COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br INEQUAÇÕES – 1º E 2º GRAUS – 2012 - GABARITO
1. (METODISTA) O domínio da função real dada por f(x) =
1 2x
6 5x x
2
é:
a) {x R/ x< ½ ou 2 < x < 3 } b) {x R / x ½ ou 2 X 3} c) {x R / ½ < x < 2 ou 2 < x < 3}
d) {x R / ½ < x 2 ou x > 3} e) {x R / ½ < x 2 ou x 3}
Solução. O radicando será positivo ou nulo. Isto significa resolver a inequação 0 1 2x
6 5x x
2
.
i) g(x) = x
2– 5x + 6 é uma função quadrática com concavidade para cima.
A função assume valores negativos no intervalo entre os zeros e valores positivos fora desse intervalo.
Resolvendo temos:
2 2 1 x 5
2 3 1 x 5
2 1 5 2(1)
24 - 25 5 2(1)
4(1)(6) - 25 x 5
0 6 5x x
2 2 1
.
ii) h(x) = 2x - 1 é uma função afim, crescente, pois o coeficiente de x é 2 > 0, assumindo valores positivos para x > 1/2 e valores negativos para x < 1/2. O valor x = 1/2 não pertence ao domínio de f(x), pois h(x) está no denominador. Analisando os sinais, temos:
2. (METODISTA) A função f(x) = x
24 4 x
3x
tem como domínio, nos campos dos reais, os valores de x que encontram na alternativa:
a) R - {4} b) x < -4 ou x 0 c) 0 x -4 d) 0 x < 2 e) 0 < x < 2 Solução. Cada radicando será positivo ou nulo. Os denominadores não podem se anular. A inequação a ser resolvida será:
x 0 4
4 x
3x
2
. Analisando o numerador e o denominador da função, vem:
i)
.4x,0 )x(g
;4x,0 4x)x( )x(g
g
.0x,0) x(g
;0x,0) x3)x(g x(g
4x 0 )x(g 3x
2 2 2
1 1 1
.
ii) h ( x ) 4 x
2 0 . Como o coeficiente de x
2= -1 < 0, a função h(x) assume valores positivos no intervalo entre as raízes. Ela é estritamente maior que zero, pois está no denominador. Encontrando os zeros, vem:
x 2
2 0 x
)x 2 ).(
x 2(
0 x
4 2 .
OBS: Repare que o intervalo entre -4 e -2 apresenta sinal positivo, mas não é considerado pois resulta de uma operação entre negativos. O que não é possível devido a serem radicandos.
3. (PUC) O domínio da função real dada por f(x) =
4 x
x 1
é:
a) {x R / x > -1 e x < 4} b) {x R / x < -1 ou x 4} c) {x R / x -1 e x 4}
d) {x R / x -1 ou x > 4 } e) {x R / x -1 e x < 4 }
Solução. O radicando será positivo ou nulo. Isto significa resolver a inequação 0 4 x
x
1
. i) g(x) = 1 + x é uma função afim com valores positivos para x > -1 e negativos para x < -1.
ii) h(x) = x – 4 é uma função afim com valores positivos para x > 4 e negativos para x < 4. A função h(x) não poderá ser nula, pois está no denominador.
4. (ANGLO) Qual o domínio da função f(x) =
4 x
x 1
?
Solução. Como o numerador e o denominador da função são radicandos,
ambos serão positivos. Isto é, o quociente positivo não poderá ser
resultante da divisão de negativos. Logo, D(f) = ]4, +∞[.
5. (UFES) Os valores x R, para os quais a expressão x x
3
2 é o seno de um ângulo, são:
a) x < -3 ou x > 3 b) x < -3 ou x -1/2 c) x > -3 d) x -1/2 e x -3 e) x -1/2 Solução. A variação do seno de um ângulo é -1 senx 1. A inequação será: 1
x 3
x
1 2
.
i) 0
x 3 0 5 x 3
x 3 x 0 2
x 1 3
x 1 2
x 3
x 2 x 3
x
1 2
.
O numerador é uma constante positiva não nula. Logo, nunca anulará a fração. O denominador deverá ser estritamente positivo. Logo, 3 + x > 0 => x > -3. O intervalo para esse caso será: ]-3, +∞[.
ii) 0
x 3
1 x 0 2
x 3
x 3 x 0 2
x 1 3
x 1 2
x 3
x
2
.
O numerador é uma função afim decrescente com zero igual a -1/2. O denominador é uma função afim crescente com zero igual a -3.
O intervalo que satisfaz a esse caso é: ]- ∞, -3[ [-1/2, +∞[.
Encontrando a solução comum aos dois casos, temos:
Logo, a intersecção das soluções está no intervalo x ≥ -1/2.
6. (PUC) O conjunto dos valores de x para os quais os pontos do gráfico de f(x) = x
3- 4x
2- 5x estão acima do eixo das abscissas é:
a) {x R / x < - 1 ou 0 < x < 5} b) {xR / -1 < x < 0 ou x > 5}
c) {x R / -1 < x < 5} d) {x R / x < -1 ou x > 5}
Solução. Colocando x em evidência, temos: f(x) = x(x
2– 4x – 5). Com essa decomposição identificamos os
zeros de f(x):
1x 0)1x 5x )(5x(
05x 4x 0x 05 x4x x0 )x(f
3 2 2
1
2 .
Resolvendo a inequação produto x.(x
2– 4x – 5) > 0, pois o os pontos pedidos estão acima somente e não sobre o eixo, temos:
Solução: ]-1, 0[ ]5, +∞[.
7. (PUC) Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença
x
x
12
1 20
1 ?
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) menos que 13 Solução. Desenvolvendo e analisando os sinais, vem:
12 x
20 0 x
x 12 20 x )ii
16 x 32 x 2 0 32 x 2 )i
x 0 12 20 x
32 x 0 2
x 12 20 x
) 20 x(
x 0 12
x 12
1 20 x
1 x
12 1 20 x
1
.
A função g(x) = -2x + 32 é afim, decrescente e a função h(x) = (x – 20).(12 – x) possui concavidade para baixo. Logo, será positiva no intervalo entre as raízes.
O número de soluções estritamente positivas
inteiras até 12, exclusive, é 11 (excluindo 0 e 12). No intervalo entre 16(inclusive) e 20 (exclusive) são quatro inteiros. Total: 11 + 4 = 15.
8. Resolva os sistemas de inequações:
a)
2 1 2
0 2 2 x
x
b)
x 5 x2
0 5 x 3
c)
7 x 4 x 3
0 9 x 3
Solução. Resolvendo as inequações em cada caso e vendo as interseções, temos:
a)
2 x1:Solução 1 2 x 1
1x 2 x 1
2x2 1x2
2x2 21x2
02x2
.
b) 5x 3 :Solução 5 5x 3 x 5 5x
5x3 5xx2 5x3 x5x2
05x3
.
c) 7x:Solução
7x 3x 7x 9x3 7x4x3 9x3 7x4x3
09x3
.
9. Resolva as inequações:
a) 0
16 x 6 x
2 x . 1 x
2
. b) 0
6 x 5 x
8 x 6 x . x 1
2
2
