UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Felipe Costa da Silva Miranda
MODELAGEM DINÂMICA DE UM MANIPULADOR
ROBÓTICO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE
NITERÓI, RJ
2019
F
ELIPEC
OSTA DAS
ILVAM
IRANDAMODELAGEM DINÂMICA DE UM MANIPULADOR
ROBÓTICO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientador:
Prof. Bruno Campos Pedroza
Niterói, RJ 2019.
Ficha catalográfica automática - SDC/BEE Gerada com informações fornecidas pelo autor
Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274
M672m Miranda, Felipe Costa da Silva
MODELAGEM DINÂMICA DE UM MANIPULADOR ROBÓTICO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE / Felipe Costa da Silva Miranda ; Bruno
Campos Pedroza, orientador. Niterói, 2019. 102 f. : il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Mecânica)-Universidade Federal Fluminense, Escola de Engenharia, Niterói, 2019.
1. Robótica. 2. Manipulador (Mecanismo). 3. Dinâmica. 4.Produção intelectual. I. Pedroza, Bruno Campos, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Escola de Engenharia. III. Título.
F
ELIPEC
OSTA DAS
ILVAM
IRANDAModelagem dinâmica de um manipulador robótico de 3 graus de
liberdade
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Grau:
Aprovado em 17 de dezembro de 2019.
B
ANCA EXAMINADORA___________________________________________ Prof. D.r Bruno Campos Pedroza – UFF
Orientador
___________________________________________ Prof. D.r Gabriel Mario Guerra Bernadá – UFF
___________________________________________ Profa. D.ra Stella Maris Pires Domingues – UFF
D
EDICATÓRIADedico este trabalho aos meus pais Debora e Eduardo, e à minha irmã Ana Luisa por todo amor que me deram e por terem me dado o suporte necessário para que eu concluisse minha graduação.
Dedico aos meu avós Isaira, Manoel, Maria e Francisco que sempre torceram pelo meu sucesso e incentivaram meus estudos.
Dedico à minha namorada e melhor amiga Ana Carolyna por ser essa pessoa tão especial na minha vida.
i
A
GRADECIMENTOSAgradeço ao meu orientador Bruno Campos Pedroza pelo suporte dado durante todo o projeto e por ter acreditado em mim.
Agradeço à professora Stella Maris por todos os sorrisos, conselhos e pelo carinho que teve comigo durante a minha graduação.
Agradeço aos meus amigos Adolfo, Eduardo, Mateus, Pedro, Rafael e Vinicius que foram muito importantes durante a minha graduação.
Agradeço à todos os professores, técnicos e servidores da UFF que trabalham todos os dias para fazer a universidade funcionar.
Agradeço à minha família por todo o carinho, amor, suporte e incentivo dado.
Agradeço a todas as forças divinas que me auxiliaram nessa jornada que foi a minha graduação.
iii
R
ESUMONeste trabalho é realizada a modelagem dinâmica de um manipulador robótico para fins acadêmicos com três graus de liberdade. Incialmente é apresentada a modelagem geométrica e cinemática do manipulador em seguida são detalhados os parâmetros de Denavit-Hartenberg e a metodologia de Newton-Euler, utilizada para obtenção da equação dinâmica do robô acadêmico. Foi realizada uma modelagem 3D no SolidWorks® para extrair parâmetros físicos necessários para implementação da equação dinâmica. A partir da equação dinâmica foi criado um modelo da estrutura mecânica do manipulador robótico no Simulink®. E utilizando uma algoritmo de controle de posição da junta foi realizada uma simulação no Matlab® para verificar qualidade da modelagem feita no Simulink®.
v
A
BSTRACTIn this work is performed the dynamic modeling of a robotic manipulator for academic purposes with three degrees of freedom. Initially, the geometric and kinematic modeling of the manipulator is presented, followed by the Denavit-Hartenberg parameters and the Newton-Euler methodology, used to obtain the dynamic equation of the academic robot. A 3D modeling was performed in SolidWorks® to extract physical parameters necessary for implementation of the dynamic equation. From the dynamic equation was created a model of the mechanical structure of the robotic manipulator in Simulink®. And using a joint position control algorithm, a simulation was performed in Matlab® to verify the quality of the modeling done in Simulink®.
vii
L
ISTA DE ILUSTRAÇÕESFigura 1.1 - Desenho de conjunto 2D do Manipulador Robótico. Fagundes e Lemos
(2018). ... 18
Figura 2.1- Elo i-1 e os parâmetros que descrevem a relação entre os eixos i-1 e i. Craig (2005) ... 21
Figura 2.2 - Elo i-1 com o sistema de coordenada anexado e a posição relativa entre os sistemas de coordenadas i-1 e i. Craig (2005). ... 23
Figura 2.3 - Mostra o posicionamento dos sistemas de coordenadas P, Q e R que auxiliam na transformação do sistema de coordenadas i para i-1. Craig (2005) ... 24
Figura 2.4 - Contribuições das velocidades do Elo i e da junta i+1 para o resultado da velocidade do Elo i+1. Craig (2005). ... 29
Figura 2.5 - Momento N, velocidade angular ω e aceleração angular ω ̇ atuando no centro de massa do Elo. Craig (2005). ... 30
Figura 2.6 - Vetor P descreve a localização do elemento infinitesimal de volume, dv. Craig (2005) ... 31
Figura 3.1 - Desenho do braço robótico sem o efetuador. . ... 35
Figura 3.2 - Sistema de coordenadas de referência. ... 36
Figura 3.3 - Sistema de coordenadas anexado a Base Movel. ... 36
Figura 3.4 - Sistemas de coordenadas anexados aos elos 2 e 3. ... 37
Figura 3.5 - Desenho de conjunto do braço robótico na posição em que todas as variáveis de junta tem valor igual a zero. ... 37
Figura 3.6 - Base Movel com o sistema de coordenadas da base móvel e sistema de coordenadas do centro de massa anexado. ... 39
Figura 3.7 - Sistemas de coordenadas anexados ao Elo 2. ... 40
Figura 3.8 - Sistemas de coordenadas anexados ao Elo 3. ... 41
Figura 5.1 - Diagrama de blocos do manipulador robótico no Simulink. ... 52
Figura 5.2 - Posição deseja (azul) e posição real (laranja) da junta 1 em função do tempo de simulação. ... 53
Figura 5.3 - Posição desejada (azul) e posição real (laranja) da junta 2 em função do tempo de simulação. ... 54
Figura 5.4 - Posição desejada (azul) e posição real (laranja) da junta 3 em função do tempo de simulação. ... 54
ix
L
ISTA DE TABELASTabela 3.1 - Parâmetros de Denavit-Hartenberg dos elos do braço robótico. ... 38 Tabela 5.1- Condições de contorno inseridas na simulação. ... 53
xi
L
ISTA DE SÍMBOLOS𝑇
𝑖
𝑖−1 matriz de transformação homogênea de i para i-1
𝜔
𝑖+1𝑖 velocidade angular do elo i+1 escrito em termos de i
𝜔̇
𝑖+1𝑖 aceleração angular do elo i+1 escrito em termos de i
𝜐
𝑖+1𝑖 velocidade linear do elo i+1 escrito em termos de i
𝜐̇
𝑖+1𝑖 aceleração linear do elo i+1 escrito em termos de i
𝑓
𝑖
𝑖 força exercida no elo i pelo elo i-1
𝑛
𝑖
𝑖 torque exercido no elo i pelo elo i-1
𝜏𝑖 torque requerido na junta i 𝜐̇
𝐶𝑀 𝑖𝑖 aceleração linear do centro de massa do elo i
𝜃𝑖 posição da junta i 𝜃̇𝑖 velocidade da junta i
𝜃̈𝑖 aceleração da junta i
xiii
S
UMÁRIO Dedicatória ... ii Agradecimentos ... i Resumo ... iii Abstract ... vLista de ilustrações ... vii
Lista de tabelas ... ix Lista de símbolos ... xi Sumário ... xiii 1 Introdução ... 15 1.1 Justificativa... 17 1.2 Objetivo ... 18 1.3 Estrutura do trabalho ... 19 2 Fundamentação Teórica ... 21 2.1 Cinemática direta... 21 2.2 Transformações ... 24 2.3 Velocidade ... 26 2.4 Equações de Newton-Euler ... 30
2.5 Método de resolução de Newton-Euler ... 32
2.5.1 Iterações para computar velocidades e acelerações ... 32
2.5.2 Iterações para calcular forças e torques. ... 33
3 Determinação dos parâmetros físicos ... 35
3.1 Propriedades dos elos ... 38
3.1.1 Base Móvel ... 38
3.1.2 Segundo Elo ... 39
3.1.3 Terceiro Elo ... 41
4.1 Modelagem cinemática ... 43 4.2 Modelagem dinamica ... 44 4.2.1 Iterações para fora ... 45 4.2.2 Forças e torques inerciais no centro de massa ... 45 4.2.3 Iterações para dentro ... 45 4.2.4 Estrutura da equação dinamica do manipulador ... 46 5 Modelagem simulink... 51 5.1 Geração de trajetória ... 51 5.2 Resultados da simulação ... 53 6 Conclusãos e pespectivas futuras ... 57 7 Referências bibliográficas ... 59 Apêndice A. Código maple ... 61
1 INTRODUÇÃO
O autor Karel Capek escreveu, no início dos anos 20, um conto chamado “Os Robôs Universais de Rossum”. O conto deu origem a palavra robô, oriunda da palavra tcheca “robota”, que significa servidão ou trabalho forçado. O conto narra a história de um cientista chamado Rossum que junto com seu filho, criou um exército de robôs com o intuito de que eles servissem aos humanos e realizassem o trabalho físico que os humanos costumavam fazer. A história tem um final infeliz, pois os robôs passam a contestar seu papel de servidão e rebelam-se contra os humanos, destruindo-os (GROOVE et al., 1988).
Associação das Indústrias da Robótica (RIA) define um robô industrial como “um manipulador reprogramável, multifuncional, projetado para mover materiais, peças, ferramentas ou dispositivos especiais em movimentos variáveis programados para a realização de uma variedade de tarefas.”
Uma definição complementar é apresentada pela norma ISO 10218, como sendo "uma máquina manipuladora com vários graus de liberdade controlada automaticamente, reprogramável, multifuncional, que pode ter base fixa ou móvel para utilização em aplicações de automação industrial".
O primeiro robô industrial surgiu em 1961 nos Estados Unidos. O conceito foi proposto pelo inventor americano George Charles Devol e desenvolvido em parceria com o empreendedor Joseph Engelberger. O primeiro protótipo, chamado “Unimate”, foi desenvolvido para trabalhar na parte de fundição em molde na linha de montagem da General Motors, por ser um trabalho perigoso para o ser humano. O desenvolvimento do “Unimate” marca o início do uso industrial dos robôs (ROBOTICS INDUSTRIES ASSOCIATION, 2019b).
Além de substituirem os humanos em tarefas consideradas perigosas, a aplicação de robôs na indústria apresenta outros benefícios. Robôs são capazes de produzir tarefas repetitivas sem perda de eficiência e precisão, podem trabalhar mais rápido, com mais precisão e utilizando quantidades mínimas de material; conseguindo melhorar a qualidade do produto e reduzindo custos de produção. Além dos benefícios citados, a queda nos preços dos robôs e o aumento do preço da mão de obra humana são fatores impulsionadores do crescimento do uso de robôs industriais (CRAIG, 2005; PAZOS, 2002).
Fora do contexto industrial, a robótica desempenha papel importante na educação. O conceito de robótica educacional refere-se a ambientes de aprendizagem que dispõe de dispositivos possíveis de serem programados. Usualmente esses ambientes apresentam materiais de sucata ou kits de robótica educacional, como os fornecidos pela empresa Lego. Esses kits educacionais se baseiam no conceito de “aprender fazendo” onde as crianças podem construir seu próprio conhecimento utilizando-se de recursos tecnológicos. Dessa forma a robótica educacional propicia ao estudante conhecer a tecnologia atual e desenvolver competências como raciocínio lógico, resolução de problemas por meio de erros e acertos, criatividade, capacidade, crítica entre outras (ZILLI, 2004).
A robótica apresenta grande importância também dentro da medicina. Devido aos avanços tecnológicos está se tornando cada vez mais comum o uso de instrumentos robóticos na realização de procedimentos cirúrgicos delicados. O conhecimento de um médico especialista aliado a uma tecnologia de última geração permite procedimentos mais seguros, precisos, rápidos, com menos dores e traumas. Nas cirurgias robóticas os movimentos do robô não são autônomos, dependem de um ser humano operando. Nesse tipo de cirurgia os instrumentos robóticos são utilizados como uma extensão da mão do cirurgião e obedecem ao seu comando. Dessa forma consegue-se um escalonamento dos movimentos reduzindo o tremor natural das mãos e permitindo a execução de movimentos milimétricos com precisão. Entre outras vantagens da cirurgia robótica tem-se: recuperação mais rápida do paciente, melhor ergonomia para o cirurgião, melhor qualidade de imagem através de microcâmeras e possibilidade de realização de cirurgias feitas à distância, com o médico situado em outro lugar (WARELINE, 2019).
Robôs também podem ser muito úteis para realizar tarefas consideradas muito perigosas para seres humanos como manipulação de explosivos e inspeção de áreas com elevados níveis de radiação, por exemplo. Após o desastre ocorrido na usina nuclear de Fukushima, no Japão, os japoneses utilizaram o PackBot para inspecionar as instalações que apresentavam altos níveis de radiação. Desenvolvido pela iRobot, o PackBot é capaz de atravessar terrenos irregulares, passar por cima de pequenos obstáculos sendo controlado a distância. Seu longo braço robótico possibilita a manipulação de objetos, entre eles dispositivos explosivos (EXAME, 2019).
Outra aplicação para robôs é a exploração de ambientes desconhecidos. Os robôs exploradores são responsáveis por explorar um ambiente, ou mesmo um objeto fixo, através de seus sensores, revelando assim suas características físicas. Um exemplo disso é o jipe-robô
Curiosity que pousou na superfície de Marte em 2012. O Curiosity carrega dentro de si um laboratório inteiro equipado com ferramentas que permitem perfurar rochas e coletar amostras de materiais do solo para analisar a composição mineral local. Dentre os objetivos da missão exploratória do Curiosity, pode-se citar a avaliação do potencial de Marte para abrigar vida no presente e no passado e a investigação do papel da água na evolução de Marte (G1, 2019).
1.1 J
USTIFICATIVAO relatório executivo publicado pela Federação Internacional de Robótica em 2018 registra que desde 2010 a demanda mundial por robôs industriais tem crescido consideravelmente devido à atual tendência de automação das indústrias e ao contínuo aprimoramento técnico dos robôs industriais. No mercado de robôs industriais a indústria automotiva se destaca por ser a maior consumidora, sendo responsável por 33% da demanda total de robôs industriais em 2017. Seguida pela indústria de eletro/eletrônicos que consumiu cerca de 32% do total de robôs industriais e apresentou um crescimento médio anual de 30% entre 2012 e 2017, sendo essa a principal indústria impulsionadora de crescimento da indústria de robôs industriais. O crescimento médio da indústrial de robótica industrial entre 2012 e 2017 foi de 18% ao ano, mostrando que as soluções de robótica industrial podem ser aplicadas as mais variadas industrias de manufatura e não apenas às industrias automotiva e de eletro/eletrônicos.As projeções feitas pela Federação Internacional de Robótica mostram um crescimento geral esperado de 16% ao ano até 2021 e um crescimento de 10% para o continente Americano (ROBOTICS INDUSTRIES ASSOCIATION, 2019a).
O atual cenário de crescimento da robótica industrial exige a capacitação de profissionais para atuarem nesse campo, ajudando no processo de automação das indústrias brasileiras visando manter o Brasil competitivo no cenário mundial de manufatura.
Existe uma vasta gama de possibilidades de aplicação de robôs em industrias, os robôs manipuladores constituem a maioria dos robôs industriais instalados, sendo considerado o robô industrial mais importante (CRAIG, 2005).
Por conta do custo, muitas universidades não possuem braços robóticos comerciais disponíveis para uso educacional. Dessa forma, o desenvolvimento de um braço robótico dentro da Universidade se justifica, por ser uma alternativa de baixo custo que serve como ferramenta de suporte no ensino de robótica. Concluído o projeto a universidade contará com uma
importante ferramenta de suporte no ensino de programação, análise de mecanismos, uso de sensores e atuadores entre outros.
No trabalho de Fagundes e Lemos (2018) é descrito o projeto de um robô manipulador com 3 graus de liberdade para fins acadêmicos, mostrado na figura 1.1. As diversas etapas que compõe o projeto e construção do braço robótico permitem aos alunos aplicarem conceitos teóricos adquiridos e desenvolver capacidades/habilidades, entre elas a capacidade de resolver problemas pois durante a fase de construção podem surgir problemas que não foram previstos durante a fase de projeto. E, assim como mostrado em Krasnansky (2013), robôs manipuladores podem ser utilizados nos estudos de cinemática direta, inversa e análise dinâmica utilizando softwares como Matlab/Simulink®.
Figura 1.1 - Desenho de conjunto 2D do Manipulador Robótico. Fagundes e Lemos (2018).
1.2 O
BJETIVOEsse trabalho tem como objetivo realizar um estudo de caso onde serão feitas análises cinemáticas e dinâmicas dos elos de um braço robótico de 3 graus de liberdade desenvolvido pelos alunos Gabriel Fagundes e Igor Jeffery Lemos do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense e apresentado no trabalho intitulado Fabricação de
Inicialmente será realizada a modelagem dinâmica de forma analítica para extrair a equação dinâmica do manipulador. Em seguida será realizada a modelagem 3D no SolidWorks® determinar alguns parâmetros físicos a saber como massas, momentos de inércia e outras dimensões. Finalmente, com auxílio do MatLab® e do Simulink®, estes modelos serão implementados e algumas simulações serão realizadas para validar os modelos.
1.3 E
STRUTURA DO TRABALHOInicialmente é apresentada uma introdução que mostra a importância dos robôs para a industria e para o ambiente acadêmico. Em seguida é apresentada a justificativa para o trabalho com base no crescimento apresentado pela robótica industrial. É apresentado também o manipulador robótico que será utilizado como estudo de caso nesse trabalho.
No capítulo 2 é apresentado ao leitor a notação de Denavit-Hartenberg e a formulação teórica utilizada para a realização da análise cinemática e dinâmica do manipulador robótico.
O capítulo 3 apresenta ao leitor a modelagem 3D do manipulador robótico realizada através do software SolidWorks®, assim como os parâmetros físicos extraidos através dessa modelagem.
No capítulo 4 é realizada a análise cinemática e dinâmica e apresentados os resultados dessa análise. Neste capítulo é mostrada a equação dinâmica do manipulador robótico.
O capítulo 5 discorre sobre a implementação do modelo dinâmico do manipulador robótico no ambiente do Simulink® e a geração de resultados através de um algoritmo de controle no Matlab®. No capítulo 6 é apresentada a conclusão onde são discutidos os resultados obtidos nesse trabalho assim como as perspectivas futuras.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nesse capítulo é apresentada a base teórica e a metodologia utilizada para a modelagem dinâmica do movimento do manipulador. A fundamentação teórica apresentada a seguir foi extraida do livro de Craig (2005).
2.1 C
INEMÁTICA DIRETAUm problema comum envolvendo manipuladores mecânicos consiste em determinar a posição e orientação da extremidade do braço robótico (efetuador), em relação ao sistema de coordenadas geral, a partir dos valores das variáveis de junta. Esse problema é chamado de Cinemática Direta.
Um braço robótico é constituído basicamente por peças chamadas “elos”, que são conectados entre si através de juntas, que permitem um movimento relativo entre os elos conectados. Essas juntas, quando instrumentadas corretamente, fornecem um valor medido da posição relativa entre os elos por ela conectados. No caso das juntas de revolução esse valor é chamado de ângulo da junta.Do ponto de vista cinemático o elo tem a função de manter fixa a relação geométrica entre os eixos de rotação das juntas que esse elo conecta. Essa relação geométrica é dada pela distância entre esses eixos, 𝑎𝑖−1, e pelo ângulo medido entre eles, 𝛼𝑖−1. A distância 𝑎𝑖−1é medida ao longo da reta perpendicular à ambos os eixos, conforme mostrado
na figura 2.1.
Figura 2.1- Elo i-1 e os parâmetros que descrevem a relação entre os eixos i-1 e i. Craig (2005)
Os elos são numerados a partir da base fixa do braço robótico, que é considerado o “Elo Zero”. O elo seguinte, conectado ao “Elo Zero”, é o elo 1 e dessa forma segue-se designando o número de cada elo até a extremidade do braço.
Para resolver o problema da Cinemática Direta é necessário conhecer os 4 valores dos parâmetros que descrevem um elo de um manipulador robótico. Sendo que 2 desses parâmetros descrevem o elo em si enquanto os outros 2 parâmetros descrevem a relação entre o elo em questão e o elo vizinho. O ângulo da junta, no caso das juntas de revolução, é um parâmetro variável enquanto que os outros três parâmetros são fixos, seus valores não mudam conforme o manipulador se move ou muda de posição. Essa convenção que se utiliza desses 4 parâmetros para definir os elos e o efetuador é chamada de notação de Denavit-Hartenberg.
O processo de determinação da posição e orientação das diversas partes de um braço robótico é feita anexando-se um sistema de coordenadas a essa peça e descrevendo-se a relação entre esse e os outros sistemas de coordenadas. Isso permite lidar com a complexa geometria de uma manipulador robótico de forma a estabelecer como a posição e orientação desses sistemas de coordenadas mudam conforme o braço robótico se movimenta. Com base no trabalho de Craig (2005), será apresentada nesta seção a metodologia utilizada, para transformar a representação de posição e orientação de um sistema de coordenadas para outro.
Os dois outros parâmetros que definem o elo estão relacionados com a junção que une dois elos vizinhos. O primeiro parâmetro é a distância de deslocamento, medida ao longo do eixo de rotação da junta que une os dois elos. O segundo parâmetro descreve a rotação, em relação ao eixo de rotação comum, dos dois elos vizinhos. Os conceitos de distância de deslocamento e de ângulo de junta se tornarão mais claros após apresentada a metodologia para anexar os sistemas de coordenadas.
A convenção para posicionar o sistema de coordenadas de um Elo “i” consiste em: posicionar o eixo 𝑍𝑖 coincidente com o eixo de rotação da junta i, a origem do sistema de coordenadas no ponto onde a reta mutuamente perpendicular 𝑎𝑖 intercepta o eixo da junta i, e o
eixo 𝑋𝑖 será posicionado ao longo da reta 𝑎𝑖 com sentido partindo do eixo da junta i em direção ao eixo da junta i+1. Conforme mostrado na figura 2.2. No caso em que 𝑎𝑖 = 0, o eixo 𝑋𝑖 será posicionado normal ao plano formado por 𝑍𝑖 e 𝑍𝑖+1.
A convenção apresenta algumas condições específicas para posicionamento do sistema de coordenadas no primeiro e no último elo da cadeia. O primeiro sistema de coordenadas esta anexado ao “Elo Zero” e, por isso, é chamado sistema de coordenadas zero. Esse sistema de coordenadas é fixo e será utilizado como sistema de coordenadas de referência, ou seja, todos os elos e juntas do robô serão referenciados em relação a esse sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas zero é posicionado de forma que o eixo 𝑍0 coincida com o eixo 𝑍1 da junta 1 e
de forma que o sistema de coordenada zero coincida com o sistema de coordenada 1 quando o valor da variável da junta 1 for zero. A convenção descrita implica que 𝑎0 = 0, porque a origem dos sietmas de coordenadas 0 e 1 concidem, 𝛼0 = 0 e 𝑑0 = 0. Para o último sistema de coordenadas a direção de 𝑋𝑛é determinda de forma que se alinhe com 𝑋𝑛−1quando 𝜃𝑛 = 0 e a
origem do sistema de coordenadas n é determinada de forma que 𝑑𝑛 = 0.
O procedimento de fixação de sistemas de coordenadas mostrado não resulta em uma única forma de posicionamente. Ficando a cargo do projetista fazer algumas escolhas de posicionamento utilizando bom senso.
Após demonstrado o procedimento para anexar os sistemas de coordenadas pode-se fornecer definições mais claras para os parâmetros de Denavit-Hartenberg com base nesses sistemas de coordenadas.
Figura 2.2 - Elo i-1 com o sistema de coordenada anexado e a posição relativa entre os sistemas de coordenadas i-1 e i. Craig (2005).
𝑎𝑖= distância entre 𝑍𝑖 e 𝑍𝑖+1 medida ao longo de 𝑋𝑖 𝛼𝑖= ângulo medido de 𝑍𝑖 para 𝑍𝑖+1em relação à 𝑋𝑖 𝑑𝑖= distância de 𝑋𝑖−1 a 𝑋𝑖 medida ao longo de 𝑍𝑖 𝜃𝑖= ângulo medido de 𝑋𝑖−1para 𝑋𝑖 em relação à 𝑍𝑖
2.2 T
RANSFORMAÇÕESNesta seção será mostrado como construir a matriz de transformação homogênea que define um sistema de coordenadas i em relação ao sistema de coordenadas i-1, essa matriz é chamada 𝑖−1𝑖𝑇 e será construída em função dos três parâmetros fixos do elo e da variável da junta. A figura 2.3 mostra que para construção da matriz de transformação homogênea 𝑖−1𝑖𝑇 , foram definidos 3 sistemas de coordenadas intermediários P, Q e R, com o objetivo de dividir esse problema em 4 subproblemas mais simples. Onde R difere de i-1 apenas pela rotação de 𝛼𝑖−1, Q difere de R apenas pela translação 𝑎𝑖−1, P difere de Q pela rotação 𝜃𝑖 e o sistema de coordenadas i difere de P pela translação 𝑑𝑖.
A equação (2.1) mostra como escrever a transformação de um vetor posição P definido em i para defini-lo em i-1.
𝑃 𝑖−1 = 𝑇 𝑅 𝑖−1 𝑇 𝑄𝑅 𝑃𝑇 𝑄 𝑇 𝑖 𝑃 𝑖𝑃 (2.1)
Figura 2.3 - Mostra o posicionamento dos sistemas de coordenadas P, Q e R que auxiliam na transformação do sistema de coordenadas i para i-1.
A equação (2.2) mostra a matriz de transformação homogênea 𝑖−1𝑖𝑇 que multiplicando o vetor posição 𝑖𝑃 resulta no vetor 𝑖−1𝑃. A equação (2.3) mostra como se obtém a matriz𝑖−1𝑖𝑇 através das transformações intermediárias dos eixos de coordenadas P, Q e R
𝑃 𝑖−1 = 𝑇 𝑖 𝑖−1 𝑖𝑃 (2.2) 𝑇 𝑖 𝑖−1 = 𝑇 𝑅 𝑖−1 𝑇 𝑄𝑅 𝑃𝑇 𝑄 𝑇 𝑖 𝑃 (2.3)
Resolvendo-se o produto de matrizes apresentado na equação (2.3), chega-se a forma geral da matriz de transformação homogênea 𝑖−1𝑖𝑇.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos 0cos cos cos
cos cos cos
0 0 0 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i sen a
sen sen sen d
T
sen sen sen d
− − − − − − − − − − − − − = (2.4)
A equação (2.4) mostra como se calcula a matriz de transformação em função dos parâmetros de Denavit-Hartenber. A seguir, será apresentada uma outra forma de se obter a matriz de transformação homogênea.
A matriz de transformação homogênea pode ser vista como a junção da matriz de rotação e o vetor deslocamento, conforme mostrado na equação (2.5). No processo de mudança de sistema de coordenadas a matriz de rotação descreve a orientação relativa de um sistema de coordenadas em relação a outro sistema de coordenadas de referência enquanto o vetor deslocamento descreve a translação entre os sistemas de coordenadas. A equação (2.6) mostra a matriz de rotação , de dimensões 3x3, onde os componentes dessa matriz são obtidos através do produto escalar entre os vetores unitários do sistema de coordenadas A e os vetores unitários do sistema de coordenadas B. 1 1 0 0 0 1 A A B BORG A R P B P P = (2.5)
onde ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B A B A B A A A A A B B B B B A B A B A B A B A B A X X Y X Z X R X Y Z X Y X Y X Y X Z X Z X Z = = (2.6)
O mesmo processo de multiplicação de matrizes utilizado para se definir um sistema de coordenadas i em relação a um sistema de coordenadas i-1 pode ser expandido para relacionar o sistema de coordenadas n de um braço robótico em relação ao sistema de coordenadas de referencia. A equação (2.7) mostra como é obtida a matriz de transformação homogênea que relaciona a posição e orientação do último elo em relação ao primeiro.
𝑇
𝑁0 = 𝑇10 21𝑇32𝑇… 𝑁−1𝑁𝑇 (2.7)
Uma vez obtida a matriz de transformação 𝑁0𝑇 é possível descrever, fazendo uso da equação (2.8), o vetor 0𝑃 é descrito em termos do sistema de coordenadas de referência (𝑋0𝑌0𝑍0).
𝑃
0 = 𝑇
𝑁0 𝑁𝑃 (2.8)
Dessa forma sabendo a posição do efetuador em relação ao enésimo sistema de coordenadas podemos escrever a posição do efetuador em relação ao sistema de coordenadas de referência em função dos parâmetros de Denavit-Hartenberg.
2.3 V
ELOCIDADENesta seção serão estudados os conceitos de velocidade linear e velocidade angular com o objetivo de análise de movimento de um manipulador. Antes de iniciar os estudos sobre velocidade, serão apresentadas as notações utilizadas para descrever a velocidade de corpos rígidos.
O vetor velocidade pode ser descrito como a velocidade linear de um ponto no espaço, representado pelo seu vetor posição. O vetor velocidade assim como qualquer vetor pode ser descrito e derivado em termos de qualquer sistema de coordenadas. A equação (2.9) mostra que o vetor posição P foi derivado no tempo em relação ao sistema de coordenadas B, mas seu valor foi escrito em termos do Sistema de referência A.
( )
A( )
A B B P d V P dt = (2.9)Com o objetivo de simplificar a notação e eliminar os parênteses, a velocidade do vetor posição P em relação ao sistema de coordenadas B, mas escrita em termos do sistema de coordenadas A, será representada pela velocidade P em relação ao sistema de coordenadas B e escrito em termos de B, multiplicado pela matriz de rotação R, que transforma a representação de velocidade do sistema de coordenadas B para o sistema de coordenadas A conforme mostrado na equação (2.10). Note que a velocidade continua sendo calculada em relação ao sistema de coordenadas B, a matriz de rotação apenas permite escrever essa velocidade em termos do sistema de coordenadas A.
( 𝑉𝐵𝑃 ) = 𝑅 𝐵 𝐴 𝐴 𝑉 𝑃 𝐵 (2.10)
Para o estudo de velocidade das diferentes partes de um manipulador robótico, não irá se calcular a velocidade de um ponto qualquer em relação a um sistema de coordenadas qualquer. Será calculada a velocidade da origem de um determinado sistema de coordenadas em relação a um sistema de coordenada de referência. O sistema de coordenadas de referência para cálculo da velocidade será o sistema de coordenadas zero. O lado direito da equação (2.11) mostra como será feita a representação de velocidade da origem de um sistema de coordenadas C em relação ao sistema de coordenadas de referência zero.
𝜐𝐶 = 𝐶 𝑜𝑟𝑖𝑔0𝑉 (2.11) A velocidade de um corpo rígido, ou do sistema de coordenadas anexado a esse corpo rígido, é dada pela soma das velocidades linear e rotacional desse corpo. A equação (2.12) mostra como é calculada a velocidade linear de um vetor posição P, escrito em termos de um sistema de coordenadas B, em relação ao sistema de coordenadas A. Considerando que o sistema de coordenadas B está anexado ao corpo rígido, que o sistema de coordenadas A está fixo e que a orientação de B em relação à A não muda com o tempo, pode-se calcular a velocidade do vetor posição P somando a velocidade da origem de B em relação á A com a velocidade do vetor P em relação à B mas escrito em termos de A. Ao multiplicar o termo 𝐵𝑃𝑉 pela matriz de rotação 𝐵𝐴𝑅 escreve-se agora a velocidade de P em relação ao sistema de coordenadas B mas escrito em termos de A possibilitando assim somar as velocidades
𝑉
𝑃
𝐴 = 𝑉
A equação (2.13) mostra como é computada a velocidade angular de um vetor posição P. Para calcular apenas a velocidade angular considera-se que o que os sistemas de coordenadas A e B possuem origens coincidentes, que a orientação entre A e B muda devido à rotação do sistema de coordenadas B, enquanto A permanece fixo. O primeiro termo da equação a velocidade do vetor P em relação ao sistema de coordenadas B escrito em termos do sistema de coordenadas A e o segundo é referente à velocidade rotacional do vetor posição P, em relação ao sistema de coordenadas A, causada pela rotação do sistema de coordenadas B e escrito em termos de A.
𝑉
𝑃
𝐴 = 𝑅
𝐵𝐴 𝐵𝑃𝑉+ 𝛺𝐵𝐴 𝑥 𝑅𝐵𝐴 𝐵𝑃 (2.13)
A partir de das equações (2.12) e (2.13), que descrevem os casos em que há velocidade linear e velocidade rotacional de forma separada, pode-se chegar ao caso em que há velocidade linear e velocidade rotacional simultaneamente como mostra a equação (2.14). A equação (2.14) pode ser vista como uma expansão da equação (2.13) para o caso em que as origens dos sistemas de coordenadas não são coincidentes.
𝑉
𝑃
𝐴 = 𝑉
𝐵 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐴 + 𝑅𝐵𝐴 𝐵𝑃𝑉+ 𝛺𝐵𝐴 𝑥 𝑅𝐵𝐴 𝐵𝑃 (2.14)
A seguir será mostrado como as equações de velocidade vistas anteriormente serão usadas como base para o cálculo da velocidade dos elos de uma manipulador robótico. Para o cálculo da velocidade dos elos de um manipulador robótico será sempre usado o sistema de coordenadas zero como referência, ou seja, a velocidade sempre será calculada em relação a esse sistema de coordenadas entretando podendo ser escrita em termos de qualquer um dos sistemas de coordenadas.
O cálculo da velocidade de um elo robótico se baseia na ideia de propagação de velocidade. Devido a estrutura do robô a velocidade dos elos é calculada em ordem e a partir da base. Em seguida as velocidades dos elos adjacentes são calculadas sabendo-se que a velocidade de um elo i-1 corresponde a velocidade do elo i mais a velocidade adicionada pela junta i+1, isso é mostrado na figura 2.4. Em qualquer instante de tempo um elo i do manipulador tem uma velocidade linear, denotada por 𝜐𝑖, e uma velocidade angular de notada por 𝜔𝑖. Lembrando que todas as velocidades são calculadas em relação ao sistema de coordenadas de referência zero, sendo assim o subscrito indica o Elo do qual se está calculando a velocidade e
o sobrescrito se refere em termos de qual sistema de coordenadas essa velocidade está sendo escrita.
A equação (2.15) mostra a velocidade angular do Elo i+1 como sendo a soma da velocidade angular do Elo i mais a velocidade angular da junta i+1. Multiplicando-se a equação (2.15) pela matriz de rotação 𝑖+1𝑖𝑅 obtem-se a equação (2.16) que descreve a velocidade angular do Elo i+1 em descrito em termos do sistema de coordenadas i+1.
𝜔 𝑖+1𝑖 = 𝜔𝑖𝑖 + 𝑖+1𝑖𝑅𝑖+1𝜃̇𝑖+1𝑖+1𝑍 (2.15) 𝜔 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔 𝑖 𝑖 + 𝜃̇ 𝑖+1 𝑖+1𝑖+1𝑍 (2.16)
A equação (2.17) mostra a velocidade linear da origem do sistema de coordenadas i+1, que é obtida somando-se a velocidade linear da origem do sistema de coordenadas i mais um componente devido velocidade rotacional do Elo i. Novamente, multiplica-se a equação (2.17) pela matriz 𝑖+1𝑖𝑅 para obter a velocidade linear da origem escrita em termo do sistema de coordenadas i+1, mostrado na equação (2.18).
𝜐 𝑖+1𝑖 = 𝜐𝑖𝑖 + 𝜔𝑖𝑖 𝑥 𝑖+1𝑖𝑃 (2.17) 𝜐 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 ( 𝜐 𝑖 𝑖 + 𝜔 𝑖 𝑖 𝑥 𝑃 𝑖+1𝑖 ) (2.18)
Propagando-se a velocidade Elo a Elo utilizando-se a equações mostradas é possível calcular 𝑁𝑁𝜔 e 𝜐
𝑁 𝑁 .
Figura 2.4 - Contribuições das velocidades do Elo i e da junta i+1 para o resultado da velocidade do Elo i+1. Craig (2005).
2.4 E
QUAÇÕES DEN
EWTON-E
ULERPara mover os Elos que compõem um braço robótico de um ponto a outro é necessário que esses Elos sejam acelerados e em seguida desacelerados. As forças necessárias para gerar movimento são uma função da aceleração desejada e da distribuição de massa, caracterizada pela localização do centro de massa e pelo Tensor de Inércia do Elo.
A equação (2.19) é a equação de Newton, que relaciona a força atuando no centro de massa do Elo com a massa e a aceleração do centro de massa do Elo.
𝐹 = 𝑚 𝑣̇𝑐 (2.19)
A equação (2.20) é a equação de Euler, que relaciona o momento atuando no Elo com o tensor de Inércia, velocidade angular e aceleração angular. N corresponde ao momento atuano no corpo rígido para causar movimento e 𝐶𝐼 é o tensor de Inércia do corpo rígico escrito em termos do sistema de coordenadas C cuja origem coincide com o centro de massa do corpo conforme a figura 2.5.
𝑁 = 𝐼𝐶 𝜔̇ + 𝜔 𝑥 𝐼𝐶 𝜔 (2.20)
Figura 2.5 - Momento N, velocidade angular ω e aceleração angular ω ̇ atuando no centro de massa do Elo. Craig (2005).
O tensor de Inércia pode ser descrito como uma generalização do momento de inércia escalar de um objeto. Definindo um conjunto de parâmetros que fornecem informação sobre a distribuição de massa de um corpo rígido, relativo a um sistema de coordenadas de referência. Será considerado apenas o caso em que esse sistema de coordenadas de referência está anexado ao corpo rígido. A equação (2.21) mostra a matriz 3x3 de um Tensor de Inércia relativo a um sistema de coordenadas genérico A.
𝐼 𝐴 = 𝐼𝑥𝑥 −𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑧 −𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 −𝐼𝑦𝑧 −𝐼𝑥𝑧 −𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 (2.21)
A equação (2.22) descrevem com são calculados os elementos escalares que compõem o Tensor de Inércia. Esse tensor de inércia refere-se a um corpo rígido de com elemento de volume infinitesimal dv, contendo material de densidade ρ.
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 xx V yy V zz V xy V xz V yz V I y z dv I x z dv I x y dv I xy dv I xz dv I yz dv = + = + = + = = =
(2.22)Muitos manipuladores robóticos possuem Elos com geometria complexa, dificultando autilização das equações (2.22). Nesses casos pode-se medir os valores de momento de inércia ao invés de calculá-los.
2.5
M
ÉTODO DE RESOLUÇÃO DEN
EWTON-E
ULERNesta seção será discutido como é feito o cálculo para se obter os torques que devem ser aplicados às juntas para que o manipulador execute o movimento desejado. Esse movimento desejado é descrito por 𝜃, 𝜃̇, 𝜃̈ que são os dados entrada e que descrevem respectivamente a posição, a velocidade e a aceleração das juntas.
O processo para se obter os torques de junta é dividido em três etapas: na primeiro são computadas as velocidades linear e angular e a aceleração angular, em seguida aplica-se os valores calculados na etapa anterior na equação de Newton e na equação de Euler para se obter a força e o torque atuantes no centro de massa do Elo e na terceira etapa utiliza-se os valores de força e torque atuando no centro de massa para calcular o torque atuante nas juntas.
2.5.1 Iterações para computar velocidades e acelerações
Para calcular as forças atuando nos Elos é necessário calcular as velocidades rotacional e linear e a aceleração rotacional do centro de massa de cada Elo a cada instante de tempo. Esse cálculo é feito de modo iterativo partindo do Elo 1 sucessivamente até o Elo n. Sendo que a aplicação das equações para o Elo 1 é simples porque 00𝜔= 𝜔̇00 = 0. O cálculo da propagação de velocidade linear foi mostrado na equação (2.18). A equação (2.23) é utilizada para propagar a aceleração angular de um Elo para outro.
𝜔̇ 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔̇ 𝑖 𝑖 + 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔 𝑖 𝑖 𝑥 𝜃̇ 𝑖+1 𝑖+1𝑖+1𝑍+𝑖+1𝜃̈𝑖+1𝑖+1𝑍 (2.23)
A equação (2.24) será utilizada para calcular a aceleração linear de cada um dos sistemas de coordenadas anexado aos elos.
𝜐̇ 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 [ 𝜔 𝑖 𝑖 𝑥 𝑃 𝑖+1𝑖 + 𝜔𝑖𝑖 𝑥 ( 𝜔𝑖𝑖 𝑥 𝑖+1𝑖𝑃) + 𝜐̇𝑖𝑖 ] (2.24)
A equação (2.25) fornece a aceleração linear do centro de massa de cada Elo. 𝜐̇
𝐶𝑖𝑖 = 𝜔̇𝑖𝑖 𝑥 𝑃𝐶𝑖𝑖 + 𝜔𝑖𝑖 𝑥 ( 𝜔𝑖𝑖 + 𝑃𝐶𝑖𝑖 ) + 𝜐̇𝑖𝑖 (2.25)
O subscrito Ci presente em alguns termos das equações se refere a um sistema de coordenadas anexado a um Elo i, com origem é coincidente com o centro de massa do Elo e com a mesma orientação do sistema de coordenadas desse Elo i.
2.5.2 Iterações para calcular forças e torques.
Após calculadas as velocidades e acelerações necessárias pode-se aplicá-las na equação de Euler e na equação de Newton para obter a força e o toque atuantes no centro de massa do Elo. A equação (2.26) faz um balanço das forças atuando no Elo e a equação (2.27) faz um balanço dos torques atuando no elo. Onde 𝑖𝑓 é a força exercida no elo i pelo elo i-1 e 𝑖𝑛 é o torque exercido no elo i pelo elo i-1.
𝑓 𝑖 𝑖 = 𝑅 𝑖+1𝑖 𝑖+1𝑖+1𝑓+ 𝐹𝑖𝑖 (2.26) 𝑛 𝑖 𝑖 = 𝑁 𝑖 𝑖 + 𝑅 𝑖+1𝑖 𝑖+1𝑖+1𝑛+ 𝑃𝐶𝑖𝑖 𝑥 𝐹𝑖𝑖 +𝑖+1𝑖𝑃 𝑥 𝑖+1𝑖𝑅𝑖+1𝑖+1𝑓 (2.27)
As equações serão avaliadas elo a elo partindo do elo n para o elo 1. A aplicação dessas equações no elo n é simples porque considera que o robô está se movendo em um espaço livre, logo 𝑛+1𝑛+1𝑓= 𝑛+1𝑛+1𝑛 = 0. Caso o robô esteja em contato com o ambiente 𝑛+1𝑛+1𝑓 e 𝑛+1𝑛+1𝑛 serão não nulos e seus valores deverão ser substituídos nas equações.
O torque requerido para movimento na junta será calculado através da componente Z do vetor do torque aplicado no elo em questão, como mostrado na equação (2.28).
𝜏
3 Determinação dos parâmetros físicos
Nesse capítulo é apresentado o desenho de conjunto do braço robótico feito através do software SolidWorks. Em seu trabalho Fagundes e Lemos (2018) disponibilizaram os desenhos de conjunto do manipulador robótico assim como os desenhos dos componentes.
A partir desses desenhos foi feita a modelagem 3D do braço robótico no SolidWorks. A figura 3.1 mostra o desenho 3D de conjunto do manipulador robótico. A modelagem 3D foi feita com objetivo de extrair alguns dos parâmetros físicos necessários para a modelagem dinâmica do braço robótico.Nesse capítulo também émostrado o posicionamento dos sistemas de coordenadas envolvidos na modelagem.
Figura 3.1 - Desenho do braço robótico sem o efetuador. .
O braço robótico apresentado possui 3 elos: a base móvel, o segundo elo e o terceiro elo. As submontagens do braço robótico que formam cada um desses elos serão mostradas nas seções seguintes desse capítulo.
Para possibilitar a modelagem dinâmica são anexados sistemas de coordenadas a todos os elos do braço robótico. A afixação desses sistemas de coordenadas foi feita com base na convenção apresentada no capítulo 2. A figura 3.2 mostra o sistema de coordenadas de referência, sistema de coordenadas 0, que é fixo no espaço e a figura 3.3 mostra o sistema de coordenadas anexado à base movel (elo 1) do braço robótico. O sistema de coordenadas da base
móvel do braço robótico e o sistema de coordenadas de referêcia coincidem quando o valor da variável da junta 1 é igual a zero.
Figura 3.2 - Sistema de coordenadas de referência.
A figura 3.4 mostra o posicionamento dos sistemas de coordenadas anexados aos elos 2 e 3. Conforme a convenção para afixação de sistemas de coordenadas os sistemas de coordenadas foram posicionados com o eixo Z coincidindo com o eixo de rotação da junta que conecta os elos.
Os parâmetros de Denavit-Hartemberg formam um conjunto de 4 valores para cada elo, utilizados para descrever cinematicamente esse elo em relação aos demais elos. Na figura 3.5 são mostradas algumas dimensões necessárias para o preenchimento da tabela 3.1 contendo os parâmetros de Denavit-Hartemberg de cada um dos 3 elos.
Figura 3.4 - Sistemas de coordenadas anexados aos elos 2 e 3.
Figura 3.5 - Desenho de conjunto do braço robótico na posição em que todas as variáveis de junta tem valor igual a zero.
3.1 P
ROPRIEDADES DOS ELOSA partir do desenho 3D de cada um dos elos foi possível extrair os valores de massa, posição do centro de massa e o tensor de inércia. A posição do centro de massa do elo é descrita em relação ao sistema de coordenadas do elo. O Tensor de inércia foi calculado em relação a um segundo sistema de coordenadas anexado ao elo, com origem no centro de massa do elo e a mesma orientação do sistema de coordenadas do elo. Apesar de ter sido calculado no centro de massa do elo, os valores dos produtos de inércia não são iguais a zero porque o sistema de coordenadas do centro de massa não está alinhado com os eixos principais de inércia dos elos. Os elos são construídos a partir de peças feitas de alumínio liga 1060 e parafusos de fixação. A partir do volume da peça e da densidade da liga em questão o SolidWorks® forncece
os valores da massa dos elos do braço robótico. 3.1.1 Base Móvel
A figura 3.6 mostra a submontagem que corresponde ao primeiro elo, base movel, com o sistema de coordenadas da base movel e o sistema de coordenadas do centro de massa, a partir do qual foram calculados os valores do tensor de inércia.
Tabela 3.1 - Parâmetros de Denavit-Hartenberg dos elos do braço robótico.
i 1 0 0 0 2 π/2 0 0 3 0 250 mm 0 Parâmetros de Denavit-Hartenberg 𝑖 −1 𝑎𝑖 −1 𝑑𝑖 𝑖 1 2 3
A equação (3.1) mostra o tensor de inércia calculado em relação ao sistema de coordenadas do centro de massa da base móvel expresso em 𝑘𝑔. 𝑚2.
1 0, 00104355 0, 00000026 0, 00000049 0, 00000026 0, 00084051 0, 00000592 0, 00000049 0, 00000592 0, 00030444 I − = − (3.1)
A equação (3.2) mostra o vetor posição do centro de massa da base móvel em relação ao sistema de coordenadas da base móvel expresso em metros, e a equação (3.3) mostra a massa da base móvel. 1 0, 000 0, 000 0, 048 em P = − (3.2) 𝑚1 = 0,450 𝑘𝑔 (3.3) 3.1.2 Segundo Elo
A figura 3.7 mostra a submontagem que corresponde ao elo 2, com o sistema de coordenadas do elo 2 e o sistema de coordenadas do centro de massa utilizado para cálculo do tensor de inércia.
Figura 3.6 - Base Movel com o sistema de coordenadas da base móvel e sistema de coordenadas do centro de massa anexado.
A equação (3.4) mostra o tensor de inércia, em 𝑘𝑔. 𝑚2 calculado em relação ao sistema de coordenadas do centro de massa do elo 2.
2 0, 00258925 0, 00000000 0, 00296535 0, 00000000 0, 001039232 0, 00000000 0, 00296535 0, 00000000 0, 00803865 I − = − (3.4)
A equação (3.5) mostra o vetor posição do centro de massa da base móvel, em metros, em relação ao sistema de coordenadas da base móvel e a equação (3.6) mostra a massa do elo 2. 2 0,125 0, 000 0, 000 em P = (3.5) 𝑚2 = 1,108 𝑘𝑔 (3.6)
A diferença significante de massa entre o segundo e o terceiro elo se dá, além da diferença entre as dimensões, devido aos dois motores, com massa 0,354 kg, acoplados nesse elo.
3.1.3 Terceiro Elo
A figura 3.8 mostra a submontagem que corresponde ao elo 3, com o sistema de coordenadas do elo 3 e o sistema de coordenadas do centro de massa utilizado para cálculo do tensor de inércia.
A equação (3.7) mostra o tensor de inércia calculado em relação ao sistema de coordenadas do centro de massa do elo 3.
3 0, 00034012 0, 00000000 0, 00001902 0, 00000000 0, 00227615 0, 00000000 0, 00001902 0, 00000000 0, 00201964 I − = − (3.7)
A equação (3.8) mostra o vetor posição do centro de massa da base móvel, em metros, em relação ao sistema de coordenadas da base móvel e a equação (3.9) mostra a massa do elo 3. 3 0, 075 0, 000 0, 000 em P = (3.8) 𝑚3 = 0,408 𝑘𝑔 (3.9)
4 Modelagem cinemática e dinâmica
Nesse capítulo é mostrado o processo de modelagem cinemática e dinâmica do manipulador robótico. Os cálculos aqui apresentados foram feitos através do software Maple®.
O código escrito para realizar os cálculos está disponível no apêndice. A escolha pelo Maple® foi feita porque o Maple® trabalha bem com expressões simbólicas e a exibição dessas expressões simbólicas é melhor em relação ao Matlab® .(SIQUEIRA, 2007)
4.1 M
ODELAGEM CINEMÁTICAA análise cinemática estuda o movimento sem se preocupar com as forças que causam esse movimento. No âmbito da cinemática é estudada a posição, velocidade, aceleração e outras derivadas de maior ordem das variáveis de posição . Para possibilitar a análise cinemática do manipulador robótico são afixados sistemas de coordenadas aos elos do manipulador e então é descrita a relação entre esses sistemas de coordenadas. O procedimento adotado para posicionar os sistemas de coordenadas de cada elo foi descrito no capítulo 3.
No capítulo 3 foi apresentada a tabela 3.1 com os parâmetros de Denavit-Hartemberg do manipulador robótico. Esses valores foram utilizados na construção das matrizes de transformação homogênea, mostradas no apêndice A. Essas matrizes são necessárias, pois para serem somadas as velocidade precisam estar escritas com respeito ao mesmo sistema de coordenadas. Importante explicitar que todas as velocidades são tomadas em relação ao sistema de coordenadas de referência mas podendo ser escritas com respeito a qualquer um dos sistemas de coordenadas
O manipulador robótico pode ser descrito como diversos corpos conectados em cadeia, cada um com capacidade de se mover em relação aos outros. A velocidade de cada elo é calculada em ordem começando pela base. Sendo que a velocidade do elo i+1 será a velocidade do elo i mais a velocidade adicionada pela junta i+1. Dessa forma analisa-se cada elo como um corpo rígido com velocidade linear e angular descrevendo seu movimento. (CRAIG, 2005)
As equações (4.1) e (4.2) a seguir mostram como são calculadas as velocidades linear e angular de cada elo. Inicialmente calculam-se as velocidades angulares, pois é necessário conhecer seus valores para calcular as velocidades lineares do elos.
𝜔 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔 𝑖 𝑖 + 𝜃 𝑖+1 𝑖+1𝑖+1𝑍 (4.1)
𝜐 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 ( 𝜐 𝑖 𝑖 + 𝜔 𝑖 𝑖 x 𝑃 𝑖+1𝑖 ) (4.2)
As equações (4.3), (4.4) e (4.5) a seguir apresentam os dados da velocidade angular de todos os elos do manipulador robótico.
= 1 1 1 0 0 (4.3)
( )
( )
= 2 2 1 2 2 2 cos sin (4.4)( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ + − + = 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 cos cos sin sin cos sin sin cos (4.5)As equações (4.6), (4.7) e (4.8) a seguir apresentam os dados da velocidade linear dos elos do manipulador robótico.
= 0 0 0 1 1 v (4.6) = 0 0 0 2 2 v (4.7)
( )
( )
( )
− = 1 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 cos cos sin l l l v (4.8)4.2 M
ODELAGEM DINAMICANesta seção é mostrada a análise dinâmica do movimento dos elos do braço robótico. O objetivo aqui é, a partir dos das dados apresentados na análise cinemática, calcular os torques
requeridos nas juntas para gerar tais movimentos. Os torques foram calculados através da formulação de Newton-Euler apresentada em Craig (2005) e que será descrita abaixo. O cálculo utilizando a formulação de Newton-Euler é dividido em 3 etapas: iterações para fora, forças e torques inerciais no centro de massa e iterações para dentro.
4.2.1 Iterações para fora
As iterações para fora são assim chamadas porque o calculo é feito a partir do elo 1 e propagando sucessivamente até o elo 3, assim como foi feito para calcular as velocidades linear e angular de cada elo. Nesta seção os valores de velocidade linear e angular de cada elo serão usados para calcular a aceleração linear, aceleração rotacional e aceleração linear do centro de massa de cada um dos elos. A equação 4.9 é utilizada para calcular a aceleração angular, a equação 4.10 foi utilizado para calcular a aceleração linear e a equação 4.11 foi utilizada para calcular a aceleração linear do centro de massa do elo.
𝜔̇ 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔 ̇ 𝑖 𝑖 + 𝑅 𝑖 𝑖+1 𝜔 𝑖 𝑖 𝑥 𝜃̇ 𝑖+1𝑖+1𝑖+1𝑍+ 𝜃̈𝑖+1𝑖+1𝑖+1𝑍 (4.9) 𝜐̇ 𝑖+1 𝑖+1 = 𝑅 𝑖 𝑖+1 [ 𝜔 𝑖 𝑖 𝑥 𝑃 𝑖+1𝑖 + 𝜔𝑖𝑖 𝑥 ( 𝜔𝑖𝑖 𝑥 𝑖+1𝑖𝑃) + 𝜐̇𝑖𝑖 ] (4.10) 𝜐̇ 𝐶𝑖𝑖 = 𝜔̇𝑖𝑖 𝑥 𝑃𝐶𝑖𝑖 + 𝜔𝑖𝑖 𝑥 ( 𝜔𝑖𝑖 + 𝑃𝐶𝑖𝑖 ) + 𝜐̇𝑖𝑖 (4.11)
4.2.2 Forças e torques inerciais no centro de massa
Nessa etapa são aplicadas as equações de Newton-Euler, equações 4.12 e 4.13, para calcular a força e o torque inercial atuando no sistema de coordenadas do centro de massa de cada elo. O sistema de coordenadas do centro de massa do elo possui a mesma orientação do sistema de coordenadas principal do elo e possui sua origem centrada no centro de massa do elo.
𝐹
𝑖 = 𝑚 𝜐̇𝐶𝑖 (4.12)
𝑁
𝑖 = 𝐶𝑖𝐼 𝜔̇𝑖 + 𝜔𝑖 𝑥 𝐼𝐶𝑖 𝑖𝜔 (4.13)
4.2.3 Iterações para dentro
Calculados os as forças e torques que atuam no centro de massa agora são calculados os torques aplicados nas juntas dos elos. Esse cálculo é feito através das equações de balanço de forças, equação 4.14, e balanço de momentos, equação 4.15, do diagrama de corpo livre de cada elo. São chamadas iterações para dentro porque se iniciam no elo n e se propagam elo a elo até a base do manipulador.
𝑓 𝑖 𝑖 = 𝑅 𝐼+1𝑖 𝑖+1𝑖+1𝑓+ 𝐹𝑖𝑖 (4.14) 𝑛 𝑖 𝑖 = 𝑁 𝑖 𝑖 + 𝑅 𝑖+1𝑖 𝑖+1𝑖+1𝑛+ 𝑃𝐶𝑖𝑖 𝑥 𝐹𝑖𝑖 + 𝑖+1𝑖𝑃 𝑥 𝑖+1𝑖𝑅 𝑖+1𝑖+1𝑓 (4.15)
O torque requerido em uma determinada junto é obtido tomando-se a componente Z do vetor torque aplicado na junta. A equação 4.16 mostra a equação que fornece o torque requerido na junta. A equação 4.17 apresenta a expressão que fornece os torques os em cada uma das três juntas do manipulador. Os valores das expressões calculadas para 𝜏1, 𝜏2 𝑒 𝜏3 estão disponíveis
no apêndice, assim como o código utilizado para o cálculo. 𝜏 𝑖 = 𝑛𝑖𝑖 𝑇 𝑍𝑖𝑖 (4.16) 𝜏 = 𝜏1 𝜏2 𝜏3 (4.17)
4.2.4 Estrutura da equação dinamica do manipulador
Aplicando-se a formulação de Newton-Euler simbolicamente para qualquer manipulador obtém-se a equação dinâmica do manipulador que pode ser escrita conforme a equação 4.18, onde M é a matriz massa do manipulador , V é o vetor centrífugo e de Coriolis e G é o vetor com os termos de gravidade.
𝜏 = 𝑀(𝜃)𝜃̈ + 𝑉(𝜃, 𝜃̇) + 𝐺(𝜃) (4.18) A seguir são mostrados as matrizes e vetores que compoem a equação dinâmica do manipulador estudado nesse trabalho. Equação 4.19 mostra a matriz de massa do manipulador, equação 4.20 mostra o vetor centrífugo e de Coriolis e a equação 4.21 mostra o vetor com os termos da gravidade. = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 M M M M M M M M M M (4.19)
Onde: 𝑉 = 𝑉1 𝑉2 𝑉3 (4.20) Onde:
= 3 2 1 G G G G (4.21) onde:
Para simular o movimento do manipulador é utilizada a equação 4.18 reescrita na forma mostrada na equação 4.22. Dessa forma, através de técnicas de integração numérica é possível integrar a aceleração e obter as velocidades e posições futuras.
( )
( )
( )
5 Modelagem simulink
O Simulink é um ambiente de simulação dentro do software Matlab®, onde é possível
modelar e simular sistemas dinâmicos através de uma interface gráfica que utiliza diagramas de blocos. O simulink é integrado ao Matlab® permitindo a integração de modelos do Simulink com algoritmos criados no Matlab®. (MATHWORKS, 2019)
Para modelagem do manipulador robótico no Simulink utilizou-se como ponto de partida a modelagem apresentado em Araujo (2008) que apresenta o modelagem do robô RD5NT que possui 4 graus de liberdade. A principal alteração feita foi adequar o modelo para o manipulador robótico estudado nesse trabalho, que possui 3 graus de liberdade.
A figura 5.1 mostra a implementação no Simulink® do comportamento da estrutura mecânica do manipulador robótico. Essa implementação é a representação através de diagrama de blocos da equação de estado-posição do manipulador robótico. Onde: q1, q2, q3 representam respectivamente 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3; qv1, qv2, qv3 representam 𝜃̇1, 𝜃̇2, 𝜃̇3 e qa1, qa2, qa3 representam 𝜃̈1, 𝜃̈2, 𝜃̈3.
No trabalho de Araujo (2008) é apresentado uma estrutura de controle de posição do tipo RASTRO e detalhada sua formulação matemática. Com o objetivo de verificar a modelagem feita no Simulink foi feita uma simulação no Matlab® utilizando essa estrutura de
controle com algumas modificações para adequá-la à um manipulador robótico com 3 graus de liberdade.
5.1 G
ERAÇÃO DE TRAJETÓRIAO algoritimo de controle utilizado determina que a trajetória desejada para a posição da junta obedeça a uma função senoidal. A equação 5.1 mostra como é descrita matematicamente essa trajetória de posição. (ARAUJO, 2008)
{ 𝜃𝐼 𝑠𝑒 𝑜 ≤ 𝑡 < 𝑡𝐼 𝜃𝐷(𝑡) =𝜃𝐹−𝜃𝐼 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋.𝑡 𝑡𝐹−𝑡𝐼− 𝜋(𝑡𝐹+𝑡𝐼) 2(𝑡𝐹−𝑡𝐼)) + 𝜃𝐹+𝜃𝐼 2 𝑠𝑒 𝑡𝐼 ≤ 𝑡 < 𝑡𝐹 𝜃𝐹 𝑠𝑒 𝑡𝐹 ≤ 𝑡 < 10 (5.1)
53
As condições de contorno da simulação realizada estão apresentadas na tabela 5.1. A frequência de amostragem utilizada foi de 10 hz. As posições das juntas estão expressas em radianos e o instante de tempo em segundos.
Tabela 5.1- Condições de contorno inseridas na simulação.
5.2 R
ESULTADOS DA SIMULAÇÃOA seguir são apresentados alguns resultados da simulação, cujo objetivo foi verificar se o modelo feita no simulink descreve o comportamento dinâmico da estrutura mecânica do manipulador de forma satisfatória. O gráfico apresentado na figura 5.2 mostra a variação posição deseja e a posição real da junta 1 em função do tempo de simulação. As figuras 5.3 e 5.4 descrevem a mesma variação da figura 5.2 porém referente às juntas 2 e 3 respectivamente.
Junta 1 0 π/2 0 5 2 0 π/2 5 10 3 0 -π/2 5 10 𝜃𝑖 𝜃𝐹 𝑡𝑖 𝑡
Observa-se nas figuras 5.2 e 5.3 que nos primeiros instantes do movimento a posição real se distancia da posição desejada, isso ocorre devido ao início do processo de identificação no algoritmo proposto por Araujo (2008). As dez primeiras amostras utilizadas por esse algoritmo de identificação são valores escolhidos aleatoriamente. Analisando-se a figura 5.2 verifica-se que entre os instantes 2 e 5 segundos a junta 1 apresenta valores de posição real próximos aos valores desejados. A figura 5.3 mostra que durante o movimento, a posição real
Figura 5.4 - Posição desejada (azul) e posição real (laranja) da junta 3 em função do tempo de simulação.
Figura 5.3 - Posição desejada (azul) e posição real (laranja) da junta 2 em função do tempo de simulação.
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da junta 2 tende para a trajetória desejada porém só atinge a posição desejada no fim do movimento.
A figura 5.4 mostra que a junta 3 foi a que apresentou o resultado real da posição da junta mais próximo do valor desejado. Observa-se também que nas três juntas há presença de oscilações nos instantes em que a junta em questão não está se movendo. Esse tipo de oscilação é esperado em estruturas de controle.
