e !5x)0(f!4x)0(f!3x)0('''f!2x)0(''f!1x)0('f!0x)0(f 

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- 1 -

NOTAS DE AULA PROF: MASSIMO - DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA DE EULER

SÉRIE DE TAYLOR:

Sendo dada uma função f(x) qualquer, contanto que ela seja n-derivável (que admita infinitas derivadas sucessivas), e ainda que todas elas sejam definidas para x = 0, poderemos escrever f(x) expressada pela série de Taylor , ou seja:

f(x) =               

! 5

x ) 0 ( f

! 4

x ) 0 ( f

! 3

x ) 0 ( '' ' f

! 2

x ) 0 ( '' f

! 1

x ) 0 ( ' f

! 0

x ) 0 (

f ^{0 1 2 3 IV 4 V 5}

1) Desenvolvimento da Série: f(x) = e^x ; teremos:

1 e ) 0 (

f  ⁰  ;

1 e ) 0 (' f e

) x ('

f  ^x   ⁰  ;

1 e ) 0 (' ' f e

) x (' '

f  ^x   ⁰  ;

1 e ) 0 (' '' f e

) x (' ''

f  ^x   ⁰ 

. . . . . . . . . . . . . . 1 e ) 0 ( f e

) x (

f^N  ^x  ^N  ⁰  ; Poderemos pois escrever a série :

! n x

! 5 x

! 4 x

! 3

x

! 2 x

! 1

x

! 0 e x

n 5

4 3

2 1

x  0          , Que resulta em:

! n x

! 5 x

! 4 x

! 3

x

! 2 x x 1 e

n 5

4 3

x    2       

2) Desenvolvimento da série: f(x) = cos(x) ; Teremos:

1 ) 0 cos(

) 0 ( f ) x cos(

) x (

f    

0 ) 0 ( sen )

0 (' f ) x ( sen )

x ('

f      

1 )

0 cos(

) 0 (' ' f ) x cos(

) x (' '

f       

0 ) 0 ( sen )

0 (' '' f ) x ( sen )

x (' ''

f    

1 ) 0 cos(

) 0 ( f ) x cos(

) x (

f^IV   ^IV  

0 ) 0 ( sen )

0 ( f ) x ( sen )

x (

f^V    ^V   

1 )

0 cos(

) 0 ( f ) x cos(

) x (

f^VI    ^VI    

. . . . . . . .

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- 2 - Poderemos, pois escrever:

cos(x) =      

 

 

 

 

 

 



! 6

x ) 1 (

! 5

x 0

! 4

x ) 1 (

! 3

x 0

! 2

x ) 1 (

! 1

x 0

! 0

x

1 ^{0 1 2 3 4 5 6}

que resulta em:          

! 10

x

! 8

x

! 6 x

! 4 x

! 2 1 x ) x ( cos

10 8

6 4

2

OBS: Note que o cosseno é uma função Par ; i. é : tanto faz “x” ser positivo ou negativo, que o resultado não se altera, ou ainda:

cos(-x) = cos (x)

3) Desenvolvimento da série: f(x) = sen(x) ; Teremos:

0 ) 0 ( sen )

0 ( f ) x ( sen )

x (

f    

1 ) 0 cos(

) 0 (' f ) x cos(

) x ('

f    

0 ) 0 ( sen )

0 (' ' f ) x ( sen )

x (' '

f      

1 )

0 cos(

) 0 (' '' f ) x cos(

) x (' ''

f       

0 ) 0 ( sen )

0 ( f ) x ( sen )

x (

f^IV   ^IV  

1 ) 0 cos(

) 0 ( f ) x cos(

) x (

f^V   ^V  

0 ) 0 ( sen )

0 ( f ) x ( sen )

x (

f^VI    ^VI   

1 )

0 cos(

) 0 ( f ) x cos(

) x (

f^VII    ^VII    

. . . . . . . .

Poderemos, pois escrever a série:





 

 

 

 

 



 

 

 

 

! 7

x ) 1 (

! 6

x 0

! 5

x ) 1 (

! 4

x 0

! 3

x ) 1 (

! 2

x 0

! 1

x ) 1 (

! 0

x ) 0

x ( sen

7 6

5 4

3 2

1 0

Que resultará em:         

! 9 x

! 7

x

! 5 x

! 3 x x ) x ( sen

9 7

5 3

OBS: Note que o seno é uma função Impar ; i. é : se “x” for um número negativo, o resultado da série será negativo, ou ainda:

sen(-x) = - sen(x)

Retomemos agora a série :

! n x

! 5 x

! 4 x

! 3

x

! 2 x x 1 e

n 5

4 3

x    2        ;

Se substituirmos “x” , por “jx” , teremos:

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- 3 -

! n

) x j (

! 5

) x j (

! 4

) x j (

! 3

) x j (

! 2

) x j x ( j 1 e

n 5

4 3

x 2

j           ; Lembrando que:

J⁰ = 1 ; J¹ = j ; j² = -1 ; j³ = -j ; j⁴ = 1 ; e conclusivamente ( onde n é inteiro) : J^{4 n} = 1 ; J^{4 n + 1} = j ; j^{4 n + 2} = -1 ; j^{4 n + 3} = -j ; teremos:























 8!

x

! 7

x j

! 6 x

! 5

x j

! 4 x

! 3

x j

! 2 x x j 1

e^{jx 2 3 4 5 6 7 8} ; ou ainda :













 













 

 













 















 

 cos(x) sen(x)

! 7 x

! 5 x

! 3 x x

! j 8

x

! 6 x

! 4 x

! 2 1 x e

7 5

3 8

6 4

x 2 j

 



 



       





















 

e^jx  cos(x)  jsen(x) ( Fórmula de Euler ; definição fundamental !!!....)

Decorrência: Se na expressão fundamental, substituirmos “x” por “-x” iremos ter :

) x ( sen j ) x ( cos

e^jx     ; Lembrando que o cosseno é uma função par, e que o seno é uma função impar, iremos ter: e^{- j x} = cos(x) - jsen(x)

Ao associarmos as duas equações : e^{j x} = cos(x) + jsen(x)

e^{- j x} = cos(x) - jsen(x)

Somando teremos : e^{j x} + e^{- j x} = 2. cos(x) ; portanto : 2 e ) e

x ( cos

x j x

j  



Subtraindo teremos: e^{j x} - e^{- j x} = 2jsen(x) ; portanto : 2j e ) e

x ( sen

x j x

j  



( Definições do seno e do cosseno, Fundamentais ! ! ! )

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- 4 -

EXTENSÃO DE CONCEITO: REPRESENTAÇÃO DE N. COMPLEXO NA FORMA EXPONENCIAL

Imaginemos um número complexo qualquer, inicialmente definido na forma polar por Z^  Z^  ; ao representarmos o mesmo graficamente iremos ter:

Ao representarmos este mesmo n. complexo em coordenadas cartesianas,



 ^

 Z

Z = a + jb , onde: a = Z^ cos ; b = Z^ sen , tem-se:

Z =  Z cos^ + j Z sen^  Z = ^{ Z}





(Que é a 3ª representação , ou Forma Exponencial de um n. complexo) a

Re Im

b

.Z



Z. Z.

= 