m i t no no op p

I

i

i

I

1 1

)]

,

(

[

)

(

ξ

₍₁₁₎

∑ ∑

= =

=

ps ps t t m i m i t ps N op opN

i

i

i

I

1 1

)]

,

(

[

)

(

λ

₍₁₂₎

∑ ∑

= =

=

ps ps t t m i m i t ps R op opR

i

i

i

I

1 1

)]

,

(

[

)

(

λ

₍₁₃₎

∑ ∑

= =

=

va va t t m i m i t va V op opV

i

i

i

I

1 1

)]

,

(

[

)

(

λ

₍₁₄₎

em que Cu(it) é um coeficiente que envolve o custo unitário da energia elétrica; o parâmetro

ξtk(ino,it)=1 quando simultaneamente Qtk(itk,it)<0 (esvaziando) e

∑

>

no no m i t no i Q i Q( , ) ou Qtk(itk,it)>0 (enchendo) e

∑

no < no m i t no i Q i

Q( , ) ou ainda, quando Htk(itk,it)=Htk,max(itk); em qualquer outro caso

ξtk(ino,it)=0 com uma única exceção: ξtk(ino,it)= -1 quando Htk(itk,it)=Htk,min(itk); Q é a demanda

média diária. O parâmetro ξno(ino,it)=1 quando Pmin(ino)< P(ino)<Pmax(ino) e, caso contrário, igual a 0;

Pmin(ino) e Pmax(ino) definem a faixa de pressões desejáveis para a rede; os parâmetros de

acionamento λN, λR e λV têm as seguintes definições:

    − ≠ − = = λ ) 1 , ( ) , ( 0 ) 1 , ( ) , ( 1 ) , ( t ps t ps t ps t ps t ps N i i N i i N se i i N i i N se i i     − ≠ − = = λ ) 1 , ( ) , ( 0 ) 1 , ( ) , ( 1 ) , ( t ps t ps t ps t ps t ps R i i R i i R se i i R i i R se i i    − ≠ − = = λ ) 1 , ( ) , ( 0 ) 1 , ( ) , ( 1 ) , ( t va t va t va t va t ps V i i V i i V se i i V i i V se i i

Os parâmetros definidos por (8) a (14) são usados para medir a performance de cada regra operacional iop de uma geração populacional ig. A fim de comparar as regras operacionais para todas

as gerações, os parâmetros acima são adimensionalizados, denotados por I’, em relação a valores de referência quaisquer.

Na aplicação desta apresentação, o seguinte parâmetro de performance Iperf(ig, iop) foi

) , ( . ) , ( . ) , ( . ) , ( . ) , ( , , , , op g adeq swi swi op g adeq p p op g adeq tk tk op g adeq ps ps op g perf i i I w i i I w i i I w i i I w i i I ′ + ′ + + ′ + ′ = (15)

em que wps, wtk,, wp e wswi são fatores de ponderação os quais exprimem a importância dos seguintes

termos de adequação: ) , ( ). , ( ) , ( ,adeq g op ps g op adeq g op ps i i I i i I i i I′ = ′ ′ (16) ) , ( ). , ( ) , ( ,adeq g op tk g op adeq g op tk i i I i i I i i I′ = ′ ′ (17) ) , ( ). , ( ) , ( ,adeq g op p g op adeq g op p i i I i i I i i I′ = ′ ′ (18) ) , ( ). , ( ) , (

,adeq g op swi g op adeq g op

swi i i I i i I i i

I′ = ′ ′ (19)

sendo Iadeq um dos índices ou outra função ou parâmetro qualquer tomado como pivô no problema

de otimização.

Otimizador

O procedimento de busca baseado em algoritmo genético adaptado neste trabalho segue os passos usuais dessa técnica quando à seleção, cruzamento e mutação de indivíduos de uma população de uma geração, de modo a se obter sucessivamente aprimoramento dos indivíduos da população em gerações sucessivas. O procedimento inicia com a seleção de uma primeira população, que pode ser aleatória ou selecionada através de critério subjetivo ou heurístico. Nesta apresentação, a população inicial Saop(1) foi obtida aleatoriamente. O parâmetro de performance

Iperf(ig, iop) é calculado para cada regra operação definida como indivíduo da população, após a

simulação de cada regra operacional através do modelo hidráulico. Os indivíduos da população são então ordenados de forma decrescente, sendo o primeiro indivíduo aquele de melhor performance. Essa ordenação de indivíduos é denotada por S*aop(1)=[S*op(ig, iop), iop=1,2,...,mop]. Dos mop

indivíduos dessa população, são selecionados os ms melhores indivíduos os quais serão preservados

na geração populacional seguinte; os me piores indivíduos são eliminados. A população de uma

nova geração é mantida com o mesmo número de indivíduos. Os (mop-ms) indivíduos restantes são

gerados através de cruzamento entre indivíduos selecionados, com possíveis mutações aleatórias de alguns elementos que compõem os indivíduos, [ Simpson et al., 1994].

APLICAÇÃO

A aplicação do modelo aqui apresentado é de uma rede simples, pois, espera-se mostrar os procedimentos que compõem o processo de busca da melhor regra operativa para o sistema de distribuição. Além disso, o exemplo visa testar a adequação do modelo a um problema contendo tomada de decisões quanto ao acionamento de bombas e controle de válvulas reguladoras de vazão.

A estratégia do processo de busca da melhor solução utilizando AG utilizada nesta aplicação foi o de atribuir prioridade ao atendimento das demandas nodais. Durante as primeiras dez gerações de soluções factíveis foi dada prioridade ao índice de armazenamento de água nos reservatórios, e em seguida, igual prioridade para todos os índices. A Tabela 1 apresenta os valores adotados para os fatores de ponderação wps, wtk, wp and wswi dos parâmetros I*_ps,del(i_g,i_op), )I_tk*_,del(i_g,i_op ,

), , ( * ,del g op p i i I * ( , ) ,del g op swi i i

I durante cada grupo de dez gerações. As populações foram formadas por 50 indivíduos (regras operacionais) e um total de 50 gerações foi fixado para a determinação da

melhor regra operacional a ser selecionada. As regras operacionais que formaram a primeira geração populacional foram construídas aleatoriamente.

Tabela 1. Fatores de ponderação para os índices de performance da função-objetivo.

Geração Fator de ponderação 1-10 11-20 21-30 31-50 wtk 2 2 2 2 wps 1 2 2 2 wp 1 1 2 2 wswi 1 1 1 2 Problema Exemplo

O sistema de distribuição testado é constituído de 24 trechos, 19 nós, 2 reservatórios, 2 estações elevatórias e 2 válvulas controladoras de vazão localizadas nos trechos 7 e 22 da rede. O sistema é mostrado na Figura 3 com os dados apresentados nas Tabelas 2 a 6.

Os reservatórios são cilíndricos e as válvulas de controle de vazão são do tipo abre/fecha. A estação elevatória 1 pode ser operada com um número máximo de duas bombas e a estação elevatória 2 com três bombas. As bombas podem ser operadas em duas rotações: fator de rotação nominal (R=1) ou R=1.15. A seguinte decisão técnica foi adotada quando as bombas estiverem sendo operadas com muito baixo rendimento (η<0.1): se a vazão bombeada é muito baixa, a bomba é desligada; entretanto, se a descarga é alta, aciona-se à operação outra bomba até atingir a capacidade operacional da estação elevatória.

Tabela 2 - Parâmetros hidráulicos e topologia da rede exemplo.

ilk L(ilk)

(m) (mm)D(ilk) f(ilk) J1(ilk) J2(ilk) ilk L(i(m)lk) (mm)D(ilk) f(ilk) J1(ilk) J2(ilk)

01 1000. 300 0.020 01 02 15 1000. 300 0.020 01 05 02 1200. 300 0.020 02 03 16 0800. 300 0.020 05 09 03 1400. 300 0.020 03 04 17 1000. 300 0.020 09 13 04 1500. 700 0.020 19 05 18 1000. 300 0.020 02 06 05 1000. 70 0.020 05 06 19 0800. 300 0.020 06 10 06 0900. 700 0.020 06 07 20 1000. 300 0.020 10 14 07 2000. 700 0.020 07 08 21 1000. 700 0.020 03 17 08 1800. 700 0.020 08 18 22 0800. 700 0.020 03 07 09 1000. 300 0.020 09 10 23 0800. 700 0.020 07 11 10 0800. 500 0.020 10 11 24 1000. 700 0.020 11 15 11 1800. 300 0.020 11 12 25 1000. 700 0.020 15 20 12 1000. 300 0.020 13 14 26 0800. 300 0.020 04 08 13 0800. 300 0.020 14 15 27 0800. 300 0.020 08 12 14 1800. 300 0.020 15 16 28 1000. 300 0.020 12 16

01 ₂ 1 15 3 4 02 03 5 05 6 06 7 07 8 9 09 10 10 11 11 12 13 12 14 13 15 14 16 18 22 23 19 17 20 24 26 27 28 16 19 04 08 18 17 21 25 20 i =1ps i =2ps i =1tk i =2tk i =1va va i =2

Figura 3 - Rede exemplo.

Tabela 3 – Cotas topográficas e demandas nodais.

ino z(ino) (m) Q(ino,it=12) (m3_/s) ino z(i_(m)no) Q(i_(mno,i3t_/s)=12) 01 100.00 0.060 11 120.00 0.060 02 130.00 0.070 12 130.00 0.070 03 140.00 0.060 13 135.00 0.140 04 125.00 0.060 14 130.00 0.060 05 110.00 0.140 15 120.00 0.060 06 130.00 0.040 16 125.00 0.070 07 135.00 0.060 17 160.00 itk=1 08 135.00 0.140 18 160.00 itk=2 09 110.00 0.040 19 090.00 ips=1 10 110.00 0.070 20 080.00 ips=2

Tabela 4 - Parâmetros dos reservatórios.

itk ino A(itk)

(m2₎ Htk,min_(m)(itk) Htk(i_(m)tk,it=0) Htk,max_(m)(itk)

01 17 2000 165.00 170.00 175.00

02 18 1500 175.00 180.00 185.00

Tabela 5 - Parâmetros das estações elevatórias.

ips ino a1(ips) a2(ips) a3(ips) b1(ips) b2(ips) b3(ips) Nmax(ips) ηmax(ips) Qnom(ips)

(m3_/s)

01 19 100 35.0 20.0 0.56 1.88 -4.68 02 0.75 0.200

02 20 100 20.0 80.0 0.56 1.88 -4.69 03 0.75 0.200

Tabela 6 Fator de custo de energia elétrica ao longo das 24 horas.

Time interval it (h) Unit cost rate Cu

1 to 13 and 24 1.00

14 to 16 and 23 1.10

17 to 22 1.15

Neste exemplo, as variáveis de decisão operacionais são o número de bombas em funcionamento em cada estação elevatória, N(ips,it), o fator de rotação R(ips,it) para cada uma das

fechadas) ao longo do horizonte de 24 horas. Para se alcançar uma boa performance do sistema, de acordo com a função-objetivo (equação 15), a solução desejável deve manter as vazões de consumo tão próximas quanto possíveis das demandas; as pressões nodais devem estar situadas entre as pressões máxima e mínima permitidas; os níveis d’água dos reservatórios devem estar tão perto quanto possível dos respectivos níveis máximos; o consumo de energia deve ser o mais baixo possível; e, finalmente, o número de mudanças operacionais nas operações de bombas e válvulas deve ser reduzido a um valor mínimo.

As válvulas são operadas com o objetivo de aumentar o fluxo de água a uma determinada região, dependendo das condições operacionais de pressão e dos níveis d’água dos reservatórios. Por exemplo, durante um período de alta demanda, é possível evitar que haja alimentação de água aos reservatórios através do fechamento de válvulas de forma a aumentar as pressões nodais nos nós de alta demanda. De qualquer maneira, neste exemplo, a procura da solução operacional desejável inclui a determinação das melhores operações para as válvulas reguladoras de vazão. Convém ressaltar, que performances individuais não levarão a valores ótimos dentro de critérios de múltiplos objetivos, por causa, principalmente, de limitações intrínsecas do próprio sistema físico.

RESULTADOS

A Figura 4 mostra a evolução da melhor regra operacional para cada geração tomando-se os índices de performance do sistema. Para a população inicial, Iperf é igual a 4,0 e

alcança o valor final de 5,45 após 50 gerações. Nesta figura, pode-se perceber a redução de energia ( em torno de 25%) e melhoria de performance de armazenabilidade de água nos reservatórios com as sucessivas gerações. O índice de atendimento da demanda assim como o de pressão assumem valores praticamente constante ao longo das gerações, mostrando uma boa performance extrínseca do sistema e tendência de altas pressões em toda a rede. Um valor maior do fator de ponderação wp

para * ( , )

,del g op

p i i

I poderia alterar os resultados da otimização, forçando que as pressões se mantivessem na faixa dos valores recomendados.

0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Geração, ig Parâmetros de performance, I

0.0001Ips 0.1Itk 0.01Ideliv

0.01Ip Iswi Iperf

Figura 4 Evolução dos índices operacionais Ips, Itk, Ideliv, Ip, Iswi e Iperf para a melhor solução de

cada geração.

As regras operacionais para as estações elevatórias são apresentadas nas Figuras 5 e 6. A Figura 5 mostra que a estação elevatória 2 deve ser operada com 3 moto-bombas em funcionamento durante 11 h, 10 h com 2 unidades e 3 h com apenas uma moto-bomba. A estação elevatória 1, deve ser operada com duas moto-bombas durante 20 h e 3 horas com 1 moto-bomba e 1 hora com todas as unidades desligadas. Um interessante e importante aspecto da performance do sistema com relação a regra operacional selecionada é que a total capacidade de bombeamento do sistema não é utilizada em nenhum horário, mesmo nos horários de demanda máxima, uma vez que

os reservatórios de compensação contribuem para o atendimento das demandas nodais. Essa situação favorece a redução de consumo com energia elétrica.

Interpretação similar pode ser dada às rotações das bombas, as quais podem assumir dois valores neste exemplo: 1,00 (rotação nominal) ou 1,15(15% acima do valor nominal). Na regra operacional selecionada (Figura 6), durante os primeiros períodos do dia, R=1.15 é o valor apropriado para as bombas das duas estações elevatórias, pois o sistema procura encher os reservatórios de compensação. No primeiro ciclo (it=11 to 14) de grande demanda, R=1.00 o que

facilita a descarga de água dos reservatórios e conseqüentemente minimização de consumo com energia elétrica.

Entretanto, após este ciclo, os volumes de água armazenados nos reservatórios são insuficientes para suprir as vazões de consumo do sistema, de modo que as estações elevatórias são obrigadas a trabalharem com rotações alternadas a fim de atender as demandas e restabelecer os níveis d’água dos reservatórios. Durante 13 horas, a estação elevatória 1 é operada com R=1.15 e em 11 períodos de uma hora com R=1.00; quanto a estação elevatória 2, R=1.15 durante 10 períodos e com a rotação nominal no tempo restante.

A Figura 7 apresenta as posições de abertura das válvulas para a regra operacional selecionada. Essas operacionais permitem distribuir mais convenientemente os fluxos para os nós de consumo e aos reservatórios de compensação. As válvulas 1 e 2 são mantidas fechadas durante 5 e 8 horas, respectivamente. 0 1 2 3 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21 23} Tempo, t (h) Número de bombas, N N(1) N(2)

Figura 5 - Número de bombas em operação ao longo das 24 horas.

0 0.5 1 1.5 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21 23} Tempo, t (h) Fator de rotação, R R(1) R(2)

Figura 6 - Rotações das unidades de bombeamento ao longo das 24 horas.

0 1 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21 23} Tempo, t (h) Condição da válvula, V V(1) V(2)

Figura 7 - Condição de abertura das válvulas.

Valores nodais de descarga e de pressão em dois horários são apresentados nas Figuras 8 e 9. A distribuição de fluxo no tempo it=8 mostra que a rede é abastecida pelas estações elevatórias e

pelo reservatório 2, e o reservatório 1 recebe água da estação elevatória 1 e do reservatório 2. A distribuição de pressão mostra a existência de alguns nós com pressões excessivas, tal com o nó 1. Seria conveniente restringir mais severamente o índice restritivo de pressão Ip aumentando o fator

de ponderação associado a ele. A Figura 8 revela que todos os nós estão com pressões superiores a mínima, o que representa garantia de atendimento da demanda.

A Figura 9 apresenta os fluxos, demandas e pressões no horário de pico,, it=18. Nesse

horário, as duas estações elevatórias têm suas bombas em operação com rotação 15% acima do valor nominal. Os reservatórios recebem água da rede, porém, a vazão encaminhada ao reservatório 2 é pequena por causa do fechamento da válvula 2.

CONCLUSÕES

O modelo desenvolvido para similar a hidráulica do sistema e a otimização das regras operacionais ao longo de 24 períodos horários de um dia demonstraram eficácia na aplicação de um exemplo simples apresentado neste trabalho. O modelo é bastante flexível para incorporar as diversas características desejáveis à operação do sistema o que o torna de muita utilidade para se determinar as regras operacionais desejáveis para um sistema de abastecimento real de distribuição de água.

O modelo hidráulico baseado no método das características (MC) é facilmente acoplável ao otimizador baseado em algoritmo genético (AG) , e demonstra robustez em absorver perturbações do sistema quanto aos aspectos operacionais restritivos decorrentes de situações anormais de pressão em alguns nós da rede.

As equações explícitas do MC facilitam os cálculos e permitem a obtenção rápida das variáveis hidráulicas do sistema. Válvulas controladoras de pressão, “boosters”, poços etc podem ser facilmente incorporados ao modelo hidráulico. A integração do modelo hidráulico com o modelo de otimização é facilmente realizada pelo fato das equações envolvidas serem explicita tanto no MC quanto no AG.

O intervalo de tempo adotado nas simulações hidráulicas deste trabalho forma de 10s de modo que um total de 8460 passos de tempo foi necessário para simular o período de 24 horas com relação a uma determinada regra operacional, ou indivíduo em termo do AG. Devido a necessidade de iterações intermediárias para o ajuste de pressões com as vazões de consumo, o processamento para simular a hidráulica da rede relativa ao período de 24 horas foi, aproximadamente, de 10 s, em um computador pessoal Pentium 200. Portanto, para realizar todas as simulações, envolvendo 50 indivíduos de cada geração e um total de 50 gerações, o tempo de processamento resultante foi de 7 h. Essa situação mostra a necessidade de se realizar cálculos paralelos em sistema físicos maiores, já que grande parte dos cálculos é realizada independentemente de resultados obtidos de outros cálculos. Dessa forma, pode-se reduzir em muito o tempo de processamento e viabilizar simulações envolvendo centenas de elementos hidráulicos e números significativos de indivíduos e gerações populacionais.

i =1ps 73.9 i =2ps i =2va va i =1 i =1tk i =2tk 43.9 33.9 49.1 40.1 66.0 45.3 41.8 89.8 20.8 64.0 64.7 55.1 44.4 36.4 43.4 55.5 49.0 97.9 14.2 0.050 0.060 0.048 0.050 0.120 0.030 0.050 0.119 0.030 0.060 0.050 0.060 0.118 0.050 0.050 0.060 0.006 0.007 0.015 0.256 0.270 0.159 0.024 0.100 0.031 0.035 0.062 0.055 0. 05 6 0. 04 6 0. 06 5 0. 38 9 0. 06 1 0. 03 4 0. 02 3 0. 06 0 0. 06 2 0. 04 3 0. 19 7 0. 02 5 0. 34 8 0. 34 4 0.500 0.507 HR(2)=180.8 HR(1)=172.7 N(2)=3 R(2)=1.00 N(1)=2 R(1)=1.00

Figura 8 Discharge and Pressure Head Distribution at it= 8.

0.085 0.094 0.360 0.080 0.060 0.070 0.040 0.070 46.3 0.066 0.140 0.040 0.074 54.2 0.041 0.880 75.0 81.1 N(1)=2 R(1)=1.15 i =1 111.0 ps 0.025 0.542 0.089 79.2 0.140 0.042 75.4 56.3 0.049 0.060 0.109 49.5 0.100 N(2)=2 R(2)=1.15 ps i =2 113.4 0.060 0.060 68.2 0.726 0.495 0.085 _54.3 0.070 0.015 0.070 HR(1)=174.3 i =2va 0.059 0.267 65.8 50.2 0.074 0.567 i =1va 14.3 34.3 0.058 i =1 0.00 0.047 0.025 tk HR(2)=176.5 0.019 49.0 43.9 0.139 0.363 _{i =2} 16.5 tk 49.9 0.085 0.060

Figura 9 Discharge and Pressure Head Distribution at it= 18.

Agradecimentos

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