1) Tomada de Decisão Sem Experimentação, e 2) Tomada de Decisão Com Experimentação.

Análise de Decisão

1. Introdução

A Análise de Decisão envolve o uso de processos racionais para selecionar a melhor alternativa dentre um conjunto de alternativas possíveis.

Os processos de tomada de decisão podem ser divididos em duas principais categorias:

1) Tomada de Decisão Sem Experimentação, e 2) Tomada de Decisão Com Experimentação.

Os problemas abaixo exemplificam algumas situações nas quais se faz necessário tomar alguma decisão:

Uma indústria lança um novo produto no mercado. Qual será a reação dos clientes potenciais? Quanto deveria ser produzido? A aceitação do produto por parte do mercado deveria ser testada em uma pequena região antes de decidir sobre a distribuição total do produto? Quanto se deve investir em publicidade para lançar o produto?

Uma concorrência pública será aberta. Qual será o custo do projeto? Quais as potencias companhias que poderiam concorrer?

Uma firma agrícola necessita planejar para o próximo ano o uso de suas terras. Quantos hectares devem ser destinados a pastagens para criação de gado e quantos hectares devem ser destinados ao plantio de milho e soja?

Estes exemplos são tipos de processos de tomada de decisão nos quais existe uma grande incerteza envolvida. Análise de Decisão fornece uma metodologia para tomar tais decisões de maneira racional.

O exemplo protótipo abaixo será utilizado para ilustrar a metodologia envolvida.

Exemplo Protótipo: a companhia GoferBroke possui terras que podem ter petróleo. Um levantamento geofísico determinou que existe 1 chance em 4 de realmente existir petróleo nestas terras. Por causa desta informação, outra companhia petrolífera quer comprar estas terras por $90.000,00. Entretanto, a GoferBroke sabe que o custo para perfurar um poço

naquela região é $100.000,00. Se for encontrado petróleo, o retorno esperado deverá ser de

$800.000,00. Descontando o custo da perfuração, o lucro então será de $700.000,00.

A tabela abaixo resume estas informações.

Tabela 1 - Payoff para a companhia GoferBroke

Estado Alternativa

Payoff

Poço com Petróleo Poço Seco

Perfurar $700.000,00 $-100.000,00

Vender a terra $90.000,00 $90.000,00

Chance 1 em 4 3 em 4

Qual a decisão que a companhia GoferBroke deve tomar: 1) vender a terra e ganhar

$90.000,00 sem riscos ou 2) perfurar o poço a um custo de $100.000,00 e obter um retorno de $800.000,00, resultando em lucro de $700.000,00 com um risco estimado em 75% (3 em 4) ?

2. Tomada de Decisão Sem Experimentação

Como se percebe no exemplo protótipo, existe uma informação referente à chance que existe em achar petróleo ou não. Esta informação pode ser convertida em uma medida de probabilidade. Com isso, pode-se dizer que existe uma probabilidade de 0.25 de encontrar petróleo e conseqüentemente, uma probabilidade de 0.75 de não encontrar petróleo. A estas probabilidades dá-se o nome de Probabilidades a Priori.

Na terminologia de Análise de Decisão, os valores $700.000,00, $-100.000,00,

$90.000,00 e $90.000,00 da tabela 1 são denominados Payoffs e os nomes “Poço com Petróleo” e “Poço Seco” são denominados Estados da Natureza.

Por Tomada de Decisão Sem Experimentação, entende-se que é de conhecimento apenas as Probabilidades a Priori e os Estados da Natureza.

Neste tipo de tomada de decisão pode-se utilizar, entre outros, três critérios:

1. Critério de Maximin Payoff,

2. Critério de Máxima Verossimilhança, e 3. Critério da Regra de Bayes.

2.1 Critério de Maximin Payoff

Neste critério, o problema de tomar uma decisão é vista como um Jogo (Teoria dos Jogos) entre o Tomador de Decisão (jogador A) e a Natureza (jogador B).

Como a matriz de Payoff é geralmente formada para o Tomador de Decisão (os valores da matriz são os payoff para o jogador A), a decisão pode ser tomada baseada no Critério de Maximin Payoff.

Critério de Maximin Payoff: para cada ação (estratégia), encontrar o mínimo payoff entre todos os Estados da Natureza e então encontrar o máximo destes payoff mínimos. Escolher a ação cujo mínimo payoff resultou neste máximo.

No exemplo protótipo o Maximin é:

Estado Alternativa

Payoff Mínimo em

Linha Poço com Petróleo Poço Seco

Perfurar $700.000,00 -$100.000,00 $-100.000,00

Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 $90.000,00 Maximin Com isso, a decisão a ser tomada é vender a terra.

2.2 Critério de Máxima Verossimilhança

Este critério assume como decisão a ser tomada a que for mais provável.

Critério de Máxima Verossimilhança: identificar o Estado da Natureza mais provável (o com maior probabilidade). Para este Estado da Natureza, encontrar a ação com máximo payoff. Escolher esta ação.

Aplicando este critério para o exemplo protótipo, indica que o Estado Poço Seco possui a maior probabilidade. Na coluna "Poço Seco", a alternativa "Vender a terra" possui o maior payoff.

Estado Alternativa

Payoff

Poço com Petróleo Poço Seco

Perfurar $700.000,00 $-100.000,00

Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 Máximo

Probabilidade à Prior 0.25 0.75

Máximo

Com isso, a ação a ser tomada, segundo este critério é vender a terra.

O maior problema deste critério é que este ignora completamente muita informação relevante. Nenhum outro Estado da Natureza é considerado, a não ser o mais provável.

2.3 Critério da Regra de Bayes

Thomas Bayes (*1702, Londres, Inglaterra; €1761 em Tunbridge Wells, Inglaterra).

Regra de Decisão de Bayes: usando a melhor estimativa das probabilidades dos respectivos Estados da Natureza (as Probabilidades à Priori), calcular o valor esperado de payoff para cada alternativa possível. Escolher a alternativa com máximo payoff esperado.

Para o exemplo protótipo, os payoff esperados E são calculados diretamente a partir da tabela 1 como:

( )

[

]

E = + − = (1)

( )

[

]

E = + = (2)

Uma vez que $100.000,00 é maior que $90.000,00 a ação a ser tomada, segundo este critério é perfurar o poço. Percebe-se que este critério resultou em uma ação diferente das ações obtidas segundo os dois critérios anteriores.

A grande vantagem deste critério em relação aos demais é que este incorpora todas as informações disponíveis (Estados da Natureza e Probabilidades a Priori).

A fim de verificar o efeito de possíveis imprecisões nas Probabilidades a Priori, pode-se realizar uma Análise de Sensibilidade.

2.3.1 Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes

A Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes é facilmente implementado através da generalização das expressões (1) e (2). Denominando p como a Probabilidade a Priori para poço com petróleo, a Probabilidade a Priori para poço seco é dada por 1-p, uma vez que a soma das probabilidades a Priori resulta em 1. Os payoff esperados (em milhares de $, para simplificação da notação) ficam:

( )

[

]

E = − − = − (3)

( )

[

]

E = + − = (4)

A figura abaixo mostra em azul a reta dada pela expressão (3), em vermelho a reta dada pela expressão (4) e em verde a reta que divide a região onde a decisão deveria ser vender a terra (região à esquerda) da região onde a decisão deveria ser perfurar o poço (região à direita).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-100 0 100 200 300 400 500 600 700

Analise de Sensibilidade para o exemplo GoferBroke

Probabilidade a Priori para Poço com Petroleo

Payoff Esperado

Região onde a decisão deveria ser perfurar o poço Região onde

a decisão deveria ser vender a terra

Fig. 1 - Regiões de Decisão para o Critério da Regra de Bayes

Para encontrar a Probabilidade a Priori (ponto no eixo x do gráfico da figura 1) onde a decisão a ser tomada muda (Crossover Point) faz-se:

( )

[ ] [

]

2375 . 800 0 p 190

90 100 p 800 Terra Vender Payoff

E Perfurar Payoff

E

=

=

=

−

=

= (5)

Com isso, pode-se concluir que se p>0.2375, a decisão deveria ser perfurar o poço e se p<0.2375, a decisão deveria ser vender a terra.

Para outros problemas que possuem mais de que duas alternativas, o mesmo procedimento pode ser aplicado, a diferença é que vai haver mais retas (uma para cada alternativa). No entanto, a reta que estiver mais acima (no exemplo, reta azul acima da vermelha para a região onde p>0.2375 e reta vermelha acima da azul para a região onde p<023.75) dentre as demais em uma região indica a decisão a ser tomada.

Com mais que duas retas, poderá haver mais de um Crossover Point, onde a decisão muda de uma alternativa para outra.

Para problemas com mais de dois Estados da Natureza, a metodologia mais direta é realizar a Análise de Sensibilidade sobre somente dois Estados de cada vez.

3. Tomada de Decisão Com Experimentação

Freqüentemente, testes adicionais (experimentações) podem ser realizadas para melhorar as estimativas preliminares dos respectivos Estados da Natureza fornecidos pelas Probabilidades a Priori. Estas estimativas melhoradas são denominadas Probabilidades a Posteriori.

Exemplo Protótipo com Experimentação: a companhia GoferBroke pode realizar um levantamento geofísico mais detalhado das suas terras para obter uma melhor estimativa da probabilidade de encontrar petróleo. O custo deste levantamento é $30.000,00.

O levantamento geofísico obtém sondagens sísmicas que indicam se a estrutura geológica é favorável para a presença de petróleo. Assim, as possibilidades de encontrar petróleo podem ser divididas em duas categorias:

USS: Sondagem Sísmica Desfavorável ⇒ presença de petróleo na região é pouco provável;

FSS: Sondagem Sísmica Favorável ⇒ presença de petróleo na região é bastante provável.

Baseado em experiências passadas, se existir petróleo, então a probabilidade de Sondagem Sísmica Desfavorável é:

(

)

P = = , e (6)

(

)

P = = − = (7)

Similarmente, se não há petróleo (isto é, o Estado da Natureza é Poço Seco), então a probabilidade de Sondagem Sísmica Desfavorável é estimada para ser:

(

)

P = = , e (8)

(

)

P = = − = (9)

A estas probabilidades dadas em (6), (7), (8) e (9) dá-se o nome de Probabilidades Condicionais, a partir das quais se podem encontrar as Probabilidades a Posteriori dos respectivos Estados da Natureza dada as Sondagens Sísmicas.

3.1 Probabilidades a Posteriori

Em termos gerais, considerando que:

n = número de Estados da Natureza;

P(Estado = estado i) = Probabilidade a Priori que o Estado verdadeiro da Natureza é o estado i, para i = 1, 2,..., n;

Constatação = constatação a partir de uma experimentação (uma variável aleatótia);

Constatação j = um valor possível de constatação;

P(Estado = estado i | Constatação = constatação j) = Probabilidade a Posteriori que o Estado verdadeiro da Natureza é estado i, dado que Constatação = constatação j, para i = 1, 2, . . ., n.

O objetivo é:

Dado P(Estado = estado i) e P(Constatação = constatação j | Estado = estado i), para i = 1, 2,..., . Qual é P(Estado = estado i | Constatação = constatação j)?

Esta questão é respondida por combinar as seguintes fórmulas da teoria de Probabilidade:

( )

(Constatação constatação j)

P

j o constataçã o

Constataçã ,i

estado Estado

j P o constataçã o

Constataçã i

estado Estado

P =

=

= =

=

= (10)

( = )= ∑ ( = = )

= n 1

k PEstado estado k,Constatação constatação j j

o constataçã o

Constataçã

P (11)

( )

(

)

P

j o constataçã o

Constataçã ,i

estado Estado

P

=

=

=

=

=

= (12)

A probabilidade em (12), dá-se o nome de Probabilidade Conjunta.

Portanto, para cada i =1, 2,..., n, a fórmula desejada para a Probabilidade a Posteriori é:

( )

( )

( )

∑ = = =

=

=

=

=

=

=

= n

1

k PConstatação constatação jEstado estado k.PEstado estado k i estado Estado

P . i estado Estado

j o constataçã o

Constataçã P

j o constataçã o

Constataçã i

estado Estado

P (13)

A expressão 13 é denominada Teorema de Bayes.

Retomando o exemplo protótipo, se a constatação do levantamento sísmico é Sondagem Sísmica Desfavorável (USS), então as Probabilidades a Posteriori são:

( )

7 1 ) 75 . 0 ( 8 . 0 ) 25 . 0 ( 4 . 0

) 25 . 0 ( 4 . USS 0

o Constataçã petroleo

Estado

P =

= +

=

= (14)

( )

7 6 7 1 1 USS o Constataçã o

sec poço Estado

P = = = − = (15)

Similarmente, se o levantamento sísmico resulta em Sondagem Sísmica Favorável (FSS), então:

( )

2 1 ) 75 . 0 ( 2 . 0 ) 25 . 0 ( 6 . 0

) 25 . 0 ( 6 . FSS 0

o Constataçã petroleo

Estado

P =

+

=

=

= (16)

( )

2 1 2 1 1 FSS o Constataçã o

sec poço Estado

P = = = − = (17)

Uma maneira interessante de organizar estes cálculos é utilizar um diagrama em árvore de probabilidade.

Fig. 2 - Diagrama em Árvore de Probabilidades.

No diagrama da figura 2, as Probabilidades a Priori estão na primeira coluna e as Probabilidades Condicionais estão na segunda coluna. Estas probabilidades são as informações de entrada. Multiplicando cada Probabilidade na primeira coluna por uma probabilidade na segunda coluna resulta na Probabilidade Conjunta correspondente na terceira coluna. Cada Probabilidade Conjunta torna-se o numerador no cálculo das Probabilidades a Posteriori na quarta coluna. Acumulando as Probabilidades Conjuntas com mesma constatação, fornece o denominador para cada Probabilidade a Posteriori com esta constatação.

Depois que estes cálculos foram completados, a Regra de Decisão de Bayes pode ser aplicada simplesmente como em (1) e (2), com as Probabilidades a Posteriori no lugar das Probabilidades a Priori. De novo, usando os payoffs dados e subtraindo o custo da experimentação, obtém-se o seguinte resultado:

Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Desfavorável (USS):

( )

[ ]

7 700 6 7 USS 1 o Constataçã Perfurar

Payoff

E = = + − − =− (18)

( )

[ ]

7 90 6 7 USS 1 o Constataçã Vender

Payoff

E = = + − = (19)

Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Favorável (FSS):

( )

[ ]

2 700 1 2 FSS 1 o Constataçã Perfurar

Payoff

E = = + − − = (20)

( )

[ ]

2 90 1 2 FSS 1 o Constataçã Vender

Payoff

E = = + − = (21)

Uma vez que o objetivo é maximizar o Payoff Esperado, estes resultados produzem a seguinte política ótima, como mostra a tabela 2.

Tabela 2 - Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes.

Constatação a partir do Levantamento

Sísmico

Ação Ótima Payoff Esperado excluindo custos de

levantamento

Payoff Esperado incluindo custos de

levantamento

USS vender a terra 90 60

FSS perfurar 300 270

Entretanto, este resultado não responde se é válido gastar (ou não) $30.000,00 para realizar a experimentação.

3.2 O Valor da Experimentação

Antes de realizar qualquer experimentação, deve-se estimar seu valor potencial.

Para isto pode-se utilizar dois métodos.

O primeiro método assume que o experimento irá remover toda a incerteza sobre o verdadeiro Estado da Natureza e então se calcula a melhora no Payoff Esperado ignorando o custo da experimentação. Esta quantidade, denominada Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI) fornece um limite superior para o valor potencial do experimento.

Portanto, se este limite superior é menor que o custo da experimentação, a experimentação não deve ser realizada.

Entretanto, se este limite superior excede o custo da experimentação, então um segundo método deverá ser utilizado. Este segundo método calcula a melhora atual no Payoff Esperado (ignorando o custo da experimentação) que resultaria a partir de realizar a

experimentação. A comparação da melhora do Payoff Esperado com o custo indica se a experimentação deve ou não ser realizada.

Valor Esperado da Informação Perfeita: admitindo que a experimentação permita identificar o verdadeiro Estado da Natureza (informação perfeita) e portanto, a ação a ser realizada é aquela que fornece o maior Payoff para aquele Estado. Uma vez que não se conhece qual o Estado da Natureza que será identificado como verdadeiro Estado da Natureza, o cálculo do Payoff Esperado com Informação Perfeita (ignorando os custos da experimentação) requer ponderar o máximo Payoff para cada Estado da Natureza pelas suas respectivas Probabilidades a Priori. A tabela 3 mostra os Payoff Máximos (em milhares de

$) para os possíveis Estados da Natureza do exemplo protótipo.

Tabela 3 - Payoff Máximos para os possíveis Estados da Natureza

Estado Alternativa

Payoff

Poço com Petróleo Poço Seco

Perfurar $700 $-100

Vender a terra $90 $90

Probabilidade à Prior 0.25 0.75

Máximo Payoff $700 $90

O Payoff Esperado com Informação Perfeita (EVWPI) para o exemplo protótipo é então:

5 . 242 ) 90 ( 75 . 0 ) 700 ( 25 . 0

EVWPI= + = (22)

O Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI) é calculado como:

EVWOE EVWPI

EVPI= − (23)

onde:

EVWOE é o Valor Esperado Sem Experimentação.

Geralmente a experimentação não fornece Informação Perfeita, porém o EVPI fornece um limite superior do valor esperado da experimentação.

Para o exemplo protótipo, o Valor Esperado Sem Experimentação (seção 2.3) é 100.

Portanto:

5 . 142 100 5 . 242

EVPI= − = (24)

Uma vez que 142.5 é maior que 30 (custo do levantamento geofísico), deve-se proceder com o levantamento geofísico. O segundo método citado abaixo avalia o potencial benefício da experimentação.

Valor Esperado da Experimentação: para calcular esta quantidade requer primeiro computar o Payoff Esperado Com Experimentação (ignorando os custos da experimentação) (seção 3.1) e as probabilidades das Constatações P(Constatação = constatação j). Esta quantidade então fica:

(Constatação constatação j).E

[

]

P

açao Experiment Com

Esperado Payoff

j

∑ = =

= (25)

onde:

( )

( )

∑ = = =

=

=

= n 1

k PConstatação constatação jEstado estado k.PEstado estado k j

o constataçã o

Constataçã

P (26)

Para o exemplo protótipo, tem-se que:

(USS) P

(

)

(

)

P = + = + = (27)

(FSS) P

(

)

(

)

P = + = + = (28)

(

)

E = = (29)

(

)

E = = (30)

Com isso, o Payoff Esperado Com Experimentação é:

153 ) 300 ( 3 . 0 ) 90 ( 7 . 0 açao Experiment Com

Esperado

Payoff = + = (31)

O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado então por:

açao Experiment Sem

Esperado Payoff

açao Experiment Com

Esperado Payoff

EVE= − (32)

Para o exemplo protótipo, fica:

53 100 153

EVE= − = (33)

Uma vez que este valor excede 30 (o custo do levantamento geofísico), a experimentação deverá ser realizada.

4. Árvores de Decisão

Árvores de Decisão fornecem uma maneira útil de visualmente mostrar o problema e então organizar o trabalho computacional descrito nas seções anteriores. Tais árvores são úteis quando uma seqüência de decisões precisa ser realizada.

O exemplo protótipo envolve uma seqüência de duas decisões:

1. O levantamento geofísico deverá ser realizado?

2. Qual ação (perfurar ou vender a terra) deverá ser realizada?

Nestas árvores, os nós são denominados bifurcações (forks) e os arcos são denominados galhos (branches). Uma bifurcação de decisão (decision fork), representada aqui por um quadrado, indica que uma decisão precisa ser feita naquele ponto do processo.

Uma bifurcação de chance (chance fork), representada por um círculo, indica que um evento randômico ocorre naquele ponto.

A árvore da figura 3 mostra a árvore para o exemplo protótipo.

Fig. 3 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo.

Na árvore da figura 3, a primeira decisão é representada pela bifurcação a. A bifurcação b é a bifurcação de chance representando o evento randômico do resultado do levantamento geofísico. Os dois galhos provenientes da bifurcação b representam os dois resultados possíveis do levantamento. Após, vem a segunda decisão (bifurcações c,d e e) com duas escolhas possíveis. Se a decisão é perfurar, então resultará em outras bifurcações de chance (f, g e h), que se conectam a dois galhos que representam os dois Estados da Natureza.

O próximo passo na construção da árvore de decisão é inserir o fluxo de dinheiro e as probabilidades referentes a cada galho (arco). Na figura 4, as probabilidades estão em azul dentro de parênteses e o fluxo de dinheiro (em milhares de $) em vermelho e em verde, no canto direito da figura encontra-se os valores de Payoff para cada ação.

Fig. 4 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com fluxo de dinheiro e probabilidades.

4.1 Realizando a Análise

De posse da Árvore de Decisão (como na figura 4), pode-se realizar a análise, de acordo com os seguintes passos:

1. Começar no lado direito da Árvore e mover para a esquerda uma coluna de cada vez. Para cada coluna, utilizar o passo 2 ou passo 3, dependendo se a bifurcação na coluna é uma bifurcação de chance ou uma bifurcação de decisão.

2. Para cada bifurcação de chance calcular seu Payoff Esperado multiplicando o Payoff Esperado de cada galho (em verde, na figura 4) pela probabilidade de cada galho e então somar estes produtos. Armazenar este Payoff Esperado para cada bifurcação de decisão (também em verde na figura 5) e designar esta quantidade como sendo o Payoff Esperado para o galho oriundo desta bifurcação.

3. Para cada bifurcação de decisão comparar o Payoff Esperado de seus galhos e escolher a alternativa cujo galho tem maior Payoff Esperado. Em cada caso, armazenar a escolha na Árvore de Decisão inserindo barras duplas (representando uma barreira) em cada galho rejeitado (ver figura 5).

Para começar o procedimento, considere a coluna mais à direita cujos galhos originam- se das bifurcações f, g e h. Aplicando o passo 2, seus Payoff Esperados (EP) são calculados como:

7 . 15 ) 130 7( ) 6 670 7(

EP=1 + − =− para bifurcação f (34)

270 ) 130 2( ) 1 670 2(

EP=1 + − = para bifurcação g (35)

100 ) 100 4( ) 3 700 4(

EP=1 + − = para bifurcação h (36)

Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações (ver figura 5).

Dando seqüência, move-se uma coluna para a esquerda, o que consiste em alcançar as bifurcações de decisão c,d e e. Através do passo 3 obtém-se:

Bifurcação c: perfurar com EP = -15.7

vender com EP = 60

60>-15.7, portanto escolher vender

Bifurcação d: perfurar com EP = 270 vender com EP = 60

270>60, portanto escolher perfurar

Bifurcação e: perfurar com EP = 100

vender com EP = 90

100>90, portanto escolher perfurar Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações de decisão (ver figura 5). A alternativa escolhida também está indicando para inserir barras duplas nos galhos rejeitados.

Movendo mais uma coluna a esquerda alcança-se a bifurcação de chance b.

Aplicando o passo 2, os Payoff Esperados de seus galhos encontram-se armazenados sobre as seguintes bifurcações de decisão (c e d). Portanto, o Payoff Esperado é:

123 ) 270 ( 3 . 0 ) 60 ( 7 . 0

EP= + = para bifurcação b (37)

Finalmente, alcança-se a bifurcação de decisão a. Aplicando o passo 3, resulta em:

Bifurcação a: fazer levantamento geofísico com EP = 123.

não fazer levantamento geofísico com EP = 100 123>100, portanto escolher fazer levantamento.

O Payoff Esperado de 123 deve ser colocado sobre a bifurcação a e uma barra dupla indicando o galho rejeitado.

Fig. 5 - Árvore de Decisão final para o exemplo protótipo.

Uma vez concluída a Árvore, move-se da esquerda para a direita através apenas dos caminhos abertos (sem barras duplas), o que resulta na seguinte política ótima:

Política Ótima:

Fazer levantamento geofísico,

Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar.

O Payoff Esperado (incluindo os custos do levantamento) é 123 ($123.000,00).

Esta solução ótima (única) é a mesma que pode ser obtida sem o beneficio da Árvore de Decisão aplicando a expressão 37 para os valores da tabela 2.

5. Teoria da Utilidade

Nas seções anteriores, considerou-se que o Payoff Esperado em termos monetários é uma medida apropriada das conseqüências de tomar uma ação. Entretanto, em muitas situações esta consideração não reflete o "verdadeiro" Payoff Esperado que o tomador de decisões deseja. O parágrafo abaixo explica o porquê disto.

Supondo que seja oferecido a um indivíduo um investimento (jogo, negócio,...) no qual há (1) uma chance de 50% de ganhar $100.000,00 ou (2) receber $40.000,00 com garantia (chance de 100%). Muitas pessoas devem preferir a opção 2 (receber $40.000,00 com garantia), mesmo embora o Payoff Esperado de ganhar $100.000,00 em uma chance de 50% é $50.000,00.

Este exemplo não invalida a Regra de Decisão de Bayes porque existe uma maneira de transformar os valores monetários para uma escala apropriada que reflete as preferências do tomador de decisão. Esta escala é denominada Função de Utilidade para o Dinheiro.

A figura 6 mostra um exemplo desta função para um indivíduo (organização) que tem "aversão ao risco" (verde), "indiferente ao risco" (azul), "atração ao risco" (vermelho).

As funções na figura 6 indicam que o valor do dinheiro M possui uma utilidade u(M). De maneira textual, para a curva "aversão ao risco", por exemplo, um ganho de 600 (M = 600) possui uma utilidade de apenas algo em torno de 300 (u(M) = 300), enquanto um prejuízo de 600 (M = -600) possui uma utilidade em torno de -2500 (u(M) = - 2500). Para as demais curvas o raciocínio é análogo.

Um modelo bastante comum utilizado para a Função de Utilidade u(M) é dado abaixo:

( ) _^











−

=

−R M

e 1 R M

u (38)

onde:

M é o valor do dinheiro;

R é a tolerância ao risco do indivíduo.

Assim, uma grande aversão ao risco corresponde para um pequeno valor de R, enquanto uma atração ao risco corresponde para um alto valor de R.

Neste contexto é comum apresentar as curvas da figura 6 como na figura 7.

-600 -400 -200 0 200 400 600 -3000

-2000 -1000 0 1000 2000 3000

M u(M)

Função de Utilidade

aversão ao risco

atração ao risco

indiferença ao risco

Fig. 6 - Exemplo de Função de Utilidade para o Dinheiro.

atração ao risco indiferença ao risco aversão ao risco

Fig. 7 - Função de Utilidade tipicamente apresentada.

Como exemplo desta teoria, tem-se a Função de Utilidade do Dinheiro para o exemplo protótipo da companhia GoferBroke de acordo com a figura 8. A companhia GoferBroke possui aversão ao risco (curva verde).

O procedimento para utilizar a árvore de decisão para analisar o problema de tomada de decisão é idêntico ao descrito na seção 4, exceto que os Payoff monetários são

-600 -400 -200 0 200 400 600 -800

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

M u(

M)

Funçao de Utilidade para o dinheiro da GoferBroke

aversão ao risco indiferença

ao risco

Fig. 8 - Função de Utilidade para o Dinheiro da companhia GoferBroke.

A tabela abaixo mostra os valores dos Payoff monetários e seus respectivos valores de utilidade.

Tabela 4 - Utilidade para a companhia GoferBroke

Payoff Monetário Utilidade

-130 -150

-100 -105

60 60

90 90

670 580

700 600

A Árvore de Decisão agora fica:

Fig. 9 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com valores de utilidade.

A Política Ótima obtida com os valores de utilidade neste exemplo é a mesma obtida com os Payoff monetários, apenas com a diferença no valor da Utilidade Esperada (que corresponde ao Payoff Esperado no caso de utilizar Payoff monetário).

Política Ótima (utilidade):

Fazer levantamento geofísico,

Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar.

A Utilidade Esperada (incluindo os custos do levantamento) é 106.5 ($106.500,00).

FONTE: Hiller & Lieberman, CAP. 15

Exercícios - Análise de Decisão

qualquer erro, favor enviar e-mail para fernog@engprod.ufjf.br

1) Uma companhia desenvolveu um novo chip de computador que a habilita a produzir computadores. Alternativamente, está firma pode vender os direitos do chip por

$15.000.000,00. Se a companhia escolhe produzir os computadores, a lucratividade dependerá da habilidade da companhia para vender os computadores. Devido a informações dos distribuidores, a companhia irá vender com certeza 10.000 computadores, porém se o produto "emplacar", a companhia poderá vender 100.000 computadores. Para propósitos de análise, estes dois níveis de vendas são dois resultados possíveis, porém, suas probabilidades a priori não são conhecidas. O custo de instalação da linha de produção é de $6.000.000,00. O lucro sobre cada computador vendido é $600,00.

a) Identifique as ações (alternativas), os estados da natureza e a tabela de Payoff.

b) Desenvolva um gráfico dos Payoff Esperados para cada ação alternativa versus a probabilidade a priori de vender 10.000.

c) Determine o ponto de Crossover para o gráfico acima. Qual o significado deste ponto?

d) Assumindo que as probabilidades a priori dos dois níveis de venda são ambos iguais a 0.5, qual ação deveria ser tomada?

2) Dada a seguinte tabela de investimentos:

Economia

Crescente Economia

Estável Economia

Decrescente Investimento

Conservador

$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 Investimento

Especulativo $40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 Investimento Cíclico $-10.000,00 $0,00 $15.000,00

Probabilidade a Priori 0.1 0.5 0.4

Qual investimento deve ser escolhido segundo cada um dos critérios abaixo:

a) Maximin Payoff

b) Máxima Verossimilhança c) Decisão de Bayes

3) Reconsidere o problema 1 agora considerando que uma pesquisa de mercado ao custo de $1.000.000,00 pode ser realizada para prever qual dos dois níveis de

demanda é mais provável ocorrer. Experiências prévias indicam que tais pesquisas são corretas em dois terços das vezes em que são realizadas.

a) Encontre o EVPI para este problema. Considere a probabilidade a priori de vender 10.000 igual a probabilidade a priori de 100.000 igual a 0.5.

b) A resposta em a) indica que compensa realizar a pesquisa de mercado ? c) Desenvolva um diagrama em árvore de probabilidade para obter as

probabilidades a posteriori dos dois níveis de demanda para cada dos dois resultados possíveis da pesquisa de mercado.

d) Encontre EVE.

4) José toma decisões de acordo com a regra de decisão de Bayes. José construiu a seguinte tabela de Payoff :

Estado da Natureza Alternativa S1 S2 S3

A1 50 100 -100

A2 0 10 -10

A3 20 40 -40

Probabilidade a Priori 0.5 0.3 0.2 a) Qual alternativa José deve escolher?

b) Encontre EVPI

c) Qual é o máximo que José deve pagar para obter maiores informações sobre qual estado da natureza irá ocorrer?

5) Suponha que você more em uma região sujeita a terremotos, assim você está considerando comprar um seguro para sua casa ao custo anual de $180,00. A probabilidade de um terremoto danificar sua casa durante um ano é 0.001. Se isto acontece, você estima que o custo dos danos (totalmente cobertos pelo seguro) é

$160.000,00. Seus bens (incluindo a sua casa) totalizam $250.000,00.

a) Aplique a regra de decisão de Bayes para determinar qual alternativa (comprar ou não o seguro) maximiza seus bens esperados após 1 ano.

b) Você agora tem construído uma função de utilidade que mede o valor dos seus bens (x) em $. Está função é dada por u( )x = x . Compare a utilidade de reduzir seus bens totais no próximo ano pelo custo do seguro contra terremotos com a utilidade esperada no próximo ano de não comprar o seguro contra terremoto. Você deveria comprar o seguro?

6) Faça um programa que calcule, dado uma matriz de Payoff para n estados da natureza e m alternativas, os payoff´s seguindo os critérios de Maximin, Maxima Verossimilhança e Bayes.

7) Faça um programa que gere, a cada iteração, uma matriz de Payoff com valores aleatórios para os intervalos dado na tabela abaixo:

Estado Alternativa

Payoff

Poço com Petróleo Poço Seco

Perfurar M11 M12

Vender a terra M21 M22

Probabilidade à Prior

p1 p2

onde:

M11 = [300,1000]

M12 = [-300,-50]

M21 = M22 = [50,120]

p1 = [0.05,0.40]

p2 = 1- p1

A cada iteração o programa deverá determinar os Payoff´s seguindo os critérios de Maximin, Maxima Verossimilhança e Bayes. Após várias iterações, verificar qual dos critérios resultou em melhor payoff a cada iteração e os payoff´s médios para cada critério.

Respostas 1.a)

1.b)

( )

[

]

E = + − =− +

( )

[

]

E = + − =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 10 20 30 40 50 60

Analise de Sensibilidade

Probabilidade a Priori para Vender 10.000

Payoff Esperado

1.c)

( )

[ ] [

]

54 p 39 15 54 p 54 Direitos

Vender Payoff

E es Computador oduzir

Pr Payoff

E ₌ ⇒_{− + =} ⇒ = =

O significado do ponto de crossover é que se a probabilidade a priori de vender 10.000 computadores for menor que 0.7222, a decisão a ser tomada, segundo o critério de Bayes é Produzir Computadores, caso contrário, é Vender Direitos.

1.d) Obviamente, Produzir Computadores.

Alternativas

Estado da Natureza Vender 10.000 Vender 100.000

Produzir Computadores 0 54

Vender Direitos 15 15

2.a)

Economia

Crescente Economia

Estável Economia

Decrescente Mínimo em Linha Investimento

Conservador

$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 -10.000,00 Maximin Investimento

Especulativo

$40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 -30.000,00 Investimento

Cíclico

$-10.000,00 $0,00 $15.000,00 -10.000,00 Maximin Investimento Conservador ou Investimento Cíclico.

2.b)

Economia

Crescente Economia

Estável Economia

Decrescente Investimento

Conservador

$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 Investimento

Especulativo $40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 Máximo Investimento Cíclico $-10.000,00 $0,00 $15.000,00

Probabilidade a Priori

0.1 0.5 0.4

Máximo Investimento Especulativo.

2.c)

( )

[

]

E = + + − =

( )

[

]

E = + + − =−

( )

[

]

E = − + + = Máximo

Investimento Cíclico.

3.a)

5 . 34 ) 54 ( 5 . 0 ) 15 ( 5 . 0

EVWPI= + =

Alternativas

Estado da Natureza Vender

10.000 Vender

100.000 Payoff Esperado Produzir

Computadores 0 54 0*0.5 + 54*0.5 = 27 Máximo

Vender Direitos 15 15 15*0.5 + 15*0.5 =

15 Probabilidade a Priori 0.5 0.5

27 EVWOE=

5 . 7 27 5 . 34 EVWOE EVWPI

EVPI= − = − =

3.b) Uma vez que 7.500.000,00 é maior que 1.000.000,00, a pesquisa deve ser realizada segundo este critério.

3.c)

Alternativas

Estado da Natureza Vender 10.000 Vender 100.000

Produzir Computadores 0 54

Vender Direitos 15 15

Probabilidade a Priori 0.5 0.5

Máximo Payoff 15 54

( )

( ) ( )

5 1 . 0 3* ) 2 100 V ( P . 100 V 10 Pesq P ) 10 V ( P . 10 V 10 Pesq P 10 Pesq

P = + = + =

( )

( ) ( )

3 5 2 . 0 3* ) 1 100 V ( P . 100 V 100 Pesq P ) 10 V ( P . 10 V 100 Pesq P 100 Pesq

P = + = + =

3.d)

Regra de Bayes com probabilidade a posteriori.

Payoff Esperado se constatação é Pesq10:

( )

[ ]

3 0 1 3 10 2 Pesq o Constataçã oduzir

Pr Payoff

E = = + − =

( )

[ ]

3 15 1 3 10 2 Pesq o Constataçã Vender

Payoff

E = = + − =

Payoff Esperado se constatação é Pesq100:

( )

[ ]

3 0 2 3 100 1 Pesq o Constataçã oduzir

Pr Payoff

E = = + − =

( )

[ ]

3 15 2 3 100 1 Pesq o Constataçã Vender

Payoff

E = = + − =

Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes.

Constatação a partir da Pesquisa

Ação Ótima Payoff Esperado excluindo custos de

levantamento

Payoff Esperado incluindo custos de

levantamento

Pesq10 produzir 18 17

Pesq100 produzir 36 35

27 36

* 5 . 0 18

* 5 . 0 ) 36 (

* ) 100 pesq ( P ) 18 (

* ) 10 pesq ( P açao Experiment Com

Esperado

Payoff = + = + =

O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado por:

0 27 27 EVE

açao Experiment Sem

Esperado Payoff

açao Experiment Com

Esperado Payoff

EVE

=

−

=

−

=

Uma vez que 0 é menor que 1.000.000,00, a pesquisa não deve ser realizada segundo este critério.

4.a)

[

]

E = + + − = Máximo

( )

[

]

E = + + − =

( )

[

]

E = + + − =

4.b)

Estado da Natureza Alternativa S1 S2 S3

A1 50 100 -100

A2 0 10 -10

A3 20 40 -40

Probabilidade a Priori 0.5 0.3 0.2 Máximo Payoff 50 100 -10

53 ) 10 (

* 2 . 0 100

* 3 . 0 50

* 5 . 0

EVWPI= + + − =

35 EVWOE=

18 35 53 EVWOE EVWPI

EVPI= − = − =

4.c) José deverá gastar no máximo 18.

5.a)

Portanto, não comprar seguro.

5.b)

Portanto, comprar seguro.

Alternativas

Estado da Natureza Payoff Esperado Haver

terremoto Não haver terremoto Comprar

Seguro

249820,00 249820,00 249820,00 Não Comprar

Seguro 90.000,00 250.000,00 249840,00 Máximo Probabilidade

a Priori

0.001 0.999

Alternativas

Estado da Natureza Payoff Esperado Haver

terremoto Não haver terremoto Comprar

Seguro 499.82 499.82 499.82 Máximo

Não Comprar Seguro

300 500 499.80

Probabilidade a Priori

0.001 0.999