[ : ~ Jr- del [ ~ ~ ]

Tlansrorma~s lineales 17]

5.6 EXERCfclOS

I. Seja T: V -+ IV uma funcao, Mostre que:

a) Se T

e uma

transforrnacao linear. entao T(O) = O. b) Se T(O) =1= O. entao T nao e uma transforrnacao linear. 2. Determine quais das seguintes Iuncoes sao aplicacoes Iineares:

a) [ : R2 -+ R2 (x, y)... (x + y, x - y) b)g :R 2 _-.-+R (x. y) t-+ Xl' c) " :M 2 -+ R

[

:

~

J

r - del

[

~

~

]

d) k :1'2 --+ 1'3 1 3 li X + bx + c ~ liX + bx'

+

ex e) M:R3 -+ R2 I 2] (x, y, z) t - (x, y, z) ~ -~ [ /)N:R--+R Xt4' Ixl

3. a) Ache a transfo rrnacao linear T:R 3 -+ R2 tal que 7"(1,0 ,0) = (2, 0), T ( O, 1,0) = (1, I) e T (O, O. I)

=

(0, -I).

b) Encontre v de R3 _{tal que T(v) = (3, 2).}

4. a) Qual

e

a transformacao linear T :R2--joR 3 _{tal que T(l , I) = (3,2, I) e} T(O , -2) = (0, I, O)?

b) Ache T(l , 0) e T(O , 1).

c) Qual

e

a transforrnacao linear S:R3-+R2 tal que S(3, 2, I) = (I, I), S(O , I, 0)

=

(0, -2) e S(O. 0, 1)

=

(0, O)?

d) Ache a transformacao linear P: R2

-+ R2 tal que P

=

S oT,

5. u) Ache a transforrnacao T do plano no plano que

e

uma reflexao em lorna da reta x

=

y.

b) Escreva-a em forma matricial.

6. No plano, uma rotacao anti-horarla de 45°

e

seguida por uma dilatacao de

V2,

Ache a aplicacao A que represcnta esta transformacao do plano.

172 ALGEBRA LINEAR

7. Qual

e

a aplicacao A que representa uma contracao de

Jr.

seguida por

uma rotacao horaria de 45°?

8. Verifiq ue qual 0 nucleo e imagern e suas respectivas dimensoes das transfe r­

macoe s dadas nos exemplos do paragrafo 5.1.

9. Dados T :U --'> V linear e injetora e U I> U2, .. . , Uk, vctores Ll em U. mos tre

que {T (ud , ..., T( Uk )}

e

Ll.

10. Sejam R, SeT tres transformacoes lineares de R3 _{em R}3_•

0 I S, [R

I "

[

~

:

]

,

-1

[

'

1 -1 ] [SI = ~ 1 ~ • ache

-2

T tal que R = SoT.

II. Sejam 0 = {( I, -I), (0, 2)}e li = {( I, 0, -I), (0, 1,2), (1, 2, O)} bases de

R2 e R 3 rcspecuvamcntc e

[

T~

= [

:

~

]

a

-I

u) Ache T.

1J ) Se Stx, y)

=

(2y. x - y, x), ache

lS

; .

c) Ache uma base 'Y de R3 lal que

l

T)~

=

[

~

)

~

]

0 1 .

o

12. Se [R I=

r

l-I

1

~

]

e [S1 = [

~

1

-I

1

]

,ache R oS.

13. Se R(x, y)

=

(2x, x - y, y) e Sex, y, z)

=

(y - z, z - x),

a) Ache [R oS).

Transformacees lineales I 73

I I Scju V 0 espaco veto rial de matr izes 2 X 2 com base

ji

= {

[

~

~

]

.

[

~ ~

]

.

[

~ ~

J.

[

6

~

J

}

Se 7. V -. R2

e dada po

r T ([ ;.

~

}

)

= (a + d. b + c) ,

I ) Ache

ITe

onde a <! a base canonica de R2. '")

Se S : R2~ V e lS~ = -I

1

-

i

j

11 Ache S c. se for po ssi ve l. (a, b) tal que Sea, b) =

[

6

~

].

2

[

-I

-')

]

) '1. Seja T:R -- R2 tal que

1

1'1=

0 ~ . Ache os veiores u, v tal que

ell T( u)

=

u h) T(v) = -v

l b. Mestre que se T: V~ IV

e

uma transforrnacao linear .

a) Im(T )

e

urn subespaco de W.

b) ker(T)

c urn sub

espaco de V.

. Sejarn SeT aplicacocs lineares de V em W. Definimo s S

+

T co mo

(S + T) v = S (v) + T(v) para to do v E II e defin imos

as

como (as) v =

= a . S(v) para todo 0: E R e v E V.

a) Mo stre que S + T

e uma

transforrnacao linear de V em W.

b) Mo stre que

a

s

e

urna transforrnacao linear de V em W.

c) Mestr e que X = {T

I

T: V -->. IV}

e urn

espaco ve to r ial sob re R.

d) Suponha que dim V = 2 e dim IV = 3. Tente procurar dim X

18. No Exercicio 11 de te rmine ker T. 1m To 1m S. ker S c co mprove a validade do s teoremas 5..3.9 e 5.4.5 para estas transformacoe s.

19. Considere a transform acao linear

T:R3 ~ R3 dada por T(x, Yo z ) = (z, x - Y. - z).

a) Determi ne uma base do nucleo de T.

b) De a dimen sao da imagem de T.

)

r

e

sob rejetora? Justifique. d) Faca urn csboco de ker T e Im T.

174 ALGEBRA LINEAR

20. De, quando possfvel, exemplos de transforrnacoes lineares T, S, L. M e 11 satisfazendo : a) T :R3 -+ R2 sob rejet o ra b) S :R3 -+ R2. com kcr S = {CO, 0, 0) \ c) L : R3 -+ R 2 , com Im L = \.(0, 0)

1

d) M: R2

R2, com kerM= "f(x,y) E R 2 ;x =y}

e) fI : R3 _{-+ R}3

, com ker 11

=

t(x , y. z) E R3; Z = -x ]

21. Seja PJ = conjunto das polinomios com grau rnenor au igual a 3, e

T :P3 -+P 3

/ -+

r

(derivada)

1I) Mestre que PJ C urn espaco vetorial de dirnensao 4.

h) Mestre que T ~ uma transformucao linear.

c:) Determine ker T e 1m T e encontre lima base para cada urn destes

subespacos vetorials.

22. Scja D; PJ -> PJ

/1-+

r'

(derivada segunda)

Mestre que D

e

linear c determine uma base para ker D.

23 . Sejam cx

=

{CO, 2), (2, -I)} e {j

=

{(I,

1,0), (a, 0, -I), (1, 0, I)} bases de R2 e RJ•

[S)cx = [;

6

]

(j 0 - 4

De

a expressao para Sex , y.).

24. Seja

0 0 0

]

B = 1 2 1

A '

[

g

~]

[

-I 0 0

Encontrc ker ~'1' 1m T_{A . ker} To, Im To' ker (T_a 0 T_A ) Im (To 0 T_{A ) .} Determi ne bases para estes seis subespacos.

Transformacoes lineales 175

Seja T: R2 _{~ R}2 _{uma reflexao, atraves da reta y}

₌

_3x. a) Encon t re T(x, y).

b) Encontre a base Q de R2, tal que

[~

=

[~ _~

J

(I . Seja T : R3 ---.. R3 ond e T(v) ~ a projecfo do vetor Y no plano

3x

+

2y

+ z

= O. a) Encontrc T(x, y, z).

b) Encontre uma base ordenada 8 de R3

, tal que

U

o

[T1g

=

o

o

~]

27. Seja L : RJ _{-.. R}3

onde Len reflexao atraves do plano

l.~

+

2)'

+

z

=

O. ) Encontre L(x, y, z) .

b) Encontre urna base ordenada '1 de R3

• tal que

o

[T ]'1

=

[

~

I

0

0

]

r

0

_o

_-1

28. Encoutre a expressdo da transforrnacao linear T: R3 ~ R3 que

e

uma rotacao de 1T /3 em tomo da leta que passa pela origem e tern a dire9ao do vetor (I , 1, 0).

29. Urn espelho plano esta apoiado em uma parede vert ical formando urn an­ gulo de 300 com ela. Se urn feixe de luz de raios paralelos for emitido ver­ ticalrnente (do teto para 0 chao) determine a direyao dos raios refletidos.

• 30 . Urn espelho plano triangular

e

apoiado no canto de urna sala da forma des­

crita na figura abaixo.

z

x y

Em que direcfio sera re flct ido urn feixe de luz de raios paralelos ernitidos vertical mente de cima para baixo ?

5.6.1 Respostas 3. a) Ttx, y, z) = (2x

+

y, Y - z) b) v

=

(x. 3 - 2x, 1- 2x) 5. a) Ttx, y) = (Y, x) b)

[

~

]r--

[

~ ~

][;

]

7. A (x, y) =

(

x

+

y

x

-y)

2 ' 2 x - y x-y ) 11. T(x, y) = ₍ - 2- ' ~' 2x + y 0 2 -2 ] 13. a) [R oS)

=

1 1 -2 b) tSaR ) =

[I

-2

]

[ -2 1 -I

°

I IS. a) v

=

(x, -x ) b) v = (x,D) 17. d) dim X = 3 X 2 = 6 19. u) kerT = [(1 ,1 ,0)1 base = {( I, I,D)} ) dim Im T = 3 - dim ker T = 2 Veja (5.3.9). c) Nao , dim 1m T

=

2.

Transform ucdes Lineares d) 1m T y x x _{kef T}

21. a) [Veja Exemplo 4 de 4.2.2) base deste espa~ o : {I , X. x 2, x 3}

b) (Veja Exemplo 5 de 5.1.2)

c) ker T:« {~x)

=

k (constante)} base: {I }

Im T

=

{~x) = ax2

+

bx + c, a, b, c E R} base: {I,x,xi }

3

x 23. S(x, y) = (y - lx , y

+

2

'

-3x - 2y). 24. ker T_B = {x, y, z) E R3 ; X = 0 c z

=

2y } base:

t

o

.

I. -2)} Im T B = [(0 . 1,0), (0. 1.-1)] base: {(a, 1,0), (0 , I, -I )} kerT_A

=

[(1, 0») ImT_A

=

[(J , 2,1) ! kerTBo T_A

=

[(1, 0) ] 1m TBo T_A

=

[(0, 0, I)] 1 25. a) T(x,y) = S(-4x

+

3y, 3x - 4y)

b) 0: pode ser qualquer base {vl> V2 }tal que v1 pertenca

a

reta e vIe V2 sejarn pcrpendiculares, por cxernplo , 0:

=

{(I, 3), (-3, I) }

1

27. a) T (x, y, z)

=""""7 (-

2x - 6y - 3z, -6x

+

3y - 2z, -3x - 2y

+

6z) b)

r

pode sec qualquer base {VI , V2, V3 } do R 3 tal que VI e v2 pertencam

ao plano e V3 seja nonnal ao plano dado. Por exemplo,

r

= {(I , 0, -3),