UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POR MEIO DE MATERIAL MANIPULÁVEL RELATO DE EXPERIÊNCIA

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UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POR MEIO DE

MATERIAL MANIPULÁVEL – RELATO DE EXPERIÊNCIA

Aspectos relacionados aos processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental

Juliana de Melo1 Felipe Aparecido Baldim Barros2

Resumo: Este trabalho retrata um relato de uma experiência acerca do Teorema de Pitágoras

por meio de uma atividade investigativa. O ensino de geometria é discutido desde os anos iniciais para compor e sistematizar argumentações sobre as mais de 400 demonstrações deste Teorema. A aplicação aconteceu em uma de 9º ano de uma Escola Rural. A aplicação foi composta por um material manipulável e questões acerca do desenvolvimento da atividade. A aplicação seguiu os preceitos dos momentos de Ponte et al. (2013) para investigação da pesquisa. Dessa atividade, pôde-se concluir que os participantes ainda não possuem afinidade total com o tema, pois apresentam algumas dificuldades de interpretação e de conceitos de relações como áreas e lados de figuras geométricas.

Palavras-chave: Ensino de Geometria; Teorema de Pitágoras; Investigação Matemática.

1. INTRODUÇÃO

O presente artigo retrata um relato de experiência construído na disciplina de Ensino de Geometria e Medidas do Programa de Pós Graduação em Ensino de Matemática - PPGMAT. O ensino de geometria nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental já esteve numa situação mais crítica e vem se recuperando aos poucos.

Profissionais dessas etapas de ensino estão cada vez mais se adequando e se capacitando, pois o ensino da geometria requer muita sensibilidade e atenção do educador.

Uma breve história de Pitágoras, tanto como pessoa quanto matemático é retratada neste documento em concordância com Boyer e Merzbach (2012) e Eves (2004). O Teorema de Pitágoras é uma relação existente para triângulos retângulos e nos proporciona o seguinte

1_{Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Londrina, jumeello@hotmail.com} 2_{Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Londrina, lipebaldim@hotmail.com}

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resultado: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

O Teorema de Pitágoras possui cerca de 400 tipos de demonstrações, baseadas em igualdades das áreas dos quadriláteros, figuras geométricas, princípio da igualdade da decomposição, entre outros, que são utilizados tanto em problemas matemáticos quanto de física (BASTIAN, 2000).

Para esta pesquisa foi utilizada uma atividade de interpretação geométrica contendo um material manipulável e três questões de compreensão, os quais foram aplicados a uma turma de 9º ano de uma Escola Rural no interior do Paraná, com um total de doze participantes com idades entre 14 e 15 anos, visto que nesta época ela estava sobre a responsabilidade de uma das autoras, Juliana.

O conteúdo havia sido recém trabalhado, e ainda não havia sido feita nenhuma demonstração geométrica, surgindo aí a oportunidade.

É transcrito como foi desenvolvida essa atividade, bem como uma análise geral dos resultados. Por fim, apresenta-se as considerações finais que sistematizam as ideias e reiteram as decorrências discorridas das discussões.

2. ENSINO DE GEOMETRIA

O ensino de geometria na Educação Básica persiste em ser um tabu, cujo conceitos meramente são apresentados aos alunos sem sistematizar, ou seja, tudo pronto e acabado. Esta defasagem pode ocorrer pela falta de conhecimento ou a falta de intimidade com o assunto, dentre tantas outras possibilidades. A recuperação é lenta, mas está presente no ensino.

Os alunos e professores da educação básica construíram uma ideia de que a geometria está ligada apenas a alguns sólidos geométricos, perímetro e áreas.

[...] o ensino em Geometria, quando presente (o que já seria uma vantagem), limitava-se às nomenclaturas e definições, à identificação de algumas propriedades das figuras planas e espaciais, ao cálculo de perímetro e de área por meio de fórmulas, às aplicações nas produções em aulas de Artes (BIANI, 2011, p. 2).

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As dificuldades presentes no ensino/aprendizagem de geometria se iniciam nos anos iniciais e perpetuam, na maioria das vezes, por toda educação básica. Mesmo que, em algumas turmas haja professores específicos para o ensino de matemática, dificilmente conseguem recuperar, por igual, as dificuldades apresentadas por esses alunos que, por sua vez, podem não ter trazido esta bagagem ou não será lhe atribuído mais conceitos para aperfeiçoar.

Mais que uma saída para esse problema no ensino, a formação continuada dos profissionais “parece ser um ponto crucial para que a Geometria assuma outro status dentro das salas de aula tanto para professores quanto para os alunos (BIANI, 2011, p. 3)”.

O ensino de geometria requer sensibilidade do educador, pois trabalha a união das formas visuais com os conceitos e propriedades. A expressão gráfica é um bom exemplo deste ramo, pois utiliza como estratégia o desenho para o desenvolvimento do raciocínio e a construção de conceitos.

O estudo deste tema deve estar centrado na evidenciação de caminhos para a dedução de paradigmas, para a generalização e formalização de conceitos construídos a partir da atuação e raciocínio dos estudantes

Há de se considerar as diferenças apresentadas pelos alunos em diferentes momentos do desenvolvimento conceitual para auxiliar o professor a planejar melhor a ação docente. Além disso, deve haver o cuidado também com a compreensão de conteúdos específicos, levando em conta mecanismos, processos e fatores para estruturar o conhecimento.

Há de ressaltar a importância da geometria como um conhecimento essencial as pessoas, “pois possibilita a compreensão de situações que nos envolvem no cotidiano, [...] envolvendo diferentes habilidades de pensamento e a comunicação mais abrangente de ideias (WAPPLER, 2014, p. 2)”.

Ainda, Neves (2008, p. 59) destaca que “a geometria desempenha papel integrador entre as diversas partes da matemática, além de ser um campo fértil para o exercício de aprender a fazer e aprender a pensar”. Diante disso, é essencial que os professores utilizem de instrumentos mediadores, os quais auxiliam no processo de ensino aprendizagem, possibilitando ao estudante diferentes maneiras de ver o conteúdo e um melhor entendimento do assunto.

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A utilização de materiais concretos no estudo da Geometria, ao contrário do que se imagina, proporciona um melhor aprendizado não apenas quando utilizado com crianças, mas também com qualquer faixa etária. É fundamental que o trabalho com os materiais esteja associado ao caráter mais formal das demonstrações na busca de garantia dos resultados empíricos (prova) (WAPPLER, 2014, p. 4).

Este pensamento retrata o direcionamento deste artigo, ao qual buscou-se pensar mais na demonstração e manipulação de materiais para construção de conceitos acerca do Teorema de Pitágoras.

3. TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de esclarecer sobre o Teorema de Pitágoras, precisamos conhecer um pouco de sua história.

Pitágoras além de matemático foi filósofo, profeta e místico. Ele nasceu em uma das ilhas do Dodecaneso, ilha de Samos, no leste do mar Egeu, na Grécia, em torno de 570 a.C. (BOYER; MERZBACH, 2012).

Figura1: Imagem de uma escultura feita de Pitágoras

.

Fonte: Coleção David Smith (EVES, 2004, p.98).

Devido à perda de documentação e o fato de que a escola fundada por ele era secreta, sua biografia é inacessível. Os membros dessa escola eram os pitagóricos, eles contribuíram significativamente com várias descobertas matemáticas, entretanto era o mestre Pitágoras que

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levava os créditos (BOYER; MERZBACH, 2012). O lema dessa escola era que a “causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros”, por esse motivo, os pitagóricos valorizavam o estudo das propriedades dos números e da aritmética, juntamente com a geometria, a música e a astronomia (EVES, 2004).

O Teorema de Pitágoras é uma relação existente nos triângulos retângulos3 que pode ser enunciada da seguinte maneira: num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Esse teorema é um caso particular do teorema da lei dos cossenos4. Eves (2004, p. 103) acredita que este “teorema já era conhecido pelos babilônios, mais de um milênio antes, mas Pitágoras foi o primeiro a dar uma demonstração dele”. Segundo Boyer e Merzbach (2012), há fortes indícios de que esse teorema, que leva o nome de Pitágoras, veio dos babilônios.

O Teorema de Pitágoras permite construir e generalizar diversas situações matemáticas, podendo ser trabalhado tanto a parte histórica e/ou epistemológica. Além de sua importância nos anos finais do Ensino Fundamental, ele é essencial para dar continuidade no conteúdo de Relações métricas no triângulo retângulo.

Dentre as aplicações mais básicas desse teorema em situações cotidianas e situações presentes nos livros didáticos, pode-se destacar problemas rotineiros de cálculo de medidas de comprimentos como, por exemplo esse retirado da coleção Praticando Matemática de Andrini e Vasconcelos (2015, p. 191): “um edifício tem 15 metros de altura e possui uma escada apoiada cuja a base está a 8 metros do edifício. Qual o comprimento da escada encostada na parte superior do prédio?” ou problemas de trajetória para saber qual o caminho é mais curto, enfim, há uma infinidade de problemas que podem serem desenvolvidos por meio do Teorema de Pitágoras. Porém, esse conteúdo não é comum apenas nas disciplinas de Matemática, mas também na Física, por exemplo, para obter o módulo do vetor resultante.

Esse teorema possui cerca de 400 tipos de demonstrações, essas são baseadas em igualdades das áreas dos quadriláteros, figuras geométricas nas quais as áreas se mantêm,

3_{Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, 90º e outros dois ângulos}

agudos.

4_{Lei dos cossenos: dadas as medidas de dois lados de um triângulo qualquer e a medida do ângulo}

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princípio da igualdade da decomposição, princípio da igualdade do completamento, relações de semelhança etc. (BASTIAN, 2000).

No Ensino Fundamental as demonstrações mais comuns são as baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos, conhecidas como demonstrações algébricas e as baseadas em comparações de áreas, comumente conhecidas como interpretação geométrica.

4. METODOLOGIA

Uma metodologia que auxilia significativamente no ensino é a de experimentação e investigação, pois de acordo com Lorenzato (2010, p.72), “experimentar é valorizar o processo de construção do saber em vez do resultado dele, pois, na formação do aluno, mais importante que conhecer a solução é saber como encontrá-la. Enfim, experimentar é investigar.”

A descoberta no ensino, pode nem sempre ser o método mais curto ou rápido, porém, se torna o mais eficaz quanto a aprendizagem. De acordo com Ponte et al. (2013) o trabalho com investigação matemática deve respeitar quatro momentos. O primeiro diz respeito ao reconhecimento da situação, exploração e formulações das questões. O segundo é o processo de formulação de conjecturas. O terceiro é a realização de testes e refinamento de conjecturas e por fim, o quarto é argumentação e socialização do resultado.

A aplicação da atividade relatada neste trabalho foi desenvolvida em conformidade com os momentos descritos acima por Ponte et al. (2013) considerando os questionamentos formulados.

A atividade foi desenvolvida em uma aula de 50 minutos, numa turma de 9º ano de uma escola rural pública no interior do Paraná.

Formaram-se quatro grupos de três alunos cada, totalizando doze alunos. Foi desenvolvida a atividade “Demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando um quebra-cabeça” disponível no caderno de atividades “Construindo significados para o Teorema de Pitágoras utilizando Resolução de Problemas” de Santos e Gazire (2018, p. 13).

Essa atividade teve como objetivo demonstrar o Teorema de Pitágoras a partir da construção de um quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, com peças divididas

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nos quadrados. O material utilizado foi um quebra-cabeça impresso (papel cartão). O conteúdo foi sugerido pela professora da turma, que foi recém trabalhado, e ainda não havia sido feita nenhuma demonstração geométrica, surgindo aí a oportunidade.

Figura 2: Modelo das peças do quebra-cabeças

Fonte: SANTOS; GAZIRE (2018, p. 13)

5. DESENVOLVIMENTO E ANÁLISE

Para o desenvolvimento dessa atividade foi escolhida uma turma de 9º ano visto que nesta época ela estava sobre a responsabilidade de uma das autoras desse trabalho, Juliana, todavida, a aplicação foi desenvolvida pelos dois autores desta pesquisa.

Ao entrar na sala de aula, os alunos foram questionados sobre o conhecimento que apresentavam quanto ao Teorema de Pitágoras e relataram que “a soma dos dois lados menores é igual ao lado maior” não se atentando sobre o fato de estas medidas serem elevadas ao quadrado. Foi feita essa complementação da informação na lousa para que se contextualizasse esse conceito.

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Foi pedido para que se organizassem em quatro grupos de três integrantes para iniciar a atividade. Após a entrega do material impresso (papel cartão ainda sem recortes), os participantes deveriam recortar as peças indicadas nos quadrados menores e sobrepô-las no quadrado maior, de maneira que todas as peças se encaixassem sem haver sobras nas laterais.

A maior dificuldade encontrada pelos participantes foi realizar a montagem do quebra-cabeça utilizando todas as peças, pois sobravam uma parte ou outra. Foram montados quadrados menores, porém que não possuíam a mesma área do quadrado maior.

Os participantes partiram do princípio de que todos os ângulos retos das peças dos quadrados menores deveriam se encaixar perfeitamente nos cantos no quadrado maior. Esse momento precisou da interferência dos aplicadores relatando que isso não era necessário, pois também era possível formar um ângulo reto com a combinação de dois outros menores que 90º. Essa atividade permitiu realizar a demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras.

Posteriormente à montagem dos quebra-cabeças e a verificação da possibilidade ser real, foi pedido aos participantes que respondessem um questionário da própria atividade com três questões.

Os protocolos da aplicação foram nomeados G1 (grupo 1), G2, G3 e G4.

Figura 3: Questão 1, G4

Fonte: Autoria própria (2019)

A figura 3 apresenta a questão 1 e a resolução pelo grupo 4. É possível observar nesse caso que houve a falha no segundo momento de Ponte et al. (2013)que retrata o processo de formulação de conjecturas, pois ao realizar a formação da conjectura, o grupo se desviou ao utilizar um ângulo como referência que não era apresentado na atividade. Diferente dos demais grupos que responderam conforme o grupo 2 apresentado na figura 4.

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No entanto, nenhum grupo se atentou ao fato de os lados do triângulo serem comparados também aos dos quadrados.

A figura 5 retrata a resposta semelhante aos demais grupos. Nela é possível observar que eles interpretaram como o lado dos quadrados em relação ao triângulo e não se atentaram ao fato de se pedir a área do quadrado.

A figura 6 apresenta a resolução do grupo 4, que está em conformidade com o grupo 2. Nessas respostas há indícios de que houve a compreensão da demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras. Contrariamente, apresenta-se a figura 7 do grupo 3.

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Posteriormente foram recolhidos os questionários. Foi pedido para que os participantes se organizassem em um único círculo para realizar-se o último momento de Ponte et al. (2013) no qual exprime-se a argumentação e socialização do resultado. Diante do debate, conclui-se que eles continuaram não se atentando ao fato de que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, trata-se da área dos quadrados e não apenas as medidas dos lados, cabendo a professora da turma retomar esse conteúdo, principalmente a interpretação do teorema.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O Teorema de Pitágoras possui diversas formas de demonstrações. As mais comuns nos anos iniciais são as geométricas e algébricas. Foi utilizada a investigação matemática para auxiliar na aplicação de uma atividade voltada para demonstração geométrica, sugerida pela professora da turma.

Por meio das análises foi possível apontar que os participantes apresentaram dificuldades na interpretação do enunciado dos exercícios e do Teorema de Pitágoras. No decorrer da atividade, eles tiveram dificuldades em se expressar, tanto no registo escrito quanto na argumentação.

Portanto, por mais que seja um conceito muito presente nas aulas de matemática, especificamente em relações métricas de triângulos retângulos, há ainda a necessidade de se retomar algumas ideias, principalmente aspectos de área e lados de figuras geométricas.

7. REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Praticando Matemática. 9 – 4 ed. Renovada. V. 9. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.

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BIANI, Rosana P. Considerações sobre a Geometria nos anos iniciais do Ensino

Fundamental. Ciências em Foco, V. 1, N.4, p. 1-5, 2011.

BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da Matemática. Tradução de Helena Castro. 3.ed. São Paulo: Blucher, 2012.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.

LORENZATO, Sergio. Para aprender matemática. 3. ed. rev. Campinas, SP: Autores Associados, 2010. (Coleção Formação de professores). 140p.

NEVES, R. S. P. Aprender e ensinar geometria: um desafio permanente. In: Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – Gestar II. Matemática: caderno de teoria e prática 3 – TP3, construção do conhecimento matemático em ação. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2008.

PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações

Matemáticas na Sala de Aula. 3. ed. rev. ampl. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2013.

SANTOS, K. A.; GAZIRE, E. S.; Construindo significados para o Teorema de Pitágoras

utilizando Resolução de Problemas. 2018. Disponível em

http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20181211153949 .pdf. Acesso em 11 de dez de 2019.

WAPPLER, Fernanda Paula; GRANDO, Cláudia Maria. Experimentação em geometria: Teorema de Pitágoras. XX EREMATSUL. 2014.