LISTA DE EXERC´ICIOS 04 – v. 1.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 04 – v. 1.0

Assuntos: Simboliza¸c˜ao na l´ogica de predicados de 1

^a

ordem; aplica¸cão sintática de equivalências lógicas;.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Só conferir a solu¸cão de um item após tentar resolvê-lo seriamente.

Quest˜ ao 1. Considerem-se os seguintes predicados, onde = indica que o b s´ımbolo à esquerda denota a expressão entre aspas à direita:

P

1

(x, y) = “x b = y”; P

2

(x, y ) = “x < y”; b P

3

(x, y, z) = “xy b = z”, ou seja, P

3

(x, y, z) = P

1

(m(x, y), z), onde m : R × R −→ R

(x, y) 7−→ m(x, y ) = xy.

Utilizando apenas conectivos, quantifica¸c˜ao

¹

no dom´ınio de discurso R , e 0 e 1 como constantes reais

²

(e n˜ ao como constantes l´ogicas) como achar apropri- ado, simbolizar as 15 proposi¸c˜oes S

_ı

abaixo como express˜oes bem formadas diretamente a partir dos predicados dados P

_

dados acima, moldando sua sintaxe convenientemente e, se necessário, usando equivalências lógicas:

S

1

= “0 n˜ao possui inverso (multiplicativo)”; b

S

2

= “Se um n´ b umero real r n˜ao possui inverso, ent˜ao r tem que ser nulo”;

S

3

= “0 ´e o ´ b unico n´ umero real que pode n˜ao possuir inverso”;

S

4

= “0 ´e o ´ b unico n´ umero real que n˜ao possui inverso”;

S

5

= “Para todo n´ b umero real r, apenas uma das três situa¸cões ocorre: ou r é positivo, ou r é negativo, ou r é nulo”;

S

6

= “O inverso de um n´ b umero real n˜ao-nulo r tem o mesmo sinal que r”;

S

7

= “Todo n´ b umero real n˜ao-negativo r possui uma raiz quadrada”;

S

8

= “Todo n´ b umero real r possui, no m´aximo, uma raiz quadrada”;

S

9

= “A raiz quadrada de um n´ b umero real r, quando existe, ´e ´ unica”;

S

10

= “1 ´e o ´ b unico n´ umero real positivo igual ao seu pr´oprio quadrado”;

S

11

= “0 e 1 s˜ao os ´ b unicos n´ umeros reais iguais aos seus respectivos quadra- dos”;

1Apenas com instâncias de ∃ e ∀, já se combinando variáveis quando conveniente.

Ex.: As duas senten¸cas a seguir poderiam ser usadas como partes de uma expressão bem formada: “∃z ∈R :” para denotar “existe um número real z tal que”; e “∀x, y ∈R” para denotar “para todo número real x, para todo número real y,”. Observe-se que z é uma variável, masz²e 1/znão o são.

2Ex.: P¹(r,1) denota o predicado “r= 1”, enquantoP¹(0,1) denota a proposi¸c˜ao (falsa)

“0 = 1”.

(2)

S

12

= “Se a raiz quadrada de um n´ b umero real r é menor que r, então r é maior que 1”;

S

13

= “Se a raiz quadrada de um n´ b umero real r é maior que r , então r está estritamente entre 0 e 1”;

S

14

= “A fun¸cão quadrado de um n´ b umero é crescente nos n´ umeros reais não- negativos”;

S

15

= “A fun¸cão raiz quadrada é crescente nos n´ b umeros reais não-negativos”.

Coment´ arios:

• Deve-se ter em mente que este ´e um exerc´ıcio de simboliza¸ c˜ ao, e n˜ ao de dedu¸ c˜ ao;

• As proposi¸c˜oes apresentadas podem ser verdadeiras ou falsas;

• Observe-se que um n´ umero real s ser inverso multiplicativo de um n´ u- mero real r traduz-se por “sr = 1 = rs”;

• E interessante a distin¸cão entre “uma” raiz quadrada e “a” raiz quadrada ´ (principal), sendo esta ´ ultima não-negativa. Ex.: 2 e − 2 são ra´ızes quadradas de 4, e 2 é a raiz quadrada principal de 4;

• A inexistˆ encia de algo é a nega¸cão da existência daquilo;

• A unicidade é reproduzida matematicamente como: se dois objetos satisfazem a condi¸cão em questão, então eles são iguais.

Quest˜ ao 2. Considere-se a fun¸cão booleana abaixo, dada em nota¸cão algé- brica, onde A , B e C são variáveis proposicionais:

f(A, B, C) = A AB C + B A C + B C

+ A B C.

2.a. Utilizando apenas equivalências lógicas já estudadas, converter f numa soma minimal de produtos;

2.b. Construir trˆes predicados P

1

(x), P

2

(x, y) e P

3

(y) dependentes das va- riáveis reais x e y tais que a proposi¸cão abaixo é verdadeira:

∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, f ( P

1

( x ) , P

2

( x, y ) , P

3

( y )).

(3)

resolu¸ c˜ oes

Quest˜ ao 1 – uma solu¸ c˜ ao.

S

1

= ∄s ∈ R : s 0 = 1 = 0 s ∴ S

1

= ¬ ∃ s ∈ R : P

3

( s, 0 , 1) ∧ P

3

(0 , s, 1).

S

3

=

³

S

2

= ∀ r ∈ R, ( ∄s ∈ R : sr = 1 = rs) → r = 0 ∴

S

3

= S

2

= ∀ r ∈ R, ¬ ( ∃ s ∈ R : P

3

( s, r, 1) ∧ P

3

( r, s, 1)) → P

1

( r, 0).

S

4

= S

1

∧ S

2

(inexistˆencia e unicidade, respectivamente). Pode-se tamb´em moldar S

4

como: ∀ r ∈ R, ¬ ( ∃ s ∈ R : P

3

( s, r, 1) ∧ P

3

( r, s, 1)) ↔ P

1

( r, 0).

Para a proposi¸c˜ao S

5

, é tentador o uso do conectivo lógico “ou exclu- sivo”, aqui denotado por ˙ ∨ . Ele é associativo e comutativo, o que pode ser facilmente deduzido a partir de sua tabela lógica, ou de expressões dele em termos de outros operadores, tais como A ∨ ˙ B = (A ∨ B) ∧ ( ¬ A ∨ ¬ B) = ( A ∨ B ) ∧ ¬ ( A ∧ B ). No entanto, deve-se ter cuidado com o fato de que V ∨ ˙ V ∨ ˙ V = V , expressando algo diferente do que se deseja com S

5

. Esta é mais próxima do senso comum a respeito do “ou exclusivo”. Isto pode ser contornado ao se suplementar A ∨ ˙ B ∨ ˙ C com o termo análogo à ´ ultima rees- critura de A ∨ ˙ B acima, a saber, com ¬ (A ∧ B ∧ C). Isto elimina o valor V quando A = B = C = V : (A ∨ ˙ B ∨ ˙ C) ∧ ¬ (A ∧ B ∧ C) é verdadeira quando uma e apenas uma das três variáveis proposicionais é verdadeira

⁴

. Assim:

S

5

= ∀ r ∈ R, (P

²

(0, r) ˙ ∨ P

2

(r, 0) ˙ ∨ P

1

(r, 0)) ∧ ¬ (P

²

(0, r) ∧ P

2

(r, 0) ∧ P

1

(r, 0)).

A rigor, S

6

deveria ser simbolizada sem que se assumissem outras propo- si¸c˜oes (S

⁴

, por exemplo) ou algum conhecimento sobre a rela¸cão de ordem, apenas se usando a no¸cão de sinal introduzida imediatamente após S

5

:

S

6

= ∀ r, s ∈ R, ( ¬ P

1

( r, 0) ∧ P

3

( s, r, 1) ∧ P

3

( r, s, 1)) →

[(P

²

(0, s) ↔ P

2

(0, r)) ∧ (P

²

(s, 0) ↔ P

2

(r, 0))].

Obs.: Assumir a tricotomia do sinal leva a:

S

6

↔ ∀ r, s ∈ R, ( ¬ P

1

(r, 0) ∧ P

3

(s, r, 1) ∧ P

3

(r, s, 1)) → (P

²

(0, s) ↔ P

2

(0, r)).

Um n´ umero real r ser quadrado de um n´ umero real s traduz-se por “s

²

= r” que, neste contexto, simboliza-se como P

3

(s, s, r). s ser raiz quadrada de r também se traduz assim, embora s ser “ a raiz quadrada (principal)” de r acrescenta a condi¸cão “s é não-negativo” ( ¬ P

2

(s, 0)). Assim, no primeiro

3Há lógicas mais ricas do que a de predicados, como a lógica modal, que a estende e inclui as ideias duais denecessidadeepossibilidade. Nela,S² eS³ seriam distintas.

4Isto tamb´em pode ser facilmente escrito em formal normal disjuntiva ou conjuntiva.

(4)

sentido (“uma”), S

8

´e falsa, enquanto no segundo (“a”), ela ´e verdadeira.

Ambas as versões serão consideradas, embora a distin¸cão apare¸ca na solu¸cão abaixo (onde S

8

´e falsa). Da´ı: S

7

= ∀ r ∈ R, ¬ ( r < 0) → ∃ s ∈ R : s

²

= r ∴

S

7

= ∀ r ∈ R, ¬ P

2

(r, 0) → ∃ s ∈ R : P

3

(s, s, r).

S

8

= ∀ r, s, t ∈ R, s

²

= r = t

²

→ s = t ∴

S

8

= ∀ r, s, t ∈ R, (P

3

(s, s, r) ∧ P

3

(t, t, r)) → P

1

(s, t).

A menos de “uma” vs. “a”, S

9

parece-se com S

8

: Matemáticos costumam expressar unicidade (“dados dois (...), eles são iguais”) pela implica¸cão “se existe (...), então ele é ´ unico”, como em S

9

, uma vez que se entende “quando A , (tem-se) B ” como “se A , (então) B ”. O(a) leitor(a) pode ter pensado apenas na unicidade, considerando que unicidade sem existência seria in´ util mas, a rigor, unicidade e existência são proposi¸cões separadas:

S

9

= ∀ r ∈ R, ( ∃ q ∈ R : ¬ (q < 0) ∧ q

²

= r) →

( ∀ s, t ∈ R, ( ¬ (s < 0 ∨ t < 0) ∧ s

²

= r = t

²

) → s = t) ∴ S

9

= ∀ r ∈ R, ( ∃ q ∈ R : ¬ P

2

(q, 0) ∧ P

3

(q, q, r)) →

( ∀ s, t ∈ R, ( ¬ ( P

2

( s, 0) ∨ P

2

( t, 0)) ∧ P

3

( s, s, r ) ∧ P

3

( t, t, r )) → P

1

( s, t )).

S

10

= ∀ r ∈ R, (0 < r ∧ r

²

= r) ↔ r = 1 ∴

S

10

= ∀ r ∈ R, ( P

2

(0 , r ) ∧ P

3

( r, r, r )) ↔ P

1

( r, 1).

S

11

= ∀ r ∈ R, r

²

= r ↔ (r = 0 ∨ r = 1) ∴

S

11

= ∀ r ∈ R, P

3

( r, r, r ) ↔ ( P

1

( r, 0) ∨ P

1

( r, 1)).

O(a) leitor(a) pode ter inclu´ıdo a existência nas duas próximas proposi¸cões acidentalmente: Para S

12

, ∀ r ∈ R, ( ∃ s ∈ R : s

²

= r ∧ ¬ ( s < 0) ∧ s < r ) → 1 < r e, para S

13

, ∀ r ∈ R, ( ∃ s ∈ R : s

²

= r ∧ ¬ ( s < 0) ∧ r < s ) → 0 < r < 1.

Contudo, elas não fazem referência a questões existenciais e correspondem a:

S

12

= ∀ r, s ∈ R, ( s

²

= r ∧ ¬ ( s < 0) ∧ s < r ) → 1 < r ∴

S

12

= ∀ r, s ∈ R, ( P

3

( s, s, r ) ∧ ¬ P

2

( s, 0) ∧ P

2

( s, r )) → P

2

(1 , r );

S

13

= ∀ r, s ∈ R, ( s

²

= r ∧ ¬ ( s < 0) ∧ r < s ) → 0 < r < 1 ∴

S

13

= ∀ r, s ∈ R, ( P

3

( s, s, r ) ∧ ¬ P

2

( s, 0) ∧ P

2

( r, s )) → ( P

2

(0 , r ) ∧ P

2

( r, 1)).

Observe-se a falta da palavra “estritamente” antes de “crescente” nas duas

´

ultimas proposi¸c˜oes. a ≤ b ´e obtido como (a < b ∨ a = b) ou, alternativa-

mente, ¬ (b < a): ambas as express˜oes modelam a ≤ b corretamente para

a descri¸cão do crescimento das fun¸cões. Deseja-se simbolizar (já se usando

uma das leis de De Morgan) ∀ q, r ∈ R, ¬ (q < 0 ∨ r < 0 ∨ r < q) → A, onde

(5)

A = b ¬ (r

²

< q

²

) para S

14

, e A = b ¬ ( √

r < √ q) para S

15

. Os quadrados são fá- ceis de representar fielmente: introduzem-se s´ımbolos s e t iguais aos seus res- pectivos valores. Já a fun¸cão raiz quadrada é a raiz principal (não-negativa), for¸cando a combina¸cão de condi¸cões ¬ (s < 0 ∨ t < 0) ∧ s

²

= q ∧ t

²

= r:

S

14

= ∀ q, r, s, t ∈ R,

( ¬ [ P

2

( q, 0) ∨ P

2

( r, 0) ∨ P

2

( r, q )] ∧ P

3

( q, q, s ) ∧ P

3

( r, r, t )) → ¬ P

2

( t, s );

S

15

= ∀ q, r, s, t ∈ R,

¬ [ P

2

(q, 0) ∨ P

2

(r, 0) ∨ P

2

(s, 0) ∨ P

2

(t, 0) ∨ P

2

(r, q)]

∧ P

3

(s, s, q) ∧ P

3

(t, t, r)

→ ¬ P

2

(t, s).

2.a. Uma poss´ıvel sequência é dada abaixo, onde instâncias de associativi- dade são usadas livre e implicitamente (os estudantes devem observar onde elas ocorrem): f (A, B, C) =

A AB C + B ( A C + B C ) + A B C = (DeMorgan)

A (A + B) C + B (A C + B C) + A B C = (distributividade) (A A) C + A B C + B A C + (B B) C + A B C = (complemento)

0 C + A B C + B A C + 0 C + A B C = (limita¸c˜ao)

0 + A B C + B A C + 0 + A B C = (neutralidade)

A B C + B A C + A B C = (comutatividade)

A B C + A B C + A B C = (distributividade)

A B (C + C) + A B C = (complemento)

A B 1 + A B C = (neutralidade)

A B + A B C .

2.b – uma solu¸ c˜ ao: Apenas neste item, para que 0 e 1 denotem os res- pectivos n´ umeros reais, a nota¸cão lógica utilizada será ∧ , ∨ , ¬ , F e V . Considerando-se a resposta do Item 2.a, desejam-se predicados P

1

(x), P

2

(x, y) e P

3

(y) em variáveis reais x e y tais que é verdadeira a seguinte proposi¸cão:

∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, [P

¹

(x) ∧ ¬ P

2

(x, y)] ∨ [ ¬ P

1

(x) ∧ P

2

(x, y) ∧ P

3

(y)]

Observe-se que P

1

( x ) e P

3

( y ) são restri¸cões sobre os n´ umeros reais x e y, respectivamente. Para sua veracidade, as primeira e segunda conjun¸cões exigem, respectivamente, P

1

( x ) = V e P

1

( x ) = F e, portanto, a disjun¸c˜ao s´o

é verdadeira de forma exclusiva. Além disto, o valor lógico de P

2

( x, y ) deve ser complementar ao de P

1

(x), e, caso P

1

(x) = F , deve-se ter P

3

(y) = V . Uma escolha para os dois primeiros predicados seria P

1

(x) = “x b = 0” e P

2

( x, y ) = “ b x ( y

²

+ 1) 6 = 0”. De fato, x ( y

²

+ 1) ≥ 1 > 0, de modo que x(y

²

+ 1) 6 = 0 ⇐⇒ x 6 = 0, isto ´e, P

2

(x, y) ⇐⇒ ¬ P

1

(x). J´a o predicado P

3