)6,6,3().3(,98136369)2.3()2.3()1.3()221(922133

VESTIBULAR: 2016 PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA II

VETORES III - GABARITO

1. Calcule u.v sendo: a) u = (2,-1) e v = (3,2) b) u = 2i+j-k e v = 3i-2j+5k Solução. Aplicando a fórmula, temos:

a) . ( ).(2 )3 ( ).(1 )2 6 2 4 )2,

3(

)1

,2(       

 







 vu

v u

.

b) . ( ).(2 )3 ).(1( 2 () ).(1 )5 6 2 5 1

)5,2 ,3(

5 2 3

)1, 1,2(

2         

 





















 vu

k j i v

k j i u

.

2. Sendo u = (1,2,2) , encontre um vetor w de comprimento 9 que tenha a mesma direção mas sentido contrário ao de u.

Solução. Se u e w possuem mesma direção e sentidos contrários, w = k.w, com k < 0. O comprimento de u vale: u  ( 1 , 2 , 2 )  u  1 ²  2 ²  2 ²  9  3 . Logo, w terá o triplo do comprimento de u. Temos:

) 6 , 6 , 3 ( ).

3 ( ,

9 81 36 36 9 ) 2 . 3 ( ) 2 . 3 ( ) 1 . 3 ( ) 2 2 1 ( 9 2 2 1 3

3 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2}











































u w

Logo u

w .

3. No triângulo ABC, retângulo em A, tem-se A = (2,3) e B = (1,1) . Determine C, sabendo que é um ponto do eixo das abscissas.

Solução. Considere C = (x, 0) pois um ponto das abscissas possui ordenada nula. Então os vetores u = AB e v = AC são perpendiculares e seu produto escalar será nulo.

)0,8(

8 0 62 0)

3)(

2(

)2 (1 )3, ,

2 () 3,2(

)0, (

)2, 1(

)3,2(

)1,1(























 

 































C

x x

x x vu

x A C AC v

A B AB u

.

4. Calcule o ângulo  do triângulo de vértices A = (3,2,1) , B = (5,3,0) e C = (4,3,4) .

Solução. O ângulo pedido é o formado entre os vetores AB e AC. Este valor é encontrado

utilizando o produto escalar entre esses vetores.

º90 0 , cos

cos

0 )3 ( 3 )3)(

1(

)1)(

1(

)1)(

2(

)3,1 , ,1(

)1,2 ,3(

)4, 3,4 (

)1 ,1,2 ( )1,2 ,3(

)0, 3,5 (







 

 













 

 





























A vu A

A vu A vu C AC v

A B AB u

.

5. (CESGRANRIO) O valor de m para que os vetores u = (1,2) e v = (m,1) do R ² sejam perpendiculares é:

A) 1 B) 0 C) -2 D) 2 E) -1

Solução. Para que os vetores sejam perpendiculares é que o produto escalar entre eles seja nulo:  u , v  ( 1 )( m )  ( 2 )( 1 )  0  m  2  0  m   2 .

6. Dos vetores a seguir, o unitário é:

A) (1,1) B) _





 

 2 , 3 2

1 C) 



 



 2 , 1 2

1 D) 



 



 3 , 2 3

1 E)

) 2 , 2 (

Solução. Um vetor é unitário se seu comprimento (norma) vale 1. Calculando em cada caso, temos:

a)   1 , 1    1 ²    1 ²  1  1  2  1 b)

k 0 4 1

4 4 3 4 1 2

3 2

1 2

, 3 2

1 ²   ²     





 



 

 

 



 

 





 





c) 1

2 2 4 2 4 1 4 1 2

1 2 1 2

, 1 2

1 ²  ²     



 



 

 

 



 

 

 



 d)

3 1 5 9 5 9 4 9 1 3

2 3 1 3

, 2 3

1 ²  ²     



 



 

 

 



 

 

 





e)  ^{2 , 2}  ^     ²

²

^{ 2}

²

^{ 2  2  4  2  1}

7. Sabe-se que os vetores (k ,-1,0) e (2,-1,2) formam um ângulo de 45 ⁰ . Qual é o valor de k?

Solução. Aplicando a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores, temos:

 





 





































 



 

 







 







 

 



 

 

 

 

 









 

 









 

 

 

7 0 1

) 7 ).(

1 ( 0 7 8

) 2 ( 0 14 16 2

4 16 16

18 ) 18

1 ( 9

1 4 4 4 2 1

3 1 2 2

2

1 3

1 2 2

2 4

1 4 . 0 1

0 1 2 2

2 )

2 , 1 , 2 ( ) 0 , 1 , (

) 2 , 1 , 2 ( ), 0 , 1 , º (

45 . cos

cos ,

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

k k k

k k

k

k k

k k

k k k k k

k

k k k

k k

k v

u v

 u

.

8. Encontre x para que o vetor 



 



  4 , 1 2 , 1

x seja unitário.

Solução. O comprimento do vetor deverá ser 1.

4 11 16

16 11 1 4 16 16 1

1 4 1 1

4 1 2

1 1 4 , 1 2

, 1 ^{2 2}

2 2

2               



 



 

 

 



  



 



 



  x x x x x .

9. Um vetor v forma com os vetores i e j ângulos de 60 ⁰ e 120 ⁰ , respectivamente. Encontre v sabendo que v = 2.

Solução. Considere v = (x, y, z) o vetor procurado. Os vetores i e j são os unitários (1,0,0) e (0,1,0) respectivamente. Utilizando a fórmula do produto escalar, temos:

 

 

 

 







































 

 





















 

 



 

 







 

 

 

 

2 ,1 ,1

2 ,1 ,1 :

2 2

4 )1

( )1 ( 4 2

1. 1 2 2 1 )0

,1, 0(

) , , (

)0 ,1, 0(

), , , ( 2 1 .

º , 120 cos

1. 1 2 2 1 )0 ,0 ,1 ( ) , , (

)0 ,0 ,1 ( ), , , ( 2 1 .

º , 60 cos

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

v ou v Logo

z z

z z

y x v

z y x v

y y z

y x

z y x j

v j v

x x z

y x

z y x i

v i v

.

10. Encontre o vetor v ortogonal ao eixo Oz que satisfaz as condições v . u = 10 e v . w = -5, sendo u = (2,3,-1) e w = (1,-1,2).

Solução. Se o vetor é ortogonal ao eixo OZ, então está no plano XY, isto é, da forma (x, y, 0).

10 3 10 2

.

3 2 )1 ,3,2 (), 0, ,(

.   

 











 x y

uv

y x yx

uv

.

)0,4,1 (

14 5 5 5 4

20 20 10 5 22

10 32 )2(

5 10 32

5. 5

)2,1,1 (),0,, (.













 

 





 

 











 

 









v

y x y

yx y yx yx

yx uv yx

yx yx

wv

.

11. Calcule a área do polígono abaixo, conhecidas as coordenadas dos seus vértices.

Solução. Decompondo a figura original em três triângulos e calculando as áreas pelo determinante, temos:

 

 

 ^{6 ( 0 2 ) 7 ( 0 8 ) 1 ( 0 0 )} 

2 1 1 2 8

1 0 0

1 7 6 2 ) 1 (

) 0 0 ( 1 ) 2 0 ( 9 ) 2 0 ( 2 1 1 1 2 2

1 0 0

1 9 1 2 ) 1 (

) 0 0 ( 1 ) 0 3 ( 9 ) 0 1 ( 2 1 1 1 0 0

1 1 3

1 9 1 2 ) 1 (























































C Área

B Área

A Área

.

A área total será:

 

      90 45

2 44 1 20 2 26

0 1 56 12 ( ) 0 18 2 ( ) 0 27 1 2 ( ) 1 (

) 0 0 ( 1 ) 0 3 ( 9 ) 0 1 ( 2 1 1 1 0 0

1 1 3

1 9 1 2 ) 1 ( )

( )

( )

(



























































 total Área

C Área B

Área A

Área total

Área

.

12. O produto vetorial u x v de u = (1,2,0) por v = (0,1,3) é:

A) (6,-3,1) B) (12,-6,2) C) (0,2,0) D) (0,6,0) E) (-1,3,2)

Solução. Calculando o vetor u x v utilizando a fórmula, temos:

) 1 , 3 , 6 ( 3

6 ) 0 1 ( ) 0 3 ( ) 0 6 ( 3 1 0

0 2

1           



 i j k i j k

k j i v

u .

13. Três vértices consecutivos de um paralelogramo são A = (3,1,-1) , B = (4,0,5) e C = (2,2,2).

a) Calcule a área deste paralelogramo b) Determine o 4º vértice.

Solução. Aplicando a fórmula do produto vetorial e utilizando características das diagonais do paralelogramo, temos:

a)

2 9 162 81

81 0

) 9 ( ) 9 ( ) 0 , 9 , 9 ( )

log (

) 0 , 9 , 9 ( 9 9 ) 1 1 ( ) 6 3 ( ) 6 3 ( 3 1 1

6 1 1

) 3 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 3 ( ) 2 , 2 , 2 (

) 6 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 3 ( ) 5 , 0 , 4 (

2 2

2       

















































































v u ramo parale

Área

j i k

j i

k j i v u

A C AC v

A B AB u

.

b) Ponto médio da diagonal BC: 



 



 

 

 



   

 2

, 7 1 , 2 3

2 , 5 2

2 , 0 2

2

PM 4 .

Considerando o vértice D = (x, y, z) o ponto médio de AD é o mesmo de BC.

)8,1, 3(

8 1 2 7 7 2 1

1 12 2 1

1

3 3 6 2 3 3

2 ,1,3 7 2 , 1 2 , 1 2

3  

 





 













 







 







 

 

 

 



 



   

 D

z z y y x x z

y

PM x ^.

14. Um dos vértices de um paralelepípedo é a origem. Os vértices adjacentes são A = (1,2,1), B = (0,1,1) e C = (1,3,0). Determine o volume deste paralelepípedo.

Solução. Sendo (0,0,0) a origem, determinamos os vetores u, v, w não coplanares, O produto misto calculará o volume do paralelepípedo.

2 1 2 3 ) 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 3 0 ( 1 0 3 1

1 1 0

1 2 1 .

) 0 , 3 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , 3 , 1 (

) 1 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 1 , 0 (

) 1 , 2 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 2 , 1 (

































































v v u Volume

O C OC w

O B OB v

O A OA u

.

15. Calcule o volume do tetraedro de vértices A = (1,-3,2) , B = (1,1,0) , C = (4,-3,1) e D = (2,-2,5).

Solução. O volume do tetraedro vale a sexta parte do volume do paralelepípedo. Os vetores não coplanares são AB, AC, AD.

6 6 46 40 0 6 . ) 1 0 3 ( 2 ) 1 9 ( 4 ) 1 0 ( 0 6 . 1 3 1 1

1 0 3

2 4 0 .

6 . 1

) 3 , 1 , 1 ( ) 2 , 3 , 1 ( ) 5 , 2 , 2 (

) 1 , 0 , 3 ( ) 2 , 3 , 1 ( ) 1 , 3 , 4 (

) 2 , 4 , 0 ( ) 2 , 3 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 (

















































































v v u Volume

A D AD w

A C AC v

A B AB u

.

16. Determine o valor de t para que os vetores u = (1,1,0), v = (2,3,-1) e w = (4,5,t) sejam coplanares.

Solução. Os vetores serão coplanares se o produto misto for nulo.

 

1 0

1

1 ) 12 10 ( 0 ) 4 2 ( 1 ) 5 3 ( 1 5

4

1 3 2

0 1 1 .

0 Pr

) ,5 ,4 (

) 1 3, 2 (

) 0 ,1 ,1 (







































 



 











t t

t t

t t

v v u Misto

Misto oduto

Coplanares t

w v u

17. Os vetores u e v do R ³ são tais que │u│= 2 e │v│=3. Assinale qual dos vetores abaixo não pode ser u x v:

A) (1,1,2) B) (5,3,1) C) (4,4,3) D) (6,0,0) E) (3,3,4)

Solução. O produto vetorial é dado pelo produto dos módulos pelo seno do ângulo entre os vetores. O seno varia no intervalo [-1,1]. Analisando cada opção, temos:

ok sen

b

ok sen

a

v u

v sen u

sen v u v u





 

 







 

 



 







6 1 35 6

1 3 5 6

) 1 , 3 , 5 ) (

6 1 6 6

2 1 1 6

) 2 , 1 , 1 ) (

. .

2 2 2

2 2 2









;

ok sen

e

ok sen

d sen c





 

 







 

 





 

 



6 1 34 6

4 3 3 6

) 4 , 3 , 3 ) (

6 1 36 6

0 0 6 6

) 0 , 0 , 6 ) (

6 1 41 6

3 4 4 6

) 3 , 4 , 4 ) (

2 2 2

2 2 2

2 2 2







.

18. Três arestas de um paralelepípedo partem de (0,0,0) e têm a outra extremidade nos pontos (2,2,1), (3,0,-1) e (1,1,-2), respectivamente. O volume deste paralelepípedo vale:

A) 19 B) 2

15 C) 2

19 D) 15 E) 5

Solução. Considerando os pontos respectivamente como A, B, C e D, temos:

15 3 10 2 ) 0 3 ( 1 ) 1 6 ( 2 ) 1 0 ( 2 2 1 1

1 0 3

1 2 2 .

) 2 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 2 , 1 , 1 (

) 1 , 0 , 3 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 3 (

) 1 , 2 , 2 ( ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 2 , 2 (













































































v v u Volume

A D AD w

A C AC v

A B AB u

.

19. Os vetores u = (1,0,1) , v = (-1,1,2) e w = (1,2,m) estão no mesmo plano. Então:

A) m = -1 B) m = 3 C) m = -2 D) m = 7 E) m = 5

Solução. Se os vetores estão no mesmo plano, então são coplanares e o produto misto é nulo.

  ^{0 1 ( 4 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 1 ) 0 4 3 0 7}

2 1

2 1 1

1 0 1

.                   

 m m m m

m v

v u

Misto .

20. (UERJ) A figura do R ³ abaixo, representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A = (0,0,0), B = (4,2,4), C = (0,6,6) e o vértice V é equidistante dos demais.

A partir da análise dos dados fornecidos, determine:

a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta da base;

b) as coordenadas do ponto V considerando que o volume da pirâmide é igual a 72.

Solução. Considerando V = (x, y, z) o vértice do tetraedro e observando que H é o ponto médio dos segmentos AC e BD, que vale PM = H = (0,3,3). Temos VH = (– x, 3 – y, 3 – z).

a) O vetor AD possui o mesmo módulo do vetor BC, já que são lados de um quadrado. Considerando D = (a, b, c) temos:

)2,4, 4(

), ,(

)2,4, ), 4(

,(

)0,0, 0(

), ,(

)2,4, 4(

)4,2, 4(

)6,6,

0(       



 





















 BC AD a cb D

cb a cb

a A D AD

B C

BC .

b) Como V é equidistante dos vértices, então o vetor VH representa a altura do sólido.

i) Cálculo da área da base:

36 )24 ( 24 12 )24 ,24, 12(

4 2 4

2 4 )4,2 4

,4(

)0,0 ,0(

)4,2 ,4(

)2,4 ,4(

)0,0 ,0(

)2,4 ,4(

2 2

2   



















 

 























AB AD Área

kj i AB AD A Área

B AB

A D AD

.

ii) Altura da pirâmide:   ⁶

36 72 ). 3

36 3 ( 72 1 3

1       

 Área h h h

Volume .

iii) AH é perpendicular a VH:

6 0

3 9 3 9 ) 3 , 3 , ( ), 3 , 3 , 0 ( )

,            

 AH VH x y z y z y z .

iv) HD é perpendicular a VH:

y z x z

y x

z y x VH

HD               

 , ) ( 4 , 1 , 1 ), ( , 3 , 3 ) 4 3 3 0 4 .

v) Resolvendo o sistema: z x z x y z x y x

y z

y z

x 2 4 6 2 3 6 6 2 3 3 2

6

4               

 











.

vi)

 









 

 



 





 















 



 













 



 

 













 



 

































)7,1 ,2(

)7,1 ,2(

1 3) 2(2 3 2

7) 2(2 3 2 23

73 )2(2 3 2

1 )2(2 3 2 23

2 6

3

2 6

3 6

3 9

)3 3 2(

)3 23 ( )3

( )3 ( )0

( ^{2 2 2 2 2 2 2}

V V

x z

x x y

x z

x x y

x x

x x

h

x x

x x

x z

y x

VH

.