O Uso do Critério da Taxa Interna de Retorno e sua Aplicação em Investimentos Educacionais

O Uso do Critério da Taxa Interna

de Retorno e sua Aplicação em

Investimentos Educacionais

Clovis de Faro e

A lberto de Mello e Souza (*>

1. INTRODUÇÃO

U m dos crité rio s de avaliação e seleção de a lte rn a tiv a s de in v e stim en to que m ais en c o n tra trâ n sito n a lite ra tu ra p e rti­ n e n te é o cham ado crité rio da ta x a in te rn a de re to m o . Todavia, não o b sta n te ser la rg a m e n te difundido, a utilização efetiv a d es­ se crité rio não é liv re de percalços. T al se dá em v irtu d e da p ró p ria definição do qu e v en h a a se r a ta x a in te rn a de reto rn o associada a u m a a lte rn a tiv a de in v estim en to , pois q u e esta e n ­ c e rra conceitos m atem ático s de existên cia e de unicidade, qu e p o r sua vez, devem ser ex am in ad o s à luz de u m a significação económ ica.

Como d eco rrên cia de qu e n e m sem pre se e ste ja d ev id am e n ­ te a te n to à n ecessidade de h a v e r co m p atib ilid ad e q u an to à d u a ­ lid ad e de in te rp re ta ç õ e s, têm -se ap resen tad o com b a s ta n te f re ­ q u ên c ia concepções erró n eas com relação à ap licab ilid ad e do c rité rio da ta x a in te rn a de reto rn o . A ssim , en q u a n to de u m la ­ do podem ser en c o n trad as in te rp re ta ç õ e s in ad eq u ad as de certos resu lta d o s m atem ático s, como p o r exem plo n as referên cias [7]; [8], p. 556; [9], pp 28-9; [20]; [21], p. 19; [22], pp. 82 e 85; [23], p 56; e [24], de outro, pode-se ta m b ém a p o n ta r tra b a lh o s

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em qu e o aspecto d a significação económ ica não foi co rreta- m e n te aplicado [10]; [14] e [17], p. 89<!>.

O p re se n te estudo a p re se n ta a an álise de u m caso específico de u m a a lte rn a tiv a de in v e stim en to que tem gerado u m a c e rta dose de co n tro v érsia. P a ra tan to , se faz uso do trab a lh o de J e a n [13], qu e p arec e te r passado desapercebido a vários a u to ­ res. E v id en ciar-se-á m a tem a tic am e n te que, p ara ta l caso, desde que seja sa tisfe ita d e te rm in a d a condição básica de c a rá te r eco­ nóm ico, a aplicação do crité rio da ta x a in te rn a de re to rn o é ise n ta de problem as. A inda m ais, quando em confronto com o m étodo do v alo r atu al, o b ter-se-á to ta l coerência de resultados.

O caso aludido ocorre, com c e rta freq u ên cia, n a análise dos in v estim en to s educacionais. A pós a conceituação de ta l tipo de p ro jeto , são ab o rd ad as ce rtas dificuldades co n cern en tes à ap li­ cação do crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o . F inalizando, são ex am in ad o s dois exem plos tom ados da re a lid ad e b rasileira.

2. A TAXA INTERNA DE RETORNO E SUA APLICAÇÃO

COMO CRITÉRIO ECONÓMICO

V isando u m a exposição de cunho didático, é conveniente q u e se teçam aq u i algum as considerações de c a rá te r geral. A s­ sim, após co n ceitu ar o que se en ten d e p o r a lte rn a tiv a de in v es­ tim en to (ou p ro je to ), b em como su a rep resen tação form al, apre- sentar-se-ão as definições do que co n stitu em o v a lo r a tu a l e a ta x a in te rn a de reto rn o a ela associados. A seg u ir se a b o rd ará a aplicação efetiv a da ta x a in te rn a de re to rn o como c rité rio de avaliação e de seleção, ju stifican d o -se sua im p lem en tação quando em confronto com o m étodo do v a lo r atu al.

2. 1. D efinições

G en ericam en te se e n te n d e p o r a lte rn a tiv a de in v estim en to q u a lq u e r e m p re en d im e n to a que esteja m associadas consequên­

(1) A lite r a tu r a é e x tre m a m e n te f a r ta em exem plos de tra b a lh o s que co n ­ tê m a firm a tiv a s in c o rre tas. B a s ta m e n c io n a r que os p róp rios au to re s n ão fic a ra m isentos desse tip o de p ecado ([4], p. 121; [18] nn 225 e 227).

cias ocorridas ao longo de certo in te rv a lo de tem po, as quais, ta n to em term o s de benefícios como de custos, no sentido lato, se jam passíveis, v ia u m proced im en to ad hoc, de trad u ç ão em u n id a d es m o n etárias. S eja n a v id a económ ica do e m p re e n d i­ m ento, qu e se su p o rá fin ita e ex p ressa em c e rta u n id a d e to m a ­ da como base, o n ú m e ro de períodos ao longo do in te rv a lo de tem po em q u e se m a n ife sta m suas consequências. U m p ro je to se rá fo rm a lm e n te caracterizad o p ela ch am ad a sequência de flu ­ xos de caixa líquidos: <ja0, ai,. an}>- S em p e rd a de g e n e ra lid a ­ de, devem os te r a0.a n 0, sendo que:

a0 — re p re se n ta o in v estim en to inicial, que se supõe con cen trad o no início do p rim eiro período da v id a do e m p re ­ endim ento;

aj (p ara j= l,...,n ) — designa a d iferen ça e n tre os to tais dos benefícios e dos custos qu e ocorrem ao longo do j-ésim o p e ­ ríodo, a q u al se to m a rá como co n cen trad a no fim do período considerado. P o r convenção, a j> 0 , se ao longo do j-ésim o p e­ ríodo os benefícios excedem aos custos.

P a ra os p rese n tes propósitos, a a lte rn a tiv a será cham ada de in v e stim en to p ro p ria m e n te dito. Se a0 < 0 , dir-se-á tra ta r-s e de u m a a lte rn a tiv a de fin an ciam en to e, após m u ltip lic a r sua sequência de fluxos de caixa líquidos p o r m enos um , se rá a n a ­ lisada como se de in v estim en to fosse. N essa ú ltim a hipótese, b a s ta rá te r p re se n te qu e se deve in v e rte r a indicação de a v a­ liação económ ica d eriv a d a da aplicação dos crité rio s que se irá m encionar. Desse m odo, assegurando a g en era lid a d e da a n á li­ se, se rá tra ta d o apenas do caso de p ro jeto s de in v estim en to , sendo en tão co nveniente que a sequência de fluxos de caixa passe a ser re p re se n ta d a p o r <j -S, Q i,. . ,Q n onde S > 0 é o “in v e stim e n to ” inicial.

C o nsiderada u m a c e rta ta x a de ju ro s, i, define-se o v alo r a tu a l, V (i), de u m a a lte rn a tiv a de in v estim en to a tra v é s da relação:

n -j (1)

V (í) = -S + 2 Qj ( 1 + i)

perío-40

do tornado como u n id a d e básica de te m p o (2). De acordo com o m étodo do v a lo r atu al, u m p ro jeto de in v estim en to se rá con­ sid erad o como econom icam ente in te re ssa n te, ou ju stificá v el, se V (i) > 0.

P o r o u tro lado, tom ando ag o ra a ta x a de ju ro s como incóg­ n ita n a relação (1), e satisfeitas ce rta s condições de ex istên cia e unicidade, b em como de significação económ ica, a ta x a in te r ­ n a de reto rn o , i*, associada a u m a a lte rn a tiv a de in v estim en to é a ta x a que an u la o seu v a lo r atu al. Isto é, i*, deve se r solução da seg u in te equação:

n - = 0 (2)

V (i) = -S + 2 Q, (1+ i)

j = l

E m princípio, de acordo com o critério da ta x a in te rn a de reto rn o , u m a a lte rn a tiv a de in v e stim en to se rá considerada como econom icam ente ju stific á v el se i* > í.

2. 2. Problemas Associados ao Conceito da Taxa Interna de Retorno

M esmo nas condições ideais aqui assum idas, e ao c o n trá ­ rio do que ocorre como m étodo do v alo r atu al, a im p lem en tação do crité rio da ta x a in te rn a de re to m o n e m sem pre ap resen ta-se liv re de problem as. T ais problem as, que, como já se refe riu , são de n a tu re z a ta n to m a tem átic a como económ ica, serão agora discutidos.

C om eçar-se-á com os p roblem as de c a rá te r m atem ático. P a ra tan to , é conveniente que se proceda a u m a m u d an ça de v ariáveis, fazendo-se x = ( 1 + i ) - 1 como in c ó g n ita(3), de m odo que a d eterm in ação da ta x a in te rn a de re to rn o associada a u m a d ad a a lte rn a tiv a de in v estim en to passa a ser eq u iv a le n te à b u s­ ca das raízes do seg u in te polinóm io em x.

(.2) E v ita r-s e -á aq u i a discussão de q u al deva ser o v alo r co n sid erad o p a ­ r a i supondo a ex istê n cia de u m m ercad o de ca p ita is p erfeito , ta l qu e in v a ria v e lm e n te com o tem p o, q u a n tid a d e s ilim ita d a s de c a p ita l p o ­ d em ser to m a d a s e m em préstim o , ou ap licad as, à ta x a J. N es­ sas condições, p ode-se d e m o n stra r que a s re g ra s de av aliação econó­ m ica que se m e n cio n arão são ó tim a s ([11], cap. 3).

(3) O bserve-se que x 0 q u an d o i o o , x — 1 q u an d o i — 0, e que x oo q u an d o i ■> — 1.

F (x ) = -S + 2 QjXj (3)

j = l

De acordo com os fu n d am e n to s da álg eb ra, todo polinóm io do g ra u n a p re s e n ta e x a ta m e n te n raízes, incluindo-se ai as com plexas e contando-se cada ra iz d istin ta ta n ta s vezes q u an to for a sua resp ectiv a m u ltip licid ad e. P a r a nossos propósitos só in te re ssa m as raízes x* às q uais co rresp o n d am ta x a s i* q u e te ­ n h a m significação económ ica, isto é, ta x a s de ju ro s que se jam n ú m ero s reais e, no caso m ais geral, não in ferio res a -100% p o r período. C onsequentem ente, em princípio, a busca de r a í­ zes de (3) deve se r lim ita d a ao in te rv a lo definido p o r x ^ 0. N a p rátic a, porém , ta x a s n e g a tiv a s e n u la s carecem de in te re s ­ se, o que im plica em que a busca de raízes de F (x) seja, fin a l­ m ente, red u zid a ao in te rv a lo (0,1). A ssim , se e x istir, a ta x a in te rn a de re to rn o de u m a a lte rn a tiv a de in v e stim en to se rá a ta x a i co rresp o n d en te ao único v a lo r d istin to de xe (0,1) que a n u la F (x ).

C oncentrem o-nos n as questões de existên cia e de u n ic id a­ de. É então in te re ssa n te que, de acordo com os sinais n a se­ q u ên cia dos fluxos de caixa, as a lte rn a tiv a s de in v estim en to sejam classificadas em dois grupos principais. No p rim eiro g r u ­ po se situ arã o as a lte rn a tiv a s d itas de in v estim en to sim ples e as de in v estim en to convencional, q u e são aq u elas ta is que, re s ­ p ectiv a m en te, ou Qj ^ 0 p a ra todo j, ou os k < n p rim eiro s flu ­ xos de caixa são não-positivos com os n -k ú ltim o s sendo não- n e g a tiv o s(4)- É claro en tão que, dado que -S < 0 e que Qn =% 0, as a lte rn a tiv a s classificadas como de p rim eiro grupo a p re s e n ta ­ rão um a, e som ente um a, v ariação de sin al n a sequência d e f lu ­ xos de caixa. No segundo grupo estarão as cham adas a lte rn a ­ tiv a s de in v e stim en to não-convencional, cu jas resp ectiv as se­ q u ên cias de fluxos de caixa ap resen ta m m ais de u m a v a r ia ­ ção de sinal.

2 .2 .1 . A L T E R N A T IV A S DO SEGU NDO G RU PO

P a ra a an álise do caso de a lte rn a tiv a s de in v estim en to sim ­ ples e convencionais, é re le v a n te a ch am ad a R egra de S inais de D escartes [26], p. 121:

(4) O b v iam en te, se Qj ^ 0 p a ra tod o j, se te rá não m ais u m a a lte rn a tiv a de in v estim en to , e sim u m caso de doação.

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“O n ú m e ro de raízes reais positivas de u m a equação com coeficientes reais,

f (x) = a 0x n + aix11- 1 + an = 0,

n u n c a su p e ra o n ú m e ro de v ariações [de sin a l], n a sequência de seus coeficientes

aQ, ai,..., a n

e, se in ferio r, en tão sem p re [su b traíd o ] de u m n ú m e ro p a r.”

É en tão de conclusão im ed ia ta que, p a ra o caso de u m a a l­ te rn a tiv a de in v estim en to sim ples ou convencional, ex iste um , e som ente u m valor x > 0 que a n u la F (x ); seja ele x*. P o r o u tro lado, tendo em v ista a equação (1), e observando-se que F (0 ) = lim V (i) = - S < 0 e que lim F (x) = V (-1 )> 0 , se Qn> 0 ,

r > oo x*> oo

segue-se, pela co n tin u id ad e de polinóm ios, que a função v alo r a tu a l associada a ta is tipos de a lte rn a tiv a s será po sitiv a p a ra ta x a s i < i* e n e g a tiv a p a ra i > i*, onde i* = (1 — x*) /x* C onsequentem ente, dado que u m a a lte rn a tiv a de in v estim en to só será econom icam ente a tra tiv a se V (i) > 0 p a ra u m a c e rta ta x a í> 0 conclui-se que, a prio ri, u m p ro jeto de in v estim en to sim ples, ou convencional ta l que

n

F ( l ) = V (0) = -S + 2 Qj ^ 0 deve ser reje itad o . Isto é, pa-j = i

ra que a lte rn a tiv a s classificadas como do p rim eiro grupo se­ ja m seq u er exam inadas, é necessário que os to ta is de seus re s ­ pectivos benefícios excedam os de cu sto s(s).

2 .2 .2 . A LTER N A TIV A S DO SEG UN DO G R U PO

O bserve-se agora o caso das a lte rn a tiv a s classificadas co­ mo de segundo grupo. C onvém escla re cer que, p o r e sd rú x u la s que possam p arecer, tais sequências não co n stitu em ra rid a d e

(5) A condição é n ece ssária m a s n ão su ficien te p a r a a econom icidade d a a lte rn a tiv a , pois, m esm o se s a tisfe ita , p o d er-se-á o b te r V(£) 0

n a p rá tic a co rren te . A ssim , não só são associadas a exem plos típicos de in v e stim en to s in d u stria is que são citados n a lite ra tu - ra ([8 ], p. 563), como tam b ém , e d e in te re sse específico p a ra es­ te estudo, a certo s casos de in v e stim en to s em educação. A lém do m ais, como se d isc u tirá no próxim o subitem , costum am a p a re ­ cer com b a s ta n te fre q u ên cia quan d o do processo de seleção e n ­ tre a lte rn a tiv a s m u tu a m e n te exclusivas.

P a ra fins de análise, a lte rn a tiv a s de in v e stim en to não-con- v en cio n al podem , p o r sua vez, ser classificadas em dois su b g ru ­ pos. O p rim e iro co m p reen d eria as re la tiv a s ao caso de e m ­ p reen d im en to s p a ra os q u ais a v id a económ ica n pode ser to ­ rnada como v a riá v e l controlável. N este caso, conform e d e ­ m o n strad o nos tra b a lh o s de A rro w e L e v h a ri [2] e de F lem in g e W rig h t [6], e n tre o utros ex istem re g ra s ótim as de tru n c a ­ m en to do em p re en d im e n to que asseg u ram a ausência de p ro b le ­ m as n a utilização do crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o . No segundo su b g ru p o se e n c o n tra ria m as a lte rn a tiv a s de in v e sti­ m ento não-convencional p a ra as quais a v id a económ ica do e m ­ p reen d im en to é to m ad a como u m a d ad a constante. N esse caso, como se m o stra rá , n em sem p re é possível a aplicação do c rité rio da ta x a in te rn a de re to m o .

In icialm en te, convém re s s a lta r que a R eg ra de S inais de D escartes não é m ais de n e n h u m a u tilid ad e. Isto p o rq u e além de só p ro v e r u m lim ite su p e rio r p a ra o n ú m e ro de raízes posi­ tiv as d e F ( x ) , lim ite esse qu e é agora m aio r que 1, a p re sen ta o in co n v en ien te de não d istin g u ir e n tre raízes sim ples e m ú lti­ plas. A sua in ad eq u ação p a ra a an álise do caso de a lte rn a tiv a s de in v e stim en to não-convencional pode ser ilu s tra d a a tra v é s do ex am e dos exem plos a seguir, p a ra os quais os co m p o rtam en to s d as resp ectiv as funções v a lo r a tu a l são indicados e sq u em atica­ m e n te no G ráfico 1.

S e ja m as a lte rn a tiv a s que id en tificarem o s como A, B, C e D, às quais, resp ectiv am en te, são associadas as seg u in tes seq u ên ­

cias de fluxos de caixa: -{-4, 13, -10}*, \ -2, 2, -1}*, <(-2, 7, -4, -4}* e ^-11, 6, -12, 8}*. E n q u an to as trê s p rim e ira s a p re s e n ta m d u as variações de sinal, p a ra a ú ltim a tem os trê s variações. No en tan to , ao passo q u e F A(x) ^ 0 se a n u la p a ra dois d istin to s v a ­ lores positivos de x(0,5 e 0,8), F B (x) =^0 p a ra q u a lq u e r v alo r de x e F c x) e F D (x) an u lam -se p a ra u m único v alo r positivo de x (0,5 nos dois casos).

O caso da a lte rn a tiv a C serve ta m b ém p a ra ev id en ciar que, p a ra a aplicação efetiv a do crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o ,

além dos aspectos m a tem átic o s de ex istên c ia e de u n icid ad e, deve ser ta m b é m observado u m outro, este ag o ra de n a tu re z a económ ica. Isso p o rq u e, em b o ra F c (x) = 0 som ente p a ra x = 0,5, o que im plica qu e a função v a lo r a tu a l se a n u le som ente p a ra a ta x a i* = 100% p o r período, sendo p o rta n to sa tisfe ita s as condições de ex istên c ia e unicid ad e, a aplicação do c rité rio da ta x a in te rn a de re to m o e n tra em colapso. T al acontece devido ao fato de que, en q u a n to este crité rio in d ic a ria a ac e i­ tação da a lte rn a tiv a C p a ra q u a lq u e r ta x a de com paração i < i* , como V c (i) ^ 0 p a ra q u a lq u e r ta x a i, a consideração do m étodo do v alo r a tu a l con d u ziria a sua rejeição. A fim de e v ita r a possibilidade de avaliação inconsistente, ou seja, p a ra que a im ­ p lem en tação do critério da ta x a in te rn a de re to rn o seja se q u er cogitada, é necessário que a a lte rn a tiv a sob ex am e se ja ta l q u e F ( l ) = V (0) > 0. Isto é — e este aspecto não foi percebido n em p o r H irsh le ife r em sua c rítica [10], n em po r J e a n em su a ré p lic a [14] —, em b o ra a condição de que os benefícios to tais ex ced am os custos não seja n ecessária p a ra a econom icidade do e m p re en d im e n to (como é o caso da a lte rn a tiv a A, cujo v a lo r a tu a l é positivo p a ra ta x a s e n tre 25 e 100% po r p erío d o ), ela é im p rescin d ív el p a ra a aplicab ilid ad e do crité rio da ta x a in te rn a de re to rn o (6).

P o r o u tro lado, como ilu stra d o no caso da a lte rn a tiv a D, p a ra a qual, note-se, F D(1) = 1 > 0, v erifica-se a ex istên c ia de in v e stim en to s não-convencionais passíveis de u m a avaliação co e re n te pelo crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o . D eixando p a ra o pró x im o ite m a análise de u m caso p a rtic u la r de a lte r ­ n a tiv a de in v estim en to não-convencional, p a ra o q u a l a c o rre ta aplicação do crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o pode ser g a r a n ­ tid a a priori, dirigim os o le ito r aos tra b a lh o s de S oper [24] e de N o rstro m [19], que a p re se n ta m condições de suficiência a p li­ cáveis a casos b a s ta n te g e ra is(7).

(6) O bserve-se que, se V (0) < 0 , trê s são as p ossib ilid ad es que se a p r e ­ s e n ta m : o caso ilu stra d o p ela a lte r n a tiv a C ; aq u ele em que V (i) - 4 - 0 p a ra q u a lq u e r ta x a i (que é o caso d a a lte r n a tiv a B ) ; e aq u ele em que a fu n ção v alo r a tu a l se a n u la p a ta m a is de u m a ta x a de ju ro s (caso de A ). No caso lim ite, V(0) — 0, ou o p ro je to é eco n o m icam en te in ju s ­ tificáv e l, ou o c rité rio d a ta x a in te r n a de re to rn o se rá ta m b é m inaplicável.

(7) E n q u a n to que u m a a n álise c rtic a d a s condições de S op er podem ser e n c o n tra d a s em [5], o tra b a lh o de N orstro m , face a su a im p o rtâ n ­ cia p a r a o p ró p rio caso p a r tic u la r que se irá e s tu d a r, se rá tr a ta d o em A pêndice.

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2. 3. O Caso de A lternativas M utuamente E xclusivas

U m o u tro p ro b lem a associado à im p lem en tação do crité rio da ta x a in te rn a é o rela tiv o ao processo de escolha e n tre duas ou m ais a lte rn a tiv a s. T al p ro b lem a deve-se ao fato de que, dada u m a ta x a de com paração i, n e m sem p re a a lte rn a tiv a com o m aio r v a lo r a tu a l se rá a qu e a p re se n ta a m aio r ta x a in te rn a de reto rn o . C o n sequentem ente, não se pode g a ra n tir a priori que a sim ples com paração e n tre as ta x a s in te rn a s de reto rn o das a lte rn a tiv a s em ex am e p ro d u za u m a seleção consistente.

A títu lo de ilu stração , considere-se as sequências de fluxos de caixa \ -3, 3, 3 }■ e ] -2, 3, 1 [, resp e ctiv a m en te associadas às a lte rn a tiv a s que se d en o m in arão E e F, que devido a ca ra c te rís­ ticas físicas ou tecnológicas, não podem ser im p lem e n tad a s si­ m u ltan e am e n te; isto é, E e F são d itas a lte rn a tiv a s m u tu a m e n te exclusivas. In d iv id u alm en te, dado que ta n to E como F são do tipo in v estim en to sim ples e sendo V (0) > 0, pode-se g a ra n tir

* *

que, como se v erifica facilm ente, iE = 61,80% e iF = 78,08% po r período são as suas resp ectiv as ta x a s in te rn a s de retorno.

* *

E n tre ta n to , em bora iF > iE, dependendo da ta x a i de com pa­ ração, pode-se p re fe rir a a lte rn a tiv a E quando se com parar V E(í) com V F(i). O in te rv a lo ao q u a l deve p e rte n c e r i p a ra que ta l aconteça é facilm en te visualizado com au x ílio do G rá ­ fico 2, onde são esq u em atizad as as funções v a lo r a tu a l p a ra cada um a das a ltern a tiv as.

* Do G ráfico 2 conclui-se de im ediato que, p a ra is(0,iE-F),

*

onde í e-f ó a ta x a que ig u ala os v alo res atu a is das duas a lte r ­

nativ as, ter-se-á V E(í) > V f ( í) , o que im p lica em que E seja p re fe rív e l a F. É, p o rtan to , cru cial a d eterm in ação da ta x a

*

iE-F, ch am ad a ta x a de reto rn o sobre os custos de F ish e r [1], que n ad a m ais é do que a ta x a in te rn a de re to m o da “a lte rn a ­ tiv a ” cu ja sequência de fluxos de caixa é ob tid a pela d iferen ç a das sequências re la tiv a s a E e a F, e sua com paração com a

* *

dada ta x a i; se iE-F> i, a lte rn a tiv a E se rá a p referív el. No caso específico, a “a lte rn a tiv a d ife ren ç a ”, q u e se d e n o ta rá po r E-F, é ta m b ém do tipo in v e stim en to sim ples, pois que a

sequên-H»

cia re s u lta n te é -{-1, 0, 2}. T em -se qu e iE-F — 41,42%, o qu e im plica em que a a lte rn a tiv a F seja a p referív el, e econom ica­ m e n te in tere ssan te, som ente se 0,4142 < i < 0,7808.

G R Á F I C O 2

COMPARAÇÃO E NT R E AS A L T E R N A T I V A S E e F

In felizm en te, m esm o após a ex ten são do conceito e m esm o que as a lte rn a tiv a s em confronto se jam do tipo de in v e stim en to sim ples, não se pode g a ra n tir que a seleção se processe via im p lem en tação e s trita do crité rio d a ta x a in te rn a de re to m o . A ssim , p o r exem plo, considerando-se as a lte rn a tiv a s m u tu a ­

m e n te ex clu siv as G: -40, 60, 20 }* e H: <{-20, 3, 60}*, p a ra as q u ais

* *

iG = 78,08% e iH = 80,87% p o r período, tem -se que a “a lte r ­ n a tiv a d ife re n ç a ” é G-H: -{-20, 57, -40}>. O ra, G -H é do tipo in v e stim en to não-convencional, e ta l qu e V (0) < 0;

consequen-*

te m e n te iG.H não é d efin id a e a seleção pelo crité rio da ta x a in te rn a de re to rn o e n tra em colapso. Em casos tais como esse serem os obrigados a re c o rre r ao m étodo do v alo r atu al, o qu e in d ic a ria que G é p re fe rív e l a H p a ra 0,25 < i < 0,60.

3. ESTUDO DE UM CASO PARTICULAR

C onform e se viu, n em to d a a lte rn a tiv a do tipo in v e stim en to não-convencional é p assível de avaliação m e d ia n te a aplicação

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do critério da ta x a in te rn a de re to m o . E x iste po rém u m caso p a rtic u la r, aquele cu ja sequência de fluxos de caixa ap resen ta e x a ta m e n te duas variaçõ es de sinal, p a ra a q u a l se pode g a ra n ­ tir, a p rio ri, a c o rre ta im p lem en tação do critério . N este item , o objetivo co n sistirá em ex a m in a r ta l caso p a rtic u la r e, tom ando p o r base a ap resen tação de J e a n [13], ju s tific a r a afirm a tiv a m encionada.

P a ra a análise desse caso, é de cru cial relev ân cia o cha­ m ado te o re m a de B u d an -F o u rier, do qual, como apontado por M acD uffee ([16], p. 59), a R eg ra de S in ais de D escartes decorre como u m corolário, e que pode ser p arafrase a d o como se segue:

— C ontando-se u m a raiz m ú ltip la ta n ta s vezes q u an to for a sua m ultiplicidade, seja m o n ú m e ro d e raízes re a is de

n

F‘(x) = -S + 2 QjXj = 0 no in te rv a lo [xi, x 2], com F ( Xl) F (x2) ^ 0. j

C onsiderando-se a sequência

F (x ) , F ’(x ), F ” (x),..., F (n)(x ) (4) onde F (k)(x) d en o ta a k-ésim a d eriv a d a de F (x ) com resp eito a x, se jam S (xi) e S (x 2), resp ectiv am en te, os n ú m ero s d e v a ria ­ ções de sinais observados quando (4) é av aliad a nos pontos Xi e x 2. E ntão, m = S (xi) - S (x 2) - 2p, com p sendo ou igual a zero ou a u m in te iro positivo.

Ora, tem -se que:

F<k>(x) = k! [Qt + . 2 ( 3k ) Qjx ], p a ra k = l ,2 ,. , , n - l

J = k + 1

onde ( k ) = — —---k! ( j- k ) !

F (n> (x) = n!Q„

P o r conseguinte, fazendo Xi = 0 e x 2 = 1, tem -se que: F<k>(x!) = k! Qk , p a ra k = 1, 2,. .,n

e

F W (x2) = k! [Q k + . 2 ( k ) Q j], p a ra k = 1,. , , n - l

J = k + 1 com

F (n) (x 2) = n !Q n.

Como se tr a ta de a lte rn a tiv a s d e in v estim en to , F (x i) — S < 0, e, ten d o e m v ista q u e F ( l ) = V (0) > 0 é condição n ec essária p a ra a im p lem en tação fo rm a l do c rité rio da ta x a in te rn a de reto rn o , supor-se-á d aq u i p o r d ia n te q u e F ( x 2) > 0.

Isto posto, considere-se agora a aplicação do te o re m a de B u d a n -F o u rie r p a ra o caso p a rtic u la r aludido. Sem p e rd a de g en eralid ad e, a sequência de flu x o s de caix a co rresp o n d e n te é ta l que ta n to os v ú ltim o s como os p-1 p rim eiro s Qj são não-po- sitivos, como os n-p-v- + 1 in te rm ed iá rio s sendo não-negativos, sendo que:

p ^ 1, v ^ 1, com p + v ^ n; Qn < 0 e Qp > 0.

P a ra u m a a lte rn a tiv a de in v e stim en to com ta l sequência de flu x o s de caixa, tem -se que:

F « (Xl) = k!Q u

^ 0, p a ra k = l,...,p - l > 0, p a ra kr=p,...,n-v ^ 0, p a r a k = n - v + l,...,n

Logo, como F ( x i) < 0 , ao m enos F (p)(x i)> 0 e ao m enos F (n) (x i)< 0 , segue-se que h a v e rá e x a ta m e n te d uas v ariaçõ es de sin a l em (4), no p o n to Xi; ou seja, S (x i)= 2 .

Q u an to à d eterm in ação de S ( x 2), observe-se que F ( x 2) > 0, p o r hipótese, e q u e F<n>(x2) = n!Q n < 0. P o r conseguinte, po­ de-se a firm a r que, no ponto x 2, se te rá no m ínim o u m a v a r ia ­ ção de sin al n a sequência (4), ou seja, S ( x 2) ^ 1. P o rta n to , no m áxim o, S ^ ) — S ( x 2) = 1. Logo, p a ra o caso considerado, a aplicação e s trita do te o re m a de B u d a n -F o u rie r p e rm ite con­ c lu ir ap en as que, se e x istir alg u m a raiz xe (0,1), ela se rá ú n ica e com m u ltip lic id ad e u n itá ria .

50

Ora, e isso não foi observado po r J e a n [13], p a ra o caso em exam e é possível, in d e p en d en tem e n te, g a ra n tir a ex istên cia de ao m enos u m a raiz de F (x ) = 0 no in te rv a lo considerado. Isso porcjue, de ãcordò cóm o T eo rem a 30 em M acD uffeé" ([16] p. 52), como F (x ) é u m polinóm io èrri x = ( 1 + i ) - 1, e ta l que

(F (0) < 0 e F ( l ) > 0, ex iste u m n ú m e ro ím p a r (contando-se cada raiz m ú ltip la ta n ta s vezes q u an to a sua resp e ctiv a m u l­ tip licid ad e), de raízes de F (x ) - 0 no in te rv a lo definido por xe (0,1). C onsequentem ente, e tendo em v ista a conclusão a n ­ terio r, segue-se que a a lte rn a tiv a do tipo considerado ap resen ­ ta rá u m a e som ente um a, e ain d a com m u ltip lic id ad e u n itá ria, ta x a positiva que an u le o seu v alo r atual.

Logo, desde que sa tisfeita a condição económ ica de que o to ta l de benefícios exceda o de custos, pode-se g a ra n tir a cor­ re ta aplicação do crité rio da ta x a in te rn a de re to m o p a ra a avaliação de alte rn a tiv a s de in v e stim en to não-convencional do tipo p a rtic u la r considerado.

4. A TAXA DE RETORNO E PROJETOS DE INVESTIMEN­

TO EM EDUCAÇÃO

Em um p ro jeto de in v estim en to em educação os custos po­ dem ser de dois tipos: o custo d ire to ou escolar e a re n d a sa­ crificada. O p rim eiro re p re se n ta o v a lo r m o n etário de todos os recursos utilizados pela escola, definido n o rm a lm en te em te r ­ mos de alu n o /an o . A re n d a sacrificada ex p ressa a p e rd a da ren d a o b ten ív el no caso de que o aluno estivesse p articip an d o do m ercado de trab a lh o ao invés de estu d ar. Os benefícios r e ­ su ltam do acréscim o no salário, ocorrido d u ra n te a v id a útil, a trib u ív e l ao au m en to da escolaridade.

O G ráfico 3 re p re se n ta os com ponentes de custos e b en e­ fícios de u m p ro jeto típico de educação, no caso com um h o ri­ zo n te de tem po (vida ú til) de 20 anos e sendo de 4 anos a d u ­ ração do curso. Os p erfis de id ad e-ren d a rela tiv o s aos dois n í­ veis de esco larid ad e considerados são e E0; Cd re p re se n ta o custo d ireto anual. A re n d a sacrificada pode ser ob tid a a p a r­ tir do segm ento da cu rv a E 0 rela tiv o ao período de in stru ção que, no exem plo, é de 4 anos. A d iferen ça e n tre os dois p erfis de id ad e-ren d a (Ei e E0), após o térm in o do curso, re p re se n ta os benefícios advindos da execução do projeto. P o rta n to , a

se-52

a u ê n cia dos fluxos de caixa é ob tid a p ela d iferen ça e n tre duas curvas: a p rim e ira é descontínua, assum indo o v alo r co n stan te Cd no período de in v estim en to e, sendo id ên tica a Ei daí p o r diante. A segunda cu rv a é re p re se n ta d a po r E 0(8). O bserve-se que, em investigações em píricas, u su a lm e n te se ig n o ram certos benefícios da educação, como consum o e ex tern alid a d es, não captados pelo p e rfil de idade-renda. N este tra b a lh o não é n e ­ cessária a distinção e n tre ta x a s de re to m o p riv a d a e social(9). A sequência dos fluxos de caixa do p ro je to em discussão, ex ib id a no G ráfico 3b, rev e la ser o p ro jeto do tipo convencio­ nal, ou seja, -S < 0 e ex iste ap en as u m a variação de sinal. S a­ be-se, p o rtan to , que e x istirá apenas u m a ta x a de reto rn o e, sa­ tisfeita a condição económ ica V (0 )> 0 , essa ta x a será positiva. A inda que seja u m acontecim ento em p iricam en te raro , é possível a ocorrência de d uas v ariações de sinal n a sequência de fluxos de caixa, devendo-se a segunda variação a u m cru za­ m ento dos p erfis de idade-renda, originando fluxos de caixa negativos. Nesse caso, o p ro jeto é do tipo tra ta d o no ite m a n ­ terio r, com os p rim eiro s e ú ltim o s term o s sendo não positivos

(8) B e c k e r([3 ], pp. 37-45) sugere u m a fo rm u lação m ais g e ra l d a ta x a in ­ te r n a de re to rn o de in v e stim e n to s ed u cacion ais se a r e n d a sacrificad a fo r o único custo. Nesse caso, a ta x a de re to rn o (e o in v e stim e n to em c a d a período) é d e te rm in a d a u m a vez conhecidos os dois p erfis de id a d e-ren d a, d iferen ciad o s porque relativ o s a dois d istin to s níveis de esco laridade. Assim , se ja m os dois p erfis e X ., onde Y . é o asso ­ ciado à a lte rn a tiv a de m a io r nível de escolaridade. A ta x a de r e to r­ no é d e fin id a como o v alo r de i que s a tisfa z a ig u ald ad e:

n X . n Y

2 — = 2

j — 1 ( l + i ) J j = l ( 1 - j —i ) J

(9) A d ife re n ç a e n tre ta x a s de re to rn o p riv a d a e social e s tá nos subsídios e no im posto de re n d a , excluídos d a ta x a de re to rn o p riv ad a. Assim, pod e-se d e fin ir as ta x a s de re to rn o social e p riv a d a , ig e i como as ta x a s de desconto ta l que

2 (B -C j-E j ) ( l + i B) — C e (1—■t) 2 (Bj—<C.) d + i p)J

3 j

— (1—m ) 2 E .(l_ |_ ip) - Í — 0, onde B., C. e E . re p re s e n ta m os valores

j 3

dos benefícios, re n d a sa c rific a d a e custo escolar no período j, t r e p re ­ s e n ta a in c id ên cia m éd ia do im posto de re n d a , su p o sta aq u i c o n s ta n te e id ê n tic a p a r a am bos os perfis, e m é a proporção do custo d ire to que é subsidiado.

e pelo m enos u m te rm o in te rm e d iá rio sendo positivo. Como se viu, desde que sa tisfe ita a condição económ ica, a ex istên c ia e un icid ad e de u m a ta x a de reto rn o po sitiv a estão asseguradas.

Os p erfis de id a d e-re n d a são obtidos a tra v é s do a ju s ta m e n ­ to de cu rv as a observações em píricas, as quais fre q u e n te m e n te são funções p arab ó licas ou logarítm icas. D evido ao co m p o rta­ m en to u su a l das observações, se ria e x tre m a m e n te ra ro en co n ­ tr a r p e rfis ta is que causassem m ais de duas variações de sin al n a sequência de fluxos de caixa. M esmo n este caso, se condi­ ções m ais g erais (como as de N o rstro m ) fo rem verificadas, é possível a aplicação do crité rio da ta x a de reto rn o .

E n tre ta n to , ao c o n trá rio de m u ito s casos de p ro jeto s in ­ d u stria is qu e podem ser tru n cad o s, assegurando-se dessa fo rm a o uso gen eralizad o do crité rio da ta x a in te rn a de re to m o , essa possibilidade escapa a u m p ro jeto de in v estim en to em ed u c a­ ção, em v irtu d e de que não é possível tr u n c a r o p e rfil de idade- re n d a do m en o r n ív e l de escolaridade. Nesse sentido, cabe ch a­ m a r a atenção p a ra o fato d e que a ta x a de reto rn o em ed u ca­ ção é se m elh a n te à ta x a de re to m o sobre os custos de F ish er p o rq u e am b as re su lta m da com paração de duas d istin ta s ativ id ad es.

U m p ro je to em educação fo rm a l é, n o rm alm en te , u m p ro ­ je to d ep e n d en te devido à ex istên cia de u m p ré-req u isito , n a fo r­ m a de um curso prévio, p a ra sua realização. A dicionalm ente, u m de seus benefícios pode ser o v a lo r de opção ([27], pp. 109-113), re p re se n tad o pela possibilidade de re a liz a r u m curso su b seq u en te. E sse v alo r de opção não está incluído no cálculo u su al da ta x a de reto rn o .

No caso in d iv id u al, se a decisão se d e r e n tre cursos a lte r­ nativos, o uso do crité rio da ta x a de re to rn o fica p reju d icad o q uando as funções do v alo r a tu a l dos p ro jeto s em consideração se cru za m a u m a ta x a de ju ro s su p e rio r à u tiliza d a p a ra com ­ paração. N as decisões g o v ern am en tais sobre a alocação de r e ­ cursos fica c a ra cte riza d a a p rese n ça de p ro jeto s m u tu a m e n te exclusivos (além do caso de im possibilidade física) n a m ed id a em que h a ja u m a restriç ão o rçam en tária . Nesse caso, e in d e ­ p en d e n te m e n te de que as ta x a s de re to rn o em educação re p re ­ se n tem o reto rn o m édio e não m a rg in al, as com parações e n tre ta x a s de re to rn o em d ife re n te s setores como indicadores de eficiência alo cativ a p erd em a v alid ad e n a m edida em que esses resu ltad o s co n flitam com aqueles rev elad o s pelo crité rio do v alo r atual.

54

5. EXEMPLOS DE PROJETOS EDUCACIONAIS

APRESENTANDO D U A S VARIAÇÕES DE SIN A IS

E ste cap ítu lo te m a fin alid ad e de ilu s tra r a discussão p ré ­ via, com exem plos re tira d o s de tra b a lh o a n te rio r de u m dos au to res [18]. O co rreram v ário s casos de p ro jeto s educacionais cu ja sequência de fluxos de caixa a p re sen ta v a duas variações de sinais. E m alg u n s p rojetos, u m a das regressões usadas p a ra e s tim a r os p erfis de id ad e-re n d a não e ra sig n ificativ a a 5% ; em outros a in terseção dos p erfis de id a d e-re n d a dava-se no in í­ cio, não sendo sa tisfe ita a condição económ ica ( V (0 )> 0 ). A seg u ir se d iscu tirão dois exem plos, em u m dos quais a condição económ ica não foi satisfeita.

N as e stim a tiv a s dos p erfis de id a d e-re n d a fo ram usadas trê s funções: lin ear, sem ilogarítm ica e logarítm ica. Em alg u n s casos, foi u sad a adicionalm ente u m a função q u ad rática , tendo a função lo g arítm ica revelado os m elhores resu ltad o s estatísticos. O p rim eiro exem plo refere-se a dados rela tiv o s a São P aulo, com parando-se indivíduos com a escola técn ica com pleta com aqueles apenas com o ginásio com pleto. Como h a v ia in te ­ resse sobre o efeito do tam an h o da firm a no reto rn o , fo ram obtidos p erfis de id ad e-re n d a relativ o s à escola técnica p a ra os e stra to s de tam an h o da firm a disponíveis. No exem plo, o r e ­ torno é p a ra aqueles tra b a lh a n d o em firm a s qu e ocupam e n tre 250 e 499 pessoas.

O segundo exem plo é re la tiv o a casos de indivíduos que tra b a lh a m em u m a d as cinco firm as da G u an a b a ra que fo ram estu d ad as — a S ta n d a rd E letric. C onsideraram -se as d ife re n ­ ças de re n d a e n tre aqueles com a escola técnica com pleta e in ­ com pleta. E stim ou-se em u m ano a d uração do curso incom ­ pleto; p o rtan to , o reto rn o se re fe re ao in v estim en to associado a dois anos adicionais de curso. Os p erfis de id ad e-re n d a fo ram obtidos a p a r tir das regressões ap resen ta d as n a T abela 1.

T A B E L A 1 R E G R E SSÕ E S U T IL IZ A D A S N A CONSTRUÇÃO P E R F IS DE 1DADE-RENDA (*) DOS 1.0 exem plo: — esc. técnica N = 209 — ginásio N = 463 2.0 exem plo: — esc. téc. com pleta N = 69 — esc. téc. in co m p leta N = 13 In Y = 4.0156 + 0.67190 In I; R = (6,16) —2 In Y = 3.3123 + 0,86608 In I; R = (11,26) 0,155 0,216 —2 In Y = 1,1886 + 0, 67118 In I; R = 0,098 (2,70) —2 In Y = 0,2792 + 1,19520 In I; R = 0,393 (2,27)

(*) Y = ren d a; I = idade; N — n ú m e ro de observações;

— 2

R r=r coeficiente de d eterm in ação corrigido e o n ú m ero e n tre p arên tese s é o v a lo r calculado de t. Todos as r e ­ gressões são significativas a 1%.

As estim a tiv a s dos custos d ireto s e da re n d a sacrificada u tiliza d as estão em [18]. F oi suposto qu e o ingresso do fo rm a n ­ do no m ercado de tra b a lh o ocorresse logo após o térm in o do curso (21 a n o s ); a v id a ú til co n sid erad a foi de 60 anos de idade. U m a vez c o n stru íd a a sequência dos flu x o s de caixa, foi ap lica­ do o p ro g ra m a de com putação ap resen ta d o em [4] p a ra o cá l­ culo da ta x a de retorno.

No p rim eiro exem plo, a segunda v ariação de sinal n a se­ q u ên cia dos flu x o s de caixa ocorre 16 anos após a e n tra d a no m ercad o de trab alh o . Os re sta n te s 23 anos da v id a ú til a p re ­ se n ta m fluxos de caix a negativos, do que re su lta V (0 )< 0 , d e i­ x an d o de se r sa tisfe ita assim a condição económ ica. O G ráfico 4. a m o stra a função v alo r atu al, que assum e se m p re v alo re s

ne-g ativ o s p a ra ta x a s de ju ro s positivas, te n d en d o assin to ticam en - te p a ra o v a lo r do fluxo de caixa inicial. C o n sequentem ente, p a ra este exem plo, o crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o e n tra em colapso.

O segundo exem plo a p re s e n ta ap en as sete fluxos de caix a negativos: os dois p rim eiro s e os cinco últim os. Como V (£ )> 0 , sabe-se que e x is tirá u m a ú n ica ta x a in te rn a de reto rn o p o siti­ va. No caso, esta ta x a de re to rn o é de 29,4% ao ano. P o rta n to , a ta x a s de ju ro s m en o res que esta ta x a, a função v a lo r a tu a l se­ r á positiva, e a ta x a s de ju ro s m aiores, n eg ativ a. O G ráfico 4 .b m o stra o co rresp o n d e n te co m p o rtam en to da função v a lo r atu al.

E m am bos os exem plos, a sequência dos fluxos de caixa a p re sen ta v a duas v ariaçõ es de sinais. Pode-se o b se rv a r que, u m a vez sa tisfe ita a condição económ ica, a ex istên cia e u n ic id a­ de de u m a ta x a de re to rn o p o sitiv a estão asseguradas.

6. CONCLUSÃO

C onform e se viu, pode-se asseg u rar a c o rre ta aplicação do critério da ta x a in te rn a de re to m o n a avaliação de p ro jeto s do tipo p a rtic u la r analisado. Isto é, sendo sa tisfeita a condição económ ica de que o to ta l de benefícios exceda o de custos, p ro ­ je to s de in v estim en to com e x a ta m e n te duas variações de sin al n a sequência dos fluxos de caix a a p rese n ta rã o u m a e som ente u m a ta x a in te rn a de re to rn o positiva.

A ex p e riên cia re v ela que a m aio ria dos p ro jeto s de in v e s­ tim en to em educação a p re se n ta no m áxim o duas variaçõ es de sin al n a sequência dos fluxos de caixa. D essa form a, e u m a vez v erific a d a a condição de n a tu re z a económ ica, segue-se q u e ta is p ro jeto s podem ser co rre ta m e n te avaliados a tra v é s do c ri­ tério da ta x a in te rn a de reto m o . N a e v e n tu a lid ad e da o co rrên ­ cia de m ais de duas variações de sinal, a in d a assim p o d erá ser possível a aplicação do critério , desde qu e o u tra s condições, co­ mo a d iscu tid a no apêndice, sejam preenchidas.

58

A P Ê N D I C E

Como m encionado no tex to , ex iste m certas condições de suficiência, como as devidas a S oper [24] e, como m ostrado o rig in alm en te p o r K ap la n [15], as que se baseiam n a aplicação do cham ado T eorem a de S tu rm ([25], p. 103), que p erm item g a ra n tir a co rre ta im p lem en tação do crité rio da ta x a in te rn a de reto rn o p a ra casos b a s ta n te g erais de a lte rn a tiv a s de inves­ tim en to não-convencional. E n tre estas, p o r sua sim plicidade de aplicação e ain d a po r sua rele v ân cia p a ra o estudo do caso p a rtic u la r que se analisou, cu m p re d estac ar a devida a Nors- tro m [19], e que decorre do seguinte resu ltad o .

P a ra y — 1 + i, e considerando-se u m a a lte rn a tiv a de inves­ tim ento, form e-se a seg u in te equação:

B (y ) = -Syn + ! Qj y n-> = 0 (1-A) j = i

p a ra y > 1.

O bserve-se que, como i = y-1, a u m a solução y* de (1-A) co rresp o n d erá u m a ta x a positiva i* que an u la c v alo r a tu a l da a lte rn a tiv a considerada.

A . 1 TEOREMA

Se a sequência de flu x o s de caixa cu m u lativ o s Ao,Ax.. .,A nj> onde

{

a p re s e n ta r u m a ú n ica variação de sinal, e se A 0A n < 0, então e x istirá u m a e som ente u m a solução y* > 1 p a ra B ( y ) = 0 , A in ­ da m ais, esta solução se rá sim ples (isto é, te rá m u ltip lic id ad e u n itá ria ) .

D EM O N STRA Ç Ã O

In icialm en te, note-se que, se o p ro d u to A oA n< 0 , segue-se que, como A ^ -S < 0 , A n> 0 . P o rta n to ,

n

B ( l ) = - S + 2 Q j= A n > 0 , e como lim B (y ) te m o m es- j —-l y-^co

m o sin al que -S = A 0, a co n tin u id ad e de B (y ), qu e é u m p o li­ nóm io em y, im p lica n a ex istê n c ia de ao m enos u m a raiz de

(1-A) no in te rv a lo considerado (y > 1).

B uscando-se u m a contradição, suponha-se ag o ra a e x is tê n ­ cia de m ais de u m a raiz de B (y ) = 0 no in te rv a lo considerado. S ejam essas ra íz es yi, y 2,. in d ex ad as de ta l m odo qu e

Yi ^ Y2 •• O ra, como se ir á v erificar, considerando-se a k-ésim a dessas raízes, te r-se -á qu e a d e riv a d a p rim e ira se rá ta l qu e B ’(yk) < 0. C o n seq u en tem en te, em p a rtic u la r, B ’(yi) < 0, o q u e im p lica em q u e yi se ja u m a raiz de B (y ) = 0 com m u ltip lic id ad e u n itá ria (cf. [16], p. 48), e ta m b é m q u e se te n h a B (y ) < 0 p a ra y e . (yi, y 2). P orém , se B (y ) < 0 p a ra yi < y < y 2, d ever-se-á te r en tão B ’(y2) ^ 0, o q u e fo r­ nece a d eseja d a contradição.

P ode-se p a ssa r en tão à com provação de qu e B ’(yk) < 0. P a ra ta n to , tendo em v ista qu e Qj ■== Aj - A ^ h j = 1,. n, n ote-se que se pode escrev er:

podem os escrev er ainda:

B (y ) = (y - 1) G (y ) + A n (4-A)

com

B J(y) = (y - 1) G ’(y) + G (y ) (5-A)

S eja y k > 1, com B (y k) = 0. E ntão, como A n > 0, p o r hipótese, segue-se de (4-A) que G (y k) < 0. Logo, tendo em v ista a expressão (5-A), se G ’(yk) < 0, ter-se-á que B ’(yk) < 0.

60

O ra, como p o r hipótese h á u m a única v ariação de sin al n a sequência de fluxos de caixa cum ulativos, segue-se q u e deve e x is tir u m in teiro m, ta l que 1 ^ m < n, p a ra o qual:

Se, para uma alternativa de investim ento, a sequência de fluxos de caixa líquidos, ■{ -S, Qx, . ., Qn apresentar exatam ente

duas variações de sinal e A n > 0, então existirá uma e som ente uma (e sim ples) taxa interna de retorno positiva.

DEMONSTRAÇÃO

Por hipótese, havendo exatam ente duas variações de sinal na sequência de flu xos de caixa, deve-se ter:

62

c) A j-A j-! = Qj ^ 0 p a ra j = p , . ., n - m ; ou seja, Aj é não d ecrescen te nesse in te rv a lo , P o rta n to , como A p-i < 0, se Aj v ie r a se to r n a r não-negativo p o r alg u m índice j no in te r­ valo considerado, m a n ter-se-á não n eg ativ o p a ra todos os índices su p erio res a esse.

C onsequentem ente, a sequência de fluxos de caix a cu m u la­ tivos a p re s e n ta rá u m a e som ente u m a v ariação de sinal, o q u e é suficiente p a ra a d em onstração da proposição.

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