1371 27.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espa¸cos Topol´ogicos

(1)

Cap´ıtulo 27

Espa¸cos Topol´ogicos e Espa¸cos Mensur´aveis.

Defini¸c˜oes e Propriedades B´asicas

Conte´udo

27.1 Defini¸c˜oes, Propriedades Elementares e Exemplos . . . 1357

27.2 Algumas Constru¸c˜oes Especiais e Exemplos . . . 1363

27.2.1 Topologias Geradas por Fam´ılias de Conjuntos . . . 1363

27.2.1.1 A Topologia de Sorgenfrey . . . 1364

27.2.2 σ- ´Algebras Geradas por Fam´ılias de Conjuntos . . . 1366

27.2.3 Bases de Espa¸cos Topol´ogicos . . . 1367

27.2.4 Topologias eσ- ´Algebras Induzidas . . . 1369

27.2.5 Topologias eσ- ´Algebras Produto . . . 1371

27.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espa¸cos Topol´ogicos . . . 1371

27.3.1 Fecho de Conjuntos em Espa¸cos M´etricos . . . 1378

27.4 Espa¸cos Topológicos Separáveis e Segundo-Contáveis . . . 1379

27.4.1 A Segundo-Contabilidade como Propriedade Herdada . . . 1382

Introduziremosneste cap´ıtulo dois conceitos de importância fundamental em Matemática, o conceito deEspa¸co Topológicoe o conceito deEspa¸co Mensurável. O primeiro conceito é uma generaliza¸c˜ao do conceito de Espa¸co Métrico, introduzido no Cap´ıtulo 24, página 1245, e o segundo é moldado de forma a permitir uma defini¸cão consistente do conceito intuitivo de medida (como comprimento, área, volume etc.) de um conjunto. De modo muito simplificado, podemos dizer que Topologias desempenham um papel quando se faz necessário o emprego de no¸cões como as de convergência e continuidade, enquanto que Espa¸cos Mensuráveis são especialmente relevantes na teoria da integra¸cão e na teoria de probabilidades. As no¸cões de Espa¸co Topológico e Espa¸co Mensurável penetram áreas da Matemática tão variadas quanto a Análise, a Análise Funcional, a Geometria Diferencial, a Teoria das Equa¸cões Diferenciais, a Teoria de Grupos, a Teoria de Probabilidades e outras, através das quais exercem também sua influência sobre praticamente toda a F´ısica. Falaremos um pouco mais sobre o significado e sobre a importância de cada conceito adiante. Para um texto dedicado à história da Topologia, vide [203].

27.1 Defini¸c˜oes, Propriedades Elementares e Exemplos

Dado um conjuntoX(doravante considerado n˜ao-vazio), denota-se porP(X) a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X. Assim, em s´ımbolos, podemos expressar o fato de um conjuntoAser um subconjunto deXescrevendoA⊂Xou A∈P(X). ´E natural queX∈P(X) e convenciona-se que∅ ∈P(X). Como sempre, seA⊂X, denotamos porA^co conjuntoX\A, dito o complementar deAemX.

Estamos muitas vezes interessados em estudar propriedades de certas cole¸cões de subconjuntos deX (ou seja de subconjuntos deP(X)) que possuem certas caracter´ısticas de interesse. Há dois tipos de cole¸cões de subconjuntos que merecem particular aten¸cão: as chamadas topologias e as chamadasσ-álgebras. Vamos às defini¸cões.

•Topologias

Uma cole¸c˜aoτde subconjuntos deX, ou seja,τ⊂P(X), ´e dita ser umatopologiaemXse os seguintes requisitos forem satisfeitos:

1.∅ ∈τeX∈τ.

1357

2. SeA∈τeB∈τ, ent˜aoA∩B∈τ.

3. SeIé um conjunto arbitrário de ´ındices eAλ∈τpara todoλ∈I, então [

λ∈I

Aλtamb´em ´e um elemento deτ.

•σ-´algebras

Uma cole¸c˜aoMde subconjuntos deX, ou seja,M⊂P(X), ´e dita ser umaσ-´algebraemXse os seguintes requisitos forem satisfeitos:

1.∅ ∈MeX∈M.

2. SeA∈M, ent˜aoA^c≡X\A∈M.

3. Se{An, n∈N}é uma cole¸cão enumerável arbitrária de elementos deM, então [

n∈N

Antamb´em ´e um elemento de M.

•Coment´arios e nomenclatura

• Um conjuntoXdotado de uma topologiaτé dito ser umespa¸co topológico. De um modo um pouco mais técnico, um espa¸co topológico é um par (X, τ) ondeXé um conjunto não-vazio eτ⊂P(X) é uma topologia emX.

• Um conjuntoXdotado de umaσ-álgebraMé dito ser umespa¸co mensurável. De um modo um pouco mais técnico, um espa¸co mensurável é um par (X,M) ondeXé um conjunto não-vazio eM⊂P(X) é umaσ-álgebra emX.

• Ideias relacionadas à de Topologia já habitam a Matemática há muito, mas foi nas duas primeiras décadas do século XX que as mesmas come¸caram a ser sistematizadas e abstra´ıdas, como resultado do trabalho de vários indiv´ıduos, como Cantor¹, Fréchet², Riesz³e Hausdorff⁴. A palavratopologiaé um pouco mais antiga, tendo sido cunhada por Listing⁵em 1847, o qual tomara contacto com ideias topológicas sob influência de Gauss⁶. A no¸cão de conjuntos abertos e fechados (na topologia usual da reta real) foi introduzida por Cantor. Fréchet percebeu sua conexão com a no¸cão de métrica (a qual introduziu). A no¸cão moderna de Espa¸co Topológico foi introduzida pela primeira vez por Hausdorff em 1914. Hausdorff também cunhou a expressão “espa¸co métrico”, no¸cão criada por Fréchet em 1906, e foi o primeiro a introduzir a no¸cão demedida, entre outras coisas.

• A palavra “álgebra” na designa¸cão “σ-álgebra” tem origem histórica em uma analogia observada por Felix Hausdorff entre certas opera¸cões envolvendo conjuntos, tais como união e interseçcão, e opera¸cões algébricas de soma e multiplica¸cão. Apesar disso o conceito deσ-álgebra não deve ser confundido de forma alguma com o conceito usual de´algebra(um espa¸co vetorial com um produto entre seus elementos). A analogia a que nos referimos é a de que a opera¸cão de união de conjuntos disjuntos pode ser entendida como uma “soma” de conjuntos, com o elemento nulo sendo o conjunto vazio (poisA∪ ∅=Apara qualquer conjuntoA). O papel de “multiplica¸cão” entre conjuntos seria exercido pela interseçcão, onde novamente o conjunto vazio seria o elemento nulo (pois sempreA∩ ∅=∅).

Note-se tamb´em a validade da propriedade distributivaA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), outra analogia com somas e produtos num´ericos.

Ainda sobre a nomenclatura, o “σ” do nome “σ-álgebra” é usado em fun¸cão da propriedade3da defini¸cão, que se refere ao fato deσ-álgebras serem fechadas em rela¸cão a opera¸cões envolvendo uniões (“σomas”) enumeráveis de seus conjuntos. Aqui, o ponto importante é a enumerabilidade e, por isso, é frequente encontrar-se o s´ımbolo σem outros objetos matemáticos para os quais a enumerabilidade desempenha algum papel (como na topologia chamada deσ-fraca, por exemplo).

1Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918).

2Maurice Ren´e Fr´echet (1878–1973).

3Frigyes Riesz (1880–1956).

4Felix Hausdorff (1868–1942). Matemático de grande originalidade e influência, Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentra¸cão.

5Johann Benedict Listing (1808–1882).

6Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

(2)

•Os subconjuntosA⊂Xque são membros de uma topologiaτsão chamados deconjuntos abertos(em rela¸cão à topologiaτ), ou conjuntosτ-abertos. Se um subconjuntoF⊂Xé tal queF^c∈τ, entãoFé dito ser umconjunto fechado, ouτ-fechado. Note que há conjuntos que podem ser simultaneamente abertos e fechados em rela¸cão à mesma topologia. Por exemplo,∅eXsão ao mesmo tempo abertos e fechados (por quê?). Além destes conjuntos pode haver outros também. Veremos exemplos.

•O estudante deve ser advertido que um conjunto pode ser aberto em rela¸cão a uma topologia, mas não em rela¸cão a outra. O mesmo comentário vale para conjuntos fechados.

•Os subconjuntosA⊂X que são membros de umaσ-álgebraMsão chamados deconjuntos mensur´aveis(em rela¸cão àσ-álgebraM), ou conjuntosM-mensuráveis. Será para conjuntos mensuráveis que se definirá o conceito de medida.

• O estudante deve ser advertido que um conjunto pode ser mensurável em rela¸cão a umaσ-álgebra, mas não em rela¸cão a outra.

• Note que, pela defini¸cão, seA1, . . . , Ané uma cole¸cão denconjuntos abertos de uma topologiaτ, entãoA1∩· · ·∩An

é também um conjunto aberto (por quê?).

• Note que, no item 3 da defini¸cão de topologia, nenhuma restri¸cão é feita em rela¸cão ao conjunto de ´ındicesI, podendo o mesmo ser até um conjunto não-contável.

• Note que seA1, . . . , Ané uma cole¸cão (finita) denelementos de umaσ-álgebraM, entãoA1∪ · · · ∪Ané também um elemento deM. Para ver isso note que, se defin´ıssemosAm = ∅para todo m > nter´ıamos claramente A1∪ · · · ∪An=[

a∈N

Aaque é um elemento deMpelo item 3 da defini¸cão deσ-álgebra.

• SeMé umaσ-álgebra emXeA, B∈M, entãoA∩B∈M. Isso é fácil de ver, poisA∩B= (A^c∪B^c)^c. Pelo item 2 da defini¸cão deσ-álgebra,A^ceB^csão também elementos deM. Pela observa¸cão acima, sua uniãoA^c∪B^c também o é. Por fim, o complemento deA^c∪B^cpertence aM, novamente pelo item 2 da defini¸cão deσ-álgebra.

• A última afirma¸cão estende-se facilmente para interseçcões contáveis de conjuntos mensuráveis: seMé umaσ-

´algebra emXeAn∈M,n∈N, ent˜aoT

n∈NAn∈M. Isso segue facilmente de

\

n∈N

An = [

n∈N

(An)^c

!c

e dos itens 2 e 3 da defini¸c˜ao deσ-´algebra.

•Vizinhan¸cas

SejaXum conjunto não-vazio eτuma topologia emX. Sex∈X, um conjuntoV⊂Xé dito ser umavizinhan¸cade x(segundoτ) seVcontémxe se contiver um aberto que também contémx, ou seja, se existirA∈τtal quex∈A⊂V.

A no¸cão de vizinhan¸ca é frequentemente empregada no estudo de espa¸cos topológicos.

•Exemplos básicos de topologias e mais alguns comentários SejaXum conjunto não-vazio.

•Considereτo conjunto, formado por apenas dois elementos, dado porτ={∅, X}. Então,τé uma topologia em X(verifique!). É chamada detopologia indiscretaoutopologia triviale é a menor topologia que se pode formar em X.

•Sejaτ a cole¸cão de todos os subconjuntos deX: τ =P(X). Então,τé uma topologia emX (verifique!). É chamada detopologia discretae é a maior topologia que se pode formar emX.

•SejaXum espa¸co métrico com uma métricade sejaτda cole¸cão de todos os seus subconjuntos abertos em rela¸cão ad. Um subconjuntoAdeXé dito seraberto(em rela¸cão à métricad) se tiver a seguinte propriedade: para todo x∈Apodemos achar um número realδ(x)>0 (eventualmente dependente dex) tal que para todox^′∈Xcom a

propriedade qued(x, x^′)< δ(x) (ou seja, que dista dexmenos queδ(x)) vale quex^′tamb´em ´e um elemento deA.

Então, conforme já vimos na Se¸cão 24.2, página 1265,τdé, de fato, uma topologia, chamada detopologia induzida pela métricad.

• Uma topologiaτemX´e dita ser umatopologia m´etricase existir uma m´etricademXtal queτ=τd.

• Pelo Exerc´ıcio E. 24.32, página 1265,P(X) é uma topologia métrica.

• Nem todas as topologias são métricas. Condi¸cões que garantam que uma topologia seja métrica são denominadas condi¸cões de metrizabilidade.

• SejaA⊂X. Ent˜ao,{∅, A, X}´e uma topologia emX(verifique!), a menor a conterA(justifique!).

• SejamA, B⊂X. Ent˜ao,{∅, A, B, A∩B, A∪B, X}´e uma topologia emX(verifique!), a menor a conterAe B(justifique!).

No caso do conjunto dos reais, podemos introduzir a topologia m´etrica definida pela m´etricad(x, y) =|x−y|.

Essa topologia é denominada detopologia usual da retae para designá-la usaremos aqui o s´ımboloτR. Esse nome é autoexplicativo: quase toda a Análise Real é feita com o uso dessa topologia. Conforme o costume de toda a literatura, sempre que falarmos de uma topologia nos reais pensaremos nessa topologia usual, salvo men¸cão expl´ıcita em contrário.

Fique claro porém que sobre os números reais podem ser definidas outras topologias alémτR(e da topologia trivial e da topologia discreta). Exemplos serão vistos adiante.

E. 27.1Exerc´ıcio. Mostre, seguindo as defini¸cões de conjuntos abertos e fechados em espa¸cos métricos, que todo intervalo(a, b) coma < b∈Ré um elemento deτRe que todo intervalo[a, b]coma≤bé um conjunto fechado em rela¸cão aτR. 6

E. 27.2Exerc´ıcio. SejamA, B, C⊂X. Determine a menor topologia a conterA,BeC. 6

E. 27.3Exerc´ıcio. A topologia de um conjunto particular. SejaXnão-vazio e sejaB⊂X. Mostre que a cole¸cão de conjuntos{∅} ∪ {A⊂X|A⊃B}é uma topologia, denominadatopologia do conjunto particularB. Denotaremos essa topologia por τcp(B). .

Mostre queF⊂X´e um conjunto fechado na topologiaτcp(B)se e somente seF⊂B^couF=X. 6

E. 27.4Exerc´ıcio. SejaNo conjunto dos n´umeros naturais positivos. Mostre que a cole¸c˜ao de subconjuntos deNcomposta por

∅, porNe por todo conjunto da forma{1, . . . , n}, comn∈N, comp˜oe uma topologia emN. 6

E. 27.5Exerc´ıcio. SejaX= [0,∞), o conjunto dos números reais não-negativos. Mostre que a cole¸cão de subconjuntos deX composta por∅, porXe por todos os conjunto da forma[0, a), coma >0, compõe uma topologia emX. 6

E. 27.6Exerc´ıcio. SejaX= [0,∞), o conjunto dos números reais não-negativos. Mostre que a cole¸cão de subconjuntos deX composta por∅, porXe por todos os conjunto da forma[0, a], coma >0,nãocompõe uma topologia emX. 6

•Exemplos básicos deσ-álgebras SejaXum conjunto não-vazio.

• ConsidereMo conjunto, formado por apenas dois elementos, dado porM={∅, X}. Então,Mé umaσ-álgebra (verifique!) e é a menorσ-álgebra que se pode formar emX. Essaσ-álgebra é chamada deσ-´algebra indiscretaou σ-´algebra trivial.

• SejaMa cole¸cão de todos os subconjuntos deX:M=P(X). Então,Mé umaσ-álgebra (verifique!) e é a maior σ-álgebra que se pode formar emX. Essaσ-álgebra é chamada deσ-álgebra discreta.

• SejaXum conjunto eA⊂X. Então, a cole¸cãoM={∅, A, A^c, X}é umaσ-álgebra (verifique!), a menor a conter A(justifique!)

(3)

Outros exemplos menos triviais deσ-álgebras serão vistos adiante. Exemplos realmente interessantes deσ-álgebras requerem constru¸cões elaboradas, como a daσ-álgebra de Lebesgue⁷, a qual trataremos com certo detalhe no Cap´ıtulo 29.

E. 27.7Exerc´ıcio. Sejamα,βeγtrˆes objetos distintos (por exemplo, trˆes letras distintas do alfabeto grego). Mostre que M =

∅,{α, β},{γ},{α, β, γ}

´e umaσ-´algebra emX={α, β, γ}. 6

E. 27.8Exerc´ıcio. Sejamα,βeγtrˆes objetos distintos (por exemplo, trˆes letras distintas do alfabeto grego). Mostre que M=

∅,{α},{β},{γ},{α, β},{α, γ},{β, γ},{α, β, γ}

´e umaσ-´algebra emX={α, β, γ}. 6

•Abertos e fechados

SejamXum conjunto eτuma topologia emX. Denotemos porF(τ) a cole¸cão de todos os conjuntos fechados deX em rela¸cão àτ, ou seja, a cole¸cão de todos os conjuntosFdeXtais queF^cé um aberto, ou seja, um elemento deτ.

E muito importante o estudante notar que´ F(τ) pode conter elementos quenãosão elementos deτ. PorémF(τ) eτnunca são conjuntos disjuntos, pois ambos sempre têm elementos em comum. Sempre se tem, por exemplo, que {∅, X} ⊂F(τ)∩τ.

E. 27.9Exerc´ıcio. Mostre que seF(τ)⊂τ, ent˜aoF(τ) =τ. 6

E. 27.10Exerc´ıcio. Mostre que seτ⊂F(τ), entãoτ=F(τ). 6 Exemplos de topologias ondeτ=F(τ) são a topologia trivial e a topologia discreta (por quê?). Há, porém, muitos outros exemplos, como mostra o próximo exerc´ıcio.

E. 27.11Exerc´ıcio. Seja a reta real eXo seguinte subconjunto deR:X= (0,1)∪(1,2). Mostre que a cole¸cãoτde subconjuntos deXdada porτ={∅,(0,1),(1,2), X}é uma topologia emXe queF(τ) =τ. Note queτnão é nem a topologia trivial nem a

discreta deX. 6

A cole¸cãoF(τ) de todos os conjuntos fechados em rela¸cão a uma topologiaτemXpossui uma série de propriedades especiais:

1.∅ ∈F(τ) eX∈F(τ).

2. SeF∈F(τ) eG∈F(τ), ent˜aoF∪G∈F(τ).

3. SeIé um conjunto arbitrário de ´ındices eFλ∈F(τ) para todoλ∈I, então \

λ∈I

Fλtamb´em ´e um elemento de F(τ).

E. 27.12Exerc´ıcio muito importante. Justifique as afirmativas acima. 6

E. 27.13Exerc´ıcio. Sejam as seguintes cole¸c˜oes de conjuntos fechados na reta real (na topologia usual):{Fn= [−1/n,1+1/n], n∈ N}e{Gn= [1/n,1−1/n], n∈N, n >1}. Mostre explicitamente que \

n∈N

Fn´e um conjunto fechado mas que [

n∈N, n>1

Gn´e um conjunto aberto. Note que [

n∈N, n>1

Gnnão é uma união finita! 6

7Henri L´eon Lebesgue (1875–1941).

Seja agora (reciprocamente) uma cole¸cãoFde subconjuntos de um conjuntoXtal que as seguintes condi¸cões (que chamaremos de “axiomas de conjuntos fechados”) são verdadeiras:

1.∅ ∈FeX∈F.

2. SeF∈FeG∈F, ent˜aoF∪G∈F.

3. SeIé um conjunto arbitrário de ´ındices eFλ∈Fpara todoλ∈I, então \

λ∈I

Fλtamb´em ´e um elemento deF.

Então, a cole¸cãoτ(F) ={A⊂X,tais queA^c∈F}é uma topologia emX.

E. 27.14Exerc´ıcio muito importante. Justifique essa ´ultima afirmativa. 6

•Mais exemplos de topologias: a topologia co-cont´avel e a co-finita

Vamos ilustrar o que acabamos de ver com dois exemplos (importantes, pois deles se extraem alguns exemplos e contraexemplos de propriedades de topologias, como veremos adiante).

SejaXum conjunto eC_ca cole¸cão de todos os conjuntos contáveis deX. Então, vamos mostrar que a cole¸cão C={∅, X} ∪C_csatisfaz os axiomas de conjuntos fechados.

As propriedades que∅ ∈CeX∈Csão óbvias por defini¸cão. SeF eGsão elementos deC, entãoF∪Gtambém é um elemento deC, basicamente pois a união de dois conjuntos contáveis é também um conjunto contável. Finalmente a interseçcão arbitrária de conjuntos contáveis é também um conjunto contável (pois, como vimos acima, qualquer subconjunto de um conjunto contável também é contável) e, com isso, fica também verificado o axioma 3.

Com isso, e com o que dissemos anteriormente, vemos que a cole¸cãoτ(C) é uma topologia emX. Todo elemento de τ(C) é, então,∅,Xou da formaX\C, ondeCé um conjunto contável. Chamaremos a topologiaτcc≡τ(C) detopologia co-contáveldeX.

E. 27.15Exerc´ıcio. SejaXum conjunto eτcfa cole¸c˜ao τcf=n

A⊂X, A=X\UondeU⊂X´e um conjunto finitoo

∪

∅ .

Mostre queτcfé uma topologia emX(chamada detopologia co-finitadeX). Como são os conjuntos fechados em rela¸cão aτcf? 6

E. 27.16Exerc´ıcio. Verifique que para todoXn˜ao-vazio tem-seτcf⊂τcc. Para que tipo de conjuntoXpodemos terτcf=τcc? 6

A topologia co-contável tem a seguinte propriedade digna de nota. SejamAeBdois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-contável de um conjuntoXe suponha queXnão seja um conjunto contável. Então,A∩Bsempre é um conjunto não-vazio. Para provar isso, notemos que, pelas hipóteses,A=X\C1eB=X\C2, para dois subconjuntos contáveisC1eC2deX. Da´ı,A∩B= (X\C1)∩(X\C2) =C1^c∩C2^c= (C1∪C2)^c. Agora, comoC1∪C2é também um conjunto contável, seu complemento é não-vazio poisXnão é contável.

Assim, provamos que dois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-contável de um conjunto não-contável (como, por exemplo, o conjunto dos reais) sempre se intersectam. Como veremos, isso significa que tais espa¸cos topológicos não são do tipo Hausdorff (a defini¸cão de espa¸co Hausdorff virá à página 1435).

E. 27.17Exerc´ıcio. SejamAeBdois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-finita de um conjuntoXe suponha queX não seja um conjunto finito. Mostre, então, queA∩Bsempre é um conjunto não-vazio. 6

E. 27.18Exerc´ıcio. Sejamτcf(R)eτcc(R)as topologias co-finita e co-contável deR, respectivamente. Mostre que todo conjunto τcf(R)-fechado é tambémτR-fechado e conclua queτcf(R)⊂τR. Pelo Exerc´ıcioE. 27.16, tem-se tambémτcf(R)⊂τcc(R). Porém, τcc(R)6⊂τR, pois o conjunto dos irracionais éτcc(R)-aberto, mas não éτRaberto. Justifique essa afirmativa.

Claramente,τcf(R)⊂τcc(R)∩τR. Por´em, a topologiaτcc(R)∩τR´e maior queτcf(R): verifique queR\Z∈τcc(R)∩τRmas

R\Z6∈τcf(R). 6

(4)

27.2 Algumas Constru¸c˜oes Especiais e Exemplos

27.2.1 Topologias Geradas por Fam´ılias de Conjuntos

•A no¸c˜ao de topologia gerada

Vamos agora discutir um m´etodo importante de gerar topologias eσ-´algebras.

SejaX um conjunto não-vazio e seja{τλ, λ∈I}uma cole¸cão de topologias emX(cada uma indexada por um elementoλde um conjunto de ´ındicesIarbitrário). Como cada topologia é por si um subconjunto deP(X), podemos considerar uniões e interseçcões de topologias.

Em particular para uma cole¸c˜ao gen´erica de topologias como{τλ, λ∈I}, temos o seguinte resultado importante:

Proposi¸c˜ao 27.1O subconjuntoτIdeP(X)dado porτI=\

λ∈I

τλ´e tamb´em uma topologia emX. 2

Prova.Em primeiro lugar ´e claro pelas defini¸c˜oes que∅ ∈τIe queX∈τI.

Vamos agora mostrar que seAeBsão elementos deτI, entãoA∩Btambém o é. Para tal, note que seAeBsão elementos deτI, entãoAeBsão elementos de toda topologiaτλcomλ∈I. Assim, como para cadaλparticular tem-se AeB∈τλ, segue queA∩B∈τλ(poisτλé uma topologia). Assim, mostramos queA∩Bpertence a toda topologiaτλ

comλ∈Ie, portanto,A∩B∈τI.

Por fim, temos que provar que se{Aµ, µ∈J}é uma cole¸cão de elementos deτI(ondeJé uma cole¸cão arbitrária de ´ındices), então segue que [

µ∈J

Aµé também um elemento deτI. Para tal, note-se que se{Aµ, µ∈J}é uma cole¸cão de elementos deτI, então cadaAµé um elemento de cadaτλ. Da´ı, para cadaλparticular segue que [

µ∈J

Aµé também um elemento deτλ(poisτλé uma topologia). Como isso vale para todoλ∈I, segue que [

µ∈J

Aµ∈τI, como quer´ıamos provar.

Este resultado tem um uso de grande importância: fornecer um método de gerar topologias. SejaAuma cole¸cão qualquer de subconjuntos deX. Considere a cole¸cão de todas as topologias que contémAcomo um subconjunto. Como vimos, a interseçcão de todas essas topologias é também uma topologia que denotaremos porτ[A]. A topologiaτ[A] é chamada detopologia gerada porA.

Assim, cada cole¸cãoAde subconjuntos de um conjuntoXtem automaticamente uma topologia associada a si: a topologia gerada pela cole¸cão. Muitas topologias podem ser produzidas dessa forma, como sendo geradas por uma cole¸cão conveniente de subconjuntos deX.

E. 27.19Exerc´ıcio. Mostre queA⊂τ[A]e queτ[A]´e a menor topologia que cont´emAcomo subconjunto, ou seja, se houver

uma topologiaτ^′⊂τ[A]que cont´emA, ent˜aoτ^′=τ[A]. 6

E. 27.20Exerc´ıcio. Mostre que seA´e uma topologia, ent˜aoτ[A] =A. 6

E. 27.21Exerc´ıcio. SejaXum conjunto n˜ao-vazio eA⊂X. Mostre queτ {A}

={∅, A, X}. 6

E. 27.22Exerc´ıcio. SejaXum conjunto n˜ao-vazio eA=

{x}, x∈X a cole¸cão de subconjuntos deXformada apenas por todos os conjuntos de um elemento deX. Mostre, então, queτ[A]é a topologia discreta deX. Sugestão: use o item 3 da defini¸cão

de topologia para mostrar que todo subconjunto deX´e um elemento deτ[A]. 6

E. 27.23Exerc´ıcio. SejaXum conjunto n˜ao-vazio eA=

{x, y}, x, y∈Xex6=y a cole¸cão de subconjuntos deXformada por todos os conjuntos de dois elementos distintos deX. Mostre que seXpossui ao menos três elementos, entãoτ[A]é a topologia discreta deX. O que ocorre seXpossuir apenas um elemento? E seXpossuir apenas dois elementos? 6

O método de gerar topologias descrito acima é muito usado e será reencontrado adiante em outros exemplos.

•Sub-base de uma topologia

Seτé uma topologia em um conjunto não-vazioX, dizemos que uma cole¸cãoAde elementos deτé umasub-basedeτ seτ=τ[A], ou seja, seτfor a menor topologia que contémA. Mais adiante, na Se¸cão 27.2.3, página 1367, introduziremos a no¸cão debasede uma topologia e advertimos o leitor antecipadamente que os dois conceitos não coincidem, mas são relacionados. Vide discussão da Se¸cão 27.2.3.

•Estrutura de reticulado em topologias

SejaXum conjunto não-vazio. A cole¸cão de todas as topologias emXdefine um reticulado (para a defini¸cão, vide Se¸cão 2.1.2, página 83) com as opera¸cões∧e∨são definidas da seguinte forma. Seτ1eτ2são topologias emX, definimos:

τ1∧τ2:=τ1∩τ2eτ1∨τ2:=τ τ1∪τ2

(a topologia gerada porτ1eτ2).

E. 27.24Exerc´ıcio. Prove que a cole¸cão de todas as topologias emXcom as opera¸cões∧e∨definidas acima é, de fato, um reticulado, satisfazendo as propriedades de idempotência, comutatividade, associatividade e absorvência descritas na defini¸cão de reticulado da Se¸cão 2.1.2.

Prove que se trata de um reticulado limitado, com o m´ınino sendo a topologia trivial{∅, X}e o m´aximo sendo a topologia discreta P(X).

Prove que se trata de um reticulado completo: todo subconjunto n˜ao-vazio possui um supremo e um ´ınfimo. 6

•Mais sobre a topologia usual deR

Já definimos a topologia usual da reta como sendo a topologia induzida pela métricad(x, y) =|y−x|. Vamos mostrar aqui que há uma outra caracteriza¸cão da mesma topologia.

SejaAa cole¸cão de todos os intervalos abertos (a, b) deRcoma < b. Vamos provar queτR=τ[A], ou seja, que a topologia usual é idêntica à topologia gerada pela cole¸cão de todos os intervalos abertos deR.

Já sabemos queA⊂τR, pois todo intervalo do tipo (a, b),a < b, é aberto deτR. Como por defini¸cãoτ[A] é amenor topologia que contémA, tem-se queτ[A]⊂τR. Tudo o que precisamos fazer, então, é provar queτR⊂τ[A].

Sejaτ^′uma topologia qualquer que contenhaA. Isso significa que uniões arbitrárias de elementos deAsão também elementos deτ^′(poisτ^′é uma topologia e pelo item 3 da defini¸cão de topologia). SeBé um elemento deτRisso significa que para cadax∈Bexisteδ(x)>0 tal quey∈Bdesde que|y−x|< δ(x). Não é dif´ıcil ver que isso significa que podemos escrever

B = [

x∈B

x−δ(x), x+δ(x) .

Como todo intervalo do tipo (x−δ(x), x+δ(x)) ´e um elemento deA, segue queB∈τ^′. Como isso vale para todoB∈τR

isso significa queτR⊂τ^′. Esse último fato vale, porém, para qualquer que seja a topologiaτ^′, desde que contenha a cole¸cãoA. Portanto, conclu´ı-se queτR⊂τ[A], como quer´ıamos mostrar.

27.2.1.1 A Topologia de Sorgenfrey

•A topologia de Sorgenfrey deR

SejaSa cole¸cão de todos os intervalos semiabertos deRdo tipo [a, b) com−∞< a < b <∞,a,b∈R. A topologia τ[S] é denominadatopologia de Sorgenfrey⁸dos reais. O espa¸co topológico (R, τ[S]) é por vezes denominadoreta de Sorgenfreye é frequentemente denotado porRl.

E. 27.25Exerc´ıcio. Se ao invés dos intervalos semiabertos do tipo[a, b)utilizarmos intervalos semiabertos do tipo(a, b]obtemos uma topologia distinta da topologiaτ[S]. O correspondente espa¸co topológico é denotado porRr. Mostre, porém, que a aplica¸cão R∋x7→ −x∈Ré um homeomorfirmo entre esses dois espa¸cos topológicos. 6

8Robert Henry Sorgenfrey (1915–1996). Para o trabalho original de Sorgenfrey, vide [366].