CAPÍTULO 28 e 29: Física Quântica e Atômica
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
REVISÃO
SIMULADO PARA A PROVA
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:
28.4, .12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 33, 35, 38, 42, 43, 52
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 29:
29.2, 4, 7, 9, 10, 17, 18, 15, 27, 29, 37, 25, 39, 44, 49, 51, 53,
55, 56
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(a) O deslocamento Compton neste ângulo (b) A energia do raio-X espalhado e
(c) A energia do elétron que recua
(
θ
)
λ
=
1
−
cos
∆
c
m
h
'
0
E
E
K
e
=
−
λ
λ
λ
λ
hc
E
=
∆
+
=
0'
(
θ
)
λ
=
1
−
cos
∆
c
m
e(
)
(
)
(
)
(
)
s
m
Kg
s
J
c
m
h
e 31 8 34º
37
cos
1
10
3
10
11
.
9
)
(
10
63
.
6
cos
1
(a)
− −−
×
×
⋅
×
=
−
=
∆
λ
θ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(a) O deslocamento Compton neste ângulo
(
)
(
)
m
s
Kg
e 1310
88
.
4
10
3
10
11
.
9
−×
=
∆
×
×
λ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(b) A energia do raio-X espalhado e
(
m
s
)
s
J
hc
E
8 34 0 010
3
)
(
10
63
.
6
−=
×
×
⋅
×
=
=
λ
(
)
( )
( )
(
(
)
)
m
eV
J
eV
s
m
s
J
m
m
s
m
s
J
KeV
12 19 3 8 34 0 010
14
.
4
/
10
6
.
1
)
10
300
(
10
3
)
(
10
63
.
6
10
3
)
(
10
63
.
6
300
− − −×
=
×
⋅
×
×
×
⋅
×
=
=
×
×
⋅
×
=
λ
λ
( )
(
)
J
KeV
m
s
m
s
J
hc
E
m
268
10
3
.
4
10
63
.
4
10
3
10
63
.
6
'
'
10
63
.
4
'
14 12 8 34 12 0=
×
=
×
×
⋅
×
=
=
×
=
∆
+
=
− − −λ
λ
λ
λ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(c) A energia do elétron que recua
KeV
KeV
KeV
E
E
K
=
E
−
E
'
=
300
KeV
−
268
.
5
KeV
=
31
.
5
KeV
K
e
=
0
−
'
=
300
−
268
.
5
=
31
.
5
Seção 29.2: Novamente o Átomo de Hidrogênio
Exercício 2: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às
transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(a) Considere o fóton com maior comprimento de onda; determine sua energia e seu comprimento de onda λ.
(b) Considere a raia espectral de menor comprimento de onda, estime a energia e o comprimento de onda do fóton.
2
6
.
13
n
eV
E
=
−
E
hc
f
c
h
E
f
∆
=
=
∆
=
e
λ
Exercício: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(a) Considere o fóton com maior comprimento de onda; determine sua energia e seu comprimento de onda λ.
Para o maior comprimento de onda, menor frequência e menor energia, o átomo decai desde o estado mais próximo, isto é. dois estados consecutivos (neste caso de n=3 para n=2), de modo que:
eV
eV
eV
E
=
−
13
.
6
−
−
13
.
6
=
1
.
89
∆
A frequência do fóton é dada por:
eV
eV
eV
E
1
.
89
2
6
.
13
3
6
.
13
2 2−
−
=
−
=
∆
(
)
(
)
nm
J
eV
eV
s
m
s
J
E
hc
f
c
h
E
f
656
10
6
.
1
89
.
1
/
10
3
)
10
63
.
6
(
e
19 8 34
=
×
×
×
⋅
×
=
∆
=
=
∆
=
− −λ
λ
Exercício: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(b) Considere a raia espectral de menor comprimento de onda, estime a energia e o comprimento de onda do fóton.
Analogamente a maior energia se dá para um átomo que decai desde uma configuração próxima à condição de ionização, isto é, desde n~∞
n
n
=
∞
→
=
2
(
)(
)
(
eV
)
(
J
eV
)
nm
s
m
s
J
E
hc
eV
eV
eV
E
n
n
365
/
10
6
.
1
4
.
3
/
10
0
.
3
10
63
.
6
4
.
3
~
2
6
.
13
6
.
13
2
19
8
34
2
=
×
×
⋅
×
=
∆
=
−
−
∞
−
=
∆
=
→
∞
=
−
−
λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de “De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(a) Qual seria a energia cinética (relativística) de um elétron confinado a esta região?
(b) Com base nesse resultado, você esperaria encontrar o elétron associado a um núcleo? Explique.
m
1410
− a um núcleo? Explique. 2 4 2 2 2 14menos
ou
10
c
m
E
K
c
m
c
p
E
h
p
m
e e e e mín e−
=
+
=
=
=
− −λ
λ
r
q
q
k
U
e=
e 1 2s
m
kg
ou
10
10
10
63
.
6
menos
ou
10
19 14 34 14m
Js
m
s
J
h
p
m
mín
⋅
=
⋅
×
≈
=
=
− − − −λ
λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de “De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(a) Qual seria a energia cinética (relativistica) de um elétron confinado a esta região?
( ) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
0
.
5
10
)
2
10
ou
mais
10
2
mais
ou
10
2
10
19
10
3
10
9
10
6722
10
9
10
3
10
11
.
9
10
3
10
s
ou
10
10
8 6 8 2 8 7 11 22 30 22 4 2 2 2 4 8 2 31 2 8 2 19 4 2 2 2 14eV
eV
eV
c
m
E
K
eV
J
E
c
m
c
p
E
c
m
c
p
E
m
m
p
e e e e e e e mín⋅
≈
×
−
⋅
≈
−
=
⋅
≈
⋅
→≈
⋅
≈
×
≈
×
+
×
≈
+
=
×
×
+
×
≈
+
=
=
≈
=
− − − − − − −λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de “De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(b) Com base nesse resultado, você esperaria encontrar o elétron associado a um núcleo? Explique.
(
10
)
( )
10
9
5 19 2 2 9e
C
C
m
N
q
q
k
−
×
⋅
(
−)
( )
escapar.
sim
mas
núcleo,
ao
associado
ficar
deve
não
elétron
o
potencial,
energia
a
que
maior
muito
é
cinética
energia
a
como
10
10
10
10
9
5 14 2 2 1eV
m
e
C
C
r
q
q
k
U
e e≈
−
−
×
≈
=
−EXERCÍCIO 28.37: Os valores esperados para uma partícula na caixa.
Uma partícula em um poço quadrado, de potencial infinitamente profundo, tem uma função de onda que é dada por:
e é nula nas outras partes.
(a) Determine o valor esperado de “x”.
( )
x
L
L
x
sen
L
x
≤
≤
=
2
2
π
para
0
ψ
(b) Determine a probabilidade de encontrar a partícula em L/2, calculando a probabilidade de que a partícula esteja no intervalo:
(c) Determine a probabilidade de encontrar a partícula próxima de L/4, calculando-se a probabilidade de que a partícula esteja no intervalo
L
x
L
0
.
51
49
.
0
≤
≤
L
x
L
0
.
26
24
.
0
≤
≤
∫
∫
≡
≡
+∞
∞
−
b
a
dx
x
dx
x
x
ψ
*
ψ
ψ
*
ψ
∫( )
∫
−
=
b a b adx
x
x
dx
x
xsen
cos
2
2
1
2
1
2
( )
( )
0
.
51
0
.
51
2
0
2
2
0
2
0
0
2
4
1
1
2
2
2
4
cos
4
4
16
1
2
1
4
cos
2
1
2
1
2
2
2
∫
∫
−
=
=
=
+
−
=
−
=
=
L
L
L
L
L
L
x
sen
L
x
dx
x
sen
P
b
L
L
x
L
x
sen
L
x
L
L
x
L
x
dx
L
x
x
L
dx
L
x
sen
L
x
x
a
π
π
π
π
π
π
π
π
( )
(
)
( )
2
26
.
0
24
.
0
5
51
.
0
49
.
0
0
.
49
2
10
99
.
3
4
4
1
10
26
.
5
96
.
1
04
.
2
4
1
020
.
0
4
4
1
1
2
2
−
−
∫
×
=
−
×
=
−
−
=
−
=
=
L
L
L
L
L
L
x
sen
L
x
P
c
sen
sen
P
L
x
sen
L
L
x
L
dx
L
x
sen
L
P
b
π
π
π
π
π
π
π
π
Problema 38: A função de onda de uma partícula confinada a deslocar-se em uma caixa unidimensional é
Use a condição de normalização em ψ para mostrar que
Tenha em mente que, como a largura da caixa é L, a função de onda é nula para x<0 e para x>L, de tal forma que a condição de normalização
( )
=
L
x
n
Asen
x
π
ψ
L
A
=
2
+∞ se reduz a∫
+∞ ∞ −=
1
2dx
ψ
∫
=
Ldx
0 21
ψ
+∞ L Normalização implica em:
Problema 38: A função de onda de uma partícula confinada a deslocar-se em uma caixa unidimensional é
Use a condição de normalização em ψ para mostrar que
( )
=
L
x
n
Asen
x
π
ψ
L
A
=
2
L
2
A
ou
1
2
1
ou
1
0 2 2 2 0 2 2 2=
=
=
=
=
∫
∫
∫
+∞ ∞ − L LL
A
dx
L
x
n
sen
A
dx
L
x
n
sen
A
dx
π
π
ψ
UMA PARTÍCULA
EM UMA CAIXA
( )
=
Asen
x
x
λ
π
ψ
2
( )
( )
=
=
=
=
=
=
⇒
=
⇔
=
=
L
x
n
Asen
n
L
x
Asen
x
Asen
x
n
n
L
n
L
n
L
L
Asen
L
π
π
λ
π
ψ
π
π
λ
π
λ
π
λ
π
ψ
λ
2
2
2
...
3
,
2
,
1
2
2
2
2
0
...
3
,
2
,
1
2
2
2
=
=
=
⇒
=
n
n
L
n
L
n
L
π
π
λ
π
λ
π
Os comprimentos de onda permitidos são idênticos aos comprimentos de onda permitidos em uma corda vibrante fixa entre duas extremidades.
No caso da corda vibrante, o comprimento de onda está relacionado com a frequência e temos um conjunto de “harmônicos” ou frequências a frequência e temos um conjunto de “harmônicos” ou frequências quantizadas. Neste caso a frequência está relacionada com a energia:
f
h
EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por 1.0 cm.
(a) Calcule sua velocidade mínima.
(b) Se a velocidade do corpo é 0.03m/s, encontre o valor esperado de “n”.
2
2
=
=
=
L
nh
n
L
h
h
p
λ
1,2,3...)
(n
8
2
2
1
2
v
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
n
mL
h
L
nh
m
m
p
m
E
L
n
L
n
λ
UMA PARTÍCULA
EM UMA CAIXA
, a qual
tem que satisfazer as condições de contorno nas paredes
π
n
( )
(
)
( )
=
=
⇔
=
⇒
=
=
=
=
=
L
L
L
L
x
x
Asen
x
π
λ
π
π
π
ψ
ψ
λ
π
ψ
2
2
2
2
0
0
2
( )
( )
=
=
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
⇔
=
=
L
x
n
Asen
n
L
x
Asen
x
Asen
x
L
n
L
n
L
n
n
L
n
L
n
L
L
Asen
L
π
π
λ
π
ψ
λ
λ
λ
π
π
λ
π
λ
π
λ
π
ψ
2
2
2
3
2
3
;
2
;
2
1
2
2
2
2
0
UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA
2
2
2
=
=
=
=
L
nh
L
h
h
p
n
L
λ
λ
1,2,3...)
(n
8
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
n
mL
h
L
nh
m
m
p
mv
E
L
n
L
p
n
λ
Quantização de energia
EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por 1.0 cm.
(a) Calcule sua velocidade mínima.
1,2,3...)
(n
8
2
2
1
2
2
1
2
2
2 2 2 2 2 2n
mL
h
L
nh
m
m
p
mv
E
L
nh
n
L
h
h
p
n
=
=
=
=
=
=
=
=
λ
(
)
(
) (
)
(
)
repouso
em
estar
parece
corpo
o
que
pequeno
tão
é
resultado
Este
/
10
3.31
v
10
1.0
10
5.49
2
v
J
10
5.49
mv
2
1
J
10
5.49
10
0
.
1
10
1.0
8
10
6.63
1
8
8
2
2
2
2
26 -6 -58 -2 58 -2 58 -2 2 6 -2 34 -2 2 2 1s
m
Kg
J
K
E
m
Kg
s
J
mL
h
E
mL
L
m
m
n×
=
×
×
⋅
=
⇒
×
=
=
=
×
=
×
⋅
×
⋅
⋅
×
=
=
− =EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por 1.0 cm.
(b) Se a velocidade do corpo é 0.03m/s, encontre o valor esperado de “n”.
(
)(
)
1 58 1 1 2 10 2 6 210
49
.
5
e
10
5
.
4
/
10
3
10
1
2
1
v
2
1
×
=
=
×
=
×
×
=
=
− − − −J
E
E
n
E
J
s
m
Kg
m
K
n 23 2 1 58 10 1 1010
05
.
9
10
49
.
5
10
5
.
4
10
5
.
4
×
=
×
×
=
×
=
− −−J
J
E
J
n
Este valor de n é tão grande que nunca seríamos capazes de distinguir a natureza quantizada dos níveis de energia, isto é, a diferença de energia entre os dois estados:
é muito pequena para ser detectada experimentalmente.
(
9
.
05
10
)
1
e
10
05
.
9
23
2
23
1
=
×
n
=
×
+
n
Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força gravitacional. Qual é o número quântico (n) do sistema com a Terra em sua órbita atual?
( )
( )
k
e
r
U
r
m
m
G
r
U
e S T S T 2−
=
−
=
− −(
)
Terra
da
massa
Sol
-Terra
sistema
o
para
Bohr
de
raio
0 2 0≡
≡
=
m
a
m
Gm
m
a
S T Th
( )
Kg
m
Kg
Nm
G
Kg
m
cte
e
k
m
Gm
r
r
U
S T e S T e e 30 2 2 11 24 210
99
.
1
10
67
.
6
10
98
.
5
e
×
=
×
=
×
=
≡
−
=
−gravidade
da
universal
constante
SOL
do
massa
Terra
da
massa
≡
≡
≡
G
m
m
S Tsistema
o
para
permitidas
energias
1,2,3...
n
1
2
0
2=
−
=
n
a
m
Gm
E
n T S( )
( )
Kg m cte e k m Gm r e k r U r m m G r U e S T e e S T S T 24 2 2 10 98 . 5 e × = ≡ − = − = − −(
)
SOL
do
massa
Terra
da
massa
Sol
-Terra
sistema
o
para
Bohr
de
raio
0 2 0≡
≡
≡
=
m
m
a
m
Gm
m
a
S T S T Th
Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força gravitacional. Qual é o número quântico do sistema com a Terra em sua órbita atual?
(
4
0)
22
21
2(
n
1,2,3...
)
4 2=
−
=
n
e
mZ
E
h
πε
Kg m Kg Nm G Kg m S T 30 2 2 11 24 10 99 . 1 10 67 . 6 10 98 . 5 × = × = × =gravidade
da
universal
constante
SOL
do
massa
≡
≡
G
m
S 1,2,3... n 1 2 0 2 = − = n a m Gm En T SA solução para a equação de Schrödinger para o sistema Terra-SOL é a mesma que a obtida na aula passada para o átomo de hidrogênio, isto é
órbita
sua
em
elétron
do
velocidade
v
4
1
V
2 0≡
=
r
Ze
πε
r
Ze
m
F
r
m
r
Ze
2 0 2 2 2 2 04
1
v
v
4
1
πε
πε
=
=
⇒
=
AULA PASSADA: Dada a condição para órbita circular do elétron
Dada a energia potencial de um elétron atômico, se movendo em uma das órbitas possíveis, por:
órbita
da
raio
o
r
órbita
sua
em
elétron
do
velocidade
v
≡
≡
4
2 2 2 0m
Ze
n
r
=
πε
h
(
4
0)
22
21
2(
n
1,2,3...
)
4 2=
−
=
+
=
n
e
mZ
V
K
E
h
πε
Sendo, obtido a partir da quantização do momento angular e da condição de órbita circular acima. A quantização do momento
Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força gravitacional. Qual é o número quântico (n) do sistema com a Terra em sua órbita atual?
(
6.67 10 /)(
5.98 10) (
1.99 10)
10 055 . 1 ) ( 1,2,3... n 1 2 30 2 24 2 2 11 34 2 0 2 0 × × × × = = = − = − − − Kg Kg Kg Nm Js m Gm m a n a m Gm E S T T S T n hEstas são as energias permitidas para o sistema
(
)(
) (
)
(
)
1,2,3... n 10 79 . 1 1 10 22 . 2 2 10 99 . 1 10 98 . 5 / 10 67 . 6 1 2 10 22 . 2 2 148 2 104 30 2 24 2 2 11 2 0 104 = × = × × × × = − = × = − − − n J n m Kg Kg Kg Nm E n a m Gm E m n S T n(
)(
)(
)
(
)
2 148 33 2 148 33 11 30 2 24 2 2 11 2 010
79
.
1
10
65
.
2
10
79
.
1
10
65
.
2
10
50
.
1
2
10
99
.
1
10
98
.
5
/
10
67
.
6
1,2,3...
n
1
2
×
−
=
×
−
⇒
×
−
=
×
−
=
×
×
×
×
−
=
=
−
=
−n
J
J
n
J
E
J
m
Kg
Kg
Kg
Nm
E
n
a
m
Gm
E
n S T nConsiderando o raio de Bohr para o sistema Terra - SOL
57 33 148 148 33 148 2 2 2
10
60
.
2
10
65
.
2
10
79
.
1
10
79
.
1
10
65
.
2
10
79
.
1
×
=
×
−
×
−
=
×
−
=
×
−
×
−
=
J
J
E
J
n
J
J
n
n
n
Este é um número quântico imenso. As energias dos estados quânticos para valores adjacentes de “n” estão tão próximos que não percebemos o aspecto quantizado da energia.