FUNÇÕES. Funções de proporcionalidade direta. Antes de começar

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FUNÇÕES

Nuno Marreiros

7º ANO

Funções de proporcionalidade direta

Antes de começar

Preço total = 7,50



número de bilhetes

A tabela representa uma função de proporcionalidade direta de constante 7,50. A constante indica o custo de cada bilhete para o teatro.

Representando por y o preço total a pagar e por x o número de bilhetes comprados, obtém-se a expressão:

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GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3  2  3  2 

Grandezas diretamente proporcionais

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respetivo custo.

GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3  2  3  2 

Observa a variação destas duas grandezas. Verifica-se que quanto maior for o número de iogurtes comprados, maior será o seu custo.

O dobro do número de iogurtes comprados corresponde ao dobro do custo. O triplo do número de iogurtes comprados corresponde ao triplo do custo. (…)

Diz-se por isso que o custo é diretamente proporcional ao número de iogurtes comprados.

POTÊNCIAS E RAÍZES

Generalizando …

Dadas duas grandezas X e Y,

Y é diretamente proporcional a X,

se quando X aumenta (ou diminui),

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PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS.CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade directa?

Observa a tabela e completa: 0, 5 1  ; 1 2 ; 1, 5 3  ; 2 4 ; ... Logo, 0,5 1 1,5 2 ... 1 2 3 4 Custo Número de iogurtes     = ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .

0,5 0,5

Proporcionalidade direta e tabelas. Constante de proporcionalidade

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respetivo custo.

Na prática como reconhecer que uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade direta?

Observa a tabela e completa:

Logo, Ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a • O custo é diretamente proporcional ao número de iogurtes.

• O número 0,5 é a constante de proporcionalidade direta e corresponde ao preço unitário do iogurte, isto é, ao preço de cada iogurte.

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Função de proporcionalidade direta

O pai do Timóteo decidiu propor ao seu filho uma ocupação nas férias, que consistia em ajudá-lo na horta, pagando-lhe uma quantia de 2 euros por hora.

Tendo em conta o enunciado do problema, completa a tabela:

Tempo (horas) x 0 1 2 3

Quantia recebida (euros) y

1ª questão:

A quantia recebida é diretamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê?

O quociente entre as duas variáveis é sempre constante.

2

4

6

2

1

2

3 y

x

   

Sim, porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade direta.

0 2 4 6

2ª questão:

Qual é a constante de proporcionalidade direta? O que significa?

2 k



A constante de proporcionalidade é 2. Significa o preço de uma hora de trabalho.

2

4

6

2

1

2

3 y

x

   

Sim, porque a cada objeto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca.

3ª questão:

Será que a correspondência estabelecida representa uma função?

Função de proporcionalidade direta

O pai do Timóteo decidiu propor ao seu filho uma ocupação nas férias, que consistia em ajudá-lo na horta, pagando-lhe uma quantia de 2 euros por hora.

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Antes de continuar … recorda …

Representemos dois pontos no plano:

Quantas retas não coincidentes passam por esses dois

pontos?

Resposta: Por esses dois pontos passa uma e uma só reta.

Assim sendo,

bastam dois pontos não coincidentes para definir uma reta.

A

B

Quantia recebida (euros) y 0 2 4 6



 4ª questão:

Representa graficamente esta função.

Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Timóteo, dependendo do número de horas de trabalho.

Por exemplo:

Se o Timóteo trabalhasse 1,5 horas quanto ganharia?

3 €

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5ª questão:

Qual a expressão algébrica desta função?

2 y



x

Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade direta, diz-se uma

função de proporcionalidade direta.

Quantia recebida (euros) y 0 2 4 6

A constante de proporcionalidade é 2.

Função de proporcionalidade direta

Construir um gráfico … usando uma expressão algébrica

Como já vimos, a representação gráfica de uma função de proporcionalidade direta, ou seja, de uma função linear, é uma ____________ que passa na ______________________________.

Para representar uma reta basta marcar ___ pontos. Considera a função f de expressão algébrica:

3 y



x

De modo a construir o gráfico representativo da função, necessitamos de determinar, pelo menos dois pontos pois trata-se de uma reta. No entanto, recomenda-se sempre a determinação de um terceiro ponto para termos a certeza de que os pontos estão bem marcados / determinados.

Usemos, para isso, uma tabela …

reta

origem do referencial

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Construir um gráfico … usando uma expressão algébrica

A expressão algébrica y = 3 x da função f , permite determinar os valores de y a partir dos valores que atribuirmos a x. Observa …

x 0 1 1 y 3  0 = 0 3  1 = 3 3  (1) = 3 Ponto (x, y) (0, 0) (1, 3) (1, 3)

3 y



x

x y = 3 x 0 1 1 0 3  3

3 0

0 y

  

3 1 3

y

  

 

3

1

3 y

    

 

0 ,

0  

1,3



 

1, 3



Equivalentemente e normalmente usa-se uma tabela na vertical …

C.A. (Cálculos Auxiliares)

y =3 x A cada par ordenado

determinado, corresponde um e um só ponto sobre a reta.

Será que o par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?   