Teoria da Relatividade Restrita

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UNIDADE 3: F´ısica Moderna

Teoria da Relatividade Restrita

(Notas de Apoio ao Programa do 12

o

de F´ısica)

Paulo Crawford

1 A Relatividade de Galileu

1.1 O Princ´ıpio da Relatividade e a defini¸c˜

ao de Referencial

Inercial

Como todos sabemos, o movimento e o repouso são conceitos relativos. Um observador (ou um objecto) pode estar em repouso em rela¸cão a um referencial e em movimento em rela¸cão a outro.

Por isso, quando estudamos o movimento de um corpo come¸camos por escolher o sistema de referência ou referencial onde fazemos as observa¸cões. Escolhemos os refe-renciais inerciais que são aqueles onde as part´ıculas livres se movem em linha recta, com velocidade constante. Nestes referenciais inerciais a lei do movimento descoberta por Isaac Newton (1642-1727) escreve-se

~

F = m~a

for¸ca = massa × acelera¸c˜ao (1.1)

Esta lei, também conhecida por segunda lei de Newton, só toma esta forma simples nos referenciais inerciais. Nos referenciais não-inerciais as for¸cas exprimem-se de um modo mais complexo, devido ao aparecimento das chamadas for¸cas de inércia. Como consequência do aparecimento dessas for¸cas, o peso (aparente) de um corpo, medido num referencial não-inercial, pode ser muito diferente do seu peso real.

Recordemos que, de acordo com a primeira lei de Newton, se a resultante das for¸cas que actuam um corpo é nula, a acelera¸cão do corpo também é nula e o corpo diz-se isolado. Expressa desta forma a primeira lei parece ser um caso particular da segunda. Contudo, é natural come¸car por descrever o movimento de um corpo na situa¸cão de ausência de for¸cas. Essa é a situa¸cão descrita pela primeira lei, cujo enunciado pressupõe estarmos a utilizar referenciais inerciais. Inversamente, quando detectamos uma acelera¸cão, inferimos, com base na expressão ~F = m~a, a existência de uma for¸ca. Mais uma vez, este racioc´ınio é válido num referencial inercial.

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Em geral, um observador deve escolher o referencial que mais facilite a recolha e análise dos dados. Torna-se então necessário relacionar as observa¸cões feitas em referenciais (inerciais) diferentes. Os observadores que fazem a suas observa¸cões em referenciais inerciais dizem-se observadores inerciais.

Comecemos então pelos referenciais inerciais, ou seja, os referenciais que se movem com velocidade relativa constante e onde são válidas as leis de Newton na forma em que foram expressas.

Velocidade e acelera¸c˜ao relativas

Considere-se um observador solid´ario com o sistema OXY Z e duas part´ıculas materiais

A e B com • posi¸c˜oes ~rA e ~rB

• velocidades ~vA e ~vB

Ent˜ao

~rBA= ~AB = ~rB− ~rA, ´e o vector de posi¸c˜ao de B relativamente a A,

~rAB = ~BA = ~rA− ~rB, ´e o vector de posi¸c˜ao de A relativamente a B.

A velocidade de B relativamente a A ´e dada por ~vBA=

d~rBA

dt =

d

dt(~rB− ~rA) = (~vB− ~vA)

A velocidade de A relativamente a B ´e dada por ~vAB =

d~rAB

dt =

d

dt(~rA− ~rB) = (~vA− ~vB)

Conclu´ımos que para obter a velocidade de uma part´ıcula em rela¸c˜ao a outra basta conhecer as suas velocidades relativamente a um observador

~vBA= ~vB− ~vA

~vAB = ~vA− ~vB

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Derivando as velocidades em ordem ao tempo obtemos as acelera¸cões: a acelera¸cão de B relativamente a A ~aBA= d~vBA dt = d dt(~vB− ~vA) = (~aB− ~aA) e a acelera¸cão de A relativamente a B ~aAB = d~vAB dt = d dt(~vA− ~vB) = (~aA− ~aB)

Em conclusão: para obter a acelera¸cão de uma part´ıcula em rela¸cão a outra basta pois conhecer as suas acelera¸cões relativamente a um observador (referencial)

~aBA = ~aB− ~aA

~aAB = ~aA− ~aB

~aBA = −~aAB

1.2 Princ´ıpio da Relatividade de Galileu

Sejam dois observadores O e O′ _{solid´arios com os referenciais OXY Z e O}′_X′_Y′_Z′

Os referenciais tˆem uma velocidade relativa constante: ~uO′_O = −~u_OO′ = ~u

Então os referenciais têm movimento relativo uniforme de translaçcão. Escolhemos os eixos OX e O′_X′ _{paralelos a ~u.}

Dois observadores diferentes pretendem comparar as suas medidas de posi¸c˜ao e de velocidade de um corpo que se move em rela¸c˜ao a eles. Suponhamos que quando t = 0: O e O′ _{coincidem =⇒ ~r}

O′_O = ~OO′ = t~u = ut~u_x

Admitamos que se trata de uma part´ıcula material

colo-cada no ponto A: • O seu vector posi¸c˜ao em OXY Z ´e ~r

• O seu vector posi¸c˜ao em O′_X′_Y′_Z′ _{´e ~r}′

Como ~OA = ~OO′_{+ ~}_O′_{A ⇒ ~r}′ _{= ~r − ~ut}

~r′ _{= ~r − ~ut}

t′ _{= t}

)

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Seja ~v = d~r/dt a velocidade medida em OXY Z e ~v′ _{= d ~}_r′_/dt′ _{= d~r}′_{/dt a velocidade em O}′_X′_Y′_Z′ Ent˜ao ~v = d dt(~r − ~ut) =⇒ ~v ′ _{= ~v − ~u}

Seja ~a = d~v/dt a acelera¸c˜ao relativamente a OXY Z e ~a′ _{= d~v}′_/dt′ _{= d~v}′_{/dt a}

ace-lera¸c˜ao relativamente a O′_X′_Y′_Z′

E como

~a′ ₌ d

dt(~v − ~u) ⇒ ~a

′ _{= ~a}

pois ~u ´e constante.

Conclu´ımos que as acelera¸cões medidas por dois observadores, animados de movimento relativo uniforme de transla¸cão, são iguais.

Diz-se que a acelera¸cão é um invariante para as Transforma¸cões de Galileu (Princ´ıpio da relatividade de Galileu).

Comprimentos (distˆancias)

O comprimento de um objecto é igual à distância entre as suas extremidades medidas no mesmo instante. Portanto, se o objecto está em movimento relativamente ao observador as posi¸cões das extremidades devem ser medidas simultaneamente.

Considere-se uma barra de extremidades A e B a) em repouso relativamente a O′

b) em movimento relativamente a O

L′ _{=k ~r}′

B− ~rA′ k≡ comprimento medido por O′

L =k ~rB− ~rAk≡ comprimento medido por O

Utilizando as Transforma¸c˜oes de Galileu conclu´ımos: ~r′

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Intervalos de tempo Intervalo

de tempo: ´e o tempo que decorre entre dois acontecimentos, medido por um mesmo observador

Considerem-se dois acontecimentos A e B tais que:

• O′ _{est´a em repouso relativamente ao ponto onde ocorrem os acontecimentos}

=⇒ estes ocorrem no mesmo ponto relativamente a O′

• O est´a em movimento relativamente ao ponto onde ocorrem os acontecimentos =⇒ estes ocorrem em pontos diferentes relativamente a O.

∆t′ _{= t}′

B− t′A ´e o intervalo de tempo medido por O′

∆t = tB− tA ´e o intervalo de tempo medido por O

Utilizando as Transforma¸c˜oes de Galileu conclu´ımos que na Mecˆanica Newtoniana: t′

B− t′A= tB− tA=⇒ ∆t′ = ∆t

Comprimentos e Tempos são invariantes numa Transforma¸cão de Galileu ou seja, quando nos restringimos às transforma¸cões de Galileu para definir observadores inerciais conclu´ımos que:

Comprimentos e Tempos s˜ao independentes do observador

NOTA: Nos sistemas inerciais a acelera¸cão é um invariante. Por outro lado, as for¸cas que só dependem das distâncias (como é o caso das for¸cas newtonianas) são também invariantes!

Conclu´ımos que: na Mecânica Newtoniana, a for¸ca e a acelera¸cão são (inde-pendentemente) invariantes numa transforma¸cão de coorde-nadas entre observadores inerciais.

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Logo, as leis da mecˆanica (leis de Newton) s˜ao as mesmas em todos os sistemas inerciais.

Por outras palavras: todos os referenciais inerciais são absolutamente equivalentes do ponto de vista das leis da Mecânica Newtoniana e não há maneira de distinguir uns dos outros (o movimento é relativo!). Quando aplicado unicamente à Mecânica, este resultado é muitas vezes designado por Princ´ıpio da Relatividade de Galileu, para o distinguir do Princ´ıpio da Relatividade que se aplica a toda a F´ısica e que está associado ao nome de Einstein.

Princ´ıpio da Relatividade de Galileu As leis da mecânica são invariantes em rela¸cão às leis de transforma¸cão entre sistemas inerciais definidas por 1.2.

2 A Relatividade de Einstein

2.1 Postulados da Relatividade Restrita

O ponto de partida da teoria da relatividade restrita, publicada por Einstein no an-nus mirabilis de 1905 num artigo intitulado “Sobre a Electrodinˆamica dos Corpos em Movimento”, s˜ao os dois postulados fundamentais:

Postulado 1 As leis da f´ısica tomam a mesma forma para todos os observadores que se movem uns em rela¸c˜ao aos outros com velocidade constante (movimento rectil´ıneo e uniforme).

Postulado 2 Todos os observadores medem o mesmo valor para a velocidade da luz quer esta tenha sido emitida por um corpo em repouso ou por um corpo em movimento rectil´ıneo e uniforme.

Notemos os seguintes pontos. Estes postulados não dizem nada sobre quais são as leis da natureza. Referem-se exclusivamente a movimentos (rectil´ıneos e uniformes) mas aplicam-se a todas as leis f´ısicas. Têm portanto uma natureza cinemática e não dinâmica.

Os observadores definidos no primeiro postulado designam-se observadores inerciais. E as leis f´ısicas são as mesmas para todos os observadores inerciais. Dito de outro modo, os observadores inerciais são totalmente equivalentes do ponto de vista das leis f´ısicas. Este primeiro postulado é conhecido por Princ´ıpio da Relatividade de Einstein.

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Quando no segundo postulado falamos em velocidade da luz estamos a referir-nos obviamente à velocidade da luz no vácuo, que representamos por c e cujo valor é aproximadamente 300 000 km/s.

Para compreendermos o comportamento dos sinais luminosos, imagine-mos dois observadores, A e B, separados por uma grande distância. A e B decidem medir a velocidade da luz a partir do intervalo de tempo que medeia a passagem de sinais luminosos trocados entre si. Suponha-mos que a distância entre eles é 300 000 km, e que os seus relógios foram sincronizados antes da experiência. O observador A envia então um si-nal luminoso para B, num instante previamente combinado, e um segundo depois B observa o clarão correspondente à chegada do sinal. Esta foi a técnica utilizada em 1675 por O. Roemer, para medir a velocidade da luz a partir da dura¸cão da sua viagem através do sistema solar, desde Júpiter à Terra, a qual dura cerca de uma hora. Não dispondo de um companheiro para lhe enviar um sinal luminoso, Roemer recorreu ao movimento de um dos satélites de Júpiter, cujas posi¸cões podia calcular antecipadamente. As “luas”de Júpiter, quando observadas da Terra, chegam ora atrasadas ora adiantadas às posi¸cões calculadas, pois o tempo que a luz demora a per-correr a distância entre Júpiter e a Terra varia consoante esta se afasta ou se aproxima do planeta. A medida do atraso permitiu a Roemer calcular muito aproximadamente a velocidade da luz, a partir do conhecimento das posi¸cões relativas entre Júpiter e a Terra. Esta foi uma das descobertas cient´ıficas famosas do século XVII, não tanto pelo rigor do valor obtido mas por ter estabelecido um valor finito para a velocidade da luz.

Imaginemos agora a seguinte experiência um pouco mais complicada. Os observadores A e B desejam verificar se a velocidade da luz varia de lugar para lugar. Para isso, cada um deles mede não só o tempo que a luz leva a percorrer a distância entre eles, mas também o tempo que a luz leva a atravessar um tubo de um metro, junto de cada um dos observadores. É claro que esta última medida exige uma electrónica sofisticada, pois que o tempo que a luz leva a atravessar um tal tubo é menor que a centésima milionésima parte de um segundo (∆t < 10−8 _{s). Ao fim de algum tempo}

e depois de repetirem esta experiência várias vezes, A e B concluem que a velocidade da luz é a mesma ao longo dos seus respectivos tubos e que este valor coincide com a velocidade média tomada entre as suas posi¸cões.

Vejamos agora como estender o Princ´ıpio da Relatividade de Galileu a todas as leis f´ısicas. Ou seja, vamos admitir que as leis da f´ısica, e não só as leis da Mecânica, tomam a mesma forma e têm o mesmo conteúdo em qualquer referencial inercial (princ´ıpio da Relatividade de Einstein ou primeiro postulado).

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Para isso, Einstein come¸cou por notar que as leis do electromagnetismo (as equa¸cões de Maxwell) não eram invariantes para uma transforma¸cão de Galileu. Mas, no en-tanto, eram invariantes em rela¸cão a um conjunto de transforma¸cões descoberto por H.A. Lorentz e por H. Poincaré. Se o princ´ıpio de Galileu se aplicasse aos fenómenos electromagnéticos então as ondas luminosas emitidas por um corpo a deslocar-se com velocidade v num referencial inercial S teriam uma velocidade c ± v em rela¸cão ao mesmo referencial S. Ora, a experiência de Michelson-Morley1

e muitos outros resulta-dos (como a observa¸cão das estrelas duplas) mostram que a velocidade da luz no vácuo não depende da velocidade da fonte e é a mesma para todos os observadores inerciais. Lorentz e Poincaré tinham já demonstrado que as equa¸cões de Maxwell ficavam formal-mente invariantes se as transforma¸cões de coordenadas entre dois referenciais inerciais S e S′ _{se relacionassem pelas seguintes fórmulas}

x′ _{= γ(x − vt)} y′ _{= y} z′ _{= z} t′ _{= γ(t − vx/c}2 )          Transforma¸c˜ao de Lorentz (2.3) com γ = q 1 1 − v2 /c2

Comparando com as transforma¸c˜oes de Galileu entre dois referenciais inerciais, S e S′_,

com uma velocidade relativa segundo o eixo dos XX e cuja origem inicial ´e comum x′ _{= x − vt} y′ _{= y} z′ _{= z} t′ _{= t}          Transforma¸c˜ao de Galileu

vemos que as segundas se obtêm das primeiras quando v/c ≪ 1, isto é, quando a velocidade relativa entre os observadores é desprezável face à velocidade da luz no vácuo.

Tendo em conta a precisão das experiências electromagnéticas e querendo estender o princ´ıpio da relatividade a toda a F´ısica, Einstein adoptou as Transforma¸cões de Lorentz (TL), eqs.(1.3), como as transforma¸cões de coordenadas entre observa-dores inerciais, tendo para isso sido levado a rever os próprios conceitos de espa¸co e de tempo, que serviam de base a toda a F´ısica e, por consequência, levado a reformular as leis da Mecânica.

1_{Michelson e Morley estabeleceram experimentalmente em 1887 que a velocidade da luz no v´}_acuo

cé a mesma na Terra em todas as direçcões e não depende do movimento da Terra em torno do Sol.

Assim enquanto as ondas sonoras, por exemplo, resultam de movimentos de propaga¸c˜ao num meio

elástico, em rela¸cão ao qual elas têm uma velocidade fixa, as ondas electromagnéticas não dependem

de um meio material para se propagarem (n˜ao necessitam de um “´eter”, como se pensou durante

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Notemos em primeiro lugar que, devido à constância da velocidade da luz e à isotropia da sua propaga¸cão no vácuo, sendo emitido um sinal luminoso num dado ponto do espa¸co e num dado instante, que se tomam respectivamente como origens espacial e temporal dos referenciais S e S′_{, este deve satisfazer simultaneamente as equa¸cões}

x2 + y2 + z2 − c2 t2 = x′2_{+ y}′2_{+ z}′2_{− c}2 t′2_{= 0.} _(2.4)

Ou seja, os pontos do espa¸co que num dado instante de cada referencial se encontram na mesma fase de vibra¸cão formam uma onda esférica que está centrada na origem do referencial respectivo.

A equa¸cão anterior permite definir uma quantidade invariante, isto é, uma quantidade que toma a mesma forma em todos os referenciais inerciais—relacionados entre si por uma Transforma¸cão de Lorentz—indissoluvelmente ligada à invariância da velocidade da luz, e que se escreve

x2 + y2 + z2 − c2 t2 = r2 − c2 t2

Este invariante pode ser entendido como uma generaliza¸cão da defini¸cão habitual de distância a um espa¸co a quatro dimensões, conhecido por espa¸co-tempo de Minkowski2

. Na verdade, tal como a f´ormula euclideana x2

+ y2

+ z2

= r2

caracteriza o espa¸co or-dinário 3-dimensional, e representa o quadrado da distância do ponto de coordenadas (x, y, z) à origem, também a fórmula r2

− c2

t2

pode servir para caracterizar o espa¸co-tempo de Minkowski e poderá igualmente designar a distância do ponto (aconteci-mento) de coordenadas (r, ct) à origem, neste espa¸co-tempo 4-dimensional.

Exerc´ıcio 1 Verifique que as TL (1.3) satisfazem a rela¸c˜ao (1.4).

Dados dois acontecimentos cuja separa¸cão espacial é r e cuja separa¸cão temporal é t, três situa¸cões diferentes podem ocorrer

a) r2

− c2

t2

= 0, a distˆancia entre os dois acontecimentos ´e exactamente percorrida pela luz no intervalo de tempo que os separa. Diz-se que os dois acontecimentos formam um par tipo-luz.

b) r2

− c2

t2

< 0, a distância entre os dois acontecimentos é menor que o espa¸co percorrido pela luz no intervalo de tempo que os separa. Diz-se então que os dois acontecimentos formam um par tipo-tempo.

c) r2

−c2

t2

> 0, no intervalo de tempo que separa os dois acontecimentos a luz n˜ao pode percorrer a distˆancia que os separa. Diz-se neste caso que os dois acontecimentos formam um par tipo-espa¸co.

2_{Hermann Minkowski foi o primeiro a mostrar em 1908 que: “daqui em diante o espa¸co s´}_{o por si e}

o tempo só por si estão condenados a tornarem-se meras sombras, e só uma união dos dois preservará

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Todos os pares de acontecimentos que estão numa rela¸cão de causa-efeito pertencem às categorias a) ou b). Nenhuma informa¸cão pode ser transmitida com velocidade maior do que a da luz. Logo, dois acontecimentos que perten¸cam à categoria c) não podem estar causalmente relacionados. Como as part´ıculas materiais viajam com uma velocidade inferior à da luz em todos os referenciais inerciais, dois quaisquer aconteci-mentos da vida de uma part´ıcula material formam um par tipo-tempo para todos os observadores inerciais, isto é, a sua separa¸cão temporal é maior do que a sua separa¸cão espacial.

Consideremos dois acontecimentos do espa¸co-tempo infinitesimalmente próximos. Re-duzindo o espa¸co-tempo a duas dimensões, uma dimensão espacial e uma temporal, e fazendo coincidir essa direçcão espacial com a direçcão da velocidade relativa entre os dois referenciais, escrevemos o intervalo infinitesimal

ds2 = dx2 − c2 dt2 = dx′2_{− c}2 dt′2_. _(2.5)

Se os 2 acontecimentos ocorrem no mesmo ponto de S′_{, dx}′ _{= 0 ⇒ ds}2

< 0, e podemos escrever (1.5) da seguinte forma

dx2 − c2 dt2 = −c2 dt′2 e portanto dt′ _{= dt} s 1 −v 2 c2 (2.6)

onde v = dx/dt ´e a velocidade de S′ _{em S.}

Conclu´ımos que o intervalo de tempo ´e diferente em S e S′_{e que ´e mais curto no}

referen-cial onde os acontecimentos ocorrem no mesmo ponto do espa¸co. Esse referenreferen-cial, neste caso S′_{, designa-se referencial pr´}_{oprio para esses acontecimentos. Assim, em}

qual-quer referencial diferente do referencial próprio o tempo é dilatado. Note-se ainda que embora dx′ _{= 0, dx = vdt 6= 0 (use as TL(1.3)), isto é, os dois acontecimentos}

ocorrem no mesmo ponto de S′ _{mas ocorrem em pontos diferentes de S.}

Consideremos agora dt′ _{= 0 (acontecimentos simultˆaneos em S}′_{). Vem ds}2

> 0 e usando as TL vemos que dt = vdx/c2

, logo ds2 = dx2 − c2 dt2 = dx′2_{> 0 (par tipo-espa¸co).}

Vemos que acontecimentos simultˆaneos em S′_{, e que ocorrem em pontos diferentes do}

espa¸co de S′_{, não são simultâneos em S : dt 6= 0.}

Consideremos agora uma barra fixa em S cujo comprimento ´e L = ∆x. A diferen¸ca de coordenadas das extremidades da barra em S′_{, ∆x}′_{, deve ser medida simultaneamente}

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∆t = v∆x/c2

, vejamos quanto mede a mesma barra em S. Substituindo este valor de ∆t no intervalo ∆s2 = ∆x2 − c2 ∆t2 = ∆x′2_{, vem} ∆x′ _{= ∆x}q_{1 − v}2 /c2

Conclusão: as barras com comprimento L = ∆x no seu referencial próprio são vis-tas contra´ıdas em qualquer outro referencial! Ou seja, uma barra que esteja em re-pouso no laboratório é vista contra´ıda por um observador que se desloca em rela¸cão ao laboratório com velocidade v (supomos que a barra está colocada ao longo do eixo coincidente com a velocidade relativa entre os dois referenciais S e S′_).

Adi¸c˜ao de velocidades: a partir das TL obtemos imediatamente u′ ₌ u − v 1 − uv/c2 ou u = u′_{+ v} 1 + u′_v/c2 (2.7) onde u = dx dt , u ′ ₌ dx′ dt′

e v ´e a velocidade relativa entre S e S′_.

´

E f´acil verificar que se u = c vem u′ _{= c, concordando com o 2}0

postulado de Einstein: a velocidade da luz (no vácuo é a mesma em todos os referenciais). A luz de uma estrela que se aproxima do Sol (Terra) viaja com velocidade c, tal como a luz de uma estrela que se afasta. Usando estrelas duplas os astrónomos verificaram este facto com grande precisão.

Exerc´ıcio 2 Mostre que a fórmula relativista de adi¸cão de velocidades produz sempre velocidades menores ou iguais a c, sendo a igualdade válida se alguma das velocidades u e/ou u′ _{for igual a c.}

Para exemplificar os efeitos cinem´aticos aqui deduzidos vamos considerar a seguinte experiˆencia imaginada.

Vamos alterar ligeiramente a última experiência. Em vez de A e de B permanecerem em repouso, B move-se agora com velocidade constante na direçcão de A. À medida que B se aproxima de A, B espera que os sinais luminosos, enviados por A, atravessem o seu tubo a uma velocidade superior à da experiência anterior, quando a velocidade entre eles era nula. Não é isso que acontece no nosso quotidiano? Se um observador parado na plataforma duma esta¸cão de caminho de ferro vê passar um comboio a 100 km/h, e

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no comboio há um passageiro a deslocar-se a uma velocidade de 5 km/h em rela¸cão ao comboio, então a velocidade relativa entre o passageiro e o observador da plataforma é 105 km/h ou 95 km/h consoante o passageiro se afasta ou se aproxima da esta¸cão. Não devia acontecer o mesmo com a luz? Porém, para grande surpresa dos observadores A e B, a velocidade da luz permanece inalterada ao atravessar os respectivos tubos. E além disso, a velocidade medida a partir dos intervalos de tempo que a luz leva a percorrer a distância entre A e B continua a ser a mesma. Consternado com este resultado, B supõe que a sua velocidade em rela¸cão a A é ainda muito pequena e recorre a um foguetão para aumentá-la. B aproxima-se de A cada vez mais depressa, na esperan¸ca de receber mais rapidamente os sinais luminosos enviados por A, mas é em vão, a velocidade medida localmente continua a ser a mesma. Ao fim de algum tempo, B atinge uma velocidade em rela¸cão a A igual a 99% da velocidade da luz e nota que os sinais luminosos chegam agora muito azulados. Trata-se de um fenómeno familiar, B sabe que a luz azul significa luz de alta frequência e recorda-se que as ondas sonoras também se deslocam para as altas frequências quando a fonte e o observador se aproximam um do outro. O efeito designa-se por deslocamento de Doppler e observa-se, por exemplo, quando dois carros se cruzam: o som da buzina soa mais agudo se os carros se aproximam e mais grave se eles se afastam. Voltando à nossa experiência, apesar do deslocamento de Doppler, B não observa nenhuma varia¸cão na velocidade da luz, isto é, B continua a medir a mesma velocidade para os sinais enviados por A.

B decide-se então a utilizar um outro foguetão para inverter o sentido do movimento e, assim, afastar-se de A a toda a velocidade. Verifica agora que os sinais luminosos enviados por A chegam bastante avermelhados, como se as ondas luminosas tivessem sido alongadas, provocando o aumento do seu comprimento de onda, tal como as ondas sonoras da buzina de um carro que se afasta. Ao fim de algum tempo B afasta-se de A a uma velocidade igual a 99% da velocidade da luz. B esperava que a luz enviada por A viajasse ao seu encontro a 3000 km/s (1% da velocidade habitual), mas nada disso acontece. A luz continua a chegar à mesma velocidade de 300 000 km/s, independentemente da velocidade a que B se desloca em rela¸cão a A.

Numa última tentativa, e já desesperado por esta contradi¸cão entre o comportamento da luz e a experiência quotidiana, B resolve utilizar ainda um outro foguetão com o fim de ultrapassar a velocidade dos sinais lu-minosos na esperan¸ca que, ao viajar a uma velocidade superior à da luz relativamente a A, os sinais luminosos enviados por A não o atinjam. En-quanto decorre esta fase da experiência, A verifica que B está a fazer um esfor¸co desesperado para atingir a velocidade da luz, mas quanto mais perto se encontra dessa velocidade, maior é a energia que necessita para acelerar. A necessidade de combust´ıvel cresce sem limite. Mesmo com toda a energia

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dispon´ıvel no mundo, B não é capaz de vencer a barreira que o impede de atingir a velocidade da luz. Parece que à medida que B se aproxima da velo-cidade da luz, maior é a sua inércia: toda a nova energia consumida parece ser dispendida para criar mais massa e não para aumentar a velocidade. Entretanto, os sinais luminosos emitidos por A continuam a atravessar o tubo de um metro, transportado por B, a uma velocidade de 300 000 km/s.

O quadro descrito na experiência anterior está em contradi¸cão com a nossa rotina diária, fundamentada na mecânica de Newton. A relatividade restrita ensina-nos a ser mais cautelosos. Sempre que os objectos se movam com velocidades próximas da velocidade da luz devemos ignorar a nossa experiência quotidiana, e levar a sério os postulados desta teoria.

Como consequência da invariância da velocidade da luz, Einstein foi levado a concluir que o espa¸co e o tempo variam com o estado de movimento do observador. Por exemplo, quando B se aproxima vertiginosamente de A, a distância entre A e B, medida por B, contrai-se. Além desta peculiar contraçcão do espa¸co, o movimento de B tem também um efeito muito estranho sobre o tempo. Quando B compara o seu relógio com dois relógios iguais, localizados em s´ıtios diferentes, previamente sincronizados e em repouso em rela¸cão a A, constata que o seu relógio se atrasa em rela¸cão a estes relógios “solidários”com A. E vice-versa, o relógio de A atrasa-se em rela¸cão a dois relógios espacialmente separados e solidários com B (previamente sincronizados). A conclusão óbvia a retirar destes factos é: a sincroniza¸cão dos relógios é um conceito relativo ao observador. Não existe uma sincroniza¸cão universal, simultaneamente válida para todos os observadores (inerciais). Relógios parados e sincronizados do ponto de vista de um observador A, não estão sincronizados para um observador B que se move com velocidade próxima da velocidade da luz em rela¸cão a A. Por outras palavras, se B se aproxima de A a grande velocidade e, pelo caminho, acerta o seu relógio por um relógio que está parado em rela¸cão a A, mas a uma certa distância de A, quando B se cruza com A verifica que o relógio de A está adiantado em rela¸cão ao seu relógio. Do ponto de vista de B, os dois relógios que estão em repouso relativamente a A, não foram previamente sincronizados, ainda que o tenham sido do ponto de vista de A. Esta situa¸cão traduz a impossibilidade de definir o conceito de simultaneidade de modo absoluto. Além disso, constatamos que o intervalo de tempo entre dois acontecimentos é mais curto para o observador que vê os dois acontecimentos ocorrerem no mesmo ponto do espa¸co. Designa-se o tempo medido por esse observador tempo próprio. Dois acontecimentos f´ısicos, que ocorrem em diferentes pontos do espa¸co (isto é, espa-cialmente separados) e simultâneos para um observador A, não serão simultâneos para outro observador B que se desloca a grande velocidade em rela¸cão a A. Este carácter relativo do conceito de simultaneidade é uma consequência do valor finito (constante) da velocidade da luz. Este é o conceito fundamental da teoria da relatividade restrita. Se as açcões f´ısicas pudessem propagar-se a uma velocidade infinita a simultaneidade

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teria um carácter absoluto: dois acontecimentos simultâneos para um dado observador, seriam simultâneos para qualquer outro observador, qualquer que fosse o seu estado de movimento. Vejamos este aspecto com o aux´ılio de mais uma experiência de pensa-mento, à boa maneira de Einstein.

Imaginemos desta feita uma nave espacial que se afasta da Terra a uma velocidade igual a 90% da velocidade da luz. No centro da nave existe uma fonte de sinais luminosos. Para um astronauta que se encontre no centro da nave espacial, os sinais chegam às duas extremidades da nave simulta-neamente, visto que as ondas luminosas se propagam em todas as direçcões e sentidos com a mesma velocidade — a velocidade da luz, c. Contudo um observador terrestre testemunharia uma situa¸cão bem diferente. É certo que a velocidade da luz é a mesma, de acordo com a teoria da relatividade restrita, para o observador terrestre e para o astronauta que se afasta da Terra. Mas como o observador terrestre vê a nave a afastar-se com uma velocidade igual a 90% da velocidade da luz, é claro que, do ponto de vista deste observador, os sinais luminosos não podem chegar simultaneamente às duas extremidades da nave. O observador terrestre vê a cauda da nave a aproximar-se rapidamente da origem do sinal luminoso, enquanto a di-anteira da nave se afasta dessa origem. Durante o intervalo de tempo que a luz leva a atravessar a nave, esta afasta-se da Terra e, por isso, o sinal enviado para trás atinge a cauda da nave antes do outro sinal atingir a ex-tremidade dianteira. Assim, dois acontecimentos que são simultâneos para o astronauta ocorrerão em instantes diferentes para o observador terrestre.

Vimos, com este último exemplo, como a simultaneidade depende do estado de mo-vimento do observador. Não existe um acordo universal sobre o que é o “mesmo ins-tante”para dois acontecimentos que ocorrem em lugares diferentes, ou seja, não existe uma defini¸cão absoluta de “instantâneo”. Um sinal que viajasse “instantaneamente”da frente para a cauda da nave espacial, do ponto de vista do astronauta, seria visto por um observador terrestre como um sinal propagando-se “para trás”no tempo. Como o observador terrestre vê o sinal atingir a dianteira depois de atingir a cauda, o sinal aparentemente “instantâneo”é visto da Terra como um sinal enviado do acontecimento posterior para o acontecimento anterior, destruindo assim qualquer rela¸cão causal. São conhecidos os paradoxos que resultam de admitir que é poss´ıvel enviar sinais “para trás”no tempo. Imaginemos, por exemplo, uma máquina ligada a um computador com a seguinte instru¸cão programada: “ Às 4 horas enviar um sinal para o passado”. Este sinal pode reflectir-se num local distante e atingir de novo a máquina, digamos, às 2 horas. O programa pode conter uma instru¸cão para a máquina se auto-destruir uma hora após a chegada do sinal. É claro, uma tal sequência de acontecimentos é total-mente inconsistente: a auto-destrui¸cão às 3 horas anteciparia a transmissão do sinal

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às 4 horas, impedindo a recep¸cão do sinal às 2 horas e, portanto, anulando o acciona-mento do mecanismo de auto-destrui¸cão, em contradi¸cão com a hipótese original. A inconsistência traduz-se numa quebra da rela¸cão causa-efeito. Assim, para preservar a estrutura causal dos fenómenos f´ısicos adoptamos a regra: não é poss´ıvel enviar sinais a velocidades superiores à da luz.

3 Dinˆ

amica Relativista

De acordo com a dinâmica newtoniana é poss´ıvel acelerar uma part´ıcula até que esta atinja uma velocidade superior à velocidade da luz, violando assim um dos resultados fundamentais da teoria da relatividade e contrariando a evidência experimental. Logo, as leis do movimento de uma part´ıcula em relatividade devem ser diferentes das da teoria newtoniana. De igual modo as leis de conserva¸cão da energia e do momento linear também devem ser diferentes.

Na mecânica newtoniana a massa de um objecto é uma quantidade de importância considerável pois que a energia e o momento linear de um corpo são proporcionais à sua massa. Assim, a massa de um foguetão determina a quantidade de energia necessária para colocá-lo em órbita à volta da Terra a uma dada distância; a massa de um meteorito determina a quantidade de energia cinética que é dissipada quando este colide com a superf´ıcie da Lua a uma dada velocidade e forma uma nova cratera; finalmente, a massa de um carro com uma dada potência determina o tempo gasto a atingir a velocidade de 100 km/hora a partir do repouso.

Na mecânica newtoniana, a massa m de um objecto é independente do movimento do observador que a mede. Porém, quando os objectos se movem com velocidades não desprezáveis em compara¸cão com a velocidade da luz, e é necessário recorrer à teoria da relatividade restrita, somos obrigados a distinguir a massa medida por um observador em repouso em rela¸cão ao objecto, que designamos por massa própria e representamos por m0, da massa relativista efectiva m medida por um observador

em movimento em rela¸cão ao objecto. Um outro aspecto importante é que na teoria newtoniana a massa total é conservada nas interaçcões; por exemplo, se queimarmos 10 kg de hidrogénio e 80 kg de oxigénio para obter água, prevê-se que a massa total da água produzida seja 90 kg. Veremos que na teoria da relatividade é o conjunto da massa com a energia que é conservado.

Na teoria newtoniana o momento linear de um objecto é o produto da massa pela sua velocidade ~p = m~v. A sua importância está patente nas seguintes propriedades:

1. ~F = d~p/dt , se um corpo est´a isolado (nenhuma for¸ca actua sobre ele) o seu momento linear ´e conservado!

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2. Quando tem lugar uma colisão entre part´ıculas, o momento total de todos os objectos envolvidos na colisão é conservado.

Considere, por exemplo, uma esta¸cão espacial de 100 toneladas e um meteorito com 50 toneladas aproximando-se um do outro. No sistema de referência de um observador inercial B a esta¸cão espacial move-se inicialmente no sentido positivo do eixo dos xx (+X) com uma velocidade de 0, 1 c e o meteorito move-se segundo (−X) com uma velocidade 0, 5 c. O momento inicial da esta¸cão é 100 × 0, 1 c = 10 c no sentido positivo do eixo X, e o momento inicial do meteorito é 50 × (−0, 5) c = −25 c no sentido negativo do eixo X. Como não há for¸cas a actuar sobre os dois corpos, estes momentos lineares mantêm-se constantes; portanto eles aproximam-se um do outro com velocidades constantes. Ao colidirem produzem grande quantidade de calor e fundem num único corpo. Se o corpo resultante tem massa M e velocidade v′ _{segundo (+X) o}

momento total final é Mv′_{. De acordo com a lei conserva¸cão do momento linear, este é}

exactamente o valor do momento linear inicial total que é 10 c+(−25 c) = −15 c. Assim a lei de conserva¸cão diz-nos que mv′ _{= −15 c, e a velocidade final é v}′ _{= −15 c/M. Ora}

de acordo com a teoria newtoniana a massa total é conservada pelo que a massa final é igual à massa da esta¸cão mais a massa do meteorito, isto é, M = 100 + 50 = 150 ton. E v′ _{= −15 c/150 = −0, 1 c.}

Neste exemplo a situa¸cão era muito simples pois tratava-se de um movimento a uma dimensão: todas as velocidades eram paralelas ao eixo X. Se o movimento é numa direçcão que não coincide com nenhum dos eixos, podemos escrever o vector velocidade ~v em termos das suas componentes (vx, vy, vz) segundo X, Y e Z, respectivamente; e as

componentes do vector momento linear ~p s˜ao dadas por px = mvx, py = mvy, pz = mvz.

De acordo com a teoria newtoniana, um observador inercial B medir´a que cada uma das componentes de ~p se conserva durante a colis˜ao.

Na teoria da relatividade, também se verifica a conserva¸cão do momento linear e que pode igualmente ser escrito ~p = m~v, desde que m represente a “massa relativista”, isto é, o produto da massa própria m0 (medida em rela¸cão ao referencial do repouso)

pelo factor de Lorentz γ(v) = 1/q1 − v2

/c2

: m = m0γ(v). Agora a massa m0 n˜ao se

conserva mas sim a massa m.

Para ver isto voltemos ao exemplo da esta¸cão espacial e do meteorito. Naturalmente que as massas dadas anteriormente são massas próprias (embora na teoria newtoniana se representem por m). Em rela¸cão ao observador B, o factor de Lorentz da esta¸cão é γ(0, 1 c) = 1/q1 − (0, 1)2

= 1, 005 de modo que px = m0γ(v)v_x= 100×1, 005×0, 1 c =

10, 05 c. O factor de Lorentz para o meteorito ´e γ(0, 5 c) = 1/q1 − (1/2)2

= 1, 155, logo o seu momento inicial era 50 × 1, 155 × (−0, 5 c) = −28, 868 c. O momento inicial

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total ´e portanto 10, 05 c − 28, 868 c, que dever´a ser igual ao momento final total

M0γ(v′)v′ = −18, 818 c (3.8)

onde M0 é a massa própria total do produto da colisão. Para poder determinar v′

temos de conhecer a massa total M0. Ora a massa relativista da esta¸c˜ao em rela¸c˜ao

ao observador B era antes do choque m0γ = 100 × 10, 05 = 100, 5 toneladas, e a massa

inicial do meteorito era 50 × 1, 155 = 57, 75 toneladas. Assim, a massa inicial total era 100, 5 + 57, 75 = 158, 25 toneladas. Se não tiver sido perdida mais nenhuma massa de qualquer outra forma, conclu´ımos que, em virtude da conserva¸cão da massa relativista, esta será também a massa final M, ou seja

M = M0γ(v′) = 158, 25. (3.9)

Das rela¸c˜oes anteriores obtemos ent˜ao que v′_{/c = −18, 818/158, 25 = −0, 119,}

substi-tuindo este valor na ´ultima equa¸c˜ao vemos que

M0 = 158, 25/γ(0, 119 c) = 158, 25/1, 0071 = 157, 13 toneladas,

cerca de 7 toneladas mais do que a soma das massas próprias dos corpos que colidem. A fonte desta massa própria extra só pode explicar-se pela conversão de parte da energia cinética dos dois corpos em massa!

Vejamos ainda um outro exemplo. Um dado observador vˆe uma part´ıcula, de massa em repouso m0, a aproximar-se pela esquerda com uma velocidade v1 = 4/5 c e a colidir

com uma outra part´ıcula que se aproxima pela direita com uma velocidade v2 = 3/5 c;

após o choque ambas as part´ıculas permanecem em repouso em rela¸cão ao observador. Qual é a massa própria da segunda part´ıcula?

Suponhamos que essa massa é M0. Como o momento linear total após o choque é nulo,

o momento linear total antes do choque é também zero (porquê?). Portanto, temos m0 q 1 − (4 5) 2 × 4 c 5 − M0 q 1 − (3 5) 2 × 3 c 5 = 0

donde se conclui que M0 ≃ 1, 78 × m0. Comparemos este resultado com o valor obtido

a partir da teoria de Newton. Usando novamente a conserva¸cão do momento linear temos, neste caso, m0× 4 c/5 = M0× 3 c/5, isto é, M0 ≃ 1, 33m0, o que dá um erro

de 25 por cento em rela¸c˜ao ao resultado da teoria da relatividade!

Estes resultados relativistas podem parecer surpreendentes e irrealistas. Mas são hoje verificados diariamente nos grandes aceleradores de part´ıculas para produzir choques de part´ıculas a altas energias. Foram já analisados muitos milhares de choques com base nas leis de conserva¸cão do momento linear da relatividade restrita não havendo hoje qualquer dúvida na validade dessas leis. Pode pois afirmar-se que se trata de

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leis extraordinariamente bem testadas. Mais uma vez se insiste que estas leis são uma generaliza¸cão das leis de Newton, necessária quando se utilizam grandes velocidades. Quando as velocidades são pequenas, em compara¸cão com a velocidade da luz, as leis relativistas aproximam-se das leis newtonianas. Para sentir como essa aproxima¸cão se faz rapidamente bastará fazer os cálculos do exemplo anterior com v1 = 0, 2 c e

v2 = 0, 1 c. Embora estas velocidades sejam ainda bastante grandes, obtemos neste caso

M0 ≃ 2, 03×m0, e a teoria de Newton dá agora só um erro de 0,15 por cento em rela¸cão

à teoria da relatividade. Este último exemplo numérico mostra porque razão não é necessário utilizar as fórmulas relativistas para estudar choques entre carros, comboios ou mesmo aviões de combate. Todos estes ve´ıculos se deslocam a velocidades muito inferiores às velocidades mencionadas. Por outro lado, nos aceleradores de part´ıculas, onde se verificam velocidades de cerca de 0, 9 c é indispensável recorrer à teoria da relatividade restrita.

Sugest˜oes de Leitura

• Crawford, P e Sim˜oes, A.I., “Tempo e Relatividade I”, Gazeta de F´ısica, 9, 36, Abril 1986.

• Crawford, Paulo, “O Significado da Relatividade no Final do Século”, Colóquio Ciências, no.16 (1995).

• Henriques, A. Barbosa, “Espa¸co, Tempo e Matéria”, Colóquio/Ciências, no.4 (1989).

• Lage, E., “Espa¸co, Tempo e Relatividade”, Col´oquio/Ciˆencias, no.3 (1988). • Ellis, George F.R., e Williams, Ruth M., “Flat and Curved Space-Times”,